含参数不等式的解法

关于含参数（单参）的一元二次不等式的解法探究
高二数学组 盛耀建
含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解法在本质上是一致的，这类不等式可从分析两个根的大小及二次系数的正负入手去解答，但遗憾的是这类问题始终成为绝大多数学生学习的难点，此现象出现的根本原因是学生不清楚该如何对参数进行讨论，笔者认为这层“纸”捅破了，问题自然得到了很好的解决，在教学的过程中本人发现参数的讨论实际上就是参数的分类，而参数该如何进行分类有一个非常好的方法，下面我们通过三个例子找出其中的奥妙！ 一．二次项系数为常数
例1解关于x 的不等式：.0)2(2>+-+a x a x 解：0)2(2>+-+a x a x )(*
()3243240422
+≥-≤⇔≥--=∆a a a a 或，
此时两根为()2
42)2(2
1a
a a x --+
-=
，()2
42)2(2
2a
a a x ---
-=
.
（1）当324-<a 时，0>∆，
)(*解集为(2
48)2(,2
+--
-∞-a a a )⋃(
+∞+-+-,2
48)2(2
a a a )；
（2）当324-=a 时，0=∆，)(*解集为(13,-∞-)⋃(+∞-,13)； （3）当324324+<<-a 时，0<∆，)(*解集为R ； （4）当324+=a 时，0=∆，)(*解集为(13,--∞-)⋃(+∞--,13)；
（5）当324+>a 时，0>∆，
)(*解集为(2
48)2(,2
+--
-∞-a a a )⋃(
+∞+-+-,2
48)2(2
a a a ).
二．二次项系数含参数
例2解关于x 的不等式：.01)1(2
<++-x a ax 解：若0=a ，原不等式.101>⇔<+-⇔x x
若0<a ，原不等式a
x x a x 10)1)(1(<
⇔>--⇔或.1>x
若0>a ，原不等式.0)1)(1(<--
⇔x a
x )(*
其解的情况应由
a
1与1的大小关系决定，故
（1）当1=a 时，式)(*的解集为φ； （2）当1>a 时，式)(*11<<⇔
x a
；
（3）当10<<a 时，式)(*a
x 11<
<⇔.
综上所述，当0<a 时，解集为{11><x a
x x 或}；
当0=a 时，解集为{1>x x }；当10<<a 时，解集为{a
x x 11<
<}；当1=a 时，解集为φ；当1>a 时，解集为{11<<x a
x
}.
例3解关于x 的不等式：.012<-+ax ax 解：.012<-+ax ax )(* （1）0=a 时，.01)(R x ∈⇔<-⇔*
（2）0≠a 时，则0042>⇔≥+=∆a a a 或4-≤a ，
此时两根为a
a a a x 242
1++
-=，a
a a a x 242
2+--=
.
①当0>a 时，0>∆，⇔
*∴)(<
<+--x a
a a a 242
a
a a a 242
++
-；
②当04<<-a 时，0<∆，R x ∈⇔*∴)(； ③当4-=a 时，0=∆，2
1)(-
≠∈⇔*∴x R x 且；
④当4-<a 时，0>∆，⇔*∴)(或a
a a a x 242
++
->
a
a a a x 242
+-
-<.
综上，可知当0>a 时，解集为(
a
a a a 242
+--,
a
a a a 242
++-)；
当04≤<-a 时，解集为R ； 当4-=a 时，解集为(2
1,-
∞-)⋃(+∞-
,2
1);
当4-<a 时，解集为(a
a a a 24,
2
+--∞-)⋃(
+∞++-,242
a
a a a ).
上述两题分别代表一元二次不等式中多项式可否直接进行因式分解，其共同点是二次项系数含参数，故需对二次项系数的符号进行讨论.
上面三个例子，尽管分别代表了两种不同的类型，但它们对参数a 都进行了讨论，看起来比较复杂，特别是对参数a 的分类，对于初学者确实是一个难点，但通过对它们解题过程的分析，我们可以发现一个很好的规律：原来参数a 的分类是根据一元二次不等式中二次项系数等于零和判别式0=∆时所得到的a 的值为数轴的分点进行分类，如： 解关于x 的不等式：033)1(22>++-ax x a 解：033)1(22>++-ax x a )(*
1012
=⇒=-a a 或1-=a ；
203)1(492
2=⇒=⨯-⨯-=∆a a a 或2-=a ；
∴当2-<a 时，012
>-a 且0<∆，)(*解集为R ；
当2-=a 时，012>-a 且0=∆，)(*解集为(1,∞-)⋃(+∞,1)； 当12-<<-a 时，012>-a 且0>∆，
)(*解集为(2
23123,
2
2
---
-∞-a a
a )⋃(
+∞--+
-,2
231232
2
a a
a )；
当1-=a 时，)(*1033<⇔>+-⇔x x ，)(*解集为(1,∞-)； 当11<<-a 时，012<-a 且0>∆，
)(*解集为(
2
231232
2
---
-a a
a ,
2
231232
2
--+
-a a
a )；
当1=a 时，)(*1033->⇔>+⇔x x ，)(*解集为(+∞-,1)；
当21<<a 时，012
>-a 且0>∆，
)(*解集为(2
23123,
2
2
----∞-a a
a )⋃(
+∞--+
-,2
231232
2
a a
a )；
当2=a 时，012
>-a 且0=∆，)(*解集为(1,-∞-)⋃(+∞-,1)；
当2>a 时，012
>-a 且0<∆，)(*解集为R .
综上，可知当2-<a 或2>a 时，解集为R ；当2-=a 时，(1,∞-)⋃(+∞,1)； 当12-<<-a 或21<<a 时，解集为
(2
23123,
2
2
----∞-a a
a )⋃(
+∞--+
-,2231232
2
a a
a )；当1-=a 时，解集为(1,∞-)；
当11<<-a 时，)(*解集为(
2
231232
2
---
-a a
a ,
2
231232
2
--+
-a a
a )；当1=a 时，)(*解
集为(+∞-,1)；当2=a 时，解集为(1,-∞-)⋃(+∞-,1).
通过此例我们知道原来解任意含参数（单参）的一元二次不等式对参数进行分类讨论时只需求出二次项系数等于零和判别式0=∆时所得到的参数的值，然后依此进行分类即可，这样这类问题便有了“通法”，都可迎刃而解了。