初一数学绝对值典型例题精 讲

第三讲绝对值

内容概述

绝对值是有理数中非常重要的组成部分，它其中相关的基本思想及数学方法是初中数学学习的基石，希望同学们通过学习、巩固对绝对值的相关知识能够掌握要领。

绝对值的定义及性质

绝对值简单的绝对值方程

化简绝对值式，分类讨论（零点分段法）

绝对值几何意义的使用

绝对值的定义及性质

绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。

绝对值的性质：

（1）绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质；

a （a＞0）

（2）|a|= 0 （a=0）（代数意义）

-a (a＜0)

（3）若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0；

（4）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a，

且|a|≥-a；

（5）若|a|=|b|，则a=b或a=-b；（几何意义）

（6）|ab|=|a|·|b|；||=（b≠0）；

（7）|a|=|a|=a；

（8）|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a-b|

[例1]

（1）绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？

（2）若ab<|ab|，则下列结论正确的是（）

A.a＜0，b＜0

B.a＞0，b＜0

C.a＜0，b＞0

D.ab＜0

（3）下列各组判断中，正确的是（）

A．若|a|=b，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a＞b

C. 若|a|＞b，则一定有|a|＞|b|

D.若|a|=b，则一定有a=(-b)

（4）设a，b是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？

分析：

（1）结合数轴画图分析。绝对值大于2.1而小于4.2的整数有±3，±4，有4个

（2）答案C不完善，选择D.在此注意复习巩固知识点3。

（3）选择D。

（4）根据绝对值的非负性可以知道|a+b|≥0，则|a+b|≥9，有最小值9

[巩固] 绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？

<分析>：绝对值小于3.1的整数有0，±1，±2，±3，和为0。

[巩固] 有理数a与b满足|a|>|b|，则下面哪个答案正确（）

A.a＞b

B.a=b

C.a

D.无法确定

分析：选择D。

[巩固] 若|x-3|=3-x，则x的取值范围是____________

分析：若|x-3|=3-x，则x-3≤0，即x≤3。对知识点3的复习巩固

[巩固] 若a＞b，且|a|<|b|，则下面判断正确的是（）

A.a＜0

B.a＞0

C.b＜0

D.b＞0

分析：选择C

[巩固] 设a，b是有理数，则-8-|a-b|是有最大值还是最小值？其值是多少？

分析：|a-b|≥0，-8-|a-b|≤-8，所以有最大值-8

[例2]

（1）（竞赛题）若3|x-2|+|y+3|=0，则的值是多少？

（2）若|x+3|+(y-1)=0，求的值

分析：（1）|x-2|=0，|y+3|=0，x=2，y=-3，=

（2）由|x+3|+（y-1）=0，可得x=-3，y=1。==-1

n为偶数时，原式=1；n为奇数时，原式=-1

小知识点汇总：（本源 |a|≥0 b≥0）

若(x-a)+(x-b)=0,则x-a=0且x-b=0；

若|x-a|+(x-b)=0,则x-a=0且x-b=0；

若|x-a|+|x-b|=0，则x-a=0且x-b=0；

当然各项前面存在正系数时仍然成立，非负项增加到多项时，每一项均为0，两个非负数互为相反数时，两者均为0

简单的绝对值方程

【例3】

（1）已知x是有理数，且|x|=|-4|，那么x=＿＿＿＿

（2）已知x是有理数，且-|x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿

（3）已知x是有理数，且-|-x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿

（4）如果x，y表示有理数，且x，y满足条

件|x|=5，|y|=2，|x-y|=y-x，那么x+y的值是多少？

分析：

（1）4，-4 （2）2，-2，（3）2，-2

（4）x=±5，y=±2，且|x-y|=y-x，x-y≤0；

当x=5，y=2时不满足题意；当x=5，y=-2时不满足题意；

当x=-5，y=2时满足题意；x+y=-3；当x=-5，y=-2时满足题意，x+y=-7。

【巩固】巩固|x|=4，|y|=6，求代数式|x+y|的值

分析：因为|x|=4，所以x=±4，因为|y|=6，所以y=±6

当x=4，y=6时，|x+y|=|10|=10；当x=4，y=-6时，|x+y|=|-2|=2;

当x=-4，y=6时，|x+y|=|2|=2；当x=-4，y=-6时，|x+y|=|10|=10【例4】

解方程：（1）

（2）|4x+8|=12

（3）|3x+2|=-1

（4）已知|x-1|=2，|y|=3，且x与y互为相反数，求的值分析：（1）原方程可变形为：|x+5|=，所以有x+5=±，进而可得：

x=-，-；

（2）4x+8=±12，x=1，x=-5

（3）此方程无解

（4）|x-1|=2，x-1=±2，x=3，x=-1，|y|=3，y=±3，且x与y互为相反数，所以x=3，y=-3，

【例5】若已知a与b互为相反数，且|a-b|=4，求的值

分析：a与b互为相反数，那么a+b=0。

=

当a-b=4时，且a+b=0，那么a=2，b=-2，-ab=4；

当a-b=-4时，且a+b=0，那么a=-2，b=2，-ab=4；

综上可得=4

化简绝对式

【例6】

（1）已知a=-，b=-，求的值

（2）若|a|=b，求|a+b|的值

（3）化简：|a-b|

分析：（1）原式=

（2）|a|=b，我们可以知道b≥0，当a<0时，a=-b，|a+b|=0；当a≥0时，a=b，|a+b|=2b

（3）分类讨论。