高中数学常见题型解法归纳 - 轨迹方程的求法
高三高考数学中求轨迹方程的常见方法
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，方程为
(x
1) 2
( y 1) 2
13 . 故 M 的
2
轨迹方程为 ( x 1) 2 ( y 1) 2 13 .
五、参数法 参数法是指先引入一个中间变量 （参数） ，使所求动点的横、纵坐标
所求式子中消去参数，得到 x, y 间的直接关系式，即得到所求轨迹方程
x, y 间建立起联系，然后再从
.
例 5 过抛物线 y 2 2 px （ p 0 ）的顶点 O 作两条互相垂直的弦 OA 、 OB ，求弦 AB 的中点
3
．
3
故 k 的取值范围是 1 k 1且 k
3
．
3
5．已知平面上两定点 M (0, 2) 、 N (0,2) ， P 为一动点，满足 MP MN PN MN ．
（Ⅰ）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （直接法） （Ⅱ）若 A 、 B 是轨迹 C 上的两动点，且 AN
NB ．过 A 、 B 两点分别作轨迹 C 的切线，设其交点
9．过抛物线 y2 4 x 的焦点 F 作直线与抛物线交于 P、 Q 两点，当此直线绕焦点 F 旋转时，
弦 PQ 中点的轨迹方程为
．
解法分析： 解法 1 当直线 PQ 的斜率存在时，
设 PQ 所在直线方程为 y k( x 1) 与抛物线方程联立，
y k( x 1),
y2 4x
消去 y 得
k 2 x 2 (2 k 2
1, 即 x
y y1
x1
0 .②
联解①②得
x1
3x y 2
2
.又点 Q 在双曲线 C 上，
3x y 2 2 3y x 2 2
(
)(
)
1 ，化简整理
解析几何求轨迹方程的常用方法
解析几何求轨迹方程的常用方法求轨迹方程的一般方法：1. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线〔如圆、椭圆、双曲线、抛物线〕的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标〔x ，y 〕表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f 〔t 〕， y ＝g 〔t 〕，进而通过消参化为轨迹的普通方程F 〔x ，y 〕＝0。
4. 代入法〔相关点法〕：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，〔该点坐标满足某已知曲线方程〕，则可以设出P 〔x ，y 〕，用〔x ，y 〕表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
5：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点〔含参数〕的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程〔假设能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程〕，该法经常与参数法并用。
一：用定义法求轨迹方程例1：已知ABC ∆的顶点A ，B 的坐标分别为〔-4，0〕，〔4，0〕，C 为动点，且满足,sin 45sin sin C A B =+求点C 的轨迹。
例2： 已知ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，假设b c a ,,依次构成等差数列，且b c a >>，2=AB ，求顶点C 的轨迹方程.【变式】：已知圆的圆心为M 1，圆的圆心为M 2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P 的轨迹方程。
高中数学解题方法-----求轨迹方程的常用方法
练习
1.一动圆与圆
外切，同时与圆 x2 + y2 − 6x − 91 = 0内切，求动圆圆心
M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。
2. 动圆 M 过定点 P（－4，0），且与圆 ：C x2+ －y2 8x = 0 相切，求动圆圆心 M 的轨迹方程。 1.在∆ABC 中，B，C 坐标分别为（-3，0），（3，0），且三角形周长为 16，则点 A 的轨迹方 程是_______________________________.
高中数学解题方法
---求轨迹方程的常用方法
（一）求轨迹方程的一般方法： 物1线.）定的义定法义：，如则果可动先点设P出的轨运迹动方规程律，合再乎根我据们已已知知条的件某，种待曲定线方（程如中圆的、常椭数圆，即、可双得曲到线轨、迹抛 方程。 P 满2.足直的译等法量：关如系果易动于点建立P 的，运则动可规以律先是表否示合出乎点我P们所熟满知足的的某几些何曲上线的的等定量义关难系以，判再用断点，但P 点的 坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点 P 运动的某个几何 量y＝tg，（以t）此，量进作而为通参过变消数参，化分为别轨建迹立的普P 点通坐方标程xF，（yx与，该y）参＝数0。t 的函数关系 x＝f（t）， 4. 代入法（相关点法）：如果动点 P 的运动是由另外某一点 P'的运动引发的，而该点的 运出动相规关律点已P'知的，坐（标该，点然坐后标把满P足'的某坐已标知代曲入线已方知程曲），线则方可程以，设即出可得P（到x动，点y），P 的用轨（迹x，方y程）。表示
题目 6：已知点 P 是圆(x +1)2 + y2 =16 上的动点，圆心为 B ，A(1,0) 是圆内的定点；PA 的中垂线交 BP 于点Q ．（1）求点Q 的轨迹C 的方程；
高中数学：求轨迹方程的几种常用方法
高中数学：求轨迹方程的几种常用方法
由已知条件求动点轨迹方程是解析几何的基本问题之一，也是解析几何的重点。
轨迹方程的常用方法可归纳为以下四种。
一、普通法
例1. 求与两定点距离的比为1：2的点的轨迹方程。
分析：设动点为P，由题意，则依照点P在运动中所遵循的条件，可列出等量关系式。
解：设是所求轨迹上一点，依题意得
由两点间距离公式得：
化简得：
二、定义法
例2. 点M到点F（4，0）的距离比它到直线的距离小1，求点M的轨迹方程。
分析：点M到点F（4，0）的距离比它到直线的距离小1，意味着点M到点F（4，0）的距离与它到直线
的距离相等。
由抛物线标准方程可写出点M的轨迹方程。
解：依题意，点M到点F（4，0）的距离与它到直线的距离相等。
则点M的轨迹是以F（4，0）为焦点、为准线的抛物线。
故所求轨迹方程为。
三、坐标代换法
例3. 抛物线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于A、B两点，动点C在抛物线上，求△ABC重心P的轨迹方程。
分析：抛物线的焦点为。
设△ABC重心P的坐标为，点C的坐标为。
解：因点是重心，则由分点坐标公式得：
即
由点在抛物线上，得：
将代入并化简，得：
四、参数法
例4. 当参数m随意变化时，求抛物线的顶点的轨迹方程。
分析：把所求轨迹上的动点坐标x，y分别用已有的参数m
来表示，然后消去参数m，便可得到动点的轨迹方程。
解：抛物线方程可化为
它的顶点坐标为
消去参数m得：
故所求动点的轨迹方程为。
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高中数学-学生-轨迹方程的求法
例1.已知中心在原点，焦点在 轴上的椭圆的焦距等于 ，它的一条弦所在的直线方程是 ，若此弦的中点坐标为 ，求椭圆的方程。
例2已知点 动点 满足条件 ,记动点 的轨迹为 。（1）求 的方程。（2）若 是 上的不同两点， 是坐标原点，求 的最小值。
例3如图,矩形ABCD中, ,以AB边所在的直线为x轴,AB的中点为原点建立直角坐标系,P是x轴上方一点,使PC、PD与线段AB分别交于 、 两点,且 成等比数列,求动点P的轨迹方程
(1)求 两点的横坐标之积和坐标之积；（2）求证：直线 过定点；
（3）求弦 中点 的轨迹方程；（4）求 面积的最小值。
4.设过点 的直线分别与 轴和 轴的正半轴交于 两点，点 与点 关于 轴对称。若 ,且 ,求点 的轨迹方程。
巩固练习
1.已知抛物线 的内接三角形 的垂心在此抛物线的焦点 上， 的面积等于 ，求此抛物线的方程。
（3）直接法：直接通过建立x、y之间的关系，构成F(x,y)＝0，是求轨迹的最基本的方法；
（4）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可
（5）参数法：当动点P（x,y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x、y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程。
2.已知双曲线C的两条渐近线经过原点，并且与圆 相切，双曲线 的一个顶点 的坐标是
（1）求双曲线 的方程；
（2）已知直线 ，在双曲线 的上支求点 ，使点 与直线 的距离等于 。
3.已知抛物线 的顶点在原点，它的准线 经过双曲线 的焦点，且准线 与双曲线 交于 和 两点，求抛物线 和双曲线 的方程。
高中数学求轨迹方程的六种常用技法
求轨迹方程的六种常用技法轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一，也是近几年来高考中的常见题型之一。
学生解这类问题时，不善于揭示问题的内部规律及知识之间的相互联系，动辄就是罗列一大堆的坐标关系，进行无目的大运动量运算，致使不少学生丧失信心，半途而废，因此，在平时教学中，总结和归纳探求轨迹方程的常用技法，对提高学生的解题能力、优化学生的解题思路很有帮助。
本文通过典型例子阐述探求轨迹方程的常用技法。
1．直接法根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。
例1．已知线段6=AB ，直线BM AM ,相交于M ，且它们的斜率之积是49，求点M 的轨迹方程。
解：以AB 所在直线为x 轴，AB 垂直平分线为y 轴建立坐标系，则(3,0),(3,0)A B -，设点M 的坐标为(,)x y ，则直线AM 的斜率(3)3AM y k x x =≠-+，直线BM 的斜率(3)3AM y k x x =≠- 由已知有4(3)339y y x x x •=≠±+- 化简，整理得点M 的轨迹方程为221(3)94x y x -=≠± 练习：1．平面内动点P 到点(10,0)F 的距离与到直线4x =的距离之比为2，则点P 的轨迹方程是 。
2．设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆2224x y +=交于A 、B 两点，P 是l 上满足1PA PB ⋅=的点，求点P 的轨迹方程。
3. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 A ．直线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．双曲线 2．定义法通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。
【高考数学解题指导】高中数学轨迹方程求法梳理
高中数学轨迹方程求法梳理1．求轨迹方程的常用方法(1)直接法如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，只需把这种关系“翻译”成含x，y的等式，就得到曲线的轨迹方程．由于这种求轨迹方程的过程直接以曲线方程的定义为依据求解，所以称之为直接法．步骤：（1）建系，目前大部分题目都已经建好坐标系了，一般可以省略；x y；（2）设点，直接设动点坐标为(,)（3）写式，运用一定平面几何知识，写出题目中动点满足的几何关系式；（4）代入，将动点坐标、已知数据全部代入关系式；（5）化简，化简式子，注意等价性；（6）证明，证明轨迹的完备性和纯粹性，由于前几步的等价性，所以现已省略此步.(2)几何法若所求的轨迹满足某些几何性质(如线段的垂直平分线、角平分线的性质等)，则可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标，较简单(一般通过几何法分析转变为直接法和定义法)．几个常见定义：（1）到定点的距离等于定值的点的轨迹--------圆；（2）到定直线的距离等于定值的点的轨迹------两条平行线；（3）到两定点的距离之和为定值的点的轨迹（该和大于两定点间的距离）------椭圆（4）到两定点的距离之和为定值的点的轨迹（该和等于两定点间的距离）------线段（5）到两定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹（差绝对值小于两定点间的距离）------双曲线（6）到两定点的距离之差的为定值的点的轨迹（差绝对值小于两定点间的距离）------双曲线的一支（7）到两定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹（差绝对值等于两定点间距离）-----两条射线（8）到两定点的距离之差的为定值的点的轨迹（差的绝对值等于两定点间距离）----------一条射线（9）到定点与到定直线距离相等的点的轨迹（该定点不在定直线上）------抛物线（10）到定点与到定直线距离相等的点的轨迹（该定点在定直线上）-------直线注意：1..理论上，所有的几何定义法的题目都可以用直接法解决，但往往计算量大，容易出错2.而在用几何定义法做题时，也不是万能的，一定要注意定义的细节以及等价原则3.曲线的定义与方程无关，并不是说所有题一定都是标准方程(3)定义法若动点的轨迹符合某一基本轨迹的定义，则可根据定义法直接设出所求方程，再确定系数求出动点的轨迹方程．(4)相关点法（代入法或转移法）有些问题中，若动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)的运动而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫作相关点法或坐标代入法．解题步骤：第一，需找到动点和相关点之间的坐标关系，进行表示和反表示，就是坐标转移；第二，需找到相关点在运动时满足的那个关键式，代入关键式；第三，化简即可，注意范围。
高中数学求轨迹方程的六种常用技法
练习：1．平面内动点到点的距离与到直线的距离之比为2，则点的轨迹方程是。
2．设动直线垂直于轴，且与椭圆交于、两点，是上满足的点，求点的轨迹方程。
3. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是
A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线
, 又因为所以
化简得点的轨迹方程
6．先用点差法求出，但此时直线与双曲线并无交点，所以这样的直线不存在。中点弦问题，注意双曲线与椭圆的不同之处，椭圆不须对判别式进行检验，而双曲线必须进行检验。
7．解：设，则
由
即 所以点的轨迹是以为圆心，以3为半径的圆。
∵点是点关于直线的对称点。
∴动点的轨迹是一个以为圆心，半径为3的圆，其中是点关于直线的对称点，即直线过的中点，且与垂直，于是有
得， 即交点的轨迹方程为
解2: (利用角作参数)设，则
所以 ,两式相乘消去
即可得所求的点的轨迹方程为 。
练习：10．两条直线和的交点的轨迹方程是_________。
总结归纳
1．要注意有的轨迹问题包含一定隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围．由曲线和方程的概念可知，在求曲线方程时一定要注意它的“完备性”和“纯粹性”，即轨迹若是曲线的一部分，应对方程注明的取值范围，或同时注明的取值范围。
2．定义法
通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。
例2．xx的两顶点，和两边上的中线长之和是，则的重心轨迹方程是_______________。
轨迹方程的 几种求法整理(例题+答案)
轨迹方程的六种求法整顿求轨迹方程是高考中罕有的一类问题.本文对曲线方程轨迹的求法做一归纳,供同窗们参考.求轨迹方程的一般办法：1.直译法：假如动点P的活动纪律是否合乎我们熟知的某些曲线的界说难以断定,但点P知足的等量关系易于树立,则可以先暗示出点P所知足的几何上的等量关系,再用点P的坐标（x,y）暗示该等量关系式,即可得到轨迹方程.2.界说法：假如动点P的活动纪律合乎我们已知的某种曲线（如圆.椭圆.双曲线.抛物线）的界说,则可先设出轨迹方程,再依据已知前提,待定方程中的常数,即可得到轨迹方程3. 参数法：假如采取直译法求轨迹方程难以奏效,则可追求引动员点P活动的某个几何量t,以此量作为参变数,分离树立P 点坐标x,y与该参数t的函数关系x＝f（t）, y＝g（t）,进而经由过程消参化为轨迹的通俗方程F（x,y）＝0.4. 代入法（相干点法）：假如动点P的活动是由别的某一点P'的活动激发的,而该点的活动纪律已知,（该点坐标知足某已知曲线方程）,则可以设出P（x,y）,用（x,y）暗示出相干点P'的坐标,然后把P'的坐标代入已知曲线方程,即可得到动点P的轨迹方程.5.交轨法：在求动点轨迹时,有时会消失请求两动曲线交点的轨迹问题,这种问题平日经由过程解方程组得出交点（含参数）的坐标,再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数,也可直接消去参数得到轨迹方程）,该法经常与参数法并用. 6. 待定系数法：已知曲线是圆,椭圆,抛物线,双曲线等一.直接法把标题中的等量关系直接转化为关于x,y,的方程根本步调是：建系.设点.列式.化简.解释等,圆锥曲线尺度方程的推导. 1. 已知点(20)(30)A B -，，，,动点()P x y ，知足2PA PB x =·,求点P 的轨迹.26y x =+,2. 2.已知点B （－1,0）,C （1,0）,P 是平面上一动点,且知足.||||CB PB BC PC ⋅=⋅（1）求点P 的轨迹C 对应的方程;（2）已知点A （m,2）在曲线C 上,过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE,且AD⊥AE,断定：直线DE 是否过定点？试证实你的结论.（3）已知点A （m,2）在曲线C 上,过点A 作曲线C 的两条弦AD,AE,且AD,AE 的斜率k1.k2知足k1·k2=2.求证：直线DE 过定点,并求出这个定点.解：（1）设.4,1)1(||||),(222x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-⋅=⋅化简得得代入二.界说法应用所学过的圆的界说.椭圆的界说.双曲线的界说.抛物线的界说直接写出所求的动点的轨迹方程,这种办法叫做界说法．这种办法请求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的前提,或应用平面几何常识剖析得出这些前提．1. 若动圆与圆4)2(22=++y x 外切且与直线x=2相切,则动圆圆心的轨迹方程是解：如图,设动圆圆心为M,由题意,动点M 到定圆圆心（－2,0）的距离等于它到定直线x=4的距离,故所求轨迹是以（－2,0）为核心,直线x=4为准线的抛物线,并且p=6,极点是（1,0）,启齿向左,所以方程是)1(122--=x y ．选（B ）．2.一动圆与两圆122=+y x 和012822=+-+x y x 都外切,则动圆圆心轨迹为解：如图,设动圆圆心为M,半径为r,则有.1,2,1=-+=+=MO MC r MC r MO 动点M 到两定点的距离之差为1,由双曲线界说知,其轨迹是以O.C 为核心的双曲线的左支3.在ABC △中,24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39,求ABC △的重心的轨迹方程．解：以线段BC 地点直线为x 轴,线段BC 的中垂线为y 轴树立直角坐标系,如图1,M 为重心,则有239263BM CM +=⨯=． M ∴点的轨迹是认为B C ，核心的椭圆,个中1213c a ==，．225b a c =-=∴．∴所求ABC △的重心的轨迹方程为221(0)16925x y y +=≠． 留意：求轨迹方程时要留意轨迹的纯粹性与完整性.4.设Q 是圆x2+y2=4上动点另点A （3.0）.线段AQ 的垂直等分线l 交半径OQ 于点P(见图2－45),当Q 点在圆周上活动时,求点P 的轨迹方程．解：衔接PA ∵l⊥PQ,∴|PA|=|PQ|．又P在半径OQ 上．∴|PO|+|PQ|=2．由椭圆界说可知：P 点轨迹是以O.A 为核心的椭圆．5.已知ΔABC中,A,B,C 所对应的边为a,b,c,且a>c>b,a,c,b 成等差数列,|AB|=2,求极点C 的轨迹方程 解：|BC|+|CA|=4>2,由椭圆的界说可知,点C 的轨迹是以A.B 为核心的椭圆,其长轴为4,焦距为2, 短轴长为23,∴椭圆方程为13422=+y x , 又a>b, ∴点C 在y 轴左侧,必有x<0,而C 点在x 轴上时不克不及组成三角形,故x≠─2,是以点C 的轨迹方程是：13422=+y x (─2<x<0) 点评：本题在求出了方程今后评论辩论x 的取值规模,现实上就是斟酌前提的须要性6.一动圆与圆22650x y x +++=外切,同时与圆226910x y x +--=内切,求动圆圆心M 的轨迹方程,并解释它是什么样的曲线.解析：（法一）设动圆圆心为(,)M x y ,半径为R ,设已知圆的圆心分离为1O .2O ,将圆方程分离配方得：22(3)4x y ++=,22(3)100x y -+=,当M 与1O 相切时,有1||2O M R =+①当M 与2O 相切时,有2||10O M R =-②将①②两式的双方分离相加,得21||||12O M O M +=, 即2222(3)(3)12x y x y +++-+=③移项再双方分离平方得：222(3)12x y x ++=+④双方再平方得：22341080x y +-=,整顿得2213627x y +=, 所以,动圆圆心的轨迹方程是2213627x y +=,轨迹是椭圆. （法二）由解法一可得方程2222(3)(3)12x y x y +++-+=, 由以上方程知,动圆圆心(,)M x y 到点1(3,0)O -和2(3,0)O 的距离和是常数12,所以点M 的轨迹是核心为1(3,0)O -.2(3,0)O ,长轴长等于12的椭圆,并且椭圆的中间在坐标原点,核心在x 轴上,∴26c =,212a =,∴3c =,6a =,∴236927b =-=,∴圆心轨迹方程为2213627x y +=. 三.相干点法此办法实用于动点随已知曲线上点的变更而变更的轨迹问题. 若动点P(x,y)随已知曲线上的点Q(x0,y0)的变动而变动,且x0.y0可用x.y 暗示,则将Q 点坐标表达式代入已知曲线方程,即得点P 的轨迹方程．这种办法称为相干点法(或代换法)．x y 1O 2O P1.已知抛物线y2=x+1,定点A(3,1).B 为抛物线上随意率性一点,点P 在线段AB 上,且有BP∶PA=1∶2,当B 点在抛物线上变动时,求点P 的轨迹方程．剖析解：设点P(x,y),且设点B(x0,y0)∵BP∶PA=1∶2,且P 为线段AB 的内分点．2.双曲线2219x y -=有动点P ,12,F F 曲直线的两个核心,求12PF F ∆的重心M 的轨迹方程.解：设,P M 点坐标各为11(,),(,)P x y M x y ,∴在已知双曲线方程中3,1a b ==,∴9110c =+=∴已知双曲线两核心为12(10,0),(10,0)F F -,∵12PF F ∆消失,∴10y ≠ 由三角形重心坐标公式有11(10)10003x x y y ⎧+-+=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩,即1133x x y y =⎧⎨=⎩ . ∵10y ≠,∴0y ≠.3.已知点P 在双曲线上,将上面成果代入已知曲线方程,有22(3)(3)1(0)9x y y -=≠ 即所求重心M 的轨迹方程为：2291(0)x y y -=≠.4.（上海,3）设P 为双曲线-42x y2＝1上一动点,O 为坐标原点,M 为线段OP 的中点,则点M 的轨迹方程是.解析：设P （x0,y0） ∴M（x,y ） ∴2,200y y x x ==∴2x＝x0,2y ＝y0∴442x －4y2＝1⇒x2－4y2＝15.已知△ABC 的极点(30)(10)B C -，，，,极点A 在抛物线2y x =上活动,求ABC △的重心G 的轨迹方程．解：设()G x y ，,00()A x y ，,由重心公式,得003133x x y y -++⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，00323x x y y =+⎧⎨=⎩， ①∴． ② 又00()A x y ，∵在抛物线2y x =上,200y x =∴． ③将①,②代入③,得23(32)(0)y x y =+≠,即所求曲线方程是2434(0)3y x x y =++≠． 四.参数法假如不轻易直接找出动点的坐标之间的关系,可斟酌借助中央变量（参数）,把x,y 接洽起来．若动点P （x,y ）的坐标x 与y 之间的关系不轻易直接找到,而动点变更受到另一变量的制约,则可求出x.y 关于另一变量的参数方程,再化为通俗方程．1.已知线段2AA a '=,直线l 垂直等分AA '于O ,在l 上取两点P P '，,使有向线段OP OP '，知足4OP OP '=·,求直线AP 与A P ''的交点M 的轨迹方程． 解：如图2,以线段AA '地点直线为x 轴,以线段AA '的中垂线为y 轴树立直角坐标系．设点(0)(0)P t t ≠，, 则由题意,得40P t ⎛⎫' ⎪⎝⎭，． 由点斜式得直线AP A P ''，的方程分离为4()()t y x a y x a a ta =+=--，． 两式相乘,消去t ,得222244(0)x a y a y +=≠．这就是所求点M 的轨迹方程．评析：参数法求轨迹方程,症结有两点：一是选参,轻易暗示出动点;二是消参,消参的门路灵巧多变.2.设椭圆中间为原点O,一个核心为F （0,1）,长轴和短轴的长度之比为t ．（1）求椭圆的方程;（2）设经由原点且斜率为t 的直线与椭圆在y 轴右边部分的交点为Q,点P 在该直线上,且12-=t t OQ OP,当t 变更时,求点P 的轨迹方程,并解释轨迹是什么图形．解：（1）设所求椭圆方程为).0(12222＞＞b a b x a y =+由题意得⎪⎩⎪⎨⎧==-,,122t b a b a 解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.11.122222t b t t a 所以椭圆方程为222222)1()1(t y t x t t =-+-．(2)设点),,(),,(11y x Q y x P 解方程组⎩⎨⎧==-+-,,)1()1(1122122122tx y t y t x t t 得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.)1(2,)1(212121t t y t x 由12-=t t OQ OP 和1x x OQ OP =得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,2,2,2222t y t x t y t x 或 个中t ＞1．消去t,得点P 轨迹方程为)22(222>=x y x 和)22(222-<-=x y x ．其轨迹为抛物线y x 222=在直线22=x 右侧的部分和抛物线y x 222-=在直线22-=x 在侧的部分．3.已知双曲线2222n y m x -=1(m ＞0,n ＞0)的极点为A1.A2,与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P.Q 求直线A1P 与A2Q 交点M 的轨迹方程; 解设P 点的坐标为(x1,y1),则Q 点坐标为(x1,－y1),又有A1(－m,0),A2(m,0),则A1P 的方程为y=)(11m x mx y ++① A2Q 的方程为y=－)(11m x mx y --② ①×②得y2=－)(2222121m x m x y --③又因点P 在双曲线上,故).(,12212221221221m x m n y n y m x -==-即 代入③并整顿得2222n y m x +=1此即为M 的轨迹方程4.设点A 和B 为抛物线 y2=4px(p ＞0)上原点以外的两个动点,已知OA⊥OB,OM⊥AB,求点M 的轨迹方程,并解释它暗示什么曲线 解法一设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y) (x≠0)直线AB 的方程为x=my+a由OM⊥AB,得m=－y x 由y2=4px 及x=my+a,消去x,得y2－4pmy －4pa=0所以y1y2=－4pa, x1x2=22122()(4)y y a p = 所以,由OA⊥OB,得x1x2 =－y1y2所以244a pa a p =⇒=故x=my+4p,用m=－y x代入,得x2+y2－4px=0(x≠0)故动点M 的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0),它暗示以(2p,0)为圆心,以2p 为半径的圆,去失落坐标原点 解法二设OA 的方程为y kx =,代入y2=4px 得222(,)p p A k k则OB 的方程为1y x k =-,代入y2=4px 得2(2,2)B pk pk -∴AB 的方程为2(2)1k y x p k=--,过定点(2,0)N p , 由OM⊥AB,得M 在以ON 为直径的圆上（O 点除外）故动点M 的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0),它暗示以(2p,0)为圆心,以2p 为半径的圆,去失落坐标原点 解法三设M(x,y) (x≠0),OA 的方程为y kx =,代入y2=4px 得222(,)p p A k k 则OB 的方程为1y x k =-,代入y2=4px 得2(2,2)B pk pk -由OM⊥AB,得M 既在以OA 为直径的圆222220p p x y x y k k+--=……①上, 又在以OB 为直径的圆222220x y pk x pky +-+=……②上（O 点除外）,①2k ⨯+②得 x2+y2－4px=0(x≠0)故动点M 的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0),它暗示以(2p,0)为圆心,以2p 为半径的圆,去失落坐标原点5.过点A （－1,0）,斜率为k 的直线l 与抛物线C ：y2=4x 交于P,Q 两点.若曲线C 的核心F 与P,Q,R 三点按如图次序组成平行四边形PFQR,求点R 的轨迹方程;解：请求点R 的轨迹方程,留意到点R 的活动是由直线l 的活动所引起的,是以可以寻找点R 的横.纵坐标与直线l 的斜率k 的关系．然而,点R 与直线l 并没有直接接洽．与l 有直接接洽的是点P.Q,经由过程平行四边形将P.Q.R 这三点接洽起来就成为解题的症结．由已知:(1)l y k x =+,代入抛物线C ：y2=4x 的方程,消x 得：204k y y k -+=∵C l P 直线交抛物线于两点.Q∴20410k k ⎧≠⎪⎨⎪∆=->⎩解得1001k k -<<<<或设1122(,),(,),(,)P x y Q x y R x y ,M 是PQ 的中点,则由韦达定理可知：122,2M y y y k+==将其代入直线l的方程,得2212M M x k y k ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∵四边形PFQR 是平行四边形, ∴RF 中点也是PQ 中点M .∴242342M F Mx x x k y y k ⎧=-=-⎪⎪⎨⎪==⎪⎩又(1,0)(0,1)k ∈-⋃∴(1,)M x ∈+∞．∴点R 的轨迹方程为.1),3(42>+=x x y6.垂直于y 轴的直线与y 轴及抛物线y2=2(x –1)分离交于点A 和点P,点B 在y 轴上且点A 分OB 的比为1:2,求线段PB 中点的轨迹方程解：点参数法 设A(0,t),B(0,3t),则P(t2/2 +1, t),设Q(x,y),则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=t tt y t t x 223)2(4121222,消去t 得：y2=16(x –21) 点评：本题采取点参数,即点的坐标作为参数在求轨迹方程时应剖析动点活动的原因,找出影响动点的身分,据此恰当地选择参数7.过双曲线C ：x2─y2/3=1的左核心F 作直线l 与双曲线交于点P.Q,以OP.OQ 为邻边作平行四边形OPMQ,求M 的轨迹方程解：k 参数法 当直线l 的斜率k 消失时,取k 为参数,树立点M 轨迹的参数方程设M(x,y),P(x1,y1), Q(x2,y2),PQ 的中点N(x0,y0), l:y=k(x+2), 代入双曲线方程化简得：(3─k2)x2─4k2x─4k2─3=0,依题意k≠3,∴3─k2≠0,x1+x2=4k2/(3─k2), ∴x=2x0=x1+x2=4k2/(3─k2),y=2y0=2k(x0+2)=12k/(3─k2),∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=22231234k k y k k x , 消去k 并整顿,得点M 的轨迹方程为：1124)2(22=-+y x 当k 不消失时,点M(─4,0)在上述方程的曲线上,故点M 的轨迹方程为：点评：本题用斜率作为参数,即k 参数法,k 是经常应用的参数设点P.Q 的坐标,但没有求出P.Q 的坐标,而是用韦达定理求x1+x2,y1+y2,从整体上行止理,是处懂得析几何分解题的罕有技能8.（06辽宁,20）已知点11(,)A x y ,22(,)B x y 12(0)x x ≠是抛物线22(0)y px p =>上的两个动点,O 是坐标原点,向量OA ,OB 知足OA OB OA OB +=-.设圆C 的方程为(I) 证实线段AB 是圆C 的直径;(II)当圆C 的圆心到直线X2Y=0的距离的最小值为5时,求p 的值.解析：(I)证实1:22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=- 整顿得:0OA OB ⋅=12120x x y y ∴⋅+⋅=设M(x,y)是以线段AB 为直径的圆上的随意率性一点,则0MA MB ⋅= 即1212()()()()0x x x x y y y y --+--=整顿得:221212()()0x y x x x y y y +-+-+= 故线段AB 是圆C 的直径(II)解法1:设圆C 的圆心为C(x,y),则又因12120x x y y ⋅+⋅=1212x x y y ∴⋅=-⋅22121224y y y y p∴-⋅= 所以圆心的轨迹方程为222y px p =- 设圆心C 到直线x2y=0的距离为d,则当y=p 时,d=2p ∴=.五.交轨法一般用于求二动曲线交点的轨迹方程．其进程是选出一个恰当的参数,求出二动曲线的方程或动点坐标合适的含参数的等式,再消去参数,即得所求动点轨迹的方程．1. 已知两点)2,0(),2,2(Q P -以及一条直线ι：y=x,设长为2的线段AB 在直线λ上移动,求直线PA 和QB 交点M 的轨迹方程．解：PA 和QB 的交点M （x,y ）随 A.B 的移动而变更,故可设)1,1(),,(++t t B t t A ,则PA ：),2)(2(222-≠++-=-t x t t y QB ：).1(112-≠+-=-t x t t y 消去t,得.082222=+-+-y x y x 当t=－2,或t=－1时,PA 与QB 的交点坐标也知足上式,所以点M 的轨迹方程是.0822222=+--+-y x x y x以上是求动点轨迹方程的重要办法,也是经常应用办法,假如动点的活动和角度有显著的关系,还可斟酌用复数法或极坐标法求轨迹方程．但无论用何办法,都要留意所求轨迹方程中变量的取值规模．2.自抛物线y2＝2x 上随意率性一点P 向其准线l 引垂线,垂足为Q,贯穿连接极点O 与P 的直线和贯穿连接核心F 与Q 的直线交于R 点,求R 点的轨迹方程.解：设P （x1,y1）.R （x,y ）,则Q （－21,y1）.F （21,0）,∴OP 的方程为y=11x y x,①FQ 的方程为y=－y1（x －21）.②由①②得x1＝xx 212-,y1＝xy 212-,代入y2＝2x,可得y2＝－2x2+x.六.待定系数法当曲线（圆.椭圆.双曲线以及抛物线）的外形已知时,一般可用待定系数法解决.1.已知Ａ,Ｂ,Ｄ三点不在一条直线上,且(20)A -，,(20)B ，,2AD =,1()2AE AB AD =+．（1）求E 点轨迹方程;（2）过A 作直线交认为A B ，核心的椭圆于M N ，两点,线段MN 的中点到y 轴的距离为45,且直线MN 与E 点的轨迹相切,求椭圆方程．解：（1）设()E x y ，,由1()2AE AB AD =+知E 为BD 中点,易知(222)D x y -，．又2AD =,则22(222)(2)4x y -++=．即E 点轨迹方程为221(0)x y y +=≠; （2）设1122()()M x y N x y ，，，,中点00()x y ，．由题意设椭圆方程为222214x y a a +=-,直线MN 方程为(2)y k x =+．∵直线MN 与E 点的轨迹相切, 2211k k =+∴,解得33k =±． 将33y =±(2)x +代入椭圆方程并整顿,得222244(3)41630a x a x a a -++-=,2120222(3)x x a x a +==--∴,又由题意知045x =-,即2242(3)5a a =-,解得28a =．故所求的椭圆方程为22184x y +=．2.已知圆C1的方程为(x －2)2+(y －1)2=320,椭圆C2的方程为2222by ax +=1(a ＞b ＞0),C2的离心率为22,假如C1与C2订交于A.B 两点,且线段AB 恰为圆C1的直径,求直线AB 的方程和椭圆C2的方程..解：由e=22,可设椭圆方程为22222b y b x +=1,又设A(x1,y1).B(x2,y2),则x1+x2=4,y1+y2=2, 又2222222212212,12by bx by bx +=+=1,两式相减,得22221222212by y bx x -+-=0,2121x x y y --=－1,故直线AB 的方程为y=－x+3,代入椭圆方程得3x2－12x+18－2b2=0. 有Δ=24b2－72＞0,又|AB|=3204)(221221=-+x x x x ,得3209722422=-⋅b ,解得b2=8.故所求椭圆方程为81622y x +=1.3.已知直线1+-=x y 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 订交于A.B 两点,且线段AB 的中点在直线02:=-y x l 上.（１）求此椭圆的离心率;（2 ）若椭圆的右核心关于直线l 的对称点的在圆422=+y x 上,求此椭圆的方程. 讲授:（1）设A.B 两点的坐标分离为⎪⎩⎪⎨⎧=++-=11).,(),,(22222211b y ax x y y x B y x A ，则由得02)(2222222=-+-+b a a x a x b a , 依据韦达定理,得∴线段AB的中点坐标为（222222,ba b b a a ++）.由已知得2222222222222)(22,02c a c a b a ba b b a a =∴-==∴=+-+ 故椭圆的离心率为22=e .（2）由（1）知,c b =从而椭圆的右核心坐标为),0,(b F 设)0,(b F 关于直线2:=-y x l 的对称点为,02221210),,(000000=⨯-+-=⋅--yb x b x y y x 且则解得b y b x 545300==且由已知得 4,4)54()53(,42222020=∴=+∴=+b b b y x故所求的椭圆方程为14822=+y x .。
高中数学解析几何｜求轨迹方程方法最全总结
高中数学解析几何｜求轨迹方程方法最全总结一、直接法若动点运动的条件是一些较为明确的几何量的等量关系，而这些条件易于表达成关于x，y的等量关系式，可以较为容易地得到轨迹方程（即遵循求轨迹方程的一般程序），这种方法我们一般称之为直接法.用直接发求轨迹方程一般都要经过建系、设点、列式、化简、验证这五个环节.二、定义法若动点轨迹的条件符合某一基本而常见轨迹的定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）已从定义来确定表示其几何特征的基本量而直接写出其轨迹方程，或从曲线定义来建立等量关系式从而求出轨迹方程．三、代入法若动点运动情况较为复杂，不易直接表述或求出，但是能够发现形成轨迹的动点P（x,y）随着另一动点Q （X,Y）的运动而有规律的运动，而且动点Q的运动轨迹方程已经给定或极为容易求出，故只要找出两动点P，Q之间的等量关系式，用x，y表示X,Y再代入Q的轨迹方程整理即得动点P的轨迹方程，称之为代入法，也叫相关点法.四、参数法若动点运动变化情况较为复杂，动点的纵坐标之间的等量关系式难以极快找到，可以适当引入参数，通过所设参数沟通动点横坐标之间的联系，从而得到轨迹的参数方程进而再消去所设参数得出轨迹的（普通）方程，称之为参数法.点悟：注意落实好图形特征信息提供的解题方向，前提是自信，实力是运算过关.本题还可有一些较为简捷的解法，不妨试试五、交轨法若所求轨迹可以看成是某两条曲线（包括直线）的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，也可引入参数来建这两条动曲线之间的联系，再消参而得到轨迹方程，称之为交轨法.可以认为交轨法是参数法的一种特殊情况.点悟：交轨是一种动态解题策略，注意特殊或极限情况处理. 六、几何法认真分析动点运动变化规律，可以发现图形明显的几何特征，利用有关平面几何的知识将动点运动变化规律与动点满足的条件有机联系起来，再利用直接法得到动点的轨迹方程，称之为几何法.七、点差法涉及与圆锥曲线中点弦有关的轨迹问题时，常可以把两端点设为(x1,y1),(x2,y2)，代入圆锥曲线方程，然后作差法求出曲线的轨迹方程，此法称之为点差法，也叫平方差法.运用此法要注意限制轨迹方程中变量可能的取值范围.点悟：上述方法是通过设直线AB的方程引入参数b得到动点M 轨迹的参数方程再消去参数得到普通方程，注意参数的取值范围，因而轨迹是一条线段.本题较为简捷的求法还可考虑点差法：。
几种常见求轨迹方程的方法
几种常见求轨迹方程的方法1．直接法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．例1:(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程；(2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹．对(1)分析：动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R或|OP|=0．解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0．即x2+y2=4R2或x2+y2=0．故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0．对(2)分析：题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．由学生演板完成，解答为：设弦的中点为M(x，y)，连结OM，则OM⊥AM．∵kOM·kAM=-1，其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端点)．2．定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．直平分线l交半径OQ于点P，当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方程．分析：∵点P在AQ的垂直平分线上，∴|PQ|=|PA|．又P在半径OQ上．∴|PO|+|PQ|=R，即|PO|+|PA|=R．故P点到两定点距离之和是定值，可用椭圆定义写出P点的轨迹方程．解：连接PA ∵l⊥PQ，∴|PA|=|PQ|．又P在半径OQ上．∴|PO|+|PQ|=2．由椭圆定义可知：P点轨迹是以O、A为焦点的椭圆．3．相关点法若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y0)的变动而变动，且x0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程．这种方法称为相关点法(或代换法)．例3 已知抛物线y2=x+1，定点A(3，1)、B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP∶PA=1∶2，当B点在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程．分析：P点运动的原因是B点在抛物线上运动，因此B可作为相关点，应先找出点P与点B的联系．解：设点P(x，y)，且设点B(x0，y0) ∵BP∶PA=1∶2，且P为线段AB 的内分点．4．待定系数法求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求．例4 已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲曲线方程．分析：因为双曲线以坐标轴为对称轴，实轴在y 轴上，所以可设双曲线方ax2-4b2x+a2b2=0 ∵抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程ax2-4b2x+a2b2=0应有等根．∴△=1664-4Q4b2=0，即a2=2b．(以下由学生完成) 由弦长公式得：即a2b2=4b2-a2．。
求轨迹方程的五种方法
求轨迹方程的五种方法1.直线轨迹方程的求解方法：直线的轨迹方程可以通过以下五种方法求解。
1.1斜率截距法：当直线已知斜率m和截距b时，可以使用斜率截距法求解。
直线的轨迹方程为：y = mx + b。
1.2点斜式方法：当直线已知斜率m和通过的一点（x1，y1）时，可以使用点斜式方法求解。
直线的轨迹方程为：(y-y1)=m(x-x1)。
1.3两点式方法：当直线已知通过的两点（x1，y1）和（x2，y2）时，可以使用两点式方法求解。
直线的轨迹方程为：(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)。
1.4截距式方法：当直线已知x轴和y轴上的截距时，可以使用截距式方法求解。
直线的轨迹方程为：x/a+y/b=1，其中a和b分别为x轴和y轴上的截距。
1.5法向量法：当直线已知法向量n和通过的一点（x1，y1）时，可以使用法向量法求解。
直线的轨迹方程为：n·(r-r1)=0，其中n为法向量，r为直线上的任意一点的位置矢量，r1为通过的一点的位置矢量。
2.圆轨迹方程的求解方法：圆的轨迹方程可以通过以下五种方法求解。
2.1一般式方法：当圆的圆心为（h，k）且半径为r时，可以使用一般式方法求解。
圆的轨迹方程为：(x-h)²+(y-k)²=r²。
2.2标准式方法：当圆的圆心为（h，k）且半径为r时，可以使用标准式方法求解。
圆的轨迹方程为：(x-h)²+(y-k)²=r²。
2.3参数方程方法：当圆的圆心为（h，k）且半径为r时，可以使用参数方程方法求解。
圆的轨迹方程为：x = h + rcosθ，y = k + rsinθ，其中θ为参数。
2.4三点定圆方法：当圆已知经过三点（x1，y1），（x2，y2）和（x3，y3）时，可以使用三点定圆方法求解。
圆的轨迹方程为：(x-x1)(x-x2)(x-x3)+(y-y1)(y-y2)(y-y3)-r²(x+y+h)=0，其中h为x平方项和y平方项的系数之和。
【高中数学】高考数学题型归纳：轨迹方程的求解
【高中数学】高考数学题型归纳：轨迹方程的求解高考数学问题的归纳：轨迹方程的解符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹.轨迹包括两个问题：轨迹上的所有点都满足给定的条件，这称为轨迹的纯度（也称为必要性）；所有不在轨迹上的点都不满足给定条件，即满足给定条件的点必须在轨迹上，这称为轨迹的完整性（也称为充分性）【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。
一、求运动点轨迹方程的基本步骤⒈建立适当的坐标系，设出动点m的坐标;2.写出点m的集合；⒊列出方程=0;4.简化方程是最简单的形式；⒌检验。
二、求解运动点轨迹方程的常用方法：求解轨迹方程的方法有很多，包括直译法、定义法、相关点法、参数法、轨道交叉法等。
⒈直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。
2.定义方法：如果可以确定运动点的轨迹符合已知曲线的定义，则可以使用曲线的定义来编写方程。
这种计算弹道方程的方法称为定义法。
⒊相关点法：用动点q的坐标x，y表示相关点p的坐标x0、y0，然后代入点p的坐标(x0，y0)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。
4.参数法：当很难找到运动点坐标x和y之间的直接关系时，我们通常先找到x和y与某个变量t之间的关系，然后消除参数变量t，得到方程，即运动点的轨迹方程。
这种计算弹道方程的方法称为参数法。
⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。
*求解运动点轨迹方程的一般步骤①建系建立适当的坐标系;② 设定点设定轨道上的任意点P（x，y）；③列式列出动点p所满足的关系式;④ 根据替代条件的特点，选择距离公式和斜率公式，将其转化为关于X和Y的方程，并对其进行简化；⑤证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。
高考数学常见题型解法归纳反馈训练第77讲轨迹方程的求法
第77讲轨迹方程的求法【知识要点】一、“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义在直角坐标系中，如果曲线上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解（纯粹性）；（2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上（完备性）.那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.二、求简单的曲线方程的一般步骤：建设限代化（1）建立直角坐标系：利用垂直性和对称性建立适当的坐标系；（2）设点：用有序实数对表示曲线上任意一点的坐标（不要把其它的点的坐标设成）；（3）列出动点满足的限制条件：用坐标表示条件,列出方程；（4）代点坐标到方程；（5）化简：化方程为最简形式；（6）检验：检验某些特殊点是否满足题意，把不满足的点排除，把满足的点补充上来.（可以省略）三、求轨迹方程的四种主要方法：轨迹四法待代直参（1）待定系数法：通过对已知条件的分析，发现动点满足某个曲线（圆、圆锥曲线）的定义，然后设出曲线的方程，求出其中的待定系数，从而得到动点的轨迹方程.（2）代入法：如果点的运动是由于点的运动引起的，可以先用点的坐标表示点的坐标，然后代入点满足的方程，即得动点的轨迹方程.（3）直接法：直接把已知的方程和条件化简即得动点的轨迹方程.（4）参数法：动点的运动主要是由于某个参数的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐标，即，再消参.四、轨迹和轨迹方程轨迹和轨迹方程是两个不同的概念，轨迹表示的曲线的简单特征的描述，而求轨迹方程只求那个方程即可，不需描述曲线的特征.【方法讲评】方法一直接法使用情景已知中或图形中有动点满足的方程.解题步骤直接把动点的坐标代入已知的方程化简即可.【例1】线段与互相垂直平分于点，，，动点满足，求动点的轨迹方程．【解析】【点评】（1）这种题目由于已知中没有直角坐标系，所以首先要根据垂直性和对称性建立直角坐标系，由于建立坐标系的方法有多种，所以求出的轨迹方程有多种，但是都是对的；（2）这道题是直接用坐标化简已知中的得到的轨迹方程，运用的是直接法.【例2】已知圆：，由动点向圆引两条切线、，切点分别为、，并且，求点的轨迹.【点评】（1）这道题运用的是直接法，但是它是把已知条件转化得到的一个等式，不是现存的等式.（2）轨迹和轨迹方程是两个不同的概念，轨迹包含轨迹方程和对轨迹方程表示的曲线的简单特征的描述，而求轨迹方程只求那个方程即可，不需描述曲线的特征.所以本题要描述轨迹的基本特征.【反馈检测1】在平面直角坐标系中，两点的坐标分别为、，动点满足:直线与直线的斜率之积为．（1）求动点的轨迹方程；（2）设为动点的轨迹的左右顶点，为直线上的一动点（点不在x 轴上），连[交的轨迹于点，连并延长交的轨迹于点，试问直线是否过定点？若成立，请求出该定点坐标，若不成立，请说明理由．【反馈检测2】一条双曲线的左、右顶点分别为，点，是双曲线上不同的两个动点.（1）求直线与交点的轨迹的方程式；（2）若过点（）的两条直线和与轨迹都只有一个交点，且 ,求的值.方法二待定系数法使用情景通过已知条件的分析可以得到动点满足某种曲线（圆、圆锥曲线）的定义.（1）分析出动点满足的方程；（2）证明动点满足某曲线（圆、圆锥曲线）的定义；（3）设解题步骤出该曲线的待定系数方程；（4）求出待定系数，即得所求的轨迹方程.【例3】已知动圆P与两定圆和都外切，求动圆圆心的轨迹方程．【点评】（1）此道题通过对已知的分析得到，即动点到两个定点的距离的差是一个常数，与双曲线的定义相符，所以其轨迹是双曲线的一支，利用的是待定系数法；（2）利用待定系数法求轨迹方程时，一定要比较全面地分析条件和曲线的定义，看是曲线的全部，还是曲线的部分，此题也不是双曲线的全部，是双曲线的一支.【例4】已知点到点的距离比到点到直线的距离小4；（Ⅰ）求点的轨迹的方程；（Ⅱ）若曲线上存在两点关于直线l:对称，求直线的方程.【解析】（1）结合图形知，点不可能在轴的左侧，即到点的距离等于到直线的距离的轨迹是抛物线，为焦点，为准线的轨迹方程是：（2）设则相减得又的斜率为－4则中点的坐标为，即经检验，此时，与抛物线有两个不同的交点，满足题意．【点评】（1）本题的第一问利用的就是待定系数法，通过对动点的分析，发现它满足抛物线的定义,所以动点的轨迹是抛物线.(2)第二小问利用了点差法，可以提高解题效率.【反馈检测3】已知垂直平分线与交于点.（1）求点的轨迹方程；（2）已知点，过点且斜率为（）的直线与点的轨迹相交于两点，直线，分别交直线于点,，线段的中点为，记直线的斜率为.求证:为定值.方法三代入法使用情景某被动点之所以在运动，是因为主动点在某曲线上运动引起的.（1）先利用被动点的坐标表示主动点的坐标；（2）把动点的坐标代入它满足的解题步骤方程化简.【例5】已知抛物线和点，为抛物线上一点，点在线段上且，当点在该抛物线上移动时，求点的轨迹方程．【点评】点之所以在动，就是因为点在动，所以点是被动点，点是主动点，这种情景，应该利用代入法求轨迹方程.【反馈检测4】已知的顶点，顶点在抛物线上运动，求的重心的轨迹方程．方法四消参法使用情景如果动点的运动主要是由于某个参数的变化引起的.解题步骤（1）选参设参；（2）用这个参数表示动点的坐标，即；（3）消去参数，化简.【例6】已知曲线（1）证明:当时，曲线是一个圆；（2）求证圆心在一条定直线上.【点评】（1）此题求圆心在一定直线上，就是求动点的轨迹是一条直线；（2）圆心的运动主要是因为参数引起的，所以选用消参法解答.【反馈检测5】已知线段，直线垂直平分于，在上取两点，使有向线段满足，求直线与的交点的轨迹方程．高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第77讲:轨迹方程的求法参考答案【反馈检测1答案】（1）；（2）直线恒过定点．【反馈检测2答案】（1）；（2）.【反馈检测2详细解析】由双曲线的左、右顶点分别为得.所以两式相乘得而点在双曲线上，所以即故，即.（2）设，则由知，.将代入得，即，由与E只有一个交点知，，即.同理，由与E只有一个交点知，，消去得，即，从而，即.【反馈检测3答案】（1）;（2）.（2）设过点（1,0），且斜率为（）的直线方程为，设点，点,将直线方程代入椭圆：，整理得：，因为点在椭圆内，所以直线和椭圆都相交，恒成立，且.直线的方程为，直线的方程为，令，得点，点，所以点的坐直线的斜率为.将代入上式得，. 所以为定值. 【反馈检测4答案】【反馈检测5答案】【反馈检测5详细解析】如图2，以线段所在直线为轴，以线段的中垂线为轴建立直角坐标系．设点，则由题意，得．由点斜式得直线的方程分别为．两式相乘，消去，得．这就是所求点的轨迹方程．。
求轨迹方程方法总结
求轨迹方程方法总结轨迹方程是描述物体运动路径的数学表达式。
当我们了解物体的运动规律时，可以使用轨迹方程来描述其运动轨迹，从而帮助我们更好地理解和预测物体的运动。
下面将总结几种常用的推导轨迹方程的方法。
一、基础几何方法：1. 直线运动：对于直线运动，轨迹方程可以通过位移与时间的关系来推导。
如果物体的初始位置为(x0, y0)，速度为v，则物体在时间t后的位置(x,y)可以表示为 x = x0 + vt，y = y0。
从而得到轨迹方程 y = y0 + vt。
2.曲线运动：对于曲线运动，可以通过几何关系来推导轨迹方程。
例如，对于抛体运动，可以通过重力加速度和初速度的关系，推导出位置关于时间的二次方程，从而得到轨迹方程。
二、解微分方程方法：1.一阶微分方程：对于一阶微分方程，可以通过求解微分方程得到轨迹方程。
例如，对于匀加速直线运动，可以得到速度关于时间的一阶微分方程，通过求解得到速度与时间的表达式，再通过积分得到位移与时间的表达式，从而得到轨迹方程。
2.二阶微分方程：对于二阶微分方程，可以通过推导得到物体的运动规律，并进一步得到轨迹方程。
例如，对于单摆运动，可以通过考虑受力平衡和受力大小的关系，推导出物体的运动方程，从而得到轨迹方程。
三、向量方法：1.位矢法：对于具有速度和加速度的运动，可以通过位矢法推导轨迹方程。
位矢是一个描述位置和方向的向量，通过将速度积分得到位矢，再通过对位矢微分得到速度，通过对速度微分得到加速度，从而得到物体的位矢关于时间的表达式。
2.矢量投影法：对于运动方向发生变化的运动，可以利用矢量投影法推导轨迹方程。
将位矢投影到坐标轴上，得到物体在各个坐标轴上的分量，从而得到轨迹方程。
四、参数方程方法：1.参数方程是一种用参数表示物体运动轨迹的方法。
可以将物体的运动分解为水平方向与竖直方向上的分量，再通过参数来表示时间的变化。
将水平和竖直方向的分量分别定义为x(t)和y(t)，则轨迹方程可以表示为(x(t),y(t))。
高中高考轨迹方程的求法总结
轨迹方程的求法【方法介绍】方法一:直接法课本中主要介绍的方法。
若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生关系，这时，设曲线上动点坐标),(y x 后，就可根据命题中的已知条件研究动点形成的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有x 、y 的关系式。
从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称为直接法。
例题1等腰三角形的顶点为)2,4(A ，底边一个端点是)5,3(B ，求另一个端点C 的轨迹方程。
练习一1.已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点),(y x P 满足2x PB PA =⋅→→。
求点P 的轨迹方程。
2. 线段AB 的长等于2a,两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，求AB 中点P 的轨迹方程？3.动点P （x,y ）到两定点)0,3(-A 和)0,3(B 的距离的比等于2（即：2=PB PA ）。
求动点P 的轨迹方程？4.动点P 到一高为h 的等边△ABC 两顶点A 、B 的距离的平方和等于它到顶点C 的距离平方，求点P 的轨迹？5.点P 与一定点)0,2(F 的距离和它到一定直线8=x 的距离的比是2:1。
求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形。
6.已知)0,4(P 是圆3622=+y x 内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足△APB=90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程。
7.过原点作直线l 和抛物线642+-=x x y 交于A 、B 两点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。
方法二：相关点法 利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解，就得到原动点的轨迹。
例题2已知一条长为6的线段两端点A 、B 分别在X 、Y 轴上滑动，点M 在线段AB 上，且AM : MB=1 : 2，求动点M 的轨迹方程。
练习二1.已知点)(00，y x P 在圆122=+y x 上运动，求点M ),2(0y x 的轨迹方程。
高中数学求轨迹方程的六种常用技法
求轨迹方程的六种常用技法轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一，也是近几年来高考中的常见题型之一。
学生解这类问题时，不善于揭示问题的内部规律及知识之间的相互联系，动辄就是罗列一大堆的坐标关系，进行无目的大运动量运算，致使不少学生丧失信心，半途而废，因此，在平时教学中，总结和归纳探求轨迹方程的常用技法，对提高学生的解题能力、优化学生的解题思路很有帮助。
本文通过典型例子阐述探求轨迹方程的常用技法。
1．直接法根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。
例1．已知线段6=AB ，直线BM AM ,相交于M ，且它们的斜率之积是49，求点M 的轨迹方程。
解：以AB 所在直线为x 轴，AB 垂直平分线为y 轴建立坐标系，则(3,0),(3,0)A B -，设点M 的坐标为(,)x y ，则直线AM 的斜率(3)3AM y k x x =≠-+，直线BM 的斜率(3)3AM y k x x =≠- 由已知有4(3)339y y x x x ∙=≠±+- 化简，整理得点M 的轨迹方程为221(3)94x y x -=≠± 练习：1．平面内动点P 到点(10,0)F 的距离与到直线4x =的距离之比为2，则点P 的轨迹方程是 。
2．设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆2224x y +=交于A 、B 两点，P 是l 上满足1PA PB ⋅=的点，求点P 的轨迹方程。
3. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是A ．直线B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线 2．定义法通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。
轨迹方程的五种求法
轨迹方程的五种求法一、直接法：直接根据等量关系式建立方程 •uur uuu 例1 :已知点A( 2,0, B(3,0)，动点P(x, y)满足PA-PB x 2，则点P 的轨迹是()A •圆B.椭圆C •双曲线D •抛物线uuu uuu uun UUJI 2222解析：由题知 PA ( 2 x, y) , PB (3 x, y)，由 PA PB x ,得(2 x)(3 x) y x ,即 y x 6,••• P 点轨迹为抛物线•故选 D . 二、 定义法：运用有关曲线的定义求轨迹方程.例2 :在厶ABC 中，BC 24, AC, AB 上的两条中线长度之和为39，求△ ABC 的重心的轨迹方程.解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为2 BM | |CM 39 26 . 3• M 点的轨迹是以B, C 为焦点的椭圆，其中 c 12, a 13 . • b . a 2—』5.y 轴建立直角坐标系，如图 1 , M 为重心，则有、转代法：此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题 例3 :已知A ABC 的顶点B( 3,0) C(1,0),顶点A 在抛物线y又••• A(x ), y °)在抛物线 y x 2上, •四、参数法：如果不易直接找出动点坐标之间的关系，可考虑借助中间变量与AP 的交点M 的轨迹方程.解：如图2，以线段AA 所在直线为x 轴，以线段AA 的中垂线为y 轴建立直角坐•所求△ ABC 的重心的轨迹方程为169251(y0) •解：设G(x, y) , A(x 0, y °)，由重心公式,3 1 x3 Y Q 3x 0 y。
3x 3y ・2,将①，②代入③，得3y (3x 2)2(y0)，即所求曲线方程是3x 24x 3(y0)•例4 :已知线段AA 2a ，直线I 垂直平分AA 于O ,在I 上取两点P, P ,使其满足uuur , OP-OP 4 ,求直线AP UUU D上运动，求△ ABC 的重心G 的轨迹方程.y 0把x , y 联系起来标系.设点 P(0, t)(t 0), 则由题意，得P 0,,-t 4由点斜式得直线AP, A P 的方程分别为y —(x a), y — (x a). a ta 两式相乘，消去t ，得4x 2a 2y 24a 2(y 0) •这就是所求点 M 的轨迹方程.评析：参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参的途径灵活多变五、待定系数法： 当曲线的形状已知时，一般可用待定系数法解决(1 )求E 点轨迹方程;与E 点的轨迹相切，求椭圆方程.uuu 1 uur uuir解：(1 )设 E(x, y)，由 AE -(AB AD)知 E 为 BD 中点，易知 D(2x 2,2y) • 2例5 :已知A ， B ， D 三点不在一条直线上，且uurA( 2,0)，B(2,0)， AD uuu i uuu uuir 2， AE -(AB AD) •(2 )过A 作直线交以A B 为焦点的椭圆于 M ，N 两点，线段MN的中点到y 轴的距离为 4-，且直线MN5nnr 又AD 2 22，贝U (2x 2 2) (2 y) 即E 点轨迹方程为 i(y 0)；(2 )设 M (X i, yj, N(X 2，y 2)，中点(心y 。
高中数学考前归纳总结求轨迹方程的常用方法
求轨迹方程的常用方法一、求轨迹方程的一般方法：1,待定系数法：如果动点P的运动规律符合我们的某种曲线〔如圆、椭圆、双曲线、抛物线〕的定义,那么可先设出轨迹方程,再根据条件, 待定方程中的常数,即可得到轨迹方程,也有人将此方法称为定义法.2,直译法：如果动点P的运动规律是否符合我们熟知的某些曲线的定义难以判断, 但点P满足的等量关系易于建立,那么可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系, 再用点P的坐标〔x, y〕表示该等量关系式,即可得到轨迹方程.3 .参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效,那么可寻求引发动点P运动的某个几何量t ,以此量作为参变数,分别建立P点坐标x, y与该参数t 的函数关系x = f〔t〕, y = g 〔t〕,进而通过消参化为轨迹的普通方程 F 〔x, y〕 =0.4 .代入法〔相关点法〕：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的, 而该点的运动规律,〔该点坐标满足某曲线方程〕,那么可以设出P 〔x, y〕,用〔x, y〕表示出相关点P'的坐标,然后把P'的坐标代入曲线方程,即可得到动点P的轨迹方程.5 .几何法：假设所求的轨迹满足某些几何性质〔如线段的垂直平分线,角平分线的性质等〕,可以用几何法,列出几何式,再代入点的坐标较简单.6:交轨法：在求动点轨迹时,有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题,这类问题通常通过解方程组得出交点〔含参数〕的坐标,再消去参数求得所求的轨迹方程〔假设能直接消去两方程的参数,也可直接消去参数得到轨迹方程〕,该法经常与参数法并用.二、求轨迹方程的考前须知：1 . 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中,发现动点P的运动规律, 即P 点满足的等量关系,因此要学会动中求静,变中求不变.2 .轨迹方程既可用普通方程F〔x,y〕 0表示,又可用参数方程x f〔t〕〔t为参数〕y g〔t〕来表示,假设要判断轨迹方程表示何种曲线,那么往往需将参数方程化为普通程的某些解为坐标的点不在轨迹上〕,又要检验是否丢解.〔即轨迹上方程.3.求出轨迹方程后,应注意检验其是否符合题意,既要检验是否增解, 〔即以该方的某些点未能用所求的方程表示),出现增解那么要舍去,出现丢解,那么需补充.检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形.4 .求轨迹方程还有整体法等其他方法.在此不一一缀述.三、典例分析1,用定义法求曲线轨迹求曲线轨迹方程是解析几何的两个根本问题之一,求符合某种条件的动点轨迹方程,其实质就是利用题设中的几何条件,通过坐标互化将其转化为寻求变量之间的关系,在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时,要特别注意圆锥曲线的定义在求轨迹中的作用,只要动点满足已知曲线定义时,通过待定系数法就可以直接得出方程.例1:ABC的顶点A, B的坐标分别为(-4 , 0) , (4, 0) , C为动点,且满足一一一5 .sin B sin A —sinC,求点C的轨迹.45 . . 5【解析】由sin B sin A -sinC,可知b a -c 10,即|AC| | BC | 10 ,满足椭4 42 2圆的定义.令椭圆方程为J 2 1,那么a' 5,c' 4 b' 3,2 2a b2 2那么轨迹方程为土2―1 (x 5),图形为椭圆(不含左,右顶点) .25 9【点评】熟悉一些根本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键.(1) 圆：到定点的距离等于定长(2) 椭圆：到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)(3) 双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数(小于两定点的距离)(4) 到定点与定直线距离相等.【变式1]:1:圆尸=有的圆心为M,圆住一4尸4了, .的圆心为M, 一动圆与这两个圆外切,求动圆圆心P的轨迹方程.解：设动圆的半径为R,由两圆外切的条件可得：|P%l=R + 5 , |P叫l=R + l.,-.|PM1P5HPMJ-b|PM1|-|PM a|=4•••动圆圆心P的轨迹是以M、M2为焦点的双曲线的右支, c=4, a=2, b2=12.故所求轨迹方程为4 12M 的轨迹是：A:抛物线B:圆C:椭圆D:双曲线一支2.用直译法求曲线轨迹方程 此类问题重在寻找数量关系.例2： 一条线段AB 的长等于2a ,两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动,求 AB 中点P 的轨迹方程？解 设M 点的坐标为〔x, y 〕由平几的中线定理：在直角三角形 一— 1 一 1 八 AO 升,OM=AB - 2a a,2 2―22-222x y a,x y aM 点的轨迹是以O 为圆心,a 为半径的圆周.1【点评】此题中找到了 OM=1AB 这一等量关系是此题成功的关键所在.一般直译法有以下几2种情况:1〕代入题设中的等量关系：假设动点的规律由题设中的等量关系明显给出,那么采用直 接将数量关系代数化的方法求其轨迹.2〕列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系,需选定适当位置的坐标系,再根据题设条 件列出等式,得出其轨迹方程.3〕运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式,使其公式中含有动点坐标,并作相应的 恒等变换即得其轨迹方程.4〕借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显,这时可借助平面几何中 的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等,从而分析出其数 量的关系,这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法^| PAI 一【变式2】：动点P(x,y)到两定点A(—3,0)和B(3,0)的距离的比等于2(即 2),|PB|求动点P 的轨迹方程？［解答］. . | PA = J(x 3)2__y 7/ PB | J(x 3)2父| PA | (x 3)2 y 2 2 2 22代入 ——1 2得 ——2 (x 3)2y 2 4(x 3)2 4y 22: 一动圆与圆O: x 2 y 21外切,而与圆C ： x 22y 6x 8 0内切,那么动圆的圆心【解答】令动圆半径为R, 皿士 |MO| R那么有। ।| MC | R1c,那么 |MO|-|MC|=2 ,1满足双曲线定义.应选Do|PB| ..(x 3)2 y2化简彳导(x-5) 2+y2=16,轨迹是以(5, 0)为圆心,4为半径的圆.3.用参数法求曲线轨迹方程此类方法主要在于设置适宜的参数,求出参数方程,最后消参,化为普通方程.注意参数的取值范围.例3.过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l i, 12,假设l i交x轴于A点,l 2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程.【解析】分析1:从运动的角度观察发现,点M的运动是由直线l i引发的,可设出l i的斜率k作为参数,建立动点M坐标(x, y)满足的参数方程.解法1:设M (x, y),设直线l i的方程为y-4= k (x-2), ( k w 0 )1 _由l i l2,那么直线l2的万程为y 4 —(x 2)k4l1与x轴交点A的坐标为(2 4,0),kl2与y轴交点B的坐标为(0,4 2), k・•.M为AB的中点,2k(k为参数)消去k,得x+ 2y—5=0.另外,当k = 0时,AB中点为M (1, 2),满足上述轨迹方程；当k不存在时,AB中点为M (1, 2),也满足上述轨迹方程.综上所述,M的轨迹方程为x+2y—5=0.分析2：解法1中在利用k1k2=- 1时,需注意匕、k2是否存在,故而分情形讨论,能否避开讨论呢？只需利用^ PAB为直角三角形的几何特性：1 . .|MP| 21ABi解法2:设M (x, y),连结MP 那么 A (2x, 0), B (0, 2y),•••l」l 2, PAB为直角三角形1 .由直角二角形的性质,|MP| 31ABi--------------- 2 2-1 -----------2 2..(x 2)2 (y 4)22；,(2x)2 (2y)2化简,得x + 2y-5 = 0,此即M 的轨迹方程.分析3::设M (x, y),由l i _L l 2,联想到两直线垂直的充要条件： k i k 2=—1,即可 列出轨迹方程,关键是如何用 M 点坐标表示 A 、B 两点坐标.事实上,由 M 为AB 的中点,易 找出它们的坐标之间的联系.解法3:设M (x, y), •「M 为AB 中点, 又l 1, l 2过点P (2, 4),且l/l 2••• PAX PB,从而 k PA • k PB= — 1, 中点M (1, 2),经检验,它也满足方程 x+2y-5=0 综上可知,点 M 的轨迹方程为x+2y-5=0o【点评】 解法1用了参数法,消参时应注意取值范围.解法 2, 3为直译法,运 1 ,k PA • k PB= - 1, | MP | - | AB|这些等量关系.用参数法求解时,一 般参数可选用具有某种物理或几何意义的量,如时间,速度,距离,角度, 有向线段的数量,直线的斜率,点的横,纵坐标等.也可以没有具体的意 义,选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响【变式3】过圆O: x 2+y 2= 4外一点A(4,0),作圆的割线,求割线被圆截得的弦 BC 的中点M 的轨迹. 解法一：“几何法〞设点M 的坐标为(x,y ),由于点M 是弦BC 的中点,所以 OML BC, 所以 |OM | 2 + | MA | 2 =| OA | 2 ,即(x 2+y 2)+(x -4)2 +y 2=16化简得：(x —2) 2+ y 2=4 .................................. ①由方程 ① 与方程x 2+y 2= 4得两圆的交点的横坐标为 1,所以点M 的轨迹方程为 (x —2) 2+ y 2=4 (0<x<1)o 所以M 的轨迹是以(2, 0)为圆心,2为半径的圆在圆 O 内的局部. 解法二：“参数法〞设点M 的坐标为(x,y ), B (x 1,y0 ,C (x 2,y 2)直线AB 的方程为y=k(x -4), 由直线与圆的方程得(1+k 2) x 2—8k 2x +16k 2—4=0 .................... (*),由点M 为BC 的中点,所以x=x —x 2 」4k ) ................................ (1),2 1 k又 OMLBC,所以 k=Y (2)由方程(1) (2)消去k 得(x — 2) 2+ y 2=4,又由方程(* )的^> 0得k 2< 1,所以x< 1.3••• A (2x, 0),B (0, 2y).而k pA4 0 2 2x' 4 2y2 2x 2注意到l i^x 轴时,1,化简,得x 2y 5 0l 2±y 轴,此时 A (2, 0), B (0,4)用了2+ y 2=4 ( 0<x< 1)为圆心,2为半径的圆在圆 O 内的局部.【点评】代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系【变式4】如下图, R4 , 0)是圆x 2+y 2=36内的一点,A 、B 是圆上两动点,且满足ZAPE =90 ,求矩形APBQ 勺顶点Q 的轨迹方程【解析】： 设AB 的中点为R,坐标为(x , y ),那么在Rt^ABP 中,|AR =| PR 又由于R 是弦 AB 的中点,依垂径定理在 Rt △ OAF^, | AR 2=| A .2—|OR 2=36—(x 2+y 2)又|AR =| P 帘(x 4)2 y 2所以有(x-4) 2+y 2=36- (x 2+y 2),即 x 2+y 2—4x —10=0因此点R 在一个圆上,而当 R 在此圆上运动时,Q 点即在所求 的轨迹上运动 设Qx ,y) , R (x 1, y 1),由于R 是PQ 的中点,所以 y o ,222x +y -4x- 10=0,得(_y )2 4 x 4 _10=022所以点M 的轨迹方程为(x-2)所以M 的轨迹是以(2, 0) 4,用代入法等其它方法求轨迹方程x 2例4.点B 是椭圆-2 a2与1上的动点,A(2a,0)为定点,求线段AB 的中点M 的 b 2轨迹方程.分析：题中涉及了三个点 A 、B 、M,其中A 为定点,而B 、M 为动点,且点 B 的运动是有 规律的,显然 M 的运动是由B 的运动而引发的,可见 M B 为相关点,故采用相关点法求动点 M 的轨迹方程.【解析】设动点 那么由M 为线段 M 的坐标为(x, y),而设B 点坐标为(xo, yo)AB 中点,可得x 0 2a 2 V . 0 2 x 0 2x 2aV . 2y即点 B 坐标可表为(2x - 2a, 2y)x 2点B(x°, y°)在椭圆-y a 2—1上b 22x 0 -2- a2〞1 b 2(2x 从而有——2a)2 2a叱1b 2整理,得动点M 的轨迹方程为4J a22a) 4y 1 b 2x 4 x1=—,y 1代入方程(7)22QR整理得 x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程四、常见错误：【例题5】 ABC 中,B, C 坐标分别为(-3, 0), (3, 0),且三角形周长为16,求点A 的轨 迹方程.22【常见错误】由题意可知,|AB|+|AC|=10 ,满足椭圆的定义.令椭圆方程为 : 4 1 ,那么a b22由定义可知a 5,c 3,那么b 4,得轨迹方程为—匕 1516【错因剖析】ABC 为三角形,故A, B, C 不能三点共线.【正确解答】ABC 为三角形,故 A, B, C 不能三点共线.轨迹方程里应除去点(5,0).( 5,0),22即轨迹方程为二匕 1(x5)25 16提示：1 ：在求轨迹方程中易出错的是对轨迹纯粹性及完备性的忽略,除；另一方面,又要注意有无“漏网之鱼〞仍逍遥法外,2:求轨迹时方法选择尤为重要,首先应注意定义法,几何法,直接法等方 法的选择.3:求出轨迹后,一般画出所求轨迹,这样更易于检查是否有不合题意的部 分或漏掉的局部. 针对性练习：5 ___ 5、 一 一 22 一1:两点M(1,—), N( 4,一)给出以下曲线方程：① 4x 2y 1 0；②x y 3；③4 422— y 21y 21,在曲线上存在点 P 满足|MP | | NP |的所有曲线方程是(22A ①③B ②④C ①②③D ②③④【答案】：D【解答】：要使得曲线上存在点 P 满足|MP| |NP|,即要使得曲线与 MN 的中垂线y 有交点.把直线方程分别与四个曲线方程联立求解,只有①无解,那么选D2.两条直线x my 1 0与mx y 1 0的交点的轨迹方程是 : 【解答】：直接消去参数 m 即得(交轨法)：x 2 y 2 x y 03:圆的方程为(x-1) 2+y 2=1,过原点O 作圆的弦0A,那么弦的中点M 的轨迹方程是 ^因此, 在求出曲线方程的方程之后,应仔细检查有无“不法分子〞掺杂其中, 将其剔要将其“捉拿归案〞.2x 3【解答】：令 M 点的坐标为(x, y),那么A 的坐标为(2 x,2y),代入圆的方程里面便可得到动点的轨迹方程.【解答】：抛物线方程可化为它的顶点坐标为消去参数m 得:(4, 0)的距离与它到直线 x 4的距离相等.那么点 M 的 4为准线的抛物线.故所求轨迹方程为 y 2 16x .6：求与两定点OO 1, 0、A3, 0距离的比为1： 2的点的轨迹方程为八, …, ,□… POl1一、… 一— 一〜…,一八【分析】：设动点为巳由题意- -,那么依照点P 在运动中所遵循的条件,可列出等量关| PA| 2系式.【解答】：设P x, y 是所求轨迹上一点,依题意得L1 O 得：(x 1)22y 2 ：(x 0)4随意变化时,那么抛物线y x 2 2m 1 xm 2 1的顶点的轨迹方程为把所求轨迹上的动点坐标x, y 分别用已有的参数 m 来表示,然后消去参数 m故所求动点的轨迹方程为4x 4y 305:点M 到点F (4, 0) 的距离比它到直线50的距离小1 ,那么点M 的轨迹方程为【分析】：点M 到点F (4, 0)的距离比它到直线 50 的距离小1,意味着点M 到点F(4, 0)的距离与它到直线 x 40的距离相等. 由抛物线标准方程可写出点 M 的轨迹方程.【解答】：依题意,点M 到点F轨迹是以F (4, 0)为焦点、x由两点间距离公式得:x 2 y 21PO 1 PA 2化简彳导:x 2 y 2 2x 3027抛物线y 4x 的通径〔过焦点且垂直于对称轴的弦〕与抛物线交于 A 、B 两点,动点C 在抛物线上,求^ ABC 重心P 的轨迹方程.【分析】：抛物线y 4x 的焦点为F 1,0 .设^ ABC 重心P 的坐标为〔x, y 〕,点C 的坐 标为〔x 1, y 1〕.其中x 1 1【解答】：因点P x, y 是重心,那么由分点坐标公式得：x 另一2, y 也33即 x 1 3x 2, y 1 3y由点C x 1,y 1在抛物线y 2 4x 上,得：y 12 4x 124 2将x i3x 2, y i3y 代入并化简,得：y — x —( x 1) 338 .双曲线中央在原点且一个焦点为F 〔乔,0〕,直线y=x —1与其相交于 M N 两点,MNUI中点的横坐标为 5 ,求此双曲线方程.22【解答】：设双曲线方程为 2T 当 a b (b 2-a a)x a+ 2a ax- a 3- a ab a=0,此双曲线的方程为9 .动点P 到定点F 〔1, 0〕和直线x=3的距离之和等于【解答】：设点P 的坐标为〔x, y 〕,那么由题意可得1.将y=x — 1代入方程整理得由韦达定理得x 1 x 2解得 a 2 2,b 25.22aX I x 2~2~2 --a b 22 ,2a b2.又有+ 联立方程组,34,求点P 的轨迹方程.J (犬 _ + y* + | x — 31= 4(1)当xw3 时,方程变为J(x 1)2—y2 3 x 4,J(x 1)2―y2 x 1,化简得2y 4x(0 x 3).(2)当x>3 时,方程变为J(x 1)2—y7 x 3 4,J(x 1)2—y7 7 x,化简得y a = -12(x-4)(3<x<4)o毋足十的人口的-■铲曰必=4式.弓工43)一,= T2(x —4)0仃44)故所求的点P的轨迹方程是‘ 工 ,或, 八■10 .过原点作直线l和抛物线y x24x 6交于A、B两点,求线段AB的中点M的轨迹方程.【解答】：由题意分析知直线l的斜率一定存在,设直线l的方程y=kx.把它代入抛物线方程了=/一4天4®,得又‘一04•的白=口.由于直线和抛物线相交,所以△>0,解得x ( , 4 2而)(4 2^/6,).设A (叼打),B (叼力),M (x, y),由韦达定理得句中句=4*k.盯盯=6.产1 4k由户工一厂消去k得y=2x〞-必.又2黑f % =4 +上,所以x ( , V6)(后).,点M的轨迹方程为y 2x24x, x ( , <6) (<16, ) o。
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高中数学常见题型解法归纳 - 轨迹方程的求法
【知识要点】
一、“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义
在直角坐标系中，如果曲线上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解（纯粹性）；（2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上（完备性）.那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.
二、求简单的曲线方程的一般步骤：建设限代化
（1）建立直角坐标系：利用垂直性和对称性建立适当的坐标系；
（2）设点：用有序实数对表示曲线上任意一点的坐标（不要把其它的点的坐标设成）；
（3）列出动点满足的限制条件：用坐标表示条件,列出方程；
（4）代点坐标到方程；
（5）化简：化方程为最简形式；
（6）检验：检验某些特殊点是否满足题意，把不满足的点排除，把满足的点补充上来.（可以省略）
三、求轨迹方程的四种主要方法：轨迹四法待代直参
（1）待定系数法：通过对已知条件的分析，发现动点满足某个曲线（圆、圆锥曲线）的定义，然后设出曲线的方程，求出其中的待定系数，从而得到动点的轨迹方程.
（2）代入法：如果点的运动是由于点的运动引起的，可以先用点的坐标表示点
的坐标，然后代入点满足的方程，即得动点的轨迹方程.
（3）直接法：直接把已知的方程和条件化简即得动点的轨迹方程.
（4）参数法：动点的运动主要是由于某个参数的变化引起的，可以选参、设
参，然后用这个参数表示动点的坐标，即，再消参.
四、轨迹和轨迹方程
轨迹和轨迹方程是两个不同的概念，轨迹表示的曲线的简单特征的描述，而求轨迹方程
只求那个方程即可，不需描述曲线的特征.
【方法讲评】
【例1】线段与互相垂直平分于点，，，动点满足
，求动点的轨迹方程．
【解析】
【点评】（1）这种题目由于已知中没有直角坐标系，所以首先要根据垂直性和对称性建立直角坐标系，由于建立坐标系的方法有多种，所以求出的轨迹方程有多种，但是都是对的；（2）这道题是直接用坐标化简已知中的得到的轨迹方程，运用的是直接法.
【例2】已知圆：，由动点向圆引两条切线、，
切点分别为、，并且，求点的轨迹.
【点评】（1）这道题运用的是直接法，但是它是把已知条件转化得到的一个等式
，不是现存的等式.（2）轨迹和轨迹方程是两个不同的概念，轨迹包含轨迹方程和对轨迹方程表示的曲线的简单特征的描述，而求轨迹方程只求那个方程即可，不需描述曲线的特征.所以本题要描述轨迹的基本特征.
【反馈检测1】在平面直角坐标系中，两点的坐标分别为、，动点满足:直线与直线的斜率之积为．
（1）求动点的轨迹方程；
（2）设为动点的轨迹的左右顶点，为直线上的一动点（点不在x 轴上），连[交的轨迹于点，连并延长交的轨迹于点，试问直线是否过定点？若成立，请求出该定点坐标，若不成立，请说明理由．
【反馈检测2】一条双曲线的左、右顶点分别为，点，
是双曲线上不同的两个动点.
（1）求直线与交点的轨迹的方程式；
（2）若过点（）的两条直线和与轨迹都只有一个交点，且 ,求的值.
【例3】已知动圆P与两定圆和都外切，求动圆圆心的轨迹方程．
【点评】（1）此道题通过对已知的分析得到，即动点到两个定点的距离的差是一个常数，与双曲线的定义相符，所以其轨迹是双曲线的一支，利用的是待定系数法；（2）利用待定系数法求轨迹方程时，一定要比较全面地分析条件和曲线的定义，看是曲线的全部，还是曲线的部分，此题也不是双曲线的全部，是双曲线的一支.
【例4】已知点到点的距离比到点到直线的距离小4；
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）若曲线上存在两点关于直线l:对称，求直线的方程.
【解析】（1）结合图形知，点不可能在轴的左侧，即到点的距离等于
到直线的距离的轨迹是抛物线，为焦点，为准线的轨迹方程是：
（2）设则相减得
又的斜率为－4则
中点的坐标为，即
经检验，此时，与抛物线有两个不同的交点，满足题意．
【点评】（1）本题的第一问利用的就是待定系数法，通过对动点的分析，发现它满足抛物线的定义,所以动点的轨迹是抛物线.(2)第二小问利用了点差法，可以提高解题效率.
【反馈检测3】已知垂直平分线与
交于点.
（1）求点的轨迹方程；
（2）已知点，过点且斜率为（）的直线与点的轨迹相交于
两点，直线，分别交直线于点,，线段的中点为，记直线的斜率为.求证:为定值.
某被动点之所以在运动，是因为主动点在某曲线
先利用被动点的坐标表示主动点把动点
化简
【例5】已知抛物线和点，为抛物线上一点，点在线段上且
，当点在该抛物线上移动时，求点的轨迹方程．
【点评】点之所以在动，就是因为点在动，所以点是被动点，点是主动点，
这种情景，应该利用代入法求轨迹方程.
【反馈检测4】已知的顶点，顶点在抛物线上运动，求的重心的轨迹方程．
如果动点的运动主要是由于某个参数
）用这个参数表示动点的坐标，即）消去参数
【例6】已知曲线
（1）证明:当时，曲线是一个圆；
（2）求证圆心在一条定直线上.
【点评】（1）此题求圆心在一定直线上，就是求动点的轨迹是一条直线；（2）圆心的运动主要是因为参数引起的，所以选用消参法解答.
【反馈检测5】已知线段，直线垂直平分于，在上取两点，使有向线段满足，求直线与的交点的轨迹方程．
参考答案
【反馈检测1答案】（1）；（2）直线恒过定点．
【反馈检测2答案】（1）；（2）.
【反馈检测2详细解析】由双曲线的左、右顶点分别为得
.
所以
两式相乘得
而点在双曲线上，所以即
故，即.
（2）设，则由知，.
将代入得
，即
，
由与E 只有一个交点知，
，即
.
同理，由与E 只有一个交点知，
，消去得，即，从而
，即
.
【反馈检测3答案】（1）;（2）.
（2）设过点（1,0），且斜率为（）的直线方程为
，设点
，
点
,
将直线方程代入椭圆： ，
整理得：，
因为点
在椭圆内，所以直线和椭圆都相交，恒成立，
且.
直线的方程为，直线的方程为，
令，得点，点，
所以点的坐
直线的斜率为
.
将代入上式得，
. 所以为定值. 【反馈检测4答案】
【反馈检测5答案】
【反馈检测5详细解析】如图2，以线段所在直线为轴，以线段的中垂线为轴
建立直角坐标系．
设点，则由题意，得．
由点斜式得直线的方程分别为．
两式相乘，消去，得．
这就是所求点的轨迹方程．。