随机变量的数字特征 PPT课件
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随机变量及数字特征PPT课件
三、连续型随机变量
1、连续型随机变量及其分布密度 若随机变量 X ，存在非负函数 f (x) ，有
b
P (a X b ) P { X [a ,b ]} af(x )d x
则称 X 为连续型随机变量，称函数 f (x) 为 X 的概率密度函数 ，简称概率密度或密度函数。
密度函数 f (x) 的性质：
概率 P(aXb) 就是面积值
例1 设随机变量 X 有概率密度
f(x) 0 A
axb(ab) 其它
则称 X 服从区间[a，b ]上的均匀分布（常用分布），
试求常数A。
解 由密度函数的性质可得： f(x)dx1
得
f (x)dx
b
A dx A x
b
A(ba)1
解：设 1 元本金所带来的赢利为 X 元，
费站的汽车数不超过3辆的概率。
解： 由于 X～P(10)， 所求概率为
P{X 3} P { X 0 } P { X 1 } P { X 2 } P { X 3 }
14 100e 1010e 10102e 10103e 10 0! 1 ! 2! 3! 0.0103
X0 1 2 3 4 5
p p0 p1 p2 p3 p4 p5
（2）恰有 3 人反应为阳性的概率。
P ( X 3 ) P 3 C 5 3 0 .4 5 3 0 .5 5 5 3 0.275653
例4 （3）求至少有 2 人反应为阳性的概率。 X B(5 , 0.45)
用 X 表示在 n 次试验中事件A发生的次数，则
P { X k } C n kp k( 1 p )n k
（1）、二项分布 若一个随机变量 X 的概率分布律是：
随机变量的数字特征(ppt 85页)
性别
男
0.27 0.08 0.16
0
女
0.35 0.10
0
0.04
譬如：既是男生又是满族的概率为0.08，既是女生又是回族的概率为0
15
多维随机变量
离散型变量的边缘概率密度函数 (marginal PDF)
f (x) f (x, y) P(X x)
y
实例
f ( y) f ( x, y) P(Y y)
17
多维随机变量
统计独立性 (statistically independence)
如果两个随机变量的联合PDF等于它们边缘PDF的乘积， 则称这两个变量是相互独立的（independent）。两个变 量独立意味着其中一个变量的结果不会影响另一个。
f (x, y) f (x) f ( y) 即：P( X x,Y y) P( X x) P(Y y)
19
随机变量的数字特征
以上讨论了随机变量的概率密度函数PDF和累积分布函数 CDF，但在处理实际问题时，往往不需要求出这些函数， 而是只需要了解变量的某些特征值。
这些特征值包括三类： 度量变量分布的集中趋势（central tendency）：数学 期望或均值；中位数；众数
度量变量分布的离散性（dispersion）：方差；标准差
x
Y
男
(性别) 女
边缘概率
汉族 0.27 0.35 0.62
X (民族)
满族
回族
0.08
0.16
0.10
0
0.18
0.16
蒙古族 0
0.04 0.04
边缘概率
0.51 0.49
16
多维随机变量
离散型变量的条件概率密度函数 (conditional PDF)
随机变量的数字特征PPT课件
(1)订购150本:设随机变量X表示该方案下的利润(百元)
X 45
45
45 45
p 0 .1
0 .4
0 .3 0 .2
E X 4 5 0 . 1 4 5 0 . 4 4 5 0 . 3 4 5 0 . 2 4 5
(2)订购160本:设随机变量Y表示该方案下的利润(百元)
Y 42
48
离散型随机变量的数学期望
定义3.1 设离散型随机变量的分布律为
x1 x2
xk
p p1 p2
pk
若级数 xkpk绝对收敛，则定义的数学期望E为 k1 E p 1 x 1 p 2 x 2 p k x k p k x k k
数学期望又可以称为期望，均值。
关于定义的几点说明
(1) E(X)是一个实数,它是一种加权平均, 也称均值.
解 设 X 为投资利润，则
X 40000 10000 20000
p 0.3
0 .5
0 .2
E ( X ) 4 0 0 0 0 0 . 3 1 0 0 0 0 0 . 5 2 0 0 0 0 0 . 2 1 3 0 0 0
存入银行的利息: 8 0 0 0
故应选择股票投资.
练 设 随 机 变 量 的 分 布 律 为
01 2 3
p 0.4 0.3 0.2 0.1
求 E ， E 2 ， E 2 -1
解 ： E 0 0 . 4 1 0 . 3 2 0 . 2 3 0 . 1 1
随 机 变 量 2 的 分 布 律 为
2 02 12
22
32
p 0.4 0.3 0.2 0.1
E 2 0 0 .4 1 0 .3 4 0 .2 9 0 .1 2
概率论与数理统计课件：随机变量的数字特征
随机变量的数字特征
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例7 （正态分布的数学期望）设 X ~ N( μ, σ 2 ), 求E(X).
解:
E(X) =
+
-
xf ( x )dx =
+
-
1
x
e
2πσ
( x - μ )2
2σ 2
dx
x-μ
, 则
令 t=
σ
E(X) =
+
-
t2
2
t2
+ 2
-
1
μ
( μ + t σ)
+
若级数 | g( xk ) | pk < + , 则 Y = g( X ) 的数学期望为
k =1
+
E(Y ) = E(g( X )) = g( xk ) pk
k =1
随机变量的数字特征
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定理4.2 (连续型随机变量函数的数学期望) 设连续型随
机变量X的概率密度函数为f(x),若
随机变量的数字特征
第一节 随机变量的数学期望
第二节 方差
第三节 协方差和相关系数
第四节 R实验
随机变量的数字特征
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第一节 随机变量的数学期望
一、离散型随机变量数学期望
二、连续型随机变量数学期望
二、随机变量函数的数学期望
三、数学期望的性质
随机变量的数字特征
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§4.1随机变量的数学期望
P{X = xi } = pi , i = 1,2,
如果
+
| x
i
.
| pi < +
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例7 （正态分布的数学期望）设 X ~ N( μ, σ 2 ), 求E(X).
解:
E(X) =
+
-
xf ( x )dx =
+
-
1
x
e
2πσ
( x - μ )2
2σ 2
dx
x-μ
, 则
令 t=
σ
E(X) =
+
-
t2
2
t2
+ 2
-
1
μ
( μ + t σ)
+
若级数 | g( xk ) | pk < + , 则 Y = g( X ) 的数学期望为
k =1
+
E(Y ) = E(g( X )) = g( xk ) pk
k =1
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定理4.2 (连续型随机变量函数的数学期望) 设连续型随
机变量X的概率密度函数为f(x),若
随机变量的数字特征
第一节 随机变量的数学期望
第二节 方差
第三节 协方差和相关系数
第四节 R实验
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第一节 随机变量的数学期望
一、离散型随机变量数学期望
二、连续型随机变量数学期望
二、随机变量函数的数学期望
三、数学期望的性质
随机变量的数字特征
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§4.1随机变量的数学期望
P{X = xi } = pi , i = 1,2,
如果
+
| x
i
.
| pi < +
三章随机变量的数字特征 67页PPT
令 tx
tet2 2d;t 2
三.随机变量函数的期望
EX1：设随机变量X的分布律为
X -1 0 1
Pk
1 3
1 3
1 3
求随机变量Y=X2的数学期望
解: Y 1 0
Pk
2 3
1 3
E(Y)12012 3 33
定理1 若 X~P{X=xk}=pk, k=1,2,…, 则Y=g(X) 的期望E(g(X))为(p77)
刻随机地到达车站，求乘客的平均候车时间
解:设乘客于某时X分到达车站,候车时间为Y,则
10 X
Y
g(X)
3505
X X
70 X
0 X 10 10 X 30 30 X 55 55 X 60
fX
(x)
1 60
0x60
0 others
1 60
E(Y)600 g(x)dx
第三章 随机变量的数字特征
随机变量的数学期望 随机变量的方差 随机变量的协方差和相关系数 大数定律 中心极限定理
3.1数学期望
一.数学期望的定义 数学期望——描述随机变量取值的平均特征 例1 设某班40名学生的概率统计成绩及得分 人数如下表所示： 分数 40 60 70 80 90 100 人数 1 6 9 15 7 2 则学生的平均成绩是总分÷总人数(分)。即
E{X22X YY2} {E [(X)2]2[E(X)]E[(Y) ][E(Y)2]}
D(X)D(Y) 2E(XY )2E(X)E(Y) X与Y独立 E (X) Y E (X )E (Y )
D (X Y ) D (X ) D (Y )
n
n
若 X 1,.X .n独 . 立 D ( ， X i)则 D (X i)
随机变量的数字特征 PPT课件
计算乙的平均成绩：
8 20 9 65 10 15 8 20 9 65 10 15 8.95 100 100 100 100
所以甲的成绩好于乙的成绩。
5
4.1 数学期望 (一) 数学期望定义 定义：设离散型随机变量X的分布律为
xk pk , 则称级数 xk pk 若级数 k 1 k 1 的值为X的数学期望，记为E(X)，即
23
0.1 sin
(1 0)
0.15
例1.9 设随机变量(X,Y)的联合密度函数为：
x (1 y ) x e , x 0, y 0, f ( x, y ) 其他, 0,
求E(X),E(XY).
解：E ( X )
解：N的分布函数为FN ( x) 1 (1 F ( x))2 ,
2 e 2 x , x 0, 因此，密度函数为f N ( x) x 0. 0,
由上例，E ( N ) E (min( X , Y )) 1 . 2
14
M的分布函数为FM ( x) (F ( x)) ,
求E(X),E(XY).
解：E ( XY )
0
xyf ( x, y)dydx
0
xy xe x (1 y ) dydx
0
0
xe [
x
y xe xy dy]dx
0
xe
x
1 dx e x dx 1. 0 x
25
xf ( x, y)dydx
0
第四章-随机变量的数字特征PPT课件
k 1
k 1
变量X的数学期望，记为E(X),即
EX xk pk k1
§4.1 数学期望
关于定义的几点说明 (1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与
一般的算术平均值不同 , 它从本质上体现了随机变量 X 取可能值的真正的平均值, 也称均值.
(2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各 项次序的改变而改变 , 之所以这样要求是因为数学期望 是反映随机变量X 取可能值的平均值,它不应随可能值的 排列次序而改变.
❖ 例3：设 X(),求 E (X)。
解 ： X 的 分 布 律 为 ： P ( X k ) k e k 0 , 1 , 0 k ! X的 数 学 期 望 为 ：
E(X) k ke
k0 k!
e
k1
k1
(k 1)!
ee
即E(X)
§4.1 数学期望
三、连续型随机变量的数学期望
设连续型随机变量X 的概率密度为f ( x), 若积分
§4.2 方差
(2) 利用公式计算
D (X ) E (X 2 ) [E (X )2 .] 证明 D (X ) E {X [ E (X )2 } ]
E { X 2 2 X ( X ) E [ E ( X )2 } ] E ( X 2 ) 2 E ( X ) E ( X ) [ E ( X )2] E (X 2)[E (X )2] E (X2)E 2(X).
§4.1 数学期望
❖ 例2：某车站每天8:00—9:00,9:00—10:00都恰有一 辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间 相互独立。其规律为
8:10 8:30 8:50
到站时刻
9:10 9:30 9:50
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计算乙的平均成绩：
8 20 9 65 10 15 8 20 9 65 10 15 8.95 100 100 100 100
所以甲的成绩好于乙的成绩。
5
4.1 数学期望 (一) 数学期望定义 定义：设离散型随机变量X的分布律为
xk pk , 则称级数 xk pk 若级数 k 1 k 1 的值为X的数学期望，记为E(X)，即
3
例: 谁的技术比较好?
甲乙两个射手 , , 他们的某次射击成绩分别为
甲射手
击中环数
次数
8
9
10
10
8
80 10
9 10
15
乙射手
击中环数
次数
20
65
试问哪个射手技术较好?
4
解：计算甲的平均成绩：
8 10 9 80 10 10 8 10 9 80 10 10 9 不存在数学期望.
证明:由于
3k 2 2 | xk | pk k , k 1 k 1 k 3 k 1 k
即该无穷级数是发散的，由数 学期望定义知，X不存在数学期望.
10
例1.3 设随机变量X的概率密度函数为
1 f ( x) , x ， 2 (1 x )
e x , x 0, 解：X 的密度函数为f ( x) x 0. 0,
E ( X ) xf ( x)dx x e x dx
0
xe
x 0
|
e
0
x
1 1 x dx e |0 .
解：N的分布函数为FN ( x) 1 (1 F ( x))2 ,
2 e 2 x , x 0, 因此，密度函数为f N ( x) x 0. 0,
由上例，E ( N ) E (min( X , Y )) 1 . 2
14
M的分布函数为FM ( x) (F ( x)) ,
16
解：记某件产品寿命为X(年),售出一件产品的净收入为 Y(元)，则
500 350 2, Y 500 350 50, 500 - 350, 若0 X 1, 若1 X 3, 若X 3.
2
2 e x 2e2 x , x 0, 因此，密度函数为f M ( x) x 0. 0,
由上例，E (M ) xf M ( x)dx
0
2 xe
0
x
dx x2e
0
2 x
dx
2 1 3 . 2 2
15
例1.7 某厂生产的电子产品,其寿命(单位:年)服从指 数分布,概率密度函数为
P( X xk ) pk k 1, 2,
E ( X ) xk pk
k 1
6
定义：设连续型随机变量 X 的概率密度 + 函数为f(x)，若积分 x f ( x)dx , + 则称积分 xf ( x)dx 的值为X的数学期望， 记为E(X)，即
第四章 随机变量的数字特征
数学期望 方差 协方差、相关系数 其它数字特征
1
问题的提出：
在一些实际问题中，我们需要了解随机变
量的分布函数外，更关心的是随机变量的
某些特征。
2
例： 在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的是平 均产量； 在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平 均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离 程度； 考察杭州市区居民的家庭收入情况，我们既知家 庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异程度。
E( X )
+
xf ( x)dx
数学期望简称期望，又称均值。
7
例1.1 澳门赌场猜大小游戏中有买4点的 游戏，游戏规则如下，掷3颗骰子，点数
之和为4赌场输，赌场赔率1赔50,否则其
押金归赌场所有,问此规则对赌场还是赌 客更有利?
8
解：显然赌客猜中4点的概率为3/216=1/72.
设一赌客押了1元,那么根据规则,他赢50元的概
证明X不存在数学期望.
证明:由于 - x f ( x)dx -
0
2x 1 2 dx ln(1 x ) 2 (1 x )
1 x dx 2 (1 x )
0
由数学期望定义知，X不存在数学期望.
11
例1.4 设 X P( )(泊松分布), 求E( X )。
1 e x /3 , x 0, 3 f ( x) x 0, 0,
若每件产品的生产成本为350元,出售价格为500元, 并向顾客承诺,如果售出一年之内发生故障,则免费 调换一件;如果在三年之内发生故障,则予以免费维 修,维修成本为50元.在这样的价格体系下,请问:该厂 每售出一件产品,其平均净收入为多少?
率为1/72, 输1元的概率为71/72. 因此经过一次
赌博,他能"期望"得到的金额为:
1 71 49 (1) 0.3056 0 72 72
所以对赌场有利.
9
例1.2 设随机变量X的分布律为
k 3 2 k 1 P( X (-1) ) k , k 3
k 1, 2,
k 解：X的分布律：P( X k ) e
k!
k 0,1,
0
X的数学期望为：
E( X ) k e
k 0
k
k!
e
(k 1)!
k 1
k 1
e e
即 E(X )
12
例1.5 设X 服从参数为 ( 0)的指数分布，求E( X ).
13
例1.6 设X 与Y 独立同分布，密度函数与分布函数为 e x , x 0, 1 e x , x 0, f ( x) F ( x) x 0. x 0. 0, 0, 令N min( X , Y ), M max( X , Y ), 求E ( N ), E ( M ).