软院11年11月6日高等工程数学试题(山西移动)

软件学院2011年工程硕士研究生

高等工程数学期末考试题(山西移动班10月）

一. 填空题(本大题共10个小题, 每小题4分, 共40分)

1. 有8个人围圆桌而坐, 其中两人不愿坐在一起, 不同的就坐方式数为 .

2. 设多重集B {2,,32}a b c d =，, 将B 中所有元素进行全排列，不同排列的个数为 .

3. 方程121015x x x ++

+=的正整数解的个数等于 . 4. 集合{1,2,3,,}(3)S n n =>的全排列中至多有3个元素在原来位置直的排列数为 .

5. 从集合{1,2,3,,15}S =中取出5个数, 要求取出的数没有两个是相邻的, 则不同的取法数为 .

6. 若,,,a b c d 为整数，,c a d b >>，则从格子点(,)a b 到点(,)c d 的非降路径数为 .

7. 设群11(,)Z ⋅中乘法为[][][]x y xy ⋅=, 则元素[7]的逆元素1

[7]-= 8. 剩余类环10{[0],[1],[2],[3],,[8],[9]}Z =的零因子是 .

9. 设域2F Z =,在[]F x 取多项式3()1p x x x =++, 则域[]/(())F x p x 中元素x 对乘法的阶为 .

10. 一个连通的(,)p q -图是树的充分必要条件是 .

二(10分). 求(1)由1,2,3,4,5,6组成的各位数字互异的4位偶数的个数;(2)求由1,2,3,4,5,6组成的大于35000的5位数的个数.

三(10分). 求解递推关系

1230124520(3),5,7,12.n n n n a a a a n a a a ----+-=≥⎧⎨===⎩

，

四(10分).由1，2，3，4，5,6,7组成n 位数，要求1，2出现偶数次，3，4出现奇数次, 5,6,7没有限制，求这样的n 位数的个数.

五(10分). 设N 是任意一个正整数. 试证明: 必存在由0和3组成的正整数, 该正整数能被N 整除.

六(1０分). 设有n 个标号球, 放入k 个标号盒. 试求:

(1) 要求每盒不空时的放法数;

(2) 盒允许空时的放法数;

(3) 由此证明等式

2222(,1)2!(,2)3!(,3)!(,).123n k k k k S n S n S n k S n k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎝⎭ 其中2(,)(1,2,

,)S n i i k =表示第二数Stirling 数.

七(1０分)．设(,)G 是一个半群. 证明: 若下列条件满足，则(,)G 作成群．(1) (,)G 中有左单位元e : ,e a a a G =∀∈; (2) (,)G 中任一元素a 有左逆元1a G -∈: 1a a e -=.

软件学院2010年工程硕士研究生

高等工程数学期末考试题 (山西移动班5月）

参考答案及评分标准

二. 填空题(本大题共10个小题, 每小题4分, 共40分)

1. 有8个人围圆桌而坐, 其中两人不愿坐在一起, 不同的就坐方式数为 .

(3600)

2. 设多重集B {2,,32}a b c d =，

, 将B 中所有元素进行全排列，不同排列的个数为 .

3. 方程121015x x x ++

+=的正整数解的个数等于 . 4. 集合{1,2,3,,}(3)S n n =>的全排列中至多有3个元素在原来位置直的排列数为 .

5. 从集合{1,2,3,,15}S =中取出5个数, 要求取出的数没有两个是相邻的, 则不同的取法数为 .

6. 若,,,a b c d 为整数，,c a d b >>，则从格子点(,)a b 到点(,)c d 的非降路径数为 .

7. 设群11(,)Z ⋅中乘法为[][][]x y xy ⋅=, 则元素[7]的逆元素1

[7]-= 8. 剩余类环10{[0],[1],[2],[3],,[8],[9]}Z =的零因子是 .

9. 设域2F Z =,在[]F x 取多项式3()1p x x x =++, 则域[]/(())F x p x 中元素x 对乘法的阶为 .

10. 一个连通的(,)p q -图是树的充分必要条件是 .

二(10分). 求(1)由1,2,3,4,5,6组成的各位数字互异的4位偶数的个数;(2)求由1,2,3,4,5,6组成的大于35000的5位数的个数. 解: (1)由1,2,3,4,5,6组成的各位数字互异,且个位数字为2,4,6的偶数均有(5,3)60P =个,由加法法则, 所求数的个数为

3(5,3)360180N P ==⨯=

(2) 万位数字是3的5位数.属于此类的5位数的千位数字必为5或6,所以属于此类的5位数有326632⨯=个.

万位数字大于3的5位数. 属于此类的5位数的万位数字必为 4,5或6,故属于此类的5位数有4363888⨯=个.

由加法原理知,所求数的个数为

43238884320N =+=.

三(10分). 求解递推关系

1230124520(3),5,7,12.n n n n a a a a n a a a ----+-=≥⎧⎨===⎩

， 解: 特征方程为特征方程为324520x x x -+-=.

特征根为: 1231,2x x x ===.

通解为: 1231231122,(0,1,2,)n n n n a c c n c c c n c n =⋅+⋅⋅+⋅=++=

由初始条件得: 131231

231272412c c c c c c c c +=-⎧⎪++=⎨⎪++=⎩, 解得1232,1,3c c c ==-=.

所以2232,

(0,1,2,).n a n n =-+⋅=

四(10分).由1，2，3，4，5,6,7组成n 位数，要求1，2出现偶数次，3，4出现奇数次, 5,6,7没有限制，求这样的n 位数的个数.