高中数学常见题型解法归纳 - 轨迹方程的求法

高中数学常见题型解法归纳 - 轨迹方程的求法

【知识要点】

一、“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义

在直角坐标系中，如果曲线上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解（纯粹性）；（2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上（完备性）.那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.

二、求简单的曲线方程的一般步骤：建设限代化

（1）建立直角坐标系：利用垂直性和对称性建立适当的坐标系；

（2）设点：用有序实数对表示曲线上任意一点的坐标（不要把其它的点的坐标设成）；

（3）列出动点满足的限制条件：用坐标表示条件,列出方程；

（4）代点坐标到方程；

（5）化简：化方程为最简形式；

（6）检验：检验某些特殊点是否满足题意，把不满足的点排除，把满足的点补充上来.（可以省略）

三、求轨迹方程的四种主要方法：轨迹四法待代直参

（1）待定系数法：通过对已知条件的分析，发现动点满足某个曲线（圆、圆锥曲线）的定义，然后设出曲线的方程，求出其中的待定系数，从而得到动点的轨迹方程.

（2）代入法：如果点的运动是由于点的运动引起的，可以先用点的坐标表示点

的坐标，然后代入点满足的方程，即得动点的轨迹方程.

（3）直接法：直接把已知的方程和条件化简即得动点的轨迹方程.

（4）参数法：动点的运动主要是由于某个参数的变化引起的，可以选参、设

参，然后用这个参数表示动点的坐标，即，再消参.

四、轨迹和轨迹方程

轨迹和轨迹方程是两个不同的概念，轨迹表示的曲线的简单特征的描述，而求轨迹方程

只求那个方程即可，不需描述曲线的特征.

【方法讲评】

【例1】线段与互相垂直平分于点，，，动点满足

，求动点的轨迹方程．

【解析】

【点评】（1）这种题目由于已知中没有直角坐标系，所以首先要根据垂直性和对称性建立直角坐标系，由于建立坐标系的方法有多种，所以求出的轨迹方程有多种，但是都是对的；（2）这道题是直接用坐标化简已知中的得到的轨迹方程，运用的是直接法.

【例2】已知圆：，由动点向圆引两条切线、，

切点分别为、，并且，求点的轨迹.

【点评】（1）这道题运用的是直接法，但是它是把已知条件转化得到的一个等式

，不是现存的等式.（2）轨迹和轨迹方程是两个不同的概念，轨迹包含轨迹方程和对轨迹方程表示的曲线的简单特征的描述，而求轨迹方程只求那个方程即可，不需描述曲线的特征.所以本题要描述轨迹的基本特征.

【反馈检测1】在平面直角坐标系中，两点的坐标分别为、，动点满足:直线与直线的斜率之积为．

（1）求动点的轨迹方程；

（2）设为动点的轨迹的左右顶点，为直线上的一动点（点不在x 轴上），连[交的轨迹于点，连并延长交的轨迹于点，试问直线是否过定点？若成立，请求出该定点坐标，若不成立，请说明理由．

【反馈检测2】一条双曲线的左、右顶点分别为，点，

是双曲线上不同的两个动点.

（1）求直线与交点的轨迹的方程式；

（2）若过点（）的两条直线和与轨迹都只有一个交点，且 ,求的值.

【例3】已知动圆P与两定圆和都外切，求动圆圆心的轨迹方程．

【点评】（1）此道题通过对已知的分析得到，即动点到两个定点的距离的差是一个常数，与双曲线的定义相符，所以其轨迹是双曲线的一支，利用的是待定系数法；（2）利用待定系数法求轨迹方程时，一定要比较全面地分析条件和曲线的定义，看是曲线的全部，还是曲线的部分，此题也不是双曲线的全部，是双曲线的一支.

【例4】已知点到点的距离比到点到直线的距离小4；

（Ⅰ）求点的轨迹的方程；

（Ⅱ）若曲线上存在两点关于直线l:对称，求直线的方程.

【解析】（1）结合图形知，点不可能在轴的左侧，即到点的距离等于

到直线的距离的轨迹是抛物线，为焦点，为准线的轨迹方程是：

（2）设则相减得

又的斜率为－4则

中点的坐标为，即

经检验，此时，与抛物线有两个不同的交点，满足题意．

【点评】（1）本题的第一问利用的就是待定系数法，通过对动点的分析，发现它满足抛物线的定义,所以动点的轨迹是抛物线.(2)第二小问利用了点差法，可以提高解题效率.

【反馈检测3】已知垂直平分线与

交于点.

（1）求点的轨迹方程；

（2）已知点，过点且斜率为（）的直线与点的轨迹相交于

两点，直线，分别交直线于点,，线段的中点为，记直线的斜率为.求证:为定值.

某被动点之所以在运动，是因为主动点在某曲线

先利用被动点的坐标表示主动点把动点

化简

【例5】已知抛物线和点，为抛物线上一点，点在线段上且

，当点在该抛物线上移动时，求点的轨迹方程．

【点评】点之所以在动，就是因为点在动，所以点是被动点，点是主动点，

这种情景，应该利用代入法求轨迹方程.

【反馈检测4】已知的顶点，顶点在抛物线上运动，求的重心的轨迹方程．

如果动点的运动主要是由于某个参数

）用这个参数表示动点的坐标，即）消去参数

【例6】已知曲线

（1）证明:当时，曲线是一个圆；

（2）求证圆心在一条定直线上.

【点评】（1）此题求圆心在一定直线上，就是求动点的轨迹是一条直线；（2）圆心的运动主要是因为参数引起的，所以选用消参法解答.

【反馈检测5】已知线段，直线垂直平分于，在上取两点，使有向线段满足，求直线与的交点的轨迹方程．

参考答案

【反馈检测1答案】（1）；（2）直线恒过定点．