函数的定义域和值域教学设计

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江苏省江阴市山观高级中学高考数学一轮复习函数第2课时函数的定义域和值域教学案

第2课时函数的定义域和值域1．函数的定义域就是使函数式的集合. 2．常见的三种题型确定定义域：① 已知函数的解析式，就是 .② 复合函数f [g(x )]的有关定义域，就要保证内函数g(x )的域是外函数f (x )的域.③实际应用问题的定义域，就是要使得有意义的自变量的取值集合. 二、值域：1．函数y ＝f (x )中，与自变量x 的值的集合.2．常见函数的值域求法，就是优先考虑，取决于，常用的方法有：①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法（又分为法和法）例如：①形如y ＝221x +，可采用法；② y ＝)32(2312-≠++x x x ，可采用法或法；③ y ＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c ，可采用法；④ y ＝x －x -1，可采用法；⑤ y ＝x －21x -，可采用法；⑥ y ＝xx cos 2sin -可采用法等.例1. 求下列函数的定义域：（1）y=xx x -+||)1(0 (2)y=232531x x -+-;1·1-+x x解：（1）由题意得,0||01⎩⎨⎧>-≠+x x x 化简得,||1⎩⎨⎧>-≠x x x 即.01⎩⎨⎧<-≠x x 故函数的定义域为{x|x ＜0且x≠-（2）由题意可得,050322⎩⎨⎧≥-≠-x x 解得.553⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-±≠x x故函数的定义域为{x|-5≤x≤5且x≠±3（3）要使函数有意义，必须有,0101⎩⎨⎧≥-≥+x x 即,11⎩⎨⎧≥-≥x x ∴x≥1,故函数的定义域为［1，+∞）变式训练1：求下列函数的定义域：（1）y=212)2lg(xx x -+-+(x-1)0; (2)y=)34lg(2+x x +(5x-4)0; (3)y=225x -+lgcosx;解：（1）由⎪⎩⎪⎨⎧≠->-+>-01,012022x x x x 得⎪⎩⎪⎨⎧≠<<-<1,432x x x 所以-3＜x ＜2且x≠1.故所求函数的定义域为（-3，1）（2）由⎪⎩⎪⎨⎧≠-≠+>+045,134034x x x 得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠-≠->54,2143x x x 函数的定义域为).,54()54,21(21,43+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛--（3）由⎩⎨⎧>≥-0cos 0252x x ,得,)(222255⎪⎩⎪⎨⎧∈+<<-≤≤-Z k k x k x ππππ 借助于数轴，解这个不等式组，得函数的定义域为.5,23)2,2(23,5⎥⎦⎤⎝⎛-⎪⎭⎫⎢⎣⎡--ππππ 例2. 设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域（1）y=f(3x); (2)y=f(x1);(3)y=f()31()31-++x f x ;(4)y=f(x+a)+f(x-a).解：（1）0≤3x≤1,故0≤x≤31的定义域为［0, 31］（2）仿（1）解得定义域为［1，（3）由条件，y 的定义域是f )31(+x 与)31(-x 定义域的交集列出不等式组,32313431323113101310≤≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≤≤+≤x x x x x 故y=f )31()31(-++x f x 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,31. （４）由条件得,111010⎩⎨⎧+≤≤-≤≤-⇒⎩⎨⎧≤-≤≤+≤a x a ax a a x a x 讨论：①当⎩⎨⎧+≤--≤,11,1a a a a 即0≤a≤21时，定义域为［a,1-a］②当⎩⎨⎧+≤--≤,1,a a a a 即-21≤a≤0时，定义域为［-a,1+a ］综上所述：当0≤a≤21时，定义域为［a ，1-a ］；当-21≤a≤0时，定义域为［-a ，1+a］变式训练2：若函数f(x)的定义域是［0，1］，则f (x+a)·f(x -a)（0＜a ＜21）的定义域是（） A.∅［a ，1-a ］［-a ，1+a ］［0，1］解：例3.求下列函数的值域：（1）y=;122+--x x xx (2)y=x-x21- (3)y=1e 1e +-xx解：（1）方法一（配方法）∵y=1-,112+-x x 而,4343)21(122≥+-=+-x x x∴0＜,34112≤+-x x ∴.131<≤-y ∴值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,31.方法二（判别式法）由y=,122+--x x xx 得(y-1).0)1(2=+-+y x y x∵y=1时,≠∴∅∈y x , 1.又∵∈x R ，∴必须∆=(1-y)2-4y(y-1)≥0.∴.131≤≤-y ∵,1≠y ∴函数的值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,31.（2）方法一（单调性法）定义域⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤21|x x ，函数y=x,y=-x 21-均在⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21,上递增，故y≤.21212121=⨯--∴函数的值域为⎥⎦⎤⎝⎛∞-21,.方法二（换元法）令x 21-=t,则t≥0，且x=.212t --21（t+1）2+1≤21（t≥0）∴y∈（-∞，21］（3）由y=1e 1e +-x x 得,e x =.11yy-+x＞0,即yy-+11＞0,解得-1＜y ＜∴函数的值域为{y|-1＜y ＜变式训练3：求下列函数的值域：（1）y=521+-x x (2)y=|x|21x-解：（1）(分离常数法)y=-)52(2721++x ，∵)52(27+x ≠0,∴y≠-21.故函数的值域是{y|y∈R,且y≠-21(2)方法一 (换元法∵1-x 2≥0,令x=sin α,则有y=|sin αcos α|=21|sin2α故函数值域为［0，21］.方法二 y=|x|·,41)21(122242+--=+-=-x x x x∴0≤y≤,21即函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0.例4．若函数f （x ）=21x 2-x+a 的定义域和值域均为［1，b ］（b ＞1），求a 、b 的值解：∵f（x ）=21(x-1)2+a-21.∴其对称轴为x=1，即［1，b ］为f （x ）的单调递增区间. ∴f（x ）min =f （1）=a-21=1 ① f （x ）max =f （b ）=21b 2-b+a=b ②由①②解得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,23b a变式训练4：已知函数f(x)=x 2-（1）求函数的值域为［0，+∞)时的a 的值；（2）若函数的值均为非负值，求函数f(a)=2-a|a+3|的值域解： (1）∵函数的值域为［0，∴Δ=16a 2-4(2a+6)=0⇒2a 2-a-3=0∴a=-1或a=23.（2）对一切x∈R ，函数值均非负,∴Δ=8(2a 2-a-3)≤0⇒-1≤a≤23,∴a+3＞0,∴f(a)=2-a(a+3)=-a 2-3a+2=-(a+23)2+417(a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈23,1). ∵二次函数f(a)在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,1上单调递减，∴f（a ）min =f )23(=-419，f （a ）max =f （-1）=4， ∴f(a)的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,419.1．求函数的定义域一般有三类问题：一是给出解释式（如例1），应抓住使整个解式有意义的自变量的集合；二是未给出解析式（如例2），就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域；三是实际问题，此时函数的定义域除使解析式有意义外，还应使实际问题或几何问题有意义. 2．求函数的值域没有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法（如直接法、单调性法、有界性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法）外，应根据问题的不同特点，综合而灵活地选择方法.。

函数的定义域与值域教案

函数的定义域与值域教学设计课题:函数的定义域和值域学科:数学授课教师: 数理19.4胡家华教材:高中必修1第一章第2节一、教学目标:1、知识目标:了解函数定义域和值域的定义，熟悉掌握简单函数定文域和值域的求法，会求抽象函数的定义域2、能力目标提高学生对函数工定义域、值域及相关问题的解题能力和运算能力，使学生准确而快速地求出函数定义域和值域3、情感目标通过由易到难的知识点层层递进和对各类题解题思路解法的不断运用掌握来提高学生的信心，二、教学重难点:求函数的定义域和值域，求抽象函数的定义域三、教学方法1.通过知识回顾引出新课，用学生熟悉的知识快速将学生的思绪从课间带回到课堂上来，同时也便于同学们更快的接受新知识，理解新概念。

2.通过提问和互动，使学生集中注意力，跟上老师的思路在思考和回答的过程中更好的理解和掌握新知识。

3.通过竞赛式随堂练习题，促进学生积极思考问题在解题的过程中不断巩固新知，并且让学生主动回答问题，加深同学的印象，同时提升学生的自信心。

四、教学过程1.知识回顾函数的概念：设A、B为非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称 f：A B为从集合A到集合B的一个函数记作：y=f（x），x∈A（其中X叫做函数的：自变量y叫做函数的函数值）2．新课引入定义域的概念：使函数有意义的自变量的取值范围，叫做函数的定义域。

值域的概念：函数值的集合，就叫做值域（明确“域”即集合，求函数的定义域值域时要表示成集合的形式）思考：上述函数y=f（x）的定义域是多少？f 那么值域呢？是否为B ？讨论得出，定义域为A ，值域不一定为B例: A B A C通过这个例子得出；f ：A →B ，也可以表示成： f ：A →C即：函数：定义域值域进而得出结论：（同时更好的理解定义域与值域的概率）函数的三要素：定义域、对应关系、值域俩个函数相等即：俩个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致。

函数定义域值域解析式教案

学校：年级：教学课题：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：教学目标函数的定义域，值域，解析式求法教学内容考点一：映射的概念例1、下面能构成从集合A 到集合B 的映射的是1 3 1 3 1 32 5 2 53 53 7 3 74 74 9 4 9（1）（2）（3）1 3 1 32 5 2 53 7 3 79 4（4）（5）考点二：集合与映射的关系说明：原项的集合叫做原项集，项的集合叫做项集例2、设A ，B 是两个非空集合，f :A →B 是从A 到B 的一个函数，函数的定义域与值域分别为M ，N 则下列说法正确的是（）A.N B M A ==，B.N B M A ⊆=,C.N B M A ⊆⊆,D.N B M A ⊆⊆,考点三、函数概念例3、下列关系中，y 不是x 的函数的是（）A.x y 5=B.2x y =C.x y 42=D.x y =例4、下列各组函数中，表示同一函数的是（）A. 1,x y y x== B. 211,1y x x y x =-+=-C. 33,y x y x ==D. 2||,()y x y x ==变式训练：下列函数中，与函数x y =相同的函数是（A.x x y 2= B.2)(x y = C.2x y = D.x e y ln =考点四、函数解析式求解方法下面向大家提供求函数解析式的三种常用方法：（1）换元法：已知复合函数[])(x g f 的解析式，求原函数)(x f 的解析式例5、已知x x x f 64)12(2+=+，求)(x f变式训练：已知x x x f 69)13(2+=+，求)(x f 得解析式注意：使用换元法求函数解析式时要注意定义域的变换（2）待定系数法：适用条件为已知函数的类型已知))((x g f 的解析式求)(x f 的解析式例6、已知二次函数)(x f 满足0)0(=f ，82)()1(++=+x x f x f ，求)(x f 的解析式变式训练：已知)(x f 是一次函数，且[]89)(+=x x f f ，求)(x f（3）消去法：已知)()(x g x f +解析式求)(x f 解析式例7、设函数)(x f 满足)0(,)1(2)(≠=+x x xf x f ，求)(x f 的函数解析式。

函数的定义域和值域教案

函数的定义域和值域教案【教案】一、教学目标：1.了解函数的定义域和值域的概念；2.掌握求函数的定义域的方法；3.掌握求函数的值域的方法；4.能够应用所学知识解决实际问题。

二、教学内容：1.函数的定义域和值域的概念；2.求函数的定义域的方法；3.求函数的值域的方法；4.实际问题的应用。

三、教学过程：1.引入（1）复习巩固：复习一元一次方程和二元一次方程的求解方法。

（2）引入新知：通过实际问题引入函数的概念。

比如：某老师设置的体测项目中，小明的体重与身高呈正比关系，我们可以用函数的方式来表达这个关系。

2.教学展开（1）定义域- 介绍函数的定义域的概念：函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值集合。

- 通过例题讲解：比如给出函数f(x) = √(x + 2)，问函数 f(x) 的定义域是什么？我们可以解方程x + 2 ≥ 0，得到x ≥ -2，所以函数的定义域为 [-2, +∞)。

（2）值域- 介绍函数的值域的概念：函数的值域是指因变量可能取到的值的集合。

- 通过例题讲解：比如给出函数 f(x) = x^2，问函数 f(x) 的值域是什么？我们可以通过计算函数的图像或者利用二次函数的性质知道，该函数的值域为[0, +∞)。

（3）求解定义域和值域的方法总结：- 定义域的求解方法：根据函数中涉及到的有限性、无理数和分式的限制条件，来确定定义域的范围。

- 值域的求解方法：根据函数的图像或者利用函数的性质来判断函数的取值范围。

3.实践应用通过实际问题的应用来巩固所学内容：（1）例题一：某物体下落的高度与时间的关系可以表示为函数 h(t) = 9.8t^2/2，其中 t 为时间，单位为秒。

请问该函数的定义域和值域分别是什么？- 解答：根据物理知识，时间 t 为正值，所以函数的定义域为 [0,+∞)；而高度 h(t) 不会是负值，所以函数的值域为[0, +∞)。

（2）例题二：某商品的销售价格与销售数量的关系可以表示为函数 p(x) = 100 - 2x，其中 x 为销售数量，单位为件。

学案2函数的定义域与值域2

1(t≥0),
2
2
2
∴y∈
-
,
1 2
.
解法二：∵1-2x≥0,∴x≤ , 1
2
∴定义域为-,1 2.∵函数y=x,y=-
12x 在
-
,
1 2
上均为单调递增,
∴y≤
1 1 2 1 1,∴y∈
2
22
-
,
12.
(3)解法一:当x>0时,y=x+ 4≥2
x
取等号;
x 4 =4,当且仅当x=2时,
∴t∈［0,4］, t∈［0,2］,
从而,当x=1时,ymin=2;
当x=-1或x=3时,ymax=4.
故值域为［2,4］.
(2)∵ y 2x 1 2(x - 3) 7 2 7 , 其中 7 ≠0,
x-3 x-3
x-3
x-3
∴y= 2x 1 的值域是(-∞,2)∪(2,+∞).
x-3
(3)将函数变形为
1.当函数是由解析式给出时,其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合.
2.当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）.
3.要记住各种基本函数的值域；要记住具有什么结构特点的函数用什么样的方法求值域.
求函数值域没有通用的方法和固定的模式，要靠在学习过程中不断积累，掌握规律，所以要记住各种基本函数的值域；要记住什么结构特点的函数用什么样的方法求值域，即熟悉求函数值域的几种常用方法，但在解决求值域问题时要注意选择最优解法.
1 2
,
1
D.（0,+∞) +lg(1+x)的定义

初中函数的概念优秀教案

教案：初中函数的概念教学目标：1. 了解函数的概念，理解函数是一种描述变量之间依赖关系的重要数学模型。

2. 掌握函数的定义域、值域的定义，并能求出一些简单函数的定义域和值域。

3. 能够用集合与对应的语言来描述函数，对事物间的联系进行数学化的思考。

教学重点：1. 函数的概念及定义域、值域的定义。

2. 用集合与对应的语言来描述函数。

教学难点：1. 函数概念的理解。

2. 函数定义域、值域的求解。

教学准备：1. 教材或教学PPT。

2. 相关实例和图片。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 通过现实生活中的实例，如气温、海拔高度与时间的关系，让学生感受函数的概念。

2. 引导学生思考：这些实例中，变量之间的依赖关系是如何描述的？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解函数的概念：函数是一种描述变量之间依赖关系的重要数学模型。

2. 讲解函数的定义域、值域的定义：定义域是函数所有可能的输入值的集合，值域是函数所有可能的输出值的集合。

3. 通过具体例子，讲解如何求解简单函数的定义域和值域。

三、课堂练习（15分钟）1. 让学生独立完成教材中的相关练习题。

2. 引导学生思考：如何用集合与对应的语言来描述函数？四、案例分析（10分钟）1. 分析现实生活中的实例，如销售问题、物体运动问题等，让学生理解函数在实际问题中的应用。

2. 引导学生思考：如何将实际问题转化为函数问题？五、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学的内容，让学生总结函数的概念、定义域、值域等知识点。

2. 强调函数在实际问题中的应用价值。

六、课后作业（课后自主完成）1. 复习本节课所学的内容，巩固函数的概念、定义域、值域等知识点。

2. 完成教材中的相关练习题。

教学反思：本节课通过现实生活中的实例，引导学生理解函数的概念，掌握函数的定义域、值域的求解方法。

在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，提高学生的学习兴趣和积极性。

同时，通过案例分析，让学生了解函数在实际问题中的应用，提高学生的数学素养。

教案函数定义域和值域

重庆专注教育考试服务中心江北校区：重庆市江北区观音桥步行街嘉年华大厦6楼（苏宁电器右侧）：86798788 渝北校区：重庆市渝北区两路步行街金易都会七楼705（米萝咖啡楼上）电话：67158018 龙湖校区：重庆市渝北区新南路龙湖MOCO17楼5-8（水晶郦城旁）电话88199890函数定义域和值域解法归纳一、教学目标1、通过不同的生活实例帮助学生建立函数概念的背景,理解函数是描述两个变量之间的依赖关系的重要数学模型,从而正确理解函数的概念。

2、能用集合与对应的语言来刻画函数,了解构成函数的三个要素。

3、通过从实际问题中抽象概括函数概念的活动,培养抽象概括能力。

4、通过创设实际例子的情景,让学生接近现实生活,关注社会实际;培养学生的语言表达能力,团结协作精神。

二、教学重难点重点:体会函数是描述两个变量之间的依赖关系的重要数学模型,从集合的观点正确理解函数的概念。

难点:函数概念及对符号y=f (x)意义的理解。

三、基础知识1、函数的定义域和值域：（1）概念：略（2）函数的定义域的常用求法：①分式的分母不等于零；②偶次方根的被开方数大于等于零； ③对数的真数大于零；④指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；⑤三角函数正切函数tan y x =中()2x k k Z ππ≠+∈；余切函数cot y x=中；⑥如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围。

2、求函数的解析式的常用求法：（1）、定义法；（2）、换元法；（3）、待定系数法；（4）、函数方程法；（5）、参数法；（6）、配方法3、求函数值域的常用方法：（1）、换元法；（2）、配方法；（3）、判别式法；（4）、几何法；（5）、不等式法；（6）、单调性法；7、直接法 4、求函数最值得常用方法：（1）、配方法；（2）、换元法；（3）、不等式法；（4）、几何法；（5）、单调性法 5、函数单调性的常用结论：（1）、若(),()f x g x 均为某区间上的增（减）函数，则()()f x g x +在这个区间上也为增（减）函数重庆专注教育考试服务中心江北校区：重庆市江北区观音桥步行街嘉年华大厦6楼（苏宁电器右侧）：86798788 渝北校区：重庆市渝北区两路步行街金易都会七楼705（米萝咖啡楼上）电话：67158018 龙湖校区：重庆市渝北区新南路龙湖MOCO17楼5-8（水晶郦城旁）电话88199890（2）、若()f x 为增（减）函数，则()f x -为减（增）函数（3）、若()f x 与()g x 的单调性相同，则[()]y f g x =是增函数；若()f x 与()g x 的单调性不同，则[()]y f g x =是减函数。

函数的定义域教案

函数的定义域教案【篇一：函数的定义域教案】高三数学标杆题与高考——函数的定义域（第二课时）大姚一中郭炳菊一、学习目标：1、知识与技能：（1）理解函数定义域的概念（2）能熟练地求复合函数的定义域（3）掌握求函数定义域的常见方法2、过程与与方法通过训练求不同函数的定义域，使学生认识到函数定义域的重要性，帮助学生进一步深刻理解函数的定义3、感情态度价值观通过结合不等式的知识解决函数定义域问题，使学生学会全面地看问题，观察问题，分析问题，认识事物间是有联系的二、学习重难点：重点：函数概念的理解和函数定义域的求法难点：复合函数定义域的求法三、预习提纲：1、初等函数有哪些？定义域如何？2、求简单函数定义域常用方法有哪些？3、什么叫复合函数？思考其求定义域的方法四、选题依据1、《新课程标准》要求：了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域2、《数学教学大纲》要求：理解函数的概念，掌握一些简单函数定义域的求法3、《考试大纲》要求：（1）理解函数定义域和值域的概念（2）能熟练地求基本初等函数和复合函数定义域五、标杆题：求下列函数的定义域：1、y=3、y=13-2x-x22、y=log22x-1 3-x+lg(3x+7)2六、分析标杆题:分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，在学生已学习基本初等函数定义域的基础上，我们来学习复合函数定义域，设置以下提问：（1）什么叫函数的定义域？（2）我们已经学过哪些初等函数的定义域？能不能将初等函数求定义域的方法归纳总结一下？（3）观察以上标杆题，它们有什么特点？是由哪些初等函数复合而成？解析：（1）自变量x需满足3-2x-x2 0得-3 x 1∴函数的定义域为（-3,1）（2）自变量x需满足2x-1 0即(2x-1)(x-3) 0 3-x解得1 x 3∴函数的定义域为（1,3） 22（3）自变量x需满足3-x≥0且3x+7≠0解不等式组得函数定义域为(-∞,-7) (-7,3) 33七、总结标杆题如果没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x 的取值范围；求复合函数的定义域时，首先应观察函数是由哪些初等函数复合而成的，然后将复合函数分解为一些初等函数，根据初等函数求定义域的方法，列出使函数有意义的不等式（组），其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集。

必修第一册函数的定义域和值域学案

函数的定义域和值域（一）求函数定义域的一般原则：（1）如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R .（2）如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 .（3）如果f (x )是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.（4）如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）（5）满足实际问题有意义.（二）：抽象函数的定义域求法：①函数f (x )的定义域是指x 的取值范围所组成的集合。

②函数[])(x f ϕ的定义域还是指x 的取值范围，而不是)(x ϕ的取值范围。

③已知f(x)的定义域为A ，求[])(x f ϕ的定义域:其实质是（求法）：已知)(x ϕ的取值范围为A ，求出x 的取值范围；解得的x 的取值范围即是[])(x f ϕ的定义域。

④已知[])(x f ϕ的定义域为B ，求f(x)的定义域:其实质是（求法）：已知[])(x f ϕ中x 的取值范围为B ，求出)(x ϕ的取值范围；解得的)(x ϕ的取值范围即是f(x)的定义域。

⑤同在对应法则f 下的范围相同：即[][])(,)(),(x h f x f t f ϕ三个函数中)(),(,x h x t ϕ的范围相同。

（三）：复合函数的定义域及其求法：（1）定义：如果函数)(t f y =的定义域为A,函数)(x g t =的定义域为D ，值域为C ，则当A C ⊆时，称函数[])(x g f y =为)(x f 与)(x g 在D 上的复合函数，其中t 叫做中间变量，)(x g t =叫做内层函数，)(t f y =叫做外层函数。

(2）复合函数定义域求法：①函数[])(x g f 的定义域还是指x 的取值范围，而不是)(x g 的取值范围。

②已知f(x)的定义域为A ，求[])(x g f 的定义域:其实质是（求法）：已知)(x g 的取值范围为A ，求出x 的取值范围；解得的x 的取值范围即是[])(x g f 的定义域。

教案--函数定义域、值域、解析式的求法

领程教育一对一个性化辅导教案
正切函数
当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。

解：原函数可化简得：|8x ||2x |y ++-= 上式可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2），)8(B -间的距离之和。

由上图可知，当点P 在线段AB 上时，|8x ||2x |y =++-=
9. 不等式法
利用基本不等式b
+
a≥
式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平
函数
（湖南卷）函数f(x)＝
若函数的定义域为，则
的定义域为，求的定义域．
2-
)x。

福建省长泰一中高考数学一轮复习教案《函数的定义域和值域》

福建省长泰一中高考数学一轮复习《函数的定义域和值域》教案一、定义域：例如：① 形如y ＝221x +，可采用法；② y ＝)32(2312-≠++x x x ，可采用法或法；③ y ＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c ，可采用法；④ y ＝x －x -1，可采用法；⑤ y ＝x －21x -，可采用法；⑥ y ＝xx cos 2sin -可采用法等.例1. 求下列函数的定义域：（1）y=xx x -+||)1(0 (2)y=232531x x -+-;1·1-+x x解：（1）由题意得,0||01⎩⎨⎧>-≠+x x x 化简得,||1⎩⎨⎧>-≠xx x即.01⎩⎨⎧<-≠x x 故函数的定义域为{x|x ＜0且x≠-（2）由题意可得,050322⎩⎨⎧≥-≠-x x 解得.553⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-±≠x x故函数的定义域为{x|-5≤x≤5且x≠±3（3）要使函数有意义，必须有,0101⎩⎨⎧≥-≥+x x 即,11⎩⎨⎧≥-≥x x ∴x≥1,故函数的定义域为［1，+∞）变式训练1：求下列函数的定义域：（1）y=212)2lg(x x x -+-+(x-1); (2)y=)34lg(2+x x +(5x-4)0; (3)y=225x -+lgcosx;解：（1）由⎪⎩⎪⎨⎧≠->-+>-01,012022x x x x 得⎪⎩⎪⎨⎧≠<<-<1,432x x x 所以-3＜x ＜2且x≠1.故所求函数的定义域为（-3，1）（2）由⎪⎩⎪⎨⎧≠-≠+>+045,134034x x x 得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠-≠->54,2143x x x 函数的定义域为).,54()54,21(21,43+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛--（3）由⎩⎨⎧>≥-0cos 0252x x ,得,)(222255⎪⎩⎪⎨⎧∈+<<-≤≤-Z k k x k x ππππ 借助于数轴，解这个不等式组，得函数的定义域为.5,23)2,2(23,5⎥⎦⎤⎝⎛-⎪⎭⎫⎢⎣⎡--ππππ 例2. 设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域（1）y=f(3x); (2)y=f(x1(3)y=f()31()31-++x f x(4)y=f(x+a)+f(x-解：（1）0≤3x≤1,故0≤x≤31的定义域为［0, 31］（2）仿（1）解得定义域为［1，（3）由条件，y 的定义域是f )31(+x 与)31(-x定义域的交集列出不等式组,32313431323113101310≤≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≤≤+≤x x x x x 故y=f )31()31(-++x f x 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,31.（1）y=;122+--x x xx (2)y=x-x21- (3)y=1e 1e +-x x解：（1）方法一（配方法）∵y=1-,112+-x x 而,4343)21(122≥+-=+-x x x∴0＜,34112≤+-x x ∴.131<≤-y ∴值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,31.方法二（判别式法）由y=,122+--x x xx 得(y-1).0)1(2=+-+y x y x ∵y=1时,≠∴∅∈y x , 1.又∵∈x R ，∴必须∆=(1-y)2-4y(y-1)≥0.∴.131≤≤-y ∵,1≠y ∴函数的值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,31.（2）方法一（单调性法）定义域⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤21|x x ，函数y=x,y=-x 21-均在⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21,上递增，故y≤.21212121=⨯--∴函数的值域为⎥⎦⎤⎝⎛∞-21,.方法二（换元法）令x 21-=t,则t≥0，且x=.212t --21（t+1）2+1≤21（t≥0）∴y∈（-∞，21］（3）由y=1e 1e +-x x 得,e x =.11yy-+x＞0,即yy -+11＞0,解得-1＜y ＜∴函数的值域为{y|-1＜y ＜变式训练3：求下列函数的值域：（1）y=521+-x x (2)y=|x|21x-解：（1）(分离常数法)y=-)52(2721++x ，∵)52(27+x ≠0,∴y≠-21.故函数的值域是{y|y∈R,且y≠-21(2)方法一 (换元法∵1-x 2≥0,令x=sin α,则有y=|sin αcos α|=21|sin2α故函数值域为［0，21］.方法二 y=|x|·,41)21(122242+--=+-=-x x x x∴0≤y≤,21即函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0.例4．若函数f （x ）=21x 2-x+a 的定义域和值域均为［1，b ］（b ＞1），求a 、b 的值解：∵f（x ）=21(x-1)2+a-21.∴其对称轴为x=1，即［1，b ］为f （x ）的单调递增区间. ∴f（x ）min =f （1）=a-21=1 ① f （x ）max =f （b ）=21b 2-b+a=b ②由①②解得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,23b a变式训练4：已知函数f(x)=x 2-（1）求函数的值域为［0，+∞)时的a的值；（2）若函数的值均为非负值，求函数f(a)=2-a|a+3|的值域解： (1）∵函数的值域为［0，∴Δ=16a 2-4(2a+6)=0⇒2a 2-a-3=0∴a=-1或a=23.（2）对一切x∈R ，函数值均非负,∴Δ=8(2a 2-a-3)≤0⇒-1≤a≤23,∴a+3＞0,∴f(a)=2-a(a+3)=-a 2-3a+2=-(a+23)2+417(a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈23,1).∵二次函数f(a)在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,1上单调递减，∴f（a ）min =f )23(=-419，f （a ）max =f （-1）=4， ∴f(a)的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,419.1．求函数的定义域一般有三类问题：一是给出解释式（如例1），应抓住使整个解式有意义的自变量的集合；二是未给出解析式（如例2），就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域；三是实际问题，此时函数的定义域除使解析式有意义外，还应使实际问题或几何问题有意义.2．求函数的值域没有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法（如直接法、单调性法、有界性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法）外，应根据问题的不同特点，综合而灵活地选择方法.。

函数的定义域教学设计

函数的定义域教学设计一. 教学内容：函数的定义域与值域、单调性与奇偶性二. 教学目标：理解函数的性质，能够运用函数的性质解决问题。

三. 教学重点：函数性质的运用．四. 教学难点：函数性质的理解。

［学习过程］一、知识归纳：1. 求函数的解析式（1）求函数解析式的常用方法：①换元法（注意新元的取值范围）②待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）③整体代换（配凑法）④构造方程组（如自变量互为倒数、已知 f （x）为奇函数且g （X）为偶函数等）（2）求函数的解析式应指明函数的定义域，函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义。

（3）理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。

2. 求函数的定义域求用解析式y = f (x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：①若f (x)是整式，则函数的定义域是实数集R；②若f (x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f (x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0 的实数集合；④若f (x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑤若f (x)是由实际问题抽象出来的函数，贝間数的定义域应符合实际问题.3. 求函数值域(最值)的一般方法：( 1)利用基本初等函数的值域； (2)配方法(二次函数或可转化为二次函数的函数)；( 3)不等式法(利用基本不等式，尤其注意形如型的函数)(4)函数的单调性：特别关注的图象及性质( 5)部分分式法、判别式法(分式函数)( 6)换元法(无理函数)( 7)导数法(高次函数)( 8)反函数法( 9)数形结合法4. 求函数的单调性(1)定义法：(2)导数法：(3)利用复合函数的单调性：(4)关于函数单调性还有以下一些常见结论：①两个增(减)函数的和为________ ;一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是 ______ ；②奇函数在对称的两个区间上有 ____ 的单调性;偶函数在对称的两个区间上有____ 的单调性;③互为反函数的两个函数在各自定义域上有 ______ 的单调性;(5)求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等( 6)应用：比较大小，证明不等式，解不等式。

教案2函数的定义域与值域

②配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如： f ( x) ax2 bx c, x (m, n) 的形式； ③分式转化法（或改为“分离常数法” ） ④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想； ⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑥基本不等式法：转化成型如： y x
4 ; x
x 2 1 (2 x) 2 4
教
后
记
教研组长意见：
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x 2 1 (2 x) 2 4 .
解： ⑴由 3+2x-x2≥0 得函数定义域为［－1,3］ t=3+2x－x2=4－(x－1)2. ,又 ∴t∈[0,4］ t ∈[0,2］，，从而，当 x=1 时，ymin=2. 当 x=－1 或 x=3 时，ymax=4.故值域为[2,4].
教学重点教学难点课教型法
教
教学教学过程预设
具讲练结合过程
多媒体、三角板、
一、知识回顾： 1．函数定义域的方法：解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式： ①自然型：指函数的解析式有意义的自变量 x 的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）； ②限制型：指命题的条件或人为对自变量 x 的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误； ③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量 x 的实际意义。 2．求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题。求函数的值域主要从以下几个方法入手： ①配方法（将函数转化为二次函数）； ②判别式法（将函数转化为二次方程）； ③不等式法（运用不等式的各种性质）； ④函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等）。 ⑤观察法、单调性法、不等式法、部分分式法、换元法、有界性法、数形结合法，其中最为重要的是：观察法、判别式法、单调性法、不等式法、有界性法、数形结合法. 二、例题点评：例 1（1）求函数 f(x)=

教案函数的定义域与值域

函数地定义域与值域考纲要求会求一些简单函数地定义域和值域.考情分析1.本节是函数部分地基础，以考查函数地定义域、值域为主，求函数定义域是高考地热点，而求函数值域是高考地难点．2.本部分在高考试题中地题型以选择、填空题为主，属于中、低档题目.教学过程基础梳理一、常见基本初等函数地定义域1．分式函数中分母．2．偶次根式函数被开方式.3．一次函数、二次函数地定义域均为.4．y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为.5．y＝log ax(a＞0且a≠1)地定义域为．6．y＝tan x地定义域为．7．实际问题中地函数定义域，除了使函数地解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量地制约．二、函数地值域1．在函数概念地三要素中，值域是由和所确定地，因此，在研究函数值域时，既要重视对应关系地作用，又要特别注意定义域对值域地制约作用．2．基本初等函数地值域(1)y＝kx＋b(k≠0)地值域是.(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)地值域是：当a>0时，值域为当a＜0时，值域为(3)y＝kx(k≠0)地值域是．(4)y＝a x(a>0且a≠1)地值域为．(5)y＝log a x(a>0且a≠1)地值域是.(6)y＝sin x，y＝cos x地值域是．(7)y＝tan x地值域是.双基自测1．函数y＝x2－2x地定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为() A．{－1,0,3}B．{0,1,2,3}C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}2．(2011·广东高考)函数f(x)＝11－x＋lg(1＋x)地定义域是( )A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)3．函数y ＝1x 2＋2地值域为( ) A ．R B ．{y |y ≥12} C ．{y |y ≤12} D ．{y |0<y ≤12} 4．(教材习题改编)函数f (x )＝x －4|x |－5地定义域为________．5．(教材习题改编)若x 有意义，则函数y ＝x 2＋3x －5地值域是________．典例分析考点一、求函数地定义域[例1](2011·江西高考)若f (x )＝121log (21)x +，则f (x )地定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2变式1：若本例中地函数变为f (x )＝1221x -，试求f (x )地定义域变式2．(2012·烟台调研)已知函数f (x )则函数g (x )＝log 2f (x )地定义域是_______．：考点二、求已知函数地值域[例2]求下列函数地值域，并指出函数有无最值．(1)y＝1－x2 1＋x2；(2)y＝x＋4x(x<0)；(3)f(x)＝x－1－2x.变式3．(2012·青岛模拟)函数y＝16－4x地值域是( )A．[0，＋∞) B．[0,4]C．[0,4) D．(0,4)变式4.(2012·合肥模拟)若函数y＝f(x)地值域是[1,3]，则函数F(x)＝1－2f(x＋3)地值域是 ()A．[－5，－1] B．[－2,0]C．[－6，－2] D．[1,3]：函数地值域是由其对应关系和定义域共同决定地．常用地求解方法有(1)基本不等式法，此时要注意其应用地条件；(2)配方法，主要适用于可化为二次函数地函数，此时要特别注意自变量地范围；(3)图象法，对于容易画出图形地函数最值问题可借助图象直观求出；(4)换元法，用换元法时一定要注意新变元地范围；(5)单调性法，要注意函数地单调性对函数最值地影响，特别是闭区间上地函数地最值问题；(6)导数法.考点三、与函数地定义域、值域有关地参数问题[例3](2011·湖南高考)已知函数f(x)＝e x－1，g(x)＝－x2＋4x－3.若有f(a)＝g(b)，则b地取值范围为( )A．[2－2，2＋2] B．(2－2，2＋2)C．[1,3] D．(1,3)变式5：(2012·烟台模拟)已知函数f(x)＝4|x|＋2－1地定义域是[a，b](a，b∈Z)，值域是[0,1]，则满足条件地整数数对(a，b)共有________个．：求解定义域为R 或值域为R 地函数问题时，都是依据题意，对问题进行转化，转化为不等式恒成立问题进行解决，而解决不等式恒成立问题，一是利用判别式法，二是利用分离参数法，有时还可利用数形结合法．[考题范例](2012·海淀模拟)函数f (x )＝(a －2)x 2＋2(a －2)x －4地定义域为R ，值域为(－∞，0]，则实数a 地取值范围是 ()A ．(－∞，2)B ．(－∞，－2)C ．{－2}D ．[－2,2][失误展板]错解：函数f (x )＝(a －2)x 2＋2(a －2)x －4地值域为(－∞，0]，即f (x )≤0恒成立．∴⎩⎨⎧ a <2，Δ≤0，解之，得－2≤a <2，故选D.错因：错解中误认为值域为(－∞，0 ]等价于f (x )≤0恒成立，其实不然，若f (x )地值域为(－∞，0]，则函数f (x )地最大值为0，而f (x )≤0恒成立，则不一定有函数f (x )地最大值为0.[正确解答]由函数f (x )地值域为(－∞，0]可知，函数f (x )地最大值为0，可求得a ＝－2.[答案]C1.求函数定义域地步骤对于给出具体解析式地函数而言，函数地定义域就是使函数解析式有意义地自变量x取值地集合，求解时一般是先寻找解析式中地限制条件，建立不等式，再解不等式求得函数定义域，当函数y＝f(x)由实际问题给出时，注意自变量x 地实际意义.2.抽象函数地定义域要弄清所给函数间有何关系，进而求解，如已知函数y＝f(x)地定义域为[a，b]，求y＝f(x＋2)地定义域，其实质是求a≤x＋2≤b中x 地范围，即其定义域为[a－2，b－2].反之，若y＝f(x＋2)地定义域为[a，b]，求f(x)地定义域，则应求x＋2地范围，即 a≤x≤b，a＋2≤x＋2≤b＋2，即f(x)地定义域为 [a＋2，b＋2]，即f(x)与f(x＋2)中地x含义不同.3.函数地值域是函数值地集合，它是由函数地定义域与对应关系确定地.函数地最值是函数值域地端点值，求最值与求值域地思路是基本相同地.在函数地定义域受到限制时，一定要注意定义域对值域地影响.1.数形结合法：利用函数所表示地几何意义，借助于图象地直观性来求函数地值域，是一种常见地方法，如何将给定函数转化为我们熟悉地模型是解答此类问题地关键.2.配方法：求二次函数或可化为二次函数形式地函数地值域，可使用该方法.cx (a，b，c∈R，ac≠0)地函数，往往3.换元法：对于形如y＝ax＋b±d通过换元，将其转化为二次函数地形式求值域.4.单调性法：若函数在给定区间上是单调函数，可利用单调性求值域.【注意】不论用哪种方法求函数值域，都一定要先确定其定义域.本节检测1．函数)13lg(13)(2++-=x x x x f 地定义域是.2.若函数()f x =A ，函数()lg g x x =,[1,10]x ∈地值域为B ，则A B I 为．3．若函数2x y =地定义域是{1,2,3},P =则该函数地值域是.4．设函数2211()21x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+->⎪⎩，，，，≤则1(2)f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭地值为. 5.已知集合}0,2|{)},2lg(|{2>==-==x y y B x x y x A x ，R 是实数集，则()R C B A =I ．自我反思。

初中数学函数范围教案

初中数学函数范围教案教学目标：1. 理解函数的定义，明确自变量和函数的关系。

2. 学会确定函数的定义域和值域。

3. 能够运用函数的性质解决问题。

教学重点：1. 函数的定义和自变量与函数的关系。

2. 确定函数的定义域和值域。

教学难点：1. 函数的定义域和值域的确定。

教学准备：1. PPT课件。

2. 函数示例。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾已学的变量、常量和变量的概念。

2. 提问：什么是函数？什么是自变量？二、新课讲解（20分钟）1. 讲解函数的定义：函数是一种数学关系，其中一个变量（自变量）与另一个变量（函数值）之间的关系可以表示为一个公式或一个规则。

2. 讲解自变量与函数的关系：自变量是独立变量，函数值是依赖于自变量的值。

3. 示例：给出一些函数示例，如线性函数、二次函数等，让学生观察并理解自变量与函数的关系。

4. 讲解确定函数的定义域：定义域是自变量可以取的所有值的集合。

根据函数的性质和实际意义，确定函数的定义域。

5. 讲解确定函数的值域：值域是函数值可以取的所有值的集合。

根据函数的性质和定义域，确定函数的值域。

三、练习与讨论（15分钟）1. 让学生练习确定一些简单函数的定义域和值域。

2. 引导学生讨论如何确定复杂函数的定义域和值域。

四、总结与反思（5分钟）1. 让学生总结本节课所学的内容，明确函数的定义、自变量与函数的关系、定义域和值域的确定方法。

2. 提问：如何运用函数的性质解决问题？教学延伸：1. 进一步学习函数的性质，如单调性、奇偶性等。

2. 应用函数解决实际问题，如优化问题、方程问题等。

教学反思：本节课通过讲解函数的定义、自变量与函数的关系，以及确定函数的定义域和值域的方法，使学生掌握函数的基本概念和性质。

在教学过程中，要注意引导学生观察和思考，培养学生的逻辑思维能力。

同时，通过练习和讨论，让学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。

江苏省涟水中学高一数学必修一教学案 9 函数的定义域

§9 函数的定义域和值域一、教学目标二、教学重难点三、新课导航 1．问题展示{}01)1(),0;(4)1f x x x R x ∈≠求函数定义域的一般原则（现在已经学过的）（）如果为分式，其定义域是使分母不为0的实数构成的集合；（2）如果f(x)是二次根式（偶次根式），其定义域是使根号内的式子不小于0的实数构成的集合；（3)f(x)=x 的定义域是且如果是实际问题，除应考虑解析式本身有意义外，还应考虑使实际问题有意义。

2）求函数定义域的一般步骤（）列出使函数有意义的自变量所满足的式2(0)________________;(3)(0)kk xy ax bx c a ≠≠=++≠子（往往是一个不等式组）；（2）解这个不等式组；（3）把不等式组的解集表示成集合（或区间）的形式即为函数的定义域。

3）常见函数的值域（已经学过的）（1）一次函数y=kx+b(k 0)的值域是_____________;(2)反比例函数y=的值域是二次函数的值域，当a>0时，函数值域是___________ 当a<0时，函数值域是___________.2. 基础测评1)_____________;2)_____________.函数函数的值域为四、合作探究活动1、求定义域（1）xx x y -+=2)1( （2）11y x =- （3）y =活动2、（1）函数2y x=的定义域是)5,2[)1,( -∞，其值域是（2）函数)0()(≥-=x x x x f 的最大值是（3）函数()11x f x x +=-的值域为______________________________活动3、作函数121-++=x x y 的图象，并求该函数的值域。

活动4、[)3+y =∞已知函数，，求a 的值。

五、提高拓展(1)已知函数)(x f y =的定义域是[]2,0，则函数1)2()(-=x x f x g 的定义域为。

清泉州阳光实验学校高一数学求函数的定义域与值域的常用方法教案

清泉州阳光实验学校一.教学内容：求函数的定义域与值域的常用方法求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值二.学习目的1、进一步理解函数的定义域与值域的概念；2、会应用代换、方程思想求简单的函数解析式；3、会求根本初等函数、简单的复合函数及含参变量函数的定义域、值域和最值；4、会将求函数值域问题化归为求函数的最值问题，重视函数单调性在确定函数最值中的作用；5、会务实际问题中的函数解析式、定义域、值域和最值问题；6、会用集合、区间或者者不等式表示函数的定义域和值域。

三.知识要点〔一〕求函数的解析式1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联络的一座桥梁，其一般形式是y＝f〔x〕，不能把它写成f〔x，y〕＝0；2、求函数解析式一般要写出定义域，但假设定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形；3、求函数解析式的一般方法有：〔1〕直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或者者构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。

〔2〕待定系数法：假设明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；〔3〕换元法：假设给出了复合函数f［g〔x〕］的表达式，求f〔x〕的表达式时可以令t＝g〔x〕，以换元法解之；〔4〕构造方程组法：假设给出f〔x〕和f〔－x〕，或者者f〔x〕和f〔1/x〕的一个方程，那么可以x 代换－x〔或者者1/x〕，构造出另一个方程，解此方程组，消去f〔－x〕〔或者者f〔1/x〕〕即可求出f〔x〕的表达式；〔5〕根据实际问题求函数解析式：设定或者者选取自变量与因变量后，寻找或者者构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。

〔二〕求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或者者区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考察自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间是是变量一般取非负数，等等；4、对复合函数y＝f［g〔x〕］的定义域的求解，应先由y＝f〔u〕求出u的范围，即g〔x〕的范围，再从中解出x的范围I1；再由g〔x〕求出y＝g〔x〕的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进展分类讨论，假设参数在不同的范围内定义域不一样，那么在表达结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进展分类讨论，但在表达结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；〔三〕求函数的值域1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法那么确定，常用集合或者者区间来表示；2、在函数f：A→B中，集合B未必就是该函数的值域，假设记该函数的值域为C，那么C是B的子集；假设C＝B，那么该函数作为映射我们称为“满射〞；3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；4、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进展分类讨论；表达结论时要就参数的不同范围分别进展表达；5、假设对自变量进展分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集；6、求函数值域的方法非常丰富，应注意总结；〔四〕求函数的最值1、设函数y＝f〔x〕定义域为A，那么当x∈A时总有f〔x〕≤f〔xo〕＝M，那么称当x＝xo时f〔x〕取最大值M；当x∈A时总有f〔x〕≥f〔x1〕＝N，那么称当x＝x1时f〔x〕取最小值N；2、求函数的最值问题可以化归为求函数的值域问题；3、闭区间的连续函数必有最值。