大连理工研究生连续介质力学作业题
大连理工研究生连续介质力学作业题
f = xT Ax ， grad（f ）= ∂x T Ax = 2Ax ∂x
f ′ = (RT x′)T ART x′ = x′T RART x′
grad(f' ) = ∂x′TRART x′ = 2RART x′ ∂x′
= 2RA(RT x′) = 2RAx = R ⋅ 2Ax = R ⋅ grad(f)
（3） a1 = p, a 2 = q, a3 = r
⎡2 0 1⎤ 由[gij ] = ⎢⎢0 4 2⎥⎥
⎢⎣1 2 2⎥⎦ 及 ai = gij a j 得 a1 = 2 p+ r, a2 = 4 q+ 2 r, a3 = p+ 2 q+ 2 r
1
2. 已知笛卡尔坐标系 e1 , e3 , e3 ，一个新的坐标系定义为
2 3
x2'
+
2 3
x2'
−
4 3
x2'
+
2 3 x3' 4 3 x3' 2 3 x3'
⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎭
= grad（f ′）
3
3.
二维情况下，一质点应力张量 σ 主值 λ1σ = 1.6 ， λσ2 = 2.3 。主方向 N1 =
3 2
e1
−
1 2
e2
，
N2
=
1 2 e1
+
3 2
e
（2） 求向量 x 参考新坐标系的表示形式 x = xi′ ei′ （3） 求函数 f 在新的坐标系下的表达形式 f ′(x1′ , x2′ , x3′ ) （4） 判断 grad（f ）的客观性。
¾ 解答：
（1） grad（f ）＝ (2 x1 , 0, − 2 x3 )T
张量分析——精选推荐
《连续介质力学》例题和习题第一张、矢量和张量分析第一节 矢量与张量代数一、 矢量代数令 11223A A A =++A e e e 112233B B B =++B e e e 则有 11223A A A αααα=++A e e e 11122233()()()A B A B A B +=+++++A B e ee 1122331122331122()()A A A B B B A B A B A B ∙=++∙++=++A B e e e e e e112233112233111112121313212122222323313132323333()() A A A B B B A B A B A B A B A B A B A B A B A B ⨯=++⨯++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯A B e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e 又因为 11⨯=e e 0 123⨯=e e e 132⨯=-e e e 213⨯=-e e e 22⨯=e e 0 231⨯=e e e 312⨯=e e e 321⨯=-e e e 33⨯=e e 0则 2332131132122(_)()()A B A B A B A B A B A B⨯=+-+-A B e e e习题1、证明下列恒等式：1）[]2()()()()⨯∙⨯⨯⨯=∙⨯A B B C C A A B C2) [][]()()()()⨯∙⨯=∙⨯-∙⨯A B C D A C D B B C D A2、请判断下列矢量是否线性无关？1232=-+A e e e 23=--B e e 12=-+C e e .其中i e 单位为正交的基矢量。
*补充知识：矩阵及矩阵运算1、定义：[]()111213212223313233,1,2,3ij A A A A A A A i j A AA ⎡⎤⎢⎥⎡⎤===⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦A i 表示行，j 表示列；m 和n 相等表示为方阵，称为m （或n ）阶矩阵。
连续介质力学作业必做题
连续介质力学作业必做题以下各题中，取物质坐标系}{A X 和空间坐标系}{i x 为同一个直角坐标系，其单位基向量为),,(321e e e 。
2-1 如果物体在运动过程中保持任意两点间的距离不变，则称这样的运动为刚体运动，试证：物体的运动若为刚体运动，则参考构形中的物质点X 变换到当前构形中的空间位置x 时，必满足：)()()(t a A X t Q x +-⋅=，其中)(t Q 为正常正交仿射量。
2-2 现取物质坐标系}{A X 和空间坐标系}{i x 为同一个直角坐标系，其单位基向量为),,(321e e e ，有一物体的变形为：33222011,,X x X x X k X x ==+=，试写出以下各量：1）变形梯度张量F 和变形梯度张量之逆1-F ；2）右，左Cauchy-Green 张量B C ,；并计算C 和B 的三个主不变量；2-4 现取空间坐标系}{i x 为直角坐标系，其单位基向量为),,(321e e e ，有一物体的小变形位移场为3212323213131))(())((e x x e x x x x e x x x x u -+++--=，试求：（1）P （0，2，-1）点的小应变张量e ，小转动张量Ω 及其反偶矢量ω ；（2）求P 点在9/)48(321e e e +-=ν方向上的线应变；（3）求P 点在9/)48(321e e e +-=ν和9/)744(321e e e -+=μ二方向上的直角的变化量。
2-6 取物质坐标系}{A X 和空间坐标系}{i x 为同一个直角坐标系，其单位基向量为),,(321e e e ，有一物体的运动为：11X x =，2/)(2/)(32322X X e X X e x t t -++=-，2/)(2/)(32323X X e X X e x t t --+=-，试求物质和空间速度分量。
2-12 在习题2-2给出的简单剪切变形中，如果)(00t k k =是时间t 的函数，试写出相应的速度梯度L ，变形率张量D 和物质旋率W 的表达式。
连续介质力学第三次作业习题和解答
[
]
[
]
在流入面： v1 = −v1 * n1 ，在流出面： v2 = v2 * n1
2、给定速度场 v1 = ax1 + bx2 ， v2 = ax2 + bx1 ， v3 =
x1 + x2 ， ρ 0 = ρ * e −2 at 。其中 a，
2 2
b，c，ρ为常数 求：是否满足质量守恒方程 解答： 质量守恒方程：
∫ [t − ρ * v(v • n )]dS
S1
C
=
S1 + S 2 + S 3 + S 4
∫ [t − ρ * v(v • n)]dS ∫ [− p n
2 S3
C
= =
∫ [t − ρ * v(v • n )]dS + ∫ [t − ρ * v(v • n )]dS + ∫ [t − ρ * v(v • n )]dS + ∫ [t − ρ * v(v • n )]dS
(
)
3、
Ω • r = w× r
w × r = eijk w j rk ei
•
Ω • r = Ωim rm ei
所以
• •
•
•
eijk w j rk = Ωim rm
eijk w j = Ωik
⎡ 0 Ω=⎢ ⎢ w3 ⎢ ⎣− w2
•
− w3 0 w1
w2 ⎤ − w1 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎦
4、
L = ∫ ρ * r × vdv = ∫ ρ * r × (w × r )dv = ∫ ρ [w(r • r ) − r (r • w)]dv = ∫ ρ [(r • r ) − (r ⊗ r )]dv • w
连续介质力学-例题与习题
《连续介质力学》例题和习题第一章 矢量和张量分析第一节 矢量与张量代数一、矢量代数令112233A A A =++A e e e ,112233B B B =++B e e e ,则有112233A A A αααα=++A e e e111222333()()()A B A B A B +=+++++A B e e e112233112233112233()()A A A B B B A B A B A B •=++•++=++A B e e e e e e112233112233111112121313212122222323313132323333()() A A A B B B A B A B A B A B A B A B A B A B A B ⨯=++⨯++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯A B e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e又因为: 11⨯=e e 0;123⨯=e e e ;132⨯=-e e e ;213⨯=-e e e ;22⨯=e e 0;231⨯=e e e ; 312⨯=e e e ;321⨯=-e e e ;33⨯=e e 0则: 233213113212213(_)()()A B A B A B A B A B A B ⨯=+-+-A B e e e 习题:1、证明下列恒等式：1）[]2()()()()⨯•⨯⨯⨯=•⨯A B B C C A A B C2) [][]()()()()⨯•⨯=•⨯-•⨯A B C D A C D B B C D A2、请判断下列矢量是否线性无关？1232=-+A e e e 23=--B e e 12=-+C e e .其中i e 为单位正交基矢量。
3、试判断[]816549782-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A 是否有逆矩阵；如有，请求出其逆阵[]1-A 。
二、张量代数例1：令T 是一个张量，其使得矢量a ，b 经其变换后变为2=+Ta a b ，=-Tb a b ，假定一个矢量2=+c a b ，求Tc 。
大连理工大学2007年硕士研究生入学考试材料力学
大连理工大学2007年硕士研究生入学考试《材料力学》一.求图示连续梁的支座反力,并作剪力图和弯矩图二.已知一两端固定梁受轴向均布荷载大小q的作用,梁的线膨胀系数为■求当温度下降△t 时两端的支座反力。
三.T型截面梁如图所示,在线弹性阶段中弯曲中性轴Z的位置在哪里?当出现塑性弯矩时,中性轴Z又在哪里?并求塑性弯矩Ms和极限弯矩Mu之比四.一折杆ABC如图所示,在距C端高h处重量为Q的物体以初速度■下落,已知梁的抗弯刚度为EI,抗弯截面系数为W截的抗扭刚度为GI，试求折杆的动荷系数和最大正应力。
五.如图所示,悬臂梁AB在B端受集中力F作用,梁的截面如图①,②两种情况，试比较①,②情况下柳钉所承受的剪力?其强度是否一样?六.如图所示,梁受均布荷载q 作用,梁的抗弯刚度EI 是常量且q 和I 已知。
从强度考虑为了能使梁的受力最合理,试求支座A 应上移的距离△。
七.简答题1.已知用直角应变花测得6104000-⨯=︒ε,61010045-⨯-=︒ε，61020090-⨯-=︒ε试用作圆法,既作这一点的应变圆,并求出主应变的大小,要求写清作图步骤。
2.作如下截面的截面核心的大致形状,定性画出形心主轴位置,并定性画出1，2中性轴所对应的力的作用点的大致位置。
3.已知一简支梁的弯矩图如下所示,试作出梁的荷载图以及剪力图,并定性画出挠曲线的大致形状(注意图中曲线为抛物线)。
4.两块钢板利用相同材料的两块盖板和是个柳钉连接,如图所示,已知钢材的[]MPa 120=τ,[]MPa 300=■，[]MPa 160=σ，试校核该接头的强度(单位:mm ）。
5.如图所示,AB 段为圆截面杆,直径为d,BC 段为正方形截面杆,边长为a,两杆的弹性模量■相同，试求合理的da 。
6.空间一点的应力状态如下图所示,求第三与四强度的相当应力3rσ和4rσ。
大连理工大学2008年硕士研究生入学考试《材料力学》一.简答题1.一空心圆截面铝轴,外径D=100mm,内径d=90mm,L=1m,G=80GPa,轴两端作用扭转力偶M ，MPa 70max =τ,求:(1)两端面的相对扭转角;（2）在相同的应力条件下实心轴的直径。
连续介质力学作业(第二章)习题和答案
连续介质力学作业（第二章）参考答案1、初始构型和当前构型的转换关系：21122X X x +=，21222X X x +=，33X x = 其中()321,,X X X 为一个物质点在初始构型上的坐标，()321,,x x x 为同一个物质点在当前构型上的坐标。
参考基是~3~2~1,,e e e 标准正交基求：（1）变形梯度F（2）右Cauchy-Green 变形张量C （3）Green 变形张量E（4）初始构型上一向量~33~22~11~e X e X e X X ++=，变形后在当前构型上是~x ，证明~~~~X C X x x ••=•和()~~~~~~2X E X X X x x ••=•−•（5）左Cauchy-Green 变形张量b （6）Almansi 变形张量A解答：（1）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛3213211001220221X X X x x x （2）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=•=100232022310012202211001220221TTF F C（3）()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=−=000041220224121I C E （4）~33~221~121~2222e X e X X e X X x +⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=[]~~3213212321222123221221~~100023202232223232222XC X X X X X X X X X X X X X X X X X x x ••=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+++=+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=• []()~~321321212221~~~~210002120221222121XE X X X X X X X X X X X X X x x ••=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=++=•−• （5）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1001220221F ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡•⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=•=1000232022310012202211001220221TTF F b（6）()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=−=−10005.2220225.2211b I A2、一个连续体内的任意一点，初始时刻坐标为()Y X ,，经过t 时刻后，变为()y x ,，其中：atY X x +=，Y y = ，其中a 是常数。
大连理工大学材料力学考研模拟题与答案.
围内，则轴的最大扭转切应力为16M / ( d 3) ，在 BC 段。
二、选择一个正确的答案（每小题 5 分，共 20 分） 1、C 2、B 3、B 4、C
三、悬臂梁长 2l，自由端作用向下集中力 F 和力偶矩 Fl。画出梁的剪力弯矩图，并画出梁变 形时挠曲轴的定性形状。
解： 剪力图
弯矩图
题三 2 图
五、一变厚度薄壁圆管如图所示，在两端承受扭力偶矩 M 作用。已知管长为 l ，平均半径 为 R0 ，最小壁厚为 1 ，最大壁厚为 2 ，壁厚 随（ 0 ）呈线性变化（上下对称）， 管材料的切变模量为 G 。求方位角为 处的扭转切应力 ( ) 与圆管两端相对转角 。（15
大连理工大学
2011 年硕士研究生入学考试模拟试题（一）
科目代码：
816
科目名称： 材料力学
（评分参考卷）
所有答案必须做在答案题纸上 ，做在试题纸上无效！
一、填空（每题 5 分，共 20 分） 1、杆 1、2 和 3 的横截面积及长度均相等，其材料的应力应变曲线如图所示。则 2 强度 最高， 1 刚度最大， 3 塑性最好。
，在
段。
二、选择一个正确的答案（每小题 5 分，共 20 分）
1、广义胡克定律的适用范围是
。
A．脆性材料 B．塑性材料 C．材料为各向同性且处于线弹性范围内 D．任何材料
2、下述说法正确的是
。
A．图（a）所示单元体最大正应力作用面是图（b）中阴影面
B．图（a）所示单元体最大正应力作用面是图（c）中阴影面
（1）从测量精度考虑，贴应变片 A 的测量方案和贴应变片 B 的测量方案哪个更好？
（2）已测得应变片 B 的应变
，计算 的值。
连续介质力学作业(第一章)答案
连续介质力学作业（第一章）习题1. 向量~~~~k z j y i x a ++=。
~i ，~j ，~k 表示三维空间中标准正交基。
给定一组协变基~~12i g =，~~~2j i g +=，~~~3k j g +=。
（1）求逆变基1g ，2g ，3g 。
（2）求ij g（3）向量~a 参考逆变基~1g ，~2g ，~3g 表示时，~~i i g a a =，求i a 。
（1）[]222~~~~~~~~~3~2~1= +•= +• +×=• ×=k j k k j j i i g g g g+−=+× += ×=~~~~~~~~3~2~121211i j k k j j i g g g g~~~~~~1~3~22211j k i k j g g g g +−= × += ×=~~~~~2~1~32211k j i i g g gg =+×= ×=(2) g ij =gg ii ⋅gg jj �g ij �=�3/4−11/2−12−11/2−11�(3)a i =aa ⋅gg ii a 1=2x,a 2=x +y,a 3=y +z2. 已知笛卡尔坐标系331e e e ,,，一个新的坐标系定义为−−−= ′′′32132161312161312162310e e e e e e 向量321e e e x 321x x x ++=，给定函数2321x x )f(−=x 。
（1） 求函数f 的梯度）（f grad（2） 求向量x 参考新坐标系的表示形式i ′′=e x i x（3） 求函数f 在新的坐标系下的表达形式),,(321′′′′x x x f （4） 判断）（f grad 的客观性。
3. 二维情况下，一质点应力张量σ主值6.11=σλ，3.22=σλ。
主方向2112123e e N −=，2122321e e N +=。
2011年连续介质力学试题
2010—2011学年第 3学期连续介质力学课程期末考试试卷(A卷）2010—2011学年第 3学期连续介质力学课程期末考试试卷（A卷）O Ox x y y2010—2011学年第 3学期连续介质力学课程期末考试试卷（A卷）2010—2011学年第 3学期连续介质力学课程期末考试试卷（A卷）答案及评分标准2010—2011学年第 3学期连续介质力学课程期末考试试卷（A卷）答案及评分标准2、axy y x 622=∂∂=φσ22212ax xy =∂∂=φσ 223ay yx xy-=∂∂∂-=φτ（3分）3ah 23ah 23al 23alh3ah 2xy（4分）五、证明题（本大题25分）1、证明：假想从物体内任意点P 取出一个微分四面体元PABC ，如图。
斜截面ABC 离开O 点一微小距离 h ，它的外法线为 n 。
（2分）设已知作用于截面 PBC ，PAC ，PAB 上的合应力矢量分别为T 1，T 2，T 3，于是，作用于与坐标轴X i 垂直的面元上的合应力矢量i T 可由沿坐标轴方向的分量表示为j ij ie T σ=。
（3分）设面元 ABC 的面积为 dA ，则其余与轴 x j 垂直的各截面的面积为()dA n n x dA dA j j j ==,cos ，这里的n j 是斜截面ABC 的外法线n 的方向余弦。
（2分）根据应力连续性的假设，应力矢量在物体内是连续变化的，作用在截面ABC 上的应力分量的合力为dA T i n；同理作用在PBC ，PCA 与PAB 等截面上的应力分量的合力为dA n j ij σ-，前取负号是因为dA j 的外法线与X j 轴的正方向相反；体力F 的分量为F i hdA/3，其中hdA/3是四面体的体积。
（3分）至此，可以列出四面体的平衡方程：2010—2011学年第 3学期连续介质力学课程期末考试试卷（A卷）答案及评分标准。
连续介质力学习题一
1 / 1 连续介质力学习题一一、张量复习1-1 已知k j i ,,为直角坐标系的基矢量，某斜角坐标系的协变基矢为j i g k i g k j g +=+=+=321,,，（1）求逆变基矢321,,g g g （用k j i ,.,表示）；（2）求度量张量ij g ；（3）验证公式i ij j g g g =；（4）有两个矢量：,32321g g g u -+=321g g g v +-=，求v u ,的协变分量i i v u ,及两矢量点积v u ⋅。
1-2 球坐标系，令ϕθ===321,,x x R x ，求该坐标系的2,,,,ds g g g g ij ij j i 。
1-3 设有一抛物柱面坐标系(由两族抛物柱面及平面构成),令ςηξ===321,,x x x ，若已知抛物柱面坐标系与直角坐标系的关系为：ςξηξη-==-=z y x ,),(2122，设 321,,i i i 为直角坐标系的基矢量，试求抛物柱面坐标系的协变基矢和逆变基矢及度量张量(用直角坐标系的基矢量表示)。
1-4 设T 为二阶对称张量，S 为二阶反对称张量，u 为任意矢量，试证明：（1）u T T u ⋅=⋅；（2）u S S u ⋅-=⋅。
1-5 设T 为二阶对称张量，设S 为二阶反对称张量，求证：0:=S T 。
1-6 设S T ,为任意二阶张量，**,S T 为它们的转置，求证：*:**:*::T S S T T S S T ===。
1-7 证明：（1）*)(*)(11--=T T ；（2）对称张量的逆也对称；（3）111)(---⋅=⋅A B B A 。
1-8 设)(),(x v x u 为光滑矢量场，试证：（1）v u v u v u ⋅∇⨯-∇⨯⋅=∇⋅⨯)()()( ；（2）v u v u v u v u v u )()()()()(∇⋅-⋅∇+∇⋅-⋅∇=⨯⨯∇ 。
1-9 证明：对二阶对称张量N ，有N N ⋅∇=∇⋅。
连续介质力学作业
6
k z
k
r
r
r
j j
i
i
设柱坐标对应 x r , , z ，球坐标对应 X R, , ，则有对应关系：
r R sin z R cos
Jacobi 矩阵为：
sin 0 R cos x xi 1 0 0 X X j cos 0 R sin
这些参数在前面题目中均已求出，不再冗述。 2.13 证明单位张量 I g j gi g gi g g j gij g g g gi g j 。
i j j i i j ij
证明：
I gi g i gij g j g i gij g j g i gij g i g j gi g ij g j g ij gi g j gij g j g il gl gij g il g j gl l j g j gl g i gi
div v v i xi vi xi
vi vi xi xi
divv v
div u v div e u j vk ei
ijk
eijk u j vk xi vk xi vk xi
2 于是， C 的谱表示为： C L L ，其中 L L1 T
L2
2 L3 , L 为对应于 的
12 2 特征向量，
2 2
2 3
定义与之对应的唯一对称正定张量 U ，谱表示为：
Tu Tv Tw u v w
大连理工大学连续介质力学作业(第一章)
连续介质力学作业-----1
1.给定一组协变基矢量
(1)求逆变基
(2)求
(3)在上述协变基下，若的逆变分量为，求的协变分量解：
(1)
(2)
(3)
2.已知笛卡尔坐标系，一个新的坐标系定义为：
向量，给定函数
(1)求函数的梯度
(2)求向量参考新坐标系的表示形式
(3)求函数在新坐标系下的表达形式
(4)判断的客观性
解：
(1)
(2)
(3)
(4)
其中，故具有张量的客观性。
(#)
3.二维情况下，一质点应力张量主值。
主方向，。
应变张量主值，主方向与应力张量相同。
为平面直
角坐标系的单位基矢量。
(1)以,为基，计算该质点处应变能密度
(2)求,使得
(3)求,使得
(4)以为基，计算该质点处的应变能密度
(5)计算的球应力张量和偏应力张量，并计算偏应力张量的主值和方向解：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
4. 是二阶张量，证明：
证明：
将张量按照标准正交基分解有：
(#)
5(1) 如果二阶张量是反对称张量，对于任意一阶张量，证明
(2) 是二阶反对称张量，是二阶对称张量，证明
证明：
(1)
故对于任意，均有
(2)。
大连理工大学材料力学考研模拟题与答案
大连理工大学
题三 5 图 如果杆底面与顶面温度分别升高 八、 图示矩形截面等直杆， 常温时安装在支座上 常温时安装在支座上。 且 别为 与 与 ， 所有答案必须做在答案题纸上 所有答案必须做在答案题纸上，做在试题纸上无效！ 并沿截面高度线性变化 并沿截面高度线性变化，试用能量法求截面 B 的转角。设横截面的高度与宽度分 设横截面的高度与宽度分 ，材料的线膨胀系数为 材料的线膨胀系数为 。（15 分） 一、填空（每题 5 分，共 20 分） 材料内部各点的 1、均匀性假设认为，材料内部各点的
题三 4 图
题三 1 图 七、图示均质等截面直梁 AB，由高 H 处水平自由坠落在刚性支座 D 上，梁仍处于弹性变性 阶段。梁长为 2l ，梁单位长重量为 q ，梁抗弯刚度为 EI 。求梁的最大弯矩。 （15 分） 四、AB 段为实心圆截面，直径 100 mm ，BC 段为实心圆截面，直径 200 mm ，CD 段为空心 圆截面，外径 200 mm ，内径 100 mm ，所受外力偶如图中所示。各杆材料容许剪应力
大连理工大学
2011 年硕士研究生入学考试模拟试题（二）
科目代码：
816
科目名称： 材料力学
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一、填空（每题 5 分，共 20 分） 1、图示直径 d 2cm 的圆轴受扭矩 T ，测得与轴线成 45 方向的线应变 45 520 10 ，
6
题一 2 图 3、根据圆轴扭转的平面假设，可以认为圆轴扭转时其横截面 。 A．形状尺寸不变，直径仍为直线 B．形状尺寸改变，直径仍为直线 C．形状尺寸不变，直径不保持直线 D．形状尺寸改变，直径不保持直线 4、等截面直杆承受拉力 N 作用，拟选用三种不同的截面形状：圆形、正方形、空心圆，若 以材料用量最省为标准，则应选用 。 A．正方形截面 B．圆形截面 C．空心圆截面 D．三者用料相同
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2 3
x2'
+
2 3
x2'
−
4 3
x2'
+
2 3 x3' 4 3 x3' 2 3 x3'
⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎭
= grad（f ′）
3
3.
二维情况下，一质点应力张量 σ 主值 λ1σ = 1.6 ， λσ2 = 2.3 。主方向 N1 =
3 2
e1
−
1 2
e2
，
N2
=
1 2 e1
+
3 2
e
2
。应变张量
ε
主值
λ1ε
= 1，λε2
= 2 ，主方向与应力张量相同。e1,
e2 为
平面直角坐标系的单位基矢量。
a) 以 N1 ， N2 为基，计算该质点处应变能密度 W
b) 求 σij ，使得 σ = σij ei ⊗ e j
c) 求 ε ij ，使得 ε = εij ei ⊗ e j
d) 以 e1, e2 为基，计算该质点处应变能密度 W e) 计算 σ 的球应力张量和偏应力张量，并计算偏应力张量的主值和主方向。
（3）Green 变形张量 E
（4）初始构型上一向量 X ~
=
X 1 e1 +
~
X2
e2 +
~
X 3 e3
~
，变形后在当前构型上是 x ，证明 ~
( ) x• x = X • C • X 和 x• x− X • X = X • 2E • X
~~ ~
~
~~ ~ ~
~
~
（5）左 Cauchy-Green 变形张量 b
⎫ ⎪ ⎬ ⎪⎭
⎥
3 6⎦
⎡ ⎢0
⎢ = ⎢⎢−
1 2
⎢1
⎢
⎣2
1
3 1
3 1
3
− −
2
6 1
6 1
6
⎤ ⎥⎧ ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎪⎪⎩⎪⎪⎨
2 2
(−
x2'
+
0
−
2 6
(2
x1'
−
x2'
) x3'
− x3'
⎫ ⎪ ⎪ ⎬
)⎪⎪⎭
=
⎧ ⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪
−4
3 2
3
x1' x1'
+ +
⎪ ⎪⎩
2 3
x1'
−
（3） a1 = p, a 2 = q, a3 = r
⎡2 0 1⎤ 由[gij ] = ⎢⎢0 4 2⎥⎥
⎢⎣1 2 2⎥⎦ 及 ai = gij a j 得 a1 = 2 p+ r, a2 = 4 q+ 2 r, a3 = p+ 2 q+ 2 r
1
2. 已知笛卡尔坐标系 e1 , e3 , e3 ，一个新的坐标系定义为
1 6
(2
x1'
−
x2'
−
x3'
)⎟⎟⎠⎞
2
（4）
=
−
2 3
x1'
2
+
2 3
x1'
x2'
+
1 3
x2'
2
+
2 3
x1'
x3'
−
4 3
x2'
x3'
+
1 3
x3'
2
验证 grad(f' ) = R ⋅ grad(f)，即证明 grad（f ）是客观性的。
途径一：
记 A = Diag(1,0,−1) ，则
1
−
1
⎥ ⎥
3
6⎦
⎡
⎢0
即
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩
x1 x2 x3
⎫ ⎪ ⎬ ⎪⎭
=
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
13Βιβλιοθήκη 2⎢⎣6−1 2
1
3 −1
6
1⎤
⎧
−
2 1
3 1
6
⎥
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩
x1' x2' x3'
⎥
⎦
⎫ ⎪ ⎬ ⎪⎭
=
⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎩
1 2
(−
x2'
+
x3'
)
( 1
3
x1' + x2' + x3'
记
R
=
⎡ cosθ ⎢⎣− sinθ
⎡3
sinθ cosθ
⎤ ⎥ ⎦
=
⎢ ⎢
2
⎢⎢⎣−
1 2
1⎤
⎥
2 ⎥， 3⎥
因 RT σg R
= σl
2 ⎥⎦
⎡3
所以 σ g
=
Rσl RT
=
⎢ ⎢
2
⎢⎢⎣−
1 2
1⎤
2 3
⎥⎥⎥ ⎢⎣⎡10.6
2 ⎥⎦
⎡3
0⎤ 2.3⎥⎦
⎢ ⎢ ⎢
2 1
⎢⎣ 2
−
1
2 3
⎤ ⎥ ⎥ ⎥
A :S
=
S ij
gi g j
:
Amn
gmgn
=
S
ij
Amn
δim δ
n j
=
S ij Aij
S ij Aij
=
−S
A ji ij
=
−S
A ji ji
=
− S ij Aij
所以 S ij Aij = 0
6
连续介质力学作业（第二章）参考答案
1、初始构型和当前构型的转换关系：
x1 = X 1 +
2 2
¾ 解答：
（1） g = (g1 × g2 )⋅ g3 = 2
g1 =
1 g
(g 2
× g3 ) =
(0,0,1)T
g2 =
1 g
(g 3
×
g1 )
=
(0.5,-0.5,
0.5) T
g3 =
1 g
(g1
×g2
)
=
(0, 1,
-1)T
（2） g ij = gi ⋅ g j ⎡ 1 1/ 2 −1⎤
[g ij ] = ⎢⎢1 / 2 3 / 4 −1⎥⎥ ⎢⎣ −1 −1 2 ⎥⎦
−
1 2
e
2
，
N
2
=
1 2 e1
+
3 2 e2
在主空间中，球应力张量 p ，偏应力张量 τ 可表示为
p
=
tr( σ 2
) NiNi
= 1.95NiNi ,
i=1~ 2
τ = σ − p = −0.35N1N1 + 0.35N2N2
4. A, B 是二阶张量，证明： A : B = tr(AT ⋅ B) = tr(A ⋅ BT ) = tr(B ⋅ AT ) = tr(BT ⋅ A)
⎡
⎢0
⎡ e1′ ⎢⎢e2′ ⎢⎣e3′
⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦
=
⎢ ⎢⎢− ⎢ ⎢
1
2 1
⎣2
1 2⎤
3 1
3 1
− −
6 1
6 1
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎡ e1 ⎢⎢e2 ⎢⎣e3
⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦
3
6⎦
向量 x = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 ，给定函数 f( x ) = x12 − x32 。 （1） 求函数 f 的梯度 grad（f ）
)
⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪
1 6
(2
x1'
−
x2'
−
x3'
)⎪⎪⎭
2
f( x ) = x12 − x32
= ⎜⎛ ⎝
1 2
(−
x2'
+
x3'
)⎟⎞2
⎠
−
⎜⎜⎝⎛
1 6
(2
x1'
−
x2'
−
x3'
)⎟⎟⎠⎞2
( 即 f ' x1' ,
x2' ,
x3'
)
=
⎜⎛ ⎝
1 2
(−
x2'
+
x3'
)⎟⎞2
⎠
−
⎜⎜⎝⎛
( ) = 1 2
S ij − S ji
xm
xn
δim
δ
n j
=
1 2
S ij xi x j
−
1 2
S
ji xi x j
=
1 2
S ij xi x j
−
1 2
S
ji x j xi
=
1 2
S ij xi x j
−
1 2
S ij xi x j
=0
（2） S = S ij gi g j ， A = Amn g m g n ，
⎢ ⎢ ⎢
2
2 0
⎥⎢
⎥⎦ ⎢⎣
2 2 1 0
⎤ 0⎥
⎥ 0⎥⎥ 1⎥
⎥ ⎥⎦
=
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
3 2 2 0
2 0⎥⎤
3
⎥ 0⎥
2⎥
0 1⎥
⎥⎦
⎡1
⎢ ⎢