不等式。因式分解。分式复习

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不等式的解法

复习重点：不等式的解法，主要有一元一次、一元二次、一元高次不等式，分式不等式，无理不等式，指数、对数不等式及含绝对值的不等式的解法；在复习中强调基本方法及易错点。

复习难点：含字母系数的二次型不等式，无理不等式解法，数形结合的方法解不等式，及不等式变形的等价性问题。

（一）各种类型不等式基本解法中的易错点：1．二次型不等式：ax2+bx+c>0(<0)易错点：<1>是否为二次不等式；<2>含字母表示的二根的大小。

2．一元高次不等式：a(x-x1)(x-x2)……(x-x n)>0。

易错点：<1>a>0时，从右上方开始穿线；<2>奇穿偶切，如(x-2)2(x+1)3>0.各因式的幂指数为奇数时穿过ox轴，若幂指数为偶数时，与ox轴相切不穿过；<3>孤立点容易遗漏。

如：(x-3)(x+2)2(x-1)≥0(x-3)(x-1)≥0或x=-2。

3．分式不等式：，易错点：<1>方法的规范，化为(1)的形式；<2>等价性；如(2)。

4．无理不等式<1>易错点：①遗漏情况(2)；②不等式组(1)，省略f(x)≥0，可简化运算。

<2>注：g(x)=0为孤立点，易遗漏。

5．含绝对值不等式：注意：<1>方法的选择：分段去绝对值号；用等价不等式解或数形结合方法解决。

<2>形如的基本解法：<i>分段讨论；<ii>数形结合。

6．指数不等式及对数不等式基本类型：<1>同底型；<2>a f(x)<b、log a f(x)<b型用定义；<3>换元法解。

易错点：<1>定义域：对数式中底数、真数的限制条件；<2>利用函数单调性，要分成底数大于1还是在0与1之间考虑。

解不等式问题重点注意：i.等价变形；ii.数形结合的方法。

分式知识点总结及复习汇总

分式知识点总结及复习汇总一、分式的定义和性质：分式是形如$\frac{a}{b}$的数，其中$a$为分子，$b$为分母，$a$和$b$都为整数且$b \neq 0$。

分式可以表示一个数，也可以表示一个运算过程。

分式可以进行四则运算，包括加减乘除。

分式的相反数：$\frac{a}{b}$的相反数为$-\frac{a}{b}$。

分式的倒数：$\frac{a}{b}$的倒数为$\frac{b}{a}$，其中$a、b$不为零。

分式的化简：将分式化简为最简分式，即分子和分母的最大公约数为1的形式。

二、分式的运算法则：1.加法：两个分式相加，分母相同，分子相加。

2.减法：两个分式相减，分母相同，分子相减。

3.乘法：两个分式相乘，分子相乘，分母相乘。

4.除法：一个分式除以另一个分式，被除数乘以除数的倒数。

三、分式的化简方法：1.求最大公约数：分式的分子和分母同时除以它们的最大公约数。

2.因式分解：将分式的分子和分母进行因式分解，然后约去相同的因式。

四、分式与整式的相互转化：1.分式转化为整式：将分式中的分子除以分母，得到的结果为整数。

2.整式转化为分式：将一个整数写成分子，分母为1的形式。

五、分式的应用：1.比例问题：可以利用分式来表示两个比例的关系。

2.部分与整体的关系：可以用分式表示部分与整体的关系。

3.商业问题：例如打折、利润等问题，可以用分式来表示计算。

4.几何问题：例如面积、体积等问题，可以用分式来表示计算。

六、分式的简化步骤：1.因式分解。

2.分子、分母约去最大公约数。

3.整理化简结果。

七、分式的应用举例：1.甲乙两人分别在一段时间内完成一件工作，甲用时5小时完成，乙用时8小时完成，那么甲乙两人一起完成这件工作需要多少小时？解：甲和乙一起完成工作的效率是每小时$\frac{1}{5}$和$\frac{1}{8}$，所以他们一起完成工作的效率是$\frac{1}{5}+\frac{1}{8}=\frac{13}{40}$。

整式、分式、因式分解

个性化教学辅导教案学科: 数学任课教师：讲课时刻（6）),0(1);0(10为正整数p a a a a a pp ≠=≠=- （7）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。

二、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子叫做分式。

1.分式有意义、无意义的条件：分式有意义的条件：分式的分母不等于0；分式无意义的条件：分式的分母等于0。

2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

（），其中A 、B 、C 是整式注意：（1）“C 是一个不等于0的整式”是分式基本性质的一个制约条件；（2）应用分式的基本性质时，要深刻理解“同”的含义，避免犯只乘分子（或分母）的错误；（3）若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一整式C ；（4）分式的基本性质是分式进行约分、通分和符号变化的依据。

3.分式的通分：和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。

通分的关键是确定几个式子的最简公分母。

几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母就叫做最简公分母。

求最简公分母时应注意以下几点：（1）“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母（或含字母的式子）为底数的幂选取指数最大的；（2）如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；（3）如果分母是多项式，一般应先分解因式。

4..分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母各自乘方。

5.任何一个不等于零的数的零次幂等于1，即；当n为正整数时，（注意：当幂指数为负整数时，最后的计算结果要把幂指数化为正整数。

因式分解与分式综合复习测试题

因式分解与分式综合检测一选择题1. 下列变形正确的是（）A ．22a ab b +=+ B ．2a a b ab = C ．a ax b ax = D ．2a abb b =2、下列各式的分解因式：①()()2210025105105p q q q -=+- ②()()22422m n m n m n --=-+-③()()2632x x x -=+- ④221142x x x ⎛⎫--+=-- ⎪⎝⎭正确的个数有( ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、33.下列多项式，不能运用平方差公式分解的是( )A.42+-mB.22y x --C.122-y x D.412-x 4.若4x 2－mxy ＋9y 2是一个完全平方式，则m 的值为( ) A.6 B.±6 C.12 D.±12 5．下列因式分解错误的是（）A ．22()()x y x y x y -=+- B ．2269(3)x x x ++=+ C ．2()x xy x x y +=+ D ．222()x y x y +=+ 6．若()()26323----x x 有意义，则x 的取值范围是（）A ．3>xB ．2<xC ．3≠x 或2≠xD ．3≠x 且2≠x 7．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是( )．A.4x 2－2x ＋1B.4x 2＋4x －1C.x 2－xy ＋y 2 D ．x 2－x ＋128．把代数式269mx mx m -+分解因式，下列结果中正确的是A ．2(3)m x +B ．(3)(3)m x x +-C ．2(4)m x -D ．2(3)m x - 9、已知正方形的面积是()22168x x cm -+(x >4cm)，则正方形的周长是( ) A 、()4x cm - B 、()4x cm - C 、()164x cm - D 、()416x cm -10、下列变形正确的是（） A ．x y x y x y x y -+--=-+ B ．x y x y x y x y -+-=--+ C ．x y x y x y x y -++=--- D ．x y x yx y x y-+-=---+ 二、耐心填一填1．分解因式：244x x ---=_____________。

代数式、整式、分式、因式分解的专题复习

代数式、整式、分式、因式分解的专题复习一、选择题1．（2022秋•平泉市校级期末）当12x =，计算代数式21(x --= ) A ．0B ．54-C ．34 D ．34-2．（2022秋•广宗县期末）若132m a b +与473n a b +-是同类项，则m ，n 的值分别为( ) A ．2，1B ．3，4C ．3，4-D ．3，23．（2022秋•平泉市校级期末）单项式212xy -的系数是( )A ．2B ．2-C ．12 D ．12-4．若4a b +=-，1ab =.则22(a b += ) A ．14-B ．14C ．7D ．7-5．（2022秋•路北区校级期末）代数式21x xx ++的值为零，则x 的值为( )A ．1-B ．0C ．1-或0D ．16．（2022秋•大名县期末）下列计算正确的是( ) A ．()x y z x y z --=+- B ．()x y z x y z --+=--+C ．333()x y z x z y +-=-+D ．()()a b c d a c d b -----=-+++7．（2022秋•平泉市校级期末）已知：2a b -=，那么225(a b -+= ) A ．1-B ．1C ．9D ．38．（2022秋•高阳县校级期末）已知x ﹣3y ＝3，那么代数式﹣2x +6y +5的值是（） A ．﹣3B ．0C ．﹣1D ．119．（2022秋•栾城区校级期末）下列去括号运算正确的是( ) A ．()x y z x y z --+=--- B ．()x y z x y z --=--C ．2()22x z y x z y -+=-+D ．()()a b c d a b c d -----=-+++10．（2022秋•南宫市期末）给出两个运算：甲222.34m n nm m n -=-；乙22.330m n mn -=．下列判断正确的是( ) A ．甲、乙均正确 B ．甲正确，乙错误 C ．甲、乙均错误D ．甲错误，乙正确11．（2022秋•栾城区校级期末）如图是长为a ，宽为b 的小长方形卡片，把六张这样的小长方形卡片不重叠地放在一个底面为长方形（长为8，宽为6)的盒子底部（如图），盒子底部未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则两块阴影部分的周长之和为( )A ．16B ．24C ．20D ．2812．（2022秋•丛台区校级期末）已知0a ≠，下列运算中正确的是( ) A ．236a a a ⋅=B ．532a a a -=C ．325()a a -=D ．34a a a ⋅=13．（2022秋•平泉市校级期末）下列计算，正确的是( ) A ．2(3)(3)3x x x +-=- B ．2242(1)1x x x +=++ C ．23(2)2x x x x +=+D ．222()2a b a ab b -=--14．若3m a =，2n a =.则32m n a -等于( ) A ．34B ．98C ．274D ．015．（2022秋•栾城区校级期末）下列说法正确的是( ) A ．22x -的系数是2 B ．32xy+是单项式 C ．x 的次数是0D ．8既是单项式，也是整式16．（2022秋•新华区校级期末）下列说法正确的是( ) A ．单项式y -的系数是1-，次数是0 B ．25x +=是代数式C ．多项式3232x y x --是四次三项式D ．0不是单项式17．（2022秋•霸州市校级期末）记238256(12)(12)(12)(12)(12)x =+⨯+⨯+⨯+⨯⋯⨯+，则1x +是( ) A ．一个奇数 B ．一个质数C ．一个整数的平方D ．一个整数的立方18．（2022秋•丛台区校级期末）下列由左到右的变形，属于因式分解的是( )A ．()m x y mx my +=+B ．243(2)(2)3x x x x -+=+-+C ．2(3)(3)9x x x +-=-D ．3(1)(1)x x x x x -=+-19．（2022秋•安次区期末）若2(3)4x m x +-+能用完全平方公式进行因式分解，则常数m 的值为( ) A ．1或5B ．7或1-C ．5D ．720．（2022秋•磁县期末）下列各式从左到右的变形中，是因式分解且完全正确的是( ) A ．2(2)(2)4x x x +-=- B ．223(2)3x x x x --=-- C ．2244(2)x x x -+=-D ．32(1)x x x x -=-21．（2022秋•广宗县期末）若212()()x x x p x q +-=++，则p ，q 的值分别为( ) A ．3p =，4q =B ．3p =-，4q =C ．3p =，4q =-D ．3p =-，4q =-22．下面是嘉淇同学的练习题，他最后得分是( ) 姓名嘉淇得分_____填空题（评分标准：每道题5分）（1）2-的相反数为（2）；（2）11||()22-=；（3）用代数式表示a ，b 之差与c 的商：()ba c-；（4）单项式245x y-的系数为(4)-．A ．20分B ．15分C ．10分D ．5分23．（2022秋•襄都区校级期末）已知23a b -=，则代数式367b a -+的值为( ) A ．2-B ．4-C ．4D ．5-24．如果式子225y y -+的值为7，那么式子2421y y -+的值为( ) A ．2B ．3C ．2-D ．525．（2022秋•河北期末）下列运算正确的是( ) A ．232(31)3m mn n m n m n -+=- B ．2224(3)9ab a b -=-C ．551022a a a +=D ．233x y xy x ÷=26．（2022秋•路北区校级期末）下列计算正确的是( ) A ．236(3)9a a -=- B ．235()a a = C ．2242(2)2a b ba a b ⋅-=-D ．933a a a ÷=27．（2022秋•南宫市期末）已知2022202020212021202120202022x -=⨯⨯，则x 的值为( ) A ．2023B ．2022C ．2021D ．202028．（2022秋•雄县校级期末）将多项式316a a -进行因式分解的结果是( ) A ．(4)(4)a a a +-B ．2(4)a -C ．(16)a a -D ．(4)(4)a a +-29．（2022秋•定州市期末）下列因式分解最后结果正确的是( ) A ．223(1)(3)x x x x --=-+ B ．2()()()x x y y y x x y -+-=-C ．32(1)x x x x -=-D ．2269(3)x x x -+-=-30．若对分式“2121x x x x-+⋅-”进行约分化简，则约掉的因式为( ) A ．1x +B ．2x +C ．1x -D ．x31．（2022秋•雄县校级期末）化简22422a b a b b a+--的结果是( ) A ．2a b -+ B ．2a b --C ．2a b +D ．2a b -32．若分式35x -有意义，则x 的取值范围是( ) A ．3x ≠ B ．5x ≠ C ．5x > D ．5x >-33．（2022秋•新华区校级期末）若a ≠2，则我们把称为a 的“友好数”，如3的“友好数”是＝﹣2，﹣2的“友好数”是＝，已知a 1＝3，a 2是a 1的“友好数”，a 3是a 2的“友好数”，a 4是a 3的“友好数”，⋯，依此类推，则a 2023的值为（） A ．﹣2B ．C ．D ．334．若多项式235ax x -+与222x bx --的差是常数，则a b -的值为( ) A ．1 B ．1- C ．5 D ．5-二、填空题35．（2022秋•栾城区校级期末）若代数式：||3a x y -与212b x y 是同类项，则a b -= ．36．（2022秋•路北区校级期末）若222(1)16x m xy y --+是完全平方式，则m = ． 37．（2022秋•丰南区校级期末）已知16m x =，3n x =.则2m n x -的值为． 38．（2022秋•桥西区校级期末）分解因式：256ax ax a -+= ． 39．若分式||55y y --的值为0，则y = ；若分式||55y y--有意义，则y ． 40．（2022秋•桥西区期末）若221m m -=，则2242024m m --的值是．41．（2021秋•定州市期末）当x = 时，分式21628x x --的值为0．42．已知2210x x --=，则236x x -= ；则322742019x x x -+-= ．三、解答题43．（2021秋•桥西区校级期末）化简：2242137a a a a ++--．44．（2022秋•栾城区校级期末）计算下列各小题．（1）122()(18)|10|639-+⨯---；（2）52243(1)[3()2]()34-⨯-⨯--⨯-；（3）13342x x x +--=-；（4）先化简，再求值：2222()3()1x y xy x y xy x y +--+-，其中x 是最大的负整数，y 是2的倒数．45．（2021秋•易县期末）（1）计算：08611(3)33()3π---÷+（2）分解因式：2363x x ++46．（2022秋•襄都区校级期末）（1）计算：322433(25)()(3)9-÷+----⨯-；（2）解方程：321123y y -++=；（3）先化简，再求值：222214()3()212x y xy x y x xy +-+-+，其中2x =-，3y =．47．（2022秋•桥西区校级期末）已知一个代数式与22x x -+的和是263x x -++．（1）求这个代数式；（2）当12x =-时，求这个代数式的值．48．（2022秋•邯山区校级期末）计算：（1）2(2)(2)()a b a b a b +---；（2）2432932(3)x x x x x ----÷．49．（2022秋•万全区期末）分解因式：（1）416a -；（2）22331212x y xy y ++．50．（2022秋•雄县校级期末）计算：（1）20300211|6|( 3.14)()3π--+---+-；（2）31321()2x y x y --．51．（2022秋•路南区校级期末）（1）计算：22012()(2022)|3|2ππ--+-+---．（2）先化简，再求值：222569(1)22x x x x x x--+-÷--，然后选择一个你喜欢的数代入求值．52．（2022秋•路南区校级期末）已知多项式222A x x n =++，多项式222433B x x n =+++．（1）若多项式222x x n ++是完全平方式，则n = ；（2）有同学猜测2B A -的结果是定值，他的猜测是否正确，请说明理由；（3）若多项式222x x n ++的值为1-，求x 和n 的值．53．（2022秋•邯山区校级期末）先化简：222()1121x x x xx x x x --÷---+，然后从1-、0、1、2中选取一个你认为合适的数作为x 的值代入求值．。

职高数学知识点总结复习整理

数学知识要点总结初中基础知识：1. 相反数、绝对值、分数的运算；2. 因式分解：提公因式：xy-3x=(y-3)x十字相乘法如：)2)(13(2532-+=--x x x x配方法如：825)41(23222-+=-+x x x 公式法：（x+y ）2=x 2+2xy+y 2 (x-y)2=x 2-2xy+y 2 x 2-y 2=(x-y)(x+y) 3. 一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组的解法：（1）代入法（2）消元法6.完全平方和（差）公式：222)(2b a b ab a +=++ 222)(2b a b ab a -=+-7.平方差公式：))((22b a b a b a -+=-8.立方和（差）公式：))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=-第一章集合1. 构成集合的元素必须满足三要素：确定性、互异性、无序性。

2. 集合的三种表示方法：列举法、描述法、图像法（文氏图）。

注：∆描述法 },|取值范围元素性质元素｛⋯∈⋯=x x x ；另重点类型如：｝｛]3,1(,13|y 2-∈+-=x x x y 3. 常用数集：N （自然数集）、Z （整数集）、Q （有理数集）、R （实数集）、*N （正整数集）、+Z （正整数集） 4. 元素与集合、集合与集合之间的关系：（1）元素与集合是“∈”与“∉”的关系。

（2）集合与集合是“⊆” “”“=”“⊆/”的关系。

注：（1）空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。

（做题时多考虑φ是否满足题意）（2）一个集合含有n 个元素，则它的子集有n 2个，真子集有12-n 个，非空真子集有22-n 个。

5. 集合的基本运算（用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法）（1）}|{B x A x x B A ∈∈=且：A 与B 的公共元素（相同元素）组成的集合（2）}|{B x A x x B A ∈∈=或：A 与B 的所有元素组成的集合（相同元素只写一次）。

代数式、整式、分式、因式分解的专题复习题

代数式、整式、分式、因式分解的专题复习题一、选择题1．（2021秋•石泉县期末）计算12-的值为( ) A ．2B ．12C ．2-D ．1-2．（2022春•丰泽区校级期中）计算：11()(6-= ) A ．6-B ．6C ．16-D ．163．（2022秋•余庆县期末）下列各式从左到右的变形为分解因式的是( ) A ．32321836x y x y =B ．2(2)(3)6m m m m +-=--C ．289(3)(3)8x x x x x +-=+-+D ．26(2)(3)m m m m --=+-4．（2022秋•淄川区期中）计算211x xx x--÷的结果是( ) A ．2xB ．2x -C ．xD ．x -5．（2022春•吴江区期中）如果1(0.1)a -=-，0(2022)b =-，23()2c -=-，那么a 、b 、c三个数的大小为( ) A ．b c a >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．c a b >>6．（2022秋•朝阳区期末）单项式232x y -的系数和次数分别是( )A ．3-，2B ．12-，3C ．32-，2D ．32-，37．下列计算正确的是( ) A ．22(3)9a a +=+ B ．222(9)189x y x xy y -=-+ C ．22(23)469a a a +=++D ．222()2x y x xy y -+=-+8．若关于x 的多项式2(2)(24)x ax x ++-展开合并后不含2x 项，则a 的值是( ) A ．0B ．12C ．2D ．2-9．（2022秋•淄川区期中）已知多项式2ax bx c ++，其因式分解的结果是(1)(4)x x +-，则abc 的值为( )A ．12B ．12-C ．6D ．6-10．（2022秋•怀柔区期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是()A ．2(2)2x x x x +=+B ．22(3)69x x x -=-+C ．211()x x x x+=+D ．29(3)(3)x x x -=+-11．（2022春•庐江县月考）下列四个式子中在有理数范围内能因式分解的是()A ．21x +B ．2x x +C ．221x x +-D ．21x x -+12．（2022春•运城月考）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是( ) A ．2(2)(3)6x x x x -+=+- B ．2(2)24x x -=- C ．24414(1)1x x x x -+=-+D ．3(1)(1)x x x x x -=-+13．（2022秋•离石区月考）下列各式中．是因式分解的是( ) A ．292(9)2m m m m -+=-+ B ．3()33m n m n +=+C ．2244(2)m m m ++=+D ．2223623(2)m m m m --=-+14．（2022秋•苍溪县期末）下列分式的变形正确的是( )A ．33a ab b +=+B ．22a a b b=C ．2a ab b b =D ．a aa b a b-=-++ 15．（2022秋•门头沟区期末）如果分式1xx +有意义，那么x 的取值范围( ) A ．0x ≠B ．1x ≠C ．1x =-D ．1x ≠-16．（2022秋•淄川区期中）若分式中22aba W+的a 和b 都扩大3倍，且分式的值不变，则W 可以是( ) A ．3B ．bC ．2bD ．3b17．（2022秋•合川区校级期末）下列分式是最简分式的是( ) A ．93baB ．22aba bC ．a ba b+- D ．2aa ab- 18．（2022秋•东丽区校级期末）计算32(3)x y -的结果是( )A ．329x yB ．629x yC ．326x yD ．626x y -19．（2022秋•泸县校级期末）若2(3)(5)15x x x mx -+=+-，则m 的值为( ) A ．8-B ．2C ．2-D ．5-20．（2022秋•丰满区期末）在下列计算中，正确的是( ) A ．4482a a a ⋅=B ．236(2)8a a -=-C ．347a a a +=D ．623a a a ÷=21．（2021秋•红花岗区校级月考）下列计算正确的是( ) A ．2221x x -= B ．22234a a a -+=-C ．3(1)31a a +=+D ．2(1)22x x -+=--22．（2021春•济南期中）若29x mx ++是完全平方式，则m 的值是( ) A ．3±B ．6-C ．6D ．6±23．（2022秋•霍邱县月考）单项式24m n -的系数和次数是( )A ．系数是14，次数是3B ．系数是14-，次数是3C ．系数是14-，次数是2D ．系数是3，次数是14-24．（2022秋•安徽期中）一个多项式与221x x +-的和是32x +，则这个多项式为( )A ．251x x -++B ．23x x -++C ．251x x ++D ．23x x --25．（2021秋•儋州校级期末）下列多项式中，能进行因式分解的是( ) A ．22x y +B ．32x y x y +C ．x y +D ．1y +26．（2022秋•莱州市期末）下列多项式，能用平方差公式分解的是( ) A ．224x y -+B ．2294x y +C ．22(2)x y +-D ．224x y --27．（2022秋•北京期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是( ) A ．2(3)(3)9x x x +-=- B ．22(2)44x x x +=++ C ．2(3)(5)215x x x x -+=+-D ．222469(23)x xy y x y -+=-28．（2022春•运城月考）将下列多项式因式分解，结果中不含有3x +因式的是()A ．29x -B ．23x x +C ．269x x -+D ．269x x ++29．（2022春•金牛区校级月考）多项式2224333126x y x y x y --的公因式是( ) A ．223x y zB ．22x yC ．223x yD ．323x y z30．（2022秋•龙江县校级期末）下列式子运算结果为1x +的是( )A ．2211x x x x -⋅+ B ．11x- C ．2211x x x +++D ．111x x x +÷- 31．（2021秋•白云区月考）下列选项中最简分式是( )A ．23x x x+B ．224xC ．211x x +- D ．211x + 32．若234a b c ==，且0abc ≠，则32a bc a+-的值是( ) A ．2B ．2-C ．3D ．3-33．（2022秋•淄川区期中）下列式子：33,,,21x y a xx a π++，其中是分式的是( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个34．（2022秋•石景山区期末）下列各式中，运算正确的是( )A ．11223x x x +=B ．2112111x x x +=+-- C ．2642142y x x y y⋅=D ．221323y xy x y÷=35．（2022秋•南岸区校级月考）下列运算正确的是( ) A ．222a a a +=B ．235a a a ⋅=C ．236(2)8a a -=D ．222()a b a b +=+36．（2021秋•平山区校级月考）下列计算正确的是( ) A ．2222a a a ⋅= B ．321a a a-⋅= C ．235()a a =D ．222()a b a ab b -=++37．（2022秋•新野县期中）下列变形中，从左到右不是因式分解的是( ) A ．22(2)x x x x -=-B ．2221(1)x x x ++=+C ．24(2)(2)x x x -=+-D ．22(1)x x x+=+38．（2022秋•中山区期末）若多项式2x bx c ++因式分解的结果为(2)(3)x x -+，则b c +的值为( ) A ．5-B ．1-C ．5D ．639．已知223A x x =--，2234B x x =-+，则A B -等于( ) A ．21x x --B ．21x x -++C ．2357x x --D ．27x x -+-40．（2022秋•合川区校级期末）已知23x y -=，则代数式221744x xy y -++的值为( )A ．434B ．134C ．3D ．4二、填空题41．（2022秋•朝阳区校级期末）多项式23223x y xy y --+的次数是．42．已知2ba=，则2222444a ab b a b ++=- ．43．（2022秋•密山市校级期末）若210y y m ++是一个完全平方式，则m = ． 44．（2021秋•岳麓区校级期末）单项式232x y -的系数为． 45．（2022秋•铁东区校级期末）若分式2xx-有意义，则x 的取值范围是． 46．计算：223()2a b ---= ． 47．（2022秋•苍溪县期末）若分式242a a -+的值为零，则a 的值是．48．（2022秋•西岗区校级期末）因式分解22mx mx m ++= ．49．若2610x x -+=，则242461x x x =++ ．50．（2022秋•北京期末）分解因式：2327a -= ．三、解答题51．（2022秋•朝阳区期末）计算：2213[4.5(3)2]2x x x x ---+． 52．先化简，再求值：23(2)[15(2)]a a b a b -----，其中1a =，5b =-．53．因式分解：（1）2()6()m a b n a b ---；（2）222(91)36a a +-；（3）222(5)8(5)16x x -+-+．54．因式分解：（1）229a b -；（2）22242a ab b -+． 55．计算：（1）22()()x x y x y -++；（2）[(2)2()()]y x y x y x y x --+-÷；56．先化简，再求值：228(2)22x x x x x x +÷+---，其中1x =．57．先化简，再求值：23211(1)x x x x ---÷，其中20x x --=．。

湘教版八年级数学上册知识点总结

湘教版八年级数学上册知识点总结第1章分式1.1分式1.2分式的乘法和除法1.3整数指数幕1.4分式的加法和减法1.5可化为一元一次方程的分式方程J本章复习与测试第2章三角形2.1三角形2.2命题与证明2.3等腰三角形2.4线段的垂直平分线2.3全等三角形2.6用尺规作三角形本章复习与测试第3章实数3.1平方根3.2立方根3.3实数第4章一元一次不等式（组）4.1不等式4.2不等式的基本性质4.3一元一次不等式的解法4.4一元一次不等式的应用4.5—元一次不等式组本章复习与测试第5章二次根式3.1二次根式3.2二次根式的乘法和除法3.3二次根式的加法和减法本章复习与测试知识点总结第一章：分式一、课前构建：认真阅读教材P IT回顾相关知识:—分式的走义4—分式的概念一—分式的性质2分式_—分式的运算一—分式方程a一分式无意义+j—分式的值为零4—乘’除运算a—整数指数幕的运算A—加、减运算厂二、课堂点拨：知识点一：分式的概念★考点1：分式的定义：f 一个空成/除以一个 ______________ （___________ ）,所得的商®叫做分乙1S例1、下列式子竿竽,±⅛叵中,是分式的是__________________ 。

“2x 5 K X姑点2汾式无意义:*jf⅛5>X-屮，当g ______ 时.分Λt⅛⅛: g_______ 时.÷1S例2、令二_____ 亦分式上没有意凫争__________ 陥分式厶有意矢2兀+1 工+1姑点3汾式的值为象亠f⅛5>X-屮，⅛/ ________ JLg ______ 叭分貞的½⅛0BSIY-I例氐若分式J的動岔则询勵_____________ O ÷'A-+1知识点二：分式的性质★考点4：分式的基本性质：分式的分子与分母都乘 _________ ,所得分式与原分式相等。

即 ___________ （其中A ≠ O）分式的分子与分母约去公因式，所得分式与原分式相等。

2023年初中数学中考考点归纳双向细目表

2023年初中数学中考考点一、代数1. 一元一次方程与一元一次不等式 1.1 解一元一次方程1.2 解一元一次不等式2. 整式2.1 整式的加减2.2 整式的乘除3. 因式分解3.1 提公因式法3.2 积因式分解4. 分式4.1 分式的加减4.2 分式的乘除二、几何1. 相似三角形1.1 判定相似三角形 1.2 相似三角形的性质2. 平行线与三角形2.1 平行线的性质2.2 三角形内角和3. 圆3.1 圆的性质3.2 圆内接四边形4. 三角形4.1 三角形的外角性质 4.2 三角形的面积计算三、函数与图像1. 一次函数1.1 一次函数的性质 1.2 一次函数图像2. 二次函数2.1 二次函数的性质2.2 二次函数图像3. 绝对值函数3.1 绝对值函数的性质 3.2 绝对值函数图像四、统计与概率1. 统计1.1 统计量的计算1.2 统计图的绘制2. 概率2.1 基本概率事件2.2 条件概率的计算五、解析几何1. 直线与圆1.1 直线与圆的位置关系 1.2 直线与圆的性质2. 空间图形2.1 空间图形的投影2.2 空间图形的体积计算六、实际问题1. 实际问题的解决方法1.1 将实际问题转化为数学问题1.2 利用数学方法解决实际问题2. 实际问题的综合运用2.1 结合多种数学知识解决实际问题 2.2 实际问题综合运用的技巧七、综合练习1. 综合练习题1.1 完形填空题1.2 阅读理解题2. 综合练习题解析2.1 完形填空题解析2.2 阅读理解题解析以上便是2023年初中数学中考的考点归纳双向细目表，同学们在备考中可根据此表进行有针对性的复习和练习，以取得更好的考试成绩。

2023年初中数学中考考点归纳双向细目表随着2023年初中数学中考的逐渐临近，同学们将面临着对数学知识的系统复习和全面梳理。

为了帮助同学们更好地备战数学中考，以下将就上文所述的考点进行更加详细的探讨和扩充。

一、代数代数是数学中的重要分支，它涵盖了一元一次方程与一元一次不等式、整式、因式分解和分式等内容。

不等式性质证明复习

不等式的性质和证明1. 不等式的性质是证明不等式和解不等式的依据.样由不等式性质定理4的推论2和定理5可得: 如果a 、b ∈ R +, 那么a > b ⇔ a n > b n (n ∈N), 在比较分数指数幂或根式的值的大小时常用.2. 比较法是证明不等式最基本的方法. 比较法的主要步骤是: 作差、变形、判断符号. 变形中常用到因式分解和配方, 其目的是便于判断正负. 比较某些分式、指数式或绝对值等的大小有时用作商比较方便一些.3. 分析法与综合法是证明命题(包括不等式、恒等式、定理等)时常用的两种方法, 主要由证明的思路和表述方式来区分.(1) 分析法是从求证的结论J 出发, 逐步分析能使结论成立的充分条件, 直到所需条件可由题设T 判明正确时, 就可断定原结论正确, 即: J ⇐ …… ⇐ T ，∵T 为真，∴J 成立. 用分析法证题时要特别注意不能省略反映逻辑推理过程的连结字或符号. 如果每一步都是使结论成立的充要条件, 就可用符号“⇔”表述(参看教材22页例3).(2) 综合法是由已知条件T 出发, 利用定义、公理、定理(如基本不等式)等，推出要证明的结论J ，即：T ⇒ ……… ⇒ J.(3) 具体证题时常采用“分析法找(思)路, 综合法表述”的论证方式.4. 熟记三个重要不等式及其中字母的取值范围, 在证明其它不等式时若能直接引用则可简化论证过程. 特别要重视“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”的灵活运用.5. 同向不等式两边分别相加或相乘是用综合法证明不等式的常用手段, 经常与应用重要不等式结合使用. 注意相乘时需要两边都是正数.6. 证明不等式的常用技巧有: 变量代换(例如三角代换), 同向放缩等.7. 证明不等式还可用数学归纳法、反证法等其它方法.8. 求函数f (x) 的最值的基本步骤是: (1) 论证f (x) ≥ m (或f (x) ≤ m );(2) 说明当x 取定义域内的某些值时相等能够成立. 9. 第10页例1中的结论是求最值的常用工具:(1) 如果两个正变量的和为常数, 那么当且仅当这两个变量相等时它们的积取最大值; (2) 如果两个正变量的积为常数, 那么当且仅当这两个变量相等时它们的和取最小值.例1 已知a > b 且ab ≠ 0, 比较a 1和b1的大小.解 ∵a 1 - b1 = ab a b -, 且a > b ⇔ b - a < 0,∴ 当ab > 0时ab a b -< 0, a 1 < b1;当ab < 0时ab a b -> 0, a 1 > b 1(也可由a > 0 > b 得a 1 > 0 > b1 ).综上所述, 当a > b > 0或b < a < 0时a 1 < b 1, 当a > 0且b < 0时a 1 > b1. 例2. 已知a ≠ b, a 、b 、m 、n ∈ R + 且m + n = 1, 试比较nb ma + 与a m + b n 的大小.解设P =nb ma +, Q =a m + b n .∵a 、b 、m 、n ∈ R +, ∴ P > 0, Q > 0.∵m + n = 1, ∴P 2 = ma + nb = (ma + nb)(m + n),P 2 - Q 2 = (ma + nb)(m + n) - (a m + b n )2 = mn(a - b )2 ,∵ a ≠ b, ∴P 2 - Q 2 > 0, P > Q,nb ma + > a m + b n .例3. 若 a > 2, 证明 log a (a - 1) < log a+1 a .证明设c = log a (a - 1) - log a+1 a = log a (a - 1) -)1(log 1+a a =)1(log 1)1(log )1(log +-+-a a a a a a ,∵a >2, log a (a + 1) > 0, log a (a - 1) > 0,log a (a - 1) log a (a + 1) = ()1(log )1(log +-a a a a )2 < (21( log a (a - 1) + log a(a + 1)))2= (21log a (a 2 - 1))2 < (21log aa 2 )2 (同向放缩) = 1,∴ c < 0, log a (a - 1) < log a+1 a . 也可用作商比较法.例4. 设a 、 b 、c ∈ R +, 且a + b + c = 1, 证明a +b +c ≤3 .证明 ∵a 、 b 、c ∈ R +, 且a + b + c = 1,要证a +b +c ≤ 3,只需证 a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca ≤ 3, 即证 2ab + 2bc + 2ca ≤ 2(a + b + c),∴只需证 (a -b )2 + (b -c )2 + (c -a )2 ≥ 0 ①, ∵不等式①成立, ∴a +b +c ≤ 3.例5. 1. 已知x, y ∈ R + 且x + 2y = 1, 求 x1 + y 1 的最小值. 请指出下面两种解法中哪一种是错误的, 为什么?解法一由1 = x + 2y ≥ 2xy 2得xy 1 ≥ 22, ∴ x 1 + y 1 ≥xy2 ≥ 42,∴x1 + y 1的最小值是42.解法二 ∵x, y ∈ R + 且x + 2y = 1, ∴ x 1 + y 1= (x + 2y)(x1 + y 1) = 3 + x y2 + y x ≥3 + 22, 当且仅当xy 2 = y x即x =2 - 1, y = 1 -22 时相等成立, ∴ x1 + y 1 的最小值是3 + 22.例6. 设lg x + lg y = 1, 求2x + 5y 的最小值.例6. 由题设知x > 0, y > 0且xy = 10, ∴2x + 5y ≥ 2xy 10 = 20, 当且仅当2x = 5y 时相等成立, 此时x ∙52x = 10, x = 5, y = 2. 高考题精选1.（03京春）设a ，b ，c ，d ∈R ，且a >b ，c >d ，则下列结论中正确的是（） A.a +c >b +d B.a －c >b －d C.ac >bdD.cbd a > 2.（01京春）若实数a 、b 满足a +b =2，则3a +3b 的最小值是（） A.18 B.6 C.23 D.243 6.（01上海春）若a 、b 为实数，则a >b >0是a 2>b 2的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分条件也非必要条件 3.（00全国）若a ＞b ＞1，P ＝b a lg lg ⋅，Q ＝21（lg a ＋lg b ），R ＝lg （2b a +），则（） A.R ＜P ＜Q B.P ＜Q ＜RC.Q ＜P ＜RD.P ＜R ＜Q4.（94上海）若0＜a ＜1，则下列不等式中正确的是（） A.（1－a ）31＞（1－a ）21 B.log 1－a （1＋a ）＞0 C.（1－a ）3＞（1＋a ）2D.（1－a ）)1(a +＞15.(04湖北) 若011<<ba ，则下列不等式: ①ab b a <+； ②|;|||b a > ③b a <； ④2>+baa b 中，正确的不等式有（）BA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．(05重庆) 若x ，y 是正数，则22)21()21(xy y x +++的最小值是（）CA ．3B ．27 C ．4 D ．297. 设a = sin 15º + cos 15º, b = sin 16º + cos 16º, 下面各式中正确的一个是 ( )(A) a <222b a +< b (B) a < b < 222b a + (C) b < a <222b a + (D) b <222b a +< a .1.A ∵a >b ，c >d ，∴a +c >b +d .2.B 3a +3b ≥2b a b a +=⋅3233=6，当且仅当a =b =1时取等号.故3a +3b 的最小值是6.3.B ∵lg a ＞lg b ＞0，∴21（lg a ＋lg b ）＞b a lg lg ⋅，即Q ＞P ，又∵a ＞b ＞1，∴ab b a >+2，∴21lg )2lg(=<+ab b a （lg a ＋lg b ），即R ＞Q ，∴有P ＜Q ＜R ， 4. A. 因为0＜a ＜1，所以0＜1－a ＜1，而指数函数y =m x （m ＞0，m ≠1）在0＜m ＜1时，是减函数，则（1－a ）31＞（1－a ）21，故选A.1. 已知a 、 b 、c 是不全相等的正数, 求证：ab +bc +ca < a + b + c . 证明 ∵a 、 b 、c ∈ R +, ∴ab ≤ 2b a + ①,bc ≤ 2c b + ②,ca ≤ 2a c + ③ .又∵a 、 b 、c 不全相等, ①、②、③中的等号不能同时成立, ∴ab +bc +ca < a + b + c .。

期末复盘数学总结

期末复盘数学总结一、复习方法1. 制定复习计划。

根据课程内容进行划分，每天安排合理的复习时间，集中精力复习同一类型的题目。

2. 温故知新。

利用课堂笔记、教材和习题册等复习资料，对课程内容进行温故，巩固基础知识。

3. 解题总结。

对于每道题目，一定要认真思考解题思路，并进行手写解答。

解题过程中，要注意记录关键步骤和解题技巧，遇到难题及时求助老师。

4. 制作复习资料。

可以用彩色纸卡片制作知识点和公式的总结卡片，方便随时温习和复习。

二、知识点总结1. 代数代数是数学中重要的一个分支，主要研究数和数之间的关系。

在期末复习中，主要涉及的代数知识点包括：- 多项式及其运算：多项式的定义及基本运算，如加法、减法、乘法和除法等。

- 因式分解与配方法：将多项式进行因式分解，可以利用分配律、提公因式法、换元法等。

- 分式运算：涉及分式的四则运算，如加法、减法、乘法和除法。

- 方程与不等式：解一元一次方程、一元二次方程，求解一元一次不等式、一元二次不等式。

- 等差数列与等比数列：了解等差数列与等比数列的定义、性质及其应用。

- 幂与指数：熟练掌握幂与指数的运算规律，包括乘法规律、除法规律、幂的乘方规律和幂的除法规律等。

2. 几何几何是研究空间、形状、大小及其相互关系的科学，主要包括平面几何和立体几何。

- 平面几何：主要涉及平面内的几何关系、相似三角形、勾股定理、平行线、相交线等。

- 立体几何：主要涉及立体体积与表面积的计算，如长方体、正方体、棱柱、棱锥、球体、圆锥等。

- 三角函数：了解三角函数的定义和性质，如正弦、余弦、正切、余切等，掌握三角函数的基本公式和性质。

3. 概率与统计概率与统计是数学中的重要部分，主要涉及对数据的收集、整理和分析。

- 概率：学习概率的基本概念、事件的概率计算、条件概率与全概率公式等。

- 统计：掌握数据的统计方法，包括平均数、中位数、众数、极差、标准差等，了解频率分布表、频率分布直方图和折线图的作用。

一元二次方程不等式分式方程

中考总复习：一元一次不等式（组）—知识讲解【知识网络】【考点梳理】考点一、不等式的相关概念 1．不等式用不等号连接起来的式子叫做不等式．常见的不等号有五种： “≠”、 “＞” 、 “＜” 、 “≥”、 “≤”． 2．不等式的解与解集不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集．不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是先确定边界点：解集包含边界点，是实心圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；再确定方向：大向右，小向左. 3．解不等式求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程，叫做解不等式.要点诠释：不等式的解与一元一次方程的解是有区别的：不等式的解是不确定的，是一个范围，而一元一次方程的解则是一个具体的数值．考点二、不等式的性质性质1：不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即如a ＞b ，那么a ±c ＞b ±c ．性质2：不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc （或a c ＞bc ）．性质3：不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc （或a c ＜b c）．要点诠释：（1）不等式的其他性质：①若a ＞b ，则b ＜a ；②若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c ；③若a ≥b ，且b ≥a ，•则a=b ；④若a 2≤0，则a=0；⑤若ab ＞0或0a b >，则a 、b 同号；⑥若ab ＜0或0ab<，则a 、b 异号.概念基本性质不等式的定义不等式的解法一元一次不等式的解法一元一次不等式组的解法不等式实际应用不等式的解集（2）任意两个实数a 、b 的大小关系：①a -b ＞O ⇔a ＞b ；②a -b=O ⇔a=b ；③a-b ＜O ⇔a ＜b ．不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a ＜b 可转换为b ＞a ，c ≥d 可转换为d ≤c . 考点三、一元一次不等式（组） 1．一元一次不等式的概念只含有一个未知数，且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式．其标准形式：ax+b ＞0(a ≠0)或ax+b ≥0(a ≠0) ，ax+b ＜0(a ≠0)或ax+b ≤0(a ≠0)． 2．一元一次不等式的解法一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，•但要特别注意不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号要改变方向．解一元一次不等式的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)化系数为1．要点诠释：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方． 3．一元一次不等式组及其解集含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组．一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集．一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定．要点诠释：判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同；②不等式组中不等式的个数至少是2个，也就是说，可以是2个、3个、4个或更多． 4．一元一次不等式组的解法由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示. 不等式组（其中a ＞b ）图示解集口诀x ax b >⎧⎨>⎩ bax a > （同大取大）x ax b <⎧⎨<⎩ b ax b <（同小取小） x ax b <⎧⎨>⎩ bab x a << （大小取中间）x ax b>⎧⎨<⎩ ba无解（空集）（大大、小小找不到）5．一元一次不等式（组）的应用列一元一次不等式（组）解实际应用问题，可类比列一元一次方程解应用问题的方法和技巧，不同的是，列不等式（组）解应用题，寻求的是不等关系，因此，根据问题情境，抓住应用问题中“不等”关系的关键词语，或从题意中体会、感悟出不等关系显得十分重要．要点诠释：列一元一次不等式组解决实际问题是中考考查的一个重要内容，在列不等式解决实际问题时，应掌握以下三个步骤：（1）•找出实际问题中的所有不等关系或相等关系（有时要通过不等式与方程综合来解决），设出未知数，列出不等式组（•或不等式与方程的混合组）；（2）解不等式组；（3）从不等式组（或不等式与方程的混合组）•的解集中求出符合题意的答案． 6．一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系一次函数(0)y kx b k =+≠，当函数值0y =时，一次函数转化为一元一次方程；当函数值0y ＞或0y ＜时，一次函数转化为一元一次不等式，利用函数图象可以确定x 的取值范围.【典型例题】类型一、解不等式（组）1．解不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来（1）2x ﹣1＜3x+2 （2）．举一反三：【变式】131321≤---x x 解不等式：.2．解不等式组352,1212x x x x -<⎧⎪⎨-≤+⎪⎩并将其解集在数轴上表示出来.举一反三：【变式1】解不等式组312(1)2(1)4x x x x +≥-⎧⎨+>⎩，并把它的解集在数轴上表示出来．【变式2】解不等式组24x ≤⎧⎪⎨+⎪⎩（x-1）+33x x-2＞3，并写出不等式组的整数解；类型二、一元一次不等式（组）的特解问题3．若不等式组的正整数解有3个，那么a 必须满足（） A ．5＜a ＜6 B ．5≤a＜6 C ．5＜a≤6 D ．5≤a≤6举一反三：【变式1】关于x 的方程，如果3(x ＋4)－4＝2a ＋1的解大于3)43(414-=+x a x a 的解，求a 的取值范围．【变式2】若不等式-3x+n ＞0的解集是x ＜2，则不等式-3x+n ＜0的解集是_______．类型三、一元一次不等式（组）的应用4．仔细观察下图，认真阅读对话：根据对话内容，试求出一盒饼干和一袋牛奶的标价各是多少元．举一反三：【变式】某牛奶乳业有限公司经过市场调研，决定从明年起对甲、乙两种产品实行“限产压库”，要求这两种产品全年共新增产量20件，这20件的总产值p（万元）满足：110＜p＜120．已知有关数据如表所示，•那么该公司明年应怎样安排新增产品的产量？产品每件产品的产值甲 4.5万元乙7.5万元类型四、一元一次不等式（组）与方程的综合应用5．某钱币收藏爱好者，想把3．50元纸币兑换成的1分，2•分，5分的硬币；他要求硬币总数为150枚，2分硬币的枚数不少于20枚且是4的倍数，5•分的硬币要多于2分的硬币；请你根据此要求，设计所有的兑换方案．6．某校组织学生到外地进行综合实践活动，共有680名学生参加，并携带300件行李．学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共20辆．经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李．⑴如何安排甲、乙两种汽车可一次性地将学生和行李全部运走？有哪几种方案？⑵如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，请你选择最省钱的一种租车方案【巩固练习】一、选择题1. 不等式-x-5≤0的解集在数轴上表示正确的是（）A B C D2．若实数a＞1，则实数M=a，N=23a+，P=213a+的大小关系为（）A．P＞N＞M B．M＞N＞P C．N＞P＞M D．M＞P＞N3．如图所示，一次函数y=kx+b的图象经过A ，B两点，则不等式kx+b＞0•的解集是（）A．x＞0 B．x＞2 C．x＞-3 D．-3＜x＜24．如果不等式213x++1＞13ax-的解集是x＜53，则a的取值范围是（）A．a＞5 B．a=5 C．a＞-5 D．a=-55．已知整数x满足是不等式组，则x的算术平方根为（）A．2 B．±2 C． D．46．不等式组3(2)423xa xxx+--≤⎧>⎪⎨⎪⎩无解，则a的取值范围是（）A．a＜1 B．a≤1 C．a＞1 D．a≥1二、填空题7．若不等式ax＜a的解集是x＞1，则a的取值范围是__ ____．8．若（m﹣1）x|2m﹣1|﹣8＞5是关于x的一元一次不等式，则m= ．9．已知3x+4≤6+2（x-2），则│x+1│的最小值等于__ ____．10．若不等式a（x-1）＞x-2a+1的解集为x＜-1，则a的取值范围是____ __．11．满足22x+≥213x-的x的值中，绝对值不大于10的所有整数之和等于__ ____．12．有10名菜农，每个可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩，•已知甲种蔬菜每亩可收入0.5万元，乙种蔬菜每亩可收入0.8万元，若要总收入不低于15.6万元，•则最多只能安排_______人种甲种蔬菜．三、解答题13．解下列不等式（组），并把解集在数轴上表示出来．（1）x-3≥354x-．（2）解不等式组14. 若0231<-+x x ，求x 的取值范围．15．某电器商场销售A 、B 两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元，商场销售5台A 型号和1台B 型号计算器，可获利润76元；销售6台A 型号和3台B 型号计算器，可获利润120元．（1）求商场销售A 、B 两种型号计算器的销售价格分别是多少元？（利润=销售价格﹣进货价格）（2）商场准备用不多于2500元的资金购进A 、B 两种型号计算器共70台，问最少需要购进A 型号的计算器多少台？16. 如图所示，一筐橘子分给若干个儿童，如果每人分4个，•则剩下9个；如果每人分6个，则最后一个儿童分得的橘子数少于3个，问共有几个儿童，•分了多少个橘子？中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用—知识讲解【知识网络】【考点梳理】考点一、一元二次方程 1.一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式为20ax bx c ++=(a ≠0)． 2.一元二次方程的解法（1）直接开平方法：把方程变成2x m =的形式，当m ＞0时，方程的解为x m =m ＝0时，方程的解1,20x =；当m ＜0时，方程没有实数解．（2）配方法：通过配方把一元二次方程20ax bx c ++=变形为222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭的形式，再利用直接开平方法求得方程的解．（3）公式法：对于一元二次方程20ax bx c ++=，当240b ac -≥时，它的解为24b b acx -±-=．（4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解．要点诠释：直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法．3．一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式为ac 4b 2-=∆． △>0⇔方程有两个不相等的实数根；△＝0⇔方程有两个相等的实数根； △<0⇔方程没有实数根．上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边．要点诠释：△≥0⇔方程有实数根. 4．一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的两个根是21x x 、，那么ac x x a b x x 2121=⋅-=+，．考点二、分式方程 1.分式方程的定义分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程．要点诠释：（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程.2.分式方程的解法去分母法，换元法． 3.解分式方程的一般步骤(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程； (2)解这个整式方程；(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根.口诀：“一化二解三检验”. 要点诠释：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．考点三、一元二次方程、分式方程的应用 1．应用问题中常用的数量关系及题型 (1)数字问题(包括日历中的数字规律)关键会表示一个两位数或三位数，对于日历中的数字问题关键是弄清日历中的数字规律．关键是寻找其中的不变量作为等量关系.(3)打折销售问题其中的几个关系式：利润＝售价-成本价(进价)，利润率＝利润成本价×100%．明确这几个关系式是解决这类问题的关键．(4)关于两个或多个未知量的问题重点是寻找到多个等量关系，能够设出未知数，并且能够根据所设的未知数列出方程.(5)行程问题对于相遇问题和追及问题是列方程解应用题的重点问题，也是易出错的问题，一定要分析其中的特点，同向而行一般是追及问题，相向而行一般是相遇问题．注意：追及和相遇的综合题目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇.(6)和、差、倍、分问题增长量＝原有量×增长率；现有量＝原有量+增长量；现有量＝原有量-降低量．2．解应用题的步骤(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；(3)找出相等关系，并用它列出方程；(4)解方程求出题中未知数的值；(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．要点诠释：方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想．注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意．【典型例题】类型一、一元二次方程1．用配方法解一元二次方程：2213x x +=举一反三：【变式】用配方法解方程x 2-7x-1=0．2．已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+2）x+2=0．（1）证明：不论m 为何值时，方程总有实数根；（2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．举一反三：【变式】已知关于x 的方程2(2)210x m x m +++-=．（1）求证方程有两个不相等的实数根．（2）当m 为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解．类型二、分式方程 3．解分式方程：=﹣．举一反三：【变式1】解分式方程：21233x x x -+=--．【变式2】方程22123=-+--xx x 的解是x= ． 4．若解分式方程2111(1)x m x x x x x ++-=++产生增根，则m 的值是（） A.B. C. D.举一反三：【变式】若关于x 的方程2332+-=--x m x x 无解，则m 的值是．类型三、一元二次方程、分式方程的应用5．轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米.求这艘轮船在静水中的速度和水流速度.举一反三：【变式】甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？6．某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？【巩固练习】一、选择题1. 用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（）A ．()216x +=B ．()216x -=C ．()229x +=D ．()229x -=2．关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、，且22127x x +=，则212()x x -的值是（）A ．1B ．12C ．13D ．25 3．关于x 的一元二次方程kx 2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）A ．k ＞﹣1B ．k≥﹣1C ．k≠0D ．k ＜1且k≠04．若关于x 的一元二次方程0235)1(22=+-++-m m x x m 的常数项为0，则m 的值等于（）A ．1B ．2C ．1或2D ．05．在一幅长为80cm ，宽为50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程是（）.A ．213014000x x +-=B ．2653500x x +-=C ．213014000x x --=D ．2653500x x --=6．甲、乙两地相距S 千米，某人从甲地出发，以v 千米/小时的速度步行，走了a 小时后改乘汽车，又过b 小时到达乙地，则汽车的速度（）A.B. C. D.二、填空题 7．方程﹣=0的解是． 8．如果方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个不等实根，则实数a 的取值范围是___ ___．9．某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x ，可列方程为 __ ．10．当m 为时，关于x 的一元二次方程02142=-+-m x x 有两个相等的实数根；此时这两个实数根是 . 11．如果分式方程1+x x =1+x m 无解, 则 m = . 12．已知关于x 的方程 x 1 － 1-x m = m 有实数根，则 m 的取值范围是 .三、解答题13. （1）解方程：x x x x 4143412+-=---；（2）解方程：x x x x 221103+++=.14．一列火车从车站开出，预计行程450千米，当它开出3小时后，因特殊任务多停一站，耽误30分钟，后来把速度提高了0.2倍，结果准时到达目的地，求这列火车的速度.15．已知关于x 的方程x 2+（2m ﹣1）x+m 2=0有实数根，（1）求m 的取值范围；（2）若方程的一个根为1，求m 的值；（3）设α、β是方程的两个实数根，是否存在实数m 使得α2+β2﹣αβ=6成立？如果存在，请求出来，若不存在，请说明理由．16．如图，利用一面墙，用80米长的篱笆围成一个矩形场地（1）怎样围才能使矩形场地的面积为750平方米？（2）能否使所围的矩形场地面积为810平方米，为什么？。

2024-2025学年鲁教版(五四制)八年级数学上册期中考试知识梳理课件

（2）先乘方再计算乘除，再约分即可求解．
知识点6：同分母分式的加减
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
上述法则可用式子表为：
知识点7：异分母分式的加减
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
上述法则可用式子表为：
题型五已知分式恒等式，确定分子或分母
x3
A
B

x 1 x 1 x 1 x 1
【点拨】本题主要考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关
键．根据分式的分子分母都乘以或除以一个不为0的整数，分式的值不变，
即可得到答案．
知识点3：分式的约分，最简分式
与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变
分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。如果一个分式的分子与分母没有相同
B．－x2+y2
C．－x2－y2
）
D．(－9 x)2－(－y)2
1 2 2 1 2 2 1
1
x －y =( x) －y =( x+y)( x－y)，故不符合题意；
4
2
2
2
B．－x2+y2= y2－x2 = (y +x)( y－x)，故不符合题意；
C．－x2－y2=－(x2+y2)，不符合平方差公式的特点，故符合题意；
故选：B．
【点拨】此题考查了因式分解的意义，分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形
式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定．
题型二根据因式分解的结果求参数
2

若－3－10 = ( + ) ( + )，则 + =

初三数学等式与不等式复习

重点考查：①相反数、倒数、绝对值、平方根、算术平方根、有理数、无理数等概念的掌握情况。

②实数大小的比较、简单的实数运算等内容。

③把一个数科学记数，正确把握近似数的精确度和有效数字之间的关系。

④利用数轴，靠直观判断给出实数的特点，进行实数的化简与计算。

⑤掌握整式、分式、根式的运算。

⑥掌握因式分解的运算。

⑦能发现和总结一些规律。

1.有理数和无理数统称实数。

实数有以下两种分类方法：①按属性分类：②按符号分类2.根式的化简。

（1）利用积的算术平方根的性质，可将被开方数中的开方开得尽的因式，用它的算术平方根代替，而把它移到根号外，也可把根号外的非负因式平方后移到根号内。

如：===2，3==。

一般地，如果a≥0，那么=a。

这里同样要注意a≥0的条件，防止发生=–3的错误。

另外，一般地，如果a1≥0，a2≥0……a n≥0，那么=·…。

（2）对式子的讨论，在化简时，要进行分类讨论。

由于一个实数可能是正数、零和负数三种情形，所以上述式子实际表示三种情形：当a>0时，=|a|=a；当a=0时，=|a|=0；当a<0时，=|a|=–a。

二次根式的一个重要性质：( )2=a(a≥0)，这个式子表明：一个非负实数的算术平方根的平方等于原来的非负数。

而把这个式子反过来，还可得到a =( ) 2(a≥0)，这时式子表明：任何一个非负实数都可写成这个数的算术平方根的平方。

注意事项:（1）区别形如(-3)4与-34的乘方运算的意义，前者表示(-3)×(-3)×(-3)×(-3)；后者表示-(3×3×3×3)。

（2）区别()4与的意义，前者表示×××，表述为的四次方；后者表示（3）因式分解的结果必须是几个整式的积的形式。

3.整式（1）单项式：数与字母的积的形式的代数式叫做单项式．单项式是代数式的一种特殊形式，它的特点是对字母来说只含有乘法的运算，不含有加减运算．在含有除法运算时，除数（分母）只能是一个具体的数，可以看成分数因数．单独一个数或一个字母也是单项式．单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.（2）多项式：几个单项式的代数和叫做多项式．也就是说，多项式是由单项式相加或相减组成的．其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项；多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数.整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.（3）整式的乘除①幂的运算性质：②单项式与多项式相乘：多项式与多项式相乘：③单项式相除：两个单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．（4）因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解．4．分式（1）一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．其中（2）分式的值为0A=0且这两个条件缺一不可．（3）如果一个分式的分子、分母没有公因式，那么这样的分式叫做最简分式（也叫既约分式）．如果一个分式的分子、分母有公因式，那么可根据分式的基本性质，用分子、分母的公因式去除分子和分母，将分式化成最简分式，或者化成整式，这就是约分．（4）分式的基本性质：（5）分式的运算：①分式的加减：，．②分式的乘除：，．③分式的乘方：.典型例题分析：1．抗非典期间，个别商贩将原来每桶价格a元的过氧乙酸消毒液提高20%后出售，市政府及时采取措施，使每桶的价格在涨价后，下降15%，那么现在每桶的价格是________元.2．若单项式是同类项，则的值是（）.A、-3 B、-1 C、D、33．(1)下列各式中正确的是（）.A、B、a2·a3=a6C、(-3a2)3=-9a6D、a5+a3=a8(2)已知：a，b为实数，下列各式中一定为正值的是（）.A、a2-2a+2B、C、a2+b2D、(a-1)2+|b+2|(3)若代数式2x2+3x+7的值为8，则代数式4x2+6x-9的值是（）.A、2B、-17C、-7D、75．设，则=__________.若a2+3a+1=0，求的值.6．因式分解：(1) (a2+b2)2-4a2b2（2）x2-bx-a2+ab7．已知一个凸四边形ABCD的四条边的长顺次是a，b，c，d，且a2+ab-ac-bc=0，b2+bc-bd-cd=0，那么四边形ABCD是（）.A、平行四边形B、矩形C、菱形D、梯形8．已知x=-2时，分式无意义；当x=4时，分式值为0，则a+b=_______．9．已知x、y是方程组的解，求代数式的值．10．化简：(1)；(2)；(3).化简：.11.实数a、b、c在数轴上的点如图所示中考真题解析1．分母有理化:=_________。

高中数学专题复习不等式的解法及应用知识点例题精讲

不等式的解法及应用[高考能力要求]不等式的解在历年高考中占有咬重的份量，在客观题中，内容多为判断不等式的解、求简单不等式的解及参数的取值范围；主观题中，既有含参数不等式的解法，又有与函数、方程、三角、数列、二项式及解析几何等知识综合性较强的问题。

讨论含参数不等式的解及有关的恒成立问题是高考命题的热点。

几种常见不等式的解法如下： 1．一元一次不等式：（1）0>+b ax ：①0>a 时，a bx ->；②0=a 时，若0>b ，则R x ∈，若0≤b ，则φ∈x ；③当0<a 时，abx -<；（2）0<+b ax ：①0>a 时，a bx -<；②0=a 时，若0<b ，则R x ∈，若0≥b ，则φ∈x ；③当0<a 时，abx ->；2．一元二次不等式对于一元二次不等式)0(0,022><++>++a c bx ax c bx ax 的解法如下表：3．一元高次不等式：通过因式分解，将之化为若干个一次因式的积且右边为0的形式，然后利用根轴法解决，注意应当先将x 的系数化成正数。

4．分式不等式：解题的关键是去分母，可运用同解定理将之转化为高次不等式。

0)()(0)()(>⇔>x g x f x g x f ；0)()(0)()(<⇔<x g x f x g x f 5．绝对值不等式：解题的关键是去绝对值符号，可利用绝对值的定义转化。

)()()()()(x x f x x x f ϕϕϕ≤≤-⇔≤；)()()()(x x f x x f ϕϕ-≤⇔≥或)()(x x f ϕ≥ [例题精讲]【例1】解不等式0442>++x ax 。

分析：含有参数的不等式，必须对参数进行讨论，对一元二次不等式来说，讨论从二次项系数和判别式入手。

解：（1）若0>a① 当1>a 时，0)1(16<-=∆a ，不等式的解集为R ； ② 当1=a 时，0=∆，不等式的解集为{}2|-≠x x③ 当1<a 时，0>∆，不等式的解集为⎩⎨⎧---<a a x x 122|或⎭⎬⎫-+->a a x 122；（2）若0=a ，原不等式变为044>+x ，解集为{}1|->x x ；（3）若0<a ，0)1(16>-=∆a ，aa a a ---<-+-122122，∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧---<<-+-a a x a a x 122122|。

分式、因式分解整式乘除综合知识点及练习

整式的乘除法。

因式分解和分式复习基本概念一．整式的除乘法 1。

同底数幂的乘法：mn m n a a a +=,（m,n 都是正整数),即同底数幂相乘,底数不变，指数相加。

2。

幂的乘方：()m nmna a=,(m ，n 都是正整数)，即幂的乘方，底数不变，指数相乘.3.积的乘方：()n n nab a b =，（n 为正整数），即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。

4。

整式的乘法：(1）单项式的乘法法则：一般地，单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．（2）单项式乘多项式法则：单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律,用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加．可用下式表示:m （a +b +c )=ma +mb +mc (a 、b 、c 都表示单项式）（3)多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．5.乘法公式：（1）平方差公式：平方差公式可以用语言叙述为“两个数的和与这两个的差积等于这两个数的平方差"，即用字母表示为：（a +b )(a －b )=a 2－b 2;其结构特征是：公式的左边是两个一次二项式的乘积，并且这两个二项式中有一项是完全相同的，另一项则是互为相反数，右边是乘式中两项的平方差.（2）完全平方公式:完全平方公式可以用语言叙述为“两个数和（或差)的平方，等于第一数的平方加上（或减去）第一数与第二数乘积的2倍，加上第二数的平方”，即用字母表示为：（a +b )2=a 2+2ab +b 2;（a －b )2=a 2－2ab +b 2;其结构特征是:左边是“两个数的和或差”的平方,右边是三项，首末两项是平方项,且符号相同，中间项是2ab ，且符号由左边的“和”或“差”来确定. 在完全平方公式中，字母a 、 b 都具有广泛意义，它们既可以分别取具体的数，也可以取一个单项式、一个多项式或代数式（3）添括号时,如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都变号。