2017年马鞍山市红星中学科学创新实验班选拔考试数学理科(试卷)

2017年马鞍山市红星中学科学创新实验班选拔考试

数 学

【注意事项】

1.本试卷共4页，总分150分，答题时长150分钟，请掌握好时间。

2.请将自己的姓名、准考证号用钢笔或圆珠笔填写在答题卷的相应位置上。

3.考生务必在答题卷上答题，在试卷上作答无效。考试结束后，请将试卷和答题卷一并交回。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1.

,它的主视图为（

）

2.一个均匀的立方体六个面上分别标有数字1，2，3，4，

5，6，如图是这个立方体表面的展开图，抛掷这个立方体，则朝上一面

的数字恰好等于朝下一面数字的

2

1

的概率是（ ） A ．61 B ．31 C ．21 D ．3

2

3.满足不等式n 200＜5300的最大整数n 等于（ ） A ．11 B ．12 C ．13 D ．14

4.某地有居民100000户，其中普通家庭99 000户,高收入家庭1 000户．从普通家庭中随机抽样抽取990户，从高收入家庭中随机抽样方式抽取l00户进行调查，发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房，其中普通家庭50户，高收人家庭70户．依据这些数据并结合所掌握的统计知识，你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭数量的合理估计是( )

A. 12000 B ．5700 C. 1200 D ．570

5..一般地，当βα，为任意角时，βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+；

ααcos )90(sin =+︒，利用上述公式求︒195sin 的值为（ ）

A.

4

2

-6 B ．

426+ C.

4

6

-2 D ．4

2

6-

+

A B C D (第1题图)

6.若不等式组2

4255x x x a

-⎧+>-⎪

⎨⎪>⎩的解集中恰有4个整数解，

则a 的取值范围是（ ） A .12-<<-a B .12-<≤-a C .12-≤<-a D .12-≤≤-a 7.正方形ABCD 内有一个点P,连接AP 、BP 、CP,若AP=１，BP=2，CP ＝３，则APB ∠的度数是（ ）

A. ︒120 B ．︒135 C. ︒145 D ．︒150 8.如图，△AOB 和△ACD 均为正三角形，且顶点B 、D 均在双曲线()04

>=

x x

y 上，则图中S △OBP =（ ） A.32 B .33 C .34 D .4

9.小球M 与小球N 分别由点A(2,0)同时出发，沿正方形BCDE 的周界做环绕运动，小球M 按逆时针方向以l 单位/秒等速运动，小球N 按顺时针方向，以2单位/秒等速运动，则两个小球运动后的第16次相遇地点的坐标是( )

A.（2，0） B ．（0，-2） C. )23

4(--

， D ．)234

(，- 10.如图,已知等边ABC ∆外有一点P ，P 落在ABC ∠内，设P 到BC 、CA 、AB 的距离分别为123,,h h h ，满足1236h h h -+=，那么等边ABC ∆的面积为（ ）

A ．43

B ． 83

C ． 93

D ． 123

二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分）

11.若22044(2)x x x x -+=+-，则x= .

12.如图，动点C 在⊙O 的弦AB 上运动，AB=32，连接OC ， CD ⊥OC 交⊙O 于D ，则CD 的最大值为_____________．

第10题图

第8题图

Ｂ

1

h Ｃ

Ａ

Ｐ

2

h 3

h

第9题图

13.由一次函数1y +-=x 和反比例函数x

2

y -

=的图象可知不等式x

x 2

1->+-的解为 .

14. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，将△ABC 沿直线MN 翻折后，顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处，已知MN ∥AB ，MD ＝6，ND ＝32，则四边形MABN 的面积是 . 15.已知c b a ,,,满足

51=+b a ab ，61=+c b bc ，71=+a c ca ，则

bc a ca

bc ab ++= . 16.已知一个边长为正整数a 的正方体，可切割为38个小的正方体，其中有37个正方体边长均为1，剩下一个正方体的边长为正整数b,则a+b 的值为 . 三、解答题（本大题共6小题，共64分）

17.（本小题满分12分） 已知关于x 的一元二次方程22

7

04

k x kx ++-=. （1）求证：方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程两根为21,x x ，且12x x >，12127x x x x -+=，求k 的值.

18.（本小题满分12分） 如图，ABC △是O 的内接三角形，AC BC =，D 为O 中AB 上一点，延长DA 至点E ，使CE CD =． （1）求证：AE BD =；

（2）若AC BC ⊥，证明： CD 2BD =+AD .

Ｃ

Ｅ

Ａ

Ｏ Ｄ

Ｂ

19.（本题满分12分）x 、y 、z 是三个非负实数，满足3x+2y+z=5,x+y-z=2,若S=2x+y-z,求S 的最大值和最小值.

20.（本题满分14分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． （1）当0≤x ≤200时，求v 与x 之间的函数的表达式v (x )；

（2）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）f (x )=x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）．

21.（本小题满分14分） 已知二次函数22(34)12y ax a a x a =+---的图象关于 y 轴对称，并有最大值. (1) 求此二次函数的解析式；

(2) 若此二次函数与x 轴交于点A 、B ，△ABC 为等边三角形(点C 在x 轴上方)，求点C 的坐标；

(3) 在此二次函数图象上是否存在点P ，使∠APB=60°？若有，请求出点P 的坐标；若没有，请说明理由.