高等代数第四章整环里的因子分解

第四章整环里的因子分解

§1、素元、唯一分解

一、整除、单位、相伴元

定义在整环I中，若a=bc，则称a能被b整除，也说b整除a，记为b|a。b不能整除a记作b|a。

定义整环I的一个元ε叫做I的一个单位，假如ε是一个有逆元的元。元b叫做元a的相伴元（a与b相伴），假若b是a 和一个单位ε的乘积：b=εa。

单位元必是单位，反之不然。

例1在整数环Z中，单位即是1和-1，b是a的相伴元⇔b=±a。在数域F的多项式环F[x]中，单位即是零次多项式c∈F*，g（x）是f（x）的相伴元⇔g（x）=cf（x）。

定理1 两个单位ε1和ε2的乘积ε1ε2也是单位。单位ε的逆元ε-1也是一个单位。

推论整环I中全体单位的集U关于乘法作成群。

二、素元

定义单位以及元a的相伴元叫做a平凡因子。其余的a的因子，假如还有的话，叫做a的真因子。

定义整环I的一个元p叫做一个素元（注：应是不可约元），假如p0

≠，p不是单位，并且p只有平凡因子。

例2 在例1的Z中，素元就是素数。在F[x]中，素元就是不可约多项式。

定理2 单位ε同素元p的乘积εp也是一个素元。

定理3整环I的一个非零元a有真因子⇔a=bc，b和c都不是单位。

推论假定a≠0，并且a有真因子b:a=bc。那么c也是a的真因子。

三、唯一分解

定义一个整环I的一个元a说是在I 里有唯一分解，假如以下条件能被满足：（i）a=p1p2…p r（p i是I的素元）

（ii）若同时

a=q1q2…q s（q i是I的素元）

那么r=s

并且我们可以把q i的次序掉换一下，使得

q i=εi p i (εi是 I的单位)

零元和单位都不能唯一分解。

例3 在整环I={}Z

+,

3中：

a∈

-

b

a

b

（1）ε是单位1

=

⇔。

⇔

ε

=

1

ε2±

（2）若4

α2=，则α是素元。

（3）4∈I有两种不同的分解（不相伴分解）：

()()3

+

-

=

-

⋅

=

1

1

3

2

2

4-

§2、唯一分解环

一、唯一分解环

定义一个整环I叫做一个唯一分解环，假如I的每一个既不等于零又不是单位的元都有唯一分解。

定理1一个唯一分解环有以下性质：

(iii)若素元p|ab，那么p|a或p|b。

定理2 假定一个整环I有以下性质：

(i) I的每一个既不是零也不是单位的元a都有一个分解

a=p1p2…p r（p i是I的素元）

(iii)若I的素元p|ab，那么p|a或p|b则I是唯一分解环。

由定理1和定理2可得：

假定一个整环I的每一个既不是零也不是单位的元a都有一个分解

a=p1p2…p r（p i是I的素元）

那么I是唯一分解环 若I的素元p|ab

那么p|a或p|b。

二、最大公因子、互素

定义元c叫做元a1，a2，…，a n的公因子，假如c同时能整除a1，a2，…，a n。

元a1，a2，…，a n的一个公因子d叫做a1，a2，…，a n的最大公因子，假如d能被a1，a2，…，a n的每一个公因子整除。记为d=（a1，a2，…，a n）。

定理3 一个唯一解环I的两个元a和b在I里一定有最大公因子。a和b的任两个最大公因子必相伴。

若d是元a和b的最大公因子，d＇与d相伴，则d＇也是a和b的最大公因子。

推论一个唯一分解环I的n个元a1，a2，…，a n在I里一定有最大公因子。a1，a2，…，a n的两个最大公因子必相伴。

定义一个唯一分解环的元a1，a2，…，a n说是互素的，假如它们的最大公因子是单位。

§3、主理想环

定义一个整环I叫做一个主理想环，假如I的每一个理想都是一个主理想。

注在整环中，主理想

（b）⊂（a）⇔b∈（a）⇔a|b；

（a）=（b）⇔a与b相伴。

引理1 （因子链条件）假定I是一个主理想环，若在序列

a1，a2，…，a n，…（a n∈I）

里，a n+1是a n的真因子（n=1，2，…），那么这个序列一定是一个有限序列。

引理2 假定I是一个主理想环，那么I的一个素元p生成一个最大理想。

定理一个主理想环I一定是唯一分解环

§4、欧氏环

定义一个整环I叫做一个欧氏环，假如

（i）存在一个映射φ：I*→N（非负整数集）；（ii）给定a∈I*，I

∀都可以写成

b∈

b=aq+r（q，r∈I）

的形式，这里或是r=0或是φ（r）＜φ（a）。

例1整数环Z是一个欧氏环。

例2 数域F上的一元多项式环F[x]是一个欧氏环。

定理１任何欧氏环I一定是一个主理想环，因而一定是一个唯一分解环。

定理2 整数环是一个主理想环，因而是一个唯一分解环。

引理假定I[x]是整环I上的一元多项式环，I[x]的元

g(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a0

的最高系数a n是I的一个单位，那么I[x]的任意多项式f（x）都可以写成

f(x)=g(x)q(x)+r(x) （q(x),r(x)∈I[x]）

的形式，这里或是r(x)=0或是r(x)的次数小于g(x)的次数n。

推论假定F[x]是域F上的一元多项式环，F[x]的元g(x)0

≠,那么F[x]的任意多项式f(x)都可以写成

f(x)=g(x)q(x)+r(x) (q(x),r(x)F

∈[x])

的形式，

这里或是r(x)=0或是))

r∂

<

∂。

g

x

(x

(

(

(

))

定理 3 一个域F上的一元多项式环F[x]是一个欧氏环。

例3 高斯整数环Z[i]是一个欧氏环。

§5、多项式环的因子分解