第四章 非稳态导热(5)14

(3)
7
方程求解思路: 采用分离变量法进行求解。
2 式（1） a 2 x
ຫໍສະໝຸດ Baidu中含有两个变量
, x ，可以将该式的解表示成为两个函数的乘
积，即： （x, ) ( x) T ( ) (4) 2 dT d X 将式（4）代人式（1），得： aT d dx2
1 dT 1 d 2 X 将函数与变量合并，得： aT d X dx2
(5)
该式成立的条件就是两边都等于某一常数，令该常数 为 2， 则式（5）改写为：
1 dT 1 d2X 2 aT d X dx2
dT 1 dT 2 aT 0 2 d aT d
右图(b)中阴影部分面积的大小表 示平壁在非稳态导热过程中所获得的 热量，它是以内能的形式贮存平壁内。
大平壁非稳态导热分析
3
非稳态导热过程可以归纳出以下三个特点 1）过程中物体内各点温度随时间变化，即 t f ( x, )， 0 t 影响温度变化 快慢的因素主要有二个： ① 物体的导热系数的大小。 大 导热快 各点温度变化就快； ② 材料的比热容量 c 值，c 小温度变化快。
2
1.2 非稳态导热过程的特点
A）大平壁一侧被加热过程
假设一个大平壁处于稳态导 热过程，两边初始温度分别为 tW1 ， tW2 ， tW1>tW2 左侧突然被加热温度 升为tW1‫ ׳‬,右侧流体温度保持不变为 tf ，平壁内发生了非稳态导热过程。 平壁中的温度分布、表面温度和表 面热流量的变化如右图所示。
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Q f ( Bi, Fo) f ( Bi, Bi2 Fo)， Q0
2
其中，Q0 2c0
Q 同理，以 Bi Fo 为横坐标（对数坐标）， 为纵坐标， Bi 为参量，绘出如下线算图。 Q0
Q0 是平壁从初始温度 t 0 变为周围流体温度 t 加热所吸收（冷却所放出）的热量。
2 1 2 2 1 2
m / e m 0 0 1 sin 1 cos 1
x 2 sin 1 cos(1 )
a
a
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通过上述两个线算图分别查出 m ，
，利用 如果已知温度分布 t、x、Bi ，求τ，可以先计算出 ，再由图查出 0 m 1 m 公式 和 反查图得出 Fo 数，求出加热或冷却到此温度 m ，求出 o 0 m o Bi
（1）对无限大平板问题的分析是以平板被加热的情况为例的，上述结果对物体被冷 却的情况同样适用； （2）从无限大平板问题的数学描述式可以看出，分析解也适用于一侧绝热、另一侧 为第三类边界条件的厚为δ 的平板情形； （3） 当固体表面与流体间的表面传热系数趋于无穷大时，固体的表面温度就趋近于流 体温度，因而 Bi 时的上述分析解就是物体表面温度发生突然变化然后保 持不变时的解， 即第一类边界条件的解。
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注
意
① 图4-4纵坐标为对数坐标，而图4-5和图4-6横坐标为对数坐标。三个图均为半 对数坐标系。 ② 图4-4中为直线关系，只在 Fo 0.2 时才是这样，即当过程进入正规状态阶段， 求解的无穷级数只取第一项（ n 1）即满足精确要求。因此，成简单的指数函数 关系，它们在半对数坐数上为线性关系。否则，第二项以后的余项不能舍去，结果 就不是简单的指数函数关系，线图就不是图4-4的形式。 当 Fo 0.2 时会是什么样？例如：取数据： a 1.489105 m2 s， 100mm,求 得 134 s ，相对时间很短，一般工程上都不会加热或冷却这样短的时间，由图 4-4可见，数据集中在左上角很小的范围内，在整个图上占的份额很小。 如果确实需要计算 Fo 0.2 时，可用式（4－13）计算，即无穷级数解多取几级。 上述分析解的应用范围可以作三点推广：
所需要的时间
得非稳态导热过程中大平壁内任意时刻任意一点的温度分布。
o
m
后，利用
m ，就可以求 0 m o

。
已知平壁内的温度分布，计算平壁加热所吸收（冷却所放出）的热量Q 在0～τ时间内每平方米平壁加热所吸收（冷却所放出）的热量等于平壁焓的变化。
Q＝ c(t t0 )dx c( 0 )dx
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2）求解方法：主要有分析解法、数值解法、图解法和热电模拟法等。
本章仅介绍分析解法，而且只针对第三类B、C下一维非稳态导热的求解。
二、一维非稳态导热的分析解及诺谟图
工程上常见的非稳态导热问题分以下三种： 无限大平壁 一维非稳态导热问题： 无限长圆柱体 二维非稳态导热问题：短圆柱体、长的方柱体 三维非稳态导热问题：短方柱体、长方体
2 n
2 sin n cos( n
x
a
2
(9)
或毕渥数 Bi 设：y1 tan ，y2 有无穷多个解：1 , 2 , 3 ,......... .. n
实际计算表明：当
a
tan
Bi

，其中Bi
h
， 参数Bi叫毕渥准则
y2 Bi
o

0 .2 时， 2 该无穷级数为收敛级数，从第二项起可以忽略不 计，仅取第一项即可满足精度要求，即解为：
(6) (7)
d2X 1 d2X 2 2 X 0 2 2 dx X dx
(8)
8
) ( x, ) e 解得偏微分方程式（1）的特解为： 0 n 1 n sin n cos n 这是一个无穷级数，式中 n 是解方程（1）过程中 y1 tan y 出现的特征方程的根，即：
1
2
3
4

( x, ) e 0 1 sin 1 cos 1
其中 是与 Bi 有关的量，令
x 2 sin 1 cos(1 )
12
a

2
2
2
3 2
5 2
7 2
(10) 参数Fo叫傅里叶准则或傅里叶数
a
( x, ) x x f ( Bi ， Fo ， ) 式（10）可以表示成： ( x, )是Bi 、Fo 、 的函数， 0
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求解思路 物理模型：为第三类边界条件下的一维非稳态导热问题，即 t f ( x, )。 2 2 2 2 q t t t t t t V 数学模型：由导热微分方程式 a( 2 2 2 ) a 2 x y z c x

(a)
定解条件：初始条件 0，t ( x, ) t 0 t x 0 ， 0， x x 0 边界条件 t x ， h t ( , ) t f x x


2 2 sin 2 n n Fo 2 c 0 1 2 e sin cos n n n n 1 n


2 2 sin 2 n n Fo Q0 1 2 e Qo f ( Bi, Fo) n 1 n n sin n cos n
t
t a 大 大 。 a 以上二方面合起来，表示成 导温系数， c
2）通过重直于热流方向各截面的热流 量不相等，且随时间变化，即 , 1 a b ....... 2 。 当非稳态导热过程结束，达到新的 稳态导热过程时，物体的内部温度 分布不再发生变化时，通过重直于 热流方向各截面的热流量才相等。 3）过程可划分为二个阶段： ① 不规则情况阶段（初始阶段）； 大平壁非稳态导热分析 由左侧表面导入的热量到达右侧表面之前的一段时间。 ② 正常情况阶段。 当左侧表面导入的热量到达右侧表面之后，使右侧壁温不断升高，直到它达 到新的平衡状态的这段时间。
第四章 非稳态导热
一、概 述
1.1 定义：非稳态导热是指发生在非稳态温度场内的导热过程。 其数学表达式为：t
f ( x, y, z, )
按照其过程进行的特点，可分为以下二种： （1）周期性非稳态导热：导热物体内的温度随时间周期性地 变化。
（2）非周期性非稳态导热（瞬态导热）：物体内的温度随时 间不断的 升高或降低。
2.1 无限大平壁的分析解和诺谟图 对于无限大平壁、无限长圆柱体的非稳态导热 的分析解，即使是一维，表达式也很复杂。为工程 计算方便，把计算结果绘制成线图，称为诺谟图。 问题：如图所示，一厚为 2δ 的无限大平壁，无内热源， 物性参数等均为常量（常物性，与温度无关）； 初始温度均匀分布为 t0。现将它放入温度恒为 tf 的流体中进行冷却，对流传热系数为常量 h 。 要求确定，平壁内的温度分布表达式（温度场） 及所放出的热流量。
无限大平壁突然被加热
② 正常情况阶段。 当两侧表面导入的热量到达中心表面之后，使中心对称面温度不断升高，直 到中心对称面的温度达到热流体的温度，即达到新的平衡状态的这段时间。 1.3 求解的目的和方法 1） 求解非稳态导热问题主要目的有四个： ① 物体的某一部分从初始温度上升或下降到某一确定温度所需的时间，或经某 一时间后物体各部分的温度是否上升或下降到某一指定值； ② 物体在非稳态导热过程中温度分布，为求材料热应力和热变形提供必要资料； ③ 物体在非稳态导热过程中的温升速率； ④ 某一时刻物体表面的热流量或从某一时刻起经一定时间后表面传递的总热量。
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Bi、Fo数的物理意义和对温度分布的影响
a 式中，分子具有时间量纲；分母也具有时间量纲，因此，将Fo看作是
非稳态导热过程的无量纲时间。这就是Fo准则的物理意义。
傅里叶准则： Fo
a

2

2
Fo值越大，即加热或冷却时间越长，物体内各点温度越趋近于周围流体的温度。
同样长的时间，分母越小的物体，其内部各点温度越快趋近于周围流体的温度。
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2
＝Fo
这个函数中有三个变量，其解有无穷多组，但是如果给某一个变量定值后，函数就变 成两个变量的函数，再给一个变量定值就可以确定另一个变量与θ 的关系式，这样在 选x=0的中心截面，令其过余温度为 m (0，）则：
一个数据图中就可以画出无数条曲线，当需要的时候可以查得，这个过程图叫诺谟图。
热处理钢板，从加热炉 中出来时温度为 840℃， 经过 20min 后钢板温度 降为多少？在这 20min 内钢板散去多少热量？ 在 20min 末了时的热流 密度是多少？
进行淬火处理的钢件， 在冷却油中经过多长时 间才能使钢件中心温度 由 800℃ 降 到 320℃ 下 。
1
作业 思考4-3 习题 4-2（142.6,557.2）
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B）大平壁两侧被加热过程 一初始温度均匀为t0的无限大平壁，突 然投入到温度为tf的热流体中对称加热。平 壁内发生了非稳态导热过程。平壁中的温 度分布、表面温度和中心温度的变化、表 面热流量的变化如图所示。
同样，过程可划分为二个阶段：
① 不规则情况阶段（初始阶段）； 由两侧表面开始导入的热量到达中心对称面 之前的一段时间。
(0, ) m 以 Fo 为横坐标， 为纵坐标（对数坐标）， 为参量，绘制出如下线算图。 o Bi
(0, ) m f ( Bi，Fo) 1 o
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1 sin 1 cos 1 x x / e cos(1 ) f ( Bi, ) 2 sin 1 1 x 同理，以 为横坐标（对数坐标）， 为纵坐标， 为参量，绘制出如下线算图。 m Bi
(b)
(c)


引入过余温度 ( x, ) t ( x, ) t f 以上各式改写为
2 a 2 微分方程： x
(1) (2)
0 （t0 t f ) 初始条件： （x,0）
( x, ) 0 x x 0 边界条件： h x x