卢同善实变函数青岛海洋大学出版社第二章习题答案

第二章习题答案
1.若 x m x且 y m y ，则( x m , y m )( x , y ) .
特别的 , 若x m x ，则 ( x m , y )( x , y ) .
证明：这实际上是表明( x, y)是 R n R n上的连续函数 .
利用三角不等式 ,得到
( x m , y m )( x, y)( x m , y m )( x, y m )( x, y m )( x, y)
.
( x , x m )( y, y m )0,( m)
2.证明：若 x1 O x 0 ,，则1，使得 O x1 ,1O x 0 ,.
证明：实际上取01( x 0 , x1 ) 即可，因为此时对任意的x O x1 , 1 ，有
( x , x 0 )( x, x1 )( x1 , x 0 )1( x 1 , x 0 )，即 x O x0 , .
3.证明以下三条等价： (1). x E;(2).x 0的任意邻域中都有 E 中的点；(3).存在E中的
点列 x n收敛到 x 0. 进而，若 x0 E ，则存在0，使得 O ( x 0 ,)E.
证明：注意到 E E E ' .（ i） .若（ 1）成立，则x0 E 或 x 0 E ' .若前者成立，显然（ 2）成立；若后者x0 E ' 成立，由极限点的定义也有（2）成立.总之，由（1）推出（2）.
(ii).若（2）成立，则对任意的n ，有O ( x0,1n)E，在其中任选一点记为x n.这样就得到点列x n E ，使得( x n , x0 )1n，即（3）成立.
(iii).设（3）成立.若存在某个n 使得x n x0，当然有x0x n E E ；若对任意的n ，都有 x0x n，则根据极限点的性质知x0 E ' E . 总之，（ 1）成立 .
5.证明：A B A B.
证明：因为 A B ' A' B'，所以有
A B A B A B ' A B A' B'A A'B B'A B.
6. 在 R1中，设E Q[0,1] ，求 E ', E .
解： E ' E[0,1]
7. 在 R 2中，设 E
( x, y ) : x
2
y 2 1
，求E',E .
解：E'E
( x , y ) : x 2 y 2
1
8. 在 R 2
中，设 E 是函数 y
sin
x
1
, x
0,
0,
x
的图形上的点的全体所成之集，求E ' .
0,
解：E'E
(0, a ) : 1
a
1 . 因对任意的
1 a
1 ，有 E 上的点列
1
, y ( 1
) (0, a ) .
2 n
arcsin a arcsin
2 n
a
9. 证明：当 E 是不可数集时， E ' 也必是不可数集 .
证明： 注意到 E E
E '
E E ' .而EE '
是 E 中孤立点的全体，它是一个孤立
集，故是至多可数集 . 若 E ' 不是不可数集，则
E ' 是至多可数集，其子集
E E ' 也必为至
多可数集，就得到
E
E
E '
E
E ' 也是至多可数集（因右边两个都是至多可数集）
，
与题设矛盾 . 所以 E ' 必是不可数集 .
1
inf E ,
sup E , 证明 E , E .
10.设ER,
证明： 由确界的定义知有
E 中的点列
x n 收敛到 ，再由第 3 题即得结果 .
11. 证明以下三个命题等价 :
(1) E 是疏朗集 .
(2) E 不含任何邻域 .
(3) ( E ) c 是稠密集 .
证明： (1) (2) ：反证法 假设存在 O ( x , r ) E , 按闭包的等价定义
, O ( x, r ) 中任意点
的任意邻域中都含有
E 中的点 , 与疏朗集的定义矛盾 .
(2)
(3) ：由假设 , 对 x ,
0 , 有 O ( x, )
E , 从而 O ( x,
)
E
c
，即任
一点的任一邻域中都有
( E ) c 中的点，也即 (E ) c 是稠密集 .
(3)
(1) ：反证法 若 E 不是疏朗集， 则存在 O ( x , ) ，使得 O ( x ,
) 中没有子邻域与 E 不
相交 . 这实际上意味着对任意的
O ( y, r )
O ( x, ) 都有 O ( y , r ) E
,
由 r 的任意小
c
性知道 y E , 再由 y 的任意性知道 O ( y , r ) E , 由此知道 E 不是稠密的 .
由这个命题知道疏朗集的余集是稠密的, 但稠密集的余集不一定是疏朗的, 如Q .
12.设 E R n，证明：E是疏朗集的充要条件是任一闭区间中均有子闭区间与E不相交.
证明：因为任一闭区间中必含开区间，而任一开区间中也必含闭区间.
13.证明：疏朗集的余集必是稠密集，但稠密集的余集未必是疏朗集.
c 证明：由第 11 题知若E是疏朗集，则( E )c是稠密集 .而由于 E E，故E E c，
从而由 ( E ) c是稠密集得到 E c是稠密的 .反例： Q 和 Q c都是稠密集 .
14.构造反例说明：非稠密集未必是疏朗集，非疏朗集未必是稠密集.
反例： [ 0,1]
15.证明： R1中的非空闭区间不能表示成可数个疏朗集的并.
证明：反证法 . 若否，设[ a , b ] E n，其中 E n都是疏朗集 . 利用 12 题，因 E 1疏
n 1
朗，故 [ a , b ] 中有非空子闭区间[ a1, b1][ a , b ] ，使 b1a1 1 且[ a1, b1]E1；同样，
因 E 2疏朗，存在 [ a 2 , b 2 ][ a1 , b1 ] ，使b2
1
a 2并且 [ a2 , b2 ] E 2；一直下去，得
2
到一列闭区间套 [ a n , b n ]，使得 b n a n 1
，[ a n1 , b n 1 ][ a n , b n] ，且 [ a n, b n] E n. n
由数学分析中的闭区间套定理，存在唯一的x[ a , b] 含于所有的闭区间[ a n , b n]，并且成立 x E n (n ) ，这与 x[ a , b ] E n矛盾.
n 1
16.孤立集 E R n必是至多可数集 .
证明：令 E k E O (0, k ) ，则 E k是有界集列，且E E k，故只需要证明每
k1
个 E k是至多可数集即可.注意到 E k也是孤立集并且有界，方便起见，不妨仍记 E k为 E .
这样，问题转为证明：有界的孤立集 E 是至多可数集.任取 x E ，由孤立性，存在( x) 0 使得
O ( x ,( x ) ) E x
（ * ）
.
得到满足（ * ）式开球族O ( x, ( x)) : x EK . 明显的，E和开球族K对等. 对K中的
球按半径分类 .
令 K n是 K 中半径大于1
的球的全体 . 则K K n，若能证明每个K n都是有限集，n n 1
就得到 K 是至多可数集，从而 E 是至多可数集.
下证明：K
n都是有限集.注意到K n中每个球的半径大于
1
，且每个球的球心不在其他
n
1
的球中（由（ * ）式），这表明各个球心之间的距离大于. 另一方面，这些球心是一致有界n
的.再结合有界的无限集必有收敛的子列这一命题，知K n中只能有有限个球.
17.设 E R n，证明 E 是R n中包含 E 的最小闭集.
证明：当然， E 是包含 E 的闭集.任取闭集 F ，且 E F .来证 E F .任取 x0 E ，则存在 E 中的点列 x n收敛到 x0( 第 3 题中闭包的性质 ).而 E F ，所以点列x n含于
F 中且收敛到 x0，这表明 x0 F. 又F是闭集，所以F F ，即有 x0 F .再由 x0E 的任意性知 E F ，即 E 是包含 E 的最小闭集.
18.设 f( x ) 是R n上的实值连续函数 . 证明：对任意的实数 a ，集合x : f ( x) a 是开集 ,集合 x : f ( x) a 是闭集 .
证明：（ 1）任取 x : f ( x) a中的点 x0，则 f ( x0 ) a .由连续函数的性质（保号性）知：0 ，使得当x x0时，恒有 f ( x ) a ，即O ( x0,)x : f ( x) a ，也就证明了 x0是x : f ( x) a 的内点 . 由x0的任意性知x : f ( x)a是开集 .
（2）证明 Ex : f ( x) a 是闭集 .
法一 .类似于（ 1），知x : f ( x) a 是开集 .由于开集的余集是闭集，所以
x : f ( x )a x : f ( x )a c
是闭集 .
法二 .直接证 . 任取x0 E '，则存在点列x n E ，使得lim n x n x0.再由函数的连续性知lim n f( x n ) f ( x0) .又 f ( x n ) a (n ) ，结合连续函数的性质（保号性），必有 f ( x 0 ) a ，即 x0 E .由 x0 E '的任意性得到 E 'E，也即E是闭集.
19.证明： R1中可数个稠密的开集之交是稠密集.
证明：反证法.设E
n1
E n，其中 E n是一列稠密的开集.若 E不是稠密集，则存在某个邻域O ( x0 , ) 与 E 不相交，这时必有闭区间
I [ x 0
2
, x
2
]
E c .
（ 1）
而
E c
c
E n c ，
n E n
n
（ 2）
1
1
这里 E n c
是一列疏朗集 (因为稠密开集的余集是疏朗的 ).
E n c
I 也是一列疏朗集 （疏朗
集的子集当然是疏朗的） ，再由（ 1），（ 2）两式得到
II E c
I
E n c
n 1
I
E n c ，
n 1
这表明非空闭区间 I 可以表示成一列疏朗集
c
I 的并，与第 15 题矛盾 .
E n
补：稠密开集
E 的余集 E c 是疏朗的 .
证明：反证法 . 若 E c 不是疏朗集，由疏朗集的等价条件（第
11 题）知存在邻域
O ( x 0 , )
E c . 又 E 是开集，所以 E c 是闭集，故 E c
E c . 结合起来有 O ( x 0 , )
E c ，
这表明 O ( x 0 , )
E
，与 E 是稠密集矛盾 .
20. 设 f ( x ) 是 R 1 上的实函数 . 令
( x ) lim
sup
y x
f ( y )
inf y x f ( y ) .
证明 ：（ 1）对任意的 0 ，集合 x : ( x )
是闭集 .
（ 2 ） f ( x ) 的不连续点的全体成一 F 集 .
( x) lim
sup
y ' , y ''
'
f ( y ''
，它是 f ( x ) 在 x 处的振幅 .
证明： 注意到
O ( x , )
f ( y ) ) （1）. 等价于证明 E x : ( x)
是开集 .
任取 x 0
E ，因为
( x 0 )
，由极限的性
质，存在
0 ，使得
sup y '
, y
''
'
f ( y ''
O ( x , )
f ( y )
).
任取 x
O ( x 0 , ) ，则存在 1 0 ，使得 O ( x ,
1
)
O ( x 0 , ) . 显然有
sup
'
f ( y ''
sup
f '
''
'
''
f ( y ) )
'
''
O ( x 0 , )
( y )
f ( y ).
y , y
O ( x , 1 )
y , y
这表明
( x )
， x E . 故 O ( x 0 , ) E ，说明 E 中的点全是内点，
E 是开集.
（ 2）. 注意到连续点的振幅是零，不连续点的振幅大于零
. 设不连续点的全体是 K .
令 K n
x R 1 :
( x )
1 . 则 K n
是闭集列，且
K
n K n ，即K 是F 集.
n
1
21.证明： [ 0 ,1] 中无理数的全体不是 F 集.
证明：反证法 . 若[0,1]Q 是 F 集，则 [0,1]Q E n，其中E n是 [ 0,1] 中的闭
n 1
集列 . 因为每个E n都是闭集且都不含有理数，所以它必是疏朗集（因若不疏朗，则 E n中必有邻域，而任意邻域中都有有理数）.而 [ 0,1]中有理数的全体Q[0,1]是可数集，设
Q[0,1]r1 , r2 , , r n ,
n
r n.单点集列 r n当然是疏朗集列 .结合起来，有1
[0,1][0,1]Q[0,1]Q E n r n，
n 1n 1
等式的右边都是疏朗集，故上式表明闭区间[ 0 ,1] 可表示成一列疏朗集的并，与第 15 题矛盾 .
22.证明：定义在 [ 0 ,1]上具有性质：“在有理点处连续，在无理点处不连续”的函数不存在.
证明：结合第 20 题（ 2）和第21 题直接得结论 .
23.设 E R n，证明 E 的任意开覆盖必有至多可数的子覆盖. （Lindelof定理）
证明：设 E:是 E 的任一开覆盖.任取 E 中的点x，必有某，使得 x E .存在有理开区间I x，使得
x I x E.（ * ）就得到 E 的有理开区间族覆盖I x: x E（称为E:的加细开覆盖），其中 I x对某个 E 满足（*）式.因为有理开区间的全体是可数集，所以I x : x E作为集合来看是至多可数集，记为 I n. 则 E I n，对I n，取满足（ * ）式的相应E记为 E n，这时E n
n
是至多可数个且覆盖 E .
24.用 Borel 有限覆盖定理证明 Bolzano-Weierstrass 定理 .
证明：反证法 . 设E是有界的无限集 . 若E没有极限点，则它是有界闭集，还是孤立
集.由孤立性，对任意的x E ，存在( x )0 使得
O ( x, ( x)) E x（ * ）这样，得到满足（ * ）式的开球族O ( x, ( x)) : x E且覆盖E.因 E 是有界闭集，由Borel
有限覆盖定理，存在有限的子覆盖，记为 O ( x i) : i1, , k .k O ( x i ) ，又 E
即有 E
i1
是无限集，所以至少存在一个O ( x i ) 含有 E 中的多个点，这与（* ）式矛盾 .
25.设E R n是 G集，且 E 含于开集 I之中，则 E 可表为一列含于I 的递减开集之交.
证明：设E E n，其中E n是开集列 .取 F n n E k，则F n是递减的开集
k
n 11
列（因有限个开集的交是开集），且 E F n. 又I是开集，故 F n I是含于 I 中的
n 1
递减开集列 .结合 E I，得E E I
n 1F n I F n I. { F n I} 为所求.
n 1
26.设 f n ( x )为 R n上的连续函数列 .证明：点集 E x : lim f n ( x)0为一 F集 .
证明：注意到对任意的 a ， x : f n ( x)a f n a都是闭集（第18题）.而
E x : lim f n ( x )0
1
. k 1N1n N
f n
k
又f n 1
是闭集（任意多个闭集的交还是闭集），结合上式表明E为一F 集.
n N
k
27.设 G 为Cantor开集，求 G ' .
解：由 Cantor 集是疏朗的，可得G ' [0,1]
28.证明： R1中既开又闭的集合只能是 R1或 .
证明：设 A 是非空的既开又闭集. 它必有构成区间，不妨设( a, b)是A的一个构成区间 .若 a 有限 , 则a A ;另一方面，由 A 是闭集得 a[ a, b ]( a , b)'A' A,得到矛盾.所
以 a，同理得 b.因此A R1，所以R 1中既开又闭的集或是空集或是R1 .
实际上： R n中既开又闭的集或是空集或是R n .
证明:反证法 . 设A R n是既开又闭的非空又非R n的集合 . 则必存在x R n，但x A .一方面因为 A 是非空闭集,所以存在 y A ,使得x, A x, y0.另一方面, 因为A又是开集 , 所以y是内点，而取得非零距离的点绝不能是内点（只能在边界上达
到非零的距离），就导出了矛盾, 所以 R n中既开又闭的集或是空集或是R n .
29.R1中开集（闭集）全体所成之集的势为c .
证明：因为开集的余集是闭集、闭集的余集是开集, 且不同集合的余集是不同的, 所以开集全体的势和闭集全体的势是一样的.
设开集的全体是 F .由于全体开区间F1( a , b ) : a b ( a ( b )可取负 (正 )无穷 )的势是c , 所以F的势不小于 c . 任取开集A F ,由开集的构造知道A( a i , b i ) (是至多可列个并 ). 作对应 ( A ) a 1 , b1 ; a 2 , b2 ;;（如果是有限并，后面的点全用0代替） ,则该
对应是从 F 到R一个单射（因不同开集的构造不同）, 就有F的势不大于 R 的势 c . 综上所述，直线上开集的全体的势是 c .
实际上： R n中开集（闭集）全体所成之集的势为 c .
证明：设 R n中开集的全体是 F ，易知 F 的势不小于 c .由 R n中开集的构造，每个开集A F 都可表示成可数多个互不交的左闭右开的有理方区间（平行坐标轴，中心的坐标和边长都是有理点，有理数）I n ( A ) : n N的并，且开集不同时表示不完全相同. 有理方区间的全体 K 是可数集，所以K 的子集的全体所成之集2K的势是 2 a c .让开集 A 和它的表示 I n ( A) : n N对应，则该对应是从 F 到2K的单射，这表明 F的势不超过 c .
30.证明： R n中的每个开集或闭集均为 F 集和G 集.
证明：设 E 是闭集，它当然是 F 集（取闭集列全是 E 自身即可）.
令 E n x :( x, E )n1，则 E n是包含 E 的开集列（第32题） . 实际上，有
E n.（ * ）
E
n 1
显然，左是右的子集.任取右边的元x ，则x E n(n) ，即( x , E )n1 (n) ，这表明( x , E )0 ，因此x E E ，说明右边是左边的子集.因此（ * ）式表明闭集E是G集 .
由对偶性得到开集既是 F 集也是G集 .
31.非空集合 F R n具有性质：x R n , y* F 使( x, y *)( x , F ) ，证明 F 是闭集.
证明：任取 x F '，则存在x n F，使 x x n0，故 0( x, F )x x n0 .因此( x , F )0.由题设，存在y *F使得( x, y * )( x , F )0 ，故 x y *F. 由x F'的任意性得F'F，即F是闭集.
由于点到闭集的距离可达, 该性质是F成为闭集的充要条件 .
32. 设集合 E
n
0，点集U 为 U x : ( x, E ) d . 证明 E U 且U 是开集.
R , d
证明： E
U 是显然的 . 法一 . 由第 34 题， f ( x )
( x , E ) 是 R n 上的连续函数，而
U
x : f ( x ) d ，再由第 18 题知U 是开集 .
法二. 直接证 U
中的点全是内点 .
任取 x
U ，则
( x, E) r d . 取正数
d r .
当 y
R n 满足
( x , y )
时，根据集合距离的不等式得
( y , E )
( x , E )
( x , y )
r
d ，
即表明 O ( x , ) U ，故 x 是 U 的内点 . 由 x U 的任意性知 U 是开集.
33. 设E,F
R n 是不相交的闭集， 证明：存在互不相交的开集
U,V ，使得E
U , F V .
证明：法 一 . 由 第 35 题 ，存在 R n 上的 连续函 数 f ( x) 使得 E
x : f ( x) 0 且
F
x : f ( x )
1 . 则 U
x : f ( x )
4
1
,V
x : f ( x)
21
都是开集（由第
18 题）且不
相交，同时还满足
E
U , F
V .
法二 . 因为 E , F 是互不相交的闭集，所以
E c ,
F c 是开集，且 E F c
, F E c .
任取
x
E
F c , 因 F c 是开集，故存在邻域 O ( x )
O ( x , ( x )) ，使得
x O ( x ) O ( x) F c ，即 O ( x )
F .
（ 1）
这样就得到 E 开覆盖 O ( x) : x E ，且满足（ 1）. 又集合 E 的任一开覆盖一定有至多
可数的子覆盖（第
23 题），所以 E 可以用可数个开球 O ( x ) 来覆盖，记为
O n
. 即有
n 1
E
n O n 且 O n
F
, ( n ) .
（ 2）
1
同理，存在可数个开球
B n
n 1
使得
F
n B n 且 B n
E
, (
n)
（ 3）
1
令 U n
O n n
B k
O n n B k ,
V n
B n
n O k
B n
n
O k .
k k
k
k
1
1
1
1
则 U n
n
, V n
均是开集列 （都是开集减闭集） ，且 U n V m
, ( n , m) .
还由（ 2）（ 3）
1
n 1
式知 U n
n 1
,
V n
n 1
还分别是 E , F 的开覆盖（因由构造， O n 中去掉的都不是 E 中的点） .
取U
n
U n ,V
n
V n，则它们即为所求 . 11
34.设 E R n , E，证明( x, E ) 作为x的函数在R n上是一致连续的.
证明：命题直接由不等式( x, E )( y, E )x y 得到 .
35.设E,F为 R n中互不相交的非空闭集，证明存在R n上的连续函数 f ( x) 使得：
(1).0 f ( x )1,x R n;
(2).Ex : f ( x)0且 F x : f ( x ) 1 .
证明：实际上 f ( x)
( x , E )
满足要求 . ( x, E )( x, F )
36.设 E R n , x0R n.令Ex0x x0: x E ，即Ex 0是集合 E 的平移，证明：若 E 是开集，则 E x0也是开集 .
证明：因为开球平移后还是开球 .。