线性代数第一章行列式

… 0 0 ×1 … 0 0 … 0 0 … 0 0 … … … an-1 … 0 an … 1-an-1 … -1 1-an … 0 0 … 0 0 ×1 … 0 0 … 0 0 … … … an-1 … 0 an … 1-an-1 … -1 1-an … … … … … 0 0 0 0 … 0 0 0 ×1 0 …
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例8 解方程(其中 a1 ,a2 ,… an )为互不相同的常数 a1 a2 a3 an-1 an … a1 a1+a2-x a3 an-1 an … a1 a2 a2+a3-x … an-1 an =0 … … … … … … a1 a2 a3 an … an-2+an-1-x a1 a2 a3 an-1 0 an-1+an-x … 第1行×(-1)加到后面各行 a1 a2 a3 … an-1 an 0 a1-x 0 … 0 0 a2-x … 0 0 0 0 = 0 … … … … … … 0 0 0 … an-2-x 0 an-1-x 0 0 0 … 0 即：(对角行列式等于对角元素的乘积) a1 (a1-x) (a2-x) … (an-2-x)(an-1-x) = 0 所以： x1 = a1 ，x2 = a2 ，… xn-2 = an-2 ，xn-1 = an-1
例5 计算行列式 a b c d ×(-1) D= a a+b a+b+c a+b+c+d a 2a+b 3a+2b+c 4a+3b+2c+d a 3a+b 6a+3b+c 10a+6b+3c+d a = 0 0 0 a = 0 0 0 a = 0 0 0 b a 2a 3a b a 0 0 b a 0 0 c d a+b a+b+c ×(-2) ×(-3) 3a+2b 4a+3b+2c 6a+3b 10a+6b+3c c a+b a 3a c a+b a 0 d a+b+c 2a+b ×(-3) 7a+3b d 4 a+b+c = a 2a+b a 解：将各列加到第1列上 x+(n-1)a a a …a a x+(n-1)a x a …a a x+(n-1)a a x …a a x+(n-1)a a a …a a … …………… x+(n-1)a a a …x a x+(n-1)a a a …a x … … … … … … … a 0 0 0 … x-a 0 a 0 0 0 … 0 x-a
=
=
0 0 0
0 0 0
0 0 0
an-1 … 0 an … 1-an-1 … -1 1-an
=…
= 1
a1 1 0 … 0 0 a2 0 1 … 0 0 0 0 1 … 0 0 0 0 0 … 0 0 … … … … … … an-1 0 0 0 … 0 an 0 0 0 … 1 0 0 0 … 0 1 (上三角行列式等于对角元素的乘积)
例6 计算n阶行列式的值 x a a … a a a x a … a a a a x … a a a a a … a a = … … … … … … a a a … x a a a a … a x 第1行乘以-1加到各行中 x+(n-1)a a a 0 x-a 0 0 0 x-a 0 0 0 … … … 0 0 0 0 0 0 = [x+(n-1)a](x-a)n-1 例7 计算行列式 a1 1 0 a2 -1 1-a1 0 -1 1-a2 0 0 -1 … … … 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 … 0 0 0 1 0 0 0 … a1 0 a2 1 -1 1-a2 0 -1 … … 0 0 0 0 0 0 a1 1 0 0 … 0 a2 1 -1 …