高考数学 理科17题

理科17题解法及评分细则

第一问：

解法一：（Ⅰ）因为//,AB CD AB ⊄平面,CDE CD ⊂平面CDE ，-----------------------1分 所以//AB 平面CDE ， ---------------------------------------------------------------------2分 同理，//AF 平面CDE ，

又,AB AF A =I 所以平面//ABF 平面CDE ，-----------------------------------------------3分 因为BF ⊂平面,ABF 所以//BF 平面CDE . --------------------------------------------4分 解法二：取DC 中点G ，连接,BG EG ，--------------------------------------------------1分

因为//,AB CD AD CD ⊥，12

AB AD CD ==. 所以BG ∥AD 且BG AD =，------------------------------------------2分 又ADEF 为正方形，所以BG ∥EF 且BG EF =，

所以四边形EFBG 为平行四边形，所以//BF EG ，------------------------3分 又BF ⊄平面,CDE EG ⊂平面,CDE 所以//BF 平面CDE .-----------------------------4分 解法三：因为平面ADEF ^平面ABCD ，平面ADEF I 平面ABCD =AD ， CD AD ^，CD Ì平面ABCD ，

所以CD ^平面ADEF .又DE Ì平面ADEF ，故CD ED ^.

而四边形ADEF 为正方形，所以AD DE ^又AD CD ^，--------------------------1分

以D 为原点，DA ，DC ，DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，

建立空间直角坐标系D xyz -.--------------------------------------------------------------------2分 设1AD =，则(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,2,0),(0,0,1)D B F C E ，----------------------------3分

所以(0,1,1)BF =-u u u r ，取平面CDE 的一个法向量(1,0,0)DA =u u u r ，

所以0BF DA ⋅=u u u r u u u r ，所以//BF 平面CDE .-----------------------------------------------------4分 第二问

解法一：因为平面ADEF ^平面ABCD ，平面ADEF I 平面ABCD =AD ， CD AD ^，CD Ì平面ABCD ，

所以CD ^平面ADEF .又DE Ì平面ADEF ，故CD ED ^.------------------------5分 而四边形ADEF 为正方形，所以AD DE ^又AD CD ^，

以D 为原点，DA ，DC ，DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，

建立空间直角坐标系D xyz -. -----------------------------------------------------------6分 设1AD =，则(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,2,0),(0,0,1)D B F C E ，

取平面CDE 的一个法向量(1,0,0)DA =u u u r ，-----------------------------------------------------7分

设平面BDF 的一个法向量(,,)x y z =n ，

则00

DB DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n ，即00x y x z +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y z ==-，(1,1,1)∴=--n .---------------8分 设平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的大小为θ，

则cos |cos ,|DA θ=<>==u u u r n . --------------------------------------------------------------9分 （若没以D 点为坐标原点建立坐标系，按相应步骤给分）

解法二：

因为//,AB CD AB ⊄平面,CDE CD ⊂平面CDE ，

所以//AB 平面CDE ， 同理，//AF 平面CDE ，

又,AB AF A =I 所以平面//ABF 平面CDE ，--------------------------------------------------5分 所以平面BDF 与平面CDE 所成的角即为平面BDF 与平面ABF 所成的角---------6分 取BF 中点H ，连接,AH DH

因为ADEF 正方形，ABCD 为直角梯形且AD AF AB ==，

所以BD DF =所以,DH BF AH BF ⊥⊥，

所以AHD ∠为平面BDF 与平面ABF 所成二面角的平面角，--------------------7分 设1AD =

，所以BD DF BF ===

所以2

AH DH ==-------------------------------------------------------------------------8分

所以222cos 2AH DH AD AHD AH DH +-∠==⋅， 平面BDF 与平面CDE

.----------------------------9分

第三问：

解法一：

若M 与C 重合，则平面()BDM C 的一个法向量0(0,0,1)=m ，

由（Ⅱ）知平面BDF 的一个法向量(1,1,1)=--n ，则010??m n =， 则此时平面BDF 与平面BDM 不垂直.----------------------------------------------------------10分

若M 与C 不重合，如图设

EM EC

λ=()01λ?，则(0,2,1)M λλ-，--------------------11分 设平面BDM 的一个法向量(,,)x y z =m ，

则00DB DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u u r m m ，即02(1)0x y y z λλ+=⎧⎨+-=⎩，令1x =，则21,1y z λλ=-=-，