秋学期九年级数学上册 24解直角三角形24.2直角三角形的性质导学案 华东师大版
华师大版九年级上册数学第24章 解直角三角形 导学案
第24章 解直角三角形25.1 锐角三角函数（1）学习目标1、正弦、余弦、正切、余切的定义。
2、正弦、余弦、正切、余切的应用。
学习重难点重点：正弦、余弦、正切、余切的定义。
难点：正弦、余弦、正切、余切的应用。
导学流程A 、情境导入我们学过的直角三角形的知识有勾股定理，还有上节课的拓展提高中提到的直角三角形的边角关系，那么直角三角形的边角关系究竟是怎样的，这就是本节课我们所研究的问题。
B 、明确目标由直角三角形相似的知识探究出在直角三角形中，对边与斜边、斜边与斜边、斜边与对边的比值是唯一确定的，从而引出锐角三角函数的定义。
C 、自主学习自学课本88—89页，弄懂锐角三角函数的定义，搞清直角三角形的边角关系，能够根据直角三角形的两边求出某一锐角的三角函数值，时间为12分钟。
D 、合作交流同桌之间讨论0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1，tanA ＞0,cotA ＞0的原因和关系式A A 22cos sin +＝1，tanA ·cotA ＝1的推导过程。
E 、展示反馈合作交流后，由一名同学展示答案，其他同学认真听完后，还有其他方法的继续补充。
F 、精讲点拨知识点一：锐角三角函数的定义的理解在Rt △ABC 中，对于锐角A 有sinA ＝斜边的对边A ∠，cosA ＝斜边的邻边A ∠， tanA ＝的邻边的对边A A ∠∠，cotA ＝的对边的邻边A A ∠∠． sinA 、cosA 、tanA 、cotA 分别叫做锐角∠A 的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A 的三角函数．注：（1）锐角A 的三角函数的定义是在直角三角形中相对其锐角定义的，其本质是两条线段长度之比，没有单位，它们只与∠A 的大小有关，而与三角形的边长无关。
（2）对于每一个锐角A 的确定值，它的正弦、余弦、正切和余切都有唯一确定的值和它对应；反之，对于每一个确定的正弦、余弦、正切和余切值，都有唯一的锐角与之对应。
（3）sinA 、cosA 、 tanA 和 cotA 是整体符号，如不能把sinA 看作sin.A ，离开了∠A 的sin 没有意义。
九年级数学上册第24章《解直角三角形》(第9课时)解直角三角形导学案新华东师大版
解直角三角形1．掌握锐角三角函数与解直角三角形及其应用等有关知识、方法。
2.探究锐角三角函数与解直角三角形及其应用的规律。
二、学习重点锐角三角函数的概念、计算和解直角三角形。
三、自主预习知识梳理1.什么是锐角∠A的正弦、余弦、正切、余切？什么是锐角∠A的三角函数？1.什么是解直角三角形？有哪几种类型？2.什么是仰角、俯角、坡度、坡角？四、合作探究探究点1：三角函数式的求值例：计算下列各题（2）（3）…探究点2：解直角三角形例：在直角三角形ABC中，∠C=，由下列条件求解（1）已知a=15,b=18,求c?（2）已知a=10, ∠B=,求b、c的值？（3）已知a=20,∠A=,求a、b?拓展提升如图，AC是某市环城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交叉路口分别是A，B，C．经测量花卉世界D位于点A的北偏东45°方向、点B的北偏东30°方向上，AB＝2km，∠DAC＝15°．（1）求B，D之间的距离；（2）求C，D之间的距离．探究点3：解直角三角形知识在航海等方面的应用例：海中有一个小岛P，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A测得小岛P在北偏东60°方向上，航行12海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．思考：（1）由已知条件能得出哪些结论？（2）要判断有没有触礁，必须求出哪些数据？五、巩固反馈第24章复习题教材P120——123页ABC 中山路文化路D和平路45°15°30°EF。
初中数学华东师大九年级上册第24章 解直角三角形2 直角三角形的性质 学案
D CA B E F 直角三角形性质 学案学习目标1、掌握“直角三角形的两个锐角互余”的定理.2、巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法.3、掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用.学习策略结合以前学的性质，探索新知识，也就是温故而知新。
学习过程一.复习回顾：1、三角形的分类？2、三角形的内角和定理是什么？3、直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质?在直角三角形ABC 中，∠A 、∠B 是锐角，则：（1）直角三角形的两个锐角互余；（2）直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
二.新课学习:（二）猜一猜 量一量 CD=AD= BD= AB= CD= AB猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半吗？证一证 命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.已知：在Rt △ABC 中，∠ACB=900，CD 是斜边AB 的中线.求证：CD=21AB （论证过程参照课本） 归纳:例1：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，求证：这个三角形是直角三角形。
已知：如图，CD 是△ABC 的AB 边上的中线，且CD=21AB 。
求证：△ABC 是直角三角形。
三.尝试应用： 1、在△ABC 中， ∠ABC=90 °，BM 是AC 边上的中线。
(1) 若BM ＝8，那么与它相等的线段有______________________；AC=________________；(2) 若BD 是AC 边上的高，则与∠A 相等的角有___________________________________；(3) 若∠C=25°，那么∠AMB= ________2、在直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为________．3、例题：如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，且DE=DF.求证：AB=AC四.自主总结：1.直角三角形两个锐角互余；2.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
初中数学华东师大九年级上册第24章 解直角三角形直角三角形的性质教案
直角三角形的性质【学习目标】（1）知识与能力掌握直角三角形的性质，能利用直角三角形的性质定理进行有关的计算和证明.（2）过程与方法经历“计算-探索-发现-猜想-证明”的过程，引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充.（3）情感态度与价值观通过“计算-探索-发现-猜想-证明”的过程体验数学活动中的探索与创新，感受数学的严谨性，激发学生的好奇心和求知欲，培养学习的自信心。
【教学过程】重点：直角三角形的性质，能利用直角三角形的性质进行有关的计算和证明难点：直角三角形性质的证明方法【教学过程】一．知识储备1、什么是直角三角形？2.我们学过了直角三角形哪些性质呢？二．情境引入要修建一个地铁站，想把地铁站的出口D 建造在离附近的三个公交站点A 、B 、C的距离相等的位置。
而这三个公交站点的位置正好构成一个直角三角形,∠ACB=90°。
你会把地铁站的出口D 建造在哪里？ 三．问题研究任意画一个直角三角形，作出斜边上的中线，并利用圆规比较中线与斜边的一半的长短，你发现了什么？ 猜想：_______________________________________证明：已知：如图 ,在 Rt ABC 中， ∠ ACB= 90 °， CD 是斜边AB 上的中线.求证：CD = 12AB 得出结论：直角三角形的性质定理 直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
几何语言表述为：在Rt △ABC 中 ∵___________ _∴____________ 四．初步应用 1、已知Rt △ABC 中，斜边AB=10cm ，则斜边上的中线的长为______2、如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，∠CDA=80°，则∠A=_____ ∠B=_____3.如图，一根5米的竹竿AB 斜靠在竖直的墙上，如果竹竿沿着墙壁下滑，那么竹竿中点于墙角C 之间的距离是否变化？【例1】 如图，△ABC 中，AB ＝AC=10，BC=8，∠BAC 平分线交BC 于点D ，点E 为AC 的中点，连结DE ，则△CDE 的周长为( )A ．20B ．12C ．14D ．13牛刀小试CB D1.如图，∠ABC=∠ADC=90⁰，E是AC的中点，则( )A. ∠1>∠2B. ∠1=∠2C. ∠1<∠2D. ∠1与∠2 的大小关系不能确定【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A= 30 °.求证:BC =1. 2AB知识概括：直角三角形30⁰所对直角边等于斜边的一半.【例3】如图5，测量旗杆AB的高度时，先在地面上选择一点C，使∠ACB＝15°，然后朝着旗杆方向前进到点D，测得∠ADB＝30°，量得CD＝13 m，求旗杆AB的高度．牛刀小试1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD＝3，则BC的长为()A．6 B．63C．9 D．33五．课堂小结我们学习了直角三角形哪些性质？六．课堂小测1.(2023宜宾)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD 的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AG=13，CF=6，则四边形BDFG的周长为．2.如图，在∆ABC中，AB=AC，AE⊥AB交BC于点E，D是BE中点，连结AD.∠BAC=120⁰，AD=3cm，求BC 的长.。
九年级数学上册 第24章 解直角三角形 直角三角形的性质导学案 (新版)华东师大版
直角三角形的性质【学习目标】1．掌握直角三角形的性质，能利用直角三角形的性质定理进行有关的计算和证明；2．经历“计算—探索—发现—猜想—证明”的过程，引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充；3．通过“计算—探索—发现—猜想—证明”的过程体验数学活动中的探索与创新，感受数学的严谨性，激发学生的好奇心和求知欲，培养学习的自信心．【学习重点】掌握直角三角形性质，能利用直角三角形的性质定理进行有关的计算和证明．【学习难点】能利用直角三角形的性质定理进行有关的计算和证明．情景导入 生成问题问题：1.什么是直角三角形？直角三角形中的两锐角有什么关系？两条直角边与斜边有什么关系？2．(1)在直角三角形中，有一个锐角为52°，那么另一个锐角度数为__38°__．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A －∠B＝30°，那么∠A＝__60°__，∠B ＝__30°__．(2)在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的高，那么与∠B 互余的角有__∠A，∠BCD__，与∠A 相等的角有__∠BCD __，与∠B 相等的角有__∠DCA __．(3)在直角三角形中，两条直角边分别为6，8，斜边的长为多少？解：斜边的长为10.自学互研 生成能力知识模块一 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半阅读教材P 102～P 103的内容．(1)画一个直角三角形；(2)量一量斜边AB 的长度；(3)找到斜边的中点，用字母D 表示；(4)画出斜边上的中线；(5)量一量斜边上的中线的长度．猜想：斜边上的中线与斜边长度之间有何关系？经过画图和测量，我们知道：斜边上的中线等于斜边的一半．试用演绎推理证明你的猜想．已知，如图在直角三角形ABC 中∠ACB＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，求证：CD ＝12AB.证明：延长CD 至点E ，使DE ＝CD ，连结AE 、BE.∵CD 是斜边AB 上的中线，∴AD ＝DB.又∵CD＝DE.∴四边形ACBE是平行四边形．又∵∠ACB＝90°，∴四边形ACBE 是矩形，∴CE ＝AB ，∴CD ＝12CE ＝12AB. 结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．知识模块二 直角三角形性质的应用范例：在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，求证：BC ＝12AB. 证明：作斜边AB 上的中线CD ，则CD ＝AD ＝BD ＝12AB(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)．∵∠A＝30°，∴∠B ＝60°，∴△CDB 是等边三角形．∴BC＝BD ＝12AB. 结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．仿例：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝120°，EF 垂直平分AB 交AB 于E ，交BC 于F.求证BF ＝12FC. 证明：连结AF.∵AB＝AC ，∠A ＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，又∵EF 垂直平分AB ，∴BF ＝AF.∴∠BAF＝∠B＝30°，∴∠FAC ＝120°－∠BAF＝90°，在Rt △AFC 中，∠C ＝30°，∴AF ＝12CF ，∴BF ＝12FC. 交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知识模块二 直角三角形性质的应用检测反馈 达成目标1．直角三角形的两条直角边分别是5和12，则斜边上的中线长是( C )A ．13B ．6C ．6.5D ．无法确定2．直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm 和6cm ，则它的面积为__30cm 2__．3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，且这条高的长为a ，则腰长为__2a__．4．在△ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝60°，AM 平分∠BAC，AM ＝15cm ，求BC 、AC 和AB 的长． 解：B C ＝22.5cm ，AC ＝1523cm ，AB ＝153cm课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。
24.2直角三角形的性质+课件+2024—2025学年华东师大版数学九年级上册
_____5_5__° _.
证一证 拓展：直角三角形中，一直角边等于斜边一半，其所对角为30°
4、Rt△ABC中，∠ACB=90 ° ，∠A=30°，求证：BC=
.
证明：作斜边上的中线CD，则CD=AD=BD=
∵ ∠A=30°
∴ ∠B=60°
∴ △CDB是等边三角形， ∴ BC=BD=
小结： 直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半
∴DE=
,DF=
又∵AB=AC
∴DE=DF
拓展提升：
如图，在△ABC中，BD、CE是高，M、N分别是BC、ED的中点， 试说明：MN⊥DE.
解：连结EM、DM.
A
∵BD、CE是高，M是BC中点， ∴在Rt△BCE和Rt△BCD中，
ND E
EM∴E=M12=BDCM，.DM
=
1 2
BC
，
又∵N是ED中点，
2.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线∠CDA=80°，则 ∠A=_____ ，∠B=_____.
3. 在△ABC中， ∠ACB=90 °，CE是AB边上的中线，那么
与CE相等的线段有___A_E_,_B_E__，与∠A相等的角有
_________，若∠A=35°，那么∠ECB= ∠ACE
若AE＝AD，DF＝2，则BD的长为（ D ）
A．2 B．3 C．2 D．4
A
例题讲解
例4. 在ABC中，AB=AC，AD是△BAC的高，E、F分别 是AB，AC的中点。问DE、DF有什么大小关系？
解：∵AD是△BAC的高，即AD⊥BC
∴△ADB和△ADC都是直角三角形
∵E、F分别是AB，AC的中点
∴ CE=AB.
华师版九年级上册 第24章：解直角三角形的应用导学案设计
第2课时 解直角三角形的实际应用授课班级： 课程类型：□复习 □预习 □习题 上课日期： 年 月 日重点：三角函数的计算难点：垂线的画法，等腰直角三角形性质【知识梳理】知识点一、常用关系式1.1sin 2S ab C ∆==1sin 2bc A =1sin 2ac B . 2.Rt △面积公式：1122S ab ch ==. 3.结论：直角三角形斜边上的高ab h c =. 知识点二、解直角三角形的应用问题1.测量物体高度．2.有关航行问题．3.计算坝体或边路的坡度等问题知识点三、解题思路与数学思想方法常用数学思想方法：转化、方程、数形结合、分类、应用【例题分析】Type 1 解直角三角形[例1]在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，根据下列条件，解这个直角三角形． (1)∠B=60°，a ＝4； (2)a ＝1，b =[变式] 已知，b=2 ，求∠A 、∠B 和c ；（2）已知sinA=23, c=6 ，求a 和b ；[例2] 已知：如图，△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，AC ＝10cm ．求AB 及BC 的长．[变式1] 已知：如图，Rt △ABC 中，∠D ＝90°，∠B ＝45°，∠ACD ＝60°．BC ＝10cm ．求AD 的长．[变式2] 已知：如图，△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝135°，AC ＝10cm ．求AB 及BC 的长．Type 3 解直角三角形的应用[例3]如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（ ）A.200米B.3200米C.3220米D.)13(100 米[变式1] 如图，为测量某物体AB 的高度，在D 点测得A 点的仰角为30°，朝物体AB 方向前进20米，到达点C ，再次测得点A 的仰角为60°，则物体AB 的高度为（ ）A.310米B.10米C.320米D.3320 [例4] 已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D 点．已知∠BAC ＝60°，∠DAE ＝45°．点D 到地面的垂直距离m DE 23 ，求点B 到地面的垂直距离BC ．[变式] 如图沿AC 方向修隧道,为了加快施工进度,要在小山的另一边同时进行.已知∠ABD=1500,BD=520m,∠B=60°,那么开挖点E 到D 的距离DE=____m 时,才能使A,C,E 成一直线.[例5] 超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A 处，离益阳大道的距离（AC ）为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B 处行驶到C 处所用的时间为8秒，∠BAC=75°．（1）求B 、C 两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到1米，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，3≈1.732，60千米/小时≈16.7米/秒）AB C D E [变式] 如图，小聪用一块有一个锐角为 30的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距33米，小聪身高AB 为1.7米，求这棵树的高度.[例6] 已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A 处测得灯塔M 在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B 处，测得灯塔M 在北偏西45°，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M 之间的最短距离是多少?(精确到0.1海里，732.13 )[变式1] 一船向东航行，上午8时到达B 处，看到有一灯塔在它的南偏东060，距离为72海里的A 处，上午10时到达C 处，看到灯塔在它的正南方向，则这艘船航行的速度为（ ）A 18海里/小时B 318海里/小时C 36海里/小时D 336海里/小时[变式2]如图，A 城气象台测得台风中心在A 城的正西方300千米处，以每小时107千米的速度向北偏东60º的BF 方向移动，距台风中心200千米的范围内是受这次台风影响的区域。
九年级数学上册第24章解直角三角形24.2直角三角形的性质教案新版华东师大版
24．2 直角三角形的性质1．掌握直角三角形的性质定理,并能灵活运用．2．继续学习几何证明的分析方法,懂得推理过程中的因果关系．知道数学内容中普遍存在的运动、变化、相互联系和相互转化的规律．重点直角三角形斜边上的中线性质定理的应用．难点直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法．一、情境引入复习：直角三角形是一类特殊的三角形,除了具备三角形的性质外,还具备哪些性质？ 学生回答：(1)在直角三角形中,两个锐角互余；(2)在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理)．二、探究新知除了刚才同学们回答的性质外,直角三角形还具备哪些特殊性质？现在我们一起探索！1．实验操作：要学生拿出事先准备好的直角三角形的纸片．(1)量一量边AB 的长度；(2)找到斜边的中点,用字母D 表示,画出斜边上的中线；(3)量一量斜边上的中线的长度．让学生猜想斜边上的中线与斜边长度之间的关系．2．提出命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．3．证明命题：你能否用演绎推理证明这一猜想？已知,如图,在Rt △ABC 中,∠ACB ＝90°,CD 是斜边AB 上的中线．求证：CD ＝12AB. 【分析】可“倍长中线”,延长CD 至点E,使DE ＝CD,易证四边形ACBE 是矩形, ∴CE ＝AB ＝2CD.思考 还有其他方法来证明吗？还可作如下的辅助线．4．应用：例 如图,在Rt △ACB 中,∠ACB ＝90°,∠A ＝30°.求证：BC ＝12AB.【分析】构造斜边上的中线,作斜边上的中线CD,易证△BDC 为等边三角形,所以BC ＝BD ＝12AB. 【归纳结论】直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半．三、练习巩固教师利用课件展示练习题,可由学生小组讨论完成,教师归纳．1．如图,CD 是Rt △ABC 斜边上的中线,CD ＝4,则AB ＝________．2．三角形三个角度数比为1∶2∶3,它的最大边长是 4 cm ,那么它的最小边长为________cm .3．如图,在△ABC 中,AD 是高,CE 是中线,DC ＝BE,DG ⊥CE,点G 为垂足．求证：(1)点G 是CE 的中点；(2)∠B＝2∠BCE.第3题图第4题图4．如图,在△ABC 中,AB ＝AC,∠C ＝30°,AB ⊥AD,AD ＝2 cm ,求BC 的长．四、小结与作业小结1．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．2．直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半．3．有斜边上的中点,要考虑构造斜边上的中线或中位线．布置作业从教材相应练习和“习题24.2”中选取．本课从复习已学过的直角三角形的性质入手,通过实验操作、猜想、证明、探究直角三角形斜边上的中线性质定理,培养学生识图的能力,提高分析和解决问题的能力,在积极参与定理的学习活动中,不断增强主体意识和综合意识．。
华师大版数学九年级上册24.2《直角三角形的性质》导学案
CA B D 课题：?24.2直角三角形的性质?教学目标:1.掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半〞定理以及应用2.稳固利用添辅助线证明有关几何问题的方法.3.掌握在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.教学重点及难点:1、直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法.2、直角三角形斜边上的中线性质定理的应用.教学过程:一、复习引入1、什么叫直角三角形？2、直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质?(1)___________________________;(2)_____________________________.引出课题：直角三角形的性质并板书课题二、自主学习〔一〕如图：∠A 与∠B 有何关系？为什么？稳固练习： 〔1〕在直角三角形中，有一个锐角为520，那么另一个锐角度数为 ； 〔2〕在Rt △ABC 中，∠C=900，∠A -∠B =300，那么∠A= ，∠B= ； 〔3〕如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=900，CD 是斜边AB 上的高，那么，与∠B 互余的角有 ，与∠A 互余的角有 ，与∠B 相等的角有 ，∠A 相等的角有 .三、合作探究想一想如果在练习〔3〕中添加∠A=45o 的条件，那么各个锐角是多少度？各个线段之间有什么等量关系？猜一猜 量一量直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半吗？证一证命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.：在Rt △ABC 中，∠ACB=900，CD 是斜边AB 的中线.求证：CD=21AB 〔论证过程参照书本〕归纳总结定理1：__________________________________.定理2：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.引导学生得出定理2的3种证明方法，培养学生的思维能力。
(1)(2)D C AB E F(3)四、展示点评五、当堂训练△ABC 中，∠C=900, ∠B=600,BC=7,那么∠A = ----------,AB=---------- △ABC 中,∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,假设AB=10,那么BC=----------3、如图Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，假设∠A=300，BD=1cm,那么 ∠BCD=_____, BC=_____.4、如下图，△ABC 中，∠ACB=900,CD ⊥AB 于D, ∠A=300,且AB=8cm,那么BC= ---------- , ∠BCD=----------, BD= ---------- ,AD= ---------- .5、在直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为________．6、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，且DE=DF. 求证：AB=AC 练习：P 104 1、2、3A BD六、小结反思〔学生谈收获、体会〕1、这节课主要讲了直角三角形的那两条性质定理？2、在解决具体问题中你有哪些收获？七、课后反思。
九年级数学上册 第24章 解直角三角形 测量导学案 (新版)华东师大版
测量【学习目标】1．复习巩固相似三角形知识，掌握测量方法；2．通过测量旗杆高度的活动，巩固相似三角形有关知识，累积数学活动经验，使学生初步学会数学建模的方法；3．通过运用相似以及已学过的知识探索解三角形的方法，体验教学研究和发现的过程，逐渐培养学生用数学说理的习惯，激起学生学习后续内容的积极性．【学习重点】掌握测量方法．【学习难点】理解并掌握测量方法．情景导入生成问题问题：1.复习相似三角形的主要性质．2．当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许想知道操场旗杆有多高？我们知道可以利用相似三角形的对应边，首先请同学量出太阳下自己的影子长度，旗杆的影子长度，再根据自己的身高，计算出旗杆的高度．如果在阴天，你一个人能测量出旗杆的高度吗？自学互研生成能力知识模块测量物体的高度或宽度阅读教材P99～P101的内容．问题：如下图所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC＝34°，并已知目高AD为1米．现在请你按1∶500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A1B1C1，用刻度尺量出纸上B1C1的长度，便可以算出旗杆的实际高度．你知道计算的方法吗？解：∵△ABC∽△A1B1C1，∴AC∶A1C1＝BC∶B1C1＝500∶1，∴只要用刻度尺量出纸上B1C1的长度，就可以计算出BC 的长度，加上AD长即为旗杆的高度．若量得B1C1＝a cm，则BC＝500a cm＝5a m.故旗杆高(1＋5a)m.范例：小兵身高160cm ，他的影子长度是100cm ，如果同时，他朋友的影子比他的影子短5cm ，那么他的朋友有多高？解：设他朋友身高为x cm ，则160100＝x 100－5，解得：x ＝152.答：他朋友身高为152cm . 仿例1：小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度．解：设旗杆的高度为x m ，则x 2＋52＝(x ＋1)2，解得x ＝12.答：旗杆的高度为12m .仿例2：如图，小明站在C 处看甲乙两楼楼顶上的点A 和点E ，点C 、E 、A 在同一条直线上，点B 、D 分别在点E 、A 的正下方，且点D 、B 、C 在同一条直线上，点B 、C 相距20米，点D 、C 相距40米，乙楼高BE 为15米，求甲楼AD 的高．(小明的身高忽略不计)解：由题意知BC ＝20，CD ＝40，△CBE ∽△CDA.∴CB CD ＝BE AD 即2040＝15AD， ∴AD ＝30(米)．答：甲楼AD 高30米．交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块 测量物体的高度或宽度范例：(方法二)160x ＝100100－5，解得x ＝152 检测反馈 达成目标1．某同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为1.2米，与他相邻的一棵树的影长为3.6米，则这棵树的高度为( B )A ．5.3米B ．4.8米C ．4.0米D ．2.7米2．垂直于地面的竹杆的影长为12米，其顶端到其影子顶端的距离为13米，如果此时测得某小树的影长为6米，则树高为__2.5__米．3．如图，一条河的两岸有一段是平行的，两岸岸边各有一排树，每排树相邻两棵的间距都是10米，在这岸离开岸边16米的A处看对岸，看到对岸两棵树B、C的树干恰好被这岸两棵树D、E的树干遮住，这岸的两棵树D、E之间有一棵树，B、C 之间有四棵树，求河C、D的宽．解：CD＝24米．4．如图，在距离旗杆AB 18米的地面上平放着一面镜子E，人退后到距离镜子2.1米的D处，在镜子里恰好看见旗杆顶，若人眼距地面1.4米，求旗杆高．解：AB＝12米课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：______________________________________________________________________。
【新华东师大版】九年级数学上册：24.2《直角三角形的性质》教案+导学案
24.2 直角三角形的性质教学目标:1、以直角三角形为载体，继续学习几何证明.2、掌握直角三角形的两个锐角互余。
3、通过图形的运动来比较一般三角形与直角三角形中线的性质。
4、在图形的运动中培养学生学习几何的兴趣。
难点与重点：1、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半性质定理的证明思想方法。
2、直角三角形斜边上的中线性质定理的应用。
教学过程：一、1、复习提问：在三角形ABC中，∠C＝90°那么，△ABC为什么三角形？2、∠A＋∠B＝？通过几何画板的演示，在图形不断运动中∠A＋∠B＝90°3、三边之间有什么关系呢？4、学生归纳出：（1）在直角三角形中，两个锐角互余。
（2）直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。
二、观察：1、已知：△ABC以及AB边上的中线CD，2、任意三角形一边上的中线与这边之间有什么关系？3、让学生在图形的变化过程中观察到CD／AB的值不是一个定值，学生不难发现任意三角形一边中线与这边之间没有规律可循。
4、请同学们继续观察，我们今天所研究的直角三角形斜边上的中线与斜边的长度之间有什么系？（1）CD＝ BA，CD／BA＝0.5。
（2）通过几何画板的演示，Rt△ABC 的形状在不断的变化，CD、AD、DB的长度也在变，但这三条线段之间的长度始终相等。
让学生归纳出：（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
三、仅仅通过观察和操作是不够的，那么对于任何一个直角三角形是否也具备此性质，我们要通过逻辑推理的方法加以证明。
（1）、根据题义作出图形，并标上必要的字母和符号。
（2）、根据题设和结论，结合图形写出“已知”和“求证”。
（3）、通过分析写出证明过程。
已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°CD是斜边AB上的中线。
求证：CD＝AB提问设计：1、如果不能直接证明，怎么办？（添辅助线）2、三角形中，如果遇到中线问题应如何添加辅助线。
（中线加倍延长法）那么CD= CE3、CD延长后要证CD＝ AB，只要证 CE=AB4、如何证CE＝AB？（把CE、AB放到两个三角形中，证△ABC≌△CEA。
九年级数学上册第24章解直角三角形24.4解直角三角形24.4.2解直角三角形导学案(无答案)华东
九年级数学上册第24章解直角三角形24.4 解直角三角形24.4.2 解直角三角形导学案（无答案）（新版）华东师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学上册第24章解直角三角形24.4 解直角三角形24.4.2 解直角三角形导学案（无答案）（新版）华东师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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24。
4。
2 解直角三角形【学习目标】1、了解仰角、俯角、方位角的概念，能根据直角三角形的知识解决仰角、俯角、方位角有关的实际问题。
2、通过借助辅助线解决实际问题过些,使掌握数形结合、抽象归纳的思想方法。
3、感知本节与实际生活的密切联系,认识知识应用于实践的意义.【学习重难点】了解仰角、俯角、方位角的概念，能根据直角三角形的知识解决仰角、俯角、方位角有关的实际问题。
【学习过程】一、课前准备1、解直角三角形的几种情况：2、求下列直角三角形未知元素的值二、学习新知自主学习：读一读如图,在进行测量时,从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。
图实例分析:例１、如图，为了测量旗杆的高度BC，在离旗杆10A米的C处,用高1。
20米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角α＝52°，求旗杆BC的高。
（精确到0。
1米)解：【随堂练习】1.如图:一棵大树的一段BC被风吹断，顶端着地与地面成300角，顶端着地处C与大树底端相距4米,则原来大树高为_________米.2。
九年级数学上册第24章解直角三角形24.4解直角三角形第1课时解直角三角形及其简单应用教案新版华东师
九年级数学上册第24章解直角三角形24.4解直角三角形第1课时解直角三角形及其简单应用教案新版华东师大版12第1课时 解直角三角形及其简单应用1．理解解直角三角形的意义和条件，能根据元素间的关系，选择适当的关系式，求出所有未知元素；(重点)2．能够把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并运用解直角三角形求解，通过生活中的实际问题体会锐角三角函数在解题过程中的作用．(难点)一、情境导入世界遗产意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜．设塔顶中心点为B, 塔身中心线与垂直中心线夹角为∠A ，过点B 向垂直中心线引垂线，垂足为点C .在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5.2m ，AB ＝54.5m ，求∠A 的度数．在上述的Rt △ABC 中，你还能求其他未知的边和角吗？二、合作探究探究点一：解直角三角形【类型一】 利用解直角三角形求边或角已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a ，b ，c ，按下列条件解直角三角形．(1)若a ＝36，∠B ＝30°，求∠A 的度数和边b 、c 的长；(2)若a ＝62，b ＝66，求∠A 、∠B 的度数和边c 的长． 解析：(1)已知直角边和一个锐角，解直角三角形；(2)已知两条直角边，解直角三角形． 解：(1)在Rt △ABC 中，∵∠B ＝30°，a ＝36，∴∠A ＝90°－∠B ＝60°，∵cos B ＝ac，即c ＝acos B＝3632＝243，∴b ＝sin B ·c ＝12×243＝123；(2)在Rt △ABC 中，∵a ＝62，b ＝66，∴tan A ＝ab ＝33，∴∠A ＝30°，∴∠B ＝60°，∴c ＝2a ＝12 2.方法总结：解直角三角形时应求出所有未知元素，解题时尽可能地选择包含所求元素与两个已知元素的关系式求解．【类型二】 构造直角三角形解决长度问题一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F ＝∠ACB ＝90°，∠E ＝30°，∠A ＝45°，AC ＝122，试求CD 的长．解析：过点B 作BM ⊥FD 于点M ，求出BM 与CM 的长度，然后在△EFD 中可求出∠EDF ＝60°，利用解直角三角形解答即可．解：过点B 作BM ⊥FD 于点M ，在△ACB 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝45°，AC ＝122，∴BC ＝AC ＝12 2.∵AB ∥CF ，∴BM ＝sin45°BC ＝122×22＝12，CM ＝BM ＝12.在△EFD 中，∠F ＝90°，∠E ＝30°，∴∠EDF ＝60°，∴MD ＝BMtan60°＝43，∴CD ＝CM －MD ＝12－4 3.方法总结：解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答．【类型三】 运用解直角三角形解决面积问题如图，在△ABC 中，已知∠C ＝90°，sin A ＝37，D 为边AC 上一点，∠BDC ＝45°，DC ＝6.求△ABC 的面积．解析：首先利用正弦的定义设BC ＝3k ，AB ＝7k ，利用BC ＝CD ＝3k ＝6，求得k 值，从而求得AB 的长，然后利用勾股定理求得AC 的长，再进一步求解．解：∵∠C ＝90°，∴在Rt △ABC 中，sin A ＝BC AB ＝37，设BC ＝3k ，则AB ＝7k (k ＞0)，在Rt △BCD 中，∵∠BCD ＝90°，∴∠BDC ＝45°，∴∠CBD ＝∠BDC ＝45°，∴BC ＝CD ＝3k ＝6，∴k ＝2，∴AB ＝14.在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2－BC 2＝142－62＝410，∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12×410×6＝1210.所以△ABC 的面积是1210.方法总结：若已知条件中有线段的比或可利用的三角函数，可设出一个辅助未知数，列方程解答．探究点二：解直角三角形的简单应用 【类型一】 求河的宽度根据网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于A 、B 两点，小张为了测量A 、B 之间的河宽，在垂直于新大桥AB 的直线型道路l 上测得如下数据：∠BDA ＝76.1°，∠BCA ＝68.2°，CD ＝82米．求AB 的长(精确到0.1米)．参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0；sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5.解析：设AD ＝x m ，则AC ＝(x ＋82)m.在Rt △ABC 中，根据三角函数得到AB ＝2.5(x ＋82)m ，在Rt △ABD 中，根据三角函数得到AB ＝4x ，依此得到关于x 的方程，进一步即可求解．解：设AD ＝x m ，则AC ＝(x ＋82)m.在Rt △ABC 中，tan ∠BCA ＝AB AC，∴AB ＝AC ·tan ∠BCA ＝2.5(x ＋82)．在Rt △ABD 中，tan ∠BDA ＝AB AD，∴AB ＝AD ·tan ∠BDA ＝4x ，∴2.5(x ＋82)＝4x ，解得x ＝4103.∴AB ＝4x ＝4×4103≈546.7m.答：AB 的长约为546.7m.方法总结：解题的关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．【类型二】 求不可到达的两点的高度如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB 长为30cm ，灯罩BC 长为20cm ，底座厚度为2cm ，灯臂与底座构成的∠BAD ＝60°.使用发现，光线最佳时灯罩BC 与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C 到桌面的高度CE 是多少(结果精确到0.1cm ，参考数据：3≈1.732)?解析：首先过点B 作BF ⊥CD 于点F ，作BG ⊥AD 于点G ，进而求出FC 的长，再求出BG 的长，即可得出答案．解：过点B 作BF ⊥CD 于点F ，作BG ⊥AD 于点G ，∴四边形BFDG 是矩形，∴BG ＝FD .在Rt △BCF 中，∠CBF ＝30°，∴CF ＝BC ·sin30°＝20×12＝10cm.在Rt △ABG 中，∵∠BAG ＝60°，∴BG ＝AB ·sin60°＝30×32＝153cm ，∴CE ＝CF ＋FD ＋DE ＝10＋153＋2＝12＋153≈38.0(cm)．答：此时灯罩顶端C 到桌面的高度CE 约是38.0cm.方法总结：将实际问题抽象为数学问题，画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题．三、板书设计1．解直角三角形的基本类型及其解法；2．解直角三角形的简单应用.本节课为了充分发挥学生的主观能动性，可引导学生通过小组讨论，大胆地发表意见，提高学生学习数学的兴趣．能够使学生自己构造实际问题中的直角三角形模型，并通过解直角三角形解决实际问题.。
2019-2020学年九年级数学上册 第24章《解直角三角形》(第2课时)直角三角形的性质导学案(新版)华东师大版
2019-2020学年九年级数学上册 第24章《解直角三角形》（第2课时）直角三角形的性质导学案（新版）华东师大版（1）(量一量)自己动一动手，量一量CD 与AB 的长度并比较它们有什么关系？和你的同桌对比一下结论一致吗？（2）（证一证）你能证明这一性质吗?性质2.（1）(量一量). 自己动一动手用刻度尺测量含30°角的直角三角形的斜边和短直角边，比较它们之间的数量关系,你有什么发现？（2）（拼一拼）.小组合作将两个含有30°的三角板如图摆放在一起，你能借助这个图形找到Rt △ABC 的直角边BC(30°角所对的)与斜边AB 之间的数量关系吗?（3）（证一证）你能证明这一性质吗?归纳：直角三角形斜边上的中线等于_________________________________________. 几何语言：在RT △ABC 中，∠C= 90，∠A ＝30°∴BC=21AB(或AB = 2BC) 五、巩固反馈1．在 直角三角形ABC 中，∠ACB=90度，CD 是AB 边上中线，若CD=5cm,则AB=_____ 三角形ABC 的面积=____________2顶角为30度的等腰三角形，若腰长为2，则腰上的高__________，三角形面积是________3．在直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为________．4．等腰三角形顶角为120°，底边上的高为3，则腰长为_________5．屋架设计图,点D 是斜梁AB 的中点,立柱BC 、DE 垂直于横梁AC,AB ＝8m,∠A ＝30°则BC= __________, DE=______________.6．如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，D 、E 分别是BC 、AC 的中点，AB=6，求DE 的长。
7.如图，△ABC 中，∠C=90°，∠A=60 °，EF 是AB 的垂直平分线，判断CE 与BE 之间的关系EF C B A。
华东师大版九年级上册数学第24章《解直角三角形》教案2
课题解直角三角形及其简单应用【学习目标】1．理解直角三角形的概念，并能熟练地根据题目中的已知条件解直角三角形；2．通过综合运用直角三角形的相关知识解直角三角形，逐步培养学生分析问题解决问题的能力；3．在教学中逐步培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透数形结合的数学思想和方法．【学习重点】根据条件解直角三角形．【学习难点】从条件出发，正确选用适当的边角关系解题．一、情景导入生成问题问题：在直角三角形ABC中，∠C＝90°，a，b，c，∠A，∠B这五个元素间有哪些等量关系？1．边与边的关系：__a2＋b2＝c2__(勾股定理)．2．角与角的关系：__∠A＋∠B＝∠C__(两锐角互余)．3．边角关系：sinA＝__ac__，cosA＝__bc__，tanA＝__ab__，sinB＝__bc__，cosB＝__ac__，tanB＝__ba__(锐角三角函数)．二、自学互研生成能力知识模块解直角三角形阅读教材P111～113的内容．1．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，已知两直角边长分别为a，b，如何求斜边c和锐角∠A，∠B?2．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，已知一直角边a，锐角A，如何求b，c和∠B?范例：如图，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，则大树在折断之前高多少？解：利用勾股定理可以求出折断后倒下部分的长度为52＋122＝13，13＋5＝18(米)答：大树在折断之前高18米．归纳：在直角三角形，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．典例：如图，在相距2000米的东、西两座炮台A、B处同时发现入侵敌舰C，在炮台A处测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，在炮台B处测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离．(精确到1米)解：在Rt△ABC中，∵∠CAB＝90°－∠DAC＝50°，BCAB＝tan∠CAB，∴BC＝AB·tan∠CAB＝2000×tan50°≈2384(米)．∵ABAC＝cos50°，∴AC＝ABcos50°＝2000cos50°≈3111(米)．答：敌舰与A、B 两炮台的距离分别约为3111米和2384米．仿例：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠C＝45°，BC＝2，求AC的长．解：过B作BD⊥AC于D，∵∠C＝45°，BD⊥CD，∴tanC＝BDCD＝1，∴BD＝CD，又BD2＋CD2＝BC2＝(2)2，∴BD＝CD＝1，在Rt△ABD中，∠A＝30°，∴AD＝BDtanA＝133＝3，∴AC＝AD＋CD＝3＋1.三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块解直角三角形仿例：(方法二)过B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中，∠C＝45°，∴sinC＝BDBC＝BD2＝22，tanC＝BDCD＝1，∴BD＝CD＝1，在Rt△ABD中，∠A＝30°，∴AD＝BDtanA＝133＝3，∴AC＝AD＋CD＝3＋1.四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________2．存在困惑：____________________________________________课题仰角、俯角与解直角三角形的应用【学习目标】1．理解俯角和仰角的概念，并利用其解直角三角形；2．综合利用仰角和俯角以及解直角三角形的知识，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；3．经历数学知识的挖掘与欣赏过程，近一步感受教学知识在图案设计中的应用，从而激发学生学习数学的兴趣．【学习重点】理解仰角和俯角的概念，并运用解直角三角形．【学习难点】把实际问题转化为直角三角形求解．一、情景导入生成问题问题：1.什么是解直角三角形？2．解直角三角形至少需要几个条件？二、自学互研生成能力知识模块仰角、俯角与解直角三角形阅读教材P113～114的内容．如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．范例：如图：为了测量旗杆的高度BC，在离旗杆底部10米的A处，用高1.50米的测角仪DA 测得旗杆顶端C的仰角α＝52°，求旗杆BC的高．(精确到0.1米)解：在Rt△CDE中．∵CE＝DE×tanα＝AB×tanα＝10×tan52°≈12.80，∴BC＝BE＋CE＝DA ＋CE≈1.50＋12.8＝14.3(米)答：旗杆BC的高度约为14.3米．仿例：如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度，已知在离地面1500m高的C处有一架飞机，飞机员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60°和45°，求隧道AB的长．(精确到1m)解：过C作CO⊥AB于O，则CO＝1500m，由题意知：∠CBO＝45°，∠CAO＝60°，在Rt△CBO中，OB＝COtan45°＝15001＝1500，OA＝COtan60°＝15003＝5003，∴AB＝OB－OA＝1500－5003≈634(m)，答：隧道AB的长约为634m.变例：如图，一只猫头鹰蹲在一棵树AC的B(点B在AC上)处，发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧，猫头鹰的视线被短墙遮住．为了寻找这只老鼠，猫头鹰向上飞至树顶C处，DF＝4米，短墙底部D与树的底部A的距离为2.7米，猫头鹰从C点观察F点的俯角为53°，老鼠躲藏处M(点M在DE上)距D点3米．(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)(1)猫头鹰飞至C处后，能否看到这只老鼠？为什么？(2)要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞多少米？(精确到0.1米)解：由题意得∠DFG＝37°.(1)在Rt△DFG中，DG＝DF·tan37°＝4×0.75＝3米＞2.7米，∴猫头鹰能看到这只老鼠．(2)AG＝AD＋DG＝2.7＋3＝5.7，在Rt△ACG中，CG＝AGsin37°＝9.5(米)．答：猫头鹰至少飞9.5米．三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块仰角、俯角与解直角三角形仿例：(方法二)过C作OC⊥AB于O，由题意知：∠BCO＝45°，∠ACO＝30°，在Rt△CBO 中，OB＝OC·tan45°＝1500，OA＝OC·tan30°＝5003，∴AB＝1500－5003≈634(m)．答：隧道AB长为634m.四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：______________________________________________________2．存在困惑：__________________________________________________课题坡度、坡角与解直角三角形的应用【学习目标】1．理解坡角、坡度的概念，并能解直角三角形；2．通过综合运用直角三角形的相关知识解直角三角形，逐步培养学生分析问题的能力；3．在数学中逐步培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透数形结合的数学思想和方法．【学习重点】理解坡角、坡度的概念，并运用解直角三角形．【学习难点】把实际问题转化为直角三角形求解．一、情景导入生成问题在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上要注明倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i，即i＝h l.坡度通常写成1∶m的形式，如i＝1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i＝hl＝tanα.显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．二、自学互研生成能力知识模块坡比、坡角与解直角三角形阅读教材P115～116的内容．范例：如图，一段路基的横断面是梯形，高为 4.2米，上底宽为12.51米，其坡面的坡角分别是32°和28°，求路基下底的宽．(精确到0.1米)解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为点E、F.由题意可知：DE＝CF＝4.2，EF＝CD＝12.51，在Rt△ADE中，∵DEAE＝4.2AE＝tan32°，∴AE＝4.2tan32°≈6.72，在Rt△BCF中，同理可得BF＝4.2tan28°≈7.90，∴AB＝AE＋EF＋BF≈6.72＋12.51＋7.90≈27.1(米)．答：路基下底的宽约为27.1米．归纳：利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题，也就是建立适当的数学模型)；(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数，运用直角三角形的有关性质，解直角三角形；(3)得到数学问题的答案；(4)得到实际问题的答案．变例：如图，斜坡AC的坡度为1∶3，AC＝10米，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米，试求旗杆BC的高度．解：延长BC交AD于E点．由题意知BE⊥AD，在Rt△AEC中，tan∠EAC＝1∶3＝3 3，∴∠EAC＝30°，∴CE＝12AC＝12×10＝5，∴AE＝AC2－CE2＝53，在Rt△ABE中，AE2＋BE2＝AB2，∴(53)2＋(BC＋5)2＝142，∴BC＝6.答：旗杆BC的高度是6米．三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块坡比、坡角与解直角三角形四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：___________________________________________________2．存在困惑：_______________________________________________第24章小结与复习【学习目标】1．进一步理解勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及三角函数的意义；2．培养学生综合、概括等逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力．【学习重点】灵活运用解直角三角形知识解决问题．【学习难点】选择恰当知识解决具体问题．一、情景导入 生成问题一、直角三角形的性质1．直角三角形的两个锐角__互余__．2．直角三角形两直角边的平方和等于__斜边的平方__(勾股定理)． 3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 4．30°所对直角边等于斜边的一半． 二、锐角三角函数在直角三角形中的三个三角函数的求法：1．正弦：sinA ＝∠A 的对边斜边＝ac .2．余弦：cosA ＝∠A 的邻边斜边＝bc .3．正切：tanA ＝∠A 的对边邻边＝ab .三、特殊角三角函数值①sin30°＝cos60°＝12； ②sin45°＝cos45°＝22； ③sin60°＝cos30°＝32； ④tan30°＝33； ⑤tan45°＝1; ⑥tan60°＝ 3. 四、仰角、俯角、坡度与解直角三角形1．仰角：从下向上看，视线与水平线的夹角． 2．俯角：从上往下向看，视线与水平线的夹角． 3．坡度i ＝hl ＝tanα.二、自学互研 生成能力知识模块一 直角三角形的性质典例1：如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝4cm ，∠BAD ＝45°，BD ⊥AC 于D ，则△ABC 的面积是__42cm 2__．(典例1)知识模块二 锐角三角函数典例2：如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE ＝a ，且cosa ＝35，AB ＝4，则AD 的长为( B )(典例2)A ．3 B.163 C.203 D.165 知识模块三 特殊角三角函数值典例3：计算：|－3|＋2sin45°＋tan60°－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－1－12＋(π－3)0.解：原式＝3＋2×22＋3－(－3)－23＋1＝1＋3＋1＝5.知识模块四 仰角、俯角、坡度与解直角三角形典例4：如图，在数学活动中，小敏为了测量校园内旗杆AB 的高度，站在教学楼上的C 处测得旗杆底端B 的俯角为45°，测得旗杆顶端A 的仰角为30°，若旗杆与教学楼的水平距离CD 为9m ，则旗杆的高度是多少？(结果保留根号)(典例4)解：在Rt △ACD 中，∵tan ∠ACD ＝AD DC ＝AD 9＝33，∴AD ＝33，同理：BD ＝9，∴AB ＝AD ＋BD ＝(33＋9)m.答：旗杆的高度是(33＋9)m.三、交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 直角三角形的性质知识模块二锐角三角函数知识模块三特殊角三角函数值知识模块四仰角、俯角、坡度与解直角三角形四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：______________________________________________________ 2．存在困惑：__________________________________________________。
九年级数学上册24.2直角三角形的性质教案华东师大版(2021-2022学年)
24.2 直角三角形的性质【知识与技能】1．理解掌握直角三角形性质定理（1),(2）．2.巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法.3.掌握直角三角形性质定理(３):直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及由此证得的另一直角三角形性质定理：直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.【过程与方法】１.经历“探索——发现——猜想——证明"的过程，引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充．2.培养学生用规范的数学语言进行表述的习惯和能力．【情感态度】1．引导学生对图形的观察、发现、激发学生的好奇心和求知欲.2.在运用数学知识解答问题的活动中，鼓励学生积极参与数学活动,体验数学活动中的探索与创新，感受数学的严谨性．【教学重点】“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用;含30°角的直角三角形的性质的发现与应用．【教学难点】１．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的证明思想方法.２．含３0°角的直角三角形性质的探索与证明．３．引导学生全面、周到地思考问题．一、创设情境,导入新知在20１4年两会召开期间,我市人大代表提出《水利建设如何“加速”》的提案已审议通过,但在实际建设中遇到了选址的问题,我们一起来帮帮他们吧!涌泉镇将建造一个集中供水站，设计师设想把供水站设计建造在离三个镇距离相等的位置.而这三个镇的位置正好构成一个直角三角形．该怎么选址呢?动一动想一想画一画(实验操作)让学生以小组竞赛的方式看看哪一组最先找到符合要求的位置.再让小组之间相互检查找到的这个点到这三个镇的距离是否符合要求．通过以上的实验探究猜想:直角三角形斜边上的中线和斜边的长度之间有什么关系?所有的直角三角形是否都存在这样的规律呢？今天我们一起来共同探究,当一回设计师吧！【教学说明】让学生感受到利用数学知识是解决实际生活问题的有效方法之一,这样的导入既关心了时事政治又可以激发学生的学习兴趣和探究新知的欲望．二、合作探究，理解新知让学生拿出已经准备好的一个矩形图片，把矩形图片的两条对角线画出来，沿着一条对角线剪去图形的一半，得到一个直角三角形.与你的同伴共同动手操作量一量斜边AC与中线BＥ的数量关系．从中你能发现什么规律?【教学说明】通过学生动手操作感受到直角三角形的直角边和中线之间的关系是从矩形对角线而来的，为下一步证明性质定理做好铺垫，同时也启发了学生从实践中发现一些客观存在的规律．提出命题:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.证明命题:教师引导,学生结合实验探究过程反向思维,构建矩形，共同完成证明过程.结论归纳:直角三角形性质斜边上的中线等于斜边的一半.你能用几何语言写出这一性质吗?板书：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．∵在Ｒt△ABC中，∠ABC=9０°，BE是斜边AC的中线,∴ＢE＝＼f(1，2）AC(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半).例题讲解例１:如果直角三角形的两条直角边长分别为 2 错误!未定义书签。
九年级数学上册 第24章 解直角三角形 24.2 直角三角形的性质导学案(新版)华东师大版
24.2 直角三角形的性质【学习目标】1.掌握直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
2.会应用直角三角形的性质解决有关图形的计算和证明。
【学习重难点】掌握直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
【学习过程】一、课前准备1、三角形的内角和为度。
2、在△ABC中，若∠C=90°，则∠A+∠B= 。
3、直角三角形的两个锐角。
4、勾股定理：二、学习新知自主学习：探索如图,画Rt△ABC，并画出斜边上的中线CD，量一量，看看CD与AB有什么关系.AB与CD的关系： .2.我们来证明猜想试一试已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线.求证：CD=AB从上题中，你可以得出直角三角形斜边上的中线有什么性质？性质：直角三角形斜边上的中线。
几何语言（如上图）：∵，∴实例分析：例1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°.求证：BC=AB【随堂练习】1、直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（）A．形状相同 B．周长相等 C．面积相等 D．全等2、如果直角三角形的面积是12，斜边上的高是2，那么斜边上的中线长是____________。
3、等腰直角三角形斜边上的中线长为4cm，则其面积为_________________。
4、直角三角形的面积为S，斜边上的中线长为d，则这个三角形周长为（）A． B． C． D．5、已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3．则直角三角形的面积为（）A、5B、6C、7D、8【中考连线】如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC．若DE=10，AE=16，则BE的长度为何？（）A． 10 B．11 C． 12 D． 13【参考答案】随堂练习1、C2、63、164、C5、C中考连线C（本资料素材和资料部分来自网络，供参考。
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直角三角形的性质
一、学习目标
1.回顾勾股定理，知道直角三角形两角互余。
2.探索直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及30°角所对的直角边等于斜边的一半。
二、学习重点
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
三自主预习
1.旧知回顾
（1）勾股定理相关内容？
（2）直角三角形锐角关系？
四、合作探究
性质1.任意画一个直角三角形ABC,并画出斜边上的中线CD。
（1）(量一量)自己动一动手，量一量CD与AB的长度并比较它们有什么关系？和你的同桌对比一下结论一致吗？
（2）（证一证）你能证明这一性质吗?
性质2.（1）(量一量). 自己动一动手
用刻度尺测量含30°角的直角三角形的斜边和短直角边，比较它们之间的数量关系,你有什么
发现？
（2）（拼一拼）.小组合作
将两个含有30°的三角板如图摆放在一起，你能借助这个图形找到Rt △ABC 的直角边BC(30°角所对的)与斜边AB 之间的数量关系吗?
（3）（证一证）你能证明这一性质吗?
归纳：直角三角形斜边上的中线等于_________________________________________.
几何语言：
在RT △ABC 中，∠C= 90，∠A ＝30°∴BC=
2
1AB(或AB = 2BC) 五、巩固反馈
1．在 直角三角形ABC 中，∠ACB=90度，CD 是AB 边上中线，若CD=5cm,则AB=_____
三角形ABC 的面积=____________
2顶角为30度的等腰三角形，若腰长为2，则腰上的高__________，三角形面积是________
3．在直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为________．
4．等腰三角形顶角为120°，底边上的高为3，则腰长为_________
5．屋架设计图,点D 是斜梁AB 的中点,立柱BC 、DE 垂直于横梁AC,AB ＝8m,∠A ＝30°则BC=
__________, DE=______________.
6．如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E分别是BC、AC的中点，AB=6，求DE的长。
7.如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=60 °，EF是AB的垂直平分线，判断CE与BE之间的关系
E F C
B A。