2017年湖南省长沙一中第二次招生数学试卷
湖南省长沙市一中岳麓中学2020-2021学年初三上学期入学考试数学试卷
7．估计 +1的值在（ ）
A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间
8．如图，两个一次函数图象的交点坐标为 ，则关于x，y的方程组 的解为（ ）
A． B． C． D．
9．下列说法中,正确的是( )
A．两条直线被第三条直线所截,内错角相等B．对角线相等的平行四边形是正方形
三、解答题
19．计算：1 23.140
20．先化简，再求值： ，其中x满足x2－2x－2=0.
21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE
（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB=2，求△OEC的面积．
22．已知关于x的方程x 2m1xm 20．
（1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围；
（2）若两实数根 、 满足 1 112，求m的值.
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数ykxb的图象与x轴交点为A3, 0，与y轴交点为B，且与正比例函数 的图象交于点C（m,4）.
（1）求点C的坐标；
（2）求一次函数ykxb的表达式；
（2）设一周的销售利润为w元，请求出w与x的函数关系式，并确定当销售单价为多少时一周的销售利润最大，并求出最大利润；
（3）商场决定将一周销售T恤衫的利润全部捐给某村用于精准扶贫的水网改造项目，在商场购进该T恤衫的资金不超过6000元情况下，请求出该商场最大捐款数额是多少元？
25．如图，已知抛物线yx2bxc的图象与x轴交于A1, 0、B4, 0两点， 与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D，点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度向B点运动（运动到B点停止），过点M作x轴的垂线，交抛物线于点P，交BC与点Q.
湖南省长沙市第一中学2022-2023学年高三上学期月考(一)数学试题(解析版)
【解析】
【详解】当E,F排在前三位时， =24,当E,F排后三位时， =72，当E,F排3，4位时， =24，N=120种，选D.
6.函数 （ 且 ）在一个周期内的图象如图所示，将函数 图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，则 （）
A. B.1C.－1D.
参考数据：
参考时间轴：
A.宋B.唐C.汉D.战国
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件可得函数关系 ，取 即可计算得解.
【详解】依题意，当 时， ，而 与死亡年数 之间的函数关系式为 ，
则有 ，解得 ，于是得 ，
当 时， ，于是得： ，解得 ，
由 得，对应朝代为战国，
所以可推断该文物属于战国.
故选：D
（1）记 ，写出 ，并求出数列 的通项公式；
（2）求数列 的前2022项和 .
【答案】（1） ， ，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据 的定义求得 ，求出 ，由等比数列通项公式可得结论；
（2）由 得 ， ，然后用并项求和法结合等比数列前 项和公式计算．
【小问1详解】
，
又
【小问2详解】
，则
18.如图， 为 中点，曲线 上任一点到 点的距离相等， 在曲线 上且关于 对称.
长沙市一中2023届高三月考试卷（一）
数学
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用对数不等式及分式不等式的解法求出集合 ，结合集合的补集及交集的定义即可求解.
湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二上学期第一次段考(10月)数学试卷
湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二上学期第一次段考（10月）数学试卷一、单选题1．已知复数3i1iz +=+，则z =（）AB C ．3D ．52．无论λ为何值，直线()()()234210x y λλλ++++-=过定点（）A ．()2,2-B ．()2,2--C ．()1,1--D ．()1,1-3．在平行四边形ABCD 中，()1,2,3A -，()4,5,6B -，()0,1,2C ，则点D 的坐标为（）A ．()5,6,1--B ．()5,8,5-C ．()5,6,1-D ．()5,8,5--4．已知1sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos(2)3πα-=（）A ．79-B ．79C ．29-D ．295．直线2410x y --=关于0x y +=对称的直线方程为（）A ．4210x y --=B ．4210x y -+=C ．4210x y ++=D ．4210x y +-=6．已知椭圆C ：()22104x y m m +=>的离心率为2，则m =（）A ．B ．C ．8或2D ．87．已知实数,x y 满足()22203y x x x =-+≤≤，则41y x ++的范围是（）A ．[]2,6B ．(][),26,-∞+∞ C ．92,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(]9,2,4⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭8．已知平面上一点(5,0)M 若直线l 上存在点P 使||4PM =则称该直线为点(5,0)M 的“相关直线”，下列直线中不是点(5,0)M 的“相关直线”的是（）A ．3y x =-B ．2y =C ．430x y -=D ．210x y -+=二、多选题9．已知直线l ：20x y λλ+--=，圆C ：221x y +=，O 为坐标原点，下列说法正确的是（）A ．若圆C 关于直线l 对称，则2λ=-B ．点O 到直线lC ．存在两个不同的实数λ，使得直线l 与圆C 相切D ．存在两个不同的实数λ，使得圆C 上恰有三个点到直线l 的距离为1210．已知圆1F ：()()222328x y m m ++=≤≤与圆2F ：()()222310x y m -+=-的一个交点为M ，动点M 的轨迹是曲线C ，则下列说法正确的是（）A ．曲线C 的方程为22110064x y +=B ．曲线C 的方程为2212516x y +=C ．过点1F 且垂直于x 轴的直线与曲线C 相交所得弦长为325D ．曲线C 上的点到直线4510x ++=11．在边长为2的正方体ABCD A B C D -''''中，M 为BC 边的中点，下列结论正确的有（）A ．AM 与DB ''所成角的余弦值为10B ．过A ，M ，D ¢三点的正方体ABCD A BCD -''''的截面面积为3C ．当P 在线段A C '上运动时，PB PM '+的最小值为3D ．若Q 为正方体表面BCC B ''上的一个动点，E ，F 分别为AC '的三等分点，则QE QF +的最小值为三、填空题12．通过科学研究发现：地震时释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lg 4.8 1.5E M =+.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为1E ，2E ，则12E E =13．直线()243410a x ay +-+=的倾斜角的取值范围是.14．如图，设1F ，2F 分别是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，点P 是以12F F 为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长2PF 与椭圆交于点Q ，若222PF F Q =，则直线1PF的斜率为.四、解答题15．已知两圆222610x y x y +---=和2210120x y x y m +--+=．求：(1)m 取何值时两圆外切？(2)当45m =时，两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．16．在ΔA 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=（1）求sin sin CA的值（2）若1cos ,24B b ==，求ΔA 的面积.17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ．2PA AB AD ===，四边形ABCD 满足AB AD ⊥，//BC AD ，4BC =，点M 为PC 中点，点E 为BC 边上的动点（Ⅰ）求证：//DM 平面PAB ．（Ⅱ）是否存在点E ，使得二面角P DE B --的余弦值为23？若存在，求出线段BE 的长度；若不存在，说明理由．18．某校高一年级设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标（正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑）考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示.(1)由频率分布直方图，求出图中t 的值，并估计考核得分的第60百分位数；(2)为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从得分在[)70,90内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自[)70,80和[)80,90的概率；(3)若一个总体划分为两层，通过按样本量比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m ，x ，21s ；n ，y ，22s .记总的样本平均数为w ，样本方差为2s ，证明：()(){}22222121s m s x w n s y w m n ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+.19．已知动直线l 与椭圆C:22132x y +=交于()11,P x y ，()22,Q x y 两个不同点，且OPQ ∆的面积OPQ S ∆,其中O 为坐标原点.(1)证明2212x x +和2212y y +均为定值;(2)设线段PQ 的中点为M ，求OM PQ ⋅的最大值；(3)椭圆C 上是否存在点D ，E ，G ，使得ODE ODG OEG S S S === 判断DEG △的形状；若不存在，请说明理由.。
湖南省长沙市第一中学2025届高三上学期阶段性检测(一) 数学试题[含答案]
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长沙市一中2024—2025学年度高三阶段性检测（一）数学试卷时量：120分钟总分：150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合,集合,则（ ）{||1}A x x =<∣{B x y ==∣A B = A ．B ．C ．D ．(1,1)-(0,1)[0,1)(1,)+∞2．已知复数z 满足,则复数在复平面内对应的点位于（ ）i 12i z =-+z A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知一个古典概型，其样本空间中共有12个样本点，其中事件A 有6个样本点，事件B 有4个样本点，事件有8个样本点，则（ ）A B +()P AB =A ．B ．C ．D ．231213164．己知等差数列的前5项和,且满足,则等差数列的公差为（ ）{}n a 535S =5113a a ={}n a A ． B ．C ．1D ．33-1-5．已知的展开式中的系数为80，则m 的值为（ ）51(2)my x y x ⎛⎫+-⎪⎝⎭24x y A ．B ．2C ．D ．12-1-6．如图，正方形中，是线段上的动点，且,则ABCD 2,DE EC P = BE (0,0)AP x AB y AD x y =+>>的最小值为（ ）11x y+A ．B ．C D ．47．设,则下列关系正确的是（ ）0.033,ln1.03,e 1103a b c ===-A ．B ．C ．D ．a b c >>b a c >>c b a >>c a b>>8．已知，则1tan 1tan()tan 6,tan tan 3222tan 2αβαβπαβαβαβ⎛⎫⎪--⎡⎤⎛⎫-+-=-=⎪ ⎪⎢⎥-⎣⎦⎝⎭ ⎪⎝⎭（ ）cos(44)αβ+=A ． B ． C ． D ．7981-79814981-4981二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为,则下列说法正确的是（ ）lg 4.8 1.5E M =+A ．地震释放的能量为焦耳时，地震里氏震级约为七级15.310B ．八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍C ．八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍D ．记地震里氏震级为,地震释放的能量为,则数列是等比数列(1,2,,9,10)n n = an {}an 10．已知双曲线的左、右焦点分别为，点P 在双曲线的右支上，现有四2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>12,F F 个条件：①;②；③平分;④点P 关于原点对称的点为Q ,且120PF PF ⋅=1260F F P ∠=︒PO 12F PF ∠,能使双曲线C 的离心率为）12||PQ F F =1+A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④11．如图，是底面直径为2高为1的圆柱的轴截面，四边形绕逆时针旋转ABCD 1OO 1OO DA 1OO 到,则（ ）(0)θθπ≤≤111OO D A A ．圆柱的侧面积为 B ．当时，1OO 4π0θπ<<11DD A C⊥C ．当时，异面直线与所成的角为D ．3πθ=1A D 1OO 4π1A CD △三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．如图，某景区共有A ,B ,C ,D ,E 五个景点，相邻景点之间仅设置一个检票口供出入，共有7个检票口，工作人员为了检测检票设备是否正常，需要对每个检票口的检票设备进行检测若不重复经过同一个检票口，依次对所有检票口进行检测，则共有___________种不同的检测顺序．13．已知函数在上是增函数，且，则的取()sin ()f x x ωω=∈R 7,212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭3244f f ππ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12f π⎛⎫- ⎪⎝⎭值的集合为___________．14．斜率为1的直线与双曲线交于两点A ，B ,点C 是曲线E 上的一点，满足2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>和的重心分别为的外心为R ,记直线的斜率为,,AC BC OAC ⊥△OBC △,,P Q ABC △,,OP OQ OR 123,,k k k 若，则双曲线E 的离心率为___________．1238k k k =-四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（13分）设函数．2()ln ()f x x ax x a =-++∈R （1）若,求函数的单调区间；1a =()f x （2）设函数在上有两个零点，求实数a 的取值范围（其中e 是自然对数的底数）()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦16．（15分）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，四边形为矩形，平面1111ABCD A B C D -ABCD 11CC D D 平面为线段的中点，且．11CC D D ⊥,ABCD E 1CD BE CE =（1）求证：平面;AD ⊥11BB D D（2）若,直线与平面的余弦4,2AB AD ==1A E 11BB D D 1D AB D --值．17．（15分）软笔书法又称中国书法，是我国的国粹之一，琴棋书画中的“书”指的正是书法．作为我国的独有艺术，软笔书法不仅能够陶冶情操，培养孩子对艺术的审美还能开发孩子的智力，拓展孩子的思维与手的灵活性，对孩子的身心健康发展起着重要的作用．近年来越来越多的家长开始注重孩子的书法教育．某书法培训机构统计了该机构学习软笔书法的学生人数（每人只学习一种书体），得到相关数据统计表如下：书体楷书行书草书隶书篆书人数2416102010（1）该培训机构统计了某周学生软笔书法作业完成情况，得到下表，其中．60a ≤认真完成不认真完成总计男生5aa女生总计60若根据小概率值的独立性检验可以认为该周学生是否认真完成作业与性别有关，求该培训机构学习0.10α=软笔书法的女生的人数．（2）现从学习楷书与行书的学生中用分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记4人中学习行书的人数为X ,求X 的分布列及数学期望．参考公式及数据：．22(),()()()()n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++α0.100.050.01x α2.7063.8416.63518．（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆C 上一点，且到的距离2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,,(2,3)F F A 12,F F 之和为8．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设B 为A 关于原点O 的对称点，斜率为k 的直线与线段（不含端点）相交于点Q ,与椭圆C 相交于AB 点M ,N ,若为常数，求与面积的比值．2||||||MN AQ BQ ⋅AQM △AQN △19．（17分）设满足以下两个条件的有穷数列为阶“曼德拉数列”：12,,,n a a a (2,3,4,)n n =①；②．1230n a a a a ++++= 1231n a a a a ++++= （1）若某阶“曼德拉数列”是等比数列，求该数列的通项（,用k ,n 表示）；()*2k k ∈N n a 12n k ≤≤（2）若某阶“曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项（,用k ,n 表示）；()*21k k +∈N n a 121n k ≤≤+（3）记n 阶“曼德拉数列”的前k 项和为,若存在,使,试{}n a (1,2,3,,)k S k n = {1,2,3,,}m n ∈ 12m S =问：数列能否为n 阶“曼德拉数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理{}(1,2,3,,)i S i n = 由．长沙市一中2024—2025学年度高三阶段性检测（一）数学参考答案一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．C【解析】，故．故选C ．{11},{0}A xx B x x =-<<=≥∣∣{01}[0,1)A B x x =≤<= ∣2．D【解析】，212i (12i)ii 12i 2i 2i i iz z z -+-+⋅=-+⇒===+⇒=-所以复数在复平面内对应的点位于第四象限，故选D z 3．D【解析】根据概率公式计算可得；由概率的加法公式可614182(),(),()122123123P A P B P A B ====+==知,代入计算可得()()()()P A B P A P B P AB +=+-1()6P AB =故选：D 4．D【解析】,解得,故选D 5151151035;413S a d a a d a =+==+=13,1d a ==5．A 【解析】，55511(2)(2)(2)my x y x y my x y x x ⎛⎫+-=-+- ⎪⎝⎭在的展开式中，由,51(2)x y x-155455(2)()(1)2r r r r r r r r x C x y C x y -----=-⋅令，得r 无解，即的展开式没有的项；424r r -=⎧⎨=⎩51(2)x y x -24x y 在的展开式中，由,5(2)my x y -555155(2)()(1)2rr r r r r r r myC x y mC x y ---+-=-⋅令,解得，5214r r -=⎧⎨+=⎩3r =即的展开式中的项的系数为,5(2)my x y -24x y 35335(1)240mC m --⋅=-又的展开式中的系数为80，5(2)()x my x y +-24x y 所以,解得,故选A ．4080m -=2m =-6．C【解析】正方形中，,则,ABCD 2DE EC = 2233AD AE ED AE CD AE AB =+=+=-而,则，AP x AB y AD =+ 2233AP xAB y AE AB x y AB y AE ⎛⎫⎛⎫=+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又点B,P ,E 共线，于是,即,而，213x y y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭13yx +=0,0x y >>因此，1111443333y x y x x y x y y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当，即时取等号，3x y y x=y ==所以当时，．x y ==11x y +故选：C 7．C【解析】记．()e 1,(0)xf x x x =--≥因为,所以当时，,所以在上单调递增函数，()e 1xf x '=-0x >()0f x '>()f x (0,)+∞所以当时，,即,所以．0x >()(0)0f x f >=1xe x ->0.03e 10.03->记．()ln(1),(0)g x x x x =+-≥因为，所以在上单调递增函数，1()1011xg x x x-'=-=<++()g x (0,)+∞所以当时，,即,所以．0x >()(0)0g x g <=ln(1)x x +<ln1.030.03<所以．记．c b >()ln(1),(0)1xh x x x x=+-≥+因为，所以当时，，2211()1(1)(1)x h x x x x '=-=+++0x >()0h x '>所以在上单调递增函数，()h x (0,)+∞所以当时，,即,所以．0x >()(0)0h x h >=ln(1)1x x x +>+0.033ln1.0310.03103>=+所以,综上所述：．b a >c b a >>故选：C 8．A【解析】，1tan 1tan()tan 622tan 2αβαβαβαβ⎛⎫⎪--⎡⎤-+-=⎪⎢⎥-⎣⎦ ⎪⎝⎭．2221tan 2tan 2216tan1tan 22αβαβαβαβ--⎛⎫- ⎪+= ⎪-- ⎪-⎝⎭，2221tan 2tan2cos()226sin()1tan 2αβαβαβαβαβ--⎛⎫-+ ⎪-= ⎪-- ⎪-⎝⎭，221tan2cos()2cos()126,6sin()sin()cos()1tan 2αβαβαβαβαβαβαβ-⎛⎫+ ⎪--=⨯=⎪---- ⎪-⎝⎭，11sin(),sin cos cos sin 33αβαβαβ-=-=又因为，所以，tan tan 32παβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos 3cos sin αβαβ=则,所以11cos sin ,sin cos 62αβαβ==2sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=．241cos(22)12sin ()1299αβαβ+=-+=-⨯=．2179cos(44)2cos (22)1218181αβαβ+=+-=⨯-=-故选：A二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．ACD【解析】对于A:当时，由题意得,15.310E =15.3lg104.8 1.5M =+解得,即地震里氏震级约为七级，故A 正确；7M =对于B:八级地震即时，,解得,8M =1lg 4.8 1.5816.8E =+⨯=16.8110E =所以，16.81.5115.3101010 6.310E E ==>≠所以八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的倍，故B 错误；1.510对于C:六级地震即时，,解得,6M =2lg 4.8 1.5613.8E =+⨯=13.8210E =所以,16.83113.821010100010E E ===即八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍，故C 正确；对于D:由题意得,lg 4.8 1.5(1,2,,9,10)n a n n =+= 所以，所以4.8 1.510n n a += 4.8 1.5(1) 6.31.511010n nn a ++++==所以，即数列是等比数列，故D 正确；6.31.5 1.51 4.81.5101010nn n n a a +++=={}an 故选：ACD 10．AD【解析】③平分且为中线，可得,PO 12F PF ∠PO 12PF PF =点P 在双曲线的右支上，所以不成立；若选①②：可得,1212120,60,2PF PF F F P F F c ⋅=∠=︒=21,PF c PF ==，即离心率为，成立；2c a -=1c e a ===+若选②④：，点P 关于原点对称的点为Q ,1260F F P ∠=︒且，可得四边形为矩形，12||PQF F =12F QF P 即可得,1212,2PF PF F F c ⊥=12,PF c PF ==,即离心率为,成立；2c a -=1c e a ===+故选：AD 11．BC【解析】对于A,圆柱的侧面积为，A 错误；1OO 2112ππ⨯⨯=对于B,因为，所以,又,0θπ<<11DD D C ⊥111DD A D ⊥所以平面,所以,B 正确；1DD ⊥11A D C 11DD A C ⊥对于C,因为,所以就是异面直线与所成的角，因为，所以111A D OO ∥11DA D ∠1A D 1OO 113DO D π∠=为正三角形，所以,因为,所以，C 正确；11DO D △1111DD A D ==111A D DD ⊥114DA D π∠=对于D,作,垂足为E ,连接,所以平面,所以．1D E DC ⊥1A E DC ⊥11A D E 1A E DC ⊥在中，11Rt A D E △1A E ==≤=,所以,D 错误．1111222A CD S DC A E =⨯⨯≤⨯=△()1maxA CDS =△故选：BC ．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．32【解析】如图将5个景区抽象为5个点，见7个检票口抽象为7条路线，将问题化归为不重复走完7条路线，即一笔画问题，从B 或E 处出发的线路是奇数条，其余是偶数条，可以判断只能从B 或E 处出发才能不重复走完7条路线，由于对称性，只列出从B 处出发的路线情形即可．①走路线：3126547,3126745,3147526,3147625,3156247,3157426，共6种；BA ②走路线：4137526,4137625,4265137,4267315,4562137,4573126，共6种；BC ③走路线：7513426,7543126,7621345,7624315，共4种；BE 综上，共有种检测顺序．()266432⨯++=故答案为：3213．11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】由可知，，得，3244f f ππ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32442T nT πππ+=-=,21T n n π=∈+Z 所以,2||42n Tπω==+又函数在上是增函数，()sin ()f x x ωω=∈R 7,212ππ⎛⎫⎪⎝⎭所以，即，所以，7212212T πππ≥-=6T π≥||12ω≤所以，的可能取值为．ω2,6,10±±±当时，由解得，0ω>2222k x k πππωπ-+≤≤+22,22k k x k ππππωωωω-+≤≤+∈Z 经检验，,6,10时不满足题意；2ω=当时，由解得,0ω<2222k x k πππωπ-+≤≤+22,22k k x k ππππωωωω+≤≤-+∈Z 经检验，时满足题意．2,6ω=--所以，的可能取值为．12f π⎛⎫-⎪⎝⎭1sin ,sin 11262122f f ππππ⎛⎫⎛⎫-==-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭14【解析】若直线与双曲线有两个交点G ,H ,设G ,H 的中点为K ，y kx m =+22221x y a b -=联立方程组，整理得,22221y kx m x y ab =+⎧⎪⎨-=⎪⎩()22222222220b a k x a kmx a m a b ----=可得,则，22222G H a km x x b a k +=-22222G H K x x a kmx b a k+==-又由在直线上，可得，(),K K K x y y kx m =+22222222K a km b my m b a k b a k =+=--所以，所以，22K OKK y b k x ka ==22GH OK b k k a ⋅=即直线l 与双曲线相交线的中点与原点的连线的斜率与直线l 的斜率之积为定值，22b a如图所示，取的中点M ,N ,,AC BC 因为的重心P 在中线上，的重心Q 在中线上，OAC △OM OBC △ON所以,可得，12,OP OM OQ ON k k k k k k ====22$OM AC ON BCb k k k k a⋅=⋅=即，2122AC BCb k k k k a⋅=⋅=又由,可得，可得AC BC ⊥1AC BCk k ⋅=-22122b k k a ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭因为,且的外心为，点R ,则R 为线段的中点，AC BC ⊥ABC △AB 可得，因为，所以，22OR ABb k k a ⋅=1AB k =22OR b k a=所以，所以，3212328b k k k a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ba =所以c e a ===．四、解答题（本题共6小题，共70分）15．解：（1）当时，的定义域为,1a =2()ln ,()f x x x x f x =-++(0,)+∞，2121()21x x f x x x x-++'=-++=令,则,解得,()0f x '>2210x x --<01x <<令,则,解得．()0f x '<2210x x -->1x >∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为．()f x (0,1)(1,)+∞（2）令,则．2()ln 0f x x ax x =-++=ln xa x x=-令，其中，ln ()x g x x x =-1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则．2221ln ln 1()1x xx x x g x x x⋅-+-'=-=令,解得,令,解得．()0g x '>1e x <≤()0g x '<11ex ≤<的单调递减区间为，单调递增区间为,()g x ∴1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭(1,e]．min ()(1)1g x g ∴==又,函数在上有两个零点，111e ,(e)e e ee g g ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的取值范围是．a ∴11,e e ⎛⎤- ⎥⎝⎦16．解：（1）在中，E 为线段的中点，且,所以,1BCD △1CD BE CE =1D E CE BE ==所以为直角三角形，且，所以,111,2BE CD BCD =△190CBD ∠=︒1D B BC ⊥因为底面为平行四边形，,所以,ABCD AD BC ∥1AD D B ⊥又因为四边形为矩形，所以,11CC D D 1D D DC ⊥因为平面平面,平面平面平面,11CC D D ⊥ABCD 11CC D D 1,ABCD DC D D =⊂11CC D D 所以平面,1D D ⊥ABCD 因为平面,所以,AD ⊂ABCD 1AD D D ⊥因为平面,11111,,D D D B D D D D B =⊂ 11BB D D 所以平面．AD ⊥11BB D D （2）因为平面平面,所以,AD ⊥11,BB D D BD ⊂11BB D D AD BD ⊥由（1）知平面,又平面,所以,11,D D AD D D ⊥⊥ABCD BD ⊂ABCD 1D D BD ⊥所以两两垂直，1,,DA DB DD 以D 为坐标原点，所在直线为x 轴，所在直线为y 轴，DA DB所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，1DD 在中，,所以,Rt ADB △4,2AB AD ==DB ==设,则,1(0)DD t t =>1(0,0,0),(2,0,0),(2,0,),,(0,2t D A A t E B ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以,1,(2,2t A E AB ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭易知平面的一个法向量为,11BB D D (2,0,0)DA =设直线与平面所成的角为,1A E 11BB D D θ则,解得111sin cos ,||A E DAA E DA A E DA θ⋅====t =所以,11(0,0,(2,0,D AD =-设平面的法向量为1ABD (,,)m x y z =则，令,12020AB m x AD m x⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ x =m = 易知平面的一个法向量为,ABCD (0,0,1)n =则，cos ,||||m n m n m n ⋅===易知二面角是锐角，故二面角1D AB D --1D AB D --17．解：（1）根据题意，完成列联表如下：认真完成不认真完成总计男生45a 5a a女生4605a -205a -80a-总计602080由题意可得，2244802060555516 2.7066020(80)15(80)a a a a a a a a χ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦==≥⨯⨯⨯--得．57.38a >易知a 为5的倍数，且，所以,60a ≤60a =所以该培训机构学习软笔书法的女生有（人）．806020-=（2）因为学习软笔书法的学生中学习楷书与行书的人数之比为，24:163:2=所以用分层随机抽样的方法抽取的10人中，学习楷书的有（人），学习行书的有310632⨯=+（人），210432⨯=+所以X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，，4312266464444101010C C C C C 151808903(0),(1),(2)C 21014C 21021C 2107P X P X P X ============．134644441010C C C 2441(3),(4)C 21035C 210P X P X =======X 的分布列为：X 01234P114821374351210所以．183418()0123414217352105E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=18．解：（1）由椭圆的定义得,所以．1228AF AF a +==4a =又为椭圆C 上一点，所以，(2,3)A 22491a b+=将代入，得,4a =212b =所以椭圆C 的标准方程为．2211612x y +=（2）因为B 为A 关于原点O 的对称点，所以,直线的方程为．()2,3B --AB 32y x =设,则直线的方程为,()()2,311Q t t t -<<MN ()32y t k x t -=-联立得，可得,22116123(2)x y y t k x t ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩()2222438(32)4(32)480k x kt k x t k ++-+--=由点Q 在椭圆内，易知，0∆>不妨令,则，()()1122,,,M x y N x y 221212228(23)4(32)48,4343kt k t k x x x x k k ---+=⋅=++所以．()()()()()()222222222121212224811612(32)||11443k k t k MN kx x k x x x x k⎡⎤++--⎣⎦⎡⎤=+-=++-=⎣⎦+又,()2||||131AQ BQ t ⋅==-所以为常数，()()()222222224811612(32)||||||13431k k t k MN AQ BQ k t ⎡⎤++--⎣⎦=⋅+-则需满足为常数，22221612(32)1k t k t+---（此式为与t 无关的常数，所以分子与分母对应成比例）即，解得．221612(32)k k +=-12k =-将代入，可得,得，12k =-1228(23)43kt k x x k -+=+124x x t +=1222x x t +=所以Q 为的中点，MN 所以．||1||AQM AQNS MQ S NQ ==△△19．解：（1）设等比数列的公比为q ．1232,,,,(1)k a a a a k ≥ 若，则由①得,得,1q ≠()21122101k k a q a a a q-+++==- 1q =-由②得或．112a k =112a k=-若,由①得，,得,不可能．1q =120a k ⋅=10a =综上所述，．1q =-或．11(1)2n n a k -∴=-11(1)2n n a k-=--（2）设等差数列的公差为d ,12321,,,,(1)k a a a a k +≥ ,123210k a a a a +++++= ,112(21)(21)0,02k k dk a a kd +∴++=+=即,120,k k a a d ++=∴=当时，“曼德拉数列”的条件①②矛盾，0d =当时，据“曼德拉数列”的条件①②得，0d >，()23211212k k k k a a a a a a ++++++==-+++ ，即，(1)122k k kd d -∴+=1(1)d k k =+由得，即，10k a +=110(1)a k k k +⋅=+111a k =-+．()*111(1),211(1)(1)n n a n n n k k k k k k k∴=-+-⋅=-∈≤++++N 当时，同理可得，0d <(1)122k k kd d -+=-即．1(1)d k k =-+由得,即，10k a +=110(1)a k k k -⋅=+111a k =+．()*111(1),211(1)(1)n n a n n n k k k k k k k∴=--⋅=-+∈≤++++N 综上所述，当时，,0d >()*1,21(1)n n a n n k k k k∴=-∈≤++N 当时，．0d <()*1,21(1)n n a n n k k k k=-+∈≤++N （3）记中非负项和为A ,负项和为B ,则,12,,,n a a a 0,1A B A B +=-=得，即．1111,,2222k A B B S A ==--=≤≤=1(1,2,3,,)2k S k n ≤= 若存在，使，由前面的证明过程知：{1,2,3,,}m n ∈ 12m S =，且． 12120,0,,0,0,0,,0m m m n a a a a a a ++≥≥≥≤≤≤ 1212m m n a a a +++++=- 若数列为n 阶“曼德拉数列”，{}(1,2,3,,)i S i n = 记数列的前k 项和为,则．{}(1,2,3,,)i S i n = k T 12k T ≤，1212m m T S S S ∴=+++≤又,1211,02m m S S S S -=∴==== ．12110,2m m a a a a -∴===== 又，1212m m n a a a +++++=- ，12,,,0m m n S S S ++∴≥ ，123123n n S S S S S S S S ∴++++=++++ 又与不能同时成立，1230n S S S S ++++= 1231n S S S S ++++= ∴数列不为n 阶“曼德拉数列{}(1,2,3,,)i S i n =。
2024届湖南省长沙市第一中学高考最后一卷数学试题(含解析)
长沙市一中2024届高考最后一卷数学试卷本试卷总分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A.B.C.D.2.若复数满足，则可以为（ ）A.B.C.D.3.已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）A.0.2B.0.3C.0.7D.0.84.已知直线，圆，则“”是“直线上存在点，使点在圆内”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.在平行四边形中，，点为该平行四边形所在平面内的任意一点，则的最小值为（）A.6B.8C.10D.126.地震震级通常是用来衡量地震释放能量大小的数值，里氏震级最早是由查尔斯•里克特提出的，其计算基于地震波的振幅，计算公式为，其中表示某地地震的里氏震级，表示该地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅，表示这次地震中的标准地震振幅.假设在一次地震中，某地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅为5000，且这次地震的标准地震振幅为0.002，则该地这次地震的里氏震级约为（ ）（参考数据：）A.6.3级B.6.4级C.7.4级D.7.6级{}2,{|ln 1}M xx N x x ==<∣…M N ⋂=[)2,e []2,1-[)0,2(]0,2z i z z =z 1i +1i -12i +12i-X ()2,Nμσ(2)(2)0.3,0P X k P X k k <-=>+=>(22)P X k <+=…:0l kx y -+=22:1O x y +=1k <l P P O ABCD 24AC BD ==P 2222||||||||PA PB PC PD +++ 0lg lg M A A =-M A 0A lg20.3≈7.已知双曲线的左､右焦点分别为为的渐近线上一点.若，则的离心率为（ ）B.2D.8.已知正方体的棱长为是棱的中点，空间中的动点满足，且，则动点的轨迹长度为（ ）B.3C.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则下列说法正确的是（ ）A.的最大值为2B.函数的图象关于直线对称C.不等式的解集为D.若在区间上单调递增，则的取值范围是10.某校在运动会期间进行了一场“不服来战”对抗赛，由篮球专业的1名体育生组成甲组，3名非体育生的篮球爱好者组成乙组，两组进行对抗比赛.具体规则为甲组的同学连续投球3次，乙组的同学每人各投球1次.若甲组同学和乙组3名同学的命中率依次分别为，则（ ）A.乙组同学恰好命中2次的概率为B.甲组同学恰好命中2次的概率小于乙组同学恰好命中2次的概率C.甲组同学命中次数的方差为D.乙组同学命中次数的数学期望为11.设无穷数列的前项和为，且.若存在，使成立，则（ ）A.2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>()()12,0,,0,F c F c P -C 12PF F 2212,3PF PF c ⋅=C 1111ABCD A B C D -2,M 1CC P DP BM ⊥11D P =P 2π()π,03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭()f x ()f x ()1ππ6x k k ω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭Z ()32f x >()()61π2π,3k k k ωω⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ()f x ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ω10,3⎛⎤⎥⎝⎦2125,,,32561330232615{}n a n n S 212n n n a a a +++=*k ∈N 12k k k S S S ++>>1n k a a +…B.C.不等式的解集为D.对任意给定的实数，总存在，当时，三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数则不等式的解集为__________.13.已知椭圆的离心率为，过的左焦点且斜率为1的直线与交于两点.若，则的焦距为__________.14.在直三棱柱中，是棱上一点，平面将直三棱柱分成体积相等的两部分.若四点均在球的球面上，则球的体积为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）记的内角的对边分别为，已知.（1）若，求的值；（2）若是边上的一点，且平分，求的长.16.（15分）若各项均为正数的数列满足（为常数），则称为“比差等数列”.已知为“比差等数列”，且.（1）求的通项公式；（2）设求数列的前项和.17.（15分）如图，在四棱台中，，.1n k S S +…0n S <{}*23n n k ∈+N ∣…p *0n ∈N 0n n >n a p<()321,1,1,x x x f x x ⎧+-⎪=>…()()224f x f x +<--2222:1(0)x y C a b a b+=>>12C C ,A B 12AB =C 111ABC A B C -14,AC BC AB AA E ====1CC 1AB E 111ABC A B C -11,,,A B A E O O ABC ,,A B C ,,a b c 2,4a b ==cos 2cos cos B A c C +=C D AB CD 1,cos 9ACB ACB ∠∠=-CD {}n c 2211n n n n n c c c kc c +++-=*,n k ∈N {}n c {}n a 1245515,,32816a a a a ==={}n a 1,,1,n n n a n b b n -⎧=⎨+⎩为奇数为偶数{}n b n n S 1111ABCD A B C D -AD ∥1,,2,3,4BC AB DD CD AD BC ⊥===30ADB ∠=（1）证明：平面平面；（2）若，四棱台，求平面与平面夹角的余弦值.18.（17分）已知抛物线，过点的直线与交于不同的两点.当直线的倾斜角为时，（1）求的方程；（2）在线段上取异于点的点，且满足，试问是否存在一条定直线，使得点恒在这条定直线上？若存在，求出该直线；若不存在，请说明理由.19.（17分）已知函数.（1）求的最小值；（2）设函数，讨论零点的个数.长沙市一中2024届高考最后一卷选择题答案速查一､单选题1.D 【解析】因为，所以.2.B 【解析】设，则.由，得，所以，只有选项B11ADD A ⊥ABCD 1AA AD ⊥1111ABCD A B C D -112B C =ABCD 11CDD C 2:2(0)C y px p =>()0,2D l C ,A B l 135AB =C AB ,A B E DA AE DBEB=E ()()e 1,ln ,xf x xg x x mx m =-=-∈R ()f x ()()()h x f x g x =-()h x []()2,2,0,e M N =-=(]0,2M N ⋂=()i ,z a b a b =+∈R i za b -i z z =i i a b b a -=-+0a b +=符合要求.3.A 【解析】根据正态曲线的对称性，由，得，所以.4.B 【解析】由直线上存在点，使点在圆内，得直线与圆1，解得，即，所以“1”是“直线上存在点，使点在圆内”的必要不充分条件.5.C 【解析】设与的交点为，由，得，同理可得，所以，当点与点重合时，等号成立.6.B 【解析】 6.4.7.B 【解析】不妨设点在第一象限内，为坐标原点，由.，得.由，得点到，所以的一条渐近线的倾斜角为，其斜率为的离心率.8.D 【解析】如图，分别取的中点，连接.易知，，且，所以平面.由，得点在平面内.由，得点在以为球心，半径为1的球面上，因此动点的轨迹为平面与球的球面的交线，即在平面内的圆.连接，设点到平面的距离为，平面截球所得截面圆的半径为，则由得，且，则，因此动点(2)(2)P X k P X k <-=>+2μ=(22)0.50.30.2P X k <+=-=…l P P O l O 11k -<<()1,1k ∈-k <l P P O AC BD O PA PO OA =+222||||||2PA PO OA PO OA =++⋅ 222222222||||||2,||||||2,||||||2PB PO OB PO OB PC PO OC PO OC PD PO OD PO OD=++⋅=++⋅=++⋅ 2222||||||||PA PB PC PD +++=2222224||||||||||2()4||1010PO OA OB OC OD PO OA OB OC OD PO +++++⋅+++=+ …P O ()100002lg5000lg0.002lglg 4lg2lg2372lg221000M =-=-=---=-≈P O ()121PF PF PO OF ⋅=+()2222||3PO OF OP c c +=-=2OP c =12PF F 2P x C 60 C 2e =====1111,A D B C ,E F ,,DE EF CF BM CF ⊥BM CD ⊥CF CD C ⋂=BM ⊥CDEF DP BM ⊥P CDEF 11D P =P 1D P CDEF 1D CDEF DF 1D DEF h DEF 1D r 1D DEF V -=三棱锥1-F DED V 三棱锥1112332DEF h S ⋅=⨯⨯⨯ 21⨯122DEF S =⨯= h =r ==P二､多选题9.BCD 【解析】，故A 错误；令，得，所以函数的图象关于直线对称，故B 正确；不等式可化为，则，解得，因此原不等式的解集为，故C 正确；由，，解得.由在区间上单调递增，可得，解得，故D 正确.10.BCD 【解析】设“乙组同学恰好命中2次”为事件，则，故A 错误；设“甲组同学恰好命中2次”为事件，则.因为，故B 正确；因为甲组同学每次命中的概率都为，设甲组同学命中次数为，则，故，故C 正确；设乙组同学命中次数为随机变量，则的所有可能取值为0，，所以，()f x πππ,32x k k ω+=+∈Z 1ππ,6x k k ω⎛⎫=⋅+∈ ⎪⎝⎭Z ()f x ()1ππ6x k k ω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭Z ()32f x >πsin 3x ω⎛⎫+> ⎪⎝⎭ππ2π2π2π,333k x k k ω+<+<+∈Z ()61π2π,3k k x k ωω+<<∈Z ()()61π2π,3k k k ωω⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z πππ2π2π232k x k ω-++……k ∈Z 5ππ2π2π66,k k x k ωω-+∈Z ……()f x ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ππ5ππ,,2266ωω⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦103ω<…M ()125125125911125625625620P M ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭N ()223214C 339P N ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭94209>23X 23,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭()233D X =⨯⨯1233=Y Y 1,2,3125112(0)111,(1)12562025P Y P Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯-===⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭5125125111(11162562563⎛⎫⎛⎫⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭⎝⎭，故，故D 正确.11.BCD 【解析】由，得.由题意知是等差数列，公差，所以是递减数列，所以是最大项，且随着的增加，无限减小，故A 错误､D正确；因为当时，；当时，，所以的最大值为，故B 正确；因为1），，所以当时，；当时，，故C 正确.三､填空题12. 【解析】由题意知在上单调递增.设，则在上也单调递增.又，所以原不等式可化为，所以原不等式的解集为.13.7 【解析】由，得，从而，所以椭圆的方程可化为，直线的方程为.联立得，则.设，则，所以，得，所以的焦距为.14.【解析】如图，连接.因为，所以，所以，所以，因此，即为的中点.取的中点的中点，连接，则，且，所以四边形为平行四边形，所以.因为，所以，所以平面，则平面.因为是的外心，且的外接圆半径，三棱锥的高.设球()()()912512,3202566P Y P M P Y =====⨯⨯=()119126012320320615E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=12k k k S S S ++>>21120,0,0k k k k a a a a +++++<>>{}n a 210k k d a a ++=-<{}n a 1a n n a 1n k +…0n a >2n k +…0n a <n S 1k S +21(2k S k +=+()12320,230k k k a S k a +++>=+<()()()122221222102k k k k a a S k k a a +++++=⨯+=+⋅+>22n k +…0n S >23n k +…0n S <(),4∞-()f x R ()()()24g x f x f x =++-()g x R ()()()460312g f f =+=-=()()4g x g <(),4∞-1e 2=2a c =b =C 22234120x y c +-=AB y x c =+222,34120,y x c x y c =+⎧⎨+-=⎩227880x cx c +-=222Δ644782880c c c =+⨯⨯=>()()1122,,,A x y B x y 2121288,77x x c x x c +=-=-24127c AB ====72c =C 27c =500π311,B C AC 1111113ABCBB ABC ABC A B C V V V --==三棱锥三棱锥三棱柱111116ACEB ABCA B C V V =三棱锥三棱柱112ABCB A CEB V V -=三棱锥三棱锥112BCB CEB S S = 112BB CE CC ==E 1CC 1AB ,M AB N ,,ME MN CN 112MN CE BB ==MN ∥CE MNCE ME ∥CN AC BC =CN AB ⊥CN ⊥11ABB A ME ⊥11ABB A M 11AA B 11AA B 3r MA ===11E AA B -1h ME CN ====的半径为，则，则5，所以球的体积.四､解答题15.解：（1）由题意得，所以.由正弦定理，得，即.又，所以.又，所以.因为，所以.（2）由，得，解得.由，得，即，所以.O R 222()r h R R +-=222r h R h+==O 34500ππ33V R ==2cos 4cos B A +=2cos c C cos cos 2cos a B b A c C +=sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=()sin 2sin cos A B C C +=()sin sin A B C +=sin 2sin cos C C C =sin 0C ≠1cos 2C =()0,πC ∈π3C =1cos 9ACB ∠=-212cos129ACB ∠-=-2cos 23ACB ∠=ABC ADC BDC S S S =+ 11sin sin 222ACB ab ACB b CD ∠∠=⋅+1sin 22ACB a CD ∠⋅⋅()2cos 2ACBab a b CD ∠=+22242cos1632249ACBab CD a b ∠⨯⨯⨯===++16.解：（1）由为“比差等数列”，得，从而.设，则，所以数列为等差数列.因为，所以为常数列，因此，，即，所以是首项为，公比为的等比数列，因此.（2）当为偶数时，；当为奇数时，.综上，17.（1）证明：因为，所以.在中，由正弦定理，{}n a 2211n n n n n a a a ka a +++-=211n n n na a k a a +++-=1n n na d a +=1n n d d k +-={}n d 52141433,22a a d d a a ===={}n d 132n d d ==132n na a +={}n a 583215382n n a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭n ()()121311312222n n n n n n S b b b b b b a a a --=+++=++++=++++ 22591849321192422214nn n nn n ⎡⎤⎛⎫⎢⎥- ⎪⎢⎥⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎣⎦=⨯+=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-n ()11111313153133311112222821222n n n nn n n n n n n S S b b ++-++++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+--+=+--⨯-=⨯+⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1333,,122231,.22n n nn n S nn ⎧-⎛⎫⨯+⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+- ⎪⎪⎝⎭⎩为奇数为偶数AD ∥BC 30DBC ADB ∠∠== BCD得，所以，所以，则由勾股定理，得.在中，由余弦定理，得.因为，所以，即.又平面，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）解：由（1）知四棱台的下底面面积因为，所以上底面面积设四棱台的高为，则四棱台的体积为，所以.因为平面平面，平面平面，所以平面，所以两两垂直.sin sin CD BCDBC BDC∠∠=sinsin 1BC DBCBDC CD∠∠==90BDC ∠= BD ==ABD AB ==222AB AD BD +=90BAD ∠= AB AD ⊥111,,,AB DD AD DD D AD DD ⊥⋂=⊂11ADD A AB ⊥11ADD A AB ⊂ABCD 11ADD A ⊥ABCD 1111ABCD A B C D -113222ABD BCD S S S =+=+⨯⨯=1112B C BC =S '=1111ABCD A B C D -h 1111ABCD A B C D -()13h S S ='2h =11ADD A ⊥1,ABCD AA ⊥AD 11ADD A ⋂ABCD AD =1AA ⊥ABCD 1,,AB AD AA以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则所以.设平面的法向量为，则即令，得所以平面的一个法向量为.由题可知平面的一个法向量为.设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面.18.解：（1）设.A 1,,AB AD AA x y z 13(0,3,0),4,0),0,,22DCD ⎛⎫ ⎪⎝⎭)130,,2,2DD DC ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ 11CDD C (),,n x y z =10,0,n DD n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 320,20.y z y ⎧-+=⎪+=1x =y z ==11CDD C 1,n ⎛= ⎝ABCD ()0,0,1m =ABCD 11CDD C θ||cos |cos ,|||||m n m n m n θ⋅== ABCD 11CDD C ()()1122,,,A x y B x y若直线的倾斜角为，则直线的方程为.联立得，则，且，所以因为，故的方程为.（2）存在，定直线为.由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为.联立得.由，得且，.不妨设，则，过点向轴作垂线，垂足分别为点，如图，则，l 135 l 2y x =-+22,2,y x y px =-+⎧⎨=⎩()24240x p x -++=22Δ(42)164160p p p =+-=+>121242,4x x p x x +=+=AB ==AB =6p =C 212y x =3y x =AB l ()20y kx k =+≠212,2,y x y kx ⎧=⎨=+⎩()2241240k x k x +-+=220,Δ(412)160k k k ≠=-->32k <0k ≠1212221244,k x x x x k k -+==()1200,,x x E x y <1020x x x <<<,,A E B y 111,,A E B 1112DA AA x DB BB x ==.因为，所以，整理得，所以.代入直线的方程得.因为，所以点恒在直线上.19.解：（1）的定义域为1，则当时，；当时，，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，因此的最小值为.（2）.令，得.令，则与有相同的零点，且.令，0120AEx x EBx x -=-DA AEDBEB =011220x x x x x x -=-()120122x x x x x =+12012223x x x x x k==+-l 026233y k k k=⋅+=--003y x =E 3y x =()f x (),(f x x =+'R )e x 1x <-()0f x '<1x >-()0f x '>()f x (),1∞--()1,∞-+()f x ()111ef -=--()e ln 1x h x x x mx =-+-()0h x =ln 1e 0x x m x+-+=()ln 1e x x k x m x+=-+()h x ()k x ()()2221ln 1e ln e x x x x x k x x x'-++=-=()2e ln xr x x x =+则.因为当时，，所以在区间上单调递增.又，所以，使，且当时，，即；当时，，即，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，因此的最小值为.由，得，即.令，则在区间上单调递增.因为，所以，则，所以，从而，即()()212e x r x x x x =++'0x >()0r x '>()r x ()0,∞+()12e 1e 10,1e 0e r r -⎛⎫=-<=> ⎪⎝⎭01,1e x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()00r x =()00,x x ∈()0r x <()0k x '<()0,x x ∞∈+()0r x >()0k x '>()k x ()00,x ()0,x ∞+()k x ()0000ln 1e x x k x m x +=-+()00r x =0200e ln 0xx x +=001ln 001e ln e x xx x =()()1x f x ϕ=+()x ϕ()0,∞+011e x <<01ln 0x >()001ln x x ϕϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭00ln x x =-00ln x x =-001e ,x x =所以的最小值，所以当时，没有零点；当时，有一个零点；当时，因为，当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于，所以有两个零点.综上，当时，的零点个数为0；当时，的零点个数为1；当时，的零点个数为2.()k x ()0000ln1e 1x x k x m m x +=-+=+1m >-()k x 1m =-()k x 1m <-()00k x <x ()k x ∞+x ∞+()k x ∞+()k x 1m >-()h x 1m =-()h x 1m <-()h x。
【期中试卷】湖南省长沙一中教育集团2017届九年级上学期期中考试数学试卷
一中集团联考2016-2017学年度第一学期期中考试初三数学试卷时量：120分钟总分：120分命题：邓超校稿：文伟龙一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）1．﹣的倒数是（）A．﹣B．C．3 D．﹣32．下列计算正确的是（）A．3x2﹣4x2=﹣1 B．3x+x=3x2C．4x•x=4x2D．﹣4x6÷2x2=﹣2x3 3．据每日邮报报道，按照美国创业家伊隆•马斯克（Elon Musk）最近提出的“超级高铁”（Hyperloop）的设计，超级高铁的速度在理想状态下最高可以达到时速6500公里，预计从北京到纽约仅需2小时，但造价极高，每8公里造价高达620000000美元，数据620000000用科学记数法表示为（）A．6.2×109B．6.2×108 C．62×108 D．0.62×1094．下列说法不正确的是（）A．为了解全市中学生对长沙沙坪湘绣的知晓度的情况，适合用抽样调查B．若甲组数据方差S甲2=0.39，乙组数据方差S乙2=0.27，则乙组数据比甲组数据稳定C．某种彩票中奖的概率是，买100张该种彩票一定会中奖D．数据﹣1，1.5，2，2，4的中位数是26．下列关于x的方程中，没有实数解的是（）A．x2﹣4x+4=0 B．x2﹣2x﹣3=0 C．x2﹣2x=0 D．x2﹣2x+5=07．双十一期间，某网店对一品牌服装进行优惠促销，将原价a元的服装以（0.8a﹣20）元售出，则以下四种说法中可以准确表达该商店促销方法的是（）A．将原价降低20元之后，再打8折B．将原价打8折之后，再降低20元C．将原价降低20元之后，再打2折D．将原价打2折之后，再降低20元8．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则的值为（）A．B．2 C．D．9．如图，点P是△ABC内一点，且PD=PE=PF，则点P是（）A．△ABC三边垂直平分线的交点B．△ABC三条角平分线的交点C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三条中线的交点10．下列说法正确的是（）A、平分弦的直径垂直弦.B、三角形的外心到三边的距离相等.C、等弧所对的圆周角相等.D、等腰三角形的外心和内心重合.（第8题图）（第9题图）（第11题图）11．如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC．若∠BCD=50°，则∠AOC的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°12．如图，直线y=﹣x+5与双曲线y=（x＞0）相交于A，B两点，与x轴相交于C点，△BOC的面积是．若将直线y=﹣x+5向下平移1个单位，则所得直线与双曲线y=（x ＞0）的交点有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．0个，或1个，或2个（第12题图） （第16题图） （第18题图）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．因式分解：m 2n ﹣4mn +4n =______．数y=中，自变量x 的取值14．函范围是______．15．已知圆锥的底面半径为3，侧面积为15π，则这个圆锥的母线长为______．16．如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA 由B 向A 走去，当走到C 点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合于点A ，测得BC=4米，CA=2米，则树的高度为 ．17．设m ，n 是方程x 2﹣x ﹣2016=0的两个不等实数根，则m +n ﹣mn 的值为 ．18．如图，点P 是正比例函数y =x 与反比例函数y =（k ≠0）在第一象限内的交点，P A ⊥OP ，交x 轴于点A ，OA =6，则k 的值是______．三．解答题（共66分）20．先化简，再求值：12244222+-÷+-xx x x x x ，在0，1，2三个数中选一个你喜欢的数代入求值．21．端午节前夕，学校蛋糕房推出有A、B、C、D四种口味的粽子，为调查同学们对这四种口味的喜爱情况，随机做了问卷调查，并将调查情况全部回收后绘制成如下两幅统计图（尚不完整）请根据以上信息回答：（1）本次随机发放了份调查问卷；（2）请将上述两幅不完整的统计图补充完整；（3）若该学校共有2000人，请问喜欢A种口味粽子大约有多少人？（4）若某同学4种口味的粽子各买1个，它们的外包装完全一样，煮熟后他先后随机品尝了2个，请用列表或画树状图的方式，求他第2个品尝到A种口味粽子的概率．22．如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ．（1）当CQ平分时，求证DQ=QP；（2）在（1）的条件下，求AQ的长．23．长沙市马王堆蔬菜批发市场某批发商原计划以每千克10元的单价对外批发销售某种蔬菜．为了加快销售，该批发商对价格进行两次下调后，售价降为每千克6.4元．（1）求平均每次下调的百分率；（2）某大型超市准备到该批发商处购买2吨该蔬菜，因数量多，该批发商决定再给予两种优惠方案以供选择．方案一：打八折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金1000元．试问超市采购员选择哪种方案更优惠？请说明理由．24、已知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧AD上取一点E,使∠EBC=∠DEC，延长BE依次交AC于点G，交⊙O于H．（1）求证：CA EH（2）连接AE,求证：CE 2=CD CB；（3）若∠ABC的值;25．已知抛物线C1：y=ax2-2amx+am2+2m+3（a＞0，m0）的顶点为A，将抛物线C1绕点Q（，2）旋转180得到抛物线C2，抛物线C2的顶点B在y轴上．（1）若点A在双曲线上，求抛物线C1的顶点坐标；（2）若a=，求抛物线C2的解析式；（3）若m=，E（1，3）,F（2，4），是否存在a使抛物线C1与线段EF有两个相异的交点，若存在，请求出a的取值范围，若不存在，请说明理由.26．如图，抛物线与x 轴交于点A 、B ，且A 点的坐标为（1，0），与y 轴交于点D （0，3），C 为顶点．（1）求出点B 坐标及抛物线的解析式；（2）连接CD 交x 轴于点E ，P 为线段CD 上一点，当BP 最短时，求PE ；（3）若M 为CD 上一点，作MN ，交直线BC 于点N ，使以B 、M 、N 为顶点的三角形与相似，求出满足条件的点M 的坐标．O E x y。
湖南省长沙县、攸县、醴陵、浏阳四县一中2025届高三第二次联考数学试卷含解析
湖南省长沙县、攸县、醴陵、浏阳四县一中2025届高三第二次联考数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（ ）A ．(722+πB ．(1022+πC ．(1042+πD ．(1142+π2．已知双曲线C 的一个焦点为()0,5，且与双曲线2214x y -=的渐近线相同，则双曲线C 的标准方程为( )A ．2214y x -=B ．221520y x -=C ．221205x y -=D ．2214x y -=3．已知命题p ：“关于x 的方程240x x a -+=有实根”，若p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[)1,+∞B ．1,C ．(),1-∞D ．(],1-∞4．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请全校m 名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数a ；最后再根据统计数a 估计π的值，那么可以估计π的值约为（ ）A ．4amB ．2a m+ C ．2a mm+ D ．42a mm+ 5．已知i 为虚数单位，实数,x y 满足(2)x i i y i +=-，则||x yi -= ( )A ．1B ．2C ．3D ．56．已知a ，b ，c 是平面内三个单位向量，若a b ⊥，则232a c a b c +++-的最小值（ ） A ．29B ．2932-C ．1923-D ．57．已知命题p ：x ∀∈R ，210x x -+<；命题 q ：x ∃∈R ，22x x >，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝8．已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面,120ABC BAC ︒∠=，2AD =，若球O 的表面积为20π，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为（ ） A ．33B ．233C ．3D ．239．设，则"是""的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．在直角梯形ABCD 中，0AB AD ⋅=，30B ∠=︒，23AB =，2BC =，点E 为BC 上一点，且AE xAB y AD =+，当xy 的值最大时，||AE =( )A ．5B ．2C ．302D ．2311．已知函数()sinx12sinxf x =+的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（ ）①绕着x 轴上一点旋转180︒; ②沿x 轴正方向平移; ③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. A ．①③B ．③④C ．②③D ．②④12．小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00~12：10之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是（ ） A ．12B ．45C ．38D ．34二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024-2025学年湖南省长沙市长沙一中高二(上)开学数学试卷(含答案)
2024-2025学年湖南省长沙一中高二（上）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x∈Z|x2+3x<4}，B={−1,2,5}，则A∪B中元素的个数为( )A. 1B. 4C. 6D. 72.命题“∃x∈Q，tanx2∈Q”的否定是( )A. ∀x∈Q，tanx2∉QB. ∀x∈Q，tanx2∈QC. ∃x∈Q，tanx2∈QD. ∀x∉Q，tanx2∈Q3.已知i是虚数单位，复数1−2i1−i的虚部为( )A. −12B. 32C. −12i D. 32i4.函数f(x)=ln|x|e x+e−x的图象大致为( )A. B.C. D.5.已知x>0，y>0，lg2x+lg8y=lg2，则1x +3y的最小值是( )A. 8B. 12C. 16D. 10+236.已知随机事件A，B，C中，A与B相互独立，B与C对立，且P(A)=0.3，P(C)=0.6，则P(A∪B)=( )A. 0.4B. 0.58C. 0.7D. 0.727.甲、乙、丙、丁四个人在一次比赛中只有一人得奖，在问到谁得奖时，四人的回答如下：甲：乙得奖．乙：丙得奖．丙：乙说错了．丁：我没得奖．四人之中只有一人说的与事实相符，则得奖的是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁8.设a=log52，b=0.50.6，c=0.60.5，则( )A. c >b >aB. c >a >bC. b >a >cD. a >c >b二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)=sin (2x +π6)，则下列结论正确的是( )A. f(x)的图象向左平移π6个单位长度后得到函数g(x)=sin (2x +π3)的图象B. 直线x =π3是f(x)图象的一条对称轴C. f(x)在[π4,π2]上单调递减D. f(x)的图象关于点(5π12,0)对称10.某学校高一年级学生有900人，其中男生500人，女生400人，为了获得该校高一全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层抽样方法抽取了容量为90的样本，经计算得男生样本的均值为170，方差为19，女生样本的均值为161，方差为28，则下列说法正确的是( )参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：m ，−x ，s 21；n ，−y ，s 22.记样本平均数为−ω，样本方差为s 2，s 2=m m +n [s 21+(−x−−ω)2]+n m +n [s 22+(−y−−ω)2]A. 男生样本容量为50B. 每个女生被抽到的概率110C. 抽取的样本的均值为165D. 抽取的样本的方差为4311.如图，正方体ABCD−A′B′C′D′的棱长为4，M 是侧面ADD′A′上的一个动点(含边界)，点P 在棱CC′上，且|PC′|=1，则下列结论正确的有( )A. 沿正方体的表面从点A 到点P 的最短距离为73B. 保持PM 与BD′垂直时，点M 的运动轨迹长度为32C. 若保持|PM|=25，则点M 的运动轨迹长度4π3D. 平面AD′P 截正方体ABCD−A′B′C′D′所得截面为等腰梯形三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
长沙市高中四大名校自主招生考试试卷附答案汇总
长沙市高中四大名校自主招生考试试卷附答案汇总经过多年的发展，长沙市已经形成了以长沙一中、长沙二中、长沙四中、长郡中学为代表的四大名校。
这些学校在长沙市的教育界享有崇高的声誉，被广大学生和家长所追求。
为了选拔出最优秀的学生，这些名校会举行自主招生考试。
本文将对长沙市高中四大名校自主招生考试试卷及答案进行汇总，帮助考生更好地了解考试内容。
首先，我们先来看一下长沙一中自主招生考试试卷及答案汇总。
长沙一中自主招生考试试卷通常由语文、数学、英语和综合四个部分组成。
其中，语文部分主要包括阅读理解、写作和文言文等题型；数学部分主要包括选择题、计算题和应用题等题型；英语部分主要包括听力、阅读和写作等题型；综合部分主要包括物理、化学、生物和历史等学科的考查。
考生需要根据自己的实际情况选择答题顺序，并在规定的时间内完成试卷。
长沙一中自主招生考试试卷的答案通常会在考试结束后公布，考生可以通过官方网站或咨询老师等方式获取。
接下来，我们再来看一下长沙二中自主招生考试试卷及答案汇总。
长沙二中自主招生考试试卷的题型与长沙一中相似，主要包括语文、数学、英语和科学等部分。
语文部分主要涉及阅读理解、写作和古文阅读等内容；数学部分主要包括选择题、填空题和证明题等内容；英语部分主要包括听力、阅读和写作等内容；科学部分主要包括物理、化学和生物三个学科的考查内容。
同样，长沙二中自主招生考试试卷答案也会在考试后及时发布，方便考生核对答案。
然后，我们继续介绍长沙四中自主招生考试试卷及答案汇总。
长沙四中自主招生考试试卷的组成与前两所学校类似，同样包括语文、数学、英语和综合四个部分。
语文部分主要包括阅读理解、写作和文言文等内容；数学部分主要包括选择题、填空题和解答题等内容；英语部分主要包括听力、阅读和写作等内容；综合部分主要涵盖物理、化学和生物三个学科的内容。
考生在完成试卷后，可以通过查看官方网站或向学校咨询的方式获得答案。
最后，我们来了解一下长郡中学自主招生考试试卷及答案汇总。
湖南省长沙一中自主招生考试数学试卷
2007年湖南省长沙一中自主招生考试数学试卷一、填空题1．设a为的小数部分，b为的小数部分，则的整数部分为_________．2．下列两个方程组与有相同的解，则m+n=_________．3．如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°，∠A的平分线AD交BC于D,则=_________．4．已知a是方程x2﹣2002x+1=0的根，则=_________．5．A、B是平面内两个不同的定点，在此平面内找点C，使△ABC为等腰直角三角形，则这样的点C有_________个．6．某工程队要招聘甲乙两种工种的工人150名，甲乙两种工种工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的两倍，问甲乙两种工种的人数各聘_________时可使得每月所付工资最少，最小值是_________．7．已知，则分式=_________．8．如图，D、E分别是△ABC的边AC、AB边上的点，BD、CE相交于点O，若S△COD=3,S△BDE=4，S△OBC=5，那么S四边形ADOE=_________．9．三边长为整数且最长边是11的三角形共有_________个．10．已知方程：x3+4x2﹣11x﹣30=0的两个根的和等于1，则这个方程的三个根分别是_________．11．若函数当a≤x≤b时的最小值为2a,最大值为2b，求a、b的值．12．函数,其中a为任意实数,则该函数的图象在x轴上截得的最短线段的长度为_________．二、解答题（共8小题，满分0分）13．已知关于x的方程x2﹣（2m﹣3)x+m﹣4=O的二根为a1、a2，且满足﹣3＜a1＜﹣2，a2＞0．求m的取值范围．14．在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠BAC=45°，BD=3,DC=2，求△ABC的面积．15．一个三角形的三边长分别为a、a、b,另一个三角形的三边长分别为a、b、b，其中a＞b，若两个三角形的最小内角相等，则=_________．16．求方程组的实数解．17．如图,在半径为r的⊙O中，AB为直径,C为的中点，D为的三分之一分点,且的长等于两倍的的长，连接AD并延长交⊙O的切线CE于点E（C为切点),求AE的长．18．如图，△ABC是锐角三角形，以BC为直径作⊙O，AD是⊙O的切线，从AB上一点E作AB的垂线交AC的延长线于F，若．求证：AD=AE．19．如图,在正方形ABCD中，DC的中点为E，F为CE的中点，求证:∠DAE=∠BAF．20．如图，四边形ABCD是正方形，E为BF上一点，四边形AEFC恰好是一个菱形，求∠EAB的度数．2007年湖南省长沙一中自主招生考试数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．设a为的小数部分,b为的小数部分，则的整数部分为5．考点: 估算无理数的大小．分析：根据无理数的取值范围表示a、b，再代入所求算式计算,估计结果的整数部分．解答：解：∵1＜＜2,1＜＜2，∴a=﹣1，b=﹣1，∴===(﹣+﹣1)（+）=+2+1，∵≈1。
2024年湖南省长沙一中高考数学最后一卷+答案解析
2024年湖南省长沙一中高考数学最后一卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则()A.B.C.D.2.若复数z 满足，则z 可以为()A.B.C. D.3.已知随机变量X 服从正态分布，且，，则()A.B.C.D.4.已知直线，圆O ：，则“”是“直线l 上存在点P ，使点P 在圆O内”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.在平行四边形ABCD 中，，点P 为该平行四边形所在平面内的任意一点，则的最小值为()A.6 B.8C.10D.126.地震震级通常是用来衡量地震释放能量大小的数值，里氏震级最早是由查尔斯里克特提出的，其计算基于地震波的振幅，计算公式为，其中M 表示某地地震的里氏震级，A 表示该地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅，表示这次地震中的标准地震振幅.假设在一次地震中，某地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅为5000，且这次地震的标准地震振幅为，则该地这次地震的里氏震级约为参考数据：A.级B.级C.级D.级7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，P 为C 的渐近线上一点.若的面积为，则C 的离心率为()A.B.2C.D.8.已知正方体的棱长为2，M 是棱的中点，空间中的动点P 满足，且，则动点P 的轨迹长度为()A. B.3 C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知函数，则下列说法正确的是()A.的最大值为2B.函数的图象关于直线对称C.不等式的解集为D.若在区间上单调递增，则的取值范围是10.某校在运动会期间进行了一场“不服来战”对抗赛，由篮球专业的1名体育生组成甲组，3名非体育生的篮球爱好者组成乙组，两组进行对抗比赛.具体规则为甲组的同学连续投球3次，乙组的同学每人各投球1次.若甲组同学和乙组3名同学的命中率依次分别为，则()A.乙组同学恰好命中2次的概率为B.甲组同学恰好命中2次的概率小于乙组同学恰好命中2次的概率C.甲组同学命中次数的方差为D.乙组同学命中次数的数学期望为11.设无穷数列的前n项和为，且若存在，使成立，则()A.B.C.不等式的解集为D.对任意给定的实数p，总存在，当时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
湖南省长沙市第一中学高三模拟试卷(一)数学答案和解析
长沙市一中2023模拟试卷（一）数学一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2R 4,39x A x x B x =∈<=<∣∣，则（）A.A B B =B.A B =RC.A B A =D.A B A⋃=【答案】C 【解析】【分析】求出集合,A B ，再由交集和并集的定义即可得出答案.【详解】因为{}{}{}{}2R422,392xA x x x xB x x x =∈<=-<<=<=<∣∣∣∣，所以A B A = ，A B B ⋃=.故选：C .2.设2iR,ia a z +∈=，则“1a >”是“z >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据复数模的计算公式及充分条件、必要条件的定义判断即可【详解】由题意得22i 2i iaz a -==-，所以z ==因为z >，所以245a +>，解得1a >或1a <-，故“1a >”是“z >的充分不必要条件.故选：A3.天文计算的需要，促进了三角学和几何学的发展．10世纪的科学家比鲁尼的著作《马苏德规律》一书中记录了在三角学方面的一些创造性的工作．比鲁尼给出了一种测量地球半径的方法：先用边长带有刻度的正方形ABCD 测得一座山的高GT h =（如图①），再于山顶T 处悬一直径为SP 且可以转动的圆环（如图②），从山顶T 处观测地平线上的一点I ，测得OTI α∠=．由此可以算得地球的半径r =（）A.sin 1sin h αα- B.cos 1sin h αα- C.sin 1cos h αα- D.cos 1cos h αα-【答案】A 【解析】【分析】根据解直角三角形，结合正弦函数的概念即可求得答案.【详解】由图可知，OI TI ⊥,故sin OI r OT r h α==+，解得sin 1sin h r αα=-，故选：A ．4.已知函数()f x 的局部图象如图所示，则()f x 的解析式可以是（）A.1()sin 2xf x e xπ=⋅ B.1||()cos2x f x ex π=⋅C.()ln ||sin 2f x x x π=⋅ D.()ln ||cos2f x x x π=【答案】D 【解析】【分析】利用排除法，根据奇偶性和()f x 在()0,1x ∈时的函数值正负可排除.【详解】由图可得()f x 的图象关于y 轴对称，即()f x 为偶函数，其中A 选项，()11()sin sin 22xxf x e x e x f x ππ-⎛⎫-=⋅-=-⋅=- ⎪⎝⎭，故()f x 为奇函数，与图象不符，故排除A ；C 选项，()()ln ||sin ln ||sin 22f x x x x x f x ππ⎛⎫-=-⋅-=-⋅=- ⎪⎝⎭，故()f x 为奇函数，与图象不符，故排除C ；B 选项，当()0,1x ∈时，10xe >，cos02x π>，则()0f x >，与图象不符，故排除B.故选：D.5.已知π3sin cos 65αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.725-B.725C.2425-D.2425【答案】B 【解析】【分析】根据三角恒等变换公式求解.【详解】π313sin cos cos cos ,6225ααααα⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭所以313sin cos 225αα+=，所以π3sin ,65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭2πππ97cos 2cos212sin 12,3662525ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-+=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选:B.6.已知函数()πsin (12)6f x x ωω⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，若存在12,R x x ∈，当122πx x -=时，()()120f x f x ==，则函数()f x 的最小正周期为（）A.2π3B.4π3C.2πD.4π【答案】B 【解析】【分析】由题意可得出2π2T k ⋅=，结合12ω<<，可得32ω=，再由三角函数最小正周期的公式即可得出答案.【详解】因为存在12,R x x ∈，当122πx x -=时，()()120f x f x ==，所以π2π,Z 2T k k k ω⋅=⋅=∈，即,Z 2kk ω=∈，又因为12ω<<，则3k =，所以32ω=，所以函数()f x 的最小正周期为：2π4π332T ==，故选：B .7.设,A B 是平面直角坐标系中关于y 轴对称的两点，且2OA = .若存在,R m n ∈，使得mAB OA +与nAB OB +垂直，且()()2mAB OA nAB OB +-+= ，则AB 的最小值为（）A.1B.C.2D.【答案】D 【解析】【分析】构造向量，利用向量垂直和()()2mAB OA nAB OB +-+= ，结合基本不等式得出a b的最大值2，结合图形可得答案.【详解】如图，,A B 是平面直角坐标系中关于y 轴对称的两点，且2OA =，由题意得：AB OB OA =- ，令()1a OA mAB OA m OA mOB ==+-+'=，则,,A A B '三点共线,()1b OB nAB OB n OB nOA ==++-'=，则,,B A B '三点共线,故有,,,A A B B ''共线，由题意mAB OA + 与nAB OB +垂直，()()2mAB OA nAB OB +-+= ，知OA OB ''⊥uuu r uuu r ，且2a b B A ''-==为定值，在A OB ''△中，224||||2a b a b =+≥ ，当且仅当a b =时，a b取最大值2，此时A OB ''△面积最大，则O 到AB 的距离最远，而2OA = ，故当且仅当a b=，即,A B ''关于y 轴对称时，AB 最小，此时O 到AB 的距离为112B A ='' ，所以2AB ==，故AB = AB的最小值为故选：D.8.如图，已知锐二面角l αβ--的大小为1θ，A α∈，B β∈，M l ∈，N l ∈，AM l ⊥，BN l ⊥，C ，D 为AB ，MN 的中点，若AM MN BN >>，记AN ，CD 与半平面β所成角分别为2θ，3θ，则（）A.122θθ<，132θθ<B.122θθ<，132θθ>C.122θθ>，132θθ<D.122θθ>，132θθ>【答案】A 【解析】【分析】根据面面角的定义求得1AMG θ∠=，根据线面角的定义找到2ANH θ∠=，3FMG θ=∠，通过比较12,θθ的正弦值比较两角的大小，接着根据12,2θθ的范围判断12,2θθ的大小，根据线段长度的大小关系求得13,2θθ的大小关系.【详解】分别过点M 和点B 作BN ，MN 的平行线相交于点G ，因为BN l ⊥，所以MG l ⊥,所以1AMG θ∠=，过A 点作AH MG ⊥，连接NH ，所以2ANH θ∠=，取1,===AM MN AH ,22sin 2θ==AH AN ,此时1222πθθ<=；排除CD.取线段AG 中点为点F ，又C ，D 为AB ，MN 的中点，所以CF 与DM 平行且相等，所以//CD MF ，所以CD 与半平面β所成角为3FMG θ=∠，显然31θθ<，又因为AM MG >，所以132θθ<；排除B.故选：A.【点睛】(1)求直线与平面所成的角的一般步骤：①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为：“连续10日，每天新增疑似病例不超过7人”．过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下：甲地：中位数为2，众数为3；乙地：平均数为2，方差为3；丙地：平均数为3，极差为5；丁地：平均数为5，众数为6．则一定没有发生大规模群体感染的是（）A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地【答案】BC 【解析】【分析】A.举例判断；B.假设出现一次大于7，设108x ≥，利用方差运算判断；C.假设出现了8人，则一定有出现3人情况判断；D.举例判断.【详解】对于甲地，如0，0，1，1，1，3，3，3，3，8，故错误；对于乙地，若出现一次大于7，设108x ≥，则()()()()22222129101222210S x x x x ⎡⎤=-+-++-+-⎣⎦ ，()()()222129122236310x x x ⎡⎤≥-+-++-+>⎣⎦ ，矛盾，故正确；对于丙地，若出现了8人，则一定有出现3人情况，这样平均数就不可能是3，∴丙地不可能有超过7人的情况，故正确．对于丁地，无法判断是否有超过7人的情况，如2，2，3，5，6，6，6，6，6，8，平均数为5，众数为6，故错误；故选：BC ．10.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为2，且双曲线C 的左焦点在直线0x y +=上，A ，B 分别是双曲线C 的左，右顶点，点P 是双曲线C 的右支上位于第一象限的动点，记PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则下列说法正确的是（）A.双曲线C 的渐近线方程为2y x =±B.双曲线C 的方程为2214x y -=C.12k k 为定值14D.存在点P ，使得121k k +=【答案】BC 【解析】【分析】【详解】因为双曲线C 的左焦点(,0)c -在直线0x y ++=上，所以c =，又离心率为52c e a ==，所以2a =，故2221b c a =-=，所以双曲线方程为2214x y -=，故双曲线的渐近线方程为20x y ±=，故A 错误；B 正确；由题意可得(2,0),(2,0)A B -，设P (m ,n )，可得2214m n -=，即有22144n m =-，所以212212244n n n k k m m m =⋅==+--，故C 正确；因为点P 是双曲线C 的右支上位于第一象限的动点，所以120,0k k >>，则121212k k +≥=⨯=，当且仅当12k k =时，等号成立，由A ，B 为左右顶点，可得12k k ≠，所以121k k +>，故D 错误.故选：BC【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单几何性质，直线的斜率，属于中档题.11.如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，12,O O 为圆柱上下底面的圆心，O 为球心，EF 为底面圆1O 的一条直径，若球的半径2r =，则下列各选项正确的是（）A.球与圆柱的体积之比为2:3B.四面体CDEF 的体积的取值范围为320,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C.平面DEF 截得球的截面面积最小值为4π5D.若P 为球面和圆柱侧面的交线上一点，则PE PF +的取值范围为2⎡+⎣【答案】ABD 【解析】【分析】根据给定的条件，利用球、圆柱的体积公式计算判断A ；利用12CDEF E O CD V V -=建立函数关系判断B ；求出球心O 到平面DEF 距离的最大值判断C ；令点P 在圆柱下底面圆所在平面上的投影点为Q ，设QFE ∠θ=，利用勾股定理建立函数关系，求出值域可判断D .【详解】对于A ，球的体积为34π32π33r V ==，圆柱的体积2π(2)16πV r r '=⨯=，则球与圆柱的体积之比为2:3，A 正确；对于B ，设d 为点E 到平面BCD 的距离，0d r <≤，而平面BCD 经过线段EF 的中点1O ，四面体CDEF 的体积11221163224433233C DEF E O DC O DC d V V S d d --==⋅=⨯⨯⨯⨯=≤ ，所以四面体CDEF 的体积的取值范围为320,3⎛⎤⎥⎝⎦，B 正确；对于C ，过O 作1OH DO ⊥于H ，如图，而122O O DO ⊥，则21211sin DO OH DO O OO DO ∠==，又1DO ==OH =，设截面圆的半径为1r ，球心O 到平面DEF 的距离为1d ，则1d ≤，又1r ==≥=DEF 截球的截面圆面积2116ππ5S r =≥，C 错误；对于D ，令经过点P 的圆柱的母线与下底面圆的公共点为Q ，连接,QE QF ，当Q 与,E F 都不重合时，设QFE ∠θ=，则4cos ,4sin QF QE θθ==，当Q 与,E F 之一重合时，上式也成立，因此4cos ,4sin QF QE θθ==，π[0,)2θ∈，则PE PF +=，令t =26t =+，而02πθ≤<，即0sin 21θ≤≤，因此2612t +≤≤，解得1t ≤≤，所以PE PF +的取值范围为[2+，D 正确.故选：ABD.12.定义：对于定义在区间I 上的函数()f x 和正数()01αα<≤，若存在正数M ，使得不等式()()1212f x f x M x x α-≤-对任意12,x x I ∈恒成立，则称函数()f x 在区间I 上满足α阶李普希兹条件，则下列说法正确的有（）A.函数()f x =[)1,+∞上满足12阶李普希兹条件.B.若函数()ln f x x x =在[]1,e 上满足一阶李普希兹条件，则M 的最小值为2.C.若函数()f x 在[],a b 上满足()01M k k =<<的一阶李普希兹条件，且方程()f x x =在区间[],a b 上有解0x ，则0x 是方程()f x x =在区间[],a b 上的唯一解.D.若函数()f x 在[]0,1上满足1M =的一阶李普希兹条件，且()()01f f =，则存在满足条件的函数()f x ，存在[]12,0,1x x ∈，使得()()1223f x f x -=.【答案】ABC 【解析】【分析】根据李普希兹条件的概念直接可以判断AB 选项，再利用反证法判断C 选项，通过分类讨论可判断D 选项.【详解】A 选项：不妨设12x x >，()()12f x f x ∴-=()()()()1212212121f x f x x x x x -∴==<--，故1M ∃≥，对[)12,1,x x ∀∈+∞，均有()()()121212f x f x M x x -≤-，A 选项正确；B 选项：不妨设12x x >，()ln f x x x = 在[]1,e 单调递增，()()()()1212f x f x f x f x ∴-=-，()()1212f x f x M x x ∴-≤-，即()()()1212f x f x M x x -≤-，即()()1122f x Mx f x Mx -≤-对12x x ∀>，[]12,1,e x x ∈恒成立，即()f x Mx -在[]1,e 上单调递减，()0f x M '∴-≤对[]1,e x ∀∈恒成立，所以1ln M x ≥+对[]1,e x ∀∈恒成立，即2M ≥，即M 的最小值为2，B 选项正确；C 选项：假设方程()f x x =在区间[],a b 上有两个解0x ，t ，则()()000f x f t k x t x t -≤-<-，这与()()00t t f x f x -=-矛盾，故只有唯一解，C 选项正确；D 选项：不妨设12x x >，当1212x x -≤时，()()121212f x f x x x -≤-≤，当1212x x ->时，()()()()()()()()()()()1212121212110101012f x f x f x f f f x f x f f x f x x x x -=-+-≤-+-≤-+-=--<，故对[]12,0,1x x ∀∈，()()1212f x f x -≤，不存在12,x x 使()()1223f x f x -=，D 选项错误；故选：ABC.三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知圆22:(4)16M x y -+=，过点()2,0N 的直线l 与圆M 交于,A B 两点，D 是AB 的中点，则D 点的轨迹方程为__________.【答案】()2231x y -+=【解析】【分析】由圆的垂径定理可得MD DN ⊥，结合向量垂直的条件：数量积为0，化简可得所求轨迹方程，即可求得答案.【详解】圆22:(4)16M x y -+=，所以圆心为()4,0M ，半径为4，设(),D x y ，由线段AB 的中点为D ，可得MD DN ⊥，即有()()(4,)(2,)420MD ND x y x y x x y y ⋅=-⋅-=--+⋅=，即()2231x y -+=，所以点D 的轨迹是以()3,0为圆心，1为半径的圆；故答案为：()2231x y -+=.14.“以直代曲”是微积分中最基本､最朴素的思想方法，如在切点附近，可用曲线在该点处的切线近似代替曲线.曲线ln y x =在点()1,0处的切线方程为__________，利用上述“切线近以代替曲线”的思想方法计算所得结果为__________（结果用分数表示）.【答案】①.1y x =-②.2120【解析】【分析】求出导函数得切线斜率，由点斜式得切线方程，由题意知ln 1x x ≈-，则ln 1≈，即2120≈，即可得出答案．【详解】由已知ln y x =，1y x'=，所以在点()1,0处的切线斜率为1k =，则在点()1,0处的切线方程为1y x =-，由题意知，ln 1x x ≈-，所以ln 1≈-，即112020ln e e 1≈-，所以112020121eln e 112020≈+=+=，即2120≈.故答案为：1y x =-；2120．15.已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点，A 为椭圆的上顶点，B 在x 轴上，20AB AF ⋅= ，且212AF AB AF =+.若坐标原点O 到直线AB 的距离为3，则椭圆C 的标准方程为__________.【答案】2211612x y +=【解析】【分析】由题设可得2a c =，直线AB 的方程为330bx cy bc -+=，点线距离公式表示O 到直线AB 的距离，又222a b c =+联立解得22,a b 即可得出答案.【详解】由20AB AF ⋅= 可得290BAF ∠=，由212AF AB AF =+可得112BF F F =，则△12AF F 是等边三角形，设122F F c =，则2a c =①，∴直线AB 的方程为13x yc b+=-，即330bx cy bc -+=，∴O 到直线AB3=②，又222a b c =+③，联立①②③，解得216a =，212b =，故椭圆C 方程为2211612x y +=.故答案为：2211612x y +=16.已知实数a ，b ，c 满足1e e ln 3a c c b a b +-++≤++，（其中e 为自然对数的底数），则a b c +-的最小值是______.【答案】2ln 2-##ln 4-【解析】【分析】变形给定不等式，构造函数并借助函数的单调性，求出,,a b c 的关系，再利用导数求出函数的最值作答.【详解】1ln 1e e ln 3e e ln 3a c c a c b c b a b a b +-++-++≤++⇔+≤++，令函数()e 1x f x x =--，求导得()e 1x f x '=-，当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>，因此函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，则()(0)0f x f ≥=，即R x ∀∈，e 1x x ≥+，于是ln 1e 1,e ln 11a c b c a c b c +-+≥++≥-++，即ln 1e e ln 3a c b c a b +-++≥++，当且仅当0,ln 10a c b c +=-+=，即1,e c a c b -=-=时取等号，依题意，1,e c a c b -=-=，1e 2c a b c c -+-=-，令1e (2)x x g x -=-，求导得1e 2()x g x -=-'，当1ln 2x <+时，()0g x '<，当1ln 2x >+时，()0g x '>，从而函数()g x 在(,1ln 2)-∞+上单调递减，在(1ln 2,)++∞上单调递增，min ()(1ln 2)2ln 2g x g =+=-，所以a b c +-的最小值是2ln 2-.故答案为：2ln 2-.【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.在数列{}n a 中，11a =-，()*12362,Nn n a a n n n -=+-≥∈.（1）求证：数列{}3n a n +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）证明见解析；23nn a n =-；（2）122(1)n n n +--+【解析】【分析】（1）根据等比数列的定义证明，由等比数列的通项公式化简，可得数列{}n a 的通项公式；（2）由分组求和法化简求解即可．【小问1详解】()*12362,N n n a a n n n -=+-≥∈ ，∴当2n ≥时，()()11111333263133332233n n n n n n a n a n a n a n n n a n a -----+-+-+===+-++-+-，数列{}3n a n +是首项为132a +=，公比为2的等比数列，32n n a n ∴+=，23nn a n =-；【小问2详解】2322n n n n n b a n a n n n=+==-+=-数列{}n b 的前n 项和()()()()12312...222426...22nn n T b b b n=+++=-+-+-++-()()1212122222...2246...222(1)122n n n nn n n n +-+=+++-++++=⨯=--+-．18.在ABC 中，内角,A B C ､的对边分别为,,a b c ，且满足1tan 12tan a C b B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）求C 的大小；（2）若ABC的面积为，且2CD DA =，求BD 的最小值.【答案】（1）π3C =（2）3【解析】【分析】（1）由正弦定理、同角三角函数的商数关系和两角和正弦公式化简已知式，即可得出答案；（2）由三角函数的面积关系可得40ab =，由2CD DA = ，得23CD b =，再由余弦定理结合均值不等式即可得出答案.【小问1详解】因为1tan 12tan a C b B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用正弦定理得：()sin sin 1sin cos 1sin 2cos sin 2cos sin B C A C B B C B C B +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，由于π++=A C B ，所以()sin sin B C A +=，即sin sin sin 2cos sin A AB C B=，即2sin cos sin sin sin A C B A B =，由()ππ0,π,sin 0,0,,π,sin 022A A B B ⎛⎫⎛⎫∈≠∈⋃≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1cos ,0π2C C =<<且π2C ≠，故π3C =.【小问2详解】由于ABC 的面积为113sin 222ab C ab =⋅=，解得：40ab =，由2CD DA =，得23CD b =，在BCD △中，由余弦定理得：222224242222802cos 293933333BD a b a b C a b ab ab ab ab =+-⋅=+-≥⋅-==，故4153BD ≥，当且仅当2,3a b =即415,3a b ==，BD 的最小值为4153.19.如图1，四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AD AB ⊥，60BCD ∠=︒，AB =，3BC =，E 为线段CD 上一点，满足BC CE =，F 为BE 的中点，现将梯形沿BE 折叠（如图2），使平面BCE ⊥平面ABED .（1）求证：平面ACE ⊥平面BCE ；（2）能否在线段AB 上找到一点P （端点除外）使得直线AC 与平面PCF 所成角的正弦值为34？若存在，试确定点P 的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在点P 是线段AB 的中点，使得直线AC 与平面PCF 所成角的正弦值为34.【解析】【分析】（1）在直角梯形ABCD 中，根据3BE BC ==，60BCD ∠=︒，得BCE ∆为等边三角形，再由余弦定理求得AE ，满足222AE BE AB +=，得到AE BE ⊥，再根据平面BCE ⊥平面ABED ，利用面面垂直的性质定理证明.（2）建立空间直角坐标系：假设在AB 上存在一点P 使直线AC 与平面PCF 所成角的正弦值为34，且AP AB λ=uu u r uu u r，()0,1λ∈，求得平面PCF 的一个法向量，再利用线面角公式34cos ,CA n ==求解.【详解】（1）证明：在直角梯形ABCD 中，3BE BC ==，60BCD ∠=︒，因此BCE ∆为等边三角形，从而3BE =，又AB =，由余弦定理得：212923cos303AE =+-⨯︒=，∴222AE BE AB +=，即AE BE ⊥，且折叠后AE 与BE 位置关系不变，又∵平面BCE ⊥平面ABED ，且平面BCE 平面ABED BE =.∴⊥AE 平面BCE ，∵AE ⊂平面ACE ，∴平面ACE ⊥平面BCE .（2）∵BCE ∆为等边三角形，F 为BE 的中点，∴CF BE ⊥，又∵平面BCE ⊥平面ABED ，且平面BCE 平面ABED BE =，∴CF ⊥平面ABED ，取AB 的中点G ，连结FG ，则//FG AE ，从而FG BE ⊥，以F 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系：则33,,02A ⎫-⎪⎭，330,0,2C ⎛ ⎪⎝⎭，则333,,22CA =--⎪⎭，假设在AB 上存在一点P 使直线AC 与平面PCF 所成角的正弦值为34，且AP AB λ=uu u r uu u r ，()0,1λ∈，∵30,,02B ⎛⎫⎪⎝⎭，∴()3,3,0AB = ，故()3,3,0AP λλ=- ，∴)()33331,21,22CP CA AP λλ=+=---⎝⎭ ，又330,0,2FC ⎛= ⎝⎭，该平面PCF 的法向量为(),,n x y z =，)()333121002203302x y z n CP n FC z λλ-+--=⎧⋅=⇒⎨⎨⋅=⎩⎪=⎪⎩ ，令()21y λ=-得)())321,21,0n λλ=--，∴()()223342332141cos ,CA n λλ=⋅-+-=，解得12λ=或76λ=（舍），综上可知，存在点P 是线段AB 的中点，使得直线AC 与平面PCF 所成角的正弦值为34.【点睛】本题主要考查面面垂直的性质定理和向量法研究线面角问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.20.抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，点A 在抛物线C 上.已知以F 为圆心，()FA FA p >为半径的圆F 交l 于,P Q 两点，若90,PFQ APQ ∠=.（1）求p 的值；（2）过点A 的直线m 交抛物线C 于点B （异于点A ），交x 轴于点M ，过点B 作直线m 的垂线交拋物线C 于点D ，若点A 的横坐标为正实数t ，直线DM 和抛物线C 相切于点D ，求正实数t 的取值范围.【答案】（1）1p =（2）4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）根据题意，可得FS =PS =QS =p ，再设A 到准线l 的距离为d ，即可求得d =FA =FQ，进而通过面积即可求解.(2)设2221212,,,,,222x x t A t B x D x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,因为AB BD ⊥,所以2114x x x t =--+,求直线m 的方程得11M x tx x t=+，由切线DM ,令0y =，得22M x x =，综上，即可求解.【小问1详解】设准线l 与y 轴交于S ,因为90PFQ ∠= ,由对称性可知:FS =PS =QS =p ,设A 到准线l 的距离为d ,则d =FA =FQ，11222APQ S PQ d p =⋅⋅=⨯= ，解得：1p =.【小问2详解】由（1）设2221212,,,,,222x x t A t B x D x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，从而2222121121,,,,22x t x x AB x t BD x x ⎛⎫⎛⎫--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uu u r uu u r 因为AB BD ⊥,所以()()()()2222121121.04x t x x AB BD x t x x --⋅=--+=uu u r uu u r又121,x t x x ≠≠，所以()()12104x t x x +++=，又10x t +≠，得2114x x x t=--+①，()221111122ABx t k x t x t -=⋅=+-，所以直线m 的方程为()()21122t y x t x t -=+-，令0y =，得11M x tx x t=+②，由直线DM 与抛物线C 相切于点D ,则切线方程为()22222x y x x x -=-由切线过点M ,令0y =，得22M x x =③，由①②③得111124x t x x t x t--=++，即211340x tx ++=，又存在1x 满足上式,则()23160t ∆=-≥，又0t ≥，则43≥t ，又221||12222t t FA p =+=+>，得1t >.综上,正实数t 的取值范围为4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭21.国球是指在一个国家内广泛开展，并在国际上居于领先地位的球类运动，中国的国球是乒乓球，乒乓球起源于英国的19世纪末.长沙市某社区为了丰富社区老人的退休生活，每年的重阳节定期举行乒乓球比赛.通过资格赛和淘汰赛，该社区的李大爷和张大爷进入决赛争夺冠军，决赛采用五局三胜制，即选手率先获得三局胜利时，比赛结束并赢得冠军.根据以往李大爷和张大爷的比赛胜负数据分析，李大爷和张大爷实力相当，每局获胜的可能性相同，每局比赛相互独立.（1）求张大爷获得乒乓球比赛冠军的概率；（2）冠亚军决赛结束后，社区组委会决定进行趣味性和观赏性极强的“花式乒乓球”对抗赛，“花式乒乓球”对抗赛由刘大爷和周大爷进行比赛，比赛采用三局两胜制，即选手率先获得两局胜利时，比赛结束并赢得冠军.刘大爷和周大爷在一局比赛获胜的概率分别为21,33，且每局比赛相互独立.比赛开始前，工作人员拿来两盒新球，分别为“装有2个白球与1个黄球”的白盒与“装有1个白球与2个黄球”的黄盒.每局比赛前裁判员从盒中随机取出一颗球用于比赛，且局中不换球，该局比赛后，直接丟弃，裁判按照如下规则取球：每局取球的盒子颜色与上一局比赛用球的颜色一致，且第一局从白盒中取球，记两位大爷决出冠军后，两盒内白球剩余的总数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望.【答案】（1）12（2）分布列见解析；()4727E ξ=；【解析】【分析】（1）张大爷获得乒乓球比赛冠军共进行的局数为3,4,5，求出其对应的概率，由分类加法计数原理即可得出答案.（2）求出随机变量ξ的可能取值及其对应概率，由数学期望公式求解即可得出答案；【小问1详解】记张大爷获得乒乓球比赛冠军共进行的局数为随机变量η，则η的可能取值为3,4,5，记事件A ：“张大爷获得乒乓球比赛冠军”，则()()()()345P A P P P ηηη==+=+=3222223411111111C C 22222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【小问2详解】设刘大爷和周大爷“花式兵兵球”对抗赛进行了X 局比赛，易知2X =或3X =，则()222152339P X ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()()43129P X P X ==-==，记i W 表示第i 局从白盒中抽取的白色球.i W 表示第i 局从白盒中抽取的黄色球，i X 表示第i 局从黄盒中抽取的黄色球，i X 表示第i 局从黄盒中抽取的白色球，随机变量ξ的所有可能取值为1,2,3；()()()()()()()()12123123123123P P X P WW P X P WW W P W W X P W X W ξ===+=++5214212111111932932323338513⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()()()()()()1212123123223P P X P W W P W X P X P W W X P W X X ξ===++=+5211142121213293233932333281⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()()12123323P P X P W X P X P W X X ξ===+=512412114933933281⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ξ的分布列为：ξ123P358132811481()3532144712381818127E ξ=⨯+⨯+⨯=22.已知函数()11eln 4xf x ax x a -⎛⎫=-> ⎪⎝⎭.（参考数据，e 2.718,ln20.693≈=）（1）证明：()()11ln f x a x ≤-+；（2）若()32f x x ≤-，求实数a 的取值的集合.【答案】（1）见解析（2）{}1a ∈【解析】【分析】（1）设()()()1ln x f x a x ϕ=++，对()x ϕ求导，得到()x ϕ的单调性，证明()max 1x ϕ≤即可证明()()11ln f x a x ≤-+；（2）设()()23g x f x x =+-，对()g x 求导，讨论1a =，1a >和114a <<时，()max 0g x ≤是否成立，即可求出实数a 的取值的集合.【小问1详解】设()()()()11ln eln 1ln xx f x a x ax x a x ϕ-=++=-++，则()11ϕ=，()()()11e ln 1x a x a x xϕ-+=-+'-+，设()()()()11e ln 1xa u x x a x xϕ-+==--++'，则()()212e 11x x a x u x x--+-'=，设()21e1xv x x -=-，()()212e x v x x x -'=-，当02x <<时，()0v x '>，函数()v x 单调递增，当2x >时，()0v x '<，函数()v x 单调递减，所以当0x >时，()()421ev x v ≤=-，因为当01x <<，()()10v x v <=且14a >，此时()()212e 110x x a x u x x--+-'=<，当1x >时，()()221112e 24v x v a x <=-<<+，此时也有()0u x '<，所以当0x >时，()()x u x ϕ'=单调递减，当01x <<时，，()()()10x u x u ϕ'=>=，()x ϕ单调递增，当1x >时，()()()10x u x u ϕ'=<=，()x ϕ单调递减，所以当14a >时，()()11x ϕϕ≤=，所以()()11ln f x a x ≤-+，故原不等式得证.【小问2详解】设()()123eln 23xg x f x x ax x x -=+-=-+-，则()10g =，()()1e ln 12x g x a x -'=--++，令()110g a '=-=，可得1a =，令()()12e ln 1xh x a x -=--+，其中0x >，()1111ee x x a x h x a x x --⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭，令()1ex xp x a -=-，其中0x >，则()11e x xp x --'=，当01x <<时，()0p x '>，此时函数()p x 单调递增，当1x >时，()0p x '<，此时函数()p x 单调递减，所以()()max 11p x p a ==-，①当1a =时，()()10p x p ≤=，则()()10h x p x x'=≤，且()h x '不恒为0，所以函数()g x '在区间()0,∞+上单调递减，所以当01x <<时，()()10g x g ''>=，则()g x 单调递增，当1x >时，()()10g x g ''<=，则()g x 单调递减.所以()()10g x g ≤=，即()32f x x ≤-.②当1a >时，()()110p x p a ≤=-<，则()()10h x p x x'=<，所以函数()g x '在区间()0,∞+上单调递减，因为()11e 1110,2e 0e g a g -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭''，此时存在11,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()10g x '=，且当()()1,1,0x x g x ∈'<，()g x 单调递减，所以()()110g x g >=，不合题意；③当114a <<时，()()max 110p x p a ==->，因为()ln 1ln 1ln 1,1ln ln 0e a aa p a a a a --->-=-=->，由于函数()p x 在区间()1,+∞上单调递减，故存在21ln x a =-，使得当()21,x x ∈时，()0p x >，此时，()()10h x p x x'=>，则函数()g x '在区间()21,x 上单调递增，故当()21,x x ∈时，()()110g x g a ''>=->，()g x 单调递增，所以()()210g x g >=，不满足题意.综上所述，若()32f x x ≤-，则{}1a ∈.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.。
【真题】2017年湖南省长沙市青竹湖湘一小升初数学试卷及解析
2017年湖南省长沙市青竹湖湘一小升初数学试卷一、选择题（每题3分，共21分）1．（3分）如果a表示自然数，那么2a一定是（）A．奇数B．偶数C．质数D．合数2．（3分）一个整数精确到万位是30万，这个数精确前可能是（）A．294999 B．309111 C．304997 D．3000003．（3分）分数单位是并且小于的最简真分数有（）个．A．6 B．5 C．4 D．34．（3分）大圆的半径是小圆的直径，小圆的面积与大圆面积之比是（）A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．3：π5．（3分）根据下面几幅图的排列规律，第四幅图是（）A．B．C．D．6．（3分）学校组织看电影，小芳坐在（1，4）的位置，小丽坐在（1，2）的位置，小明与她俩坐在同一直线上，小明坐在（）的位置上．A．（1，3） B．（2，4） C．（2，3）7．（3分）如图，在一圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发，反向而行，8分后两人相遇，再过6分甲到B点，又过10分两人再次相遇．甲环行一周需（）分．A．28 B．30 C．32 D．34二、填空题（每题3分，共21分）8．（3分）8吨42千克=吨；4小时25分钟=小时．9．（3分）一个分数的分子比分母小4，约分后得到，这个分数是．10．（3分）一个零件长1.6毫米，画在图纸上是4厘米，这幅设计图的比例尺是．11．（3分）口袋中有4个红球，3个黄球，在口袋中任意摸一个球，是球的可能性较大．12．（3分）如图所示，一个平行四边形被分成三个三角形，已知甲的面积比乙的面积多12平方厘米，乙和丙的面积比是2：3，则原平行四边形的面积是平方厘米．13．（3分）如图是五（1）班某位同学六次数学测试统计图问：这位同学考试的最高分是分，最低分是分，它们相差分．14．（3分）甲、乙二人分别从A、B两地同时相向而行，乙的速度是甲的，二人相遇后继续行进，甲到B地、乙到A地后立即返回．已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点是20千米，那么，A、B两地相距多少千米？三、计算（能简算的要简算，每题2分，共12分）15．（8分）简便运算6.7﹣2.5﹣4.7+22×7.8﹣2.75+2.75×3.2777×9+37×1112005÷200716．（4分）解方程：（1）=（2）x﹣x=42四、认真思考，耐心解一解（17题6分，18----22题每题8分，共46分）17．（6分）如图，梯形ABCD的面积是45平方厘米，下底AB=10厘米，高为6厘米，三角形DOC的面积为5平方厘米，求三解形AOB的面积．18．（8分）华润火力发电厂每周节约用煤3吨，如果每10千克煤可以发电15度，照这样计算，该火力发电厂每周节约的煤可以发电多少度？19．（8分）三个植树队共植树1800棵，甲队植树的棵数是乙队的2倍，乙队植树的棵数比丙队少200棵，三队各植树多少棵？20．（8分）一个长方体的玻璃缸，长8dm，宽6dm，高5dm，水深2.5dm，如果投入一块棱长为5dm的正方体铁块，缸里的水溢出多少立方分米？21．（8分）如图，两张规格不同的贺卡叠放在一起，重叠部分的面积是圆形贺卡面积的，是五边形贺卡面积的，若两张贺卡不重叠部分的面积等于220平方厘米，求重叠部分的面积．22．（8分）某出租汽车停车站已停有6辆出租汽车，第一辆出租车出发后，每隔4分钟就有一辆出租汽车开出，在第一辆汽车开出2分钟后，有一辆出租汽车进站，以后每隔6分钟就有一辆出租汽车回站，回站的出租汽车，在原有的出租汽车依次开出之后又依次每隔4分钟开出一辆．问：第一辆出租汽车开出后，经过最少多少时间车站不能正点发车？2017年湖南省长沙市青竹湖湘一小升初数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共21分）1．（3分）如果a表示自然数，那么2a一定是（）A．奇数B．偶数C．质数D．合数【解答】解：根据偶数的意义，如果用a表示自然数，那么2a一定是2的倍数，即2a一定是偶数．故选：B．2．（3分）一个整数精确到万位是30万，这个数精确前可能是（）A．294999 B．309111 C．304997 D．300000【解答】解：29 4999≈29万；30 9111≈31万；30 4997≈30万；30 0000=30万．故选：C．3．（3分）分数单位是并且小于的最简真分数有（）个．A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解：根据最简分数及真分数的意义可知，分数单位是并且小于的最简真分数有：，，共3个．故选：D．4．（3分）大圆的半径是小圆的直径，小圆的面积与大圆面积之比是（）A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．3：π【解答】解：设小圆的半径为r，则大圆的半径2r；则小圆面积：大圆面积=πr2：π（2r）2=1：4；答：小圆面积与大圆面积的比是1：4．故选：C．5．（3分）根据下面几幅图的排列规律，第四幅图是（）A．B．C．D．【解答】解：第一和第三幅图的箭头是相反的，所以第二和第四幅图的箭头也应该是相反的，所以第四幅图的箭头应该向下．故选：A．6．（3分）学校组织看电影，小芳坐在（1，4）的位置，小丽坐在（1，2）的位置，小明与她俩坐在同一直线上，小明坐在（）的位置上．A．（1，3） B．（2，4） C．（2，3）【解答】解：根据题干分析可得：小芳坐在（1，4）的位置，小丽坐在（1，2）的位置，所以小芳与小丽都在第1列，不在同一行，因为小明与她俩坐在同一直线上，所以小明只能在第1列，即小明的数对位置是（1，a），符合题意的是（1，3）．故选：A．7．（3分）如图，在一圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发，反向而行，8分后两人相遇，再过6分甲到B点，又过10分两人再次相遇．甲环行一周需（）分．A．28 B．30 C．32 D．34【解答】解：甲乙的速度比是：8：6=4：3．1÷[1÷（6+10）×]=1÷[×]，=1，=28（分钟）．答：甲环行一周需28分．故选：A．二、填空题（每题3分，共21分）8．（3分）8吨42千克=8.042吨；4小时25分钟=4小时．【解答】解：8吨42千克=8.042吨4小时25分钟=4小时故答案为：8.042，4．9．（3分）一个分数的分子比分母小4，约分后得到，这个分数是．【解答】解：设这个分数的分子是x，则分母是x+4，则5x=3（x+4）5x=3x+125x﹣3x=3x+12﹣3x2x=122x÷2=12÷2x=66+4=10所以这个分数是．答：这个分数是．故答案为：．10．（3分）一个零件长1.6毫米，画在图纸上是4厘米，这幅设计图的比例尺是25：1．【解答】解：4厘米=40毫米，40：1.6=25：1；故答案为：25：1．11．（3分）口袋中有4个红球，3个黄球，在口袋中任意摸一个球，是红球的可能性较大．【解答】解：口袋里有4个红球，3个黄球，红球的数量多于黄球的数量，所以摸到红球的可能性比较大．故答案为：红．12．（3分）如图所示，一个平行四边形被分成三个三角形，已知甲的面积比乙的面积多12平方厘米，乙和丙的面积比是2：3，则原平行四边形的面积是40平方厘米．【解答】解：12÷（1﹣）×2=12÷×2=40（平方厘米）答：平行四边形的面积是40平方厘米．故答案为：40．13．（3分）如图是五（1）班某位同学六次数学测试统计图问：这位同学考试的最高分是100分，最低分是70分，它们相差30分．【解答】解：100﹣70=30（分），答：这位同学考试的最高分是100分，最低分是70分，它们相差30分．故答案为：100、70、30．14．（3分）甲、乙二人分别从A、B两地同时相向而行，乙的速度是甲的，二人相遇后继续行进，甲到B地、乙到A地后立即返回．已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点是20千米，那么，A、B两地相距多少千米？【解答】解：如图，根据题间将AC作为3份，则CB是2份，第一次相遇，甲、乙共走一个AB，第一次相遇到第二次相遇，甲、乙共走2个AB，因此，乙应走CB的2倍，即4份，从而AD是1份，DC是2份（=3﹣1）．已知DC是20千米，所以AB的长度是：20÷2×（2+3），=10×5，=50（千米）；答：A、B两地相距50千米．三、计算（能简算的要简算，每题2分，共12分）15．（8分）简便运算6.7﹣2.5﹣4.7+22×7.8﹣2.75+2.75×3.2777×9+37×1112005÷2007【解答】解：（1）6.7﹣2.5﹣4.7+2=6.7+2﹣4.7﹣2.5=8.7﹣4.7﹣2.5=4﹣2.5=1.5；（2）2×7.8﹣2.75+2.75×3.2=（7.8﹣1+3.2）×2.75=10×2.75=27.5；（3）777×9+37×111=111×（7×9）+37×111=111×63+37×111=111×（63+37）=111×100=11100；（4）2005÷2007====．16．（4分）解方程：（1）=（2）x﹣x=42【解答】解：（1）=25x=625x÷25=6÷25x=0.24（2）x﹣x=42x=42x×=42×x=54四、认真思考，耐心解一解（17题6分，18----22题每题8分，共46分）17．（6分）如图，梯形ABCD的面积是45平方厘米，下底AB=10厘米，高为6厘米，三角形DOC的面积为5平方厘米，求三解形AOB的面积．【解答】解：CD的长度是：45×2÷6﹣10=5（厘米），所以三角形BCD的面积是：5×6÷2=15（平方厘米），则三角形BOC的面积是15﹣5=10（平方厘米），因为三角形ABC的面积是10×6÷2=30（平方厘米），所以三角形AOB的面积是30﹣10=20（平方厘米）．答：三角形AOB的面积是20平方厘米．18．（8分）华润火力发电厂每周节约用煤3吨，如果每10千克煤可以发电15度，照这样计算，该火力发电厂每周节约的煤可以发电多少度？【解答】解：3吨=3000千克15÷10×3000=1.5×3000=4500（度）答：该火力发电厂每周节约的煤可以发电4500度．19．（8分）三个植树队共植树1800棵，甲队植树的棵数是乙队的2倍，乙队植树的棵数比丙队少200棵，三队各植树多少棵？【解答】解：设出乙队植数x棵，则甲队植树2x棵，丙队植树（x+200）棵，由题意得：2x+x+x+200=1800，4x=1800﹣200，4x=1600，x=1600÷4，x=400；甲队植树：400×2=800（棵）；丙队植树：400+200=600（棵）．答：甲队植树800棵，乙队植树400棵，丙队植树600棵．20．（8分）一个长方体的玻璃缸，长8dm，宽6dm，高5dm，水深2.5dm，如果投入一块棱长为5dm的正方体铁块，缸里的水溢出多少立方分米？【解答】解：5×5×5+8×6×2.5﹣8×6×5=125+120﹣240=5（立方分米）答：缸里的水溢出5立方分米．21．（8分）如图，两张规格不同的贺卡叠放在一起，重叠部分的面积是圆形贺卡面积的，是五边形贺卡面积的，若两张贺卡不重叠部分的面积等于220平方厘米，求重叠部分的面积．【解答】解：由圆形贺卡面积×=五边形贺卡面积×，可得：圆形贺卡面积：五边形贺卡面积=6：5=12：10，把圆形贺卡面积看作12份，五边形贺卡面积是10份，则重叠部分的面积是3份，所以两张贺卡不重叠部分的面积是10+12﹣3×2=16份，220÷16×3=41.25（平方厘米）；答：重叠部分的面积为41.25平方厘米．22．（8分）某出租汽车停车站已停有6辆出租汽车，第一辆出租车出发后，每隔4分钟就有一辆出租汽车开出，在第一辆汽车开出2分钟后，有一辆出租汽车进站，以后每隔6分钟就有一辆出租汽车回站，回站的出租汽车，在原有的出租汽车依次开出之后又依次每隔4分钟开出一辆．问：第一辆出租汽车开出后，经过最少多少时间车站不能正点发车？【解答】解：设回车数是x辆，则发车数是x+6辆，当两车用时相同时，则车站内无车，由此可得：4（x+6）=6x+24x+24=6x+2，2x=22，x=11；4×（11+6）=4×17，=68（分钟）；即68分钟时车站内正好无车，则68+4=72（分钟）时不能正点发车．答：经过最少72分钟时车站不能正点发车．附加：小升初数学总复习资料归纳典型应用题具有独特的结构特征的和特定的解题规律的复合应用题，通常叫做典型应用题。
湖南省长沙市一中2025届高三最后一卷数学试卷含解析
湖南省长沙市一中2025届高三最后一卷数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数z 满足(1)2z i -=，其中i 为虚数单位，则1z -=（ ）．A ．iB ．i -C ．1i +D ．1i -2．已知函数()3sin cos (0)f x x x ωωω=->，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（ ）A ．12x π=- B ．12x π= C ．3x π=- D ．3x π=3．已知角α的终边经过点()3,4-,则1sin cos αα+= A ．15- B ．3715 C ．3720 D ．13154．一个组合体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为1），则该几何体的体积是（ ）A ．122π-B ．21π-C ．22π-D ．24π- 5．函数的定义域为（ ）A ．[，3）∪（3，+∞）B ．（-∞，3）∪（3，+∞）C ．[，+∞）D ．（3，+∞）6．已知向量a 与向量()4,6m =平行，()5,1b =-，且14a b ⋅=，则a =（ ）A ．()4,6B ．()4,6--C ．213313,1313⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．213313,1313⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭7．已知(cos ,sin )a αα=，()cos(),sin()b αα=--，那么0a b =是()4k k Z παπ=+∈的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 8．已知复数31i z i -=-，则z 的虚部为（ ） A ．i - B ．i C ．1- D ．19．若i 为虚数单位，则复数112i z i +=+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 10．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右顶点分别为1A ，2A ，虚轴的两个端点分别为1B ，2B ，若四边形1122A B A B 的内切圆面积为18π，则双曲线焦距的最小值为（ ）A ．8B ．16C ．62D ．12211．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A ．113B ．4C ．133D ．512．如图所示，为了测量A 、B 两座岛屿间的距离，小船从初始位置C 出发，已知A 在C 的北偏西45︒的方向上，B 在C 的北偏东15︒的方向上，现在船往东开2百海里到达E 处，此时测得B 在E 的北偏西30的方向上，再开回C 处，由C 向西开26D 处，测得A 在D 的北偏东22.5︒的方向上，则A 、B 两座岛屿间的距离为（ ）A ．3B ．32C ．4D ．42二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖南省长沙市第一中学、长沙市一中城南中学等多校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
湖南省长沙市第一中学、长沙市一中城南中学等多校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知复数z=−2+5i，则i z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．某种袋装大米的质量X（单位：kg）服从正态分布N25,σ2，且P X>25.1=0.05.若某商场购入500袋这种大米，则该种袋装大米的质量在24.9kg∼25.1kg的袋数约为（）A．300 B．350 C．400 D．4503．已知AB⊥AC， AB=2，则AB⋅BC=（）A．0 B．2 C．−4D．44．已知方程mx2+2m−1y2=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A．0,12B．12,1C．1,+∞D．0,15．某单位五一放假，安排甲、乙等五人值班五天，每人值班一天.若甲、乙都至少需要三天的连休假期，则不同的值班安排共有（）A．60种B．66种C．72种D．78种6．在人工智能神经网络理论中，根据不同的需要，可以设置不同的激活神经单元的函数，其中函数tanℎ是比较常用的一种，其解析式为tanℎx=e x−e−xe x+e−x.关于函数tanℎx，下列结论正确的是（）A．tanℎx是偶函数B．tanℎx是单调递增函数C．方程tanℎx=2有唯一解D．tanℎx≥0恒成立7．今天是星期天，则137天后是（）A．星期五B．星期六C．星期天D．星期一8．已知正四棱锥外接球的半径为3，内切球的半径为1，则该正四棱锥的高为（）A．4+3B．4+2C．4±3D．4±2二、多选题9．若集合D含有n个元素，则称D为n元集，D的子集中含有m m≤n个元素的子集叫做D的m元子集.已知集合A=−1,0,1，B=−2,1,2，则（）A．A∩B是2元集B．A∪B的2元子集有10个C．xy|x∈A,y∈B是5元集D．x,y|x∈A,y∈B是x,y|x2+y2≤5,x∈Z,y∈Z的9元子集10．已知随机变量X服从二项分布B4,p，p∈0,1，下列判断正确的是（）A．若E X=1，则D X=34B．P X=0=p−14C．若D X=34，则E X=1D．P X=2的最大值为3811．边长为2个单位长度的正方形ABCD如图1所示.将正方形ABCD向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到正方形EFGH，正方形ABCD和EFGH的组合图形如图2所示.将正方形EFGH向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到正方形CIJK，正方形ABCD，EFGH和CIJK的组合图形如图3所示.依此类推，得到图n n∈N+，则（）A．图3中矩形的个数为11B．图4中矩形的个数为19C．图10中矩形的个数为81D．图1至图20中所有知形的个数之和为1732三、填空题12．记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a，b，c，且2c=ab，A=B，则cos C=. 13．设一组样本数据x1,x2,⋯,x10的平均值是1，且x12,x22,⋯,x102的平均值是3，则数据x1,x2,⋯,x10的方差是.14．做一个容积为250πm3的圆柱形封闭容器，要求所用材料最省，则该容器的底面半径为m，表面积为m2.四、解答题15．如图，在四边形ABCD中，AD⊥AB，AB=AD，平面ABCD与半圆弧AB所在的平面垂直，E是AB上异于A，B的点.(1)证明：△BDE是直角三角形.(2)若E是AB上更靠近B的三等分点，求平面BDE与平面ABCD夹角的余弦值.16．已知数列a n的前n项和为S n，a1=1，a n>0，且2a n S n+1−2a n+1S n=a n a n+1.(1)证明：数列S na n是等差数列.(2)求a n的通项公式.(3)若b n=2n2a n+12a n+1+1，数列b n的前n项和为T n，证明：T n<13.17．已知F为抛物线C：y2=2px p>0的焦点，第一象限内的点P在C上，点P的纵坐标等于横坐标的4倍，且PF=54.(1)求C的方程；(2)若斜率存在的直线l与C交于异于P的A，B两点，且直线PA的斜率与直线PB的斜率之积为16，证明：l过定点.18．京剧被誉为中国文化的瑰宝.每个脸谱都有其独特的象征意义，是京剧中不可或缺的一个组成部分.某商店售卖的京剧脸谱娃娃共有三种款式，有直接购买和盲盒购买两种方式.若直接购买京剧脸谱娃娃，则每个京剧脸谱娃娃售价54元，可选定款式；若盲盒购买京剧脸谱娃娃，则每个盲盒售价27元，盲盒中的一款京剧脸谱娃娃是随机的.(1)甲采用盲盒购买的方式，每次购买一个盲盒并打开，若买到的京剧脸谱娃娃中出现相同款式，则停止购买.用ξ表示甲购买盲盒的个数，求ξ的分布列.(2)乙计划收集一套京剧脸谱娃娃（三种款式各一个），先购买盲盒，每次购买一个盲盒并打开（乙最多购买3个盲盒），若未集齐一套京剧脸谱娃娃，再直接购买没买到的款式，以购买费用的期望值为决策依据，问乙应购买多少个盲盒?19．已知函数f x=e ax+bx2−x（a>0，b>0），且曲线y=f x在点1,f1处的切线经过点0,−b.(1)求a；(2)求f x的单调区间；>ln c+1.(3)若b=1，f ln c=2d，证明：f e d2。
高三数学问题：1.3-含参数的常用逻辑用语问题(含答案)
2017届高三数学跨越一本线问题三 含参数的常用逻辑用语问题通过多年的高考试卷看,求参数的取值范围问题一直是高考考查的重点和热点,同时也是一个难点．考生有时会感到难度较大,与简易逻辑问题有关的参数问题,需要正确理解充分条件和必要条件的定义,弄懂逻辑联接词的含义以及全称量词、特称量词包含的数学理论,本文从各方面多角度地阐述与简易逻辑有关的问题,以飨读者．一、与充分条件、必要条件有关的参数问题充分条件和必要条件的理解,可以翻译成“若p 则”命题的真假,或者集合与集合之间的包含关系,尤其转化为集合间的关系后,利用集合知识处理．【例1】【2017湖南省郴州市上学期第一次质量监测】设集合2{|21,03}A y y x x x ==-+≤≤,集合2{|(21)(1)0}B x x m x m m =--+-≤.已知命题:p x A ∈,命题:q x B ∈,且命题p 是命题的必要不充分条件,求实数m 的取值范围.【分析】先化简给定集合,再利用p 是的必要不充分条件⇔⊂B A ≠解题 【解析】由已知得{|04}A y y =≤≤,{|1}B x m x m =-≤≤. ∵p 是的必要不充分条件,∴A B ⊂≠.则有104m m -≥⎧⎨≤⎩.∴14m -≤≤,故m 的取值范围为[1,4].【点评】充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．【小试牛刀】设p :114≤-x ；:2(21)(1)0x a x a a -+++≤．若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件,求实数的取值范围． 【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,21． 【解析】由114≤-x 得,1141≤-≤-x , 故210≤≤x 由2(21)(1)0x a x a a -+++≤()()10x a x a ⇔--+≤⎡⎤⎣⎦1a x a ⇔≤≤+若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件,∴p 是q 的必要而不充分条件,即[]1,21,0+⊂⎥⎦⎤⎢⎣⎡a a ⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤⇒2110a a 021≤≤-⇒a ,故所求的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,21． 二、与逻辑联接词有关的参数问题逻辑联接词“或”“且”“非”与集合运算的并集、交集、补集有关,由逻辑联接词组成的复合命题的真假与组成它的简单命题真假有关,其中往往会涉及参数的取值范围问题．根据命题真假求参数的方法步骤(1)先根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(3)最后根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围．【例2】【2017宁夏育才中学月考】已知命题函数321()3f x mx x x =++在区间(1,2)上单调递增；命题:q 函数C 的图象上任意一点处的切线斜率恒大于1,若“()p q ∨⌝”为真命题,“()p q ⌝∨”也为真命题,求实数m 的取值范围.【分析】先确定p 真值相同．再根据p ,同真时或同假确定实数m 的取值范围.【点评】含逻辑联结词的命题的真假要转化为简单命题的真假,解题时要首先考虑简单命题为真时参数的范围．然后再根据复合命题的真假列不等式(组)求参数范围【小试牛刀】已知命题:p 方程2222220x y mx m m +-+-=表示圆；命题q ：双曲线2215y x m-=的离心率(1,2)e ∈,若命题“p q ∧”为假命题,“p q ∨”为真命题,求实数m 的取值范围．【答案】215m ≤<【解析】若命题p 为真命题 ,则2240D E F +->,即22(2)4(22)0m m m --->整理得220m m -<,解得02m <<．若命题为真命题,则25(1,4)5me +=∈,解得015m << 因为命题p q ∧为假命题,p q ∨为真命题,所以p q 、中一真一假,若p 真假,则m ∈∅ ; 若p 假真,则215m ≤<,所以实数m 的取值范围为215m ≤<．三、与全称命题、特称命题真假有关的参数问题全称命题和特称命题从逻辑结构而言,是含义相反的两种命题,利用正难则反的思想互相转化,达到解题的目的．【例3】若命题“0,R ∃∈x 使得2002+50++<x mx m ”为假命题,则实数m 的取值范围是（ ）（A ）[10,6]- （B ）(6,2]- （C ）[2,10]- （D ）(2,10)-【分析】命题“0,R ∃∈x 使得2002+50++<x mx m ”的否定是真命题,故将本题转化为恒成立问题求解．【解析】由命题“0,R ∃∈x 使得2002+50++<x mx m ”为假命题,则命题“x R ∀∈使得22+50x mx m ++≥”为真命题．所以24(25)0,210m m m =-+≤∴-≤≤ ．故选（C ）． 【点评】已知命题为假命题,则其否定是真命题,故将该题转化为恒成立问题处理．【小试牛刀】【2017山东潍坊2017届高三上学期期中联考】已知m R ∈,设[]: 1 1p x ∀∈-，,2224820x x m m --+-≥成立；[]: 1 2q x ∃∈，,()212log 11x mx -+<-成立,如果“p q ∨”为真,“p q ∧”为假,求m 的取值范围. 【答案】12m <或32m =． 【解析】若p 为真：对[]1 1x ∀∈-，,224822m m x x -≤--恒成立,设()222f x x x =--,配方得()()213f x x =--,∴()f x 在[]1 1-，上的最小值为3-,∴2483m m -≤-,解得1322m ≤≤,∴p 为真时：1322m ≤≤；若为真：[]1 2x ∃≤，,212x mx -+>成立,∴21x m x -<成立.设()211x g x x x x-==-,易知()g x 在[]1 2，上是增函数,∴()g x 的最大值为()322g =,∴32m <,∴为真时,32m <, ∵p q ∨”为真,“p q ∧”为假,∴p 与一真一假,当p 真假时132232m m ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩,∴32m =,当p 假真时132232m m m ⎧<>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩或,∴12m <,综上所述,m 的取值范围是12m <或32m =.四、与全称量词、特称量词有关的参数问题全称量词“∀”表示对于任意一个,指的是在指定范围内的恒成立问题,而特称量词“”表示存在一个,指的是在指定范围内的有解问题,上述两个问题都利用参变分离法求参数取值范围．【例3】已知命题p ：“0],2,1[2≥-∈∀a x x ”,命题：“022,2=-++∈∃a ax x R x ”． 若命题“p 且”是真命题,则实数的取值范围为（ ） A ．2-≤a 或1=a B ．2-≤a 或21≤≤a C ．1≥a D ．12≤≤-a【分析】若命题“p 且”是真命题,则命题,p q 都是真命题,首先将命题,p q 对应的参数范围求出来,求交集即可．【点评】命题p 是恒成立问题,命题是有解问题．【小试牛刀】已知2:(0,),1p x x mx ∀∈+∞+≥-恒成立,:q 方程222128x y m m +=+表示焦点在轴上的椭圆,若命题“p 且”为假,求实数m 的取值范围． 【答案】(,4]-∞．【解析】由题意：若p 为真,则有1()m x x ≥-+对(0,)x ∈+∞恒成立．12(1x x x+≥= 取“＝”)2m ∴≥-若为真,则有2280m m >+>,即42m -<<-或4m >,由p 且为假,则p 、中至少一个为假．若p 、均为真,则4m >,∴p 且为假,实数m 的取值范围是(,4]-∞【迁移运用】1．【2017四川双流中学高三模拟】已知命题p ⌝：存在()2,1∈x 使得0>-a e x,若p 是真命题,则实数a 的取值范围为（ ）A ．()e ,∞-B ．(]e ,∞-C ．()+∞,2e D ．[)+∞,2e 【答案】D【解析】若存在)2,1(∈x ,使得0>-a e x ,则2max ()x a e e <=,若p 为真命题,则p ⌝为假命题,实数a 的取值范围为),[2+∞e .故本题正确答案为D ． 2．【2017河南南阳一中高三上学期月考】已知“x k >”是“,则的取值范围是（ ）A ．[2,)+∞B ．[1,)+∞C ．(2,)+∞D ．(,1]-∞- 【答案】A 可得1x <-或2x >,因为“x k >”是“条件,所以“x k >”是“1x <-或2x >”的真子集,所以2k ≥,故选A.3．【2017使得0122<+-x x λ成立”是假命题,则实数λ的取值范围为（ ）A ．3=λ【答案】A4．函数12)(2+-=ax x x f 在(]2,∞-上是单调递减函数的必要不充分条件是（ ）A ．2≥aB ．6=aC ．3≥aD ．0≥a 【答案】D ．【解析】函数12)(2+-=ax x x f 在(]2,∞-上是单调递减函数则2≥a ；选项A 是充要条件；选项B 、C 是充分不必要条件；故选D ．5．命题“对任意实数x [1,2]∈,关于的不等式20x a -≤恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）A ．4a ≥B ．4a ≤C ．3a ≥D ．3a ≤ 【答案】C【解析】即由“对任意实数x [1,2]∈,关于的不等式20x a -≤恒成立”可推出选项,但由选项推不出“对任意实数x [1,2]∈,关于的不等式20x a -≤恒成立”．因为x [1,2]∈,所以2[1,4]x ∈,20x a -≤恒成立,即2x a ≤, 因此4a ≥；反之亦然．故选C ．6．已知2()(ln )f x x x a a =-+,则下列结论中错误的是（ ） A ．0,0,()0a x f x ∃>∀>≥ B ．000,0,()0a x f x ∃>∃>≤． C ．0,0,()0a x f x ∀>∀>≥ D ．000,0,()0a x f x ∃>∃>≥ 【答案】C ．7.【2017广东郴州高三第二次教学质量监测】若命题:p “020223x x R a a ∃∈-≤-，”是假命题,则实数的取值范围是________. 【答案】[1,2]【解析】“020223x x R a a ∃∈-≤-，”是假命题等价于2223x x R a a ∀∈->-，,即223a a -≥-,解之得12a ≤≤,即实数的取值范围是[1,2].8．已知关于的不等式()(2)0---≤x a x a 的解集为A ,集合{|22}=-≤≤B x x ．若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件,则实数的取值范围是__________．． 【答案】－2,0]．【解析】由“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件,可知A B,因此a≥－2且a ＋2≤2 解得a∈－2,0]9．已知命题:p R x ∈∃,0122≤++ax ax ．若命题⌝p 是真命题,则实数的取值范围是 ．【答案】)1,0[【解析】若命题⌝p 是假命题,即对于012,2>++∈∀ax ax R x ,当0=a 时,显然成立,当0≠a 时,则100<<⇒⎩⎨⎧<∆>a a ,综上)1,0[∈a ．10．由命题“x∈R,x 2＋2x ＋m≤0”是假命题,求得实数m 的取值范围是（a,＋∞）,则实数a ＝． 【答案】1．【解析】由题意得命题“∀x∈ R,x 2＋2x ＋m>0”是真命题,所以Δ＝4－4m<0,即m>1,故实数m 的取值范围是（1,＋∞）,从而实数a 的值为1．11．【2015学年江苏省涟水中学高三12月月考数学试卷】已知命题：“2(1,4),0x x ax a ∃∈-+<”为真命题,则实数的取值范围是． 【答案】a>4．【解析】2(1,4),0x x ax a ∃∈-+<⇔当(1,4)x ∈时,20x ax a -+<有解⇔(1,4)x ∃∈,使得21x a x >-,设2(x)1x f x =-,则222(x 1)(x)0(1)x x f x --'==-解得x=0,2,当(1,2)x ∈(x)0,(x)f f '<单调递减,当(2,4)x ∈(x)0,(x)f f '>单调递赠,所以2(x)1x f x =-的最小值为(2)4f =,所以a>4．12．【2015届江苏省如东高中高三上学期第8周周练理科数学试卷】若不等式102x m x m-+<-成立的一个充分非必要条件是1132x <<,则实数m 的取值范围是． 【答案】3441≤≤m ． 【解析】因为不等式的102x m x m -+<-成立的充分非必要条件是1132x <<,所以111||0322x m x x x x m -+⎧⎫⎧⎫<<⊂<⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭,当12m m -<即1m >-时,不等式的102x m x m -+<-解集为{|12}x m x m -<<, 由11|{|12}32x x x m x m ⎧⎫<<⊂-<<⎨⎬⎩⎭得：1131221m m m ⎧-≤⎪⎪⎪≥⎨⎪>-⎪⎪⎩,解之得：3441≤≤m ,当12m m -=即1m =-时,不等式102x m x m-+<-解集为∅；当12m m ->即1m <-时,不等式102x m x m-+<-解集为{|21}x m x m <<-由11|{|21}}32x x x m x m ⎧⎫<<⊂<<-⎨⎬⎩⎭得：1231121m m m ⎧≤⎪⎪⎪-≥⎨⎪<-⎪⎪⎩,此时m 无解,所以m 的取值范围为3441≤≤m ． 13．设命题p ：实数满足22430x ax a -+<,其中0a >；命题：实数满足2560x x -+≤． （1）若1a =,且p q ∧为真,求实数的取值范围； （2）若p 是成立的必要不充分条件,求实数的取值范围． 【答案】（1） [)2,3（2）()1,214.已知命题P :在R 上定义运算⊗：.)1(y x y x -=⊗不等式1)1(<-⊗x a x 对任意实数恒成立；命题Q ：若不等式2162≥+++x ax x 对任意的*N x ∈恒成立．若P Q ∧为假命题,P Q ∨为真命题,求实数的取值范围． 【答案】123>-<<-∴a a 或．【解析】由题意知,x a x x a x )1)(1()1(--=-⊗若命题P 为真,01)1()1(2>+---x a x a 对任意实数恒成立,∴①当01=-a 即1=a 时,01>恒成立,1=∴a ；②当01≠-a 时,⎩⎨⎧<---=∆>-0)1(4)1(012a a a ,13<<-∴a , 综合①②得,13≤<-a若命题Q 为真,0>x ,01>+∴x ,则有)1(2)6(2+≥++x ax x 对任意的*N x ∈恒成立 , 即2)4(++-≥x x a 对任意的*N x ∈恒成立,令2)4()(++-=xx x f ,只需max )(x f a ≥, 224242)(-=+-=+⋅-≤xx x f ,当且仅当)(4*N x x x ∈=即2=x 时取“=”,2-≥∴aP Q ∧为假命题,P Q ∨为真命题,Q P ,∴中必有一个真命题,一个假命题,（1）若P 为真Q 为假,则⎩⎨⎧-<≤<-213a a ,23-<<-a ,（2）若P 为假Q 为真,则⎩⎨⎧-≥>-≤213a a a 或,1>∴a ,综上：123>-<<-∴a a 或．15．设命题p :实数满足22430x ax a -+<,其中0a >,命题:实数满足2260,280.x x x x ⎧--≤⎪⎨+->⎪⎩．（1）若1,a =且p q ∧为真,求实数的取值范围; （2）若p ⌝是⌝的充分不必要条件,求实数的取值范围． 【答案】（1） (2,3) （2） (]1,2【解析】（1）当1a =时,{}:13p x x <<,{}:23q x x <≤, 又p q ∧为真,所以p 真且真, 由1323x x <<⎧⎨<≤⎩,得23x <<所以实数的取值范围为(2,3)（2） 因为p ⌝是⌝的充分不必要条件, 所以是p 的充分不必要条件, 又{}:3p x a x a <<,{}:23q x x <≤,所以0233a a a >⎧⎪≤⎨⎪>⎩,解得12a <≤所以实数的取值范围为(]1,216.【2016湖北省襄阳市四校高三上学期期中联考】设:p 实数满足：03422<+-a ax x （0>a ）,:q 实数满足：121-⎪⎭⎫⎝⎛=m x ,()2,1∈m()I 若41=a ,且q p ∧为真,求实数的取值范围； ()II 是p 的充分不必要条件,求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<4321x x；（Ⅱ）11[,]32．()II 是p 的充分不必要条件,记⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<=121x x A ,{}0,3><<=a a x a x B则A 是B 的真子集 ⎪⎩⎪⎨⎧>=∴1321a a 或⎪⎩⎪⎨⎧≥<1321a a … 得2131≤≤a ,即的取值范围为1132⎡⎤⎢⎥⎣⎦，… 17. 【2017河北省冀州中学上学期第二次阶段考试】设命题:p 实数满足22430x ax a -+<,0a ≠；命题:q 实数满足302x x-≥-. （Ⅰ）若1a =,p q ∧为真命题,求的取值范围；（Ⅱ）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件,求实数的取值范围.18．已知命题p ：“方程230x ax a -++=有解”,q：“11042x xa +->∞在[1,+)上恒成立”,若p 或q 为真命题,p 且q 为假命题,求实数的取值范围．【答案】206a a -<≤≥或【解析】:26p a a ≤-≥或．令21,2xt t t a =+> 02t <≤ ,:0q a ∴≤．∵pq 一真一假,∴260a a a ≤-≥⎧⎨>⎩或 或260a a -<<⎧⎨≤⎩ 得：206a a -<≤≥或19．命题p 实数满足03422<+a ax -x （其中0a >）,命题实数满足⎪⎩⎪⎨⎧>+≤02321x-x x- （1）若1a =,且p q ∧为真,求实数的取值范围；（2）若p ⌝是⌝的充分不必要条件,求实数的取值范围．【答案】（1）()2,3.；（2）(1,2]．【解析】由：03422<+a ax -x （其中0a >）,解得3a x a <<, 记(,3)A a a = 由⎪⎩⎪⎨⎧>+≤02321x-x x-,得132,3或x x x -≤≤⎧⎨><-⎩,即23x <≤,记(]2,3B =． （1）若1a =,且p q ∧为真,则(1,3)A =,(]2,3B =,又p q ∧为真,则1323x x <<⎧⎨<≤⎩,所以23x <<,因此实数的取值范围是()2,3.（2）∵p ⌝是q ⌝的充分不必要条件,∴p 是的必要不充分条件,即B A ≠⊂,(]2,3(,3)a a ≠⊂,则只需3302a a >⎧⎨<≤⎩,解得12a <≤,故实数a 的取值范围是(1,2]．20．【2017届山东潍坊市高三上学期期中联考】已知m R ∈,设[]: 1 1p x ∀∈-，,2224820x x m m --+-≥成立；[]: 1 2q x ∃∈，,,如果“p q ∨”为真,“p q ∧”为假,求m 的取值范围. 【解析】若p 为真：对[]1 1x ∀∈-，,224822m m x x -≤--恒成立, 设()222f x x x =--,配方得()()213f x x =--, ∴()f x 在[]1 1-，上的最小值为3-,∴2483m m -≤-,∴p 为真时： 若为真：[]1 2x ∃≤，,212x mx -+>成立,易知()g x 在[]1 2，上是增函数,∴()g x 的最大值为∴为真时∵p q ∨”为真,“p q ∧”为假,∴p 与一真一假,当p 真假时当p 假真时综上所述,m 的取值范围是21．【2017届山东潍坊市高三上学期期中联考】已知m R ∈,设[]: 1 1p x ∀∈-，,2224820x x m m --+-≥成立；[]: 1 2q x ∃∈，,,如果“p q ∨”为真,“p q ∧”为假,求m 的取值范围. 【解析】若p 为真：对[]1 1x ∀∈-，,224822m m x x -≤--恒成立, 设()222f x x x =--,配方得()()213f x x =--, ∴()f x 在[]1 1-，上的最小值为3-,∴2483m m -≤-,∴p 为真时： 若为真：[]1 2x ∃≤，,212x mx -+>成立,易知()g x 在[]1 2，上是增函数,∴()g x 的最大值为∴为真时∵p q ∨”为真,“p q ∧”为假,∴p 与一真一假,当p 真假时当p 假真时综上所述,m 的取值范围是。
湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含解析)
湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷时量：120分钟满分：150分得分______一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数，则在复平面对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设直线的倾斜角为，则A. B. C. D.3.如图，在平行六面体中，为与的交点.若，则下列向量中与相等的是A.B. C. D.4.已知数列为等差数列，.设甲：；乙：，则甲是乙的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽AB 为2m ，渠深OC 为1.5m ，水面EF 距AB 为0.5m ，则截面图中水面的宽度EF）A.0.816mB.1.33mC.1.50mD.1.63m6.已知圆．与圆外切，则ab 的最大值为1i2iz -=+z :80l x -+=αα=30︒60︒120︒150︒1111ABCD A B C D -M 11A C 11B D AB 1,,a AD b AA c ===BM1122a b c ++1122a b c -++1122a b c --+1122a b c -+{}n a *,,,p q s t ∈N p q s t +=+p q s t a a a a +=+ 2.448≈≈≈221:()(3)9C x a y -++=222:()(1)1C x b y +++=A.2B.C.D.37.若函数在区间上只有一个零点，则的取值范围为A. B. C. D.8.已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上存在两点A ，B 使得梯形的高为（为该椭圆的半焦距），且，则椭圆的离心率为B.D.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是A.用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，某个个体被抽到的概率是0.2B.已知一组数据1，2，m ，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5C.数据27，12，14，30，15，17，19，23的分位数是18D.若样本数据的平均值为8，则数据的平均值为1510.下列四个命题中正确的是A.过定点，且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程为B.过定点的直线与以为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围为或C.定点到圆D.过定点且与圆相切的直线方程为或11.在棱长为2的正方体中，点满足，则A.当时，点到平面B.当时，点到平面52)44()2sin cos sin cos (0)f x x x x x ωωωωω=->π0,2⎛⎫⎪⎝⎭ω14,33⎛⎤ ⎥⎝⎦14,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭17,66⎛⎤⎥⎝⎦17,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭12,F F 2222:1(0)x y E a b a b+=>>E 12AF F B c c 124AF BF =E 4556m 50%1210,,,x x x 121021,21,,21x x x --- (1,1)P -x y 20x y --=(1,1)P -(3,1),(3,2)M N -k 12k - (32)k …(1,0)Q 22(1)(3)4x y ++-=2-(1,0)Q 22(1)(3)4x y ++-=51250x y +-=1x =1111ABCD A B C D -P 1,,[0,1]AP AC AD λμλμ=+∈0λ=P 11A BC 0μ=P 11A BCC.当时，存在点，使得D.当时，存在点，使得平面PCD 选择题答题卡题号1234567891011得分答案三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.假设，且与相互独立，则______.13.斜率为1的直线与椭圆相交于A ，B 两点，AB 的中点为，则______．14.已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，则的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.（1）求角；（2）若，点满足，且，求的面积.16.（15分）在四棱锥中，底面ABCD 是正方形，若.（1）求证：平面平面ABCD ；（2）求平面ABQ 与平面BDQ 所成夹角的余弦值.17.（15分）已知双曲线的左、右焦点分别为的一条渐近线方程为，且.（1）求的方程；（2）A ，B 为双曲线右支上两个不同的点，线段AB 的中垂线过点，求直线AB 的斜率的取值范围.34μ=P 1BP PC ⊥34λ=P 1BC ⊥()0.3,()0.4P A P B ==A B ()P AB =22143x y +=(,1)M m m ={}n a n n S 457,,{5,0}a S S ∈-n S ABC π22sin 6b aA c+⎛⎫+=⎪⎝⎭C 1a =D 2AD DB = ||CD = ABC Q ABCD -2,3AD QD QA QC ====QAD ⊥2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>12,,F F E y =2c =E E (0,4)C18.（17分）已知是数列的前项和，若.（1）求证：数列为等差数列.（2）若，数列的前项和为.（ⅰ）求取最大值时的值；（ⅱ）若是偶数，且，求.19.（17分）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.（1）若圆是直线族的包络曲线，则m ，n 满足的关系式是什么？（2）若点不在直线族的任意一条直线上，求的取值范围和直线族的包络曲线.（3）在（2）的条件下，过曲线上A ，B 两点作曲线的切线，其交点为.若且，B ，C 不共线，探究是否成立？请说明理由.n S {}n a n 1112n n n n S S a a ++-={}n a 12,13n n a c a =-=+{}n c n n T n T n m 2(1)nn n b a=-21mi i b =∑1x ty =+(1,0)221:1C x y +=1(,)mx ny m n +=∈R ()00P x y ，2:(24)4(2)0()a x y a a Ω-++-=∈R 0y ΩE E E 12,l l P (0,1)C A PCA PCB ∠=∠长沙市第一中学2024-2025学年度高二第一学期期中考试数学参考答案一、二、选择题题号1234567891011答案DABADDACACDBDBD1.D 【解析】因为，对应点为，在第四象限.故选D.2.A 【解析】由直线，可得直线的斜率为设直线的倾斜角为，其中，可得，所以.故选A.3.B 【解析】.故选B.4.A 【解析】甲是乙的充分条件；若为常数列，则乙成立推不出甲成立.5.D 【解析】以为原点，OC 为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设扡物线的标准方程为，由题意可得，代入得，得，故抛物线的标准方程为，设，则，则，1i (1i)(2i)13i 2i (2i)(2i)55z ---===-++-13,55⎛⎫- ⎪⎝⎭:80l x +=l k =l α0180α︒︒<…tan α=30α︒=11111111111111222222BM BB B M AA B AB C AA AB ADa b c =+=++=-+=-++ {}n a O y 22(0)x py p =>(1,1.5)B 22x py =13p =13p =223x y =()()0000,0,0F x y x y >>0 1.50.51y =-=200221,0.81633x x =⨯===≈所以截面图中水面的宽度EF 约为，故选D.6.D 【解析】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，依题意，，于是，即，因此，当且仅当时取等号，所以ab 的最大值为3.故选D.7.A 【解析】由，令，则由题意知.8.C 【解析】如图，由，得，则为梯形的两条底边，作于点，由梯形的高为，得，在Rt 中，，则有，即，在中，设，则，，即，解得，在中，，同理，又，所以，即，所以离心率.故选C.0.8162 1.63m ⨯≈221:()(3)9C x a y -++=1(,3)C a -13r =222:()(1)1C x b y +++=2(,1)C b --21r =12124C C r r =+=222()24a b ++=22122224a b ab ab ab ab =+++=…3ab …a b =)22π()sin 2sincos sin 222sin 23f x x x x x x x ωωωωωω⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭πππ2π362k x k x ωωω-=⇒=+ππππ14,626233ωωωω⎛⎤<+⇒∈ ⎥⎝⎦…214AF BF =12//AF BF 12,AF BF 12AF F B 21F P AF ⊥P 12AF F B c 2PF c =12F PF 122F F c =1230PF F ︒∠=1230AF F ︒∠=12AF F 1AF x =22AF a x =-22221121122cos30AF AF F F AF F F ︒=+-222(2)4a x x c -=+-1AF x ==12BF F 21150BF F ︒∠=2BF =214AF BF = 4=3a =c e a ==9.ACD 【解析】对于A ，一个总体含有50个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为10的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为，故A 正确；对于B ，数据1，2，m ，6，7的平均数是，这组数据的方差是，故B 错误；对于C ，，第50百分位数为，故C 正确；对于D ，依题意，，则，故D 正确；故选ACD.10.BD 【解析】对于A ，过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线还有过原点的直线，其方程为错误；对于B ，直线PM ，PN 的斜率分别为，依题意，或，即或，B 正确；对于C ，圆的圆心，半径，定点到圆C 错误；对于D，圆的圆心，半径，过点斜率不存在的直线与圆相切，当切线斜率存在时，设切线方程为，解得，此切线方程为，所以过点且与圆相切的直线方程为或，D 正确；故选BD.11.BD 【解析】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，11100.2505⨯== 4,4512674m =⨯----=222222126(14)(24)(44)(64)(74)55s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦850%4⨯=1719182+=8x =2116115x -=-=(1,1)-x y ,A y x =-2(1)31(1)1,312312PN FM k k ----====----PM k k …FN k k …12k -…32k (2)2:(1)(3)4C x y ++-=(1,3)C -2r =(1,0)Q 2(1)x +2(3)4y +-=22,=22:(1)(3)4C x y ++-=(1,3)C -2r =(1,0)1x =C (1)y k x =-2=512k =-51250x y +-=(1,0)22(1)(3)4x y ++-=51250x y +-=1x =1111ABCD A B C D -则,，设平面的法向是为，则令，得，对于，当时，，点到平面的距离A 错误；对于B ，当时，，点到平面的距离B 正确；对于C ，当时，，则，当时，显然，方程无实根，即BP 与不垂直，C 错误；对于D ，当时，，则，显然，即，由，得，1111(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,0,2),(2,2;2),(0,2,2)A B C D A B C D 11(2,0,2),(0,2,2)BA BC =-=11A BC (,,)n x y z = 11220,220,n BA x z n BC y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩1z =(1,1,1)n =- A 0λ=11(0,2,2),(0,2,2),(0,2,22)AP AD P A P μμμμμμμ===-P 11ABC 11||n A Pd n ⋅=== 0μ=(2,2,0),(2,2;0),(22,2,0)AP AC P BP λλλλλλλ===-P 11ABC 2||||n BP d n ⋅===34μ=133333(2,2,0)0,,2,2,42222AP AC AD λλλλλ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 13333112,2,,22,2,,22,2,222222P BP C P λλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2213135(22)228602242BP C P λλλλλ⎛⎫⎛⎫⋅=-++--=-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2564802∆=-⨯⨯<1PC 34λ=133333,,0(0,2,2),2,242222AP AC AD μμμμμ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 3331,2,2,,2,2,(2,0,0),(0,2,2)2222P DP DC BC μμμμ⎛⎫⎛⎫+=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10DC BC ⋅= 1BC DC ⊥1122402DP BC μμ⎛⎫⋅=-+= ⎪⎝⎭ 18μ=即当时，，而平面PCD ，因此平面PCD ，D 正确．故选BD.三、填空题12.0.12【解析】由，且与相互独立，得，13.【解析】设直线AB 的方程为，代入椭圆方程，可得，由韦达定理可得，则，则，则，所以.14.-6【解析】取得最小值，则公差或，①当时，，所以，又，所以，所以，故，令，得，所以的最小值为.②当，不合题意.综上所述：的最小值为-6.四、解答题15.【解析】（1），，，，，18μ=1BC DP ⊥,,DC DP D DC DP ⋂=⊂1BC ⊥()0.3,()0.4P A P B ==A B ()()()0.12P AB P A P B ==43-y x b =+22143x y +=22784120x bx b ++-=1287bx x +=-()121427M b x x x =+=-43177M M b y x b b b =+=-+==73b =474733M m x ==-⨯=-n S 40,5d a >=-10a =40a =7470S a ==55S =-535S a =31a =-4310a a d -==>4n a n =-0n a …4n …n S 346S S ==-4745,735a S a =-==-4570,5,0,n a S S S ==-=π2πsin 2sin 2sin 2sin 66sin b a B A A A c C ++⎛⎫⎛⎫+=⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos )sin sin()2sin A A C A C A ∴+=++sin cos sin sin cos cos sin 2sin A C A C A C A C A +=++sin sin cos 2sin ,(0,π),sin 0A C A C A A A =+∈∴≠ πππ5πcos 2sin 1,,6666C C C C ⎛⎫⎛⎫=+⇒-=-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.…………………………………………………………………………………6分（2）由，，，分16.【解析】（1）证明：中，，所以，所以.又平面平面QAD ，所以平面QAD.又平面ABCD ，所以平面平面ABCD .……………………………………………………5分（2）取AD 的中点，因为，所以，且，因为，平面平面ABCD ，平面平面，所以平面ABCD ．在平面ABCD 内作，以OD 为轴，OQ 为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，设平面ABQ 的法向量为，由，ππ2π,623C C ∴-=∴=222()33AD DB CD CA AD CA AB CA CB CA =⇒=+=+=+- 1212,||3333CD CA CB CD CA CB ∴=+∴=+==22214474272b a ab b b ⎛⎫∴++⋅-=⇒+-= ⎪⎝⎭211230(1)(3)03,sin 1322b b b b b S ab C ∴--=⇒+-=⇒=∴==⨯⨯=QCD 2,3CD AD QD QC ====222CD QD QC +=CD QD ⊥,,CD AD AD QD D AD ⊥⋂=⊂QAD QD ⊂，CD ⊥CD ⊂QAD ⊥O QD QA =OQ AD ⊥2OQ ==OQ AD ⊥QAD ⊥QAD ⋂ABCD AD =OQ ⊥Ox AD ⊥y z O xyz -(0,0,0),(0,1,0),(2,1,0),(2,1,0),(0,1,0),(0,0,2)O A B C D Q --()111,,x y z α=(2,0,0),(0,1,2)AB AQ ==得令，得，所以平面ABQ 的一个法向量.设平西BDQ 的法向量为，由，得令，得，所以平面BDQ 的一个法向量.所以所以平面ABQ 与平面BDQ分17.【解析】（1）由题得推出所以双曲线的方程为.……………………………………………………………………4分（2）由题意可知直线AB 斜率存在且，设，设AB 的中点为.由消去并整理得，则，即，，于是点为.11120,20,AB x AQ y z αα⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 11z =-112,0y x ==(0,2,1)α=- ()222,,x y x β=(2,2,0),(0,1,2)BD DQ =-=- 2222220,20,BD x y DQ y x ββ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 21z =222,2y x ==(2,2,1)β= |cos ,αβ〈〉 2222,,b a c c a b ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩1,a b ==E 2213y x -=k ≠()()1122:,,,,AB y kx m A x y B x y =+M 22,33y kx m x y =+⎧⎨-=⎩y ()22223230,30k x kmx m k ----=-≠()()()22222(2)4331230km k m m k ∆-+-+-+-=223m k >-()21212121222222326,,223333km m km m x x x x y y k x x m k m k k k k++==-+=++=⋅+=----M 2222234331243,,333M C MC M m y y km m m k k k km k k x kmk---+⎛⎫-=== ⎪--⎝⎭-由中垂线知，所以，解得：.所以由A ，B 在双曲线的右支上可得：，且，且或，所以，即，综上可得，．…………………………………………………………………………15分18.【解析】（1）因为，所以是以为首项，以为公差的等差数列，所以，即①，所以②，由②-①可得，即，所以，所以，所以数列为等差数列.………………………………………………………7分（2）（Ⅰ）由题意知在等差数列中，，故.可得，当时，取最大值.………………………………………………………………………………12分（Ⅱ）.………………………………………………………………17分19.【解析】（1）由定义可知，与相切，则圆的圆心到直线的距离等于1，则，即.……………………………………………………4分1MC AB k k ⋅=-231241m k km k-+=-23m k =-22221223303033m m x x m k k k m++=-=->⇒=-<⇒>-12222003km x x k k k +==>⇒>-()()()()()222222221230333403m k k k k k k ∆=+->⇒-+-=-->⇒<24k >24k >2k >(2,)k ∈+∞1112n n n n S S a a ++-=n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭111a a =12111(1)22n n S n n a +=+-=12n n n S a+=1122n n n S a +++=1122n n n n a a ++=11111n n a a a a n n +====+ 111(1),n n a n a a na +=+=11n n a a a +-={}n a {}n a 1(1)2n a a n d n =+-=-132n c n =-22(1)11(2)12(6)362n n n T n n n n -=+⨯-=-=--+∴6n =n T 222222212321234521mi m mi b b b b b a a a a a a ==++++=-+-+-++∑ ()()()()22222222123456212m m a a a a a a a a -=-++-++-+++-+ ()21232284m a a a a m m =-++++=+ 1mx ny +=221x y +=1C (0,0)1mx ny +=d 1==221m n +=（2）点不在直线族的任意一条直线上，所以无论取何值时，4）无解.将整理成关于的一元二次方程：.()00,P x y 2:(24)4(2)0(R)a x y a a Ω-++-=∈a (2a -2004(2)0x y a ++-=200(24)4(2)0a x y a -++-=a ()()2000244440a x a y x +-++-=。
湖南长沙市芙蓉区铁路一中 2017年九年级数学中考模拟试卷(含答案)(解析版)
2017年中考数学模拟试卷、选择题：1. 下列表示东台某天早晨、中午和午夜的温度（单位：℃），则下列说法正确的是（）A. 午夜与早晨的温差是11℃B. 中午与午夜的温差是0℃C. 中午与早晨的温差是11℃D. 中午与早晨的温差是3℃【答案】C【解析】试题分析：根据数轴可知：该地区早晨、中午和午夜的温度（单位：℃）分别为：-7℃，-4℃,4℃，所以中午与早晨的温差=4-（-7）=ll℃，午夜与早晨的温差=-4-（-7）=3℃，中午与午夜的温差=4-（-4）=8℃，所以A、B、D错误，C正确。
故选：C．考点：数轴、有理数的加减．2. 下列各数精确到万分位的是（）A. 0.0720B. 0.072C. 0.72D. 0.176【答案】A【解析】解：0.0720精确到万分位；0.072精确到千分位；0.72精确到百分位；0.176精确到千分位．故选A．3. 下列计算正确的是（）A. 2a•3a=6aB. (﹣a3)2=a6C. 6a÷2a=3aD. (﹣2a)3=﹣6a3【答案】B【解析】试题分析：A、根据单项式乘单项式的方法判断即可；B、根据积的乘方的运算方法判断即可；C、根据整式除法的运算方法判断即可；D、根据积的乘方的运算方法判断即可．∵2a•3a=6a2，∴选项A不正确；∵（﹣a3）2=a6，∴选项B正确；∵6a÷2a=3，∴选项C不正确；∵（﹣2a）3=﹣8a3，∴选项D不正确考点：（1）整式的除法；（2）幂的乘方；（3）积的乘方；（4）单项式乘单项式．4. 在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：将一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两边的图形能够完全重叠，则这个图形就是轴对称图形；将一个图形绕某一点旋转180°之后能够与原图形完全重叠，则这个图形就是中心对称图形.根据定义可得：A为中心对称图形；C和D为轴对称图形；B既是轴对称图形也是中心对称图形.5. 在2016年龙岩市初中体育中考中,随意抽取某校5位同学一分钟跳绳的次数分别为:158，160，154，158，170,则由这组数据得到的结论错误的是（）A. 平均数为160B. 中位数为158C. 众数为158D. 方差为20.3【答案】D........................6. 由7个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，则关于它的视图说法正确的是( )A. 正视图的面积最大B. 俯视图的面积最大C. 左视图的面积最大D. 三个视图的面积一样大【答案】B【解析】正视图为,面积为4;俯视图为面积为6;左视图为,面积为5;故选B7. 若一次函数y=（3﹣k）x﹣k的图象经过第二、三、四象限，则k的取值范围是( )A. k＞3B. 0＜k≤3C. 0≤k＜3D. 0＜k＜3【答案】A【解析】试题分析：经过第二、三、四象限是3-k<0，-k<0，∴k>3，k>0，取公共解k>3，故选A．考点：一次函数图像性质．8. 如图,将矩形纸片ABCD沿EF折叠,使D点与BC边中点D重合,若BC=8,CD=6,则CF长为（）A. 1.5B.C. 2D. 1【答案】B【解析】∵D′是BC的中点，∴D′C=BC=4，由折叠的性质知：DF=D′F，设CF=x，则D′F=DF=6﹣x，在Rt△CFD′中，根据勾股定理得：D′F2=CF2+CD′2，即：（6﹣x）2=x2+42，解得x=，∴CF=．故选：B．、填空题：9. -27的立方根与的平方根之和是__________.【答案】-6或0【解析】试题分析：分别利用平方根、立方根的定义求解即可．解题注意=9，所以求的算术平方根就是求9的平方根．解：∵﹣27的立方根是﹣3，的平方根是±3，所以它们的和为0或﹣6．故答案：0或﹣6．考点：立方根；平方根．10. 若m2﹣n2=6，且m﹣n=2，则m+n=______．【答案】3．【解析】将m2－n2按平方差公式展开，再将m－n的值整体代入，即可求出m＋n的值：∵，∴m＋n=3。
湖南省长沙市一中高三数学周考卷(文数)
桩机操作工雨季施工保护详细措施在雨季进行桩机施工时，为了保障人员安全和工程进度的正常推进，需要掌握一些必要的雨季施工保护措施。
1. 桩机操作前的检查在进行桩机施工前，需要做好检查工作，确保设备和工作环境的安全。
具体措施包括：1.1 检查设备安全•检查桩机的液压系统、驱动系统、转向系统、制动系统等重要部位，确保设备功能正常。
•检查各管路和油封，杜绝漏油现象的出现。
•检查各种机具的连接是否牢固，能否稳定地完成施工任务。
•检查起重机械的使用和维护情况，确保使用可操作、安全、稳定。
1.2 检查工作环境•检查施工现场是否路面湿滑，是否有积水现象。
•检查环境中是否存在各类障碍物，如电缆、铁丝等。
•检查施工现场的边坡、围墙是否稳定，防止坍塌风险。
2. 桩机操作时的注意事项桩机操作人员应当掌握一些必要的技巧和注意事项，以确保桩机的稳定性和施工的高效性。
2.1 操作技巧•操作桩机时应按照标准、规范、合理、安全的步骤进行，严格遵循施工作业规程和安全操作规程。
•在施工过程中，应注意调整施工机具的角度和深度，保证其不会出现倾斜、错位等情况。
•在操作时，应尽量避免出现进行作业的斜坡、边坡、沟坑等障碍物，并对施工现场进行足够的照明处理。
•严格遵守操作手册要求，结合现场实际情况进行施工，切勿盲目施工。
2.2 安全注意事项•雨季期间，桩机施工前应查看天气预报，选择天气良好的日期进行施工，切勿在大雨、暴雨、雷电等恶劣天气进行施工。
•在进行施工时，需要对现场环境以及设备设施进行可靠的维护。
•在施工前，应向工作环境周围的路人进行充分的提示和安全警告。
•操作员应全程进行视觉监测，特别是在进行作业的时候，需要随时观察操作机器的姿态变化，无论是机器的位置还是动态跟踪，都要注意观察。
•在走动的时候，尽量避免拿插头、线缆等随意放置避免跌倒、电击和灰尘等飞溅危害。
3. 雨季施工后的保养处理即使雨季施工结束了，桩机设备和工作区域的保养和处理也不能松懈。
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2017年湖南省长沙一中第二次招生数学试卷一．填空题。
1．4小时26分钟＝（）小时8吨420千克＝（）吨2．在如图中，每次框出连续4个自然数，共可得到个不同的和．3．有10根圆柱形木头，要把每根都锯成3段，每锯一段需要3分钟，把10根木头锯完需要分钟．4．一个长方体的高减小2厘米后，成为一个正方体，那么表面积就减小48平方厘米，这个正方体的体积是立方厘米．5．已知如图中三角形的面积是10平方厘米，图中圆的面积是平方厘米．6．有一个深4分米的长方体容器，其内侧底面为边长3分米的正方形．当容器底面的一边升．紧贴桌面倾斜如图时，容器内的水刚好不溢出．容器内的水有7．甲走的路程比乙走的路程多，乙用的时间比甲多，那么甲乙的速度比是．二.选择题8．如果A是B的12倍，下列关系式正确的是（）A．A×12＝B B．B÷A＝12C．A÷12＝B9．下列各数中与9000最接近的数是（）A．8990B．0.91万C．9999D．0.89万10．被减数、减数与差，这三个数的和是124，那么被减数是（）A．124B．62C．4511．小明从A地到B地的平均速度是3米/秒，然后从B地原路返回，平均速度是7米/秒．那么，小明来回的平均速度是（）A．4.2B．4.8C．5D．5.412．晚饭后，爸爸去洗澡，热水器里装有250升水，他洗了6分，用了一半的水，然后停止洗澡，6分后，小明去洗澡，他也用了6分，把热水器内的水用完．下面（）幅图描述了热水器内水的体积是如何随时间而变化的．A．B．C．13．如图所示：用黑白两种颜色的正五边形地砖按下图所示的规律，变成若干个蝴蝶图案，则第7幅图案中的白色地砖有（）A．35块B．27块C．30块D．22块14．14、如图是一个边长为2厘米的正方形，这个正方形被分割成两个正方形M和N以及两个非正方形，如果M的面积是N的4倍，那么N的边长是（）A．厘米B．厘米C．厘米D．厘米三、解答题。
15．解方程15.8x+23＝183x﹣x＝0.1516．计算①1÷1+7.5+÷1②5﹣（2.375﹣1）﹣3③87×43+430×1④1+2+3+4．四、认真思考，耐心解一解．17．在三月学雷锋活动中，学校团委组织男女生共200名同学到市政广场参加义务劳动，其中男生人数比女生人数的2倍还少1人，求参加义务劳动的男、女生各多少人？18．一块长32厘米、宽25厘米的铁皮，从四个角各切掉一个边长为3厘米的正方形，然后做成盒子．这个盒子用了多少铁皮？它的容积有多少立方厘米？（如图）19．如图1为大、小两个正方形，中心重叠于O点．将小正方形绕点O旋转45°，得到图2．其中阴影部分的面积a为9平方厘米、b为2平方厘米．问：两个正方形的面积各为多少？20．如图是一个残破的钟面．用软尺量得其边沿的弧长是15.7厘米，你能算出它的完整的钟面的面积吗？21．一批零件、甲、乙两人合作12天可以完成，他们合作若干天后，乙因事请假，乙这时只完成了总任务的．甲继续做，从开始到完成任务用了14天，请问乙请假几天？22．甲乙两车从AB两地同时相对开出，4小时后两车在距离中点120千米处相遇，已知甲车的速度是乙车的，甲乙两车的速度分别是多少？AB两地相距多少千米？2017年湖南省长沙一中第二次招生数学试卷参考答案与试题解析一．填空题。
1．8吨420千克＝（）4小时26分钟＝（）小时吨【分析】把8吨420千克换算成吨数，先把420千克换算成吨数，用420除以进率1000，得数再加上8；由复名数化单名数，把26分除以进率60化成时再与4小时相加．【解答】解：8吨420千克＝（8.42）4小时26分钟＝（4）小时吨故答案为：8.42，4．【点评】本题是考查质量的单位换算、时间的单位换算，单位换算首先要弄清是由高级单位化低级单位还是由低级单位化高级单位，其次记住单位间的进率．个不同的和．2．在如图中，每次框出连续4个自然数，共可得到36【解答】解：40﹣2+1﹣3＝39﹣3＝36故共可得到36个不同的和．故答案为：36．【点评】考查了数与形结合的规律，本题要按照顺序依次计数，做到不重复不遗漏．3．有10根圆柱形木头，要把每根都锯成3段，每锯一段需要3分钟，把10根木头锯完需要60分钟．【分析】锯一段需要3分钟，即锯开一次需要3分钟；把每根木头锯成3段，需要锯3﹣1＝2次，所以10根木头需要锯2×10＝20次，由此即可解答．【解答】解：（3﹣1）×10×3，＝2×10×3，＝60（分钟）；答：把10根木头锯完需要60分钟．故答案为：60．【点评】锯木头问题中：锯的次数＝锯成的段数﹣1．4．一个长方体的高减小2厘米后，成为一个正方体，那么表面积就减小48平方厘米，这个正方体的体积是216立方厘米．【分析】根据题干分析可得，表面积比原来减少了48平方厘米是指减少了高为2厘米的长方体的4个侧面的面积．首先求出减少部分的1个侧面的面积，48÷4＝12平方厘米；由已知如果高减少2厘米，就成为一个正方体，说明原来长方体的底面是正方形；用12÷2＝6厘米，即可求出原来长方体的底面边长．再根据正方体的体积公式：v＝a3，把数据代入公式解答．【解答】解：原来长方体的底面边长是：48÷4÷2＝12÷2＝6（厘米）；正方体的体积是：6×6×6＝216（立方厘米）；答：这个正方体的体积是216立方厘米．故答案为：216立方厘米．【点评】此题考查了长方体和正方体的公式的运用，关键是由减少部分的面积求出长和宽，即正方体的棱长．5．已知如图中三角形的面积是10平方厘米，图中圆的面积是62.8平方厘米．【分析】根据图意可知，三角形的面积等于圆的半径2÷2，所以圆的半径2＝10×2＝20，再将这一数据代入圆的面积公式计算即可解答．【解答】解：3.14×（10×2）＝3.14×20＝62.8（平方厘米）答：圆的面积是62.8平方厘米．故答案为：62.8．【点评】本题主要考查圆的面积公式与三角形的面积公式，熟练掌握两个公式是解答本题的关键．6．有一个深4分米的长方体容器，其内侧底面为边长3分米的正方形．当容器底面的一边紧贴桌面倾斜如图时，容器内的水刚好不溢出．容器内的水有22.5升．【分析】先根据长方体的体积公式求出容器的容积；无水的部分看作是底面是直角三角形的棱柱，再根据棱柱的体积公式求出无水的部分的体积；相减即可求得容器内的水的体积．【解答】解：容器的容积：4×3×3＝36（立方分米）；无水的部分看作是底面是直角三角形的棱柱，底面积是3×3÷2＝4.5（平方分米），高是3分米．所以体积是 4.5×3＝13.5（立方分米）；所以容器内有水：36﹣13.5＝22.5立方分米＝22.5升．答：容器内的水有22.5升．故答案为：22.5．【点评】考查了组合图形的体积，本题容器内的水的体积＝容器的容积﹣无水的部分体积，难点是把无水的部分看作是底面是直角三角形的棱柱．7．甲走的路程比乙走的路程多，乙用的时间比甲多，那么甲乙的速度比是5：3．【分析】把乙走的路程看作单位“1”，则甲的路程为1+＝；把甲的时间是单位“1”，则乙的时间是1+＝；根据“路程÷时间＝速度”分别求出甲的速度与乙的速度，进而根据题意，用甲的速度与乙的速度相比即可．【解答】解：1+＝，1+＝，则：（÷1）：（1÷），＝：，＝（×15）：（×15），＝20：12，＝5：3；答：那么甲乙的速度比是5：3；故答案为：5：3．【点评】解答此题的关键：判断出单位“1”，根据路程、时间和速度三者之间的关系进行解答．二.选择题8．如果A是B的12倍，下列关系式正确的是（）A．A×12＝B B．B÷A＝12C．A÷12＝B【分析】根据A是B的12倍，根据乘法与除法的意义可知，A与B有如下关系：B×12＝A，A÷B＝12，A÷12＝B．【解答】解：根据分析，B×12＝A，A÷B＝12，A÷12＝B．故选：C．【点评】根据乘法与除法的互逆关系解答即可．9．下列各数中与9000最接近的数是（）A．8990B．0.91万C．9999D．0.89万【分析】分别求出A，B，C，D中各数与9000的差，看那个数与9000的差最小，就是最接近9000的数．【解答】解：A、9000﹣8990＝10；B、0.91万＝9100，9100﹣9000＝100；C、9999﹣9000＝999；D、0.89万＝8900，9000﹣8900＝100；可知8990与9000的差最小；故选：A．【点评】本题主要考查整数的大小比较，注意数与9000的差最小，就是最接近9000的数．10．被减数、减数与差，这三个数的和是124，那么被减数是（）A．124B．62C．45【分析】首先根据题意，可得：被减数+减数+差＝124，然后根据被减数＝减数+差，可得：被减数+被减数＝124，据此求出被减数是多少即可．【解答】解：因为被减数、减数与差，这三个数的和是124，所以被减数+减数+差＝124，又因为被减数＝减数+差，所以被减数+被减数＝124，所以被减数＝124÷2＝62故选：B．【点评】此题主要考查了被减数、减数、差的关系：被减数﹣减数＝差，被减数＝减数+差，减数＝被减数﹣差，要熟练掌握．11．小明从A地到B地的平均速度是3米/秒，然后从B地原路返回，平均速度是7米/秒．那么，小明来回的平均速度是（）A．4.2B．4.8C．5D．5.4【分析】如果把A地到B地的路程看作单位“1”，那么一个来回的路程为1×2＝2；根据“路程÷速度＝时间”分别求出去的时间和返的时间，进而根据“往返总路程÷往返总时间＝往返平均速度”进行解答即可．【解答】解：（1×2）÷（1÷3+1÷7），＝2÷，＝4.2（米/秒）；答：小明来回的平均速度是4.2米/秒．故选：A．【点评】解答此题的关键：把A地到B地的路程看作单位“1”，根据路程、速度和时间三者之间的关系分别表示出去的时间和返的时间，进而根据往返总路程、往返总时间和往返平均速度三者之间的关系进行解答即可；注意千万不要用（3+7）÷2这种错误的算法．12．晚饭后，爸爸去洗澡，热水器里装有250升水，他洗了6分，用了一半的水，然后停止洗澡，6分后，小明去洗澡，他也用了6分，把热水器内的水用完．下面（）幅图描述了热水器内水的体积是如何随时间而变化的．A．B．C．【分析】根据题意可知，将热水器中的水量看作单位“1”，爸爸用了水量的（250×）剩下的水是小明用去的，爸爸、小明共用去了（6+6）分钟，另为中间停止了6分钟，所以图中的时间应该是（6+6+6）分钟，列式解答再对照上图进行选择即可得到答案．【解答】解：热水器内剩余水量为：250×＝125（升），时间为：6+6+6＝18（分钟），答：爸爸洗完澡水箱内的水量是125升，爸爸和爸爸都洗完澡所用的时间是18分钟．故选：C．【点评】解答此题的关键是确定小军洗完澡后水箱内的水量与小明、爸爸都洗完澡所共有的时间．13．如图所示：用黑白两种颜色的正五边形地砖按下图所示的规律，变成若干个蝴蝶图案，则第7幅图案中的白色地砖有（）A．35块B．27块C．30块D．22块【分析】观察图形，发现，第一个图案有白色地砖6块，后边每多一个图案，则多4块白色地砖；由此确定第n个图案中有白色地砖的数量．【解答】解：第n个图案中有白色地砖（4n+2）块，则：4×7+2＝28+2＝30（块）答：第7幅图案中的白色地砖有30块．故选：C．【点评】此类题要能够结合图形，发现规律：在第一个图案的基础上，多一个图案，多4块白色地砖．14．14、如图是一个边长为2厘米的正方形，这个正方形被分割成两个正方形M和N以及两个非正方形，如果M的面积是N的4倍，那么N的边长是（）A．厘米B．厘米C．厘米D．厘米【分析】如图M的面积是N的4倍，则M的边长是N边长的2倍．M、N的边长之和等于大正方形的边长，把大正方形边长平均分成（1+2）份，N的边长占1份．【解答】解：因为M的面积是N的4倍所以M的边长是N边长的2倍2÷（1+2）＝2÷3＝（厘米）答：N的边长是厘米．故选：D．【点评】关键明白两个正方形的面积之比等于边长之比的平方．三、解答题。