大连理工研究生连续介质力学作业题

¾ 解答：
（1） x = xm g m
因为二阶张量 S 是反对称张量
( ) S = 1 2
S ij − S ji
gi g j
5
( ) x
⋅
S
⋅
x
=
xm
gm
⋅
1 2
S ij − S ji
gi g j ⋅ xn g n
( ) = 1 2
S ij − S ji
xm xn gm ⋅ gi g j ⋅ gn
⎢ ⎢ ⎢
2
2 0
⎢
⎢⎣
2 2
⎤ 0⎥
⎥
1 0⎥⎥
0 1⎥⎥
⎥⎦
⎡
⎢1
⎢
b=
F •FT
=
⎢ ⎢
2 2
⎢0
⎢
⎢⎣
2 2
⎤⎡ 0⎥ ⎢ 1
⎥⎢
1 0
0⎥⎥
•
⎢ ⎢
1⎥ ⎢
2
2 0
⎥⎢
⎥⎦ ⎢⎣
2 2 1 0
⎤T 0⎥
⎥ 0⎥⎥ 1⎥
⎥ ⎥⎦
⎡ ⎢ ⎢ =⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
3 2 2 0
2 0⎥⎤
3
( ) = 1 2
S ij − S ji
xm
xn
δim
δ
n j
=
1 2
S ij xi x j
−
1 2
S
ji xi x j
=
1 2
S ij xi x j
−
1 2
S
ji x j xi
=
1 2
S ij xi x j
−
1 2
S ij xi x j
=0
（2） S = S ij gi g j ， A = Amn g m g n ，
记
R
=
⎡ cosθ ⎢⎣− sinθ
⎡3
sinθ cosθ
⎤ ⎥ ⎦
=
⎢ ⎢
2
⎢⎢⎣−
1 2
1⎤
⎥
2 ⎥， 3⎥
因 RT σg R
= σl
2 ⎥⎦
⎡3
所以 σ g
=
Rσl RT
=
⎢ ⎢
2Fra Baidu bibliotek
⎢⎢⎣−
1 2
1⎤
2 3
⎥⎥⎥ ⎢⎣⎡10.6
2 ⎥⎦
⎡3
0⎤ 2.3⎥⎦
⎢ ⎢ ⎢
2 1
⎢⎣ 2
−
1
2 3
⎤ ⎥ ⎥ ⎥
⎢ ⎢ ⎢
2
2 0
⎥⎢
⎥⎦ ⎢⎣
2 2 1 0
⎤ 0⎥
⎥ 0⎥⎥ 1⎥
⎥ ⎥⎦
=
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
3 2 2 0
2 0⎥⎤
3
⎥ 0⎥
2⎥
0 1⎥
⎥⎦
⎡1
⎢ ⎢
4
( ) （3） E = 1 C − I 2
=
⎢ ⎢
⎢
2
2 0
⎢
⎢⎣
2 2
⎤ 0⎥
⎥
1
4 0
0⎥⎥ 0⎥
⎥
⎥⎦
（4）
x
~
=
⎜⎜⎝⎛
X
1
+
2 2
X2
⎟⎟⎠⎞
e1
~
+
⎜⎜⎝⎛
2 2
X1
+
X2
⎟⎟⎠⎞
e2
~
+
X3
e3
~
x•
~
x
~
=
⎜⎜⎝⎛
X1
+
2 2
X
2
⎟⎟⎠⎞ 2
+
⎜⎜⎝⎛
2 2
X1
+
X 2 ⎟⎟⎠⎞2
+
X 32
=
3 2
X
2 1
+
3 2
X 22
+
2
2X1X2 + X32
⎡3
⎢ ⎢
2
= [X1
X2
X
3
]⎢
⎢
2
⎢0
⎢⎣
2
3 2 0
0⎥⎥⎤⎜⎛ X1 ⎟⎞
（2） 求向量 x 参考新坐标系的表示形式 x = xi′ ei′ （3） 求函数 f 在新的坐标系下的表达形式 f ′(x1′ , x2′ , x3′ ) （4） 判断 grad（f ）的客观性。
¾ 解答：
（1） grad（f ）＝ (2 x1 , 0, − 2 x3 )T
⎡
⎢0
（2）
⎡ ⎢ ⎢ ⎢⎣
⎡
⎢0
⎡ e1′ ⎢⎢e2′ ⎢⎣e3′
⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦
=
⎢ ⎢⎢− ⎢ ⎢
1
2 1
⎣2
1 2⎤
3 1
3 1
− −
6 1
6 1
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎡ e1 ⎢⎢e2 ⎢⎣e3
⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦
3
6⎦
向量 x = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 ，给定函数 f( x ) = x12 − x32 。 （1） 求函数 f 的梯度 grad（f ）
A :S
=
S ij
gi g j
:
Amn
gmgn
=
S
ij
Amn
δim δ
n j
=
S ij Aij
S ij Aij
=
−S
A ji ij
=
−S
A ji ji
=
− S ij Aij
所以 S ij Aij = 0
6
连续介质力学作业（第二章）参考答案
1、初始构型和当前构型的转换关系：
x1 = X 1 +
2 2
1
−
1
⎥ ⎥
3
6⎦
⎡
⎢0
即
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩
x1 x2 x3
⎫ ⎪ ⎬ ⎪⎭
=
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
1
3 2
⎢
⎣6
−1 2
1
3 −1
6
1⎤
⎧
−
2 1
3 1
6
⎥
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩
x1' x2' x3'
⎥
⎦
⎫ ⎪ ⎬ ⎪⎭
=
⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎩
1 2
(−
x2'
+
x3'
)
( 1
3
x1' + x2' + x3'
¾ 解答： a）
W = σ : ε / 2 = ( λσ1 N1 ⊗ N1 + λσ2 N 2 ⊗ N2 ) : ( λε1 N1 ⊗ N1 + λε2N2 ⊗ N 2 ) / 2
= ( λσ1 λε1 + λσ2 λε2 ) / 2 = (1.6 * 1 + 2.3* 2) / 2 = 3.1
b）张量不变而参考坐标旋转，以 ei 为 global，以 Ni 为 local
=
⎡ 1.775 ⎢⎣0.3031
0.3031⎤ 2.125 ⎥⎦
2 ⎥⎦
c） RT εg R = εl 所以
⎡3
εg
= Rεl RT
=
⎢ ⎢
2
⎢⎢⎣−
1 2
1⎤
2 3
⎥⎥⎥⎢⎣⎡01
2 ⎥⎦
⎡3
02⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢
2 1
⎢⎣ 2
−
1
2 3
⎤ ⎥ ⎥ ⎥
=
⎡ 1.25 ⎢⎣0.433
2 ⎥⎦
0.433⎤
tr( A ⋅ BT ) = tr(Aij B kj g i gk ) = Aij B kj ( g i ⋅ gk ) = Aij Bij = A:B
其他两个，同理可证。
5. (1)如果二阶张量 S 是反对称张量，对于任意一阶张量 x ，证明 x ⋅ S ⋅ x = 0 (2) S 是二阶反对称张量， A 是二阶对称张量，证明 A : S = 0
¾ 解答：
（1） g = (g1 × g2 )⋅ g3 = 2
g1 =
1 g
(g 2
× g3 ) =
(0,0,1)T
g2 =
1 g
(g 3
×
g1 )
=
(0.5,-0.5,
0.5) T
g3 =
1 g
(g1
×g2
)
=
(0, 1,
-1)T
（2） g ij = gi ⋅ g j ⎡ 1 1/ 2 −1⎤
[g ij ] = ⎢⎢1 / 2 3 / 4 −1⎥⎥ ⎢⎣ −1 −1 2 ⎥⎦
x1' x2' x3'
⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦
=
⎢ ⎢⎢− ⎢
1
2 1
⎢
⎣2
1 2⎤
3 1
3 1
− −
6 1
6 1
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎡ ⎢ ⎢ ⎢⎣
x1 x2 x3
⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦
⎥
3
6⎦
⎡ ⎢0
⎢ （3）记 R = ⎢⎢−
1 2
⎢ ⎢
1
⎣2
1 2⎤
3 1
3
−
6 1
⎥ ⎥ ⎥
6⎥
，由{xi' } = R{xi } 得{xi } = RT {xi' }，
（6）Almansi 变形张量 A
解答：
⎡
⎢1
（1）
⎜⎛ ⎜ ⎜⎝
x1 x2 x3
⎟⎞ ⎟ ⎟⎠
=
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
2
2 0
⎢⎣
2⎤
2 1 0
0⎥
10⎥⎥⎥⎥⎥⎜⎜⎜⎝⎛
X X X
1 2 3
⎟⎞ ⎟ ⎟⎠
⎥⎦
⎡
⎢1
⎢
（2） C
=
FT
•F
=
⎢ ⎢
2 2
⎢0
⎢
⎢⎣
2 ⎤T ⎡
2
0⎥ ⎢ 1 ⎥⎢
1 0
0⎥⎥ 1⎥
2
。应变张量
ε
主值
λ1ε
= 1，λε2
= 2 ，主方向与应力张量相同。e1,
e2 为
平面直角坐标系的单位基矢量。
a) 以 N1 ， N2 为基，计算该质点处应变能密度 W
b) 求 σij ，使得 σ = σij ei ⊗ e j
c) 求 ε ij ，使得 ε = εij ei ⊗ e j
d) 以 e1, e2 为基，计算该质点处应变能密度 W e) 计算 σ 的球应力张量和偏应力张量，并计算偏应力张量的主值和主方向。
1 6
(2
x1'
−
x2'
−
x3'
)⎟⎟⎠⎞
2
（4）
=
−
2 3
x1'
2
+
2 3
x1'
x2'
+
1 3
x2'
2
+
2 3
x1'
x3'
−
4 3
x2'
x3'
+
1 3
x3'
2
验证 grad(f' ) = R ⋅ grad(f)，即证明 grad（f ）是客观性的。
途径一：
记 A = Diag(1,0,−1) ，则
（3）Green 变形张量 E
（4）初始构型上一向量 X ~
=
X 1 e1 +
~
X2
e2 +
~
X 3 e3
~
，变形后在当前构型上是 x ，证明 ~
( ) x• x = X • C • X 和 x• x− X • X = X • 2E • X
~~ ~
~
~~ ~ ~
~
~
（5）左 Cauchy-Green 变形张量 b
途径二：
grad(f'
)
=
⎜⎛ ⎝
−4 3
x1'
+
2 3
x2'
+
2 3
x3'
,
2 3
x1'
+
2 3
x2'
−
4 3
x3'
,
2 3
x1'
−
4 3
x2'
+
2 3
x3'
⎟⎞T ⎠
R ⋅ grad（f）
⎡ ⎢
0
⎢ = ⎢−
1
⎢2
⎢ ⎢
1
⎣2
1 2⎤
3 1
3 1
− −
6 1
6 1
⎥ ⎥⎥⎥⎥⎪⎩⎪⎨⎧
2 x1 0 − 2 x3
2 3
x2'
+
2 3
x2'
−
4 3
x2'
+
2 3 x3' 4 3 x3' 2 3 x3'
⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎭
= grad（f ′）
3
3.
二维情况下，一质点应力张量 σ 主值 λ1σ = 1.6 ， λσ2 = 2.3 。主方向 N1 =
3 2
e1
−
1 2
e2
，
N2
=
1 2 e1
+
3 2
e
¾ 解答：
记 A = Aij g i g j , B = B kl gk gl ，
A:B =
Aij B kl ( g i
⋅ gk
)( g j
⋅ gl
)=
Aij
B
kl
δ
i k
δ
l
j
=
Aij B ij
tr( AT ⋅ B ) = tr(Aij Bil g j gl ) = Aij Bil ( g j ⋅ gl ) = Aij Bij = A:B
)
⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪
1 6
(2
x1'
−
x2'
−
x3'
)⎪⎪⎭
2
f( x ) = x12 − x32
= ⎜⎛ ⎝
1 2
(−
x2'
+
x3'
)⎟⎞2
⎠
−
⎜⎜⎝⎛
1 6
(2
x1'
−
x2'
−
x3'
)⎟⎟⎠⎞2
( 即 f ' x1' ,
x2' ,
x3'
)
=
⎜⎛ ⎝
1 2
(−
x2'
+
x3'
)⎟⎞2
⎠
−
⎜⎜⎝⎛
−
1 2
e
2
，
N
2
=
1 2 e1
+
3 2 e2
在主空间中，球应力张量 p ，偏应力张量 τ 可表示为
p
=
tr( σ 2
) NiNi
= 1.95NiNi ,
i=1~ 2
τ = σ − p = −0.35N1N1 + 0.35N2N2
4. A, B 是二阶张量，证明： A : B = tr(AT ⋅ B) = tr(A ⋅ BT ) = tr(B ⋅ AT ) = tr(BT ⋅ A)
⎫ ⎪ ⎬ ⎪⎭
⎥
3 6⎦
⎡ ⎢0
⎢ = ⎢⎢−
1 2
⎢1
⎢
⎣2
1
3 1
3 1
3
− −
2
6 1
6 1
6
⎤ ⎥⎧ ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎪⎪⎩⎪⎪⎨
2 2
(−
x2'
+
0
−
2 6
(2
x1'
−
x2'
) x3'
− x3'
⎫ ⎪ ⎪ ⎬
)⎪⎪⎭
=
⎧ ⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪
−4
3 2
3
x1' x1'
+ +
⎪ ⎪⎩
2 3
x1'
−
1.75
⎥ ⎦
d） W = σ : ε / 2 = σij ei ⊗ e j : εkl ek ⊗ el / 2 = σ ijε ij / 2 = 3.1
4
e) σ ，σ 的球应力张量（记为 p ），和 σ 的偏应力张量（记为 τ ），三者具有相同的主
方向（主空间），三者主空间均为
N1 =
3 2
e1
连续介质力学作业（第一章）参考答案
1. 给定一组协变基矢量 g1 =（0 1 1）T ， g 2 =（2 0 0）T ， g3 =（1 1 0）T 。 （1）求逆变基 g1 ， g 2 ， g3 。 （2）求 g ij （3）在上述协变基下，若向量 a 的逆变分量为（p q r）T ，求向量 a 的协变分量。
X 2 ， x2
=
2 2
X1
+
X 2 ， x3
=
X3
其中 (X1, X 2 , X 3 ) 为一个物质点在初始构型上的坐标， (x1, x2 , x3 )为同一个物质点在当前构型上的坐标。参考
基是 e1, e2 , e3 标准正交基
~~~
求：
（1）变形梯度 F
（2）右 Cauchy-Green 变形张量 C
f = xT Ax ， grad（f ）= ∂x T Ax = 2Ax ∂x
f ′ = (RT x′)T ART x′ = x′T RART x′
grad(f' ) = ∂x′TRART x′ = 2RART x′ ∂x′
= 2RA(RT x′) = 2RAx = R ⋅ 2Ax = R ⋅ grad(f)
（3） a1 = p, a 2 = q, a3 = r
⎡2 0 1⎤ 由[gij ] = ⎢⎢0 4 2⎥⎥
⎢⎣1 2 2⎥⎦ 及 ai = gij a j 得 a1 = 2 p+ r, a2 = 4 q+ 2 r, a3 = p+ 2 q+ 2 r
1
2. 已知笛卡尔坐标系 e1 , e3 , e3 ，一个新的坐标系定义为
0⎥⎜ 1⎥⎥⎜⎝
X X
2 3
⎟ ⎟⎠
=
X
~
•
C
•
X
~
⎥⎦
x• x−
~~
X•
~
X
~
=
1 2
X12
+
1 2
X 22
+2
2X1X 2
⎡1
⎢ ⎢
2
= [X1
X2
X
3
]⎢
⎢
2
⎢0
⎢⎣
2
1 2 0
( ) 0⎥⎥⎤⎜⎛ X1 ⎟⎞
0⎥⎜ 1⎥⎥⎜⎝
X X
2 3
⎟ ⎟⎠
=
X•
~
2E
•X ~
⎥⎦
⎡
⎢1
⎢
（5） F
=