2018年山东省大学生数学竞赛专科组竞赛试题

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2018年山东省大学生（专科）数学竞赛试题

一、填空题（每小题5分，共30分）

1、已知2(),[()]1x f x e f x x ϕ==-，且()0x ϕ≥，则()x ϕ= . 2

、)

lim x x x →-∞+= . 3、已知()01f x '=-，则()()

000lim 2x x f x x x f x →=--- . 4、已知方程()

2sin 0xy y π-=，则01=x y y ==' . 5、计算2ln 1d x x x

-=⎰ . 6、

已知函数1d (2()0)x

t x F x ⎛⎫ =-> ⎝⎰，则其单调递减区间为 . 二、综合题（本题共6小题，共70分）

1、(10分) 设函数210cos ()0x x f x x x x ⎧⎪⎪>⎪=⎨⎪≤⎪⎪⎩

，讨论()f x 在0x =处连续性与可导性. 2、(12分) 已知0()d (),()x

x f t t xf ux f x e ==⎰，求0

lim .x u → . 3、(13分) 设若函数()f x 在(),a b 内具有二阶导数，且()()()123f x f x f x ==，其中123a x x x b <<<<. 证明：在()13

,x x 内至少有一点ξ，使()0f ξ''=. 4、(13分) 已知二次方程222102420x ax x a a -++--=有实根，试问a 为何值时，它是方程两根之积的极值点，并求极值.

5、(10分) 求极限2211lim sin 2sin sin .n n n n n n n →∞⎫⎛⎪ +++ ⎪ ⎪⎭

⎝ 6、(12分) 求曲线221x y +=和232

y x =

所围的图形区域中较小的一块分别绕x 轴、y 轴旋转一周所得旋转体的体积.V