指数与指数函数(3)

指数与指数函数080612 一、考题选析：

例1、（07江苏）设函数()f x 定义在实数集上，它的图像关于直线1x =对称，且当1x ≥时，

()31x f x =-，则有（ ）

Ａ．132323f f f ⎛⎫

⎛⎫⎛⎫

<< ⎪

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

Ｂ．231323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

<<

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ Ｃ．213332f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

<<

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

Ｄ．321233f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

<<

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

例2、（07上海春）若21,x x 为方程1

1

)2

1(2+-=x x

的两个实数解，则=+21x x ；

例3、（05全国Ⅱ）设函数11

()2

x x f x +--=，求使()f x ≥x 取值范围．

例4、（05江西10）已知实数a , b 满足等式,)3

1()2

1

(b

a

=下列五个关系式 ①0

③0

④b

其中不可能．．．成立的关系式有（ ） A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

例5、（06湖北21）设3x =是函数2

3()()()x

f x x ax b e x R -=++∈的一个极值点。（Ⅰ）、

求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间；（Ⅱ）、设0a >，

225()()4

x

g x a e =+

。若存在12,[0,4]ξξ∈使得12()()1f g ξξ-<成立，求a 的取值范围。 点评：本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力。

解：（Ⅰ）f `(x)＝－[x 2＋(a －2)x ＋b －a ]e 3－

x ,

由f `(3)=0，得 －[32＋(a －2)3＋b －a ]e 3－3＝0，即得b ＝－3－2a ， 则 f `(x)＝[x 2＋(a －2)x －3－2a －a ]e 3

－x

＝－[x 2＋(a －2)x －3－3a ]e 3－x ＝－(x －3)(x ＋a+1)e 3－

x .

令f `(x)＝0，得x 1＝3或x 2＝－a －1，由于x ＝3是极值点， 所以x+a+1≠0，那么a ≠－4. 当a <－4时，x 2>3＝x 1，则

在区间（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；

在区间（3，―a ―1）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；

在区间（―a ―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数。 当a >－4时，x 2<3＝x 1，则

在区间（－∞，―a ―1）上，f `(x)<0， f (x)为减函数； 在区间（―a ―1，3）上，f `(x)>0，f (x)为增函数； 在区间（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a >0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]，

而f (0)＝－（2a ＋3）e 3<0，f (4)＝（2a ＋13）e －

1>0，f (3)＝a ＋6， 那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a ＋3）e 3，a ＋6]. 又2

25()()4

x

g x a e =+

在区间[0，4]上是增函数， 且它在区间[0，4]上的值域是[a 2＋

425，（a 2＋4

25）e 4]， 由于（a 2＋

425）－（a ＋6）＝a 2－a ＋4

1

＝（21-a ）2≥0，所以只须仅须

（a 2＋

4

25

）－（a ＋6）<1且a >0，解得0

故a 的取值范围是（0，

2

3

）。 二、考题精练： （一）选择题： 1、（06全国Ⅱ）函数y ＝ln x －1(x ＞0)的反函数为（ ）

A 、y ＝e x ＋1(x ∈R )

B 、y ＝e x －

1(x ∈R )

C 、y ＝e x ＋1(x ＞1)

D 、y ＝e x －

1(x ＞1)

2、（05全国Ⅲ）设7

1

3=

x

，则（ ） A 、－2

3、（04天津11）函数1

2

3-=x

y （01<≤-x ）的反函数是 A. )31

(log 13≥+=x x y

B. )3

1(log 13≥+-=x x y

C. )13

1(log 13≤<+=x x y

D. )13

1(log 13≤<+-=x x y

4、（04湖北）若函数的图象经过第二且)10(1)(≠>-+=a a b a x f x

、三、四象限，则一定有（ ）

A ．010><

B ．01>>b a 且

C ．010<<

D ．01<>b a 且

（二）填空是：

5、（07上海4）方程 96370x x -•-=的解是 ；

6、（07湖北15）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小

时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为

116t a

y -⎛⎫

= ⎪⎝⎭

（a 为常数），如图所示．据图中提供的信息，

回答下列问题：

（I ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为 ；（II ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室；

7、（05江苏16）若3a =0.618,a ∈[),1k k +,k ∈Z ，则k = ；

8、（05全国Ⅰ）若正整数m 满足m m 102105121<<-，则m = 155 ；)3010.02(lg ≈ 9、（04湖南16）若直线y=2a 与函数y=|a x -1|(a >0,且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是_______。

（三）解答题： 10、（04全国）解方程4x +|1-2x |=11.