高等代数第四章整环里的因子分解
【高等代数】04-多项式环
【⾼等代数】04-多项式环1. 多项式环1.1 基本定义和性质 多项式是数学中的重要概念，在分析和代数中都有⼴泛的应⽤，线性变换也⾮常依赖多项式的理论。
虽然在不同场景下多项式描述的对象有较⼤差异，但它们却有着类似的代数结构，这⾥就从纯代数的⾓度讨论多项式的结构和性质。
以下我会花较多⼝⾆定义什么是多项式，这种看似“学究”的做法其实正是数学的抽象性和严密性所在。
先来看多项式的组成元素“（⼀元）项”，它具有形式ax^n，其中n是⼀个⾮负整数，它表⽰项的次数，a是某个环R或域F的元素，被称为系数，x是不定元。
要特别强调的是，这⾥并没有定义项的实际意义，不定元可能是任何满⾜条件的数学概念。
a和x^n之间也不能看成是某个具体的乘法，这⾥只是⼀个书写格式，项永远是作为⼀个整体看待的。
系数为0的项被定义为互相相等的，⽽其它项相等的充要条件是系数和次数都相等。
另外，在项之间还定义有如式（1）的加法和乘法，且乘法对加法满⾜分配率。
有了这些准备就可以定义多项式了，⼀个环R上的（⼀元）多项式是有限个⾮零项之和，它的最终形式是式（2）。
为了叙述⽅便，0次项被直接写做a_0，但不要忘了其实际意义a_0x^0。
系数⾮零的最⾼次项也称多项式的⾸项，⽽n也叫f(x)的次数，记作\deg f(x)。
由项的定义不难断定：多项式由它的系数序列(a_0,a_1,\cdots,a_n)唯⼀确定。
环R上的所有⼀元多项式集合记做R[x]，不难证明在乘法和加法的定义下，R[x]构成⼀个环（0系数的项为零元，当R有单位元时x^0也为单位元），它叫多项式环。
ax^n+bx^n=(a+b)x^n;\;\;ax^m\cdot bx^n=(ab)x^{m+n}\tag{1}f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0,\;\;(a_k\in R,a_n\ne 0)\tag{2} 其实在《抽象代数》中，我们已经专门讨论过多项式的性质，故对那些已经论述过的结论，这⾥就不重复证明过程了。
近世代数课件全 4 2 主理想整环欧式环 优质课件
xf ( x) ( x2 1)g( x)
2019/12/11
例5
在 Z[i] 中, a 8 38i, b 11 7i ,求
s, t 使得(a, b) as bt.
因为 (r1 ) (r2 ) , 故最后必有某个
(不妨设为 rn1 )为零.从而有
(a, b) (b, r1) (r1, r2 ) (rn1, rn ) (rn, 0) rn
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而且 rn rn2 rn1qn rn2 (rn3 rn2qn1 )qn
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做成一个欧氏环.
例1 Z 是欧氏环.
证明： ( x) | x |, x Z
a, b Z, b 0, q, r Z, st. a bq r
且 0 r | b | r 0, 或者 (r) | r | (b) | b | .
Z 是欧氏环.
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近世代数
第四章 整环里的因子分解 §2 主理想整环、欧式环
2019/12/11
一、主理想整环 定义1：如果整环R的每一个理想都是一个
主理想， 称其为主理想环. 引理1：假定R是一个主理想环，若在序列
a1,a2,a3,…,(ai∈R)里每一个元是前面一个的 真因子，那么这个序列一定是一个有限序列.
引理2：假定R是一个主理想环，那么I的 一个不可约元P生成一个最大理想.
，令q a bi, r [( x a) ( y b)i] ,则 q Z[i] ,且 r q Z[i] ,而
《高等数学》.
近世代数课程教学大纲一、课程说明1、课程性质近世代数课程是数学系本科专业的一门专业必修课，是一门现代数学课，是数学专业较抽象的一门课程。
本课程主要讲现代代数学的研究对象、研究方法。
它的内容包括三个基本的代数结构：群、环、域。
它不仅是一门重要的专业基础课, 也是学习代数数论、代数几何、代数拓扑等基础数学课程及计算代数、编码等应用数学课程所必需的一门基础课。
它的基本概念、理论和方法不仅在数学中占有及其重要的地位，而且在其它学科中也有广泛的应用，如理论物理、结构化学、计算机等学科。
其研究的方法和观点，对其他学科有很大的影响。
通过本课程的学习，使学生较好地掌握近世代数的基本内容、理论和方法，加深学生对数学的基本思想和方法的理解，增强学生的抽象思维、逻辑推理能力，培养学生能利用代数学的理论知识对实际问题构建代数模型，培养学生分析问题、解决问题的能力。
2、教学目的和要求群、环、域是本课程的基本内容，要求学生熟练掌握群、环、域的基本理论和方法。
由于教学时数所限，本课程的理论推证较少，因此必须通过做练习题来加深对概念的理解和掌握，熟悉各个定理的运用，从而达到消化、掌握所学知识的目的。
对于本科学生，要独立完成大部分课后习题，它是学好本课程的重要方法。
并要阅读一定量的课外参考书，扩大视野。
还要注重培养抽象思维和推理的能力。
3、先修课程和后继课程集合论初步与高等代数是学习本课程的准备知识。
本课程学习以后可以继续研读：群论、环论、模论、李群、李代数等。
4、教学时数分配5、使用教材《近世代数基础》，张禾瑞，高等教育出版社，1978年修订本。
6、教学方法与手段本课程以讲授为主，由于该课程较抽象，在教学中要注重多举例子、多讲习题、多加思考；要注重对教材内容中各个知识点的理解，对教学内容、教学方法与教学手段的改革，认真总结教学经验，不断提高自身的教学水平和理论知识；要突出教材内容所体现的数学思想、方法，加强学生应用数学的能力；要注重对学生证明技巧、证明思路的训练；要增加以学生为主体的启发式、讨论式教学方法；要让学生多加练习、多加思考，提出问题。
高等代数 第4章多项式 4.5 多项式的因式分解
虽然根据多项式的标准分解式写出
f x, g x 是简单的，但由于任意多项式的典型
分解式并不容易求得，故求最大公因式的一般方法 还是采用辗转相除法。
2020/3/2
高等代数
问：如何求 f x 的标准分解式？
由定义可得：
① 一次多项式是不可约多项式（二次及二次以上 多项式是否可约是重点讨论对象）；
② 多项式的可约性与数域有关（例 x2 2 在C上
可约，在R中不可约）。 ③ 零多项式于零次多项式不讨论它们的可约性。
2. 性质
性质1 若 p x不可约，则 cp x 也不可约，
c 0, c F.
问题： f xF x, f 0, f x 是否可分解为
不可约多项式的乘积？
定理1.5.1： F x 中任一个nn 0 次多项式 f x
都可以分解成 F x 中不可约多项式的乘积。
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证（归纳法）：
n=1时，命题显然成立。 假设命题对一切小于n的多项式成立，则当
其他因式，则称 f x 在数域F上可约。
等价定义：如果 F x 中一个 nn 0 次多项式 f x 可分解成 F x 中两个次数都小于 n 的多项式
g x,hx 的积，即 f x g xhx, 则称
f x 在数域F上可约。
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高等代数
高等代数
若 f x p1 x p2 xL pr x, 取 c1c2 L cr 1.
则 f x c1 p1 xc2 p2 xL cr pr x, 可见 f x 分解式不唯一。
定理1.5.2：F x 中任一个次数大于零的多项式
近世代数习题第四章
第四章 整环里的因子分解
1、求出Gauss 整环][i Z 中所有的单位及5在][i Z 中所有真因子.
2、证明：9在有单位元的整环 {}Z b a i b a i Z ∈+=,|5]5[
中不能唯一分解.
3、环中的素元一定是不可约元.
4、证明：在Gauss 整环][i Z 中，如果p =2||α为素数，则α必是环][i Z 的不可约元.
5、证明：在有单位元的整环中，二元素相伴的充要条件是二者互相整除.
6、求出][x Z 中的单位与不可约元.
7、证明：在Gauss 整环][i Z 中，5可以唯一分解，并给出一种分解.
8、证明：整数环上的多项式环是唯一分解环..
9、设K 是有单位元的整环，证明：a a K >⇔=<是K 的是单位.
10、设K 是有单位元的整环，K b a ∈,，证明：b a b a ,>⇔>=<<相伴.
11、证明：Gauss 整环][i Z 是主理想环.
12、证明：在主理想环中，P 是素理想当且仅当P 由素元生成.
13、问：主理想环的子环是否仍为主理想环？
14、证明：整环]2[i Z 是主理想环.
15、设K 为有单位元的整环，K a ∈≠0，证明：在.K 中有且仅有有限个理想包含a .
16、证明：整数环Z 是欧氏环.
17、证明：域F 上的多项式环是欧氏环.
18、证明：域一定是欧氏环.
19、证明：Gauss 整环][i Z 关于映射
2
2:b a bi a ++ φ
作成一个欧氏环.
20、假定R 是模16的剩余类环. ][x R 的多项式2x 在R 中有多少个根.。
抽象代数基础2.6整环的因子分解教案
（1）a是单位 （a）=R
（2）
（3）a与b相伴 （a）=（b）
（4）b是a的真因子
（5）a是既约元 （a）是非零的极大主理想，即不存在主理想（b）使
命题3设R是整环，则R的既约元的相伴元也是既约元。
证明：设a是既约元，b是a的相伴元，则（a）=（b），于是得证。
定义3设R是整环， 且p不是单位，如果对任意的a，b属于R，由 必有 或者 ，则称p是素元。
《 抽象代数基础 》教案
授课时间第30次课
授课章节
2.6整环的因子分解
任课教师
及职称
xx教授
教学方法
与手段
讲授法、板书
课时安排
6
使用教材和
主要参考书
《抽象代数基础》 唐忠明 编 高等教育出版社 2006，4
《近世代数》 杨子胥 编 高等教育出版社 2000，7
教学目的与要求：
明确单位、相伴、素元、主理想整环、欧式环、唯一分解整环
例如：在Z中，素数是素元，F[x]中，不可约多项式是素元。
命题4设R是整环， 且p不是单位，则p是素元 （p）是素理想
定义3设R是整环，如果R的每个理想都是主理想，即都可以由一个元素生成，则称R是主理想整环。
命题5设R是主理想整环，I是R的非零真理想，则I是素理想 I是极大理想
命题6设R是主理想整环， 是非零非单位的元素，则p是素元 p是既约元
定义4设R是整环，假设从R的非零元的集合 到非负整数集合有一个映射 使得对 ， 都存在 使 ，其中 或 ，（*）则称 是欧式环，简称R是欧式环，简称R是欧式环，而算式（*）称为欧式除环。
定理1欧式环一定是主理想整环
证明：设 是欧式环，I是R的任意一个理想，若I={0}，则显然I是主理想。假设 ，则集合 非空，且存在最小数，设 使得 是这个集合中的最小数，则对 都有 ，下证I=（a）。
第四章 整环里的因子分解
第四章整环里的唯一分解概述：本章主要讨论与因子分解有关的问题，我们知道在整数环里有唯一分解定理，即任何大于1的整数皆可唯一的写成一些素数的乘积. 在这一章我们要看一看，在一个抽象的环里这个定理是否成立；但由于在一个一般的环里去研究这个问题有相当的困难，所以我们仅把整数中的因子分解的概念推广到一般的整环中.*.本章中的环I均表示整环，I的单位元均记为1，I中的非零元记为}0{\II=第一节素元、唯一分解基本概念：整除，单位、相伴元，平凡因子、真因子、素元，唯一分解.重点、难点:唯一分解.正文定义4.1.1：整环I中的可逆元ε称为I的一个单位(Unit）.注1：单位与单位元是两个概念，单位元一定是单位，而单位未必是单位元.注2：整环I中的全体单位关于I的乘法构成一个Abel群, 称为I的单位群，记为U(I) .定义4.1.2：我们说，整环I的一个元a可以被I的元b整除，假如在I里找得出元c，使得a=bc. 假如a能被b整除，我们说b是a的因子，并且用符号b|a 来表示，否则用b a来表示.定义4.1.3：元b叫做元a相伴元，假如b=εa ,其中ε是I的一个单位.定义4.1.4：单位以及元a的相伴元叫做a的平凡因子，其余的a的因子，叫做真因子.定义4.1.5：整环I的一个元p叫做一个素元，假如p既不是零元，也不是单位，并且p只有平凡因子.定理4.1.1：两个单位ε和ε′的乘积εε′也是一个单位，单位ε的逆ε-1也是一个单位.定理4.1.2：单位ε同素元p的乘积pε也是一个素元.ε;证明：(1) 0pε,0≠≠p≠⇒pε.(2) 不是单位p p I )()(1εεεεε‘‘‘使得若不然，==∈∃是素元矛盾是单位与p p ⇒.(3) 只有平凡因子p ε.定理4.1.3： 整环中一个不等于零的元a 有真因子的充分而且必要条件是：bc a =，c b ,都不是单位元.证明：(⇒) 的相伴元不是且使得有真因子a b a b I U b a )(∉∃⇒.bc a I c =∈∃⇒使得.若)(),(I U c b a I U c ∉∈是相伴关系，故与则.(⇐) 假定bc a =，的相伴元不是a b I U c b ⇒∉)(,，否则)(1I U c c bc a b ∈⇒=⇒==εεε,矛盾.故a 有真因子.定义4.1.6：我们说，一个整环I 的一个元a 在I 里有唯一分解，假如以下条件能被满足：(1) 中的素元是其中I r i p p p a i r ),1(,1ΛΛ==;(2) 若又有中的素元是其中I s j q q q a j s ),1(,1ΛΛ==，那么的一个排列是其中且n i i r i q p s r r i i i j ,,1,,,,,1,1ΛΛΛ===ε.例： 设则},,3{]3[Z b a b a Z ∈-+=- (1) 是整环]3[-Z . (2) }1,1{])3[(-=-Z U设''1]3[]),3[(3εεεε=-∈∃-∈-+=使得则Z Z U b a .则 2'222')3(1εεεb a +==10,11322±=⇒=±=⇒=+⇒εb a b a . (3) 为素元，则＝若ααα4],3[2-∈∀Z . (4) 的相伴元都不是231-±. (5) 中两种不同的分解在是]3[4)31)(31(224----+=⋅=Z .作业：1．设I 刚好包含所有复数(,)a bi a b +是整数的整环. 证明5不是I 的素元. 5有没有唯一分解？第二节 唯一分解环基本概念：唯一分解环，唯一分解环的性质. 公因子、最大公因子，最大公因子的存在性.重点、难点: 唯一分解环.正 文定义4.2.1：整环I 叫做一个唯一分解环(UFD), 如果I 的每一个既不等于零又不是单位的元都有唯一分解.定理4.2.1：唯一分解环有以下性质：(3) 若一个素元ab p , 那么b p a p 或.证明：当b a ,中有一个是零或是单位时，定理显真.现设b a ,皆非零元，也非单位. 也非单位c c pc ab ab p ,0,≠=⇒ .)(之积矛盾可写成两个非单位的元是素元与是单位，则否则若pc pc c于是皆素元诸i n p p p p c ,21Λ=.又令皆素元诸',''2'121,,k j s r q q q q q b q q q a ΛΛ==.于是p q q q q q q s r ＝''2'121ΛΛn p p p Λ21.由分解唯一性知的相伴元或是某个'j i q q p , 如a p p q 则,1ε=；如b p p q 则ε='1.推论：在一个UFD 中，若素元i n a p a a a p 必整除某一个则,21Λ.定理4.2.2：若整环I 满足：(1) 解式；中每一个元均有一个分)(\I U I *(2) 若I b a b p a p ab p I p ∈∀⇒,,,或则必有的素元是.那么I 一定是唯一分解环.定义4.2.2：n i n a a d n i a d I a a d ,,,,,1,,,,11ΛΛΛ为则称如果假定=∈ 的一个公因子；d a a a a d n n 除的每一个公因子都能整若的一个公因子为假定,,,,,11ΛΛ，则称的一个最大公因子为n a a d ,,1Λ.定义4.2.3：，则称中的最大公因子是单位在如果假定I a a I a a n n ,,,,11ΛΛ∈ 互素n a a Λ,1.定理4.2.3：假定I 是唯一分解环, 那么有,,I b a ∈(1)在I 中, 有最大公因子；和b a(2)是相伴关系的最大公因子，则和均为若d d b a d d '',,.作业：1. 假定,()().()()I a b I a b =是一个整环和是的两个主理想证明：当且仅当b 是a 的相伴元的时候.2．证明：10.⎡⎤⎣⎦不是唯一分解环Z第三节 主理想环基本概念：：主理想环，主理想和极大理想、主理想环与唯一分解环的关系. 重点、难点: 主理想、极大理想.正 文定义4.3.1：如果整环I 中的每一个理想都是主理想，则称I 是一个主理想环，记为P.I.D.例 1：是主理想环整数环)1,0,,,(⋅+Z .证明：设A a a A Z A ⊆⊂)(,}0{则中的最小正整数为的理想，记是）（. 另一方面，若a a m A m 则),(,∉∈∃,0,,a r e as m m <<+=设则)().(a A a A a A as m r =⊆∈-=从而的最小性矛盾，故此与.例 2：是主理想环是域，则)1,0,,],[(⋅+x F F .证明：设的理想，是）（][}0{x F A ⊂A x f x f A ⊆))((),(则中次数最低的多项式为记.另一方面，若)()),(()(,)(x f x f x g A x g 则∉∈∃),(x g次数最小矛盾此与而设)()())(())((),()()()(x f A x v x f x v x v x u x f x g ∈∂<∂+=. 故))(()),((x f A x f A =⊆从而.引理4.3.1：设)1,0,,,(⋅+I 是一个PID, 则I 中的每一个真因子序列一定是有限序列. 即若序列)(,,,21I a a a i ∈Λ中每一个元素都是前面一个元的真因子，则该列一定是有限序列.证明：由于i i a a 1+，所以Λ⊂⊂)()(21a a令)(Y ii a A =，则的一个理想是I A . 事实上：A a ra I r i ⊆∈∈∀)(,.)()()(),()(,,j i j i a a a a b a a j i j i A b a ⊂∈⇒∈∈≤∃⇒∈∀使得不妨设A a b a j ⊆∈-⇒)( .而PID I 是，则存在).(,d A I d =∈使得 而Y ii a A d )(=∈，则)(n a d n ∈∃使得，我们断言，n a 为序列中的最后一个，如若不然，设还有一个的真因子为使得n n n a a a 11++. 由于111,)(),(+++⇒⇒∈∈n n n n n n a a a d d a d a a d 又n n a a 1+，则n a 是1+n a 相伴关系，这与的真因子矛盾为n n a a 1+.故原结论成立.引理4.3.2：设)1,0,,,(⋅+I 是一个PID,p I 是中的素元， 则(p)为I 的极大理想. 证明：设()()()()A a I p A I p a a p =⊂⊆⇒∈⇒是的理想，.()().1a p p a p a p a A a εε⎧=⇒⊂⇒=⇒⎨=⇒∈⇒⎩是的相伴元()()矛盾是单位()=I.故(p)为I 的极大理想.定理4.3.1：设)1,0,,,(⋅+I 是一个PID, 则I 是UFD .证明：(1) \(),.a I U I a a *∀∈一定有分解式事实上，若是素元，则不用再证. 现设,a a bc b c =有真因子，若皆素元，则不用再证. 对a 的不是素元的真因子重复上面的讨论过程，这样的分解过程经有限步后必终止（否则会得到无穷序列12,,,a a a L 后面的元是前面一个元的真因子，这与I 是PID 的前提矛盾）,此时已把a 分解成有限个素元之积.(2) 设素元()(),0.p ab ab a b ==⋅I I 于是在中有但是域p p 因此 ()()00a b a p b p p a p b ==⇒∈∈⇒或或或.由定理4.2.2知I 是UFD.注：定理的逆不成立. 例如[].x UFD PID ¢是但不是作业：证明：一个主理想环的非零最大理想都是由一个素元所生成的.第四节 欧氏环基本概念：欧氏环的定义，欧氏环和主理想环的关系.重点、难点: 欧氏环.正 文定义4.4.1：设I 是整环，若(1) 存在映射{}::0.I n n ϕ*→∈≥=Z Z(2) ,,0,,a b I a q r I ∀∈≠∈则存在使,b qa r =+其中0()().(..)r r a I E D ϕϕ=<或则称是一个欧氏环.例1．整环(,,,0,1)+⋅是一个欧氏环.Z证明：令:;,.a a a ϕ**→∀∈a Z Z Z则,,,,a b q r ϕ*∀∈∈是一个映射且一定存在使得Z Z,0()().b aq r r r r a a ϕϕ=+==<=或故(,,,0,1)+⋅是一个欧氏环.Z例2．数域F 上的多项式环([],,,0,1)F x +⋅是一个欧氏环.例3．Gauss 整数环([],,,0,1)i +⋅是欧氏环.Z证明：易证([],,,0,1)i +⋅Z 是整环. 令22:[]\{0};i a bi a b ϕ→++a Z Z ，则ϕ是一个映射.设[]\{0},[]a bi i c di i αβ=+∈=+∈Z Z ，,,k li k l βα=+∈Z ，则存在'',k l ∈Z 使得''11,22k k l l -≤-≤.令''[],k l i i γδβαγ=+∈=-Z ，则βαγδ=+. 若20,βδϕδϕβαγϕαγα≠则（）＝（－）＝（）－ 22''1()()()2k k l l ϕϕαϕα-+-≤<＝. 因此([],,,0,1)i +⋅是欧氏环.Z定理 4.4.1：任何一个欧氏环一定是一个主理想环，因而一定是一个唯一分解环.证明：设{0},.A I ϕ≠是欧氏环的一个理想是欧氏环的映射 令a A a ϕϕ∈≠∈使（）=min{(x)x(0)A}，则()A a =. 事实上, ,,b A q r I ∀∈∃∈使得,0b qa r r a ϕϕ=+=∈或（r ）<(),r A .若0().r a a a ϕ≠∈则与（）的最小性矛盾. 故r=0,b=q 注：定理4.4.1的逆不真，P.I.D 未必是欧氏环. 如复数域的子环,R a b ⎧⎫⎪⎪=+∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭Z 是一个P.I.D 但不是欧氏环. 定理4.4.2：(,,,0,1)+⋅是欧氏环,从而是唯一分解环.Z引理4.4.1：假定[][]I x I I x 是整环上的一元多项式，的元1110()n n n n g x a x a x a x a --=++++L的最高系数(),()[],(),()[]n a U I f x I x q x r x I x ∈∀∈∈那么对存在使得()()()(),f x q x g x r x =+其中()0()r x r x x =或的次数小于g()的次数.n定理4.4.3：域F 上的一元多项式环[].F x 是一个欧氏环证明：显然[]F x 是一个整环，令[];()deg(()),()[].F x f x f x f x F x ϕ*→∈a ：Z则ϕ是一个映射. ()[],()[],g x F x f x F x *∀∈∈()0()0,,.n n n g x g x a a F a *≠⇒≠∈的最高项系数而则可逆由引理4.4.1可知，(),()[]q x r x F x ∃∈使得()()()(),f x q x g x r x =+其中()0()r x r x x =或的次数小于g()的次数.n即()0(())(()).[].r x r x g x F x ϕϕ=<或故是唯一分解环作业：1.下列环是否是欧氏环，并证明之：(1) {},.a b =+∈Z Z(2) {},.a b =+∈Z Z 2. 证明：一个域一定是一个欧氏环.附注 本章中介绍的几种常见的整环之间有如下的关系图：其中，例①可取Z ； 例②可取[]x Z ；例③可取12⎡+⎢⎣⎦Z ； 例④可取Z 或数域F 上的一元多项式环[]F x ；例⑤可取有理数域、实数域、复数域等．第五节 多项式环的因子分解基本概念：本原多项式的定义及其引理.重点、难点:多项式的可约性判断.正 文设..I U F D 为，[]I x F 为上的一元多项式环，则有如下简单事实：(1) ([])(),[]U I x U I I x =且为整环;(2)[]()()I x f x f x 中多项式称为本原多项式，如果系数的最大公因子是单位.(3) 若本原多项式(),f x 可约则()()(),(),()[]deg ()deg ()0f x g x h x g x h x I x f x g x =∈>>且.(4) ()()()()();f x g x h x g x h x =⇔是本原的和均是本原的(5) ()[],deg ()0,()()([])f x I x f x f x f x U I x ∈=⇔∈若则是本原的.引理4.5.1: ,0()[],I f x x ≠∈设是的商域则Z Z (1) 00()(),,,()[];b f x f x a b I f x I x a=∈是中的本原多项式 (2) 0000()()(),,,,,(),()b d f x f x g x a b c d I f x g x a c ==∈若 []I x 均为中的本原 多项式，则00()([])()().U I U I x f x g x εε∃∈==使得引理4.5.2: 假设00()[],()[]f x I x f x I x 是中的一个本原多项式在中可约的充分必要条件是0()[].f x x I 在Q 中可约，其中Q 为的商域引理 4.5.3: []()[]I x f x I x 的任一个次数大于零的本原多项式在里有唯一分解.定理4.5.1: 若..,[]...I U F D I x U F D 是则也是定理 4.5.2: 若1212..,[,,,]...,,,,n n I U F D I x x x U F D x x x L L 是则也是其中是 I 上的无关未定元.作业：1． 假定[].()[],()I x I f x I x I f x 是整环上的一元多项式环属于但不属于并且的最高系数是I 的一个单位. 证明：()[].f x I x 在里有分解2. 设12,()1,().p p p x x x x x ϕϕ--=++++L 为素数判断在上是否可约Z第六节 因子分解与多项式的根基本概念：多项式的根、重根、导数；重根的判别定理.重点、难点: 多项式和多项式的根.正 文定义4.6.1: 设()[],()0,().f x I x a I f a a f x ∈∈=如果存在使得则称是的根 定理 4.6.1: 假定,()[],,()I f x I x a I a f x ∈∈是整环那么是的根的充分必要条件是()().x a f x -定理4.6.2： 12()[],,,,,k f x I x a a a I k ∈L 是中个不同的元素则12,,,()k a a a f x L 均是的根1()()().k x a x a f x ⇔--L推论：()[],()f x I x n f x I n 若是中的次多项式则在中至多有个根.定义4.6.2:,()[],1,a I f x I x k ∈∈∃>如果使得()(),()k x a f x a f x -则称为的一个重根.定理4.6.3：()(),,f x I x a I ∈∈设那么'()()().a f x x a f x ⇔-为的重根推论：...,()[],,I U F D f x I x a I ∈∈若为那么'()()()()a f x x a f x f x ⇔-为的重根能整除与的最大公因子.作业：1. 假定216.[]I I x x I 是模的剩余类环的多项式在里有多少个根？2. 假定F 是模3的剩余类环, 我们看[]F x 的多项式3().f x x x =-证明：不管是的哪一个元f a a F()0,.11。
整环里的因子分解讲解
不可约元。 由此可知，环 Z[ 5i]中的元素 3 及 2 5i 都是不可约元。
由于 3 2 5i 2 5i ，但 3 不能整除 2 5i 与 2 5i
定理 4.1.1 设环 K 的全体单位组成的集合为 G ，则 G 对 K 的乘 法构成一个交换群。
证明 对任意 a,b G ，有 a,b K ，存在 a1,b1 K ，因
aa1 1， bb1 1 ，
从而有
(ab)(b1a1) a(bb1)a1 1。
所以 ab 为单位，故 ab G 。 因 K 满足结合律，所以在 G 中亦满足结合律。 由于 K 的单位元 1 是可逆的，所以1G 。 G 中的每一个元都有逆元，且逆元在 G 中。 故 G 对于 K 的乘法构成交换群。
约元。
定理 4.1.3 整环中一个不等于零的元 a 有真因子的充分 必要条件是：a=bc (b 和 c 都不是单位)。
证明 若 a 有真因子 b ,那么 a=bc 这里的 b 由真因子的定义不是单位。c 也不是单位，不然 的话 b ac1 ，b 是 a 的相伴元，与 b 是 a 的真因子的假定 不合。 反过来，假定 a=bc b 和 c 都不是单位。这时 b 不会是 a 的相伴元，不然的话
不可约元。 证明 设 是 K 中的任意一个单位，则 a 是 a 的任意
一个相伴元。 下证 a 是 K 中的不可约元。
由于 0 ， a 0 ， K 无零因子，所以a 0 ；又由于 a 是不可约元，所以 a 不是单位，否则，存在 K ，使得
( a) 1，从而有 a( ) 1 ，于是 a 为单位，这与 a 是不可
高等代数第四章整环里的因子分解
第四章整环里的因子分解§1、素元、唯一分解一、整除、单位、相伴元定义在整环I中，若a=bc，则称a能被b整除，也说b整除a，记为b|a。
b不能整除a记作b|a。
定义整环I的一个元ε叫做I的一个单位，假如ε是一个有逆元的元。
元b叫做元a的相伴元（a与b相伴），假若b是a 和一个单位ε的乘积：b=εa。
单位元必是单位，反之不然。
例1在整数环Z中，单位即是1和-1，b是a的相伴元⇔b=±a。
在数域F的多项式环F[x]中，单位即是零次多项式c∈F*，g（x）是f（x）的相伴元⇔g（x）=cf（x）。
定理1 两个单位ε1和ε2的乘积ε1ε2也是单位。
单位ε的逆元ε-1也是一个单位。
推论整环I中全体单位的集U关于乘法作成群。
二、素元定义单位以及元a的相伴元叫做a平凡因子。
其余的a的因子，假如还有的话，叫做a的真因子。
定义整环I的一个元p叫做一个素元（注：应是不可约元），假如p0≠，p不是单位，并且p只有平凡因子。
例2 在例1的Z中，素元就是素数。
在F[x]中，素元就是不可约多项式。
定理2 单位ε同素元p的乘积εp也是一个素元。
定理3整环I的一个非零元a有真因子⇔a=bc，b和c都不是单位。
推论假定a≠0，并且a有真因子b:a=bc。
那么c也是a的真因子。
三、唯一分解定义一个整环I的一个元a说是在I 里有唯一分解，假如以下条件能被满足：（i）a=p1p2…p r（p i是I的素元）（ii）若同时a=q1q2…q s（q i是I的素元）那么r=s并且我们可以把q i的次序掉换一下，使得q i=εi p i (εi是 I的单位)零元和单位都不能唯一分解。
例3 在整环I={}Z+,3中：a∈-bab（1）ε是单位1=⇔。
⇔ε=1ε2±（2）若4α2=，则α是素元。
（3）4∈I有两种不同的分解（不相伴分解）：()()3+-=-⋅=113224-§2、唯一分解环一、唯一分解环定义一个整环I叫做一个唯一分解环，假如I的每一个既不等于零又不是单位的元都有唯一分解。
第四章 整环里的因子分解
第四章整环里的因子分解本章讨论环的一个特殊问题，即整环里的唯一分解定理§4.1 素元唯一分解●课时安排约2课时●教学内容P125-130定义：我们说，整环R的一个元a可以被I的元b整数，假如在R里找得出元c，使：a=bc假如a能被b整除，我们说b是a的因子，并且用符号b|a来表示，否则 b a来表示。
定理1：两个单位ε和ε′的乘积εε′也是一个单位，单位ε的逆ε-1也是一个单位。
定义：单位以及元a的相伴元叫做a的平凡因子，其余的a的因子，叫做真因子。
定义：整环R的一个元P叫做一个素元，假如P既不是零元，也不是单位，并且P只有平凡因子。
定理2：单位q同素元P的乘积qp也是一个素元。
定理3：整理中一个不等于零的元a有真因子的充分而且必要条件是：a=bcb和c都不是单位元。
推论：假定a≠0，并且a有真因子，b:a=bc，那么C也是a的真因子。
定义：我们说，一个整环R的一个元a在R里有唯一分解，假如以下条件能被满足：（i）a=P1P2…Pr(Pi是R的素元1)（ii）若同时a=那么r=s，且可把的次序掉换一下使（ I是R的单位）例1：P129●教学重点掌握和理解素元概念●教学难点几个定理的证明过程●布置作业P1301，2●例题精讲P1303§4.2 唯一分解环●课时安排约2课时●教学内容P130-135定义：一个整环R叫做一个唯一分解环，假如R的每个既不等于零又不是单位的元都有唯一分解。
定理1：一个唯一分解环有以下性质：（iii）若一个素元P能够整除ab，那么P能够整除a或b。
定理2：假定一个整环R有以下性质：（i）R 每一个即不是零也不是单位的元a都有一个分解。
A=P1P2…Pr（Pr是R的素元）（iii）R的一个素元P若能整除ab，那么P能整除a或b。
则R一定是一个唯一分解环。
定理3：一个唯一分解环R的两个元a和b，在R里一定有最大公因子，a和b的两个最大公因子d和d′只能差一个单位因子。
§4.1.素元、唯一分解
那么r s, 并且我们可以把qi的次序掉换一下,使得 qi i pi
是I的单位
i
一个整环的零元和单位一定不能唯一分解.
§4.1 素元、唯一分解
一个整环的不等于零的元可以没有分解, 分解也可以不唯一.
例 (分解不唯一的例子) I a b 3 | a, b是整数 , 则I 显然是一个整环,且 (1) I的一个元 是一个单位,当且仅当| |2 1. I只有两个单位,就是 1. (2)适合条件 4的I的元 一定是素元.
推论: 假定a 0, 且a有真因子b : a bc. 那么c也是a的真因子.
§4.1 素元、唯一分解
定义6
一个整环I 的一个元a在I 里有唯一分解,
假如以下条件被满足： (i )a p1 p2 pr (ii )若同时
pi是I的素元 a q1q2 qs qi是I的素元
(3)4 2 2 1 由(2)知, 2,1 但由(1), 1
2
3
1
3 ,
3， 1 3,1
3都是I的素元, 3都不是2的相伴元.
§4.1 素元、唯一分解
定义2 整环I的一个元叫做I的一个单位,假如 是一个有逆元的元.
一个整环的单位同单位元不同, 整环至少有 两个单位, 就是1和 1.
定义3 元b叫做元a的相伴元,假如b是a和一个单位的乘积, b a.
定理1
两个单位 和 的乘积 也是一个单位.
单位的逆元 1也是一个单位.
§4.1 素元、唯一分解
一个任意元a可以被每一个单位 和a的每一个相伴元 a整除.
定义4 单位以及元a的相伴元叫做a的平凡因子. 其余的a的因子,假如还有的话,叫做a的真因子.
大一高代知识点因式分解
大一高代知识点因式分解高等代数是大学数学的一门重要课程，它主要研究多项式及其运算、方程与不等式的性质与解法等。
在高等代数中，因式分解是一项非常重要的内容，它能帮助我们将一个复杂的多项式分解成简单的因子相乘形式，从而更方便地研究和计算。
本文将介绍大一高等代数中常见的因式分解方法，包括公因式法、提公因式法、完全平方差公式、差的平方公式、分组分解法等，以及一些常见的应用技巧。
一、公因式法公因式法是因式分解中最基本的方法之一，它的基本思想是将一个多项式中的共同因子提取出来，从而简化计算。
对于一个多项式，如果每一项都含有一些公因子，则可以将这个公因子提取出来，形成括号里的部分，剩下的部分就是括号外的部分。
例如：4x^2+8x=4x(x+2)2xy^2 - 4y^2 = 2y^2(x - 2)二、提公因式法提公因式法是公因式法的一种变形，当一个多项式可以因式分解成两个或多个括号的乘积形式时，我们可以将其中的公共因子提取出来，形成一个因子，再根据乘积形式的特性进行因式分解。
例如：x^2+2x-8=(x-2)(x+4)3x^2-12x+15=3(x-1)(x-5)三、完全平方差公式完全平方差公式是一种常用的因式分解方法，它用于分解一个二次多项式为两个因子的乘积形式，即(a+b)(a-b)=a^2-b^2、根据这个公式，我们可以将一个二次多项式进行因式分解。
例如：x^2-9=(x+3)(x-3)4x^2-1=(2x+1)(2x-1)四、差的平方公式差的平方公式和完全平方差公式类似，也用于分解一个二次多项式为两个因子的乘积形式，即(a+b)(a-b)=a^2-b^2、不同的是，差的平方公式适用于两个项之间是减号的情况。
例如：x^2-4=(x+2)(x-2)16x^2-25=(4x+5)(4x-5)五、分组分解法分组分解法是一种适用于含有多个项的多项式的因式分解方法。
它的基本思想是通过重新排列多项式的项，将其分为两个或多个组，并利用一些特殊的因式分解方法进行化简。
唯一分解环
若 a，b 中有零元或单位，则显然 p 至少整除 a，b 中的一个。因
此，下设 a 与 b 既不是零元也不是单位。
由于 K 无零因子，这时 c≠0。同时 c 也不是单位，否则，由上节 定理 2 知 pc 是不可约元且表成两个非单位的乘积，即 pc 有真因子，
因子，但这是不可能的。故 s 1，且 p1 q1 结论成立。 假定 K 中能写成 r 1个素元的乘积的元素都有唯一分解，再证
a p1 p2 pr q1q2 qs ， （1） 也有唯一分解。由 p1 q1q2 qs ，则 p1 必能整除 q 1 , q2 ,, qs 中的某一个。不妨设 p1 q1 ，则 p1 与 q1 相伴。设 p1 q1 ， 是单位，代入（1）式，两端消去 q1 后，所得元素为 b ，即
证明 为了证明 4 不是 D 的唯一分解元，先证明两个事实。
（1） D 的一个元 是单位当且仅当 2 1 。
设 a b 3i 是 D 的一个单位，那么
1， 2 2 1，
反之，假定 2 a2 3b2 1，则有 b 0 ，a 1，即 1，故 为
单位。
（2）适合条件 2 4 的元 一定是不可约元。 当 2 4 时， 0 ，且由（1）知 也不是单位。设 为 的任一 因子，则有 a b 3i ，a,b Z ， ， D ，那么 2 2 2 4 ， 这只有 2 1, 2或4 。但不论 a, b 是什么整数，都有 2 a2 3b2 2 ， 因此只有 2 1或 4。 若 2 1，则 为单位； 若 2 4 ， 2 1 ，则 为单位，因而 1 ，即 为 的相伴
（1） d a (i 1, 2,L , n) ； i
（2）若 d K 满足 d a (i 1, 2,L , n) ，则 d d ； i
近世代数第四章的整环里地因式分解
第四章整环里的因式分解§1. 素元、唯一分解本讲中, 总假定为整环, 为的商域.1. 整除定义1 设D为整环, Dc∈, 使得,, 如果存在Dba∈则称整除, 记作; 并称是的一个因子, 是的倍元.∙整环中的整除概念是整数环中整除概念的推广, 因此有许多与整数的整除相类似的性质.∙整除有下列常用的性质:(1) 如果, , 则;(2) 如果, , , 则.2.相伴定义2整环D的一个元叫做D的一个单位，假如是一个有逆元的元。
元叫做元的相伴元，假如是和一个单位的乘积：定理１两个单位的乘积也是一个单位.单位的逆元也是一个单位.例１因为整数环的单位仅有１与-１，故任一非零元有２个相-.伴元：与a例２有四个单位，１，-１，i,-i,所以任一非零元，有四个相伴元：定义3 单位以及元的相伴元叫做的平凡因子.若还有别的因子，则称为的真因子.３. 素元定义4 设D为整环，Dp∈，且既非零也非单位，如果只有平凡因子，则称为一个素元.定理２单位ε与素元的乘积也是一个素元.定理３整环中一个非零元有真因子的充分且必要条件是：，这里，都不是单位.推论设，并且有真因子：.则也是的真因子.定义5 我们称一个整环D的元在D中有唯一分解，如果以下条件被满足：(i) (为D的素元)(ii) 若同时有（为的素元）则有，并且可以调换的次序，使得（为的单位）整环的零元和单位不能有唯一的分解.所以唯一分解问题研究的对象只能是非零也非单位的元.例３给整环.那么有：(1)的单位只有.(2)适合条件的元一定是素元.首先，；又由(1),也不是单位.设为的因子：那么但不管，是何整数，或４若，则是单位.若，则而为单位.因而是的相伴元.从而只有平凡因子，故是素元.(3)没有唯一分解：我们有(A) ,,故由(2),2,都是的素元.由(1),都不是２的相伴元，因而给出了４的两种不同分解从而４没有唯一分解. 这说明并不是任意整环中的非零和非单位的元都有唯一分解.$2. 唯一分解环定理１一个唯一分解环有以下性质：若一个素元能够整除，则有整除或.定理２做定整环有如下性质：(i)的每一个非零非单位的元都有一个分解.（为的素元）(ii)的一个素元若能够整除，则有整除或，则一定是一个唯一分解环.定义6 元叫做的公因子，如果.定理３一个唯一分解环的两个元和在里一定有最大公因子.和的两个最大公因子和只能差一个单位因子：（是单位).推论一个唯一分解环的个元在里一定有最大公因子.的两个最大公因子只能差一个单位因子.定义一个唯一分解环的元称为互素的，如果它们的最大公因子是单位.$3. 主理想环引理１设是一个主理想环.若在序列里的每一个元是前一个元的真因子，那么这个序列一定是一个有限序列.引理２设是一个主理想环，那么的任一素元生成一个最大理想.定理一个主理想环是一个唯一分解环.证：我们证明是一个唯一分解环.设且不是零也不是单位.若不能写成有限个元的乘积，则不是一个素元，所以由$４.１的推论，都是的真因子.的这两个真因子中至少有一个不能写成素元的乘积，否则就是素元的乘积而与假设矛盾.于是有这样的结论；若没有分解，则一定有一个真因子也没有分解.这样，在没有分解的假设之下，就得到一个无穷序列在此序列中每一个元都是前一个元的真因子.依照引理１，这是不可能的，所以一定有分解.即满足$４.２定理２中的条件(i).又设的素元能整除的元乘积，那么这就是说在剩余类环里，所代表的类与o所代表的类相同：由引理２，是最大理想，因而由$３.９的定理，是一个域.因为域没有零因子，所有由上面等式有或即有或亦即或从而或，故也满足$４.２定理２的条件(iii).因而是一个唯一分解环.$4. 欧氏环定义一个整环叫做一个欧氏环，如果(i)有一个从的非零元所作成的集合－｛０｝到全体非负整数作成的集合的映射存在；(ii)任意给定的一个非零元，的任何元都可以写成的形式，这里有或例整数环是一个欧氏环.因为：定理１是一个适合条件(i)的映射并且任意给定整数，则任何整数都可写成这里或上面定义中的映射称为欧氏映射.定理１每一个欧几里德环都是主理想整环, 因而也是唯一分解环.证明设为欧几里德环的任一理想, 为欧氏映射.(1) 如果, 则.(2) 如果, 令则非空, 且. 设, 使得为中的最小数, 下证.任给, 因为, 所以存在, 使得. 于是, .如果, 则, 与的选取矛盾. 所以,, 则, 于是. 由的任意性可知.又, 所以, 从而.这就证明了, 的任一理想都是主理想, 故为主理想整环.定理２整数环是主理想，因而是唯一分解环.定理３一个域上的一元多项式是一个欧氏环.因而是一个唯一分解环.$５. 多项式环的因子分解本章讨论唯一分解环上的一元多项式环.我们称的素元即素多项式为不可约多项式，日有真因子的多项式叫做可约多项式.定义的一个元叫做一个本原多项式，如果的系数的最大公因子是单位.我们有如下结论：(A)的单位是的仅有的单位.(B)一个本原多项式不会等于零.(C)若本原多项式可约，那么且有（表示的次数）引理1 设，那么是本原多项式的充分且必要条件是和都是本原多项式.设是的商域，那么多项式环是唯一分解环.引理2 的每一个非零多项式都可以写成的形式，这里是的本原多项式.如果也有的性质，那么，（为的单位）引理3 的一个本原多项式在里可约的充分必要条件是在里可约.引理4 的次数大于零的本原多项式在里有唯一分解.有了以上的结论，我们就有定理如果是唯一分解环，，则也是唯一分解环.$６. 因子分解与多项式的根定义整环的元叫做的多项式的一个根，如果有定理１是的一个根的充分且必要条件是整除定理２的个不同的元都是的根的充分且必要条件是整除推论若的次数为，则在中至多有个根.定义的元叫做的一个重根，如果能被整除，这里是大于1的整数.定义由多项式唯一决定的多项式叫做的导数.导数适合如下计算规则：,定理３的一个根是一个重根的充分且必要条件是整除推论设是唯一分解环.的元是的一个重根的充分且必要条件是：能整除和的最大公因子.。
§5.多项式环的因子分解5.1基本结论5.2引理5.3结论的证明
crs arbs ar 1bs1 ar 2bs2
ar 1bs1 ar2bs2
在这个式子里除了 arbs以外，每项都能被 p 整除，所以 arbs也能被 p 整除，因而由于 I 是唯一分解环，ar 或 bs 能 被 p 整除，与这两个元的取发相反。这样 f x 必须是本原多
项式。证完。
现在我们用 I 的商域Q来做Q上的一元多项式环 Qx，那么 Qx包含 I x。我们知道 Qx 是唯一分解环，我们要由这一件
事实来证明 I x也是唯一分解环。
引理 2 Qx的每一个不等于零的多项式 f x 都可以写成
f
x
b a
f0
x
的样子，这里 a,bI, f0 x 是 I x的本元多项式。若是 g0 x也
bi ai
p0i x
这样，由引理2，q0i x i p0i x i是I的单位
ai ,bi I
f0 x在 I x里有唯一分解。证完
5.3 结论的证明
定理 1 若是 I 是唯一分解环，那么 I x也是。
证明 我们看 I x的一个不是零也不是单位的多项式 f x 。
若 f xI ，那么由于 I 是唯一分解环，f x 显然有唯一分 解。若 f x 是本原多项式，由引理4， f x 也有唯一分解。
由定理1，当 I 是整数环的时候，I x是一个唯一分解环。但 我们知道，这个多项式环不是一个主理想环（Ⅲ，7，例 3）。这样，我们有了一个分解环不是主理想的例子。
qi I,q0i x ,qi,q0t x 都是 I x 的不可约多项式。这时， qi 一
定是 I 的素元，q0i x一定是不可约多项式。
因为： qi 若不是 I 的素元，显然也不会是 I x 的不可约多项式；
第四章整环里的因子分解
设a, b, c, d Z ,使得 (abi)(c di) 3.(a 2因此a 2 b 2 1或c 2 显然 a 2 b 2 3 是不可约元 . 由 (2 i)(24. 设 I 是整环 , a,b I , 直接证明 ： b 2)(c 2 d 2) 9. d 2 1,从而，a bi 是单位或c di 是单位.所以3i) 5可知, 2 i 和2 i 都是5的真因子.所以5是可约元.(b) a 〜b ., 根据定理 3.16 的推论 1(3), (a) aI , (b) bI . 第四章 整环里的因子分解4.1 不可约、素元、最大公因子1. 证明: 0 不是任何元的真因子 .注 这里的 0 是指整环 I 的零元 , “任何元”是指整环 I 中的任何元 .证明 由于0不能整除整环 I 中的非零元,因此0不是整环 I 中的非零元的真因子 虽然0整除0,但0与0相伴，因此0不是0的真因子•所以0不是整环I 中任何元的真因 子.2. 找出Gauss 整数环I Z[i] {m ni | m, n Z}的所有单位.解 假设 a,b Z , 使得 a bi 是 I 中的单位 , 则存在 c, d Z , 使得(a bi)(c di) 1,从而,(a 2 b 2)(c 2 d 2) 1.由此可见，a bi 1, i .所以1, i 就是I 中的所有单位•3. 证明：在Gauss 整数环I Z[i]中，3是不可约元，5是可约元.证明 显然, 3和5既不是零元 ,也不是单位.于是(a) 证明 由于 I 是有单位元的交换环 因此(a) (b) 存在 r,s R , 使得 a rb, b sa a 〜b.5.设p 是整环I 的素元，p|a j a 2 a m ( m 2),证明:至少存在一个a , (1 i m),使p|a i .证明 我们用数学归纳法来证明 .当m 2时，根据素元的定义，我们的断言成立.假设当m n (n 2)时，结论成立.当m n 1时，根据素元的定义，p©a 2 a n 或 p | a n 1 .若p 不整除a n 1 ,则p | a£2 a “ .于是，根据归纳假设，至少存在一个 a i (1 i n), 使 p|a i . 所以当 m n 1 时,我们的断言成立.6.设整环I中任意两个元的最大公因子都存在，知a2, , a m是I中m个不全为零的元,若印db^a? db2, , a m db m ,证明：d是a n a?, , a m的最大公因子b i, b?, , b m互素•证明假定a-i db-i, a2 db2, , a m db m.b i, b2, , b m不互素I中存在元素b',b2', , b m'和非零、非单位的元素c,使得bi cb i', b2 范'，,b m cb m'I中存在元素bAd', , b m'和非零、非单位的元素c,使得a1 dcb1', a2 dcb2', , a m dcb m'd不是a i, a2, , a m的最大公因子•所以d是a i, a2, , a m的最大公因子b i, b2, , b m互素•§ 4.2 惟一分解环1. 证明:整环I Z[..iO] {m n .. i0|m, n Z}不是惟一分解环•证明显然，2,5, iO,iO I , 2, 5, ,iO都不是单位，也都不是零元，2和5都不是iO的相伴元，但是iO 2 5 iO iO .所以I不是惟一分解环•2. 证明：Gauss整数环I Z[i]中，5是唯一分解元•证明首先，由§ i习题第2题知，在I中只有i和i是单位•其次，显然2 i都不是零元和单位元•事实上，2 i是I中的不可约元•为了阐明这一事实，考察任意的a,b,c, d Z •若(a bi)(c di) 2 i ,则(a2 b2)(c2 d2) 5,由此可见,a2 b2 i或c2 d2 i,从而,a bi是单位或c di是单位•因此2 i没有非平凡的因子•所以2 i是I 中的不可约元•当然，它们的相伴元(2 i) , i(2 i), i(2 i)也都是不可约元•现在设a, b, c, d Z ,使得(a bi)(c di) 5. (*)于是，2 2 2(a b )(c 2d ) 25.由此可见，a2 b2 i或a2 b2 5 •当a2 2 b i , a bi i, i是I中的单位，从而，c di是5的相伴元•这时(*)式不是5的不可约元分解式•当a2b2 5 时，a bi 的值只能是如下八个数之一：2 i , (2 i), i(2 i), i(2 i)•显然，这八个数都是5的真因子•这样一来,根据(*)式可以断言，5 (2 i)(2 i)是5的不可约元分解式，并且:对于5的任意一个不可约元分解式 5 p i p2 p n,必有n 2 ;必要时,交换p i 和P2的下标和次序后，P i与2 i相伴且P2与2 i相伴.所以5是唯一分解元.2. 按惟一分解环定义直接证明定理4.ii.注定理 4.ii 的内容如下:在一个惟一分解环I 中, 每一个不可约元都是素元.证明设p I是一个不可约元.任意给定a,b I ,并假设p|ab.于是,存在c I , 使得ab Pc . 当a 0 或b 0 时, 显然P|a 或P|b . 当a 为单位时, 有b a i Pc , 从而，p |b .同理,当b为单位时，有p | a .现在假定a和b都不是零元和单位.显然，c不是零元, 也不是单位. 由于I 是惟一分解环, 不妨设a p i p2 p m,b q i q2 q n,c r i r2 r u .其中，P j(1 j m), q k (1 k n)和n (1 l u )都是不可约元.于是,pr i r2 r u p i p2 p m q i q2 q n. (*)由于I是惟一分解环,可以断言：或者存在j (1 j m),使得p与p j相伴,从而，p|a ; 或者存在k( 1 k n),使得p与q k相伴,从而，p | b .总而言之，p |a或p |b .这样一来, 由于a,b I的任意性，我们断言p是素元.4. 设I是惟一分解环，a2, , a m是I中m ( m 2)个元，证明：在I中a1, a2, , a m 的最大公因子存在, 且任意两个最大公因子互为相伴元.证明首先,我们用数学归纳法来证明a1,a2, , a m有最大公因子.事实上, 定理4.10 告诉我们,当m 2时, 结论成立.假设当m n(n 2 )时结论成立. 现在考察m n 1的情形：根据归纳假设，不妨设a是a1,a2, , a n的一个最大公因子.根据定理4.10,可设d是a 与a n1 的最大公因子. 显然, d 是a1,a2, ,a n,a n 1 的一个公因子. 假设d' 是印，a2, , a n, a n 1的一个公因子.则d'是q, a?,,务一个公因子.由于a是印，a?, , 的一个最大公因子，因此d'| a .由于d'| a n 1,因此d'是a与a. 1的公因子.这样一来，由于d 是a与a n 1的最大公因子，因此d'|d .所以d是a1, a?, , a n, a n 1的一个最大公因子.所以当m n 1时a1,a2, , a m有最大公因子.§ 4.3 主理想环1. 设I是主理想环，d是a, b I的一个最大公因子，证明：s, t I ,使d as bt .证明根据定理3.16的推论2, (a) (b) (a, b),其中(a, b)表示｛a, b｝生成的理想.根据定理 4.15, (d) (a,b) . 因此(a) (b) (d) . 由 d (a) (b) 可知, 存在s,t I , 使d as bt .2. 设I是主理想环，a,b I ,证明:a, b互素s, t I ,使as bt 1.证明根据定义 4.8 、第1题、定理 3.16 的推论2以及定理 4.15, 我们有a, b互素1是a与b的一个最大公因子存在s, t I , 使as bt 11 (a) (b) (1) (a) (b) (a,b)1是a与b的一个最大公因子.所以a, b互素s, t I ,使as bt 1.3. 设I是主理想环，a,b I ,证明：(1)若a, b 互素,且a |bc,则a|c;⑵若a, b互素,且a | c, b | c ,则ab| c.证明(1)当a 0时，由a | bc可知，be 0;由a与b互素可知，b是单位.因此c 0. 所以a|c.当 a 是单位时, 显然a|c.假设a既不是0 ,也不是单位.由于a | bc,因此bc既不是0 ,也不是单位；从而，b和c都不是0.若b是单位,则由a | bc可知a |c.现在假定b不是单位.由于I是主理想环，根据定理4.14, I是惟一分解整环.不妨设a p1 p2 p m,b q1q2 q n ,其中5, P2, , P m和q「q2, , q n都是R中的既约元.于是存在k I ,使得kp1p2 p m q1q2 q n c.由于a与b互素，因此P i( i 1, 2, , m)与q j ( j 1,2, ,n)不相伴.这样一来，由上式可知, c 可以表示成如下形式：c k'P1P2 P m.所以a|c.⑵显然，当a 0或b 0时，c 0,从而，ab |c;当a是单位或b是单位时，ab | c.现在假设a和b既不是0,也不是单位.由于I是主理想环，根据定理4.14, I是惟一分解整环. 不妨设a P1P2 P m,b q1q2 q n,其中P1, P2, , P m和5, q2, , q n都是I中的既约元.于是，ab P1P2 P m q1q2 q n ,c kP1P2 P m k'q1q2 q n.如果a与b互素，那么,P i( i 1, 2, , m)与q j ( j 1, 2, ,n)不相伴.这样一来，因为I是唯一分解整环，c可以表示成如下形式：c k''P1P2 P m q1q2 q n k''ab. 所以ab |c.个欧氏环. Z[.、2]和 B z[.. 2]:设 a a b 、2 , B c d .2,其 4. 在整数环Z 中,求出包含(6)的所有极大理想.证明 我们知道,整数环Z 是主理想环.设(a)是包含(6)的一个极大理想.根据定理 4.4, a 是6的真因子.因此a 2或a 3.所以(2)( 2)和(3) ( 3)就是包含 ⑹的所有极大理想.5. 在有理数域Q 上的一元多项式环 Q[x]中,理想(x 3 1,x 2 3x 2)等于怎样一个 主理想？ 解 显然,x 1是x 3 1与x 2 3x 2的一个最大公因子.根据定理3.16的推论2和 定理 4.15, (x 3 1,x 2 3x 2) (x 1).6. 证明：Q[x]/(x 2 3)是一个域.证明 首先，由于Q 是域，根据§ 3.7中的例1, Q[x]是主理想环.其次，显然x 2 3 是Q[x]中的不可约元.这样一来,根据定理4.16和定理3.23, Q[x]/(x 2 3)是一个域.§ 4.4 欧氏环1. 证明:域F 是欧氏环.证明定义F {0}到到N {0}的映射©如下：M a) 1, a F {0}.显然,对于任意的a F {0}和b F ,存在q F ,使得b aq 0.所以F 是欧氏环.2. 证明：整环Z[.. 2] {m n.. 2 | m, n Z}关于Z[ . 2]到N {0}的映射M m n. 2) m 2 2n 2 是 证明考察任意的a中 a,b,c, d Z .于是，a ab 2a 2 2b 2 2 a 2b 2 a 2 2b 根据带余除法, 存在q 1, q 2 ,u, v Z ,使得ac 2bd (a 22b 2 )q 1 u , 0 |u|1 /2 尹 2b 2); ad bcd (a 2 2b 2 )q 2 v ,0|v| 1 / 2 2(a2b 2). 令 q q q 2、2 . •则B ac 2bd ad bc ,2q u v. 2 从而 a 2 a 2b 2 a 2 2b 2 a 2 2b 2 ,(u v ■- 2) a(c 旅 2)(a b 、2 ac 2bd a 2 2b 2B c d . 2注意到a B,q Z[、. 2],由上式可知(u 2)aZL 2].令ra2 2b2(u Z 2)s,则a a2 2b2r Z[・-2],并且当r 0时,|r| l(u f---- oV 2) |2(a22b2)2i a2|u|a2 2b2|V|a2 2 b2(Ka所以整环Z[.、2]关于Z[.、2]到N {0}的映射©是一个欧氏环.3•证明：整环Z[...2] {m n.._2|m, n Z}关于Z[・._2]到N [0}的映射<Km n、2) | m2 2n2 |是一个欧氏环.证明令Q[.、2] {a b..2|a,b Q}.定义Q[.2]到Q的映射书如下：収a b .2) | a2 2b2 |, a b、. 2 Q[、. 2],其中a,b Q .于是,对于任意的a b . 2, c d .. 2 Q[・.2](其中a,b, c, d Q ),我们有呎a b、2) 収 c d、、2) | (a22b2)(c2 2d2)||(a b 2)(a b、2)(c d . 2)(c d、2)||(a b 2)(c d、2)(a b . 2)(c d . 2) ||((ac 2bd) (ad be) . 2)((ac 2bd) (ad bc)、、2)||(ac 2bd)22(ad bc)2|収ac 2bd) (ad be) . 2)収(a b、2)( c d、. 2)).此外,显然Z[ .2] Q[ ,2],并且书在Z[ 2]上的限制就是©任意给定a a b、、2 Z[、、2], B c d.2 Z[.2],其中a,b, c, d Z .为了证明Z[ . 2]是欧氏环，现在只需阐明存在q, r Z[ 2],使得a q r ,其中,r 0或©r) © a .事实上,我们有B (a b 2)(c d、、2) (ac 2bd) (ad be)、22 — . 2a a 2b 2 2a 2b令q q i 从而，ac 2bd q(a22b2) u , 0 1 |u|2|a22b2 ad bc q2(a2 22b ) v, 0 M舟1 2 a 2b2| q2、2•于是,-qau v 2,2 2a 2b 2 2a 2ba qa qau 2bv~2 2a2 2b2av2cbu2b2au 2bv~2 2"a2 2 b2av2abu 2b22.根据带余除法，存在q, q?, u, v Z ,使得注意到a, B,q Z[.,2],由上式可知,弩廻和? %都是整数.令a 2b a 2b于是,r ZJ2],并且当r 0时,呎r)U( 2a 2b2『2&八2)心)2 2u v2 —2 2 2 —2 aa 2b a 2b2 2u v2 〜2 2 2 ■ 2aa 2b a b§ 4.5 惟一分解环上的一元多项式环1. 证明：设f i(x), f2(x)是l[x]中两个本原多项式,若它们在Q[x]中相伴(Q为I的商域)，则在I[x]中也相伴•证明假设f1(x), f2(x)在Q[x]中相伴,则存在Q[x]中的单位u ,使得f1(x) uf2(x).由于Q[x]中的单位就是Q中的非零元,且Q为I的商域,因此可设u -,其中a,b是Ia中的非零元•于是，af/x) bf2(x).这样一来,根据引理1可以断言，fx), f2(x)在I [x]中相伴•2 .设I 是惟一分解环，f (x), g(x) I[x],且f (x) af1 (x) , g(x) bg1 (x), a, b I , f i(x), g i (x)是本原多项式,证明：若g(x) | f (x),则b |a .u2b22.证明不妨设f(x) g(x)q(x).于是，af1(x) bq(x)g1(x) .由于f i(x), g i(x)是本原多项式，根据上式和引理1可以断言，a〜bq(x).由此可见,q(x) I ,从而，b|a .3. 设f (x)是Z[x]中首项系数为1的多项式，证明：若f (x)有有理根a ,则a是整数. 证明假定f (x)有有理根a.则f (x) q(x)(x a),其中q(x) Q[x].根据引理1,存在口上Q和本原多项式f i(x), f2(x),使得q(x) rf i(x),x a jf2(x).于是，f(x) r1r2f1(x)f2(x).根据Gauss引理，f i(x)f2(x)是本原多项式.由于f (x)的首项系数为1,由上式可知「订2 1, 从而, f(x) f1(x)f2(x) . 由此可见, f2(x) 的首项系数为1或1. 这样一来, 由x a r2f2(x)可知，f2(x) x a或f2(x) x a .因为f2(x)是本原多项式，所以a是整数.4. 域F上的二元多项式环F[x, y]是惟一分解环,但不是主理想环.证明F[x, y] F[x][ y].由于F是域,根据定理4.17可以断言，F[x]是欧氏环.根据定理4.18又可以断言,F[x]是惟一分解环.由于F[x, y] F[x][y],根据定理4.21,可以断言，F[x, y]是惟一分解环.令A表示F[x, y]中次数大于或等于1的所有多项式和零多项式组成的集合.显而易见，A 是F[x, y]的一个理想.考察任意的f(x, y) A:显然，或者x (f(x, y)),或者y (f (x, y)),但是x, y A .因此A (f (x, y)).由此可见，A不是F[x, y]的主理想.所以F[x, y]不是主理想环.5. 证明：f (x, y) 2x2 3xy 5y2 3x 5y 10 是Z[x, y]中不可约多项式.证明令I Z[x].则Z[x, y] I[y].由于整数环Z是惟一分解整环(参看§ 4.2),根据定理4.22, l[y] Z[x,y]也是惟一分解整环.由于f(x, y) (2x2 3x 10) (3x 5)y 5y2 I[y],3x 5是I中的不可约元，3x 5?5, 3x 5| (3x 5) , 3x 5?2x2 3x 10 ,根据定理4.23( Eisenstein判别法),f(x, y)是Z[x, y]中不可约多项式.§ 4.6 因子分解与多项式的根1. 问：ZZx]中多项式f(x) x2在Z16中有多少个根？答由直接演算知，ZZx]中f (x) x2在Z16中有如下四个根：[0], [4] , [8], [12].2. 证明：Z6【x]中多项式f(x) x3 x在Z6中有6个根.证明由直接演算知，Z6中的[0],[1], [2], [3], [4]和[5]都是Z6【x]中多项式f(x) x3 x的根.所以Z6[x]中多项式f(x) x3 x在Z6中有6个根.3. 试求Z5[x]中多项式f(x) x5 1在Z5中的根.解由于Z5是特征为5的域,因此f(x) x5 1 (x 1)5.由于Z5无零因子,因此只有当x [1]时f(x)的值为[0],从而，f(x)只有x [0]这个根.显然它是5重根.4. 判断：(1) Z3【x]中多项式f(x) x2 1是否可约？⑵Z5【x]中多项式f(x) x2 1是否可约？解(1)显然f(x) x2 1在Z3中没有根，所以f (x)是Z3【x]中的不可约多项式.(2) 显然，Z5中的[2]是f (x)的根，所以f(x)是Z5【x]中的可约多项式.5. 设chi 0, f(x) I[x] , a I，k 1,证明：a是f(x)的k重根a是f (x)的根,且a是f'(x)的k 1重根.证明我们有a是f (x)的k重根存在g(x) I[x],使 f (x) g(x)(x a)k,且a 不是g(x)的根存在g(x) I[x],使f'(x) (kg(x) g'(x)(x a))(x a)k 1.由于ch I 0, g(a) 0,因此kg(a) g'(a)(a a) kg(a) 0 ,从而，a是f'(x)的k 1 重根. 所以a是f(x)的k重根a是f (x)的根，且a是f'(x)的k 1重根.复习题四1.设整环I 牙m Z, nN {0},找出I中的所有单位与不可约元.解假设马(其中m Z,n N {0})是单位.于是,存在k Z和s N {0},使得2芈£ 1.由此可见,存在j Z ,使得畔2j.反过来,显然,对于任意的j Z ,有2 2 212j I .显然 --I并且是2j的逆元.所以I中的所有单位为：2j, j Z .2j假设■m n(其中m Z,n N {C})是不可约元.于是，m 0且m 2s, s Z .不妨2设sm 2 P4 P r ,s j 其中r 1, s Z, P1, P2, , P r为奇素数.若r 1,则黑攀%^.由于菩和2 2 2 22J p (m 2 (n p J)) s 匹/都不是单位，这与叫是不可约元矛盾•所以r 1,从而，咚 兽，即存在 20 2n 2n 2nj Z 和奇素数p ,使得■m n 2J p .反过来,设j Z , p 是奇素数,考察2J p :显2 然,2J P I 并且既不是零元,也不是单位.假设二上1(其中m,k Z ,n,s N {0}), 2n 2s并且2 p 1 m n E ,即存在厶i (其中j Z , t N{0}),使得2 p -if ~mn E •于是， 2 2 2 2 2 2 p |m 或p | k .当p |m 时，我们有其中mm ^j )I ,从而，2p 吵.同理,当p|k 时,2p||.由此可见,2p 是素元.因 此2Jp 是不可约元.所以I 中的所有不可约元为：2J p ,j Z , p 为奇素数.2. 求模8剩余类环Z 8的所有非零理想，以及它们的交.解 Z 8的非零理想有:Z 8,{[ 0], [2], [4], [6]} , {[ 0], [4]};它们的交是{[ 0], [4]}.3. 证明：在惟一分解环I 中,任意两个元a, b 都有一个最小公倍元，即m I ,使a | m,b | m ,并且若a | n, b| n ,则m | n .(用[a, b]表示a 与b 的任意一个最小公倍元.)证明 设a, b 是惟一分解环I 中任意两个元.根据定理4.10, a,b 有最大公因子.令 (a,b)表示a 与b 的任意一个最大公因子，a (a,b)p ,b (a, b)p'.由§ 4.1习题第6题 知，p 与p'互素.令[a, b] ap'.现在我们来阐明[a,b]就是a 与b 的一个最小公倍元.事 实上,首先,由[a, b]的定义知a|[a, b].其次,我们有[a,b] ap' (a, b)pp' (a, b) p'p bp , 从而，b|[a,b].最后,假设c I ,使得a |c且b|c ,则存在q, q' I ,使得c aq bq'.于是, 我们有c (a, b)pq (a,b)p'q'.当(a, b) 0时，由c aq (a, b) pq 可知c 0,从而,[a, b]|c .当(a,b)0时，由等式c (a,b)pq (a, b)p'q' 可知pq p'q'.由于p 与p'互素,根据等式pq p'q'和§ 4.3习题第3题可以断言p'|q . 设q p't .于是，c (a, b)pq (a, b) pp't ap't [a,b]t ,从而，[a, b] |c .所以[a, b]是a 与b 的一个最小公倍元.4. 证明:在一个惟一分解环I 中,ab 〜[a, b](a, b).证明 设(a,b)是a 与b 的任意一个最大公因子,[a, b]是a 与b 的任意一个最小公倍元，a (a, b)p , b (a, b)p', m ap'.由上题知，m bp ,并且m 是a 与b 的一个最小公倍元.此外,我们我们还有ab (a, b)pb m(a, b).此外,由最小公倍元的定义可知,m 〜[a,b].因此m(a, b)〜[a,b](a, b),即ab 〜[a, b](a, b).5. 设I是惟一分解环，f,x), f2(x), , f n(x),是I[x]中本原多项式的序列,并且f i1(x)|f i(x),i 1,2, ,n, .证明:这个序列只有有限个互不相伴的项.证明由于I是惟一分解环，根据定理4.21, I[x]也是惟一分解环.由惟一分解环的定义可知, I[x] 中每个非零元至多有有限个互不相伴的因子.假设序列f1(x), f2(x), , f n(x), 中有无限个互不相伴的项. 不失一般性, 假定其各项互不相伴.由于f i1(x)|f i(x), i 1,2, ,n, , 因此f i(x)|f1(x), i N. 这样一来，f i(x)有无限个互不相伴的因子.因此f i(x) 0 .这与f i(x)为本原多项式的事实矛盾. 所以f1(x), f2(x), ,f n(x), 中只有有限个互不相伴的项.6. 设I 是惟一分解环，f(x), g(x) I[x],且(f (x), g(x)) 1 .证明：( f(x)g(x), f(x) g(x)) i.证明由于I是惟一分解环,根据定理4.21, I[x]是惟一分解环.令( f(x)g(x), f(x) g(x)) d .由(f(x), g(x)) 1可知，d 0.假设d不是单位.则存在素元p(x) I[x],使得p(x)|d,从而，p(x) | f (x)g(x)且p(x) | f (x) g(x).因为p(x)是素元，由p(x) | f (x)g(x)可知，p(x)|f(x) 或p(x)|g(x) . 又因p(x)|f(x) g(x) , 故p(x)|f(x) 且p(x)|g(x) , 这与(f (x), g(x)) 1 矛盾.所以d 不是单位，从而,(f (x)g(x), f (x) g(x)) 1 .7. 设I。
近代教案3
1
定理 3 设 a, b ∈ I ，则 b是a 的真因子 ⇔ (a ) ⊂ (b) ⊂ I 。 推论 单位没有真因子。 定义 设 a ∈ I , 且a ≠ 0, a 不是单位，若 a 在 I 中只有平凡因子，则称 a 是 I 的
一个也称素元；若 a 在 I 中有真因子，则称 a 是 I 的一个可约元。 定理 4 设 a ∈ I , 且a ≠ 0, a 不是单位，则 a 是 I 的可约元 ⇔ a = bc, 且b, c 都不 是单位。 推论 设 a ≠ 0, 且a = bc, 若b是a的真因子， 则c也是a 的真因子。 定理 5 一个素元的相伴元也是素元。 定义 设 I 是一个整环， a ∈ I ，下列条件成立： (1) a = p1 L p r ( pi 是I的素 元)；
素元、 素元、唯一分解
本节介绍与因子分解密切相关的一些基本概念， 它们是整数环中相应概念在 一般整环中的推广。 定义 设 a, b ∈ I , 若∃c ∈ I , 使a = bc, 则称 b 整除 a ，或 b是a的因子 ，记 b | a 。 | 若 b不能整除a ，我们用符号 b / a 表示。
按定义， ∀a ∈ I , 都有 a | 0, 特别地 0 | 0 。 定义 整环 I 中的可逆元 ε 称为 I 的单位。 设 a, b ∈ I ，若 a | b且b | a ，则称
a与b 相伴，记 a～ b .
注意：单位同单位元不同。 按定义，单位的乘积是单位；单位的逆元是单位； ε是I的单位 ⇔ (ε ) = I 。
1 整数环 Z 只有两个单位， 一个元素大于 2 的整环中至少有两个单位： 和 − 1 ，
即 1和 − 1 ，域 F 中的每个非零元都是单位。 一个整环的单位有下列性质： 定理 1 整环 I 的全体单位关于 I 的乘法构成一个交换乘群。 (证明作为习题) 由定理，相伴关系有下列性质： 定理 2 设 a, b, c ∈ I ，则下列例题等价： (1) a～ b ; (2) b = εa, ε 是 I 的单位； (3) (a ) = (b) 。 对于 I 中每个元 a ，任意一个单位 ε 及 a 的相伴元 εa 都是 a 的因子，这种因 子称为平凡因子。 定义 设 a, b ∈ I ，若 b | a, 但b 不是单位，且 b与a 不相伴，则称 b是a 的真因 子。(非平凡因子称为真因子)
唯一分解整环
例：① 整数环(Z,＋,· )是唯一分解整环，每个非零元都 可以分解为素数的乘积．
②数域P上的一元多项式环P[x]也是唯一分解整环, P[x]中每个非零元多项式都可以分解为不可约多项 式之积，且分解满足有限性和唯一性． 唯一分解整环有下列性质：
Th1:设R是唯一分解整环，则R中每一个不可约元都是 素元，即若p不可约，则p |(ab) p|a 或 p|b. 证明：设p不可约， p|(ab) .显然，若a,b中有一个是0或 可逆元，则必有p|a 或 p|b．
Th2: 设R是有单位元的整环，则以下命题等价：
⑴ R是唯一分解整环;
⑵ R满足如下条件:
1°R中的任何真因子链｛ai｝(ai+1是ai的真因子)只有 有限项; 2°R中每一个不可约元都是素元. ⑶ R满足如下两条件:
1°同⑵中的条件1°;
2°R中任两元素均有最大公因子. End
由定义可得以下基本事实： 1°0是任何元素的倍元； 2°单位元1是任何元素的因子； 3°可逆元u是任何元素的因子：a =u (u-1 a)
4°传递性： a|b，b|c a|c
5°a～b相伴，则a，b相差一可逆元因子；
6°相伴关系是等价关系
7°可逆元无真因子，且所有可逆元都与1相伴。
Def：设R 是一个整环，a，b∈R，p≠0 (1) 若p无真因子，则称p是不可约元（即p≠0不是可逆 元， p的仅有的真因子是可逆元）; (2) 当p|ab 时必有p | a 或p | b，则称p为素元.
设环r是一个有单位元的整环若满足以下两个条件r中每个非零的非可逆元a可分解为有限个不可约元之积有限分解性上述分解式是唯一的唯一性既若有i12
§4.3 唯一分解整环
(4.3 Uniquely Factorial Domain Ring)
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第四章整环里的因子分解§1、素元、唯一分解一、整除、单位、相伴元定义在整环I中，若a=bc，则称a能被b整除，也说b整除a，记为b|a。
b不能整除a记作b|a。
定义整环I的一个元ε叫做I的一个单位，假如ε是一个有逆元的元。
元b叫做元a的相伴元（a与b相伴），假若b是a 和一个单位ε的乘积：b=εa。
单位元必是单位，反之不然。
例1在整数环Z中，单位即是1和-1，b是a的相伴元⇔b=±a。
在数域F的多项式环F[x]中，单位即是零次多项式c∈F*，g（x）是f（x）的相伴元⇔g（x）=cf（x）。
定理1 两个单位ε1和ε2的乘积ε1ε2也是单位。
单位ε的逆元ε-1也是一个单位。
推论整环I中全体单位的集U关于乘法作成群。
二、素元定义单位以及元a的相伴元叫做a平凡因子。
其余的a的因子，假如还有的话，叫做a的真因子。
定义整环I的一个元p叫做一个素元（注：应是不可约元），假如p0≠，p不是单位，并且p只有平凡因子。
例2 在例1的Z中，素元就是素数。
在F[x]中，素元就是不可约多项式。
定理2 单位ε同素元p的乘积εp也是一个素元。
定理3整环I的一个非零元a有真因子⇔a=bc，b和c都不是单位。
推论假定a≠0，并且a有真因子b:a=bc。
那么c也是a的真因子。
三、唯一分解定义一个整环I的一个元a说是在I 里有唯一分解，假如以下条件能被满足：（i）a=p1p2…p r（p i是I的素元）（ii）若同时a=q1q2…q s（q i是I的素元）那么r=s并且我们可以把q i的次序掉换一下，使得q i=εi p i (εi是 I的单位)零元和单位都不能唯一分解。
例3 在整环I={}Z+,3中：a∈-bab（1）ε是单位1=⇔。
⇔ε=1ε2±（2）若4α2=，则α是素元。
（3）4∈I有两种不同的分解（不相伴分解）：()()3+-=-⋅=113224-§2、唯一分解环一、唯一分解环定义一个整环I叫做一个唯一分解环，假如I的每一个既不等于零又不是单位的元都有唯一分解。
定理1一个唯一分解环有以下性质：(iii)若素元p|ab，那么p|a或p|b。
定理2 假定一个整环I有以下性质：(i) I的每一个既不是零也不是单位的元a都有一个分解a=p1p2…p r（p i是I的素元）(iii)若I的素元p|ab，那么p|a或p|b则I是唯一分解环。
由定理1和定理2可得：假定一个整环I的每一个既不是零也不是单位的元a都有一个分解a=p1p2…p r（p i是I的素元）那么I是唯一分解环 若I的素元p|ab那么p|a或p|b。
二、最大公因子、互素定义元c叫做元a1，a2，…，a n的公因子，假如c同时能整除a1，a2，…，a n。
元a1，a2，…，a n的一个公因子d叫做a1，a2，…，a n的最大公因子，假如d能被a1，a2，…，a n的每一个公因子整除。
记为d=（a1，a2，…，a n）。
定理3 一个唯一解环I的两个元a和b在I里一定有最大公因子。
a和b的任两个最大公因子必相伴。
若d是元a和b的最大公因子，d＇与d相伴，则d＇也是a和b的最大公因子。
推论一个唯一分解环I的n个元a1，a2，…，a n在I里一定有最大公因子。
a1，a2，…，a n的两个最大公因子必相伴。
定义一个唯一分解环的元a1，a2，…，a n说是互素的，假如它们的最大公因子是单位。
§3、主理想环定义一个整环I叫做一个主理想环，假如I的每一个理想都是一个主理想。
注在整环中，主理想（b）⊂（a）⇔b∈（a）⇔a|b；（a）=（b）⇔a与b相伴。
引理1 （因子链条件）假定I是一个主理想环，若在序列a1，a2，…，a n，…（a n∈I）里，a n+1是a n的真因子（n=1，2，…），那么这个序列一定是一个有限序列。
引理2 假定I是一个主理想环，那么I的一个素元p生成一个最大理想。
定理一个主理想环I一定是唯一分解环§4、欧氏环定义一个整环I叫做一个欧氏环，假如（i）存在一个映射φ：I*→N（非负整数集）；（ii）给定a∈I*，I∀都可以写成b∈b=aq+r（q，r∈I）的形式，这里或是r=0或是φ（r）＜φ（a）。
例1整数环Z是一个欧氏环。
例2 数域F上的一元多项式环F[x]是一个欧氏环。
定理１任何欧氏环I一定是一个主理想环，因而一定是一个唯一分解环。
定理2 整数环是一个主理想环，因而是一个唯一分解环。
引理假定I[x]是整环I上的一元多项式环，I[x]的元g(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a0的最高系数a n是I的一个单位，那么I[x]的任意多项式f（x）都可以写成f(x)=g(x)q(x)+r(x) （q(x),r(x)∈I[x]）的形式，这里或是r(x)=0或是r(x)的次数小于g(x)的次数n。
推论假定F[x]是域F上的一元多项式环，F[x]的元g(x)0≠,那么F[x]的任意多项式f(x)都可以写成f(x)=g(x)q(x)+r(x) (q(x),r(x)F∈[x])的形式，这里或是r(x)=0或是))r∂<∂。
gx(x((())定理 3 一个域F上的一元多项式环F[x]是一个欧氏环。
例3 高斯整数环Z[i]是一个欧氏环。
§5、多项式环的因子分解在本节中，I 是唯一分解环。
一、本原多项式定义 ∈)(x f I[x ]叫做一个本原多项式，假如f (x )的系数互素。
（A ） I 的单位是I [x ]的仅有的单位。
（B ） 一个本原多项式不会等于零。
（C ） 如果本原多项式f (x )可约，那么f (x )可写成f (x )=g (x )h (x )这里g (x )和h (x )的次数都大于零，因而都小于f (x )的次数。
（D ） I [x ]的非零多项式()x f 可以写成())(0x af x f =的形式，其中f 0(x )是本原多项式，I a ∈ （E ）∈p I 是I [x ]的不可约多项式⇔p 是I 的素元。
p (x )∉I 是I [x ]的不可约多项式⇔p (x )是I [x ]的不可约本原多项式。
引理1 （高斯引理）假定f (x )=g (x )h (x ),那么f (x )是原本多项式，当且只有g (x )和h (x )都是本原多项式。
以下用Q 表示唯一分解环I 的商域。
引理 2 Q [x ]的每一个不等于零的多项式f (x ) 都可以写成f (x )=()x f a b0的样子，这里a ,b )(,0x f I ∈是I [x ]的本原多项式。
若是g 0(x )也有f 0(x )的性质，那么g 0(x )=()x f 0ε (ε是I 的单位)引理3 I [x ]的一个本原多项式f 0(x )在I [x ]里可约()x f 0⇔在Q [x ]里可约。
引理4 I [x ]的一个本原多项式f 0(x )在I [x ]里有唯一分解。
二、唯一分解定理1 若I 是唯一分解环，那么I[x ]也是。
定理 2 若I 是唯一分解环，那么I []n x x x ,,21也是，这里n x x x ,,21是I 上的无关未定元。
艾森斯坦判断法 设()[]x I x a x a a x f nn ∈+++= 10,如果存在I 的素元p ，使（i ）n a p ; (ii)p i a ,i ∀<n ;(iii)02a p 那么f (x )在Q [x ]里不可约。
§6、因子分解与多项式的根在本节中，I 是整环。
一、根与一次因式的关系定义 I a ∈叫做f (x )][x I ∈的一个根，假如f (a )=0定理1 a 是f (x )的一个根⇔)(x f a x -定理2 I 的k 个不同的元k a a a ,,21都是f (x )的根)()())((21x f a x a x a x k ---⇔推论 若f (x )的次数是n ,那么f (x )在I 里至多有n 个根。
二、重根、导数定义 I a ∈叫做f (x )的一个重根，假如()k x f a x k),(-是大于１的整数。
定义 多项式f (x )=0111a x a x a x a n n n n ++++--的导数指的是多项式1211)1()(a x a n x na x f n n n n ++-+='--- 定理３ f (x )的一个根a 是一个重根⇔)(x f a x '-推论 假定I [x ]是唯一分解环，I 的元a 是f (x )的一个重根的充要条件是：x -a 能整除f (x )和()x f '的最大公因子。
利用定理１及本原多项式性质，可得如下结论：假定I 是唯一分解环。
[]x I a x a x a x f n n n ∈+++=- 110)(,若∈vuQ 是f (x )的一个根，这里u ,v 是I 中互素的元，Q 是I 的商域。
那么(i);,0n a u a v(ii)f (x )=)(x q v u x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-,这里q (x )[]x I ∈。