2015中考数学《分类讨论思想》复习课件
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中考数学分类讨论精ppt课件
例题8：（2011湘西）若两圆相切，圆心距是7，其中一圆的半径为4，则另一 圆的半径为：3或11.
例题9：（2011四校联考）一条绳子对折后成右图A、B, A.B上一点C，且有 BC=2AC,将其从C点剪断，得到的线段中最长的一段为40cm,请问这条绳子的 长度为：60cm或120cm
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AC
3. A
5．外切 6. 2或 2 5
4．A 7. 7或11
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13
三：分类讨论问题解答步骤：
(1)：确定分类对象与标准；
(2)：合理分类（不重不漏）；
(3)：分类讨论；
(4)：归纳汇总。
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1
1：分式方程无解的分类讨论问题
例题1：（2011武汉）
3 ax 4 无解a， 求 x3 x29 x3
解：去分母，得：
3(x3) ax 4(x3) （a -1）x 21
不是整数，所以m=—1舍去。
（2）当m=1时，方程1、2的根均为整数，所以m=1.
例题5： 已知关于ｘ的一元二次方程 (m1)x2x10
有实数根，则ｍ的取值范围是：
m 1 00 m5 4且 m1
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4
常见病症：（很多同学会从（2）直接开始而且会忽
略 m2 0的条件）
总结：字母系数的取值范围是否要讨论，要看清题目的条件。 一般设置问题的方式有两种: （1）前置式，即“二次方程”； （2）后置式，即“两实数根”。 这都是表明是二次方程，不需要讨论，但切不可忽视二次项系数 不为零的要求，本题是根据二次项系数是否为零进行讨论的。
.
6．已知点Ｐ是半径为2的⊙Ｏ外一点，PA是⊙O的切线，切点为A，且
PA=2，在⊙O内作了长为的弦AB，连续PB，则PB的长为：
课件 8.3分类讨论思想-【慕联】中考数学复习之数学思想
FG 8 32 3 FG 4 3
可得COSFAG
3 2
FAG
60
①当∠FAB=60°时，如图 ∠PAB=30°， ∴ PB=4，PA= 4 3 ∵ BQ=5，∠BPA=90°，
M
N
F
Q' E
P
∴ PQ=PQ'=3 AQ 4 3 3或AQ 4 3 3
②当∠FAB=120°时，如图 ∠PAB=60°，∠FBG=30°
中考复习 分类讨论思想的应用
[慕联教育专题课程] 课程编号：ZS010202Z0803LL
授课：大刚老师
学习目标
1、渗透分类思想，养成分类的意识； 2、学习分类方法，增强思维的缜密性； 3、引导分类讨论，提高合理解题的能力。
分类讨论的几种形式
1、由数学概念、定理、公式引起的分类讨论； 如a的绝对值就要按a>0,a=0,a<0进行分类才能
5
2
3k 6k
b b
或25
6k 3k
b b
所以 k
1 3
或k
1 3
b 4 b 3
所以所求函数解析式为：y
1 3
x
4或y
Hale Waihona Puke 1 3x3
经典例题
在菱形ABCD中， A 30 ，
在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为
120 的等腰三角形BDE， 则EBC 的度数为
45或105。
D
C
E’ E
A
B
经典例题
在线段AB的同侧作射线AM和BN，若∠MAB与∠NBA的平
分线分别交射线BN,AM于点E，F，AE和BF交于点P.如图，点点
同学发现当射线AM，BN交于点C，且∠ACB=60°时，有以下两
初三数学第二轮总复习(2)分类讨论思想
00k k b ⎧⎪⎨⎪⎩+时时
点与直线的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与直线的位置关系。
三角形的分类、四边形的分类
【例题与练习】
少元？此所得税法修改前少纳税多少元？
(3)已知某人2006年9月激纳个人所得税a（0＜a＜200）元,求此人本月工资（未纳税）
是多少元？
9.已知：如图所示，直线l切⊙O于点C，AD为⊙O的任意一条直径，
点B在直线l上，且∠BAC=∠CA D(A D与AB不在一条直线上)，试
判断四边形ABCO为怎样的特殊四边形？
10. (1)抛物线2
22
y x bx
=+-经过点A (1，0)．
①求b的值；
②设P为此抛物线的顶点，B（a，0）（a≠1）为抛物线上的一点，Q是坐标平面内
的点．如果以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，试求线段PQ的长．(2)已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12，从它的一个顶点，作一条射线，将矩形
分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于1
2
，
设梯形的面积为S，梯形中较短的底的长为x，试写出梯形面积S关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．
布置作业见学案
教后记。
中考数学专题复习：分类讨论课件
要点一
总结词
要点二
答案
考察代数式的分类讨论，包括因式分解、分式的化简等。
a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)，(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab，(x^2 + y^2)^2 - x^2y^2 = (x^2 + y^2 + xy)(x^2 + y^2 - xy)。
函数中的分类讨论练习题及答案
详细描述
在概率统计中，数据分布和特点多种多样。根据数据的分布类型、特点、范围等特点，可以将数据分为离散型数 据、连续型数据、正态分布数据等多种类型。针对每种类型的数据，需要分别讨论其特点和性质，以便更好地进 行数据处理和分析。
03
分类讨论的常见题型及解 题方法
代数式中的分类讨论题型及解题方法
总结词
详细描述
在代数式中，根据代数式的形式和特点，可以将代数式分为整式、分式、根式 等多种形式。每种形式都有其特定的性质和运算规则，因此需要对每种形式进 行分类讨论，以确保解题的准确性和完整性。
函数中的分类讨论
总结词
函数中的分类讨论主要涉及对不同类型和性质的函数进行分类，并针对每种函数进行讨 论。
详细Hale Waihona Puke 述拆项分解、整体代换、因式分解
详细描述
在代数式中，有时需要对多项式进行拆项或因式分解，或者利用整体代换的方法来简化问题。分类讨 论在这种情况下非常有用，因为它可以帮助我们更好地理解和处理不同的情况。
函数中的分类讨论题型及解题方法
总结词
定义域、单调性、极值点
详细描述
在处理函数问题时，我们经常需要考虑函数的定义域、单调 性和极值点。通过分类讨论，我们可以更好地理解和处理这 些不同的性质，从而找到解决问题的最佳方法。
2015年人教版中考数学总复习课件(考点聚焦+归类探究+回归教材)：第40课时 点运动性问题(共17张PPT)
第40课时┃ 点运动性问题
考向互动探究
探究一 动点与几何图形综合型问题
例 1 [2014· 梅州] 如图 40－1， 在 Rt△ABC 中， ∠B＝90°， AC＝60，AB＝30.D 是 AC 上的动点(点 D 与点 A，C 不重合)， 过点 D 作 DF⊥BC 于点 F，过点 F 作 FE∥AC，交 AB 于点 E. 设 CD＝x，DF＝y. (1)求 y 与 x 之间的函数解析式； (2)当四边形 AEFD 为菱形时，求 x 的值； (3)当△DEF 是直角三角形时，求 x 的值．
第40课时┃ 点运动性问题
在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，∠C＝30°，AC＝60，AB＝ 30. 由勾股定理，得 BC＝30 3. ∵FE∥AC，∴∠EFB＝∠C＝30°. ∵∠DFC＝90°， ∴∠DFE＝60°.而∠DEF＝90°，∴∠EDF＝30°. 在 Rt△DFC 中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，CD＝x， x 3 ∴DF＝ ，CF＝ x. 2 2
第40课时┃ 点运动性问题
(3)若∠FDE＝90°，如图①所示，易证四边形 DFBE 是矩 形，
∴DE∥FB. ∵FE∥AC， ∴四边形 CDEF 是平行四边形， ∴EF＝CD＝x. ∵四边形 AEFD 是平行四边形， ∴EF＝AD＝60－x， ∴x＝60－x，解得 x＝30. 若∠DEF＝90°，如图②所示．
第40课时┃ 点运动性问题 探究二 动点与二次函数综合型问题 例 2 [2014· 昆明] 如图 40－2，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2＋bx－3(a≠0)与 x 轴交于点 A(－2，0)，B(4，0)两点，与 y 轴交于点 C. (1)求抛物线所对应的函数解析式； (2)点 P 从点 A 出发，在线段 AB 上以每秒 3 个单位长度的速 度向点 B 运动，同时点 Q 从点 B 出发，在线段 BC 上以每秒 1 个 单位长度的速度向点 C 运动，其中一个点到达终点时，另一个也 停止运动． 当△PBQ 存在时， 求运动多少秒时△PBQ 的面积最大， 最大面积是多少； (3)当△PBQ 的面积最大时， 在 BC 下方的抛物线上存在点 M， 使 S△CBM∶S△PBQ＝5∶2，求点 M 的坐标．
2015届高考数学二轮复习专题讲解 课件 第三讲 分类讨论思想
若该曲线为双曲线，则有|PF1|－|PF2|＝2t＝2a，|F1F2| ＝3t＝2c，e＝ac＝22ac＝32tt＝32.所以选 A
高考专题辅导与测试·数学
第十一页，编辑于星期五：十点 三分。
创新方案系列丛书
角度二
由参数变化引起的 分类讨论
[例 2] 已知函数 f(x)＝x－aln x(a∈R)，求函数 f(x)的极 值．
角的终边所在的象限，点、线、面的位置关系等．
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第三页，编辑于星期五：十点 三分。
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(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程
、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值 要运用不同的求解或证明方法．
(6)由实际意义引起的讨论：此类问题常常出现在应用题中． 3．分类讨论解题的步骤
所以函数 f(x)无极值．
当 a>0 时，由 f′(x)＝0，解得 x＝a.因为当 x∈(0，a)
时，f′(x)<0，当 x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，所以 f(x)在 x
＝a 处取得极小值，且极小值为 f(a)＝a－aln a，无极大值．
综上：当 a≤0 时，函数 f(x)无极值；
当 a>0 时，f(x)在 x＝a 处取得极小值 a－aln a，无极大
线斜率、指数函数、对数函数等．
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(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式 、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前 n项和公式、函数的单调性等． (3)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零， 偶次方根被开方数为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底 数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域 等． (4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类，如
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角度二
由参数变化引起的 分类讨论
[例 2] 已知函数 f(x)＝x－aln x(a∈R)，求函数 f(x)的极 值．
角的终边所在的象限，点、线、面的位置关系等．
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(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程
、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值 要运用不同的求解或证明方法．
(6)由实际意义引起的讨论：此类问题常常出现在应用题中． 3．分类讨论解题的步骤
所以函数 f(x)无极值．
当 a>0 时，由 f′(x)＝0，解得 x＝a.因为当 x∈(0，a)
时，f′(x)<0，当 x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，所以 f(x)在 x
＝a 处取得极小值，且极小值为 f(a)＝a－aln a，无极大值．
综上：当 a≤0 时，函数 f(x)无极值；
当 a>0 时，f(x)在 x＝a 处取得极小值 a－aln a，无极大
线斜率、指数函数、对数函数等．
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(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式 、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前 n项和公式、函数的单调性等． (3)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零， 偶次方根被开方数为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底 数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域 等． (4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类，如
中考数学专题复习一分类讨论思想PPT课件
过点A作AD⊥BC，垂足为D， ∵∠ACB=75°－∠B=45°， sinACD AD，
AC
∴AD=AC×sin 45°， 在Rt△ABD中，∠B=30°，
∴AB=2AD=2AC×sin 45°=750 2 m．
答案：750 2 m
【知识归纳】解直角三角形实际应用的两点技能 1.转化：利用直角三角形或构造直角三角形解决实际问题，一 般先把实际问题转化为数学问题，若题目中无直角三角形，需 要添加辅助线(如作三角形的高等)构造直角三角形，再利用解 直角三角形的知识求解. 2.前提：解直角三角形时结合图形分清图形中哪个三角形是直 角三角形，哪条边是角的对边、斜边、邻边，此外正确理解俯 角、仰角、坡度、坡角等名词术语是解答此类题目的前提条件.
5.一次函数:已知一次函数与坐标轴围成的三角形的面积,求k 的值,常分直线交于坐标轴正半轴和负半轴讨论;确定反比例函 数与一次函数交点个数,常分一、三象限或二、四象限两种情 况讨论. 6.圆:圆的一条弦(直径除外)对两条弧,常分优弧和劣弧两种情 况讨论;求圆中两条平行弦的距离,常分两弦在圆心的同旁和两 旁两种情况讨论;圆与圆的相切,此时要考虑分外切和内切两种 情况讨论.
4.在几何中的应用:对于几何问题,我们常通过图形,找出边、 角的数量关系,通过边、角的数量关系,得出图形的性质等.
【例2】(2013·兰州中考)已知反比例函数y1= k 的图象与
x
一次函数y2=ax+b的图象交于点A(1，4)和点B(m，－2)． (1)求这两个函数的解析式. (2)视察图象，当x>0时，直接 写出y1>y2时自变量x的取值范围. (3)如果点C与点A关于x轴对称， 求△ABC的面积．
5.(2013·十堰中考)如图,在小山的东侧A点有一个热气球,由
AC
∴AD=AC×sin 45°， 在Rt△ABD中，∠B=30°，
∴AB=2AD=2AC×sin 45°=750 2 m．
答案：750 2 m
【知识归纳】解直角三角形实际应用的两点技能 1.转化：利用直角三角形或构造直角三角形解决实际问题，一 般先把实际问题转化为数学问题，若题目中无直角三角形，需 要添加辅助线(如作三角形的高等)构造直角三角形，再利用解 直角三角形的知识求解. 2.前提：解直角三角形时结合图形分清图形中哪个三角形是直 角三角形，哪条边是角的对边、斜边、邻边，此外正确理解俯 角、仰角、坡度、坡角等名词术语是解答此类题目的前提条件.
5.一次函数:已知一次函数与坐标轴围成的三角形的面积,求k 的值,常分直线交于坐标轴正半轴和负半轴讨论;确定反比例函 数与一次函数交点个数,常分一、三象限或二、四象限两种情 况讨论. 6.圆:圆的一条弦(直径除外)对两条弧,常分优弧和劣弧两种情 况讨论;求圆中两条平行弦的距离,常分两弦在圆心的同旁和两 旁两种情况讨论;圆与圆的相切,此时要考虑分外切和内切两种 情况讨论.
4.在几何中的应用:对于几何问题,我们常通过图形,找出边、 角的数量关系,通过边、角的数量关系,得出图形的性质等.
【例2】(2013·兰州中考)已知反比例函数y1= k 的图象与
x
一次函数y2=ax+b的图象交于点A(1，4)和点B(m，－2)． (1)求这两个函数的解析式. (2)视察图象，当x>0时，直接 写出y1>y2时自变量x的取值范围. (3)如果点C与点A关于x轴对称， 求△ABC的面积．
5.(2013·十堰中考)如图,在小山的东侧A点有一个热气球,由
2015中考复习课件 分类讨论型问题(2014真题)
2－a（0＜t≤1）， 综上所述，b＝ 2＋a（t＞1）.
(3)分情况讨论： ①当 0＜t＜1 时，如解图③.∵点 F(1＋t，0)， 点 F 和点 F′关于点 M 对称，∴点 F′(1－t，0)． ∵经过 M，E 和 F′三点的抛物线的对称轴交 x 轴于点 Q， ∴点
1 1 1 － t ， 0 Q ，∴OQ＝1－ t. 2 2
【典例 2】 (2014· 黄冈)如图 431，在四边形 OABC 中，AB∥OC，BC⊥x 轴于点 C，点 A(1，－1)，B(3，－1)，动点 P 从点 O 出发， 沿着 x 轴正方向以 2 个单位 /s 的速度移 动．过点 P 作 PQ 垂直于直线 OA，垂足为 Q. 设点 P 移动的时间为 t(s)(0 ＜ t ＜ 2) ， △OPQ 与四边形 OABC 重叠部分的面积为 S. (1)求经过 O，A，B 三点的抛物线的函数表达式，并确定顶点 M 的坐标． (2)用含 t 的代数式表示点 P，Q 的坐标． (3)如果将△OPQ 绕点 P 按逆时针方向旋转 90° ，是否存在 t，使 得△OPQ 的顶点 O 或顶点 Q 在抛物线上？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由． (4)求出 S 关于 t 的函数表达式．
题型三
根据图形的不同位置而分类
有些动点问题中，动点位置改变时图形的形状没有发 生改变，比如都是三角形，但位置发生了改变，由于位置 的改变带来了算法上的改变，这时就要根据图形的不同位 置进行分类讨论．
【典例 3】 (2014· 湖州)已知在平面直角坐标系 xOy 中， O 是坐标原点，以点 P(1，1)为圆心的⊙P 与 x 轴， y 轴分别相切于点 M 和点 N，点 F 从点 M 出发， 沿 x 轴正方向以 1 个单位/s 的速度运动，连结 PF， 过点 P 作 PE⊥PF 交 y 轴于点 E，设点 F 运动的时 间是 t(s)(t＞0)． (1)若点 E 在 y 轴的负半轴上(如图 432 所示)，求 证：PE＝PF. (2)在点 F 运动的过程中，设 OE＝a，OF＝b，试用含 a 的代数式表示 b. (3)作点 F 关于点 M 的对称点 F? ，经过 M，E 和 F? 三点的抛物线的对称 轴交 x 轴于点 Q，连结 QE.在点 F 运动的过程中，是否存在某一时刻， 使得以 Q， O， E 为顶点的三角形与以 P， M， F 为顶点的三角形相似？ 若存在，请直接写出 t 的值；若不存在，请说明理由．
(3)分情况讨论： ①当 0＜t＜1 时，如解图③.∵点 F(1＋t，0)， 点 F 和点 F′关于点 M 对称，∴点 F′(1－t，0)． ∵经过 M，E 和 F′三点的抛物线的对称轴交 x 轴于点 Q， ∴点
1 1 1 － t ， 0 Q ，∴OQ＝1－ t. 2 2
【典例 2】 (2014· 黄冈)如图 431，在四边形 OABC 中，AB∥OC，BC⊥x 轴于点 C，点 A(1，－1)，B(3，－1)，动点 P 从点 O 出发， 沿着 x 轴正方向以 2 个单位 /s 的速度移 动．过点 P 作 PQ 垂直于直线 OA，垂足为 Q. 设点 P 移动的时间为 t(s)(0 ＜ t ＜ 2) ， △OPQ 与四边形 OABC 重叠部分的面积为 S. (1)求经过 O，A，B 三点的抛物线的函数表达式，并确定顶点 M 的坐标． (2)用含 t 的代数式表示点 P，Q 的坐标． (3)如果将△OPQ 绕点 P 按逆时针方向旋转 90° ，是否存在 t，使 得△OPQ 的顶点 O 或顶点 Q 在抛物线上？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由． (4)求出 S 关于 t 的函数表达式．
题型三
根据图形的不同位置而分类
有些动点问题中，动点位置改变时图形的形状没有发 生改变，比如都是三角形，但位置发生了改变，由于位置 的改变带来了算法上的改变，这时就要根据图形的不同位 置进行分类讨论．
【典例 3】 (2014· 湖州)已知在平面直角坐标系 xOy 中， O 是坐标原点，以点 P(1，1)为圆心的⊙P 与 x 轴， y 轴分别相切于点 M 和点 N，点 F 从点 M 出发， 沿 x 轴正方向以 1 个单位/s 的速度运动，连结 PF， 过点 P 作 PE⊥PF 交 y 轴于点 E，设点 F 运动的时 间是 t(s)(t＞0)． (1)若点 E 在 y 轴的负半轴上(如图 432 所示)，求 证：PE＝PF. (2)在点 F 运动的过程中，设 OE＝a，OF＝b，试用含 a 的代数式表示 b. (3)作点 F 关于点 M 的对称点 F? ，经过 M，E 和 F? 三点的抛物线的对称 轴交 x 轴于点 Q，连结 QE.在点 F 运动的过程中，是否存在某一时刻， 使得以 Q， O， E 为顶点的三角形与以 P， M， F 为顶点的三角形相似？ 若存在，请直接写出 t 的值；若不存在，请说明理由．
中考数学复习 《分类讨论》课件 苏教版
一、根据某些数学概念的定义进行分类
已知⊙O的半径为5cm,点P是⊙O外一 点,OP=8cm，以P为圆心作⊙P与⊙O相切， 则⊙P的半径是多少？ 有同学做的
答案是3，你 认为对吗？
分析：根据圆与圆的位置关系知道， 两圆相切时分外切和内切，因此我们 要分这两种情况去求⊙P的半径
相切要分两种情 况讨论哦
．
A
D
B
C
解1：当高BD在三角形内部且是腰AB的
一半时
∵在RT△ABD中，BD=
1 2
AB
∴∠A=30°
D A
B
解2：当高BD在三角形外 部且是腰AB的一半时
∵在RT△ABD中，
C
BD=
1 2
AB
∴∠DAB=30°
∴∠BAC=150°
D A
B
解3：当高BD是底BC的一半时 ∵在RT△CBD中，BD= 1 BC
2、分类讨论的方法
（1）明确讨论的对象；（2）确定分类标准；（3）逐步进行讨 论；（4）归纳小结，总结出结论.
3、分类讨论的类型 （1）根据某些数学概念的定义进行分类 （2）根据字母的不同取值进行分类 （3）根据某些定理或公式的限制条件进行分类 （4）根据运算性质的适用范围或运算的特殊规定而分类 （5）根据图形的位置变化进行分类讨论
分析：两条边长为6和8，没 有说明是哪两条边，所以要 分情况讨论
1、直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三
角形的外接圆半径等于4或5 .
2、在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并
且 AD2 BD·DC,则∠BCA的度数为_6_5_°__或__1_1_5_°。
解：①当6、8是直角三角形的两条直角边时， 解斜：边①长如为图101，当△ABC是锐角三角形时，
2015中考数学《分类讨论思想》复习课件
解得x=40, 即∠OCP=40度 （2）如果点P在线段OB上，显然有PQ＞OQ，所以点P不可能在
线段OB上。
（3）如图，当点Ｐ在的ＯＡ延长线上时，
∵∠OQC=∠OCQ=180－ｘ，
∴∠OPQ=
12（180－x)=
1 x. 2
又∵∠QCO=∠CPO+∠COP，∴180－x=x+30,
B
O
解得x=100 即∠OCP=100度
Ｄ
150°
Ｈ
Ｏ
ＣＥ
Ｆa
在下图三角形的边上找出一点，使得该点与 三角形的两顶点构成等腰三角形！
A 110°
B 20°
50° C
（分类讨论）
1、对∠A进行讨论
A 110°
C
20°
20°
A C
20° 20°
A C
80°
20°
80°
A
B 20°
50° C
B 2、对∠B进行讨论
3、对∠C进行讨论
B A
C
65° 65° 50°
中考专题复习之二
分类讨论思想
一. 数学思想方法的三个层次:
数学一般方法
配方法、换元法、 待定系数法、判别 式法、割补法等
数学思想 和方法
逻辑学中的方 法(或思维方法)
数学思想方法
分析法、综合法、 归纳法、反证法等
函数和方程思想、分 类讨论思想、数形结 合思想、化归思想等
分类讨论思想
分类思想是根据数学本质属性的相同点和不 同点，将数学研究对象分为不同种类的一种 数学思想。分类以比较为基础，比较是分类 的前提，分类是比较的结果。
ｙ
Ｏ ＡＢ
Ｃ
Ｘ Ｄ
解（1）A（－1，0），B（1，0），C
中考数学专题复习——分类讨论(共23张PPT)
因为分类讨论是初中数学中常用的重
要思想方法之一，所以应用及其广泛，也
是中考试题中作为考查学生分析问题和
解决问题能力的常见题型。
浙江省城镇示范初中、衢州市名校——开化二中
1、A为数轴上表示-1的点，将点A沿数轴平移3个单位到B，则点B所
表示的实数为（
）D
A、2
B、2
C、-4
D、2或-4
2、在平面直角坐标系中，三点坐标分别是（0，0）（4，0）（3，2
浙P3江( 省,城0)镇示范初中、衢州市名校——开化二中
维的片面性；
QC
当实t质=4：秒是、根秒据、数学秒对时象，的⊙共P同和性⊙和Q相差外异切性，将其分为
一个与计算结果有关的结论；
A
B
P
浙江省城镇示范初中、衢州市名校——开化二中
6、如图,在矩形ABCD中,AB=20厘米,BC=4厘米,⊙P从点A开始沿折线 A—B—C—D以4厘米/秒的速度移动,⊙Q从点C开始沿CD以1厘米/秒 的速度移动,如果⊙P和⊙Q分别从点A、C同时出发,当其中一个圆心 到达D点时,另一圆也随之停止运动.设运动时间为t（秒）.
），以三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（
）
C
A 、第一象限 B 、第二象限
C 、第三象限 D 、第四象限
浙江省城镇示范初中、衢州市名校——开化二中
(-1,2)
(3,2)
(7,2)
(0,0)
(1,-2)
(4,0)
浙江省城镇示范初中、衢州市名校——开化二中
3、在直角坐标系中，O为坐标原点，已知 A（1，1），在x轴上
BF= 102 62 =8,
S△AEF=
1 2
×10×8=40(cm2)
要思想方法之一，所以应用及其广泛，也
是中考试题中作为考查学生分析问题和
解决问题能力的常见题型。
浙江省城镇示范初中、衢州市名校——开化二中
1、A为数轴上表示-1的点，将点A沿数轴平移3个单位到B，则点B所
表示的实数为（
）D
A、2
B、2
C、-4
D、2或-4
2、在平面直角坐标系中，三点坐标分别是（0，0）（4，0）（3，2
浙P3江( 省,城0)镇示范初中、衢州市名校——开化二中
维的片面性；
QC
当实t质=4：秒是、根秒据、数学秒对时象，的⊙共P同和性⊙和Q相差外异切性，将其分为
一个与计算结果有关的结论；
A
B
P
浙江省城镇示范初中、衢州市名校——开化二中
6、如图,在矩形ABCD中,AB=20厘米,BC=4厘米,⊙P从点A开始沿折线 A—B—C—D以4厘米/秒的速度移动,⊙Q从点C开始沿CD以1厘米/秒 的速度移动,如果⊙P和⊙Q分别从点A、C同时出发,当其中一个圆心 到达D点时,另一圆也随之停止运动.设运动时间为t（秒）.
），以三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（
）
C
A 、第一象限 B 、第二象限
C 、第三象限 D 、第四象限
浙江省城镇示范初中、衢州市名校——开化二中
(-1,2)
(3,2)
(7,2)
(0,0)
(1,-2)
(4,0)
浙江省城镇示范初中、衢州市名校——开化二中
3、在直角坐标系中，O为坐标原点，已知 A（1，1），在x轴上
BF= 102 62 =8,
S△AEF=
1 2
×10×8=40(cm2)
初中数学中考数学中考复习分类讨论法(图文详解)
（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
解：对于任何时刻t，AP=2t,DQ=t, QA=6－ｔ，当ＱＡ=AP时， △QAP为等腰直 角三角形， 即6－t=2t, 解得t=2（秒） A P B D Q C
初中数学中考数学
三.与相似三角形有关的分类
9.在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A出发向B以 2cm秒的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向A以1cm/秒的速度移动。如果P、 Q同时出发，用t秒表示移动的时间（0＜x＜6）那么：
C
B
O Q P
A
初中数学中考数学
3. 如图，直线AB经过圆O的圆心，与圆O交于A、B两点，点C在O上， 且∠AOC=300，点P是直线AB上的一个动点（与点O不重合），直线 PC与圆O相交于点Q，问点P在直线AB的什么位置时，QP=QO？这 样的点P有几个？并相应地求出∠OCP的度数。
C B O Q A
C
初中数学中考数学
10。已知二次函数ｙ＝２ｘ２－２的图像与ｘ轴交于Ａ、Ｂ两点（点 Ａ在点Ｂ的左边），与ｙ轴交于点Ｃ,直线ｘ＝ｍ（ｍ＞ １）与ｘ轴 交于点Ｄ。 （１）求Ａ、Ｂ、Ｃ三点的坐标； （２）在直线ｘ＝ｍ（ｍ ＞ １）上有一点Ｐ（点Ｐ在第一象限）， 使得以Ｐ、Ｄ、Ｂ为顶点的三角形与以Ｂ、Ｃ、Ｏ为顶点的三角形相 似，求点Ｐ的坐标。 ｙ
B
初中数学中考数学
解：对于任何时刻t，AP=2t,DQ=t, QA=6－ｔ，当ＱＡ=AP时，△QAP为等腰直 角三角形，即6－t=2t,解得t=2（秒） （2）在△QAC中，S= 1 QA· DC=1（ 6－t)· 12=36－６ｔ 2 2 在△APC中，S= 1 AP· BC=1·２ｔ· ６＝６ｔ D 2 2 QAPC的面积S=（３６－6t)+6t=36(cm2) Q 由计算结果发现：在P、Q两点移动的过程中， 四边形QAPC的面积始终保持不变。 P （3）根据题意，可分为两种情况来研究 QA AP 6 t 2t 在矩形ABCD中：①当 AB =BC 时，△QAP∽△ABC，则12 = 6 ， 6 解得t= 5 =1.2秒。所以当t=1.2秒时，△QAP∽△ABC。 QA AP 6 t 2t ②当 = AB 时，△PAQ∽△ABC，则 6 = 12 ， BC 解得t=3（秒）。所以当t=3秒时，△PAQ∽△ABC。 A B
解：对于任何时刻t，AP=2t,DQ=t, QA=6－ｔ，当ＱＡ=AP时， △QAP为等腰直 角三角形， 即6－t=2t, 解得t=2（秒） A P B D Q C
初中数学中考数学
三.与相似三角形有关的分类
9.在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A出发向B以 2cm秒的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向A以1cm/秒的速度移动。如果P、 Q同时出发，用t秒表示移动的时间（0＜x＜6）那么：
C
B
O Q P
A
初中数学中考数学
3. 如图，直线AB经过圆O的圆心，与圆O交于A、B两点，点C在O上， 且∠AOC=300，点P是直线AB上的一个动点（与点O不重合），直线 PC与圆O相交于点Q，问点P在直线AB的什么位置时，QP=QO？这 样的点P有几个？并相应地求出∠OCP的度数。
C B O Q A
C
初中数学中考数学
10。已知二次函数ｙ＝２ｘ２－２的图像与ｘ轴交于Ａ、Ｂ两点（点 Ａ在点Ｂ的左边），与ｙ轴交于点Ｃ,直线ｘ＝ｍ（ｍ＞ １）与ｘ轴 交于点Ｄ。 （１）求Ａ、Ｂ、Ｃ三点的坐标； （２）在直线ｘ＝ｍ（ｍ ＞ １）上有一点Ｐ（点Ｐ在第一象限）， 使得以Ｐ、Ｄ、Ｂ为顶点的三角形与以Ｂ、Ｃ、Ｏ为顶点的三角形相 似，求点Ｐ的坐标。 ｙ
B
初中数学中考数学
解：对于任何时刻t，AP=2t,DQ=t, QA=6－ｔ，当ＱＡ=AP时，△QAP为等腰直 角三角形，即6－t=2t,解得t=2（秒） （2）在△QAC中，S= 1 QA· DC=1（ 6－t)· 12=36－６ｔ 2 2 在△APC中，S= 1 AP· BC=1·２ｔ· ６＝６ｔ D 2 2 QAPC的面积S=（３６－6t)+6t=36(cm2) Q 由计算结果发现：在P、Q两点移动的过程中， 四边形QAPC的面积始终保持不变。 P （3）根据题意，可分为两种情况来研究 QA AP 6 t 2t 在矩形ABCD中：①当 AB =BC 时，△QAP∽△ABC，则12 = 6 ， 6 解得t= 5 =1.2秒。所以当t=1.2秒时，△QAP∽△ABC。 QA AP 6 t 2t ②当 = AB 时，△PAQ∽△ABC，则 6 = 12 ， BC 解得t=3（秒）。所以当t=3秒时，△PAQ∽△ABC。 A B
中考数学复习讲义课件 专题3 分类讨论思想
4．能使 6|k＋2|＝(k＋2)2 成立的 k 值为 －2，4或－8 . 5．(2021·自贡)当自变量－1≤x≤3 时，函数 y＝|x－k|(k 为常数)的最小值为 k＋3，则满足条件的 k 的值为 －2 .
6．函数 y＝|x－1|＋|2x－1|＋|3x－1|取最小值时，求实数 x 的取值范围． 解：当 x≥1 时，y＝x－1＋2x－1＋3x－1＝6x－3，x＝1 时，y 的最小值为 3； 当12≤x＜1 时，y＝1－x＋2x－1＋3x－1＝4x－1，x＝21时，y 的最小值为 1； 当13≤x＜12时，y＝1－x＋1－2x＋3x－1＝1，y 的最小值为 1； 当 x≤13时，y＝1－x＋1－2x＋1－3x＝－6x＋3，x＝13时，y 的最小值为 1. 故当函数取最小值时，实数 x 的取值范围是31≤x≤21.
④P4A 为以 A 为切点的⊙O 的切线． ∵∠1＝120°，OP1＝OA， ∴∠P1AO＝∠OP1A＝60°. ∴∠P4OA＝60°. 在 Rt△OP4A 中， AP4＝OA·tan∠P4OA＝3×tan60°＝3× 3＝3 3. 综上所述，当△APB 为直角三角形时，AP＝3 或 3 3或 3 7.
☞示例 1 若关于 x 的方程 kx2－(k＋1)x＋14(k－1)＝0 有解，则 k 的取值范 围是( C )
A．k≥－13且 k≠0
B．k＞－13且 k≠0
C．k≥－13
D．k＞－13
[解析] 当 k ＝0 时，原方程化为－x－14＝0，有解，符合题意；当 k≠0 时， 原方程为一元二次方程，要使方程有解，则(k＋1)2－4k·14(k－1)≥0，解得 k ≥－13.故选 C. [点评] 分一元一次方程和一元二次方程讨论．
用分类讨论解决问题的方法涉及的知识面多，所以要根据不同的对象进行 分类，或者对涉及的范围进行划分，然后对各类情况逐一讨论，最终解决 问题．可分为三个步骤：首先要确定分类对象，其次实施分类讨论(注意： 分类时要做到不重不漏)，最后归纳综合结论．
中考数学专题复习第2时分类讨论思想
解析：有三种符合条件的图形．如下图：
①∠COD＝140° ②∠COD＝140° ③∠COD＝40° ∴∠COD的度数为140°或40°.
14．如图，在直角梯形ABCD中，∠B＝90°、 AB＝7、BC＝3、AD＝2，点P为AB边上的一点，若 △PAD与△PBC相似．求AP的长．
解析：(注意△PAD 与△PBC 相似， △PAD∽△PBC 的区别和联系) ∵∠A＝∠B＝90°， ∴∠A 与∠B 是这两个三角形相似的对应角． (1)当△PAD∽△PBC 时，设 AP＝x， 则7－x x＝23.解得 x＝154. (2)当△PAD∽△CBP 时，则3x＝7－2 x.解得 x＝1 或 6. ∴AP 的长为 1 或154或 6.
15．已知⊙O中，半径r＝5 cm. AB、CD是两条平行 弦，且AB＝8 cm、CD＝6 cm.则AC的长为________．
解析：(注意：本题符合条件的图形有多种情 况)．由题意知有四种情形：
如图①、②，∵O 到 AB 的距离 OE＝ 52－822＝3 O 到 CD 的距离 OF＝ 52－622＝4. ∴EF＝3＋4＝7 或 EF＝4－3＝1. ∴AC＝ 72＋8－2 62＝5 2 或 AC＝ 12＋8－2 62＝ 2. 如图③、④，同理可得 AC＝7 2或 5 2. 故满足条件的 AC 的长为 2或 5 2或 7 2.
1．等腰三角形的一个角的度数为40°，那么此三角形
的另两个角的度数为( D )
A．40°，40° B．40°，100°
C．70°，70° D．40°，100°或70°，70°
2．若直线：y＝4x＋b不经过第二象限，那么b的取值
范围为( B )
A．b＞0 B．b≤0 C．b＝0 D．b＜0
3．如右图，数轴上有一点P，AP＝3.则点P所对应
①∠COD＝140° ②∠COD＝140° ③∠COD＝40° ∴∠COD的度数为140°或40°.
14．如图，在直角梯形ABCD中，∠B＝90°、 AB＝7、BC＝3、AD＝2，点P为AB边上的一点，若 △PAD与△PBC相似．求AP的长．
解析：(注意△PAD 与△PBC 相似， △PAD∽△PBC 的区别和联系) ∵∠A＝∠B＝90°， ∴∠A 与∠B 是这两个三角形相似的对应角． (1)当△PAD∽△PBC 时，设 AP＝x， 则7－x x＝23.解得 x＝154. (2)当△PAD∽△CBP 时，则3x＝7－2 x.解得 x＝1 或 6. ∴AP 的长为 1 或154或 6.
15．已知⊙O中，半径r＝5 cm. AB、CD是两条平行 弦，且AB＝8 cm、CD＝6 cm.则AC的长为________．
解析：(注意：本题符合条件的图形有多种情 况)．由题意知有四种情形：
如图①、②，∵O 到 AB 的距离 OE＝ 52－822＝3 O 到 CD 的距离 OF＝ 52－622＝4. ∴EF＝3＋4＝7 或 EF＝4－3＝1. ∴AC＝ 72＋8－2 62＝5 2 或 AC＝ 12＋8－2 62＝ 2. 如图③、④，同理可得 AC＝7 2或 5 2. 故满足条件的 AC 的长为 2或 5 2或 7 2.
1．等腰三角形的一个角的度数为40°，那么此三角形
的另两个角的度数为( D )
A．40°，40° B．40°，100°
C．70°，70° D．40°，100°或70°，70°
2．若直线：y＝4x＋b不经过第二象限，那么b的取值
范围为( B )
A．b＞0 B．b≤0 C．b＝0 D．b＜0
3．如右图，数轴上有一点P，AP＝3.则点P所对应
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分类的思想随处可见，既有概念的分类：如实数、 有理数、绝对值、点（直线、圆）与圆的位置关系 和两圆相切等概念的分类；又有解题方法上的分类， 如代数式中含有字母系数的方程、不等式；还有几 何中图形位置关系不确定的分类，等腰三角形的顶 角顶点不确定、相似三角形的对应关系不确定等。
zxxk
一.与概念有关的分类
一. 数学思想方法的三个层次:
数学一般方法
配方法、换元法、 待定系数法、判别 式法、割补法等
数学思想 和方法
逻辑学中的方 法(或思维方法)
数学思想方法
分析法、综合法、 归纳法、反证法等
函数和方程思想、分 类讨论思想、数形结 合思想、化归思想等
分类讨论思想
分类思想是根据数学本质属性的相同点和不 同点，将数学研究对象分为不同种类的一种 数学思想。分类以比较为基础，比较是分类 的前提，分类是比较的结果。
分类必须有一定的标准，标准不同分类的结 果也就不同。分类要做到不遗漏，不重复。 分类后，对每个类进行研究，使问题在各种 不同的情况下，分别得到各种结论，这就是 讨论。
分类讨论思想
分类讨论是对问题深入研究的思想方法，用分类讨 论的思想，有助于发现解题思路和掌握技能技巧， 做到举一反三，触类旁通。
2t =6
，
解得t=
6 5
=1.2秒。所以当t=1.2秒时，△QAP∽△ABC。
②当QBCA
=
AP AB
时，△PAQ∽△ABC，则
6
6
t
=122 t
，
解得t=3（秒）。所以当t=3秒时，△PAQ∽△ABC。
9。已知二次函数ｙ＝２ｘ２－２的图像与ｘ轴交于Ａ、Ｂ两点（点Ａ在点Ｂ的左 边），与ｙ轴交于点Ｃ直线ｘ＝ｍ（ｍ ＞ １）与ｘ轴交于点Ｄ。 （１）求Ａ、Ｂ、Ｃ三点的坐标； （２）在直线ｘ＝ｍ（ｍ ＞ １）上有一点Ｐ（点Ｐ在第一象限），使得以Ｐ、Ｄ、 Ｂ为顶点的三角形与以Ｂ、Ｃ、Ｏ为顶点的三角形相似，求点Ｐ的坐标。
B A
C
65° 65° 50°
BA C
C
110° 35°
35°
B
BA
50°
50°
B
3. 如图，直线AB经过圆O的圆心，与圆O交于A、B两点，点C
在O上，且∠AOC=30度，点P是直线AB上的一个动点（与点O
不重合），直线PC与圆O相交于点Q，问点P在直线AB的什么
位置时，QP=QO？这样的点P有几个？并相应地求出∠OCP的
Q C AP
（4）如图当Ｐ在ＯＢ的延长线上时，
∵∠OQC=∠OCQ=x,∴∠OQC=∠QPO+∠QOP,
∴∠QPO=
1 2
∠OQC=
1 2
x,
又∠COA=∠OCP+∠CPO, 解方程30=x+
1 x2 ,
得到x=20 即∠OCP=20度
Q P
B
C
O
A
4。在半径为1的圆O中，弦AB、AC的长 分别是 3 ，2
当a=0时,为一次函数y=3x+1,交点为（-
1 3
，0）；
当a不为0时,为二次函数y=ax2+(3-a)x+1, △ =a2 -10a+9=0. 解得a=1或 a=9,交点为（-1，0）或（13 ，0）
二.图形位置的分类
探索 题如1图:，线段OD的一个端点O在直线a上，以OD
为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线 a上，这样的等腰三角形能画多少个?
在△APC中，S=
1 2
AP·BC=12 ·２ｔ·６＝６ｔ
D
C
QAPC的面积S=（３６－6t)+6t=36(cm2)
Q
由计算结果发现：在P、Q两点移动的过程中，
四边形QAPC的面积始终保持不变。
A
P
B
（3）根据题意，可分为两种情况来研究
在矩形ABCD中：①当QAAB
AP =BC
时，△QAP∽△ABC，则612 t
C
提出一个与计算结果有关的结论；Q
（3）当t为何值时，以点Q、
A
A、P为顶点的三角形与ABC相似？
P
B
解：对于任何时刻t，AP=2t,DQ=t, QA=6－ｔ，当ＱＡ=AP时，△QAP为等腰直 角三角形，即6－t=2t,解得t=2（秒）
（2）在△QAC中，S=
1 2
QA·DC=12 （
6－t)·12=36－６ｔ
度数。
C
B
A
OP
解：∵OQ=OC，Q OQ=OP
∴∠OQC=∠OCQ，
∠QOP=∠QPO 设∠OCP=x度 , 则有：
（1）如上图， 当点P在线段OA上时， ∵∠OQC=∠OCP=x,
1
1
∴∠QPO2 =（180－∠OQ2 P）=（180－x)
1
又∠QPO=∠OCP+∠C2 OP，(180－x)=x+30,
1. 一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是
-3≤x≤ 6，，相应的函数值的取值范围是
-5≤y≤-2 ，则这个函数的解析式 。
-5=-3k+b
-5=6k+b
-2=6k+b
-2=-3k+b
解析式为
Y=
1 3
x-4,
或
y=-
1 3
x-3
2. 函数y=ax2-ax+3x+1与x轴只有一个交点，求a的值
与交点坐标。
Ｄ
150°
Ｈ
Ｏ
ＣＥ
Ｆa
探索题２:
在下图三角形的边上找出一点，使得该点与 三角形的两顶点构成等腰三角形！
A 110°
B 20°
50° C
（分类讨论）
1、对∠A进行讨论
A 110°
C
20°
20°
A C
20° 20°
A C
80°
20°
80°
A
B 20°
50° C
B 2、对∠B进行讨论
3、对∠C进行讨论
则∠BAC的度数是
。
C B
A
5。△ABC是半径为2cm的圆的
A
C
内接三角形，
若BC=2 3 cm,则角A的度数
是
。
B
C
B
C
6。在Ｒｔ△ABC中，∠C=90，AC=3，BC=4。若以AＣ为圆
心，Ｒ为半径的圆与斜边只有一个公共点，则R的值为多少？
AAB源自CBCB
C
A
7..半径为R的两个等圆外切，则半径为2R且和这两个圆都相切 的圆有几个？
三.与相似三角形有关的分类
8。在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB
边从点A出发向B以2cm秒的速度移动;点Q沿DA边从点D
开始向A以1cm/秒的速度移动。如果P、Q同时出发，用t 秒表示移动的时间（0＜x＜6）那么：
（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
（2）求四边形QAPC的面积； D
解得x=40, 即∠OCP=40度 （2）如果点P在线段OB上，显然有PQ＞OQ，所以点P不可能在 线段OB上。
（3）如图，当点Ｐ在的ＯＡ延长线上时，
∵∠OQC=∠OCQ=180－ｘ，
∴∠OPQ=
1 2
（180－x)=
1 2
x.
又∵∠QCO=∠CPO+∠COP，∴180－x=x+30,
B
O
解得x=100 即∠OCP=100度
zxxk
一.与概念有关的分类
一. 数学思想方法的三个层次:
数学一般方法
配方法、换元法、 待定系数法、判别 式法、割补法等
数学思想 和方法
逻辑学中的方 法(或思维方法)
数学思想方法
分析法、综合法、 归纳法、反证法等
函数和方程思想、分 类讨论思想、数形结 合思想、化归思想等
分类讨论思想
分类思想是根据数学本质属性的相同点和不 同点，将数学研究对象分为不同种类的一种 数学思想。分类以比较为基础，比较是分类 的前提，分类是比较的结果。
分类必须有一定的标准，标准不同分类的结 果也就不同。分类要做到不遗漏，不重复。 分类后，对每个类进行研究，使问题在各种 不同的情况下，分别得到各种结论，这就是 讨论。
分类讨论思想
分类讨论是对问题深入研究的思想方法，用分类讨 论的思想，有助于发现解题思路和掌握技能技巧， 做到举一反三，触类旁通。
2t =6
，
解得t=
6 5
=1.2秒。所以当t=1.2秒时，△QAP∽△ABC。
②当QBCA
=
AP AB
时，△PAQ∽△ABC，则
6
6
t
=122 t
，
解得t=3（秒）。所以当t=3秒时，△PAQ∽△ABC。
9。已知二次函数ｙ＝２ｘ２－２的图像与ｘ轴交于Ａ、Ｂ两点（点Ａ在点Ｂ的左 边），与ｙ轴交于点Ｃ直线ｘ＝ｍ（ｍ ＞ １）与ｘ轴交于点Ｄ。 （１）求Ａ、Ｂ、Ｃ三点的坐标； （２）在直线ｘ＝ｍ（ｍ ＞ １）上有一点Ｐ（点Ｐ在第一象限），使得以Ｐ、Ｄ、 Ｂ为顶点的三角形与以Ｂ、Ｃ、Ｏ为顶点的三角形相似，求点Ｐ的坐标。
B A
C
65° 65° 50°
BA C
C
110° 35°
35°
B
BA
50°
50°
B
3. 如图，直线AB经过圆O的圆心，与圆O交于A、B两点，点C
在O上，且∠AOC=30度，点P是直线AB上的一个动点（与点O
不重合），直线PC与圆O相交于点Q，问点P在直线AB的什么
位置时，QP=QO？这样的点P有几个？并相应地求出∠OCP的
Q C AP
（4）如图当Ｐ在ＯＢ的延长线上时，
∵∠OQC=∠OCQ=x,∴∠OQC=∠QPO+∠QOP,
∴∠QPO=
1 2
∠OQC=
1 2
x,
又∠COA=∠OCP+∠CPO, 解方程30=x+
1 x2 ,
得到x=20 即∠OCP=20度
Q P
B
C
O
A
4。在半径为1的圆O中，弦AB、AC的长 分别是 3 ，2
当a=0时,为一次函数y=3x+1,交点为（-
1 3
，0）；
当a不为0时,为二次函数y=ax2+(3-a)x+1, △ =a2 -10a+9=0. 解得a=1或 a=9,交点为（-1，0）或（13 ，0）
二.图形位置的分类
探索 题如1图:，线段OD的一个端点O在直线a上，以OD
为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线 a上，这样的等腰三角形能画多少个?
在△APC中，S=
1 2
AP·BC=12 ·２ｔ·６＝６ｔ
D
C
QAPC的面积S=（３６－6t)+6t=36(cm2)
Q
由计算结果发现：在P、Q两点移动的过程中，
四边形QAPC的面积始终保持不变。
A
P
B
（3）根据题意，可分为两种情况来研究
在矩形ABCD中：①当QAAB
AP =BC
时，△QAP∽△ABC，则612 t
C
提出一个与计算结果有关的结论；Q
（3）当t为何值时，以点Q、
A
A、P为顶点的三角形与ABC相似？
P
B
解：对于任何时刻t，AP=2t,DQ=t, QA=6－ｔ，当ＱＡ=AP时，△QAP为等腰直 角三角形，即6－t=2t,解得t=2（秒）
（2）在△QAC中，S=
1 2
QA·DC=12 （
6－t)·12=36－６ｔ
度数。
C
B
A
OP
解：∵OQ=OC，Q OQ=OP
∴∠OQC=∠OCQ，
∠QOP=∠QPO 设∠OCP=x度 , 则有：
（1）如上图， 当点P在线段OA上时， ∵∠OQC=∠OCP=x,
1
1
∴∠QPO2 =（180－∠OQ2 P）=（180－x)
1
又∠QPO=∠OCP+∠C2 OP，(180－x)=x+30,
1. 一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是
-3≤x≤ 6，，相应的函数值的取值范围是
-5≤y≤-2 ，则这个函数的解析式 。
-5=-3k+b
-5=6k+b
-2=6k+b
-2=-3k+b
解析式为
Y=
1 3
x-4,
或
y=-
1 3
x-3
2. 函数y=ax2-ax+3x+1与x轴只有一个交点，求a的值
与交点坐标。
Ｄ
150°
Ｈ
Ｏ
ＣＥ
Ｆa
探索题２:
在下图三角形的边上找出一点，使得该点与 三角形的两顶点构成等腰三角形！
A 110°
B 20°
50° C
（分类讨论）
1、对∠A进行讨论
A 110°
C
20°
20°
A C
20° 20°
A C
80°
20°
80°
A
B 20°
50° C
B 2、对∠B进行讨论
3、对∠C进行讨论
则∠BAC的度数是
。
C B
A
5。△ABC是半径为2cm的圆的
A
C
内接三角形，
若BC=2 3 cm,则角A的度数
是
。
B
C
B
C
6。在Ｒｔ△ABC中，∠C=90，AC=3，BC=4。若以AＣ为圆
心，Ｒ为半径的圆与斜边只有一个公共点，则R的值为多少？
AAB源自CBCB
C
A
7..半径为R的两个等圆外切，则半径为2R且和这两个圆都相切 的圆有几个？
三.与相似三角形有关的分类
8。在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB
边从点A出发向B以2cm秒的速度移动;点Q沿DA边从点D
开始向A以1cm/秒的速度移动。如果P、Q同时出发，用t 秒表示移动的时间（0＜x＜6）那么：
（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
（2）求四边形QAPC的面积； D
解得x=40, 即∠OCP=40度 （2）如果点P在线段OB上，显然有PQ＞OQ，所以点P不可能在 线段OB上。
（3）如图，当点Ｐ在的ＯＡ延长线上时，
∵∠OQC=∠OCQ=180－ｘ，
∴∠OPQ=
1 2
（180－x)=
1 2
x.
又∵∠QCO=∠CPO+∠COP，∴180－x=x+30,
B
O
解得x=100 即∠OCP=100度