矩阵论习题一

习题一

1.判断下列集合对指定的运算是否构成R 上的线性空间 （1）11

{()|0}n

ij n n ii

i V A a a

⨯====∑，对矩阵加法和数乘运算；

（2）2{|,}n n

T V A A R

A A ⨯=∈=-，对矩阵加法和数乘运算；

（3）33V R =；对3R 中向量加法和如下定义的数乘向量：3,,0R k R k αα∀∈∈=； （4）4{()|()0}V f x f x =≥，通常的函数加法与数乘运算。

2.求线性空间{|}n n

T V A R A A ⨯=∈=的维数和一组基。

3.如果U 1和U 2都是线性空间V 的子空间，若dim U 1=dim U 2，而且12U U ⊆，证明：U 1=U 2。

4.设111213315A ⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

，讨论向量(2,3,4)T α=是否在R (A )中。

5.讨论线性空间

P 4[x ]中向量3

2

11P x x x =+++，3

2

223P

x x x =-+，323452P x x x =+++的线性相关性。

6.设m n

A R ⨯∈，证明dim R (A )+dim N (A )=n 。

7.设113021211152A -⎛⎫ ⎪

=-- ⎪ ⎪--⎝⎭

，求矩阵A 的列空间R (A )和零空间N (A )。

8.在22

R

⨯中，已知两组基

11000E ⎛⎫= ⎪⎝⎭，20100E ⎛⎫= ⎪⎝⎭，30010E ⎛⎫= ⎪⎝⎭，40001E ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

10111G ⎛⎫

= ⎪

⎝⎭

，21011G ⎛⎫= ⎪⎝⎭，31101G ⎛⎫= ⎪⎝⎭，41110G ⎛⎫= ⎪⎝⎭

求基{E i }到基{G i }的过渡矩阵，并求矩阵0123⎛⎫

⎪-⎝⎭

在基{G i }下的坐标X 。

9.判别下列集合是否构成子空间。

（1）222

1{(,,)|1,,,}W x y z x y z x y z R α==++≤∈； （2）2

2{|,}n n

W A A I A R

⨯==∈；

（3）3

R 中，2

31231

230

{(,,)|(}0}t

W x x x x x x d ατ

ττ==++=⎰；

（4）411

{()|

0}m n

ij m n ij

i j W A a a

⨯=====∑∑。

10.设1(1,2,1,0)T

α=，2(1,1,1,1)T

α=-，1(2,1,0,1)

T

β=-，2(1,1,3,7)

T

β=-，

112{,}W span αα=，212{,}W span ββ=，求12W W ⋂和12W W +。

11.在矩阵空间22R ⨯中，子空间

1

21123434{|}x

x V A x x x x x x ⎛⎫==-+- ⎪⎝⎭，212{,}V L B B =，其中11023B ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

， 20201B -⎛⎫

= ⎪⎝⎭

，求

（1）V 1的基和维数；

（2）12V V +和12V V ⋂的维数。

12.设1W 和2W 为n V 的子空间，1121

{(,,,)|

0}n

T

n i

i W x x x x

α====∑ ，

21212{(,,,)|}T n n W x x x x x x α===== ，证明12n V W W =⊕。

13.n

R 中，12(,,,)T

n αααα= ，12(,,,)T

n ββββ= ，判别下面定义的实数(,)αβ是否

为内积。 （1）1

(,)n

i

i

i αβαβ

==

∑；

（2）1

(,)n

i

i

i i αβαβ

==

∑；

（3）(,)T A αβαβ=，其中A 为正定矩阵。

13.设125{,,,}εεε 是V 5的标准正交基，又115αεε=+，2134αεεε=-+，

31232αεεε=++，求123{,,}W L ααα=的标准正交基。

14.在欧氏空间R 4中，求子空间{(1,1,1,1),(1,1,1,1)}T T W L =---的正交补子空间W ⊥

。

15.判断下列变换哪些是线性变换 （1）R 2中，21212(,)(1,)T T

T x x x x =+；

（2）R 3中，12312123(,,)(,,2)T

T

T x x x x x x x x =+-；

（3）n n R ⨯中，A 为给定n 阶方阵，n n X R ⨯∀∈，()T X AX A =+； （4）22R ⨯中，()T A A *=，A *为A 的伴随矩阵。

16.设R 3中，线性变换T 为：i i T αβ=，i =1,2,3，其中1(1,0,1)T

α=-，2(2,1,1)T

α=，

3(1,1,1)T α=，1(0,1,1)T β=，2(1,1,0)T β=-，3(1,2,1)T β=，求

（1）T 在基123{,,}ααα下的矩阵； （2）T 在标准正交基下的矩阵。

17.设线性变换4

3

R R →，有

123412341241234(,,,)(,2,3)T T T x x x x x x x x x x x x x x x =-+++-++-，求N (T )和R (T )。

18.在欧氏空间Rn 中，设有两组基12,,,n ααα 与12,,,n βββ ，满足关系式

1212(,,,)(,,,)n n P βββααα= ，n n P R ⨯∈

证明：（1）若12,,,n ααα 与12,,,n βββ 都是标准正交基，则P 是正交阵；

（2）若12,,,n ααα 是标准正交组，P 是正交阵，则12,,,n βββ 是标准正交组。