随机过程的基本概念以统计特性
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《随机信号分析》教学组
22
n 维概率分布函数和概率密度函数
随机过程
X (t ) 在任意n个时刻 t1 , t 2 ,, t n 的取值
X (t1 ), X (t2 ), , X (tn ) 构成n维随机变量 [ X (t1 ), X (t 2 ),, X (t n )]
即为n维空间的随机矢量X。类似的，可以定义随 机过程 X (t ) 的n维分布函数和n维概率密度函数为
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随机过程统计特性：概率分布函数 概率密度函数
一维概率分布函数 随机过程X(t)在任意tiT的取值X(t1)是一维随机变量。 概率P{X(t1)≤x1}是取值x1，时刻t1的函数，记为Fx(x1;t1) =P{X(t1)≤x1}，称作随机过程X(t)的一维分布函数。 随机变量： FX ( x) P[ X x] 随机过程： FX ( x, t ) P[ X (t ) x] 一维概率密度函数 若 FX ( x, t ) 的偏导数存在，连续随机过程概率密度函 数为 FX ( x, t ) f X ( x, t ) x 一维概率分布和概率密度只描述了任意一个时刻的统计 特征，仅仅描述了各个孤立点时刻统计特性，不能反映 随机过程在不同时刻状态之间的联系。
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14
连续随机序列：随机过程的时间t只能取 某些时刻，如 t ， 2 t ，…..，n t ，且这 时得到的随机变量 X ( nt )是连续型随机变 量，即时间是离散的。相当于对连续型随 机过程的采样。 离散随机序列：随机过程的时间t只能取 某些时刻，如 t ， 2 t ，…..，n t ，且这 时得到的随机变量X ( nt )是离散型随机变 量，即时间和状态是离散的。相当于采样 后再量化。
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17
3 按概率分布的特性来分类
•高斯随机过程 •瑞利随机过程 •对数正态随机过程 •马尔可夫随机过程
4 按统计特性来分类
•平稳随机过程 •非平稳随机过程
5 按随机过程在频域的带宽分类
•宽带随机过程 •窄带随机过程 •白噪声 •有色噪声
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三 随机过程的概率分布
自然界事物的变化分为两大类：确定性过程和随机过程。 确定性过程： 1）每次试验得到的观测 过程都相同。 2）具有确定形式的变化 过程，或可用一个时 间t的确定函数表示。 正弦信号 随机过程： 1）每次试验得到的观测 过程都不同。 2）没有确定的变化形式 或不能用一个时间t 示波器的噪声电压 的确定函数表示。
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二维概率分布函数 为了描述在任意两个时刻t1和t2的状态间的内在联系, 可以引入二维随机变量[X(t1),X(t2)]的分布函数FX(x1,x2； t1,t2)，它是二随机事件{X(t1)≤x1}和{X(t2)≤x2}同时出 现的概率，即 FX(x1,x2;t1,t2)=P[X(t1)≤x1, X(t2)≤x2] 称为随机过程X(t)的二维分布函数。 二维概率密度函数 若FX(x1,x2;t1,t2)对x1，x2的二阶混合偏导存在，即 2 FX ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) f X ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) x1x2 为随机过程X(t)的二维概率密度。 注意：X(t1)及X(t2)为同一随机过程上的随机变量。 二维分布比一维分布包含可更多的信息，但仍不 能完整的反应出随机过程的全部统计特性。
为 X (t ) 。
=
S
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9
定义 2 ：设有一个过程 X(t) ，若对于每一个固定的时刻 t j ( j 1, 2,3) ，X (t j , ) 是一个随机变量，则X(t) 称为随机过程。
S
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ຫໍສະໝຸດ Baidu
10
随机过程的一般表征 随机过程
X (t , )
＝
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12
随机过程 X (t, ) 四种不同情况下的理解：
1 t 和 都是变量 一个随机过程 一个确知的时间函数 一个随机变量 一个确定值
2 t是变量而 固定 3 t 固定而 是变量 4 t 和 都固定
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13
二
随机过程的分类
1 按随机过程的时间和状态来分类 连续型随机过程：对随机过程任一时刻 t1 的取值 X (t1 )都是连续型随机变量。 离散型随机过程：对随机过程任一时刻 t1 的取值 X (t1 )都是离散型随机变量。
FX ( x1, x2 ,, xn ;t1 , t2 ,, tn ) P[ X (t1 ) x1 , X (t2 ) x2 ,, X (tn ) xn ]
n FX ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t 2 ,, t n ) f X ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t 2 ,, t n ) x1x2 xn
FX (, ,, ; t1 , t2 ,, tn ) 1
f X ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 ,, tn ) 0
n重
f X ( x1 , x2 , , xn ; t1 , t2 ,, tn )dx1dx2 dxn 1
噪声电压的起伏波形
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5
2、观察具有随机振幅 A 或随机相位 的电压波形 若A和 0为常数， 是（0，2π）的随机取值的随机变 量，电压波形为
1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80
n－m重
f X ( x1 , x2 , , xn ; t1 , t2 , , tn )dxm＋1dxm 2 dxn
f X ( x1 , x2 , , xm ; t1 , t2 , , tm )
若 X (t1 ), X (t 2 ),, X (t n ) 统计独立，则有
V (t ) A cos(0t )
随机相位信号
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6
V (t ) A cos(0t ) 若0和 为常数，A是随机取值的随机变量，电压
波形为
随机振幅信号
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7
x n ( t )，都是 x2 ( t )， x 3 ( t )，…， x1 ( t )， 样本函数： 时间的函数，称为样本函数。
f X ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 ,, tn ) f X ( x1; t1 ) f X ( x2 ; t2 ) f X ( xn ; tn )
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四 随机过程的数字特征
随机变量的数字特征（期望、方差、相关系数） 通常是确定值。
随机过程的数字特征（期望、方差、相关函数） 通常是确定性函数。 随机过程的数字特征的计算方法:
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4
一 定义
1.接收机噪声电压观测方式：对相同接收机同时观测
从试验可知，每次得到的结果不同，且变化的规律 不能用一个确定的函数来描述
5 0 -5 5 0 -5 5 0 -5 5 0 -5 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200
随机过程是一族时间函数，在一次具体试验中、 函数族中哪一个函数（样本）出现时是服从某种概率 分布的，因而对随机信号不能采用通常的对确定性信 号的表述方法，而必须用概率统计，即统计特性的描 述方法。 统计特性的描述方法分为两个大类： 1、概率密度函数或概率分布函数的描述方法是全面、 完整的描述方法。 2、数字特征（期望、方差、相关函数）的描述方法 是的宏观、概括的描述方法。
显然，n越大随机过程的n维分布律描述的特性 也越趋完善，理论上说，可以无限增加n ，使 n 维 分布律更加全面地反应X(t)的统计特性，但实际上， n 越大分析处理会变得越复杂。
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23
性质：
FX ( x1 , x2 ,, ,, xn ; t1 , t2 ,, ti ,tn ) 0
先把时间t固定，然后用随机变量的分析方法 来计算。
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25
1 数学期望（均值函数）
mX (t ) E[ X (t )] xf ( x, t )dx
显然， m X (t ) 是某一个平均函数，随机过 程的诸样本在它的附近起伏变化，如图所示：
随机过程的均值是时间t的函 数，称为均值函数。 物理意义：如果随机过程表示 接收机的输出电压，那么它的 数学期望就是输出电压的瞬时 统计平均值。
随机性：一次试验，随机过程必取一个样 本函数，但所取的样本函数带有 随机性。因此，随机过程不仅是 时间t 的函数，还是可能结果的 函数，记为 X ( t , )，简写成 X ( t ) 。
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8
3 、随机过程的定义
定义1：设随机试验E的样本空间为S={ξ}，对其每一个元素
都以某种法则确定一个样本函数 X (t , i ) ，由全部 i (i 1,2,3) 元素{ξ}所确定的一族样本函数 X (t , )称为随机过程，简记
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15
随机过程按时间和状态的分类
状态 连续 连续 离散 离散 时刻 连续 离散 连续 离散
连续型随机过程 连续随机序列 离散型随机过程 离散随机序列
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16
2 按样本函数的形式来分类 不确定的随机过程：随机过程的任意样本 函数的值不能被预测。例如接收机噪声电压 波形。 确定的随机过程：随机过程的任意样本函 数的值能被预测。例如，样本函数为正弦信 号。
样本变量集合 ＝ X (ti , ), i 1, 2,
11
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上面两种随机过程的定义，从两个角度描述 了随机过程。具体的说：
作观测时，常用定义1，这样通过观测的试验 样本来得到随机过程的统计特性；
对随机过程作理论分析时，常用定义2，这样 可以把随机过程看成为n维随机变量， n越大采样 时间越小，所得到的统计特性越准确。
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26
统计均值是对随机过程中所有样本函数在时间t的所 有取值进行概率加权平均，所以又称为集合平均。它反 映了样本函数统计意义下的平均变化规律，是所有样本 函数在各个时刻摆动的中心。
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19
当仪器记录随机过程X(t)的变化过程时候，一般不可能 也没有必要连续的记录全部过程，而只要记下X(t)在确定时 刻t1, t2, … , tn上的量。
由随机过程的定义可知，在确定t值上，随机过程变为随 机变量，仪器记录的结果是n维随机变量X(t1),X(t2),…,X(tn)， 如果说记录时间间隔△t= ti-ti-1相当小(n足够大)时，多维随 机变量 X(t1), X(t2) ,…, X(tn) 可以足够完整表示出随机过程 X(t)。 在一定近似程度上，可以通过研究多维随机变量来代替 对随机过程的研究，且n取值越大，代替的越精确。当n→∞ 时，随机过程的概念可以作为多维随机变量的概念在维数无 穷大情况的自然推广。
第1章
随机过程
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主要内容：
随机过程的基本概念及其统计特性 连续时间随机过程的微分和积分 随机过程的平稳性和遍历性 联合平稳随机过程 正态随机过程 马尔可夫链
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2
随机变量 随机过程
与时间无关
与时间相关
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3
1.1 随机过程的基本概念及统计特性
样本函数集合 X (t , i), i 1 ,2,
为了简便起见，随机过程常省略代表试验结果的 参量ξ。随机过程常用大写字母 X (t ),Y (t )表示，样 本函数常用小写字母 x1 (t ), x2 (t ),, xk (t ) 表示，k表 示第k个样本函数。
随机过程
X (t , )
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n 维概率分布函数和概率密度函数
随机过程
X (t ) 在任意n个时刻 t1 , t 2 ,, t n 的取值
X (t1 ), X (t2 ), , X (tn ) 构成n维随机变量 [ X (t1 ), X (t 2 ),, X (t n )]
即为n维空间的随机矢量X。类似的，可以定义随 机过程 X (t ) 的n维分布函数和n维概率密度函数为
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随机过程统计特性：概率分布函数 概率密度函数
一维概率分布函数 随机过程X(t)在任意tiT的取值X(t1)是一维随机变量。 概率P{X(t1)≤x1}是取值x1，时刻t1的函数，记为Fx(x1;t1) =P{X(t1)≤x1}，称作随机过程X(t)的一维分布函数。 随机变量： FX ( x) P[ X x] 随机过程： FX ( x, t ) P[ X (t ) x] 一维概率密度函数 若 FX ( x, t ) 的偏导数存在，连续随机过程概率密度函 数为 FX ( x, t ) f X ( x, t ) x 一维概率分布和概率密度只描述了任意一个时刻的统计 特征，仅仅描述了各个孤立点时刻统计特性，不能反映 随机过程在不同时刻状态之间的联系。
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连续随机序列：随机过程的时间t只能取 某些时刻，如 t ， 2 t ，…..，n t ，且这 时得到的随机变量 X ( nt )是连续型随机变 量，即时间是离散的。相当于对连续型随 机过程的采样。 离散随机序列：随机过程的时间t只能取 某些时刻，如 t ， 2 t ，…..，n t ，且这 时得到的随机变量X ( nt )是离散型随机变 量，即时间和状态是离散的。相当于采样 后再量化。
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3 按概率分布的特性来分类
•高斯随机过程 •瑞利随机过程 •对数正态随机过程 •马尔可夫随机过程
4 按统计特性来分类
•平稳随机过程 •非平稳随机过程
5 按随机过程在频域的带宽分类
•宽带随机过程 •窄带随机过程 •白噪声 •有色噪声
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三 随机过程的概率分布
自然界事物的变化分为两大类：确定性过程和随机过程。 确定性过程： 1）每次试验得到的观测 过程都相同。 2）具有确定形式的变化 过程，或可用一个时 间t的确定函数表示。 正弦信号 随机过程： 1）每次试验得到的观测 过程都不同。 2）没有确定的变化形式 或不能用一个时间t 示波器的噪声电压 的确定函数表示。
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二维概率分布函数 为了描述在任意两个时刻t1和t2的状态间的内在联系, 可以引入二维随机变量[X(t1),X(t2)]的分布函数FX(x1,x2； t1,t2)，它是二随机事件{X(t1)≤x1}和{X(t2)≤x2}同时出 现的概率，即 FX(x1,x2;t1,t2)=P[X(t1)≤x1, X(t2)≤x2] 称为随机过程X(t)的二维分布函数。 二维概率密度函数 若FX(x1,x2;t1,t2)对x1，x2的二阶混合偏导存在，即 2 FX ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) f X ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) x1x2 为随机过程X(t)的二维概率密度。 注意：X(t1)及X(t2)为同一随机过程上的随机变量。 二维分布比一维分布包含可更多的信息，但仍不 能完整的反应出随机过程的全部统计特性。
为 X (t ) 。
=
S
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9
定义 2 ：设有一个过程 X(t) ，若对于每一个固定的时刻 t j ( j 1, 2,3) ，X (t j , ) 是一个随机变量，则X(t) 称为随机过程。
S
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10
随机过程的一般表征 随机过程
X (t , )
＝
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随机过程 X (t, ) 四种不同情况下的理解：
1 t 和 都是变量 一个随机过程 一个确知的时间函数 一个随机变量 一个确定值
2 t是变量而 固定 3 t 固定而 是变量 4 t 和 都固定
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13
二
随机过程的分类
1 按随机过程的时间和状态来分类 连续型随机过程：对随机过程任一时刻 t1 的取值 X (t1 )都是连续型随机变量。 离散型随机过程：对随机过程任一时刻 t1 的取值 X (t1 )都是离散型随机变量。
FX ( x1, x2 ,, xn ;t1 , t2 ,, tn ) P[ X (t1 ) x1 , X (t2 ) x2 ,, X (tn ) xn ]
n FX ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t 2 ,, t n ) f X ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t 2 ,, t n ) x1x2 xn
FX (, ,, ; t1 , t2 ,, tn ) 1
f X ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 ,, tn ) 0
n重
f X ( x1 , x2 , , xn ; t1 , t2 ,, tn )dx1dx2 dxn 1
噪声电压的起伏波形
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5
2、观察具有随机振幅 A 或随机相位 的电压波形 若A和 0为常数， 是（0，2π）的随机取值的随机变 量，电压波形为
1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80
n－m重
f X ( x1 , x2 , , xn ; t1 , t2 , , tn )dxm＋1dxm 2 dxn
f X ( x1 , x2 , , xm ; t1 , t2 , , tm )
若 X (t1 ), X (t 2 ),, X (t n ) 统计独立，则有
V (t ) A cos(0t )
随机相位信号
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6
V (t ) A cos(0t ) 若0和 为常数，A是随机取值的随机变量，电压
波形为
随机振幅信号
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x n ( t )，都是 x2 ( t )， x 3 ( t )，…， x1 ( t )， 样本函数： 时间的函数，称为样本函数。
f X ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 ,, tn ) f X ( x1; t1 ) f X ( x2 ; t2 ) f X ( xn ; tn )
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四 随机过程的数字特征
随机变量的数字特征（期望、方差、相关系数） 通常是确定值。
随机过程的数字特征（期望、方差、相关函数） 通常是确定性函数。 随机过程的数字特征的计算方法:
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4
一 定义
1.接收机噪声电压观测方式：对相同接收机同时观测
从试验可知，每次得到的结果不同，且变化的规律 不能用一个确定的函数来描述
5 0 -5 5 0 -5 5 0 -5 5 0 -5 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200
随机过程是一族时间函数，在一次具体试验中、 函数族中哪一个函数（样本）出现时是服从某种概率 分布的，因而对随机信号不能采用通常的对确定性信 号的表述方法，而必须用概率统计，即统计特性的描 述方法。 统计特性的描述方法分为两个大类： 1、概率密度函数或概率分布函数的描述方法是全面、 完整的描述方法。 2、数字特征（期望、方差、相关函数）的描述方法 是的宏观、概括的描述方法。
显然，n越大随机过程的n维分布律描述的特性 也越趋完善，理论上说，可以无限增加n ，使 n 维 分布律更加全面地反应X(t)的统计特性，但实际上， n 越大分析处理会变得越复杂。
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性质：
FX ( x1 , x2 ,, ,, xn ; t1 , t2 ,, ti ,tn ) 0
先把时间t固定，然后用随机变量的分析方法 来计算。
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1 数学期望（均值函数）
mX (t ) E[ X (t )] xf ( x, t )dx
显然， m X (t ) 是某一个平均函数，随机过 程的诸样本在它的附近起伏变化，如图所示：
随机过程的均值是时间t的函 数，称为均值函数。 物理意义：如果随机过程表示 接收机的输出电压，那么它的 数学期望就是输出电压的瞬时 统计平均值。
随机性：一次试验，随机过程必取一个样 本函数，但所取的样本函数带有 随机性。因此，随机过程不仅是 时间t 的函数，还是可能结果的 函数，记为 X ( t , )，简写成 X ( t ) 。
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3 、随机过程的定义
定义1：设随机试验E的样本空间为S={ξ}，对其每一个元素
都以某种法则确定一个样本函数 X (t , i ) ，由全部 i (i 1,2,3) 元素{ξ}所确定的一族样本函数 X (t , )称为随机过程，简记
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随机过程按时间和状态的分类
状态 连续 连续 离散 离散 时刻 连续 离散 连续 离散
连续型随机过程 连续随机序列 离散型随机过程 离散随机序列
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2 按样本函数的形式来分类 不确定的随机过程：随机过程的任意样本 函数的值不能被预测。例如接收机噪声电压 波形。 确定的随机过程：随机过程的任意样本函 数的值能被预测。例如，样本函数为正弦信 号。
样本变量集合 ＝ X (ti , ), i 1, 2,
11
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上面两种随机过程的定义，从两个角度描述 了随机过程。具体的说：
作观测时，常用定义1，这样通过观测的试验 样本来得到随机过程的统计特性；
对随机过程作理论分析时，常用定义2，这样 可以把随机过程看成为n维随机变量， n越大采样 时间越小，所得到的统计特性越准确。
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26
统计均值是对随机过程中所有样本函数在时间t的所 有取值进行概率加权平均，所以又称为集合平均。它反 映了样本函数统计意义下的平均变化规律，是所有样本 函数在各个时刻摆动的中心。
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19
当仪器记录随机过程X(t)的变化过程时候，一般不可能 也没有必要连续的记录全部过程，而只要记下X(t)在确定时 刻t1, t2, … , tn上的量。
由随机过程的定义可知，在确定t值上，随机过程变为随 机变量，仪器记录的结果是n维随机变量X(t1),X(t2),…,X(tn)， 如果说记录时间间隔△t= ti-ti-1相当小(n足够大)时，多维随 机变量 X(t1), X(t2) ,…, X(tn) 可以足够完整表示出随机过程 X(t)。 在一定近似程度上，可以通过研究多维随机变量来代替 对随机过程的研究，且n取值越大，代替的越精确。当n→∞ 时，随机过程的概念可以作为多维随机变量的概念在维数无 穷大情况的自然推广。
第1章
随机过程
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主要内容：
随机过程的基本概念及其统计特性 连续时间随机过程的微分和积分 随机过程的平稳性和遍历性 联合平稳随机过程 正态随机过程 马尔可夫链
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2
随机变量 随机过程
与时间无关
与时间相关
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3
1.1 随机过程的基本概念及统计特性
样本函数集合 X (t , i), i 1 ,2,
为了简便起见，随机过程常省略代表试验结果的 参量ξ。随机过程常用大写字母 X (t ),Y (t )表示，样 本函数常用小写字母 x1 (t ), x2 (t ),, xk (t ) 表示，k表 示第k个样本函数。
随机过程
X (t , )