三角函数习题及答案
三角函数练习题(含答案)
三角函数练习题及答案（一）选择题1、在直角三角形中，各边都扩大2倍，则锐角A 的正弦值与余弦值都（ ）A 、缩小2倍B 、扩大2倍C 、不变D 、不能确定12、在Rt △ABC 中，∠C=900，BC=4，sinA=45，则AC=（ ） A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 3、若∠A 是锐角，且sinA=13，则（ ）A 、00<∠A<300B 、300<∠A<450C 、450<∠A<600D 、600<∠A<9004、若cosA=13，则A A AA tan 2sin 4tan sin 3+-=（ ） A 、47B 、 13C 、 12D 、0 5、在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：1：2，则a ：b ：c=（ ）A 、1：1：2B 、1：1：√2C 、1：1：√3D 、1：1：√226、在Rt △ABC 中，∠C=900，则下列式子成立的是（ ）A 、sinA=sinB B 、sinA=cosBC 、tanA=tanBD 、cosA=tanB7．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是（ ）A ．sinB= 23B ．cosB= 23C ．tanB= 23D ．tanB=32 8．点（-sin60°，cos60°）关于y 轴对称的点的坐标是（ ） A ．（32，12） B ．（-32，12） C ．（-32，-12） D ．（-12，-32）9．每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣．某同学站在离旗杆12米远的地方，当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为30°，若这位同学的目高1.6米，则旗杆的高度约为（ ）A ．6.9米B ．8.5米C ．10.3米D ．12.0米10．王英同学从A 地沿北偏西60º方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时王英同学离A 地 （ ）（A ）350m （B ）100 m （C ）150m （D ）3100m11、如图1，在高楼前D点测得楼顶的仰角为300，向高楼前进60米到C点，又测得仰角为450，则该高楼的高度大约为（）A.82米B.163米C.52米D.70米12、一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40º的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西10º的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（）．（A）30海里（B）40海里（C）50海里（D）60海里（二）填空题1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则sinB=_____．2．在△ABC中，若BC=2，AB=7，AC=3，则cosA=________．3．在△ABC中，AB=2，AC=2，∠B=30°，则∠BAC的度数是______．4．如图，如果△APB绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A＇P＇B，且BP=2，那么PP＇的长为________． (不取近似值. 以下数据供解题使用：sin15°=，cos15°=624+)5．如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°．甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西___________度．6．如图，机器人从A点，沿着西南方向，行了个42单位，到达B 点后观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，则原来A的坐标为___________结果保留根号）．7．求值：sin260°+cos260°=___________．8．在直角三角形ABC中，∠A=090，BC=13，AB=12，那么tan B=___________．9．根据图中所给的数据，求得避雷针CD的长约为_______m（结果精确的到0.01m）．（可用计算器求，也可用下列参考数据求：sin43°≈0.6802，sin40°≈0.6428，cos43°≈0.7341，cos40°≈0.7660，tan43°≈0.9325，tan40°≈0.8391）10．如图，自动扶梯AB 段的长度为20米，倾斜角A 为α，高度BC 为___________米（结果用含α的三角比表示）．11．如图2所示，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为________米．（保留两个有效数字，2≈1.41，3≈1.73）三、简答题：1，计算：sin cos cot tan tan 3060456030︒+︒-︒-︒⋅︒分析：可利用特殊角的三角函数值代入直接计算；2计算：22459044211(cos sin )()()︒-︒+-︒+--π分析：利用特殊角的三角函数值和零指数及负整数次幂的知识求解。
三角函数练习题含答案
三角函数练习题含答案一、填空题1．如图，点C 为某沿海城市的高速公路出入口，直线BD 为海岸线，512BAC π∠=，BD AB ⊥，BC 是以A 为圆心，半径为1km 的圆弧型小路．该市拟修建一条从C 通往海岸的观光专线CP PQ -（新建道路PQ ，对道路CP 进行翻新），其中P 为BC 上异于B C ，的一点，PQ 与AB 平行，设012PAB θθ5π⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，新建道路PQ 的单位成本是翻新道路CP 的单位成本的2倍．要使观光专线CP PQ -的修建总成本最低，则θ的值为____________．2．在锐角三角形ABC 中，角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，且满足22b a ac -=，则11tan tan A B-的取值范围为___________. 3．已知球O 的表面积为16π，点,,,A B C D 均在球O 的表面上，且,64ACB AB π∠=则四面体ABCD 体积的最大值为___________.4．已知三棱锥S ABC -中，SA SB SC ==，ABC 是边长为4的正三角形，点E ，F 分别是SC ，BC 的中点，D 是AC 上的一点，且EF SD ⊥，若3FD =，则DE =___________. 5．已知向量a ，b ，c 满足0a b c ++=，()()0a b a c -⋅-=，||9b c -=，则||||||a b c ++的最大值是___________.6．已知(sin )21,22f x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，那么(cos1)f =________.7．在三棱锥P ABC -中，4AB BC ==，8PC =，异面直线PA ，BC 所成角为π3，AB PA ⊥，AB BC ⊥，则该三棱锥外接球的表面积为______．8．已知函数()cos()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=->><<的部分图像如图所示，设函数()266g x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()g x 的值域为___________.9．已知直线y m =与函数3()sin (0)42f x x πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的图象相交，若自左至右的三个相．邻交点．．．A ，B ，C 满足2AB BC =，则实数m =______. 10．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b =，2B C =，则a c +的取值范围为________．二、单选题11．在△ABC 中，24CA CB ==，F 为△ABC 的外心，则CF AB ⋅=（ ） A ．-6B ．-8C ．-9D ．-1212．已知函数()sin 4f x x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0)>ω在区间[0,]π上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：①()f x 在区间(0,)π上有且仅有3个不同的零点； ②()f x 的最小正周期可能是2π； ③ω的取值范围是131744⎡⎫⎪⎢⎣⎭，；④()f x 在区间0,15π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增． 其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①④B ．②③C ．②④D ．②③④13．已知点P 是曲线e 3xy =+α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ） A ．0,6π⎛⎤⎥⎝⎦B ．,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦14．已知,a b Z ∈，满足)98sin 50sin 50a b -︒︒=，则a b +的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．415．在ABC ∆中，已知3sin sin ,2A C +=设2sin sin ,t A C =则91()()44t t --（ ）A ．1B ．27764C ．1693192D ．9816．已知函数()sin sin()f x x x π=+，现给出如下结论：①()f x 是奇函数；②()f x 是周期函数；③()f x 在区间(0,)π上有三个零点；④()f x 的最大值为2.其中所有正确结论的编号为（ ） A ．①③B ．②③C ．②④D ．①④17．在三棱锥S ABC -中，侧棱SA ，SB ，SC 两两垂直，且2SA SB SC +==.设SA x =，该三棱锥的表面积为函数()y f x =，以下判断正确的是（ ） A ．()f x 为常数 B ．()f x 有极小值 C ．()f x 有极大值D ．()f x 是单调函数18．如图是某市夏季某一天从6时到14时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数()sin y A x B ωϕ=++，则该市这一天中午12时天气的温度大约是（ ）A ．25C ︒B ．26C ︒ C ．27C ︒D ．28C ︒19．已知1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若2ABF 是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．(21,)+∞B ．(12,)+∞C ．(1,12)D ．(31,)+∞20．已知函数22sin sin ,[1,1]()22,(1,)x x a a x f x x ax a x ⎧++-∈-=⎨-+∈+∞⎩若关于x 的不等式()0f x 对任意[1,)x ∈-+∞恒成立，则实数a 的范围是（ ）A ．[0,2]B ．(,0][2,)-∞+∞C ．(,0][1,2]-∞D ．[0,1][2,)⋃+∞三、解答题21．若函数()y f x =的图像上存在两个不同的点关于y 轴对称，则称函数()y f x =图像上存在一对“偶点”．（1）写出函数()sin f x x =图像上一对“偶点”的坐标；（不需写出过程） （2）证明：函数()ln(2)2g x x x =+-+图像上有且只有一对“偶点”；（3）若函数()2()x h x e mx m =--∈R 图像上有且只有一对“偶点”，求m 的取值范围． 22．已知()sin ,2cos a x x =，()2sin ,sin b x x =，()f x a b =⋅ （1）求()f x 的解析式，并求出()f x 的最大值；（2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最小值和最大值，并指出()f x 取得最值时x 的值.23．如图所示，在平面四边形ABCD 中，1,2,AB BC ACD ==∆为正三角形.（1）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin(2)3sin A C C +=，求角B 的大小； （2）求BCD ∆面积的最大值.24．已知(3cos ,sin ),(sin ,0),0a x x b x ωωωω==>，设()(),f x a b b k k R =+⋅+∈. （1）若()f x 图象中相邻两条对称轴间的距离不小于2π，求ω的取值范围； （2）若()f x 的最小正周期为π，且当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最大值是12，求()f x 的解析式，并说明如何由sin y x =的图象变换得到()y f x =的图象.25．已知函数()()sin 0,2f x t x t πωϕϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，()f x 的部分图像如图所示，点()0,3N ，,02M π⎛⎫- ⎪⎝⎭，,4P t π⎛⎫⎪⎝⎭都在()f x 的图象上.（1）求()f x 的解析式；（2）当,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()33f x m --≤恒成立，求m 的取值范围.26．函数211()sin 2sin cos cos sin 222f x x x πϕϕϕ⎛⎫=⋅+⋅-+ ⎪⎝⎭，22ππϕ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭其图像过定点1,64π⎛⎫⎪⎝⎭（1）求ϕ值；（2）将()y f x =的图像左移8π个单位后得到()y g x =，求()g x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大和最小值及此时对应的x 的取值是多少？27．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 222cos 20C C ++=． （1）求角C 的大小；（2）若2b a =，ABC ∆的面积为2sin sin 2A B ，求sin A 及c 的值． 28．已知函数()f x a b =⋅，其中()3sin ,1a x =-，()1,cos b x =，x ∈R .（1）求函数()y f x =的单调递增区间； （2）求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值.29．已知函数()()sin ,f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02A πωϕ>><<）的图象如图所示：（1）求函数()f x 的解析式及其对称轴的方程；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()23f x a =-有两个不等的实根12,x x ，求实数a 的取值范围，并求此时12x x +的值.30．已知函数2()2cos 23cos f x x x x =+. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若()f x 在区间,6m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]0,3，求m 的取值范围.【参考答案】一、填空题1．6π2．23⎛ ⎝⎭33(21)+ 475．3+36．1π-##1π-+7．80π 8．9[,4]4-9．1或2##2或110．( 二、单选题 11．A 12．B 13．A 14．B 15．B 16．A 17．A 18．C 19．B 20．C 三、解答题21．（1）()(),0,0ππ-（2）见解析（3）()1,+∞ 【解析】（1）根据题意即正弦函数的性质即可直接求解；（2）要证：函数数()2x h x e mx =--图象上有且只有一对“偶点”，只需证：())()()y Q x g x g x ==--=在(0,2)上有且只有一个零点，结合导数及函数的性质即可证明；（3）由题意，问题可转化为函数()()y h x h x =--只有一个零点，结合函数的性质及导数可求． 【详解】（1）函数()sin f x x =图像上一对“偶点”的坐标为()(),0,0ππ-， （2）设()()()()()ln 2ln 22Q x g x g x x x x =--=+--+-， 因为()y Q x =的定义域为()2,2-，且()()Q x Q x -=-， 所以函数()y Q x =为奇函数，要证：函数()ln(2)2g x x x =+-+图像上有且只有一对“偶点”， 只需证：()y Q x =在()0,2上有且只有一个零点，令()()222204x Q x x-'==-，得x =所以，函数()Q x 在(上为单调减函数，在)2上为单调增函数，(ln 30Q=+-<，4441122ln 40Q e e e ⎛⎫⎛⎫-=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()Q x 在41e ⎫-⎪⎭上有且只有一个零点，所以函数()ln(2)2g x x x =+-+图像上有且只有一对“偶点”，（3）设()()()2x xF x h x h x e e mx -=--=--，()00F =，因为()y F x =的定义域为R ，且()()F x F x -=-， 所以函数()y F x =为奇函数，因为函数()2()x h x e mx m =--∈R 图像上有且只有一对“偶点”， 所以函数()y F x =在()0,∞+有且只有一个零点， ()12x xF x e m e '=+-，()0,x ∈+∞， ①当1m 时，因为()220F x m '>-≥，所以函数()y F x =在()0,∞+上为单调增函数，所以()()00F x F >=， 所以函数()F x 在()0,∞+无零点，②当1m 时，由()212120x x xx xe me F x e m e e-+'=+-==，得：(0ln x m =，所以函数()y F x =在()00,x 上单调减函数，在()0,x +∞上单调增函数， 所以()()000F x F <=， 设()ln H x x x =-，()1xH x x-'=， 所以函数()H x 在()0,1上单调增函数，在()1,+∞上单调减函数， 所以()()110H x H ≤=-<，所以ln x x <，所以(ln ln 22m m m +<<，设()()211x m x e x x =-->，设()()2xM x m x e x '==-， 因为()220xM x e e '=->->，所以函数()M x 在()1,+∞单调增函数，所以()()120M x M e >=->，所以函数()m x 在()1,+∞单调增函数， 所以()()120m x m e >=->，所以当1x >时，21x e x >+，()22222124140m m m F m e m e m e=-->-->， 因为函数()y F x =在()0,x +∞上单调增函数，所以函数()F x 在()0,2x m 上有且仅有一个1x ，使得()10F x =， 综上：m 的取值范围为()1,+∞. 【点睛】本题中综合考查了函数的性质及导数的综合应用，体现了分类讨论思想的应用，试题具有一定的综合性．22．（1）()f x 214x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭1.（2）0x =时，最小值0.38x π=1. 【解析】 【分析】（1）利用数量积公式、倍角公式和辅助角公式，化简()f x ，再利用三角函数的有界性，即可得答案； （2）利用整体法求出32444x πππ-≤-≤，再利用三角函数线，即可得答案. 【详解】（1）()22sin 2sin cos f x x x x =+1cos2sin2x x =-+214x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∴sin 214x π⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，()f x ∴1.（2）由（1）得()214f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，32444x πππ∴-≤-≤.sin 214x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭， ∴当244x ππ-=-时，即0x =时，()f x 取最小值0.当242x ππ-=，即38x π=时，()f x 1. 【点睛】本题考查向量数量积、二倍角公式、辅助角公式、三角函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意整体法的应用.23．（1）23B π=；（21. 【解析】 【分析】（1）由正弦和角公式,化简三角函数表达式,结合正弦定理即可求得角B 的大小;（2）在ABC ∆中,设,ABC ACB αβ∠=∠=,由余弦定理及正弦定理用,αβ表示出CD .再根据三角形面积公式表示出∆BCD S ,即可结合正弦函数的图像与性质求得最大值. 【详解】 （1）由题意可得：sin2cos cos2sin 3sin A C A C C +=∴()22sin cos cos 12sin sin 3sin A A C A C C +-=整理得sin (cos cos sin sin )sin A A C A C C -= ∴sin cos()sin A A C C += ∴sin cos sin A B C -= ∴sin 1cos sin 2C c B A a =-=-=- 又(0,)B π∈ ∴23B π=（2）在ABC ∆中,设,ABC ACB αβ∠=∠=,由余弦定理得：22212212cos 54cos AC αα=+-⨯⨯=-, ∵ACD ∆为正三角形, ∴2254cos CD C A α=-=, 在ABC ∆中,由正弦定理得：1sin sin ACβα=, ∴sin sin AC βα=, ∴sin sin CD βα=,∵()222222(cos )1sin sin 54cos sin CD CD CD ββααα=-=-=--2(2cos )α=-,∵BAC β<∠,∴β为锐角,cos 2cos CD βα=-, 12sin sin 233BCD S CD CD ππββ∆⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos sin 2CD ββ=+,1cos )sin sin 23πααα⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭, ∵(0,)απ∈∴当56πα=时,()max 1BCD S ∆=. 【点睛】本题考查了三角函数式的化简变形,正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用,三角形面积的表示方法,正弦函数的图像与性质的综合应用,属于中档题.24．（1）01ω<≤；（2）()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭;平移变换过程见解析.【解析】 【分析】（1）根据平面向量的坐标运算,表示出()f x 的解析式,结合辅助角公式化简三角函数式.结合相邻两条对称轴间的距离不小于2π及周期公式,即可求得ω的取值范围; （2）根据最小正周期,求得ω的值.代入解析式,结合正弦函数的图象、性质与()f x 的最大值是12,即可求得()f x 的解析式.再根据三角函数图象平移变换,即可描述变换过程.【详解】∵(3cos ,sin ),(sin ,0)a x x b x ωωω== ∴(3cos sin ,sin )a b x x x ωωω+=+∴2()()3sin cos sin f x a b b k x x x k ωωω=+⋅+=++1cos21122cos2222x x k x x k ωωωω-=++=-++ 1sin 262x k πω⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭（1）由题意可知222T ππω=≥, ∴1ω≤ 又0>ω, ∴01ω<≤ （2）∵T πω=, ∴1ω=∴1()sin 262f x x k π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭∵,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,∴2,626x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦∴当266x ππ-=即6x π=时max 11()sin 16622f x f k k ππ⎛⎫==++=+= ⎪⎝⎭∴12k =-∴()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭将sin y x =图象上所有点向右平移6π个单位,得到sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；再将得到的图象上所有点的横坐标变为原来的12倍,纵坐标不变,得到sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（或将sin y x =图象上所有点的横坐标变为原来的12倍,纵坐标不变,得到sin 2y x =的图象；再将得到的图象上所有点向右平移12π个单位,得到sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象） 【点睛】本题考查了正弦函数图像与性质的综合应用,根据最值求三角函数解析式,三角函数图象平移变换过程,属于中档题.25．（1）()22sin 33x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）[]1,0-【解析】 【分析】（1）由三角函数图像，求出,,t ωϕ即可； （2）求出函数()f x m -的值域，再列不等式组32m m +≥⎧⎪⎨≤⎪⎩.【详解】解：（1）由()f x 的图象可知34424T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则3T π=， 因为23T ππω==，0>ω，所以23ω=，故()2sin 3t x f x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为,02M π⎛⎫- ⎪⎝⎭在函数()f x 的图象上，所以sin 023f t ππϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()3k k Z πϕπ-+=∈，即()3k k Z πϕπ=+∈，因为2πϕ<，所以3πϕ=.因为点(N 在函数()f x 的图象上，所以()0sin 3f t π==解得2t =，故()22sin 33x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）因为,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以22,3333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以2sin 33x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，则()2f x ≤.因为()33f x m -≤-≤，所以()3m f x m ≤+， 所以32m m +≥⎧⎪⎨⎪⎩10m -≤≤.故m 的取值范围为[]1,0-.【点睛】本题考查了利用三角函数图像求解析式，重点考查了三角函数值域的求法，属中档题. 26．（1）0ϕ=（2）当4x π=时，min ()g x =；当8x π=-时，max 1()2g x =【解析】 【分析】（1）先将函数表达式结合降幂公式化简可得()1cos(2)2f x x ϕ=-，结合函数过点1,64π⎛⎫⎪⎝⎭和,22ππϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭即可求解具体ϕ值；（2）根据函数图像平移法则先求得1()cos 224g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦求得32,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，再结合余弦函数性质即可求解 【详解】（1）11cos 21()sin 2sin cos cos 222x f x x ϕϕϕ+=⋅+⋅- 11sin 2sin cos 2cos 22x x ϕϕ=⋅+⋅ 1cos(2)2x ϕ=- 又图像过点1,64π⎛⎫ ⎪⎝⎭，11cos 423πϕ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭233k ππϕπ∴-=+或2()3k k Z ππ-+∈又,22ππϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，0ϕ∴=（2）由（1）知 1()cos 22f x x =， 11()cos 2cos 22824g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 32,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦当3244x ππ+=时，即4x π=时，min ()4g x = 当204x π+=时，即8x π=-时，max 1()2g x = 【点睛】本题考查三角函数表达式的化简求值，降幂公式的使用，两角差的余弦公式的逆用，在具体区间函数最值的求解，属于中档题27．（1）34C π=（2）sin A =1c = 【解析】 【分析】（1）化简等式，即可求出角C ．（2）利用角C 的余弦公式，求出c 与a 的关系式，再由正弦定理求出角A 的正弦值，再结合面积公式求出c 的值． 【详解】（1）∵cos 220C C ++=，∴22cos s 10C C +=+，即)210C +=，∴cos C = 又()0,C π∈，∴34C π=. （2）∵2222222cos 325c a b ab C a a a =+-=+=，∴c =，即sin C A =，∴sinA C =∵1sin 2ABC S ab C ∆=，且in sin ABC S A B ∆=，∴1sin sin 2ab C A B =，∴sin sin sin abC A B=2sin sin c C C ⎛⎫= ⎪⎝⎭1c =. 【点睛】本题考查利用解三角形，属于基础题． 28．（1）2[2,2],33k k k Z ππππ-++∈；（2）最小值为1- 【解析】 【分析】（1）先利用平面向量数量积的坐标运算律以及辅助角公式得出()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后解不等式()22262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈可得出函数()y f x =的单调递减区间；（2）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得出6x π-的取值范围，然后再利用正弦函数的性质得出函数()y f x =的最大值和最小值．【详解】 （1）()3sin ,1a x =-，()1,cos b x =，()1cos 2cos 2sin cos cos sin 266f x x x x x x x ππ⎫⎛⎫∴=-=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2sin 6x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解不等式()2222k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，得()22233k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 因此，函数()y f x =的单调递增区间为2[2,2],33k k k Z ππππ-++∈； （2）02x π≤≤，663x πππ∴-≤-≤，所以，函数()y f x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()min 2sin 16f x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，()max 2sin 2sin 263f x πππ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭因此，函数()y f x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1-【点睛】本题考查三角函数的单调性与最值，考查平面数量积的坐标运算，解这类问题首先要利用三角三角恒等变换公式将三角函数解析式化简，并将角视为一个整体，利用正弦函数或余弦函数的基本性质求解，考查分析问题和解题问题的能力，属于中等题．29．（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()62k x k Z ππ=+∈；（2）522a ≤<，3π.【解析】 【分析】（1）根据图像得A=2,利用412562T πππω=-=，求ω值，再利用6x π=时取到最大值可求φ，从而得到函数解析式，进而求得对称轴方程；（2）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，方程f （x ）＝2a ﹣3有两个不等实根转为f （x ）的图象与直线y ＝2a ﹣3有两个不同的交点，从而可求得a 的取值范围，利用图像的性质可得12x x +的值. 【详解】（1）由图知，2,A =4156242=T ππππω=-=,解得ω=2，f(x)=2sin(2x+φ), 当6x π=时，函数取得最大值，可得2sin 226πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2,32k k Z ππϕπ+=+∈，解得2,6k k Z πϕπ=+∈ ，又(0,)2πϕ∈所以6π=ϕ， 故()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令262x k πππ+=+则()62k x k Z ππ=+∈， 所以()f x 的对称轴方程为()62k x k Z ππ=+∈； （2）70,2,2666x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以方程()23f x a =-有两个不等实根时，()y f x =的图象与直线23y a =-有两个不同的交点，可得1232,a ≤-<522a ∴≤<, 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()12f x f x =，有122266x x πππ+++=，故123x x π+=.【点睛】本题考查由y ＝A sin （ωx +φ）的部分图象确定函数解析式，考查函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象及性质的综合应用，属于中档题．30．(Ⅰ) (),,36ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z (Ⅱ) 62ππ≤≤m【解析】 【分析】（Ⅰ）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数()f x 化为π2sin 216x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数()f x 的递增区间;(Ⅱ) 要使得()f x 在π,6m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]0,3，即πsin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，可得7 2266m πππ≤+≤，从而可得结果.【详解】（Ⅰ）()22f x cos x =+πcos212sin 216x x x ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，由()222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得(),36k x k k Z ππππ-≤≤+∈所以，()f x 的单调递增区间是(),,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）由（Ⅰ）知()π2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.因为π,6x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以π2,2666x m ππ⎡⎤+∈-+⎢⎥⎣⎦.要使得()f x 在π,6m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]0,3，即πsin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，. 所以72266m πππ≤+≤，即62m ππ≤≤. 【点睛】本题主要考查二倍角公式、辅助角公式的应用以及三角函数的单调性、三角函数的值域，属于中档题. 函数sin()y A x ωϕ=+的单调区间的求法：若0,0A ω>>,把x ωϕ+看作是一个整体，由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间，2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间.。
高中三角函数专题练习题(附答案)
高中三角函数专题练习题（附答案）一、填空题1．如图，点C 为某沿海城市的高速公路出入口，直线BD 为海岸线，512BAC π∠=，BD AB ⊥，BC 是以A 为圆心，半径为1km 的圆弧型小路．该市拟修建一条从C 通往海岸的观光专线CP PQ -（新建道路PQ ，对道路CP 进行翻新），其中P 为BC 上异于B C ，的一点，PQ 与AB 平行，设012PAB θθ5π⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，新建道路PQ 的单位成本是翻新道路CP 的单位成本的2倍．要使观光专线CP PQ -的修建总成本最低，则θ的值为____________．2．已知球O 的表面积为16π，点,,,A B C D 均在球O 的表面上，且,64ACB AB π∠=则四面体ABCD 体积的最大值为___________. 3．在ABC 中，7AB =3BC =1cos 7BAC ∠=，动点D 在ABC 所在平面内且2π3BDC ∠=．给出下列三个结论：①BCD △3②线段AD 的长度只有最小值，无最大值，且最小值为1；③动点D 的轨迹的长度为8π3．其中正确结论的序号为______．4．在长方体1111ABCD A B C D -中，13AB =，5AD =，112AA =，过点A 且与直线CD 平行的平面α将长方体分成两部分.现同时将两个球分别放入这两部分几何体内，则在平面α变化的过程中，这两个球的半径之和的最大值为___________. 5．若函数()41sin 2cos 33f x x x a x =-+在(),-∞+∞内单调递增，则实数a 的取值范围是___________.6．设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，n =1，2，3…，若11b c >，1112b c a +=，11,2n n n n n a c a a b +++==，12n n n a bc ++=，则n A ∠的最大值是________________.7．已知向量a 与b 的夹角为θ，sin θ=||4a b -=，向量,c a c b --的夹角为2π，||23c a -=，则a c ⋅的最大值是___________.8．已知P 是直线34130x y ++=上的动点，PA ，PB 是圆()()22111x y -+-=的切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是________．9．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b =，2B C =，则a c +的取值范围为________．10．函数ππ5sin (1510)55y x x ⎛⎫=+-≤≤ ⎪⎝⎭的图象与函数25(1)22x y x x +=++图象的所有交点的横坐标之和为___________.二、单选题11．在△ABC 中，24CA CB ==，F 为△ABC 的外心，则CF AB ⋅=（ ） A ．-6 B ．-8C ．-9D ．-1212．设150a =，112ln sin cos 100100b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，651ln 550c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b c a <<D ．b a c <<13．把函数()sin y x x =∈R 的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ）A ．sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈RB ．sin 26x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈RC ．2sin 23x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭，x ∈R D ．sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R14．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（ ）A ．⎝B ．32⎛ ⎝C ．⎣D ．32⎡⎢⎣15．在三棱锥A BCD -中，2AB AD BC ===，CD =AC =3BD =，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A ．927πB ．9πC ．1847πD ．18π16．已知函数()sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，66f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下列四个结论：①4πϕ=②93()2k k N ω=+∈ ③02f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭④直线3x π=-是()f x 图象的一条对称轴其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④17．函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，已知,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心，直线1312x π=为() f x 图象的一条对称轴，且() f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．记满足条件的所有ω的值的和为S ，则S 的值为（ ） A ．125 B ．85C ．165D ．18518．函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在区间52[,]63ππ-上单调递增，且存在唯一05[0,]6x π∈，使得0()1f x =，则ω的取值范围为（ ） A ．11[,]52B ．21[,]52C ．14[,]55D ．24[,]5519．已知函数()2sin cos f x x x x =，给出下列结论：①()f x 的图象关于直线π12x =对称；②()f x 的值域为[]22-,；③()f x 在π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数；④0是()f x 的极大值点．其中正确的结论有（ ） A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①②④20．已知函数22sin sin ,[1,1]()22,(1,)x x a a x f x x ax a x ⎧++-∈-=⎨-+∈+∞⎩若关于x 的不等式()0f x 对任意[1,)x ∈-+∞恒成立，则实数a 的范围是（ ） A ．[0,2]B ．(,0][2,)-∞+∞C ．(,0][1,2]-∞D ．[0,1][2,)⋃+∞三、解答题21．已知向量()()()3cos ,cos ,sin ,cos 0a x x b x x ωωωωω=-=>，若函数()12f x a b =⋅+的最小正周期为π. （1）求()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程22cos 22cos 23301212a f x x f x x a ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-+--+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦在04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，有实数解，求实数a 的取值范围.22．将函数2sin 3y x =+的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再将所得的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()f x 的图象． （1）写出函数()f x 的解析式；（2）若,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22()2()()1g x f x mf x m =-+-，求()g x 的最小值min ()g x ．23．将函数()sin 2g x x =向左平移4π个单位长度，得到函数()y f x =的图象，设函数()()()h x f x g x =+. （1）对函数()h x 的解析式；（2）若对任意,,2παβπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式()()a h h b αβ≤-≤恒成立，求b a -的最小值；（3）若26x h t π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在[)0,2π内有两个不同的解1x ，2x ，求()12cos x x -的值（用含t 的式子表示）.24．已知函数2()6f x x ax =--(a 为常数，a R ∈).给你四个函数：①1()21g x x =+；②2()3xg x =；③32()log g x x =；④4()cos g x x =. （1）当5a =时，求不等式2(())0f g x ≥的解集； （2）求函数4(())y f g x =的最小值；（3）在给你的四个函数中，请选择一个函数(不需写出选择过程和理由)，该函数记为()g x ，()g x 满足条件：存在实数a ，使得关于x 的不等式(())0f g x ≤的解集为[,]s t ，其中常数s ，t R ∈，且0s >.对选择的()g x 和任意[2,4]x ∈，不等式(())0f g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.25．函数()()sin tan f x x ω=，其中0ω≠. （1）讨论()f x 的奇偶性;（2）1ω=时，求证：()f x 的最小正周期是π；（3）()1.50,1.57ω∈，当函数()f x 的图像与()112g x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像有交点时，求满足条件的ω的个数，说明理由.26．函数()()2sin f x x ωϕ=+（其中0,2πωϕ><），若函数()f x 的图象与x 轴的任意两个相邻交点间的距离为2π，且函数()f x 的图象过点()0,1． （1）求()f x 的解析式； （2）求()f x 的单调增区间：（3）求()()2sin f x x ωϕ=+在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值域． 27．已知向量33cos ,sin 22a x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（1）求a ·b 及||a b +；（2）若3()||2f x a b a b =⋅-+，求()f x 的最小值28．已知函数()()()2331?0f x cos x sin x cos x ωωωω=+-->，()12 1()3f x f x ==-，，且12min 2x x π-=.（1）求()f x 的单调递减区间； （2）若()237,,,sin 33235,25f ππβπαβαβ⎛⎫⎛⎫∈-=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求2f α⎛⎫⎪⎝⎭的值. 29．已知函数2()2cos 23sin cos f x x x x =+. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若()f x 在区间,6m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]0,3，求m 的取值范围.30．在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且32sin a c A = (Ⅰ)确定角C 的大小： （Ⅱ）若c ＝,且△ABC 的面积为,求a ＋b 的值．【参考答案】一、填空题1．6π23(21)+ 3．①③4．165385．4242[ 6．π3##60°7．258159．(2,310．-7二、单选题11．A 12．D 13．D 14．A 15．A 16．B 17．A 18．B 19．B 20．C 三、解答题21．（1）()sin(2)6f x x π=-；（2）1a 或732a +-. 【解析】（1）根据向量数量积的坐标运算及三角公式，化简可得()f x 的解析式； （2）先化简()sin 212f x x π+=，利用换元法，设sin 2cos2t x x =-，把目标方程转化为关于t 的方程，分离参数后进行求解.【详解】 （1）因为()()()3cos ,cos ,sin ,cos 0a x x b x x ωωωωω=-=>，所以()2111cos 213sin cos 22222x f x a b x x x x ωωωωω+=⋅+=-+=-+ sin(2)6x πω=-.因为()f x 的最小正周期为π，所以22ππω=，即1ω=，所以()sin(2)6f x x π=-. （2）由（1）可知()sin 212f x x π+=.因为2(sin 2cos 2)x x +22sin 22sin 2cos 2cos 2x x x x =++12sin 2cos2x x =+， 222(sin 2cos 2)sin 22sin 2cos 2cos 2x x x x x x -=-+12sin 2cos2x x =-，所以22(sin 2cos2)12sin 2cos211(sin 2cos2)x x x x x x ⎡⎤+=+=+--⎣⎦.令sin 2cos2t x x =-，则22(sin 2cos 2)2x x t +=-，则方程22cos 22cos 23301212a fx x f x x a ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-+--+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦可化为()2222330a t t a ---+=，即22230at t a +--=.因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以sin 2cos 22[1,1]4t x x x π⎛⎫=-=-∈- ⎪⎝⎭.所以由题意可知，方程22230at t a +--=在[1,1]t ∈-时有解； 令2()223g t at t a =+--，当0a =时，()23g t t =-，由()0g t =得32t =（舍）；当0a ≠时，则22230at t a +--=可化为212132t a t-=-，令22132t y t-=-，[1,1]t ∈-，设32u t =-，则1(3),[1,5]2t u u =-∈，2212(3)11(3)222u u y u u⎡⎤--⎢⎥--⎣⎦==⨯1762u u ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，因为7u u+≥u = 当1u =时，7u u+取到最大值8，所以3,1]y ∈，所以13,1]a ∈，解得1a 或732a +-. 所以实数a 的取值范围是1a 或732a +- 【点睛】本题主要考查三角函数的性质，利用向量的坐标运算及三角公式把目标函数化简为最简形式，是这类问题常用求解方向，方程有解问题通常利用分离参数法来解决，侧重考查数学运算的核心素养.22．（1）2()2sin 233f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；（2）22min21,47()1,4128(32312m m m g x m m m m m ⎧-+≤⎪⎪=-<<+⎨⎪⎪-++≥+⎩ 【解析】(1)根据函数图象的变换规律即可求得()f x 的解析式;(2)令()t fx =可求得则()[1,3f x ∈+,设22()21M t t mt m =-+-，[1,3t ∈，通过定区间讨论对称轴4mt =的三种情况()M t 的单调性,进而可确定最小值的情况. 【详解】（1）将函数2sin 3y x =+的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，可得2sin 23y x =+得图象，再向右平移3π个单位长度得2()2sin 232sin 2333f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）∵,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，242,333x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，则()[1,3f x ∈+， 令()t f x =，则设22()21M t t mt m =-+-，[1,3t ∈+， ①当14m≤，即4m ≤时，函数()M t在[1,3上单调递增， ∴22min ()(1)211M t M m m m m ==-+-=-+；②当134m<<412m <<+ 函数()M t 在1,4m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,34m ⎛ ⎝上单调递增，∴2min 7()148m M t M m ⎛⎫==- ⎪⎝⎭；③当34m≥+12m ≥+()M t在[1,3+上单调递减，∴2min ()(3(323M t M m m ==-++∴综上有22min21,47()1,4128(32312m m m g x m m m m m ⎧-+≤⎪⎪=-<<+⎨⎪⎪-++≥+⎩． 【点睛】本题考查三角函数图象的变换,考查二次函数在三角函数中的应用,考查定区间动轴的最值取值情况,难度较难.23．（1）()2sin 23h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）4；（3）()212cos 12tx x -=-【解析】（1）将()g x⇒2y x =；再向左平移4π个单位长度⇒()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最后代入()h x ，得答案；（2）对()h x 在,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由内到外求出值域，因为()()a h h b αβ≤-≤恒成立，所以max b m ≥，min a m ≤，整理得答案；（3）表示26x h π⎛⎫- ⎪⎝⎭并化简，由1x ，2x 是2sin x t =在[)0,2π内有两个不同的解，所以12x x π+=或123x x π+=，因需求()12cos x x -，所以分别表示12x x -并代入，利用诱导公式和二倍角公式化简，将式子中22sin x 换成t 得答案. 【详解】（1）将函数()sin 2g x x =得到函数2y x =的图象，再将2y x =的图象向左平移4π个单位长度得到函数()y f x =，所以()224f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，又()()()h x f x g x =+，所以()sin 222sin 23h x x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭；（2）当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，472,333x πππ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin 21,3x π⎡⎛⎫+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以2sin 22,3x π⎛⎫⎡+∈- ⎪⎣⎝⎭， 令()()m h h αβ=-，因为()()a h h b αβ≤-≤恒成立，所以max 2b m ≥=，min 2a m ≤=-2a -≥所以4b a -≥即b a -的最小值为4；（3）法一：因为2sin 22sin 26263x x h x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以1x ，2x 是2sin x t =在[)0,2π内有两个不同的解， 所以12x x π+=或123x x π+=， 所以1222x x x π-=-或12232x x x π-=-所以()()22212221cos 2sin 12sin 1122t x x x x -=-=-=-；法二：①当t ＞0时，不妨设12x x ＜，则有1202x x ππ＜＜＜＜，所以1cos x =2cos x = ②当0t ＜时，不妨设12x x ＜，则有1232x x πππ＜＜＜＜2，所以1cos x2cos x =③当0=t 时，显然有10x =，2x π=，所以()2121212cos cos cos sin sin 12t x x x x x x -=+=-.【点睛】本题考查了由三角函数图像的伸缩平移变换表示解析式，给定定义域求三角函数值域，不等式恒成立问题，还考查了函数零点问题，充分体现了数学中转化与划归思想，属于难题.24．（1）[31log 2,)++∞；（2）2min–5,26,2245,2a a ay a a a -≥⎧⎪⎪=---<<⎨⎪-≤-⎪⎩；（3）1a ≥-. 【解析】（1）令()2u g x =，则()0f u ≥的解为1u ≤-或6u ≥，由后者可得2(())0f g x ≥的解. （2）令()4t g x =，则[1,1]t ∈-，分类讨论后可求26y t at =--，[1,1]t ∈-的最小值，该最小值即为原来函数的最小值.（3）取()32()log g x g x x ==，可以证明()g x 满足条件，再利用换元法考虑任意[2,4]x ∈，不等式(())0f g x ≤恒成立可得实数a 的取值范围. 【详解】（1）当5a =时，()256f x x x =--.令()2u g x =，因为2560u u --≥的解为1u ≤-或6u ≥， 所以31x ≤-（舍）或36x ≥，故31log 2x ≥+， 所以2(())0f g x ≥的解集为[31log 2,)++∞. （2）令()4cos ,t g x x x R ==∈，则[1,1]t ∈-，函数4(())y f g x =的最小值即为()26h t t at =--，[1,1]t ∈-的最小值.当()1,12a ∈-即22a -<<时， ()2min 64a h t =--. 当12a≤-即2a ≤-时，()min 5h t a =-； 当12a>即2a >时， ()min –5h t a =-. 故2min–5,26,2245,2a a ay a a a -≥⎧⎪⎪=---<<⎨⎪-≤-⎪⎩. （3）取()32()log g x g x x ==，令2log u x =，设260u au --≤的解集为闭区间[]12,u u ，由12u u u ≤≤得1222u u x ≤≤，故(())0f g x ≤的解集为122,2u u ⎡⎤⎣⎦，取12u s =，则0s >，故()g x 满足条件.当[2,4]x ∈时，2[]1,u ∈，故()0f u ≤在[1,2]上恒成立，故2211602260a a ⎧-⨯-≤⎨--≤⎩，解得1a ≥-， 所以实数a 的取值范围是1a ≥-.【点睛】本题考查复合函数的性质及复合函数对应的不等式的解与恒成立问题，此类问题可通过换元法把复合函数问题转化为二次函数的最值问题或恒成立问题，本题有一定综合性，是难题.25．（1）奇函数；（2）见解析；（3）ω的个数为198个，见解析. 【解析】（1）根据奇偶函数的定义进行判断即可；（2）根据最小正周期公式进行验证即可；（3）利用函数的图象和不等式的性质可以求出满足条件的ω的个数.【详解】（1）()sin[tan()]sin(tan )sin(tan )()f x x x x f x ωωω-=-=-=-=-，所以函数()f x 是奇函数；（2）()sin[tan()]sin(tan )()f x x x f x ππ+=+==，所以()f x 的最小正周期是π；（3）因为当0x >时，()11112122g x x x x x ⎛⎫=+≥⨯⋅= ⎪⎝⎭，（当且仅当1x =时取等号），所以当函数()f x 的图像与()112g x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像有交点时，只能()sin tan 1x ω=，即tan 22k πωπ=+，因为(1.50, 1.57)ω∈，所以2(tan1.50,tan1.57)2k ππ+∈，因此1.99199.6k <<，2,3,4,,199k =⋯，因此满足条件的ω的个数为198个，当0x >时，也是一样的，因为两个函数是奇函数都关于原点对称，所以当函数()f x 的图像与()112g x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像有交点时，满足条件的ω的个数为198. 【点睛】本题考查了函数奇偶性和周期性，考查了三角奇函数的性质，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.26．（1）2sin(2)6y x π=+；（2）,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（3）[)2,1- 【解析】【分析】（1）依据题意可得函数周期为π，利用周期公式算出ω，又函数过定点()0,1，即可求出ϕ，进而得出解析式；（2）利用正弦函数的单调性代换即可求出函数()f x 的单调区间；（3）利用换元法，设26t x π=+，结合2sin y t =在5,66t ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上的图象即可求出函数()()2sin f x x ωϕ=+在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值域 【详解】（1）因为函数()f x 的图象与x 轴的任意两个相邻交点间的距离为2π，所以函数()f x 的周期为π，由2T ππω==，得2ω=，又函数()f x 的图象过点()0,1，所以(0)1f =，即2sin 1=ϕ，而，所以6π=ϕ， 故()f x 的解析式为2sin(2)6y x π=+． （2）由sin y x =的单调增区间是2,2,22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦可得222262k x k πππππ-+≤+≤+，解得36k x k ππππ-+≤≤+故故函数()f x 的单调递增区间是,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦． （3）设 26t x π=+，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则5,66t ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ，由2sin y t =在5,66t ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上的图象知，当2t π=- 时，min 2f =- 当t 趋于6π时，函数值趋于1，故()()2sin f x x ωϕ=+在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值域为[)2,1- ． 【点睛】本题主要考查正弦型函数解析式的求法，正弦函数性质的应用，以及利用换元法结合图象解决给定范围下的三角函数的范围问题，意在考查学生数学建模以及数学运算能力． 27．（1）见解析；（2）178-. 【解析】【分析】（1）运用向量数量积的坐标表示，求出a ·b ；运用平面向量的坐标运算公式求出a b +，然后求出模．（2）根据上（1）求出函数()f x 的解析式，配方，利用二次函数的性质求出最小值．【详解】（1）33cos cos sin sin cos22222x x a b x x x ⋅=⋅-⋅=cos a b ⎛+= ⎝=∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴cos 0x ∴2cos a b x += （2）()cos23cos f x x x =- 223172cos 13cos 2cos 48x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭ ∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴0cos 1x ∴()min 317cos 48x f x ==- 【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标表示，以及平面向量的坐标加法运算公式．重点是二次函数求最小值问题．28．(1) 单调递减区间为7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； (2) 15. 【解析】【分析】（1）根据题意求出函数()f x 的解析式，然后可求出它的单调递减区间．（2）结合条件求出()424sin ,cos 3525πβαβ⎛⎫-=+=- ⎪⎝⎭，然后由()2sin 12sin 1233f αππααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦可得结果． 【详解】（1）()2()1f x cos x sin x x ωωω=221sin xcos x x ωωω=+221)1sin x cos x ωω=--221sin x x ωω=-2(2)13sin x πω=+-． ∵1(2)13sin x πω-≤+≤， ∴32(2)113sin x πω-≤+-≤， ∴()f x 的最大值为1，最小值为3-．又()()121,3f x f x ==-，且12min 2x x π-=， ∴函数()f x 的最小正周期为22ππ⨯=，∴1ω=， ∴()2(2)13f x sin x π=+-． 由3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 得7,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， ∴()f x 的单调递减区间为7[,],1212k k k Z ππππ++∈． （2）由（1）得3212335f sin βππβ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴4sin 35πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ∵2,33ππβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴0,33ππβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∴3cos 35πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭． ∵()7sin 25αβ+=-且2,,33ππαβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴24,33ππαβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴()24cos 25αβ+==-． ∴()2sin 12sin 1233f αππααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()()2sin cos cos sin 133ππαββαββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+--+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 7324421255255⎡⎤⎛⎫=⨯-⨯--⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦15=． 【点睛】（1）解答有关三角函数性质的有关问题时，首项把函数解析式化为(x)Asin(x )f ωϕ=+的形式，然后再结合正弦函数的相关性质求解，解题时注意系数,A ω对结果的影响． （2）对于三角变换中的“给值求值”问题，在求解过程中注意角的变换，通过角的“拆”、“拼”等手段转化为能应用条件中所给角的形式，然后再利用整体思想求解． 29．(Ⅰ) (),,36ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z (Ⅱ) 62ππ≤≤m 【解析】【分析】 （Ⅰ）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数()f x 化为π2sin 216x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数()f x 的递增区间; (Ⅱ) 要使得()f x 在π,6m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]0,3，即πsin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，可得7 2266m πππ≤+≤，从而可得结果. 【详解】（Ⅰ）()22f x cos x =+πcos212sin 216x x x ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭， 由()222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得(),36k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 所以，()f x 的单调递增区间是(),,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ （Ⅱ）由（Ⅰ）知()π2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 因为π,6x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以π2,2666x m ππ⎡⎤+∈-+⎢⎥⎣⎦.要使得()f x 在π,6m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]0,3，即πsin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，. 所以72266m πππ≤+≤，即62m ππ≤≤. 【点睛】本题主要考查二倍角公式、辅助角公式的应用以及三角函数的单调性、三角函数的值域，属于中档题. 函数sin()y A x ωϕ=+的单调区间的求法：若0,0A ω>>,把x ωϕ+看作是一个整体，由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间，2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间.30．(Ⅰ) 3π（Ⅱ）5 【解析】【详解】试题分析：（12sin sin A C A =即可得sin C =60C =︒（2）∵1sin 2S ab C ==a b + 试题解析：解：（12sin sin A C A =，∵,A C 是锐角，∴sin C =60C =︒.（2）∵1sin 2S ab C ==6ab = 由余弦定理得222222cos ()3()187c a b ab C a b ab a b =+-=+-=+-=∴5a b +=点睛：在解三角形问题时多注意正余弦定理的结合运用，正弦定理主要用在角化边和边化角上，而余弦定理通常用来求解边长。
三角函数练习题(含答案)
三角函数练习题及答案（一）选择题1、在直角三角形中，各边都扩大2倍，则锐角A 的正弦值与余弦值都（ ）A 、缩小2倍B 、扩大2倍C 、不变D 、不能确定12、在Rt △ABC 中，∠C=900，BC=4，sinA=45，则AC=（ ） A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 3、若∠A 是锐角，且sinA=13，则（ ）A 、00<∠A<300B 、300<∠A<450C 、450<∠A<600D 、600<∠A<9004、若cosA=13，则A A AA tan 2sin 4tan sin 3+-=（ ） A 、47B 、 13C 、 12D 、0 5、在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：1：2，则a ：b ：c=（ ）A 、1：1：2B 、1：1：√2C 、1：1：√3D 、1：1：√226、在Rt △ABC 中，∠C=900，则下列式子成立的是（ ）A 、sinA=sinB B 、sinA=cosBC 、tanA=tanBD 、cosA=tanB7．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是（ ）A ．sinB= 23B ．cosB= 23C ．tanB= 23D ．tanB=32 8．点（-sin60°，cos60°）关于y 轴对称的点的坐标是（ ） A ．（32，12） B ．（-32，12） C ．（-32，-12） D ．（-12，-32）9．每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣．某同学站在离旗杆12米远的地方，当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为30°，若这位同学的目高1.6米，则旗杆的高度约为（ ）A ．6.9米B ．8.5米C ．10.3米D ．12.0米10．王英同学从A 地沿北偏西60º方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C地，此时王英同学离A 地 （ ）（A ）350m （B ）100 m （C ）150m （D ）3100m11、如图1，在高楼前D点测得楼顶的仰角为300，向高楼前进60米到C点，又测得仰角为450，则该高楼的高度大约为（）A.82米B.163米C.52米D.70米12、一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40º的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西10º的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（）．（A）30海里（B）40海里（C）50海里（D）60海里（二）填空题1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则sinB=_____．2．在△ABC中，若BC=2，AB=7，AC=3，则cosA=________．3．在△ABC中，AB=2，AC=2，∠B=30°，则∠BAC的度数是______．4．如图，如果△APB绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A＇P＇B，且BP=2，那么PP＇的长为________． (不取近似值. 以下数据供解题使用：sin15°=，cos15°=624+)5．如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°．甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西___________度．6．如图，机器人从A点，沿着西南方向，行了个42单位，到达B 点后观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，则原来A的坐标为___________结果保留根号）．7．求值：sin260°+cos260°=___________．8．在直角三角形ABC中，∠A=090，BC=13，AB=12，那么tan B=___________．9．根据图中所给的数据，求得避雷针CD的长约为_______m（结果精确的到0.01m）．（可用计算器求，也可用下列参考数据求：sin43°≈0.6802，sin40°≈0.6428，cos43°≈0.7341，cos40°≈0.7660，tan43°≈0.9325，tan40°≈0.8391）10．如图，自动扶梯AB 段的长度为20米，倾斜角A 为α，高度BC 为___________米（结果用含α的三角比表示）．11．如图2所示，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为________米．（保留两个有效数字，2≈1.41，3≈1.73）三、简答题：1，计算：sin cos cot tan tan 3060456030︒+︒-︒-︒⋅︒分析：可利用特殊角的三角函数值代入直接计算；2计算：22459044211(cos sin )()()︒-︒+-︒+--π分析：利用特殊角的三角函数值和零指数及负整数次幂的知识求解。
三角函数练习题附答案
三角函数练习题附答案一、填空题1．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．角B 为钝角．设△ABC 的面积为S ，若()2224bS a b c a =+-，则sin A +sin C 的最大值是____________．2．已知球O 的表面积为16π，点,,,A B C D 均在球O 的表面上，且,64ACB AB π∠==，则四面体ABCD 体积的最大值为___________.3．如图，某城市准备在由ABC 和以C 为直角顶点的等腰直角三角形ACD 区域内修建公园，其中BD 是一条观赏道路，已知1AB =，3BC =，则观赏道路BD 长度的最大值为______．4．若函数()sin12xf x x π=+，则(1)(2)(3)(2021)f f f f +++⋯⋯+=__________5．已知点A 为直线:3l y x =上一点，且A 位于第一象限，点()10,0B ，以AB 为直径的圆与l 交于点C (异于A )，若60CBA ∠≥，则点A 的横坐标的取值范围为___________.6．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M ，N 分别为边BC ，CD 上的动点，以MN 为边作等边PMN ，使得点A ，P 位于直线MN 的两侧，则PN PB ⋅的最小值为______．7．在三棱锥P ABC -中，4AB BC ==，8PC =，异面直线PA ，BC 所成角为π3，AB PA ⊥，AB BC ⊥，则该三棱锥外接球的表面积为______．8．已知当()0,x π∈时，不等式2cos 23sin 20cos 4sin 1x x x x +-≤--的解集为A ，若函数()()()sin 0f x x =+<<在x A ∈上只有一个极值点，则ϕ的取值范围为______．9．已知P 是直线34130x y ++=上的动点，PA ，PB 是圆()()22111x y -+-=的切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是________．10．已知||||||1,0,||1OA OB OC OA OB OP ===⋅=≤，则AP BP BP CP CP AP ⋅+⋅+⋅的最大值为__________．二、单选题11．已知向量a ，b 夹角为3π，向量c 满足1b c -=且 a b a c b c ++=，则下列说法正确的是（ ） A ．2b c +<B ．2a b +>C ．1b <D ．1a >12．如图，设1F ，2F 是双曲线()22210xy a a -=>的左、右焦点，过点2F 作渐近线的平行线交另外一条渐近线于点A ，若12AF F △的面积为54，离心率满足12e <<，则双曲线的方程为（ ）A ．2215x y -=B ．2214x y -=C ．2213x y -=D ．2212x y -=13．已知函数()()()sin 010f x x ωϕω=+<<，若存在实数1x 、2x ，使得()()122f x f x -=，且12x x π-=，则ω的最大值为（ ） A ．9B ．8C ．7D ．514．在三棱锥A BCD -中，2AB AD BC ===，13CD =22AC =3BD =，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A ．927πB ．9πC ．1847πD ．18π15．已知三棱锥A BCD -中，4AB BC BD CD AD =====，二面角A BD C --的余弦值为13，点E 在棱AB 上，且3BE AE =，过E 作三棱锥A BCD -外接球的截面，则所作截面面积的最小值为（ ） A ．103πB ．3πC ．3π D 316．已知函数()sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，66f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下列四个结论： ①4πϕ=②93()2k k N ω=+∈ ③02f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭④直线3x π=-是()f x 图象的一条对称轴其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④17．已知函数()sin os 0(c f x x a x a ωω=+>且0>ω），周期2T π<，()3f π()f x 在6x π=处取得最大值，则ω的最小值为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．1418．已知1F 、2F 是椭椭圆和双曲线共有焦点，P 为两曲线的一个公共点，且126F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别1e ，2e ，则1212e e e e +⋅的最大值为 A ．4B ．2C ．83D ．16319．函数()2sin(2)()2f x x πφφ=+<的图像向左平移6π个单位长度后对应的函数是奇函数，函数()(2cos 2g x x =．若关于x 的方程()()2f x g x +=-在[)0,π内有两个不同的解αβ，，则()cos αβ-的值为（ ）A．BC． D20．在锐角ABC 中，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin a b C =，则tan tan tan A B C ++的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8三、解答题21．在直角ABC ∆中，2BAC π∠=，延长CB 至点D ，使得2CB BD =，连接AD .（1）若AC AD =，求CAD ∠的值； （2）求角D 的最大值.22．如图，甲、乙两个企业的用电负荷量y 关于投产持续时间t （单位：小时）的关系()y f t =均近似地满足函数()sin()(0,0,0)f t A t b A ωϕωϕπ=++>><<.（1）根据图象，求函数()f t 的解析式；（2）为使任意时刻两企业用电负荷量之和不超过9，现采用错峰用电的方式，让企业乙比企业甲推迟(0)m m >小时投产，求m 的最小值. 23．已知向量()2cos ,1a x =，()3sin cos ,1b x x =+-，函数()f x a b =⋅.（1）若()065f x =，0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0cos2x 的值； （2）若函数()y f x ω=在区间2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递增函数，求正数ω的取值范围. 24．已知函数()()2sin 24sin 206x x x f πωωω⎛⎫=--+> ⎪⎝⎭，其图象与x 轴相邻的两个交点的距离为2π. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若将()f x 的图象向左平移()0m m >个长度单位得到函数()g x 的图象恰好经过点,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭，求当m 取得最小值时，()g x 在7,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调区间. 25．已知函数()23sin 212cos f x x x =+-. （1）求()f x 的对称轴； （2）将()f x 的图象向左平移12π个单位后得到函数()g x 的图象，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的值域.26．在①ABC ∆面积2ABC S ∆=，②6ADC π∠=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AC .如图，在平面四边形ABCD 中，34ABC π∠=，BAC DAC ∠=∠，______，24CD AB ==，求AC .27．已知函数22()cos sin 3sin cos 3f x a x a x x x =-+-，其中a R ∈． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的对称中心；（Ⅱ）若函数()f x 的最小值为4-，求实数a 的值．28．函数211()sin 2sin cos cos sin 222f x x x πϕϕϕ⎛⎫=⋅+⋅-+ ⎪⎝⎭，22ππϕ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭其图像过定点1,64π⎛⎫⎪⎝⎭（1）求ϕ值；（2）将()y f x =的图像左移8π个单位后得到()y g x =，求()g x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大和最小值及此时对应的x 的取值是多少？29．已知函数()f x 的图象是由函数()sin g x x =的图象经如下变换得到：先将()g x 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象向左平移3π个单位长度.（1）求函数(2)y f x =在[0,]π上的单调递增区间；（2）已知关于x 的方程2()4222f x g x m π⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭在[0,)π内有两个不同的解α，β.求26cos(22)m αβ--的值.30．已知向量()cos sin ,sin a m x m x x ωωω=-，()cos sin ,2cos b x x n x ωωω=--，设函数()()2n f x a b x R =⋅+∈的图象关于点,112π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且()1,2ω∈ （I ）若1m =，求函数()f x 的最小值；（II ）若()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切实数恒成立，求()y f x =的单调递增区间．【参考答案】一、填空题1．982．1)2314．30325．)1⎡++∞⎣ 6．14- 7．80π8．2(0,)(,)33πππ⋃910．二、单选题11．A 12．B 13．A 14．A 15．B 16．B 17．C 18．A 19．D 20．D 三、解答题21．（1）23CAD π∠=；（2）6π.【解析】 【分析】（1）在ABD ∆中，由正弦定理得，sin sin BD ABDα=，再结合在直角ABC ∆中，sin AB BC C =，然后求解即可；（2）由正弦定理及两角和的余弦可得()2tan tan cos 2sin 22D D αααϕ=+=+，然后结合三角函数的有界性求解即可. 【详解】解：（1）设BAD ∠=α，在ABD ∆中，由正弦定理得，sin sin BD ABDα=， 而在直角ABC ∆中，sin AB BC C =，所以sin sin sin BD BC CDα=， 因为AC AD =，所以C D =， 又因为2CB BD =，所以1sin 2α=，所以6πα=，所以23CAD π∠=；（2）设BAD ∠=α，在ABD ∆中，由正弦定理得，sin sin BD ABDα=， 而在直角ABC ∆中，()cos cos AB BC ABC BC D α=∠=+， 所以()()cos cos cos sin sin sin sin sin BC D BC D D BD D Dαααα+-==， 因为2CB BD =，所以2sin 2sin cos cos 2sin sin D D D ααα=-， 即22sin cos sin 2tan 12sin 2cos 2D ααααα==+-，即()2tan tan cos 2sin 22D D αααϕ=++，1≤及0,2D π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解得0tan D <≤ 所以角D 的最大值为6π. 【点睛】本题考查了正弦定理，重点考查了三角函数的有界性，属中档题.22．（1）()sin 462f t t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（2）4【解析】 【分析】 （1）由212T πω==，得ω，由53A b b A +=⎧⎨-=⎩，得A ，b ，代入(0,5)，求得ϕ，从而即可得到本题答案；（2）由题，得()()cos ()cos 8966f t m f t t m t ππ⎡⎤⎛⎫++=+++≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭恒成立，等价于cos ()cos 166t m t ππ⎡⎤⎛⎫++≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭恒成立，然后利用和差公式展开，结合辅助角公式，逐步转化，即可得到本题答案. 【详解】（1）解：由图知212T πω==，6πω∴=又53A b b A +=⎧⎨-=⎩，可得41b A =⎧⎨=⎩()sin 46f t t πϕ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭，代入(0,5)，得22k πϕπ=+，又0ϕπ<<，2πϕ∴=所求为()sin 462f t t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）设乙投产持续时间为t 小时，则甲的投产持续时间为()t m +小时，由诱导公式，企业乙用电负荷量随持续时间t 变化的关系式为：()sin 4cos 4626f t t t πππ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭同理，企业甲用电负荷量变化关系式为：()cos ()46f t m t m π⎡⎤+=++⎢⎥⎣⎦两企业用电负荷量之和()()cos ()cos 866f t m f t t m t ππ⎡⎤⎛⎫++=+++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，0t ≥依题意，有()()cos ()cos 8966f t m f t t m t ππ⎡⎤⎛⎫++=+++≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭恒成立即cos ()cos 166t m t ππ⎡⎤⎛⎫++≤⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭恒成立 展开有cos 1cos sin sin 16666m t m t ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦恒成立cos 1cos sin sin cos 66666m t m t A t πππππϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦其中，A =cos 16cos m Aπϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，sin 6sin m A πϕ=1A ∴=≤整理得：1cos 62m π⎛⎫≤- ⎪⎝⎭解得2422363k m k πππππ⎛⎫+≤≤+ ⎪⎝⎭ 即124128k m +≤≤+ 取0k =得：48m ≤≤ m ∴的最小值为4. 【点睛】本题主要考查根据三角函数的图象求出其解析式，以及三角函数的实际应用，主要考查学生的分析问题和解决问题的能力，以及计算能力，难度较大. 23．（12）104ω<≤ 【解析】 【分析】（1）利用数量积公式结合二倍角公式，辅助角公式化简函数解析式，由()065f x =，结合026x π+的范围以及平方关系得出0cos 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，由002266x x ππ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=结合两角差的余弦公式求解即可；（2）由整体法结合正弦函数的单调性得出该函数的单调增区间，则区间2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭应该包含在()y f x ω=的一个增区间内，根据包含关系列出不等式组，求解即可得出正数ω的取值范围. 【详解】（1）())2cos cos 12cos 22sin 26f x a b x x x x x x π⎛⎫=⋅=+-=+=+ ⎪⎝⎭因为()065f x =，所以062sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即03sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.因为0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以0272366x πππ≤+≤所以04cos 265x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.所以00001cos 2cos 22sin 266626x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦413525⎛⎫=-+⨯=⎪⎝⎭ （2）()2sin 26y f x x πωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.令222262k x k ππππωπ-≤+≤+，k Z ∈得36k k x ππππωωωω-≤≤+，k Z ∈ 因为函数()y f x ω=在区间2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递增函数 所以存在0k Z ∈，使得002,,3336k k ππππππωωωω⎛⎫⎛⎫⊆-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以有0033263k k πππωωπππωω⎧-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，即0031614k k ωω≤+⎧⎨+≥⎩因为0>ω，所以016k >-又因为2123322πππω-≤⨯，所以302ω<≤，则03312k ≤+，所以056k ≤ 从而有01566k -<≤，所以00k =，所以104ω<≤.【点睛】本题主要考查了利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角差的余弦公式化简求值以及根据正弦型函数的单调性求参数范围，属于较难题.24．（1）()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）单调增区间为,612ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，57,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；单调减区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）利用两角差的正弦公式，降幂公式以及辅助角公式化简函数解析式，根据其图象与x 轴相邻的两个交点的距离为2π，得出周期，利用周期公式得出1ω=，即可得出该函数的解析式；（2）根据平移变换得出()223m x x g π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再由函数()g x 的图象经过点,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭，结合正弦函数的性质得出m 的最小值，进而得出()223g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，利用整体法结合正弦函数的单调性得出该函数在7,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调区间.【详解】解：（1）()2sin 24sin 26x x x f πωω⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭11cos22cos24222xx x ωωω-=--⨯+32cos22x x ωω=+23x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由已知函数()f x 的周期T π=，22ππω=，1ω=∴()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）将()f x 的图象向左平移()0m m >个长度单位得到()g x 的图象∴()223m x x g π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∵函数()g x 的图象经过点,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭22033m ππ⎡⎤⎛⎫⨯-++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即sin 203m π⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴23m k ππ-=，k Z ∈∴26k m ππ=+，k Z ∈∵0m >，∴当0k =，m 取最小值，此时最小值为6π此时，()223g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 令7612x ππ-≤≤，则2112336x πππ≤+≤当22332x πππ≤+≤或32112236x πππ≤+≤，即当612x ππ-≤≤-或571212x ππ≤≤时，函数()g x 单调递增当232232x πππ≤+≤，即51212x ππ-≤≤时，函数()g x 单调递减. ∴()g x 在7,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调增区间为,612ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，57,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；单调减区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查了由正弦函数的性质确定解析式以及正弦型函数的单调性，属于中档题. 25．（1）23k x ππ=+(k Z ∈)（2）[]0,2 【解析】（1）利用三角恒等变换，化简函数解析式为标准型，再求对称轴； （2）先求平移后的函数解析式，再求值域. 【详解】（1）()222cos 1f x x x =-+2cos 2x x =-2sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭令：262x k πππ-=+，得23k x ππ=+， 所以()f x 的对称轴为23k x ππ=+(k Z ∈). （2）将()f x 的图象向左平移12π个单位后得到函数()g x ，所以()12g x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2sin 22sin 2126x x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，有220,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故[]sin 20,1x ∈， ()g x ∴的值域为[]0,2. 【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简函数解析式，求解函数性质，同时涉及三角函数图象的平移，以及值域的求解问题.属三角函数综合基础题. 26．见解析 【解析】选择①：利用三角形面积公式和余弦定理可以求接求出AC 的长；选择②：在ABC ∆，ACD ∆中，分别运用正弦定理，可以求接求出AC 的长； 【详解】 解：选择①：113sin 2sin 2224ABC S AB BC ABC BC π∆=⋅⋅⋅∠=⋅⋅⋅=所以BC = 由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠482220⎛=+-⨯⨯= ⎝⎭所以AC == 选择②设BAC CAD θ∠=∠=，则04πθ<<，4BCA πθ∠=-，在ABC ∆中sin sin AC ABABC BCA =∠∠，即23sin sin 44AC ππθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭所以sin 4AC θ=- ⎪⎝⎭在ACD ∆中，sin sin AC CD ADC CAD=∠∠，即4sin sin 6AC πθ=所以2sin AC θ=.所以2sin sin 4πθθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得2sin cos θθ=， 又04πθ<<，所以sin θ=，所以2sin AC θ== 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查了数学运算能力. 27．（Ⅰ）(,3),.122k k Z ππ-+-∈（Ⅱ）12a =或12a =- 【解析】（Ⅰ）当1a =时，根据二倍角公式、辅助角公式化简函数，根据正弦函数的性质可得. （Ⅱ）将函数化简为()sin()f x A x b ωϕ=++的形式，分类讨论可得. 【详解】解：（Ⅰ）当1a =时，22()cos sin cos 3f x x x x x =-+-cos 2232sin(2)36x x x π=-=+-()2sin(2)36f x x π∴=+-由2,6x k k Z ππ+=∈ 得：,122k x k Z ππ=-+∈ ()f x ∴的对称中心为(,3),.122k k Z ππ-+-∈（Ⅱ）22()cos sin sin cos 3f x a x a x x x =-+-()cos 2sin 23f x a x x ∴=-()2sin(2)36f x a x π∴=+-1sin(2)16x π-≤+≤当0a >时，232sin(2)3236a a x a π--≤+-≤-则有234a --=- 解得12a =当0a =时，min ()3f x =-，不合题意当0a <时，232sin(2)3236a a x a π-≤+-≤--则有234a -=-解得12a =-综上 12a ∴=或12a =-．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角公式将函数进行化简是解决本题的关键，要求熟练掌握三角函数的图象和性质，属于中档题． 28．（1）0ϕ=（2）当4x π=时，min ()g x =；当8x π=-时，max 1()2g x =【解析】 【分析】（1）先将函数表达式结合降幂公式化简可得()1cos(2)2f x x ϕ=-，结合函数过点1,64π⎛⎫⎪⎝⎭和,22ππϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭即可求解具体ϕ值；（2）根据函数图像平移法则先求得1()cos 224g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦求得32,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，再结合余弦函数性质即可求解 【详解】（1）11cos 21()sin 2sin cos cos 222x f x x ϕϕϕ+=⋅+⋅- 11sin 2sin cos 2cos 22x x ϕϕ=⋅+⋅ 1cos(2)2x ϕ=- 又图像过点1,64π⎛⎫ ⎪⎝⎭，11cos 423πϕ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭233k ππϕπ∴-=+或2()3k k Z ππ-+∈又,22ππϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，0ϕ∴=（2）由（1）知 1()cos 22f x x =， 11()cos 2cos 22824g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 32,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦当3244x ππ+=时，即4x π=时，min ()g x =当204x π+=时，即8x π=-时，max 1()2g x = 【点睛】本题考查三角函数表达式的化简求值，降幂公式的使用，两角差的余弦公式的逆用，在具体区间函数最值的求解，属于中档题29．（1）(2 )y f x =在[0,]π上的单调递增区间0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）6-【解析】 【分析】（1）先求出()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数的图像和性质求函数(2)y f x =在[0,]π上的单调递增区间；（2）先化简得2()422f x g x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭223x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数的性质求出cos )αβ-（的值得解. 【详解】（1）将()sin g x x =图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到2sin y x =的图象，再将2sin y x =的图象向左平移3π个单位长度后得到2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(2)2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222232k x k πππππ-++，k ∈Z51212k x k ππππ-+，k ∈Z ,又[0,]x π∈所以(2)y f x =在[0,]π上的单调递增区间0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）2()422f x g x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭24sin 4sin 232x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222cos 24cos 23x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭23cos 22x x =-+223x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.因为2()4222f x g x m π⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭在[0,)π内有两个不同的解α，β，所以23x m π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在[0,)π内有两个不同的解α，β，且52,333x πππ⎡⎫-∈-⎪⎢⎣⎭，所以2233ππαβπ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或22333ππαβπ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.于是56παβ+=或116παβ+=. 当56παβ+=时，5cos()cos 6παβαα⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5cos 2cos 2632πππαα⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ sin 23πα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭当116παβ+=时， 11cos()cos 6παβαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭113cos 2cos 2632πππαα⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ sin 23πα⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，因此，26cos(22)m αβ--()2262cos ()1m αβ=---22621612m m ⎛⎫=⋅--=- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查三角函数图像的变换和三角函数的单调区间的求法，考查三角函数图像的零点问题，考查三角恒等变换和求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.30．（Ⅰ）1()22,31234k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】化简()f x 解析式可得()()22n f x x ωϕ=-+；根据图象关于,112π⎛⎫ ⎪⎝⎭可求得n ；（Ⅰ）若1m =，则()()21f x x ωϕ=-+，从而可得函数最小值；（Ⅱ）利用4x π=为对称轴，,112π⎛⎫ ⎪⎝⎭为对称中心可得()*642T T k k N π=+⋅∈，根据周期和ω的范围可求得ω；将,112π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入解析式可求得()314f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，将34x π-整体放入正弦函数的单调递增区间中，解出x 的范围即可. 【详解】由题意得：()()22cos sin 2sin cos 2n f x m x x n x x ωωωω=--++()sin 2cos 2222n n n x m x x ωωωϕ=-+=-+ 其中cos ϕ=sin ϕ=图象关于点,112π⎛⎫⎪⎝⎭对称 12n ∴=，解得：2n =()()21f x x ωϕ∴=-+（Ⅰ）若1m =，则()()21f x x ωϕ=-+()min 1f x ∴=（Ⅱ）()4f x f π⎛⎪≤⎫ ⎝⎭对一切实数恒成立 ()max 4f x f π⎛⎫∴= ⎪⎝⎭()*412642T T k k N πππ∴-==+⋅∈，即：()()*223212T k N k ππω==∈+ ()3212k ω∴=+，又()1,2ω∈ 32ω∴=()2sin3cos31f x x m x ∴=-+，又图象关于点,112π⎛⎫⎪⎝⎭对称2sin cos 111244f m πππ⎛⎫∴=-+= ⎪⎝⎭，解得：2m =()2sin 32cos31314f x x x x π⎛⎫∴=-+=-+ ⎪⎝⎭令232242k x k πππππ-+≤-≤+，k Z ∈，解得：2212343k k x ππππ-+≤≤+，k Z ∈ ()f x ∴的单调递增区间为：()22,31234k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 【点睛】本题考查三角函数图象与性质的综合应用问题，涉及到根据三角函数的性质求解函数解析式的求解、三角函数最值的求解、单调区间的求解问题.。
三角函数练习题100题(Word版,含解析)
三角函数习题100题练兵（1-20题为三角函数的基本概念及基本公式，包括同角三角函数关系，诱导公式等，21-40题三角函数的图象与性质，41-55题为三角恒等变形，56-70为三角函数基本关系及角度制与弧度制等，包括象限角弧长与扇形面积公式等，71-90题为三角函数的综合应用，91-100为高考真题。
其中1-55为选择题，56-70为填空题，71-100为解答题。
）1.函数且的图象恒过点，且点在角的终边上，则A. B. C. D.【解答】解：函数且的图象恒过定点，角的终边经过点，，，．故选B2.已知角的终边上有一点，则A. B. C. D.【解答】解：角的终边上有一点，，则．故选C．3.若，且，则角的终边位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解答】解：，则角的终边位于一二象限，由，角的终边位于二四象限，角的终边位于第二象限．故选择．4.已知是第二象限角，为其终边上一点且，则的值A. B. C. D.【解答】解：是第二象限角，为其终边上一点且，，解得，，．故选A．5.已知角的终边过点，且，则的值为A. B. C. D.【解答】解：由题意，角的终边过点，可得，，，所以，解得，故选A．6.若点在角的终边上，则A. B. C. D.【解析】解：点在角的终边上，，则，，．故选B．7.在平面直角坐标系中，，点位于第一象限，且与轴的正半轴的夹角为，则向量的坐标是A. B. C. D.【解答】解：设，则，，故故选C．8.的大小关系为A. B. C. D.【解答】解：，，，，．故选C．9.已知角的终边上有一点，则的值为A. B. C. D.【解答】解：根据三角函数的定义可知，根据诱导公式和同角三角函数关系式可知，故选A．10.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，若角的终边过点，，且，则A. B. C. D.【解答】解：因为角的终边过点，所以是第一象限角，所以，，因为，，所以为第一象限角，，所以，所以，故选：．11.若角的终边经过点，则A. B. C. D.【解答】解：由题意，，，因为的正负不确定，则正负不确定．故选C．12.下列结论中错误的是A.B.若是第二象限角，则为第一象限或第三象限角C.若角的终边过点，则D.若扇形的周长为，半径为，则其圆心角的大小为弧度【解答】解：．，故A正确；B.因为为第二象限角，，所以，当为偶数时，为第一象限的角，当为奇数时，为第三象限角，故B正确；C.当时，，此时，故C错误；D.若扇形的周长为，半径为，则弧长为，其圆心角的大小为弧度，故正确．故选C．13.我国古代数学家赵爽利用弦图巧妙地证明了勾股定理，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形如图如果内部小正方形的内切圆面积为，外部大正方形的外接圆半径为，直角三角形中较大的锐角为，那么A. B. C. D.【解答】解：因为内部小正方形的内切圆面积为，所以内部小正方形的内切圆的半径为，所以内部小正方形的边长为，外部大正方形的外接圆半径为，所以大正方形的边长为，设大直角三角形中长直角边为，斜边为，则，则，所以，所以大直角三角形中短直角边为，所以，，则．故选D．14.己知是第四象限角，化简为A. B. C. D.【解答】解：是第四象限角，故，又，，则．故选B．15.函数的最小正周期为A. B. C. D.【解答】解：，所以的最小正周期．故选C．16.函数的值域是A. B. C. D.【解答】解：，令，，则，，由二次函数的性质可得函数在上单调递减，在上单调递增，当时取的最小值，其最小值为，当时取得最大值，其最大值为．故函数的值域为．故选B．17.已知，，且，，则A. B. C. D.【解答】解：由题可知，，，所以，所以，又，所以，所以，当时，．因为，所以，不符合题意，当时，同理可得，故选：．18.已知，则的值为A. B. C. D.【解答】解：因为，所以，所以，所以，所以．故选A．19.在中，角、、的对边分别是、、，若，则的最小值为A. B. C. D.【解答】解：，由正弦定理化简得：，整理得：，，；则．当且仅当时等号成立，可得的最小值为．故选：．20.若的内角满足，则的值为．A. B. C. D.【解答】解：因为为的内角，且，所以为锐角，所以．所以，所以，即．所以．故选A．21.已知函数给出下列结论：①的最小正周期为；②是的最大值；③把函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．其中所有正确结论的序号是A.①B.①③C.②③D.①②③【解答】解：因为，①由周期公式可得，的最小正周期，故①正确；②，不是的最大值，故②错误；③根据函数图象的平移法则可得，函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象，故③正确．故选：．22.将函数的图象先向右平移个单位长度，再将该图象上各点的横坐标缩短到原来的一半纵坐标不变，然后将所得图象上各点的纵坐标伸长到原来的倍横坐标不变，得函数的图象，则解析式是A. B.C. D.【解答】解：由题意函数的图象上各点向右平移个单位长度，得到新函数解析式为，再把所得函数的图象上各点横坐标缩短为原来的一半，得到新函数解析式为，再把所得函数的图象上各点纵坐标伸长为原来的倍，得到新函数解析式为．故选A．23.如图函数的图象与轴交于点，在轴右侧距轴最近的最高点，则不等式的解集是A.，B.，C.，D.，【解答】解：由在轴右边到轴最近的最高点坐标为，可得．再根据的图象与轴交于点，可得，结合，．由五点法作图可得，求得，不等式，即，，，求得，，故选：．24.函数的图像的一条对称轴是A. B. C. D.【解答】解：令，解得，函数图象的对称轴方程为，时，得为函数图象的一条对称轴．故选C25.已知函数，若相邻两个极值点的距离为，且当时，取得最小值，将的图象向左平移个单位，得到一个偶函数图象，则满足题意的的最小正值为A. B. C. D.【解答】解：函数，所以，，相邻两个极值点的横坐标之差为，所以，所以，又，所以，当时，取得最小值，所以，，而，所以，所以，将的图象向左平移个单位得为偶函数，所以，，即．所以的最小正值为．故选A．26.函数的定义域为A. B.C. D.【解答】解：根据对数的真数大于零，得，可知：当时，，故函数的定义域为．故选A．27.设函数若是偶函数，则A. B. C. D.【解答】解：，因为为偶函数，所以当时，则，，所以，，又，所以．故选B．28.函数的部分图像如图所示，则A. B. C. D.【解答】解：由题意，因为，所以，，由时，可得，所以，结合选项可得函数解析式为．故选A．29.已知函数，给出下列命题：①，都有成立；②存在常数恒有成立；③的最大值为；④在上是增函数．以上命题中正确的为A.①②③④B.②③C.①②③D.①②④【解答】解：对于①，，，①正确；对于②，，由，即存在常数恒有成立，②正确；对于③，，令，，则设，，令，得，可知函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，且，，则的最大值为，③错误；对于④，当时，，所以在上为增函数，④正确．综上知，正确的命题序号是①②④．故选：．30.已知，，直线和是函数图象的两条相邻的对称轴，则A. B. C. D.【解答】解：由题意得最小正周期，，即，直线是图象的对称轴，，又，，故选A．31.已知函数向左平移半个周期得的图象，若在上的值域为，则的取值范围是A. B. C. D.【解答】解：函数向左平移半个周期得的图象，由，可得，由于在上的值域为，即函数的最小值为，最大值为，则，得．综上，的取值范围是．故选D．32.若，则实数的取值范围是A. B. C. D.解：，，，．，，．33.如图，过点的直线与函数的图象交于，两点，则等于A. B. C. D.【解答】解：过点的直线与函数的图象交于，两点，根据三角函数的对称性得出；，，，，．是的中点，，．故选B．34.已知函数，若函数恰有个零点，，，，且，为实数，则的取值范围为A. B. C. D.解：画出函数的图象，如图：结合图象可知要使函数有个零点，则，因为，所以，所以，因为，所以，且，可设，其中，所以，所以，所以的取值范围是．故选A．35.函数的部分图象如图所示，现将此图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的解析式为A. B. C. D.【解答】解：根据函数的部分图象，则：，，所以：，解得：，当时，，即：解得：，，因为，当时，，故：，现将函数图象上的所有点向左平移个单位长度得到：函数的图象．故选C．36.已知曲线：，：，则下面结论正确的是A.把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线B.把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C.把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线D.把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线【解答】解：把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，即曲线，故选D．37.设，则函数的取值范围是A. B. C. D.【解答】解：，因为，所以，所以故选A．38.人的心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为标准值设某人的血压满足函数式，其中为血压单位：，为时间单位：，则下列说法正确的是A.收缩压和舒张压均高于相应的标准值B.收缩压和舒张压均低于相应的标准值C.收缩压高于标准值、舒张压低于标准值D.收缩压低于标准值、舒张压高于标准值【解答】解：某人的血压满足函数式，其中为血压单位：，为时间单位：则此人收缩压；舒张压，所以此人的收缩压高于标准值、舒张压低于标准值．故选C．39.设函数，下述四个结论：①的图象的一条对称轴方程为；②是奇函数；③将的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象；④在区间上单调递增．其中所有正确结论的编号是A.①②B.②③C.①③D.②③④【解答】解：由题意．对①，的对称轴为，即，故是的对称轴故①正确；对②，，故为偶函数，故②错误；对③，将的图象向左平移个单位长度得到故③正确；对④，当时，，因为是的减区间，故④错误．综上可得①③正确．故选C．40.如图，某港口一天时到时的水深变化曲线近似满足函数，据此可知，这段时间水深单位：的最大值为A. B. C. D.【解答】解：由图象知．因为，所以，解得，所以这段时间水深的最大值是．故选C．41.若，且，则等于A. B. C. D.【解答】解：，，则，又，，则．故选：．42.若，则A. B. C. D.【解答】解：，且，，，两边同时平方得，解得或舍去，，故选B．43.，，则的值为．A. B. C. D.【解答】解：，，，，．故选：．44.若，均为锐角，，，则A. B. C.或 D.【解答】解：为锐角，，，且，，且，，，．45.在中，已知，那么的内角，之间的关系是A. B. C. D.关系不确定【解答】解：由正弦定理，即，所以，即，所以，则，所以．故选B．46.设，，则A. B. C. D.【解答】解：根据二倍角公式可得，解得，由，可得，所以，故选A．47.设，，且，则下列结论中正确的是A. B. C. D.【解答】解：，因为，所以．故选A．48.已知是锐角，若，则A. B. C. D.【解答】解：已知是锐角，，若，，则．故选A．49.化简的值等于A. B. C. D.【解答】解：，，．故选A．50.已知，，则的值为A. B. C. D.【解答】解：，，由得．．故选B．51.已知函数，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是A. B. C. D.【解答】解：函数，由函数在上单调递减，且，得解得，又，，实数的取值范围是．故选A．52.函数的最大值为A. B. C. D.【解答】解：函数，其中，函数的最大值为，故选C．53.计算：等于A. B. C. D.【解答】解：，，．故选A．54.在中，角，，的对边分别为，，，已知，，则的值为A. B. C. D.【解答】解：，，即，即，，由正弦定理可得，又，所以由余弦定理可得，故选D．55.函数取最大值时，A. B. C. D.【解答】解：，其中由确定．由与得．若，则，，，此时．所以，最大值时，，，．故选．56.已知点在第一象限，且在区间内，那么的取值范围是___________．【解答】解：由题意可知，，，借助于三角函数线可得角的取值范围为．故答案为．57.已知角的终边经过点，则实数的值是【解答】解：设，由于正切函数周期为，则，又终边经过点，所以，解得，故答案为．58.在平面直角坐标系中，角的顶点是，始边是轴的非负半轴，，若点是角终边上的一点，则的值是____．【解答】解：因为点是角终边上的一点，所以，由，，则在第一象限，又，所以．故答案为．59.已知，，则____________．【解答】解：，，，，．故答案为．60.已知角的终边与单位圆交于点，则的值为__________．【解答】解：由题意可得，则．故答案为．61.若扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为__________．【解答】解：因为，所以扇形面积公式．故答案为．62.如果一扇形的弧长变为原来的倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．【解答】解：由于，若，，则．63.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示，为圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心，是圆弧与直线的切点，是圆弧与直线的切点，四边形为矩形，，垂足为，，到直线和的距离均为，圆孔半径为，则图中阴影部分的面积为___________．【解答】解：设上面的大圆弧的半径为，连接，过作交于，交于，交于，过作于，记扇形的面积为，由题中的长度关系易知，同理，又，可得为等腰直角三角形，可得，，，，，解得，，故答案为．64.已知相互啮合的两个齿轮，大轮有齿，小轮有齿．当小轮转动两周时，大轮转动的角度为______________写正数值：如果小轮的转速为转分，大轮的半径为，则大轮周上一点每秒转过的弧长为______________．【解答】解：因为大轮有齿，小轮有齿，当小轮转动两周时，大轮转动的角为，如果小轮的转速为转分，则每秒的转速为转秒，由于大轮的半径为，那么大轮周上一点每转过的弧长是．故答案为．65.终边在直线上的所有角的集合是____________．【解答】解：由终边相同的角的定义，终边落在射线的角的集合为，终边落在射线的角的集合为：，终边落在直线的角的集合为：．故答案为．66.已知直四棱柱的棱长均为，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为________．【解答】解：如图：取的中点为，的中点为，的中点为，因为，直四棱柱的棱长均为，所以为等边三角形，所以，，又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以，因为，所以侧面，设为侧面与球面的交线上的点，则，因为球的半径为，，所以，所以侧面与球面的交线上的点到的距离为，因为，所以侧面与球面的交线是扇形的弧，因为，所以，所以根据弧长公式可得．故答案为．67.用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内的角的集合是_________________________．【解答】解：由题意，得与终边相同的角可表示为，与终边相同的角可表示为，故角的集合是，故答案为．68.给出下列命题：第二象限角大于第一象限角三角形的内角是第一象限角或第二象限角不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关若，则与的终边相同若，则是第二或第三象限的角．其中正确的命题是填序号【解答】解：①是第二象限角，是第一象限角，但，①错误；②三角形内角有的直角，但它不是象限角，不属于任何象限，②错误；③角的度量是角所在扇形中它所对的弧长与相应半径的比值，与扇形半径无关，③正确④与的正弦值相等，但它们终边关于轴对称，④错误；⑤余弦值小于零，的终边在第二或第三象限或非正半轴上，⑤错误．故答案为③69.已知扇形的圆心角为，周长为，则扇形的面积为______ ．解：设扇形的半径为，圆心角为，弧长，此扇形的周长为，，解得：，则扇形的面积为．故答案为．70.地球的北纬线中国段被誉为中国最美风景走廊，东起舟山东经，西至普兰东经，“英雄城市”武汉东经也在其中，假设地球是一个半径为的标准球体，某旅行者从武汉出发，以离普兰不远的冷布岗日峰东经为目的地，沿纬度线前行，则该行程的路程为__________用含的代数式表示【解答】解：地球半径为，所以北纬的纬度圈半径为，因为武汉和冷布岗日峰的经度分别为东经和东经，相差，即，所以两地在北纬的纬线长是．故答案为．71.如图，在平面直角坐标系中，以轴正半轴为始边的锐角的终边与单位圆交于点，且点的纵坐标是．求的值；若以轴正半轴为始边的钝角的终边与单位圆交于点，且点的横坐标为，求的值．【参考答案】解：因为锐角的终边与单位圆交于点，且点的纵坐标是，所以由任意角的三角函数的定义可知．从而．，．因为钝角的终边与单位圆交于点，且点的横坐标是，所以，从而．于是．因为为锐角，为钝角，所以，从而．72.如图，有一块扇形草地，已知半径为，，现要在其中圈出一块矩形场地作为儿童乐园使用，其中点、在弧上，且线段平行于线段若点为弧的一个三等分点，求矩形的面积；当在何处时，矩形的面积最大？最大值为多少？【参考答案】解：如图，作于点，交线段于点，连接、，，，，，，设，则，，，，，，即时，，此时在弧的四等分点处．73.如图，圆的半径为，，为圆上的两个定点，且，为优弧的中点，设，在右侧为优弧不含端点上的两个不同的动点，且，记，四边形的面积为．求关于的函数关系；求的最大值及此时的大小．解：如下图所示：圆的半径为，，为圆上的两个定点，且，，到的距离，若，则，到的距离，故令则，，的图象是开口朝上，且以直线为对称的抛物线，故当，即时，取最大值．74.如图，在中，，，为，，所对的边，于，且．求证：；若，求的值．【参考答案】证明：，，，，，在直角三角形中，，在直角三角形中，，则，即，，，由此即得证．解：，，，则，由知，，故的值为．75.已知角的终边经过点．求的值；求的值．【参考答案】解：Ⅰ因为角终边经过点，设，，则，所以，，．．Ⅱ．76.已知向量，．当时，求的值；若，且，求的值．【参考答案】解：首先，．当时，．由知，．因为，得，所以．所以．77.如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于、两点，已知、的横坐标分别为求的值；求的值．【参考答案】解：由已知得，，，因为为锐角，故，从而，同理可得，因此，，所以，，又，，，得．78.已知化简若是第二象限角，且，求的值．【参考答案】解：．是第二象限角，且，，是第二象限角，．79.如图，某市拟在长为的道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲线段为函数的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段，为保证参赛运动员的安全，限定．求，的值和，两点间的距离；应如何设计，才能使折线段最长？【参考答案】解：因为图象的最高点为，所以，由图象知的最小正周期，又，所以，所以，所以，，故，两点间的距离为，综上，的值为，的值为，，两点间的距离为；在中，设，因为，故，由正弦定理得，所以，．设折线段的长度为，则，所以的最大值是，此时的值为．故当时，折线段最长．80.已知函数．Ⅰ求的最小正周期；Ⅱ求在区间上的最大值和最小值．【参考答案】解：Ⅰ，所以的最小正周期为．Ⅱ因为，所以．于是，当，即时，取得最大值；当，即时，取得最小值．81.已知函数求函数的最小正周期；若函数对任意，有，求函数在上的值域．【参考答案】解：，的最小正周期；函数对任意，有，，当时，则，则，即，解得．综上所述，函数在上的值域为：．82.已知向量，．当时，求的值；设函数，且，求的最大值以及对应的的值．【参考答案】解：因为，所以，因为否则与矛盾，所以，所以；，因为，所以，所以当，即时，函数的最大值为．83.已知函数．求的值；从①；②这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数在上的最小值，并直接写出函数的一个周期．【参考答案】解：Ⅰ由函数，则；Ⅱ选择条件①，则的一个周期为；由；，因为，所以；所以，所以；当，即时，在取得最小值为．选择条件②，则的一个周期为；由；因为，所以；所以当，即时，在取得最小值为．，，84.已知函数．求函数的最小正周期和单调递增区间；若存在满足，求实数的取值范围．【参考答案】解：，函数的最小正周期．由，得，的单调递增区间为．当时，可得：，令．所以若存在，满足，则实数的取值范围为．85.已知函数．求函数的单调减区间；将函数的图象向左平移个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域．【参考答案】解：函数，当，解得：，因此，函数的单调减区间为；将函数的图象向左平移个单位，得的图象，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，，，故的值域为．86.函数的部分图象如图所示．求的解析式；设，求函数在上的最大值，并确定此时的值．【参考答案】解：由图知，，则，，，，，，，，的解析式为；由可知：，，，，当即时，．87.已知函数的一系列对应值如下表：根据表格提供的数据求函数的一个解析式．根据的结果，若函数周期为，当时，方程恰有两个不同的解，求实数的取值范围．【参考答案】解：设的最小正周期为，则，由，得．又由解得令，即，解得，．函数的最小正周期为，且，．令．，，的图像如图．在上有两个不同的解时，，方程在时恰有两个不同的解，则，即实数的取值范围是．88.已知函数的部分图象如图所示．求函数的解析式；求函数在区间上的最大值和最小值．【参考答案】解：由题意可知，，，得，解得．，即，，，所以，故；当时，，得；当时，即有时，函数取得最小值；当时，即有时，函数取得最大值．故，；89.已知函数．求的值；当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．【参考答案】解：Ⅰ，．Ⅱ，．．由不等式恒成立，得，解得．实数的取值范围为．90.设函数，．已知，函数是偶函数，求的值；求函数的值域．【参考答案】解：由，得，为偶函数，，，或，，，，，函数的值域为：．高考真题91.（2016山东）设．求的单调递增区间；把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求的值．【参考答案】解：由，由，得，所以的单调递增区间是．由知，把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，得到的图象，再把得到的图象向左平移个单位，得到的图象，即．所以．92.（2020安徽）在平面四边形中，，，，．求；若，求．解：，，，．由正弦定理得：，即，，，，．，，，．93.（2105重庆）已知函数求的最小正周期和最大值；讨论在上的单调性．【参考答案】解：．所以的最小正周期，当时，最大值为．当时，有，从而时，即时，单调递增，时，即时，单调递减，综上所述，单调增区间为，单调减区间为94.（2020上海）已知．求的值求的值．【解答】解：原式原式．95.（2017山东）设函数，其中，已知．Ⅰ求；Ⅱ将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍纵坐标不变，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值．解：Ⅰ函数，又，，，解得，又，Ⅱ由Ⅰ知，，，将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象；再将得到的图象向左平移个单位，得到的图象，函数当时，，，当时，取得最小值是．96（2019上海）已知等差数列的公差，数列满足，集合．若，求集合；若，求使得集合恰好有两个元素；若集合恰好有三个元素：，是不超过的正整数，求的所有可能的值．【参考答案】解：等差数列的公差，数列满足，集合．当，集合，数列满足，集合恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列的终边落在轴的正负半轴上时，集合恰好有两个元素，此时，②终边落在上，要使得集合恰好有两个元素，可以使，的终边关于轴对称，如图，，此时，综上，或者．①当时，，数列为常数列，仅有个元素，显然不符合条件；②当时，，，数列的周期为，中有个元素，显然不符合条件；③当时，，集合，情况满足，符合题意．④当时，，，，，或者，，当时，集合，符合条件．⑤当时，，，，，或者，，因为，取，，集合满足题意．⑥当时，，，所以，，或者，，，取，，，满足题意．⑦当时，，，所以，，或者，，，故取，，，，当时，如果对应着个正弦值，故必有一个正弦值对应着个点，必然存在，有，，，，，不符合条件．当时，如果对应着个正弦值，故必有一个正弦值对应着个点，必然存在，有，，不是整数，不符合条件．当时，如果对应着个正弦值，故必有一个正弦值对应着个点，必然存在，有或者，，或者，此时，均不是整数，不符合题意．综上，，，，．97.（2017全国）已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数，对任意，有成立．函数是否属于集合？说明理由；设函数，且的图象与的图象有公共点，证明：；若函数，求实数的取值范围．【参考答案】解：对于非零常数，，．因为对任意，不能恒成立，所以；因为函数且的图象与函数的图象有公共点，所以方程组：有解，消去得，显然不是方程的解，所以存在非零常数，使．于是对于有故；当时，，显然．当时，因为，所以存在非零常数，对任意，有成立，即．因为，且，所以，，。
初中三角函数练习试题和答案解析
.初中三角函数练习题及答案（一）精心选一选1、在直角三角形中，各边都扩大2 倍，则锐角 A 的正弦值与余弦值都（）A 、缩小 2倍B 、扩大 2倍C 、不变D 、不能确定412、在 Rt △ ABC 中，∠ C=900， BC=4， sinA= 5，则 AC=（） A 、3B 、4C 、5D 、613、若∠ A 是锐角，且 sinA= 3，则（）A 、00<∠ A<300B 、300<∠ A<450C 、450<∠ A<600D 、600<∠ A<90013 sin A tan A4、若 cosA= 3，则4 sin A2 tan A =（）411A 、7B 、 3C、 2D、 05、在△ ABC 中，∠ A ：∠ B ：∠ C=1： 1： 2，则 a ： b ： c= （）2A 、1： 1：2B 、 1：1：2 C、1： 1：3D 、 1：1：26、在 Rt △ ABC 中，∠ C=900，则下列式子成立的是（ ）A 、sinA=sinBB、sinA=cosBC、tanA=tanB D 、 cosA=tanB7．已知 Rt △ ABC 中，∠ C=90°， AC=2， BC=3，那么下列各式中，正确的是（）2223A ． sinB= 3B． cosB= 3C． tanB= 3D． tanB= 28．点（ -sin60 °， cos60 °）关于 y 轴对称的点的坐标是（）313131 1 3A ．（2，2）B ．（- 2，2 ）C ．（- 2，-2） D ．（- 2，- 2）9．每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣．? 某同学站在离旗杆 12 米远的地方， 当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为30°， ? 若这位同 学的目高 1.6 米，则旗杆的高度约为（）A ．6.9 米B ．8.5 米C ．10.3 米D ．12.0 米10．王英同学从 A 地沿北偏西 60o 方向走 100m 到 B 地，再从B 地向正南方向走 200m到 C 地，此时王英同学离A 地 （）（ A ）50 3m （ B ） 100 m（ C ） 150m （D ）100 3m11、如图 1，在高楼前D 点测得楼顶的仰角为30 ，3045ADC B.图1.向高楼前进 60 米到C点，又测得仰角为45，则该高楼的高度大约为（）A.82 米B.163米C.52米D.70米12、一艘轮船由海平面上 A 地出发向南偏西40o的方向行驶 40 海里到达 B 地，再由B 地向北偏西10o的方向行驶 40 海里到达C 地，则 A、 C两地相距（）．（A）30 海里（B） 40 海里（ C）50 海里（D） 60 海里（二）细心填一填1．在 Rt △ ABC中，∠ C=90°， AB=5， AC=3，则 sinB=_____ ．2．在△ ABC中，若 BC=2，AB=7， AC=3，则 cosA=________．3．在△ ABC中， AB=2，AC= 2，∠ B=30°，则∠ BAC的度数是 ______．4．如图，如果△ APB绕点 B 按逆时针方向旋转30°后得到△ A＇P＇B，且 BP=2，那么 PP＇62的长为 ____________ ． ( 不取近似值 . 以下数据供解题使用： sin15 °=4，62cos15°=4)5．如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°．甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西___________度．北y乙A北B第4题图甲Ox第5题图第 6题图6．如图，机器人从 A 点，沿着西南方向，行了个 4 2单位，到达 B 点后观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，则原来 A 的坐标为 ___________结果保留根号）．7．求值： sin 260° +cos 260° =___________ ．8．在直角三角形ABC中，∠A=900， BC=13， AB=12，那么tan B___________ ．9．根据图中所给的数据，求得避雷针CD的长约为 _______m（结果精确的到0.01m）．（可用计算器求，也可用下列参考数据求：sin43°≈ 0.6802 ， sin40 °≈ 0.6428， cos43 °≈0.7341 ， cos40 °≈ 0.7660 ， tan43 °≈ 0.9325， tan40 °≈ 0.8391 ）10．如图，自动扶梯AB段的长度为20 米，倾斜角 A 为α，高度BC为 ___________ 米（结果用含α的三角比表示）．..DCB 43°40°AB52m第9题图A第 10题图C(1)(2)11．如图 2 所示，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角， ? 这时测得大树在地面上的影子约为10 米，则大树的高约为________米．（ ? 保留两个有效数字，2≈1.41 ，3≈1.73）三、认真答一答1，计算：sin 30cos60 cot 45 tan60tan30分析：可利用特殊角的三角函数值代入直接计算；2 计算： 2 (2cos45 sin 90 ) ( 4 4 ) ( 2 1)1分析：利用特殊角的三角函数值和零指数及负整数次幂的知识求解。
高中数学三角函数练习题及答案
高中数学三角函数练习题及答案一、填空题1．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．角B 为钝角．设△ABC 的面积为S ，若()2224bS a b c a =+-，则sin A +sin C 的最大值是____________．2．在锐角三角形ABC 中，角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，且满足22b a ac -=，则11tan tan A B-的取值范围为___________.3．已知球O 的表面积为16π，点,,,A B C D 均在球O 的表面上，且,4ACB AB π∠=则四面体ABCD 体积的最大值为___________.4．在ABC 中，AB =BC =1cos 7BAC ∠=，动点D 在ABC 所在平面内且2π3BDC ∠=．给出下列三个结论：①BCD △②线段AD 的长度只有最小值，无最大值，且最小值为1；③动点D 的轨迹的长度为8π3．其中正确结论的序号为______．5．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .D 、E 是线段AB 上满足条件1()2CD CB CE =+，1()2CE CA CD =+的点，若2CD CE c λ⋅=，则当角C 为钝角时，λ的取值范围是______________6．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边a 、b 、c 为三个连续偶数且2C A =，则b =__________．7．已知函数()2sin 16f x x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，其中0>ω，若()f x 在区间(4π，23π)上恰有2个零点，则ω的取值范围是____________.8．设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，n =1，2，3…，若11b c >，1112b c a +=，11,2n n n n n a c a a b +++==，12n n n a bc ++=，则n A ∠的最大值是________________. 9．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b =，2B C =，则a c +的取值范围为________．10．已知1OB →=，,A C 是以O 为圆心，0BA BC →→⋅=，设平面向量OA →与OB →的夹角为θ(π04θ≤≤)，则平面向量OA →在BC →方向上的投影的取值范围是_____.二、单选题11．若函数()f x 同时满足：①定义域内任意实数x ，都有()()110f x f x ++-=；②对于定义域内任意1x ，2x ，当12x x ≠时，恒有()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦；则称函数()f x 为“DM 函数”.若“DM 函数”满足()()2sin cos 0f f αα-+>，则锐角α的取值范围为（ ） A ．0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭12．若函数sin 2y x =与()sin 2y x ϕ=+在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上的图象没有交点，其中()0,2ϕπ∈，则ϕ的取值范围是（ ）A ．[),2ππB ．,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(),2ππD ．,213．已知ABC 的内角分别为,,A B C ，2cos 12A A =，且ABC 的内切圆面积为π，则AB AC ⋅的最小值为（ ） A ．6B ．8C ．10D ．1214．已知,a b Z ∈，满足)sin 50a b ︒=，则a b +的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．415．已知02πθ<<，()()cos 1sin 110sin cos f m m m θθθθθ--⎛⎫=+++> ⎪⎝⎭，则使得()f θ有最大值时的m 的取值范围是（ ）A ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．[]1,3D ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦16．在ABC 中，,E F 分别是,AC AB 的中点，且32AB AC =，若BEt CF <恒成立，则t 的最小值为（ ） A ．34B ．78C ．1D ．5417．在三棱锥A BCD -中，2AB AD BC ===，CD =AC =3BD =，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A ．927πB ．9πC ．1847πD ．18π18．已知函数()sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，66f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下列四个结论： ①4πϕ=②93()2k k N ω=+∈③02f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭④直线3x π=-是()f x 图象的一条对称轴其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④19．已知函数()*()cos 3f x x πωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N ，若函数()f x 图象的相邻两对称轴之间的距离至少为4π，且在区间3(,)2ππ上存在最大值，则ω的取值个数为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．120．将方程23sin cos 3sin 3x x x +=的所有正数解从小到大组成数列{}n x ，记()1cos n n n a x x +=-，则122021a a a ++⋅⋅⋅+=（ ）A ．34-B ．24-C ．36-D ．26-三、解答题21．在海岸A 处，发现北偏东45︒方向，距离A 为31-海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75︒方向，距离A 为2海里的C 处有一艘缉私艇奉命以103海里/时的速度追截走私船，此时，走私船正以10海里/时的速度从B 处向北偏东30方向逃窜.（1）问C 船与B 船相距多少海里？C 船在B 船的什么方向？ （2）问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间. 22．函数()sin y x ωϕ=+与()cos y x ωϕ=+（其中0>ω，2πϕ<）在52x ⎡∈⎢⎣⎦的图象恰有三个不同的交点,,P M N ，PMN ∆为直角三角形，求ϕ的取值范围．23．函数()()303f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B ，C 为图象与x 轴的交点，ABC ∆为等边三角形.将函数()f x 的图象上各点的横坐标变为原来的π倍后，再向右平移23π个单位，得到函数()y g x =的图象.（Ⅰ）求函数()g x 的解析式；（Ⅱ）若不等式()23sin 324x m g x m π-⋅-≤+对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围.24．如图，某市一学校H 位于该市火车站O 北偏东45︒方向，且42OH km =，已知, OM ON 是经过火车站O 的两条互相垂直的笔直公路，CE ,DF 及圆弧CD 都是学校道路，其中//CE OM ，//DF ON ，以学校H 为圆心，半径为2km 的四分之一圆弧分别与, CE DF 相切于点, C D .当地政府欲投资开发AOB 区域发展经济，其中,A B 分别在公路, OM ON 上，且AB 与圆弧CD 相切，设OAB θ∠=，AOB 的面积为2Skm .（1）求S 关于θ的函数解析式；（2）当θ为何值时，AOB 面积S 为最小，政府投资最低？ 25．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知33sin cos 022b A a B ππ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且2sin 6sin sin A B C =⋅. （1）求A ；（2）若()b c a R λλ+=∈，求λ的值.26．已知()sin ,2cos a x x =，()2sin ,sin b x x =，()f x a b =⋅ （1）求()f x 的解析式，并求出()f x 的最大值；（2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最小值和最大值，并指出()f x 取得最值时x 的值.27．如图，在ABC ∆中，90,3,1ABC AB BC ︒∠===，P 为ABC ∆内一点，90BPC ︒∠=.（1）若32PC =，求PA ； （2）若120APB ︒∠=，求ABP ∆的面积S .28．某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角ΔABC 和以BC 为直径的半圆拼接而成，点P 为半圈上一点（异于B ，C ），点H 在线段BC 上，且满足CH AB ⊥.已知90ACB ∠=︒，1dm AB =，设ABC θ∠=.（1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足ABC PCB ∠=∠，且CA CP +达到最大.当θ为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；（2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足60PBA ∠=︒，且CH CP +达到最大.当θ为何值时，CH CP +取得最大值，并求该最大值.29．已知函数()sin 24a a x x b f π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭,当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,函数()f x 的值域是2,2⎡⎤-⎣⎦. (1)求常数a ,b 的值;(2)当0a <时,设()2g x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,判断函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性.30．已知向量()cos sin ,sin a m x m x x ωωω=-，()cos sin ,2cos b x x n x ωωω=--，设函数()()2n f x a b x R =⋅+∈的图象关于点,112π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且()1,2ω∈ （I ）若1m =，求函数()f x 的最小值；（II ）若()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切实数恒成立，求()y f x =的单调递增区间．【参考答案】一、填空题1．982．23⎛ ⎝⎭3．3(21)24．①③5．12(,)369-6．107．742ω<<或91322ω<≤.8．π3##60°9．(10．⎡⎢⎣⎦二、单选题 11．A 12．A 13．A 14．B 15．A 16．B 17．A 18．B 19．C 20．C 三、解答题21．（1）=BC C 船在B 船的正西方向；（2）缉私艇沿东偏北30才能最快追上走私船． 【解析】（1）在ABC 中根据余弦定理计算BC ，再利用正弦定理计算ABC ∠即可得出方位； （2）在BCD △中，利用正弦定理计算BCD ∠，再计算BD 得出追击时间． 【详解】解：（1）由题意可知1=AB ，2AC =，120BAC ∠=︒， 在ABC 中，由余弦定理得：2222cos1206BC AB AC AB AC =+-︒=，BC ∴，由正弦定理得：sin sin AC BCABC BAC=∠∠，即2sin ABC∠解得：sin ABC ∠=， 45ABC ∴∠=︒，C ∴船在B 船的正西方向．（2）由（1）知=BC 120DBC ∠=︒， 设t 小时后缉私艇在D 处追上走私船，则10BD t =，CD =，在BCD △10sin tBCD∠， 解得：1sin 2BCD ∠=， 30BCD ∴∠=︒，BCD ∴△是等腰三角形，10t ∴=，即t =∴缉私艇沿东偏北30【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，以及解三角形的实际应用，考查转化能力和运算能力，属于中档题． 22．,44ππϕ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【解析】且为等腰三角形，由此可确定周期，进而得到ω的知；采用整体对应的方式可知若为三个交点只需95,,442πππϕϕ⎡⎤⎡⎤⊂+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，由此可构造不等式求得结果. 【详解】令t x ωϕ=+，结合sin y t =与cos y t =图象可知：sin y t =与cos y t =，其交点坐标分别为42π⎛ ⎝⎭，5,42π⎛- ⎝⎭，94π⎛ ⎝⎭，13,42π⎛ ⎝⎭，．．．，PMN ∆为等腰三角形．PMN ∆∴斜边长为2T πω==，解得，ω=； 52553244T T =⋅<，∴两图象不可能四个交点；由x ⎡∈⎢⎣⎦，有5,2t πϕϕ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，两图象有三个交点只需95,,442πππϕϕ⎡⎤⎡⎤⊂+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 由45924πϕπϕπ⎧≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩得：,44ππϕ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查根据三角函数的交点与性质求解解析式中的参数范围的问题，关键是能够利用正余弦函数的性质类比得到正弦型和余弦型函数的交点所满足的关系，从而根据两函数交点个数确定不等关系.23．（Ⅰ）()12g x x =（Ⅱ）2,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（Ⅰ）利用等边三角形的性质，根据已知，可以求出函数的周期，利用正弦型函数的最小正周期公式求出ω，最后根据正弦型函数图象的变换性质求出()y g x =的解析式； （Ⅱ）根据函数()y g x =的解析式，原不等式等价于23cos 3cos 10x m x m +++≥在x ∈R 恒成立，利用换元法，构造二次函数，分类讨论进行求解即可. 【详解】（Ⅰ）点AABC ∆为等边三角形，所以三角形边长为2， 所以24T πω==，解得2πω=，所以()23f x x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 将函数()f x 的图象上各点的横坐标变为原来的π倍后，得到()123h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向右平移23π个单位，得到()12g x x =. （Ⅱ）()22g x x x ππ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，所以()223sin 233cos 3cos x g x x m x π⋅-=--，原不等式等价于23cos 3cos 10x m x m +++≥在x ∈R 恒成立. 令cos x t =，[]1,1t ∈-，即23310t mt m +++≥在[]1,1t ∈-上恒成立.设()2331t t mt m ϕ=+++，对称轴2m t =-， 当12m-≤-时，即2m ≥时，()1240m ϕ-=-+≥，解得2m ≤，所以2m =； 当12m-≥时，即2m ≤-时，()1440m ϕ=+≥，解得1m ≥-（舍）； 当112m -<-<时，即22m -<<时，231024m m m ϕ⎛⎫-=-++≥ ⎪⎝⎭，解得223m -≤<.综上，实数m 的取值范围为2,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了正弦型函数的图象变换和性质，考查了利用换元法、构造法解决不等式恒成立问题，考查了数学运算能力.24．（1）2[2(sin cos )1]2,0,sin cos 2S θθπθθθ+-⎛⎫=⋅∈ ⎪⎝⎭；（2）4πθ=. 【解析】 【分析】（1）以点O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则(4,4)H ，在Rt ABO 中，设AB l =，又OAB θ∠=，故cos OA l θ=，sin OB l θ=，进而表示直线AB 的方程，由直线AB 与圆H 相切构建关系化简整理得4(sin cos )2sin cos l θθθθ+-=，即可表示OA ,OB ，最后由三角形面积公式表示AOB 面积即可；（2）令2(sin cos )1t θθ=+-，则223sin cos 8t t θθ+-=，由辅助角公式和三角函数值域可求得t 的取值范围，进而对原面积的函数用含t 的表达式换元，再令1m t=进行换元，并构建新的函数2()321g m m m =-++，由二次函数性质即可求得最小值. 【详解】解：（1）以点O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则(4,4)H ，在Rt ABO 中，设AB l =，又OAB θ∠=，故cos OA l θ=，sin OB l θ=. 所以直线AB 的方程为1cos sin x yl l θθ+=，即sin cos sin cos 0x y l θθθθ+-=. 因为直线AB 与圆H 相切， 所以22|4sin 4cos sin cos |2sin cos l θθθθθθ+-=+.(*)因为点H 在直线AB 的上方， 所以4sin 4cos sin cos 0l θθθθ+->，所以(*)式可化为4sin 4cos sin cos 2l θθθθ+-=，解得4(sin cos )2sin cos l θθθθ+-=.所以4(sin cos )2sin OA θθθ+-=，4(sin cos )2cos OB θθθ+-=. 所以AOB 面积为21[2(sin cos )1]2,0,2sin cos 2S OA OB θθπθθθ+-⎛⎫=⋅=⋅∈ ⎪⎝⎭.（2）令2(sin cos )1t θθ=+-，则223sin cos 8t t θθ+-=，且2(sin cos )111]4t πθθθ⎛⎫=+-=+-∈ ⎪⎝⎭，所以222162322318t S t t t t =⋅=+--++，1]t ∈.令1m t ⎫=∈⎪⎣⎭，2214()321333g m m m m ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，所以()g m在⎫⎪⎣⎭上单调递减.所以，当m =4πθ=时，()g m 取得最大值，S 取最小值.答：当4πθ=时，AOB 面积S 为最小，政府投资最低.【点睛】本题考查三角函数的实际应用，应优先结合实际建立合适的数学模型，再按模型求最值，属于难题. 25．（1）3A π=；（2）λ=. 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式、正弦定理、同角三角函数基本关系式，结合已知等式，化简tan A =(0,)A π∈，可得A 的值；（2）由已知根据余弦定理可得2223a a bc λ+=，利用正弦定理可得26a bc =，联立即可解得λ的值． 【详解】（13sin cos 022A a B ππ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos sin 0A a B ⇒+=，cos sin sin 0B A A B ⇒+=(0,)sin 0B B π∈∴≠，tan (0,)3A A A ππ∴=∈∴=；（2）22sin 6sin sin 6A B C a ac =⋅⇒=，2222222cos )(3a b c bc B b c b bc bc c +⋅=++=--=-，而()b c a R λλ+=∈， 22()3a a bc λ=-，而26a ac =，所以有2302λλλλ=⇒=>∴=【点睛】本题考查了诱导公式、正弦定理、同角三角函数基本关系式、余弦定理，考查了数学运算能力.26．（1）()fx 214x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭1.（2）0x =时，最小值0.38x π=1. 【解析】 【分析】（1）利用数量积公式、倍角公式和辅助角公式，化简()f x ，再利用三角函数的有界性，即可得答案； （2）利用整体法求出32444x πππ-≤-≤，再利用三角函数线，即可得答案. 【详解】（1）()22sin 2sin cos f x x x x =+1cos2sin2x x =-+214x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∴sin 214x π⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，()f x ∴1.（2）由（1）得()214f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，32444x πππ∴-≤-≤.sin 214x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭， ∴当244x ππ-=-时，即0x =时，()f x 取最小值0.当242x ππ-=，即38x π=时，()f x 1. 【点睛】本题考查向量数量积、二倍角公式、辅助角公式、三角函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意整体法的应用.27．（12 【解析】 【分析】（1）求出12BP ==，,36CBP ABP ππ∠=∠=，ABP ∆中由余弦定理即可求得PA ；（2）设PBA α∠=，利用正弦定理表示出()sin120sin 60AB PB =︒︒-α，求得tan α=，利用面积公式即可得解. 【详解】（1）在ABC ∆中，90,1ABC AB BC ︒∠===，2AC =P 为ABC ∆内一点，90BPC ︒∠=，PC =，所以12BP =，CBP ∆中，由余弦定理得：2221cos 22BP BC PC CBP BP BC +-∠==⋅所以,36CBP ABP ππ∠=∠=ABP ∆中，由余弦定理得：AP==； （2）120APB ︒∠=，设0,,90,602PBA PBC PAB π⎛⎫∠=α∈∠=︒-α∠=︒-α ⎪⎝⎭，在Rt PBC ∆中，sin sin PB BC =⋅α=α， 在PBA ∆中，由正弦定理()sin120sin 60AB PB=︒︒-α，即()sin 2sin 60α=︒-α，sin sin α=α-α，所以tan α=sin PB α==ABP ∆的面积11sin 22S AB PB α=⋅==. 【点睛】此题考查解三角形，对正余弦定理的综合使用，涉及两角差的正弦公式以及同角三角函数关系的使用，综合性较强.28．（1）π6θ=（2）当π12θ=，CH CP +【解析】（1）设ABC PCB θ∠=∠=，则在直角ΔABC 中，sin AC θ=，cos BC θ=，计算得到2sin sin 1AC CP θθ+=-++，计算最值得到答案.（2）计算sin cos CH θθ=⋅，得到πsin 23CH CP θ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭.【详解】（1）设ABC PCB θ∠=∠=，则在直角ΔABC 中，sin AC θ=，cos BC θ=. 在直角ΔPBC 中，2cos cos cos cos PC BC θθθθ=⋅=⋅=， sin sin cos sin cos PB BC θθθθθ=⋅=⋅=.22sin cos sin 1sin AC CP θθθθ+=+=+-2sin sin 1θθ=-++，π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以当1sin 2θ=，即π6θ=，AC CP +的最大值为54. （2）在直角ΔABC 中，由1122ABC S CA CB AB CH ∆=⋅=⋅，可得sin cos sin cos 1CH θθθθ⋅==⋅.在直角ΔPBC 中，πsin 3PC BC θ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭ππcos sin cos cos sin 33θθθ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，所以1sin cos cos sin 2CH CP θθθθθ⎫+=+-⎪⎪⎝⎭，π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以211sin 2sin cos 22CH CP θθθθ+=-11πsin 22sin 2423θθθ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭ 所以当π12θ=，CH CP +【点睛】本题考查了利用三角函数求最值，意在考查学生对于三角函数知识的应用能力. 29．(1)2a =,2b =-或2a =-,4b =函数()g x 在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.函数()g x 在,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 【解析】 【分析】（1）先求得sin 24x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦,再讨论0a >和0a <的情况,进而求解即可； （2）由（1）()2sin 224f x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭则()2sin 224g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭进而判断单调性即可 【详解】解:(1)当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,所以sin 24x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦, ①当0a >时,由题意可得12a ab a a b ⎧⎛⨯++=⎪ ⎨⎝⎭⎪⨯++=⎩即22a b a b ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩解得2a =,2b =-； ②当0a <时,由题意可得221a a b a a b ⎧⎛⨯-++=⎪ ⎨⎝⎭⎪⨯++=⎩,即222a b a b ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩,解得2a =-,4b =(2)由（1）当0a <时,2a =-,4b =所以()2sin 224f x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭所以()2sin 22224f x x g x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=-+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2sin 224x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭令222242k x k πππππ-+≤+≤+,k Z ∈,解得388k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈, 当0k =时,388x ππ-≤≤,则3,0,0,8828ππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⋂=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 所以函数()g x 在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,同理,函数()g x 在,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【点睛】本题考查由三角函数性质求解析式,考查正弦型函数的单调区间,考查运算能力 30．（Ⅰ）1()22,31234k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】化简()f x 解析式可得()()22n f x x ωϕ=-+；根据图象关于,112π⎛⎫ ⎪⎝⎭可求得n ；（Ⅰ）若1m =，则()()21f x x ωϕ=-+，从而可得函数最小值；（Ⅱ）利用4x π=为对称轴，,112π⎛⎫ ⎪⎝⎭为对称中心可得()*642T T k k N π=+⋅∈，根据周期和ω的范围可求得ω；将,112π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入解析式可求得()314f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，将34x π-整体放入正弦函数的单调递增区间中，解出x 的范围即可. 【详解】由题意得：()()22cos sin 2sin cos 2n f x m x x n x x ωωωω=--++()sin 2cos 2222n n n x m x x ωωωϕ=-+=-+其中cos ϕ=sin ϕ=图象关于点,112π⎛⎫⎪⎝⎭对称 12n ∴=，解得：2n =()()21f x x ωϕ∴=-+（Ⅰ）若1m =，则()()21f x x ωϕ=-+()min 1f x ∴=（Ⅱ）()4f x f π⎛⎪≤⎫ ⎝⎭对一切实数恒成立 ()max 4f x f π⎛⎫∴= ⎪⎝⎭()*412642T T k k N πππ∴-==+⋅∈，即：()()*223212T k N k ππω==∈+ ()3212k ω∴=+，又()1,2ω∈ 32ω∴=()2sin3cos31f x x m x ∴=-+，又图象关于点,112π⎛⎫⎪⎝⎭对称2sin cos 111244f m πππ⎛⎫∴=-+= ⎪⎝⎭，解得：2m =()2sin 32cos31314f x x x x π⎛⎫∴=-+=-+ ⎪⎝⎭令232242k x k πππππ-+≤-≤+，k Z ∈，解得：2212343k k x ππππ-+≤≤+，k Z ∈ ()f x ∴的单调递增区间为：()22,31234k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 【点睛】本题考查三角函数图象与性质的综合应用问题，涉及到根据三角函数的性质求解函数解析式的求解、三角函数最值的求解、单调区间的求解问题.。
三角函数典型习题带答案
1、集合M ＝{x |x ＝sinnπ3，n ∈Z}，N ＝{x |x ＝cos nπ2，n ∈N}，则M ∩N 等于 ( C ) A.{－1,0,1} B.{0,1} C.{0} D.∅2、已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π4)等于 ( A )A.17B.7C.－17D.－7 3、若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x ＜π2，则f (x )的最大值为 ( B )A.1B.2C.3＋1D.3＋2 4、函数f (x )＝2sin(2x ＋π6)在[－π2，π2]上对称轴的条数为 ( B )A.1B.2C.3 D .05、要得到y ＝sin(2x －π3)的图象，只要将y ＝sin2x 的图象 ( D )A.向左平移π3个单位B.向右平移π3个单位C.向左平移π6个单位D.向右平移π6个单位6、使奇函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)在[－π4，0]上为减函数的θ 值为 ( D )A.－π3B.－π6C.5π6D.2π37、给定函数①y ＝x cos(3π2＋x )，②y ＝1＋sin 2(π＋x )，③y ＝cos(cos(π2＋x ))中，偶函数的个数是 ( A )A.3B.2C.1D.0 8、有一种波，其波形为函数y ＝sin(π2x )的图象，若在区间[0，t ]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t 的最小值是 ( C ) A.3 B.4 C.5 D.69、设集合M ＝{平面内的点(a ，b )}，N ＝{f (x )|f (x )＝a cos2x ＋b sin2x ，x ∈R}，给出从M 到N 的映射f ：(a ，b )→f (x )＝a cos2x ＋b sin2x ，则点(1，3)的象f (x )的最小正周期为( A ) A.π B.π3 C.π2 D.π410、设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，(A ≠0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则 ( D ) A.f (x )的图象过点(0，12) B.f (x )的图象在[5π12，2π3]上递减C.f (x )的最大值为AD.f (x )的一个对称中心是点(5π12，0)11、函数y ＝sin(2x －π3)在区间[－π2，π]上的简图是 ( A )12、已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象如下图所示，则f (7π12)＝ 0 .13、下面有五个命题：①函数y ＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π； ②终边在y 轴上的角的集合是{α|α＝kπ2，k ∈Z}；③在同一坐标系中，函数y ＝sin x 的图象和函数y ＝x 的图象有三个公共点； ④把函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π6个单位得到y ＝3sin2x 的图象；⑤函数y ＝sin(x －π2)在[0，π]上是减函数.其中真命题的序号是 ①④ .14、点A ，B 是单位圆上的两点，A ，B 点分别在第一、二象限，点C 是圆与x 轴正半轴的交点，△AOB 是正三角形，若点A 的坐标为(35，45)，记∠COA ＝α.(1)求1＋sin2α1＋cos2α的值；(2)求|BC |2的值.解：(1)∵A 的坐标为(35，45)，根据三角函数的定义可知，sin α＝45，cos α＝35，∴1＋sin2α1＋cos2α＝1＋2sin αcos α2cos 2α＝4918.(2)∵△AOB 为正三角形，∴∠AOB ＝60°.∴cos ∠COB ＝cos(α＋60°)＝cos αcos60°－sin αsin60°＝35×12－45×32＝3－4310， ∴|BC |2＝|OC |2＋|OB |2－2|OC |·|OB |cos ∠COB ＝1＋1－2×3－4310＝7＋435.15、已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的一系列对应值如下表：xπ6-π35π6 4π3 11π6 7π317π6y -1131-113(1)根据表格提供的数据求函数f (x )的一个解析式；(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k ＞0)周期为2π3，当x ∈[0，π3]时，方程f (kx )＝m 恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围；解：(1)设f (x )的最小正周期为T ，得 T ＝11π6 －(－π6)＝2π，由T ＝2πω，得ω＝1.又32,.11B A A B A B +==⎧⎧⎨⎨-=-=⎩⎩解得令ω·5π6＋φ＝π2，即5π6＋φ＝π2，解得φ＝－π3，∴f (x )＝2sin(x －π3)＋1.(2)∵函数y ＝f (kx )＝2sin(kx －π3)＋1的周期为2π3，又k ＞0，∴k ＝3.令t ＝3x －π3，∵x ∈[0，π3]，∴t ∈[－π3，2π3]如图sin t ＝s 在[－π3，2π3]上有两个不同的解的充要条件是s ∈[32，1)，∴方程f (kx )＝m 在x ∈[0，π3]时恰好有两个不同的解的充要条件是m ∈[3＋1,3)，即实数m 的取值范围是[3＋1,3)． 16、把曲线y cos x +2y －1=0先沿x 轴向右平移2π个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（ C ）A.（1－y ）sin x +2y －3=0B.（y －1）sin x +2y －3=0C.（y +1）sin x +2y +1=0D.－(y +1)sin x +2y +1=017、若角α满足条件sin2α＜0，cos α－sin α＜0，则α在（ B ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 18、函数y =2sin x 的单调增区间是（ A ）A.［2k π－2π，2k π＋2π］（k ∈Z ） B.［2k π＋2π，2k π＋23π］（k ∈Z ）C.［2k π－π，2k π］（k ∈Z ）D.［2k π，2k π＋π］（k ∈Z ） 19、在（0，2π）内，使sin x ＞cos x 成立的x 取值范围为（ C ） A.（4π，2π）∪（π，45π） B.（4π，π）C.（4π，45π）D.（4π，π）∪（45π，23π） 20、已知f （x ）是定义在（0，3）上的函数，f （x ）的图象如图4—1所示，那么不等式f （x ）cos x ＜0的解集是（ C ） A.（0，1）∪（2，3）B.（1，2π）∪（2π，3）C.（0，1）∪（2π，3） D.（0，1）∪（1，3）21、列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（2π，π）上为减函数的是（ B ）A.y =cos 2xB.y ＝2|sin x |C.y ＝(31)cos xD.y =－cot x22、函数y =x +sin|x |，x ∈［－π，π］的大致图象是（ C ）23、若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P （cos B －sin A ，sin B －cos A ）在（B ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 24、已知sin α＞sin β，那么下列命题成立的是（ D ）A.若α、β是第一象限角，则cos α＞cos βB.若α、β是第二象限角，则tan α＞tan βC.若α、β是第三象限角，则cos α＞cos βD.若α、β是第四象限角，则tan α＞tan β 25、函数y ＝－x cos x 的部分图象是（ D ）26、函数f （x ）=M sin （ωx ＋ϕ）（ω＞0），在区间［a ，b ］上是增函数，且f （a ）=－M ，f （b ）=M ，则函数g （x ）=M cos （ωx ＋ϕ）在［a ，b ］上（ C ）A.是增函数B.是减函数C.可以取得最大值MD.可以取得最小值－M 27、若f （x ）sin x 是周期为π的奇函数，则f （x ）可以是（ B ） A.sin x B.cos x C.sin2x D.cos2x 28、已知点P （sin α－cos α，tan α）在第一象限，则在［0，2π］内α的取值范围是（ B ） A.（2π，43π）∪（π，45π） B.（4π，2π）∪（π，45π） C.（2π，43π）∪（45π，23π） D.（4π，2π）∪（43π，π） 29、函数y =tan （3121-x π）在一个周期内的图象是（ A ）30、函数y ＝4sin （3x ＋4π）＋3cos （3x ＋4π）的最小正周期是（ C ）A.6πB.2πC.32πD.3π31、已知θ是第三象限角，若sin 4θ＋cos 4θ＝95，那么sin2θ等于（ A ） A.322 B.－322 C.32D.－3232、如果函数y =sin2x +a cos2x 的图象关于直线x =－8π对称，那么a 等于（ D ）A.2B.－2C.1D.－133、若f （x ）=2sin ωx （0＜ω＜1)在区间［0，3π］上的最大值是2，则ω＝ 3/4 .34、函数y ＝sin （x －6π）cos x 的最小值是 －43. 35、已知f (x )=5sin x cos x -35cos 2x +325（x ∈R ） ⑴求f (x )的最小正周期； ⑵求f (x )单调区间；⑶求f (x )图象的对称轴，对称中心。
高中三角函数专题练习题(附答案)
高中三角函数专题练习题（附答案）一、填空题1．已知函数()f x 在R 上可导，对任意x 都有()()2sin f x f x x --=，当0x ≤时，()1f x '<-，若π2π()3cos 33f t f t t ⎛⎫⎛⎫≤-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则实数t 的取值范围为_________2．如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥爬行一周后回到点P 处，若该小虫爬行的最短路程为43，则这个圆锥的体积为___________.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，1a =，34A π=，若b c λ+有最大值，则实数λ的取值范围是_____．4．在ABC 中，7AB =3BC =1cos 7BAC ∠=，动点D 在ABC 所在平面内且2π3BDC ∠=．给出下列三个结论：①BCD △3②线段AD 的长度只有最小值，无最大值，且最小值为1；③动点D 的轨迹的长度为8π3．其中正确结论的序号为______．5．在直角坐标系中，ABC 的顶点()cos ,sin A αα，()cos ,sin B ββ，432C ⎝，且ABC 的重心G 的坐标为232⎝，()cos αβ-=__________. 6．已知函数()[)[]243,0,3,92sin ,3,156x x y f x x x π⎧⎛⎫-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭==⎨⎪∈⎪⎩若存在实数a 、b 、c 、d 满足()()()()f a f b f c f d ===（其中a b c d <<<），则()()a b cd +⋅的取值范围是______.7．log sin()3y x ππ=+的单调增区间为________.8．平面向量a ，b ，c 满足1a a b c =-==，()222b ac b c b a c +⋅+-=⋅+，1a b b a b b cb⋅+=+⋅，则()2b c-=______．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线2y x =+与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，点P 在圆22()2x a y -+=上运动.若MPN ∠恒为锐角，则实数a 的取值范围是________.10．已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且222a c b ac +-=，则sin cos A C 的最大值为______．二、单选题11．已知函数()()2212sin 2,2212,x a x a f x x a x a x a π⎧⎡⎤⎛⎫-+<⎪ ⎪⎢⎥=⎝⎭⎨⎣⎦⎪-+++≥⎩，若函数()f x 在[)0,∞+内恰有5个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．75,42⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．75,2,342⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．75,22,42⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12．已知函数()21ln e 1xf x x -⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，a ，b ，c 分别为ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且222446,a b c ab +-=则下列不等式一定成立的是（ ） A ．()()sin cos f A f B ≤ B ．f (cos A )≤f (cos B ) C ．f (sin A )≥f (sin B )D ．f (sin A )≥f (cos B )13．已知()1,0A -，()3,0B ，P 是圆22:45O x y +=上的一个动点，则sin APB ∠的最大值为（ ） ABC D 14．若方程x 2 +2x +m 2 +3m = m cos(x +1) + 7有且仅有1个实数根，则实数m 的值为（ ） A ．2B ．-2C ．4D ．-415．已知双曲线2221(0)y x b b -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作直线l 交双曲线的右支于A ，B 两点.若11||::3:3:2AB AFBF =，则双曲线的离心率为（ ） A BC ．113D ．1116．已知,a b Z ∈，满足)sin 50a b ︒=，则a b +的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．417．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，11AA =，3AB BC ==，1cos 3ABC ∠=，P 是1A B 上的一动点，则1AP PC +的最小值为（ ）A 5B 7C ．13D ．318．已知函数()()()sin 010f x x ωϕω=+<<，若存在实数1x 、2x ，使得()()122f x f x -=，且12x x π-=，则ω的最大值为（ ） A ．9B ．8C ．7D ．519．已知函数()sin os 0(c f x x a x a ωω=+>且0>ω），周期2T π<，()33f π()f x 在6x π=处取得最大值，则ω的最小值为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．1420．已知函数()2sin cos 3cos2f x x x x =，给出下列结论：①()f x 的图象关于直线π12x =对称；②()f x 的值域为[]22-,；③()f x 在π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数；④0是()f x 的极大值点．其中正确的结论有（ ） A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①②④三、解答题21．已知向量()()()3cos ,cos ,sin ,cos 0a x x b x x ωωωωω=-=>，若函数()12f x a b =⋅+的最小正周期为π. （1）求()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程22cos 22cos 23301212a f x x f x x a ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-+--+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦在04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，有实数解，求实数a 的取值范围.22．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知33sin cos 022b A a B ππ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且2sin 6sin sin A B C =⋅. （1）求A ；（2）若()b c a R λλ+=∈，求λ的值.23．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的最大值是2，函数()f x 的图象的一条对称轴是3x π=，且与该对称轴相邻的一个对称中心是7,012π⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求()f x 的解析式；（2）已知DBC △是锐角三角形，向量,,,2124233B B m f f n f f B ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且3,sin 5m n C ⊥=，求cos D . 24．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，14AA =，点P 为面11ADD A 的对角线1AD 上的动点（不包括端点）．PM ⊥平面ABCD 交AD 于点M ，MN BD ⊥于点N ．（1）设AP x =，将PN 长表示为x 的函数；（2）当PN 最小时，求异面直线PN 与11A C 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示） 25．在①ABC ∆面积2ABC S ∆=，②6ADC π∠=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AC .如图，在平面四边形ABCD 中，34ABC π∠=，BAC DAC ∠=∠，______，24CD AB ==，求AC .26．已知函数22()cos sin 3sin cos 3f x a x a x x x =-+-，其中a R ∈． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的对称中心；（Ⅱ）若函数()f x 的最小值为4-，求实数a 的值．27．将函数()4sin cos 6g x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭个单位长度后得到()f x 的图象.（1）若()f x 为偶函数，求ϕ；（2）若()f x 在7,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是单调函数，求ϕ的取值范围.28．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 220C C ++=． （1）求角C 的大小；（2）若b =，ABC ∆sin A B ，求sin A 及c 的值．29．已知函数())2sin cos 0f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π.将函数()y f x =的图象上各点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标变为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象.（1）求ω的值及函数()g x 的解析式； （2）求()g x 的单调递增区间及对称中心30．已知函数()f x 的图象是由函数()sin g x x =的图象经如下变换得到：先将()g x 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象向左平移3π个单位长度.（1）求函数(2)y f x =在[0,]π上的单调递增区间；（2）已知关于x 的方程2()4222f x g x m π⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭在[0,)π内有两个不同的解α，β.求26cos(22)m αβ--的值.【参考答案】一、填空题1．π6∞⎛⎤- ⎥⎝⎦，23．⎝ 4．①③5．23 6．()135,2167．(2,2)(Z)36k k k ππππ-++∈8．229．1a 或4a10．12+二、单选题 11．D 12．D 13．D 14．A 15．A 16．B 17．B 18．A 19．C 20．B 三、解答题21．（1）()sin(2)6f x x π=-；（2）1a 或732a +-. 【解析】（1）根据向量数量积的坐标运算及三角公式，化简可得()f x 的解析式； （2）先化简()sin 212f x x π+=，利用换元法，设sin 2cos2t x x =-，把目标方程转化为关于t 的方程，分离参数后进行求解.【详解】 （1）因为()()()3cos ,cos ,sin ,cos 0a x x b x x ωωωωω=-=>，所以()2111cos 213sin cos 22222x f x a b x x x x ωωωωω+=⋅+=-+=-+ sin(2)6x πω=-.因为()f x 的最小正周期为π，所以22ππω=，即1ω=，所以()sin(2)6f x x π=-. （2）由（1）可知()sin 212f x x π+=.因为2(sin 2cos 2)x x +22sin 22sin 2cos 2cos 2x x x x =++12sin 2cos2x x =+， 222(sin 2cos 2)sin 22sin 2cos 2cos 2x x x x x x -=-+12sin 2cos2x x =-，所以22(sin 2cos2)12sin 2cos211(sin 2cos2)x x x x x x ⎡⎤+=+=+--⎣⎦.令sin 2cos2t x x =-，则22(sin 2cos 2)2x x t +=-，则方程22cos 22cos 23301212a fx x f x x a ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-+--+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦可化为()2222330a t t a ---+=，即22230at t a +--=.因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以sin 2cos 22[1,1]4t x x x π⎛⎫=-=-∈- ⎪⎝⎭.所以由题意可知，方程22230at t a +--=在[1,1]t ∈-时有解； 令2()223g t at t a =+--，当0a =时，()23g t t =-，由()0g t =得32t =（舍）；当0a ≠时，则22230at t a +--=可化为212132t a t-=-，令22132t y t-=-，[1,1]t ∈-，设32u t =-，则1(3),[1,5]2t u u =-∈，2212(3)11(3)222u u y u u⎡⎤--⎢⎥--⎣⎦==⨯1762u u ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，因为7u u+≥u = 当1u =时，7u u+取到最大值8，所以3,1]y ∈，所以13,1]a ∈，解得1a 或732a +-. 所以实数a 的取值范围是1a 或732a +- 【点睛】本题主要考查三角函数的性质，利用向量的坐标运算及三角公式把目标函数化简为最简形式，是这类问题常用求解方向，方程有解问题通常利用分离参数法来解决，侧重考查数学运算的核心素养. 22．（1）3A π=；（2）λ=. 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式、正弦定理、同角三角函数基本关系式，结合已知等式，化简tan A =(0,)A π∈，可得A 的值；（2）由已知根据余弦定理可得2223a a bc λ+=，利用正弦定理可得26a bc =，联立即可解得λ的值． 【详解】（13sin cos 022A a B ππ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos sin 0A a B ⇒+=，cos sin sin 0B A A B ⇒+=(0,)sin 0B B π∈∴≠，tan (0,)3A A A ππ∴=∈∴=；（2）22sin 6sin sin 6A B C a ac =⋅⇒=，2222222cos )(3a b c bc B b c b bc bc c +⋅=++=--=-，而()b c a R λλ+=∈，22()3a a bc λ=-，而26a ac =，所以有2302λλλλ=⇒=>∴=【点睛】本题考查了诱导公式、正弦定理、同角三角函数基本关系式、余弦定理，考查了数学运算能力.23．（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2【解析】（1）根据函数的最值、周期、对称轴待定系数即可求解；（2）由（1）所求，可化简向量坐标，根据向量垂直得到角B ，再利用()cos cosD A B =-+求解. 【详解】（1）设()f x 的最小正周期为T ， 依题意得71234T ππ-=，∴T π=，∴22πωπ==. ∵()f x 图象的一条对称轴是3x π=，∴2,32k k Z ππϕπ+=+∈， ∴,6k k Z πϕπ=-+∈.∵||2ϕπ<，∴6πϕ=-. 又∵()f x 的最大值是2，∴2A =，从而()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）∵()(),2sin ,3,2cos ,2cos 2m n m B n B B ⊥==，∴4sin cos 22sin 22m n B B B B B ⋅=⋅+=+4sin 203B π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∴2,3B k k Z ππ+=∈，∴:,62kB k Z ππ=-+∈， 又∵B 是锐角，∴3B π=.∵3sin 5C =，∴4cos 5C =，∴cos cos()(cos cos sin sin )D B C B C B C =-+=--=.即cosD =. 【点睛】本题考查三角函数解析式的求解，涉及向量垂直的转换，余弦函数的和角公式.属综合基础题.24．(1) PN ，(0,x ∈；(2) 【解析】 【分析】（1）求出PM ,AM ,运用余弦定理,求得PN ；（2）求出PN 的最小值,由于//MN AC ,又11//A C AC ,PNM ∠为异面直线PN 与11A C 所成角的平面角,通过解直角三角形PMN ,即可得到. 【详解】（1）在APM ∆中,PM =AM =；其中0x <<在MND ∆中,2MN x ⎫=⎪⎪⎝⎭,在PMN ∆中,PN =(0,x ∈；（2）当(0,x 时,PN 最小,此时43PN =.因为在底面ABCD 中,MN BD ⊥,AC BD ⊥,所以//MN AC ,又11//A C AC ,PNM ∠为异面直线PN 与11A C 所成角的平面角,在PMN ∆中,PMN ∠为直角,tan PNM ∠=所以arctan4PNM ∠=,异面直线PN 与11A C 所成角的大小arctan 4. 【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角；函数解析式的求解及常用方法等.属于难题. 25．见解析 【解析】选择①：利用三角形面积公式和余弦定理可以求接求出AC 的长；选择②：在ABC ∆，ACD ∆中，分别运用正弦定理，可以求接求出AC 的长； 【详解】解：选择①：113sin 2sin 2224ABC S AB BC ABC BC π∆=⋅⋅⋅∠=⋅⋅⋅=所以BC = 由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠482220⎛=+-⨯⨯= ⎝⎭所以AC == 选择②设BAC CAD θ∠=∠=，则04πθ<<，4BCA πθ∠=-，在ABC ∆中sin sin AC ABABC BCA =∠∠，即23sin sin 44AC ππθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭所以sin 4AC θ=- ⎪⎝⎭在ACD ∆中，sin sin AC CD ADC CAD=∠∠，即4sin sin 6AC πθ=所以2sin AC θ=.所以2sin sin 4θθ=- ⎪⎝⎭2sin cos θθ=， 又04πθ<<，所以sin θ=，所以2sin AC θ== 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查了数学运算能力. 26．（Ⅰ）(,3),.122k k Z ππ-+-∈（Ⅱ）12a =或12a =- 【解析】（Ⅰ）当1a =时，根据二倍角公式、辅助角公式化简函数，根据正弦函数的性质可得. （Ⅱ）将函数化简为()sin()f x A x b ωϕ=++的形式，分类讨论可得. 【详解】解：（Ⅰ）当1a =时，22()cos sin cos 3f x x x x x =-+-cos 2232sin(2)36x x x π=-=+-()2sin(2)36f x x π∴=+-由2,6x k k Z ππ+=∈ 得：,122k x k Z ππ=-+∈ ()f x ∴的对称中心为(,3),.122k k Z ππ-+-∈（Ⅱ）22()cos sin sin cos 3f x a x a x x x =-+-()cos 2sin 23f x a x x ∴=-()2sin(2)36f x a x π∴=+-1sin(2)16x π-≤+≤当0a >时，232sin(2)3236a a x a π--≤+-≤-则有234a --=- 解得12a =当0a =时，min ()3f x =-，不合题意当0a <时，232sin(2)3236a a x a π-≤+-≤--则有234a -=-解得12a =-综上 12a ∴=或12a =-．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角公式将函数进行化简是解决本题的关键，要求熟练掌握三角函数的图象和性质，属于中档题． 27．（1）6π=ϕ；（2）,62ππϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换对()4sin cos 6g x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭化简变形为()2sin 216g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，然后可得到图象左移之后的函数()2sin 2216f x x ϕπ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，利用三角函数偶函数的性质即可求出ϕ；（2）先求出2222,22662x πππϕπϕπϕ⎛⎫++∈++++ ⎪⎝⎭，再根据ϕ的范围求出26πϕ+和22πϕ+的范围，从而根据单调性列出关于ϕ的不等式，解之即可求得结果. 【详解】（1）()()14sin sin 21cos 22g x x x x x x ⎫=-=--⎪⎪⎝⎭2sin 216x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，∴()2sin 2216f x x ϕπ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭.又()f x 为偶函数，则()262k k Z ππϕπ+=+∈，02πϕ<≤，∴6π=ϕ； （2）7,6x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2222,22662x πππϕπϕπϕ⎛⎫++∈++++ ⎪⎝⎭.02πϕ<≤，∴72,666πππϕ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，32,222πππϕ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭()f x 在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭是单调函数，∴26202ππϕπϕ⎧+≥⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩， ∴,62ππϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数的图象变换及性质，以及基本的运算能力和逻辑推理能能力，综合性较强，属于有一定难度的中档题. 28．（1）34C π=（2）sin A =1c = 【解析】 【分析】（1）化简等式，即可求出角C ．（2）利用角C 的余弦公式，求出c 与a 的关系式，再由正弦定理求出角A 的正弦值，再结合面积公式求出c 的值． 【详解】（1）∵cos 220C C ++=，∴22cos s 10C C +=+，即)210C +=，∴cos C = 又()0,C π∈，∴34C π=. （2）∵2222222cos 325c a b ab C a a a =+-=+=，∴c =，即sin C A =，∴sin A C =∵1sin 2ABC S ab C ∆=，且in sin ABC S A B ∆=，∴1sin sin 2ab C A B =，∴sin sin sin abC A B=2sin sin c C C ⎛⎫= ⎪⎝⎭1c =. 【点睛】本题考查利用解三角形，属于基础题．29．（1）1ω=，()2sin()23x g x π=+；（2）单调递增区间为54,433k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，对称中心为2(2,0)()3k k ππ-∈Z . 【解析】 【分析】（1）整理()f x 可得：()sin(2)3f x x πω=+，利用其最小正周期为π即可求得：1ω=，即可求得：()sin(2)3f x x π=+，再利用函数图象平移规律可得：()2sin()23x g x π=+，问题得解. （2）令222232x k k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，解不等式即可求得()g x 的单调递增区间；令23x k ππ+=，k Z ∈，解方程即可求得()g x 的对称中心的横坐标，问题得解. 【详解】解：（1）1()2sin 2sin(2)23f x x x x πωωω=+=+， 由22ππω=,得1ω=. 所以()sin(2)3f x x π=+.于是()y g x =图象对应的解析式为()2sin()23x g x π=+.（2）由222232x k k πππππ-≤+≤+,k Z ∈得 54433k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈ 所以函数()g x 的单调递增区间为54,433k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 由23x k ππ+=，解得22()3x k k ππ=-∈Z .所以()g x 的对称中心为2(2,0)()3k k ππ-∈Z . 【点睛】本题主要考查了二倍角公式、两角和的正弦公式应用及三角函数性质，考查方程思想及转化能力、计算能力，属于中档题．30．（1）(2 )y f x =在[0,]π上的单调递增区间0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）6-【解析】 【分析】（1）先求出()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数的图像和性质求函数(2)y f x =在[0,]π上的单调递增区间；（2）先化简得2()422f x g x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭223x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数的性质求出cos)αβ-（的值得解. 【详解】（1）将()sin g x x =图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到2sin y x =的图象， 再将2sin y x =的图象向左平移3π个单位长度后得到2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(2)2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222232k x k πππππ-++，k ∈Z51212k x k ππππ-+，k ∈Z ,又[0,]x π∈所以(2)y f x =在[0,]π上的单调递增区间0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）2()422f x g x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭24sin 4sin 232x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222cos 24cos 23x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭23cos 22x x =-+223x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.因为2()4222f x g x m π⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭在[0,)π内有两个不同的解α，β，所以23x m π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在[0,)π内有两个不同的解α，β，且52,333x πππ⎡⎫-∈-⎪⎢⎣⎭， 所以2233ππαβπ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或22333ππαβπ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.于是56παβ+=或116παβ+=. 当56παβ+=时，5cos()cos 6παβαα⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5cos 2cos 2632πππαα⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭sin 23πα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭当116παβ+=时， 11cos()cos 6παβαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭113cos 2cos 2632πππαα⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭sin 23πα⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，因此，26cos(22)m αβ--()2262cos ()1m αβ=---22621612m m ⎛⎫=⋅--=- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查三角函数图像的变换和三角函数的单调区间的求法，考查三角函数图像的零点问题，考查三角恒等变换和求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
初中三角函数练习题及答案
初中三角函数练习（一）精心选一选1、在直角三角形中，各边都扩大2倍，则锐角A的正弦值与余弦值都（）A、缩小2倍B、扩大2倍C、不变D、不能确定12、在Rt△ABC中，∠C=900，BC=4，sinA=，则AC=（）A、3B、4C、5D、63、若∠A是锐角，且sinA=，则（）A、00<∠A<300B、300<∠A<450C、450<∠A<600 D、600<∠A<9004、若cosA=，则=（）A、B、C、D、05、在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：1：2，则a：b：c=（）A、1：1：2B、1：1：C、1：1：D、1：1：6、在Rt△ABC中，∠C=900，则下列式子成立的是（）A、sinA=sinBB、sinA=cosBC、tanA=tanB D、cosA=tanB7．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是（）A．sinB=B．cosB=C．tanB=D．tanB=8．点（-sin60°，cos60°）关于y轴对称的点的坐标是（）A．（，） B．（-，） C．（-，-） D．（-，-）9．每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣．•某同学站在离旗杆12米远的地方，当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为30°，•若这位同学的目高1.6米，则旗杆的高度约为（）A．6.9米 B．8.5米 C．10.3米 D．12.0米10．王英同学从A地沿北偏西60o方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地（）（A）m （B）100 m（C）150m （D）m11、如图1，在高楼前点测得楼顶的仰角为，向高楼前进60米到点，又测得仰角为，则该高楼的高度大约为（）A.82米B.163米C.52米D.70米12、一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40o的方向行驶40海里到达B 地，再由B地向北偏西10o的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（）．（A）30海里（B）40海里（C）50海里（D）60海里（二）细心填一填1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则sinB=_____．2．在△ABC中，若BC=，AB=，AC=3，则cosA=________．3．在△ABC中，AB=2，AC=，∠B=30°，则∠BAC的度数是______．4．如图，如果△APB绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A'P'B，且BP=2，那么PP'的长为____________． (不取近似值. 以下数据供解题使用：sin15°=，cos15°=)5．如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°．甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西___________度．6．如图，机器人从A点，沿着西南方向，行了个4单位，到达B点后观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，则原来A的坐标为___________结果保留根号）．7．求值：sin260°+cos260°=___________．8．在直角三角形ABC中，∠A=，BC=13，AB=12，那么___________．9．根据图中所给的数据，求得避雷针CD的长约为_______m（结果精确的到0.01m）．（可用计算器求，也可用下列参考数据求：sin43°≈0.6802，sin40°≈0.6428，cos43°≈0.7341，cos40°≈0.7660，tan43°≈0.9325，tan40°≈0.8391）10．如图，自动扶梯AB段的长度为20米，倾斜角A为α，高度BC为___________米（结果用含α的三角比表示）．(1) (2)11．如图2所示，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，•这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为________米．（•保留两个有效数字，≈1.41，≈1.73）三、认真答一答1，计算：分析：可利用特殊角的三角函数值代入直接计算；2计算：分析：利用特殊角的三角函数值和零指数及负整数次幂的知识求解。
三角函数练习题含答案
三角函数练习题含答案一、填空题1．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .D 、E 是线段AB 上满足条件1()2CD CB CE =+，1()2CE CA CD =+的点，若2CD CE c λ⋅=，则当角C 为钝角时，λ的取值范围是______________2．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，直线PB 与平面ABC 所成角的大小为30，23AB =，60ACB ∠=︒，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为________．3．给出下列命题：①若函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数(2)f x 的定义域为[]0,4； ②函数()tan f x x =在定义域内单调递增；③若定义在R 上的函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，则()f x 是以2为周期的函数；④设常数a ∈R ，函数2log ,04()10,41x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨>⎪-⎩若方程()f x a =有三个不相等的实数根1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，则312(1)x x x +的值域为[64,)+∞．其中正确命题的序号为_____．4．已知函数()()21sin sin ,22bf x x x a a b R =+-+∈，若对于任意x ∈R ，均有()1f x ≤，则a b +的最大值是___________.5．在ABC 中，记角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，面积为S ，则24Sb ac+的最大值为___________.6．在角1θ，2θ，3θ，…，29θ的终边上分别有一点1P ，2P ，3P ，…，29P ，如果点k P 的坐标为()()()sin 15,sin 75k k-+，129k ≤≤，k ∈N ，则12329cos cos cos cos θθθθ+++⋅⋅⋅+=______7．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位，得到()y g x =的图象，则下列有关()f x 与()g x 的描述正确的有___________（填序号）.①()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；②方程()()360,2f x g x x π⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所有根的和为712π；③函数()y f x =与函数()y g x =图象关于724x π=对称. 8．已知平面四边形ABCD 的面积为36，4AB =，3AD =，5BC =，6CD =，则cos()A C +=___________.9．已知||||||1,0,||1OA OB OC OA OB OP ===⋅=≤，则AP BP BP CP CP AP ⋅+⋅+⋅的最大值为__________．10．已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且222a c b ac +-=，则sin cos A C 的最大值为______．二、单选题11．已知双曲线2221(0)y x b b-=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作直线l 交双曲线的右支于A ，B 两点.若11||::3:3:2AB AF BF =，则双曲线的离心率为（ ） A ．333B ．2C ．113D ．1112．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，11AA =，3AB BC ==，1cos 3ABC ∠=，P 是1A B 上的一动点，则1AP PC +的最小值为（ ）A 5B 7C ．13D ．3 13．若对,x y R ∀∈，有()()()4f x y f x f y +=+-，函数2sin ()()cos 1xg x f x x =++在区间[2021,2021]-上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．1614．如图，在正方体ABCD EFGH -中，P 在棱BC 上，BP x =，平行于BD 的直线l 在正方形EFGH 内，点E 到直线l 的距离记为d ，记二面角为A l P --为θ，已知初始状态下0x =，0d =，则（ ）A ．当x 增大时，θ先增大后减小B ．当x 增大时，θ先减小后增大C ．当d 增大时，θ先增大后减小D ．当d 增大时，θ先减小后增大15．已知函数()()3log 911x f x x+=-，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 既不是奇函数也不是偶函数B ．()f x 的图象与sin y x =有无数个交点C ．()f x 的图象与2y =只有一个交点D ．()()21f f -<-16．已知函数()sin os 0(c f x x a x a ωω=+>且0>ω），周期2T π<，()33f π()f x 在6x π=处取得最大值，则ω的最小值为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．1417．已知函数()()sin 302f x x πϕϕ⎛⎫=-<≤ ⎪⎝⎭在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增，现有如下三个结论：①ϕ的最小值为3π； ②当ϕ取得最大值时，将函数()f x 的图像向左平移18π个单位后，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数()g x 的图像，则132g π⎛⎫= ⎪⎝⎭；③函数()f x 在[]0,2π上有6个零点． 则上述结论正确的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．318．函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在区间52[,]63ππ-上单调递增，且存在唯一05[0,]6x π∈，使得0()1f x =，则ω的取值范围为（ ） A ．11[,]52B ．21[,]52C ．14[,]55D ．24[,]5519．设锐角ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且1c =，2A C =，则ABC ∆周长的取值范围为（ ） A ．(0,22)+B ．(0,33)+C ．(22,33)++D ．(22,33]++20．已知1sin ,sin ,sin ,222a x x b x ωωω⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0>ω，若函数1()2f x a b =⋅-在区间(,2)ππ内有零点，则实数ω的取值可能是（ ）A ．18B ．14C ．12D ．34三、解答题21．已知向量()()()3cos ,cos ,sin ,cos 0a x x b x x ωωωωω=-=>，若函数()12f x a b =⋅+的最小正周期为π. （1）求()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程22cos 22cos 23301212a f x x f x x a ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-+--+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦在04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，有实数解，求实数a 的取值范围.22．已知1l ，2l ，3l 是同一平面内自上而下的三条不重合的平行直线.（1）如图1，如果1l 与2l 间的距离是1，2l 与3l 间的距离也是1，可以把一个正三角形ABC 的三顶点分别放在1l ，2l ，3l 上，求这个正三角形ABC 的边长.（2）如图2，如果1l 与2l 间的距离是1，2l 与3l 间的距离是2，能否把一个正三角形ABC 的三顶点分别放在1l ，2l ，3l 上，如果能放，求BC 和3l 夹角θ的正切值并求该正三角形边长；如果不能，试说明理由.（3）如果边长为2的正三角形ABC 的三顶点分别在1l ，2l ，3l 上，设1l 与2l 间的距离为1d ，2l 与3l 间的距离为2d ，求12d d ⋅的取值范围.23．如图，甲、乙两个企业的用电负荷量y 关于投产持续时间t （单位：小时）的关系()y f t =均近似地满足函数()sin()(0,0,0)f t A t b A ωϕωϕπ=++>><<.（1）根据图象，求函数()f t 的解析式；（2）为使任意时刻两企业用电负荷量之和不超过9，现采用错峰用电的方式，让企业乙比企业甲推迟(0)m m >小时投产，求m 的最小值.24．已知()sin ,2cos a x x =，()2sin ,sin b x x =，()f x a b =⋅ （1）求()f x 的解析式，并求出()f x 的最大值；（2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最小值和最大值，并指出()f x 取得最值时x 的值.25．如图，长方形ABCD 中，2,3AB BC ==，点,,E F G 分别在线段,,AB BC DA （含端点）上，E 为AB 中点，⊥EF EG ，设AEG θ∠=.（1）求角θ的取值范围；（2）求出EFG ∆周长l 关于角θ的函数解析式()f θ，并求EFG ∆周长l 的取值范围. 26．如图，在ABC ∆中，90,3,1ABC AB BC ︒∠===，P 为ABC ∆内一点，90BPC ︒∠=.（1）若3PC =，求PA ； （2）若120APB ︒∠=，求ABP ∆的面积S . 27．已知函数22cos 3sin 2f xxx a 的最小值为0.(1)求a 的值及函数()y f x =图象的对称中心；(2)若关于x 的方程()0f x m -=在区间70,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有三个不相等的实数根1x ，2x ，3x ，求m的取值范围及()123tan 2x x x ++的值.28．某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角ΔABC 和以BC 为直径的半圆拼接而成，点P 为半圈上一点（异于B ，C ），点H 在线段BC 上，且满足CH AB ⊥.已知90ACB ∠=︒，1dm AB =，设ABC θ∠=.（1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足ABC PCB ∠=∠，且CA CP +达到最大.当θ为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；（2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足60PBA ∠=︒，且CH CP +达到最大.当θ为何值时，CH CP +取得最大值，并求该最大值.29．已知函数()sin cos cos 63f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为1.（1）求常数a 的值；（2）求函数()f x 的单调递增区间； （3）求使()0f x <成立的实数x 的取值集合.30．已知函数()()sin ,f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02A πωϕ>><<）的图象如图所示：（1）求函数()f x 的解析式及其对称轴的方程；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()23f x a =-有两个不等的实根12,x x ，求实数a 的取值范围，并求此时12x x +的值.【参考答案】一、填空题1．12(,)369-2．20π3．③④4．1-56．07．①③ 8．710##0.7 9．10．12+二、单选题 11．A 12．B 13．B 14．C 15．C 16．C 17．C 18．B 19．C 20．D 三、解答题21．（1）()sin(2)6f x x π=-；（2）1a 或732a +-.【解析】（1）根据向量数量积的坐标运算及三角公式，化简可得()f x 的解析式； （2）先化简()sin 212f x x π+=，利用换元法，设sin 2cos2t x x =-，把目标方程转化为关于t 的方程，分离参数后进行求解.【详解】 （1）因为()()()3cos ,cos ,sin ,cos 0a x x b x x ωωωωω=-=>，所以()2111cos 213sin cos 22222x f x a b x x x x ωωωωω+=⋅+=-+=-+sin(2)6x πω=-.因为()f x 的最小正周期为π，所以22ππω=，即1ω=，所以()sin(2)6f x x π=-. （2）由（1）可知()sin 212f x x π+=.因为2(sin 2cos 2)x x +22sin 22sin 2cos 2cos 2x x x x =++12sin 2cos2x x =+， 222(sin 2cos 2)sin 22sin 2cos 2cos 2x x x x x x -=-+12sin 2cos2x x =-，所以22(sin 2cos2)12sin 2cos211(sin 2cos2)x x x x x x ⎡⎤+=+=+--⎣⎦.令sin 2cos2t x x =-，则22(sin 2cos 2)2x x t +=-，则方程22cos 22cos 23301212a fx x f x x a ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-+--+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦可化为()2222330a t t a ---+=，即22230at t a +--=.因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以sin 2cos 22[1,1]4t x x x π⎛⎫=-=-∈- ⎪⎝⎭.所以由题意可知，方程22230at t a +--=在[1,1]t ∈-时有解； 令2()223g t at t a =+--，当0a =时，()23g t t =-，由()0g t =得32t =（舍）；当0a ≠时，则22230at t a +--=可化为212132t a t-=-，令22132t y t-=-，[1,1]t ∈-，设32u t =-，则1(3),[1,5]2t u u =-∈，2212(3)11(3)222u u y u u⎡⎤--⎢⎥--⎣⎦==⨯1762u u ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，因为7u u+≥u = 当1u =时，7u u+取到最大值8，所以3,1]y ∈，所以13,1]a ∈，解得1a 或732a +-. 所以实数a 的取值范围是1a 或732a +- 【点睛】本题主要考查三角函数的性质，利用向量的坐标运算及三角公式把目标函数化简为最简形式，是这类问题常用求解方向，方程有解问题通常利用分离参数法来解决，侧重考查数学运算的核心素养.22．（1）2 ；（2）能放，tan θ=；（3）(]0,1 【解析】 【分析】（1）根据,A C 到直线2l 的距离相等，可得2l 过AC 的中点M ，2l AC ⊥，从而求得边长2AC AM =的值.（2）假设能放，设边长为a ，BC 与3l 的夹角θ，不妨设060θ<≤，可得sin 2a θ=，()sin 601a θ-=，两式相比化简可得sin θa 的值，从而得出结论. （3）利用两角和差的正弦、余弦公式化简()124sin 60sin d d θθ⋅=-为()2sin 2301θ+-，再根据正弦函数的定义和值域求出12d d ⋅的取值范围. 【详解】 （1）,A C 到直线2l 的距离相等，∴2l 过AC 的中点M ， ∴2l AC ⊥， ∴边长22AC AM ==（2）假设能放，设边长为a ，BC 与3l 的夹角θ， 由对称性，不妨设060θ<≤， ∴sin 2a θ=，()sin 601a θ-=，两式相比可得：()sin 2sin 60θθ=-，即sin sin θθθ-，2sin θθ∴=，tan θ∴=，sin θ∴=，故边长3a ==， 综上可得，能放.（3）()1214sin 60sin 4sin sin 2d d θθθθθ⎫⋅=-=-⎪⎪⎝⎭()1cos 2222sin 23012θθθ⎫+=-=+-⎪⎪⎝⎭. 060θ<≤，30230150θ∴<+≤，()1sin 23012θ≤+≤， 所以()02sin 23011θ≤+-≤， 又10d >，20d >，所以(]120,1d d ⋅∈. 【点睛】本题是一道考查三角函数应用的题目，解题的关键是掌握等边三角形的性质以及三角函数的恒等变换，属于中档题.23．（1）()sin 462f t t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（2）4【解析】 【分析】 （1）由212T πω==，得ω，由53A b b A +=⎧⎨-=⎩，得A ，b ，代入(0,5)，求得ϕ，从而即可得到本题答案；（2）由题，得()()cos ()cos 8966f t m f t t m t ππ⎡⎤⎛⎫++=+++≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭恒成立，等价于cos ()cos 166t m t ππ⎡⎤⎛⎫++≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭恒成立，然后利用和差公式展开，结合辅助角公式，逐步转化，即可得到本题答案. 【详解】（1）解：由图知212T πω==，6πω∴=又53A b b A +=⎧⎨-=⎩，可得41b A =⎧⎨=⎩ ()sin 46f t t πϕ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭，代入(0,5)，得22k πϕπ=+，又0ϕπ<<，2πϕ∴=所求为()sin 462f t t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）设乙投产持续时间为t 小时，则甲的投产持续时间为()t m +小时，由诱导公式，企业乙用电负荷量随持续时间t 变化的关系式为：()sin 4cos 4626f t t t πππ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭同理，企业甲用电负荷量变化关系式为：()cos ()46f t m t m π⎡⎤+=++⎢⎥⎣⎦两企业用电负荷量之和()()cos ()cos 866f t m f t t m t ππ⎡⎤⎛⎫++=+++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，0t ≥依题意，有()()cos ()cos 8966f t m f t t m t ππ⎡⎤⎛⎫++=+++≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭恒成立即cos ()cos 166t m t ππ⎡⎤⎛⎫++≤⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭恒成立 展开有cos 1cos sin sin 16666m t m t ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦恒成立cos 1cos sin sin cos 66666m t m t A t πππππϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦其中，A =cos 16cos m Aπϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，sin 6sin m A πϕ=1A ∴=≤ 整理得：1cos 62m π⎛⎫≤- ⎪⎝⎭解得2422363k m k πππππ⎛⎫+≤≤+ ⎪⎝⎭ 即124128k m +≤≤+取0k =得：48m ≤≤m ∴的最小值为4.【点睛】本题主要考查根据三角函数的图象求出其解析式，以及三角函数的实际应用，主要考查学生的分析问题和解决问题的能力，以及计算能力，难度较大.24．（1）()fx 214x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭1.（2）0x =时，最小值0.38x π=1.【解析】【分析】（1）利用数量积公式、倍角公式和辅助角公式，化简()f x ，再利用三角函数的有界性，即可得答案；（2）利用整体法求出32444x πππ-≤-≤，再利用三角函数线，即可得答案. 【详解】 （1）()22sin 2sin cos f x x x x =+1cos2sin2x x =-+214x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ∴sin 214x π⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭， ()f x ∴1.（2）由（1）得()214f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， ∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，32444x πππ∴-≤-≤.sin 2124x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭， ∴当244x ππ-=-时，即0x =时，()f x 取最小值0.当242x ππ-=，即38x π=时，()f x 1. 【点睛】本题考查向量数量积、二倍角公式、辅助角公式、三角函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意整体法的应用.25．（1）[,]63ππ（2）1sin cos ()sin cos f θθθθθ++=，[,]63ππθ∈，EFG ∆周长l 的取值范围为1)]【解析】（1）结合图像可得当点G 位于D 点时，角θ取最大值，点F 位于C 点时，BEF ∠取最大值，角θ取最小值，在直角三角形中求解即可.（2）在Rt ΔEAG 中，求出1cos EG θ=，在Rt ΔEBF 中，求得1sin EF θ=，在Rt ΔGEF 中，根据勾股定理得222FG EF EG =+，从而可得111()cos sin sin cos f θθθθθ=++，通分可得1sin cos ()sin cos f θθθθθ++=，令sin cos t θθ=+，借助三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）由题意知，当点G 位于D 点时，角θ取最大值，此时tan θ=02πθ<<，所以max 3πθ=当点F 位于C 点时，BEF ∠取最大值，角θ取最小值， 此时=3BEF π∠，所以min 236πππθ=-=故所求θ的取值集合为[,]63ππ （2）在Rt ΔEAG 中，cos AE EG θ=，1AE =，所以1cos EG θ= 在Rt ΔEBF 中，cos cos()2BE BEF EF πθ∠=-=，1BE =，所以1sin EF θ= 在Rt ΔGEF 中，有勾股定理得222FG EF EG =+2222222211sin cos 1sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθ+=+== 因为[,]63ππθ∈，所以sin 0,cos 0θθ，1sin cos FG θθ= 所以111()cos sin sin cos f EG EF FG θθθθθ=++=++ 所以1sin cos ()sin cos f θθθθθ++=，[,]63ππθ∈ 令sin cos t θθ=+，则21sin cos 2t θθ-=所以22(1)211t l t t +==-- 因为[,]63ππθ∈，57[,]41212πππθ+∈，所以sin()4πθ+∈所以sin cos )4t πθθθ=+=+∈所以EFG ∆周长l 的取值范围为1)]【点睛】 本题考查了三角函数的在平面几何中的应用，主要考查了辅助角公式以及换元法求三角函数的值域，属于中档题.26．（1；（2 【解析】【分析】（1）求出12BP ==，,36CBP ABP ππ∠=∠=，ABP ∆中由余弦定理即可求得PA ；（2）设PBA α∠=，利用正弦定理表示出()sin120sin 60AB PB =︒︒-α，求得tan α=，利用面积公式即可得解.【详解】（1）在ABC ∆中，90,1ABC AB BC ︒∠===，2AC =P 为ABC ∆内一点，90BPC ︒∠=，PC =，所以12BP =， CBP ∆中，由余弦定理得：2221cos 22BP BC PC CBP BP BC +-∠==⋅ 所以,36CBP ABP ππ∠=∠=ABP ∆中，由余弦定理得：AP==； （2）120APB ︒∠=，设0,,90,602PBA PBC PAB π⎛⎫∠=α∈∠=︒-α∠=︒-α ⎪⎝⎭， 在Rt PBC ∆中，sin sin PB BC =⋅α=α，在PBA ∆中，由正弦定理()sin120sin 60AB PB =︒︒-α，即()sin 2sin 60α=︒-α，sin sin α=α-α，所以3tan 2α=，33sin ,77PB α== ABP ∆的面积11sin 32233331477S AB PB α=⋅=⨯⨯=⨯. 【点睛】此题考查解三角形，对正余弦定理的综合使用，涉及两角差的正弦公式以及同角三角函数关系的使用，综合性较强.27．(1)1，,2212k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，k Z ∈；(2)[)3,4，3-. 【解析】（1）由题得()2sin 216f x x a π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，求出a 的值即得函数()y f x =图象的对称中心；（2）作出函数()y f x =在70,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的大致图象，求出123523x x x π++=即得解. 【详解】(1)()cos 23sin 212sin 216x x a x a f x π⎛⎫=+++=+++ ⎪⎝⎭， 由已知可得()2110a ⨯-++=，∴1a =，()2sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 令26x k ππ+=可得()y f x =图象的对称中心为,2212k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，k Z ∈. (2)()y f x =在70,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的大致图象如图所示，由图可得[)3,4m ∈， 所以123x x π+=，2343x x π+=，所以123523x x x π++=， 所以()1235tan 2tan33x x x π++==-.【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图象和性质，考查三角函数图象的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.28．（1）π6θ=（2）当π12θ=，CH CP +【解析】 （1）设ABC PCB θ∠=∠=，则在直角ΔABC 中，sin AC θ=，cos BC θ=，计算得到2sin sin 1AC CP θθ+=-++，计算最值得到答案.（2）计算sin cos CH θθ=⋅，得到πsin 23CH CP θ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭. 【详解】（1）设ABC PCB θ∠=∠=，则在直角ΔABC 中，sin AC θ=，cos BC θ=.在直角ΔPBC 中，2cos cos cos cos PC BC θθθθ=⋅=⋅=，sin sin cos sin cos PB BC θθθθθ=⋅=⋅=.22sin cos sin 1sin AC CP θθθθ+=+=+-2sin sin 1θθ=-++，π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以当1sin 2θ=，即π6θ=，AC CP +的最大值为54. （2）在直角ΔABC 中，由1122ABC S CA CB AB CH ∆=⋅=⋅， 可得sin cos sin cos 1CH θθθθ⋅==⋅. 在直角ΔPBC 中，πsin 3PC BC θ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭ππcos sin cos cos sin 33θθθ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，所以1sin cos cos sin 2CH CP θθθθθ⎫+=+-⎪⎪⎝⎭，π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以211sin 2sin cos 22CH CP θθθθ+=-11πsin 22sin 2423θθθ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭所以当π12θ=，CH CP + 【点睛】本题考查了利用三角函数求最值，意在考查学生对于三角函数知识的应用能力. 29．（1）1a =-（2）22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（3）422|,3k x k k Z x πππ-+<<∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】（1）化简()f x ，求最大值，即可求解；（2）应用整体思想，结合正弦函数的递增区间，即可得出结论；（3）运用正弦函数图像，即可求解.【详解】 解：()sin cos cos sin cos cos sin sin cos 6633f x x x x x x a ππππ=-++++11cos cos cos 22x x x x x a =-+++cos x x a =++12cos 2x x a ⎫=++⎪⎪⎝⎭2sin 6x a π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （1）函数()f x 的最大值为21a +=，所以1a =-.（2）由22,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈， 解得222,33k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 所以()f x 的单调递增区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. （3）由（1）知()2sin 16f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. 因为()0f x <，即2sin 106x π⎛⎫+-< ⎪⎝⎭. 所以1sin 62x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭， 所以722,666k x k k Z πππππ-+<+<+∈. 所以422,3k x k k Z πππ-+<<∈， 所以使()0f x <成立的x 的取值集合为422|,3k x k k Z x πππ-+<<∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查三角函数恒等变换，化简解析式，考查三角函数的性质以及三角不等式，属于中档题.30．（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()62k x k Z ππ=+∈；（2）522a ≤<，3π. 【解析】【分析】（1）根据图像得A=2,利用412562T πππω=-=，求ω值，再利用6x π=时取到最大值可求φ，从而得到函数解析式，进而求得对称轴方程；（2）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，方程f （x ）＝2a ﹣3有两个不等实根转为f （x ）的图象与直线y ＝2a ﹣3有两个不同的交点，从而可求得a 的取值范围，利用图像的性质可得12x x +的值.【详解】（1）由图知，2,A =4156242=T ππππω=-=,解得ω=2，f(x)=2sin(2x+φ), 当6x π=时，函数取得最大值，可得2sin 226πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2,32k k Z ππϕπ+=+∈，解得2,6k k Z πϕπ=+∈ ，又(0,)2πϕ∈所以6π=ϕ， 故()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令262x k πππ+=+则()62k x k Z ππ=+∈， 所以()f x 的对称轴方程为()62k x k Z ππ=+∈； （2）70,2,2666x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以方程()23f x a =-有两个不等实根时，()y f x =的图象与直线23y a =-有两个不同的交点，可得1232,a ≤-<522a ∴≤<, 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()12f x f x =，有122266x x πππ+++=， 故123x x π+=.【点睛】 本题考查由y ＝A sin （ωx +φ）的部分图象确定函数解析式，考查函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象及性质的综合应用，属于中档题．。
(完整)三角函数习题及答案
第四章 三角函数§4-1 任意角的三角函数一、选择题：1．使得函数lg(sin cos )y θθ=有意义的角在( ）（Ａ）第一，四象限 （Ｂ）第一，三象限 （Ｃ）第一、二象限 （Ｄ）第二、四象限 ２．角α、β的终边关于У轴对称，（κ∈Ζ)。
则（Ａ）α＋β＝２κπ （Ｂ）α－β＝２κπ（Ｃ）α＋β＝２κπ－π （Ｄ）α－β＝２κπ－π ３．设θ为第三象限的角，则必有（ ）（Ａ）tan cot 22θθ(Ｂ）tan cot 22θθ （Ｃ）sin cos 22θθ（Ｄ）sin cos 22θθ４．若4sin cos 3θθ+=-,则θ只可能是（ ）（Ａ）第一象限角 （Ｂ）第二象限角 （C ）第三象限角 （Ｄ)第四象限角５．若tan sin 0θθ且0sin cos 1θθ+，则θ的终边在（ ）(A)第一象限 (B)第二象限 （C)第三象限 （D ）第四象限 二、填空题：6．已知α是第二象限角且4sin 5α= 则2α是第▁▁▁▁象限角，2α是第▁▁▁象限角.7．已知锐角α终边上一点A 的坐标为（2sina3,-2cos3),则α角弧度数为▁▁▁▁。
8．设1sin ,(,)sin y x x k k Z xπ=+≠∈则Y 的取值范围是▁▁▁▁▁▁▁。
9．已知cosx-sinx<-1,则x 是第▁▁▁象限角。
三、解答题：10．已知角α的终边在直线y =上,求sin α及cot α的值。
11．已知Cos(α+β）+1=0, 求证：sin （2α+β)+sin β=0。
12．已知()()cos ,5n f n n N π+=∈,求ƒ(1）+ƒ（2）+ƒ（3)+……+ƒ（2000）的值. §4-2 同角三角函数的基本关系式及诱导公式一、选择题：1．()sin 2cos 22ππ⎛⎫--- ⎪⎝⎭化简结果是（ ）(A)0 （B ）1- (C)2sin 2 ()2sin 2D -2．若1sin cos 5αα+=,且0απ，则tan α的值为（ ） ()43A - ()34B - ()34C ()43D -或34-3. 已知1sin cos 8αα=，且42ππα，则cos sin αα-的值为（ )(A ()34B ()C ()D ±4. 已知4sin 5α=，并且α是第一象限角，则tan α的值是（ ） ()43A - ()34B - ()34C ()43D5.的结果是（ )()0cos100A ()0cos80B ()0sin80C ()0cos10D6. 若cot ,(0)m m α=≠且cos α,则角α所在的象限是（ ）(A ）一、二象限 （B ）二、三象限 （C)一、三象限 （D ）一、四象限 填空题：7．化简()()()21sin 2sin 2cos αππαα+-+--=▁▁▁▁▁▁。
三角函数练习题附答案
三角函数练习题附答案一、填空题1．设1F ,2F 分别是椭圆2222:1(0)x yE a b a b+=>>的左､右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，11||3||AF BF =，若23cos 5AF B ∠=，则椭圆E 的离心率为___________.2．如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥爬行一周后回到点P 处，若该小虫爬行的最短路程为43，则这个圆锥的体积为___________.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，1a =，34A π=，若b c λ+有最大值，则实数λ的取值范围是_____．4．在ABC 中，7AB =3BC =1cos 7BAC ∠=，动点D 在ABC 所在平面内且2π3BDC ∠=．给出下列三个结论：①BCD △3②线段AD 的长度只有最小值，无最大值，且最小值为1；③动点D 的轨迹的长度为8π3．其中正确结论的序号为______．5．已知函数23tan ,,,2332()63233,,33x x f x x ππππππ⎧⎛⎤⎛⎫∈-⋃ ⎪⎪⎥⎝⎦⎝⎭⎪=⎨⎛⎤⎪+∈ ⎥⎪⎝⎦⎩若()f x 在区间D 上的最大值存在，记该最大值为{}K D ，则满足等式{[0,)}3{[,2]}K a K a a =⋅的实数a 的取值集合是___________. 6．已知点A 为直线:3l y x =上一点，且A 位于第一象限，点()10,0B ，以AB 为直径的圆与l 交于点C (异于A )，若60CBA ∠≥，则点A 的横坐标的取值范围为___________.7．在ABC 中，AB BC ≠，O 为ABC 的外心，且有23AB BC AC +=，sin (cos 3)cos sin 0C A A A +=，若AO x AB y AC =+，,x y R ∈，则2x y -=________．8．在ABC 中，sin 2sin B C =，2BC =.则CA CB ⋅的取值范围为___________.（结果用区间表示）9．若向量x y ，满足2212x y +=，则21||2x x y ++的最大值是___________. 10．△ABC 内接于半径为2的圆，三个内角A ，B ，C 的平分线延长后分别交此圆于1A ，1B ，1C .则111coscos cos 222sin sin sin A B C AA BB CC A B C++++的值为_____________.二、单选题11．已知函数()()2212sin 2,2212,x a x af x x a x a x a π⎧⎡⎤⎛⎫-+<⎪ ⎪⎢⎥=⎝⎭⎨⎣⎦⎪-+++≥⎩，若函数()f x 在[)0,∞+内恰有5个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．75,42⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．75,2,342⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．75,22,42⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12．已知函数()sin 4f x x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0)>ω在区间[0,]π上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：①()f x 在区间(0,)π上有且仅有3个不同的零点； ②()f x 的最小正周期可能是2π； ③ω的取值范围是131744⎡⎫⎪⎢⎣⎭，；④()f x 在区间0,15π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增． 其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①④B ．②③C ．②④D ．②③④13．若函数()f x 同时满足：①定义域内任意实数x ，都有()()110f x f x ++-=；②对于定义域内任意1x ，2x ，当12x x ≠时，恒有()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦；则称函数()f x 为“DM 函数”.若“DM 函数”满足()()2sin cos 0f f αα-+>，则锐角α的取值范围为（ ） A ．0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭14．已知ABC 的内角分别为,,A B C ，23cos 1sin 26A A =-，且ABC 的内切圆面积为π，则AB AC ⋅的最小值为（ ） A ．6B ．8C ．10D ．1215．已知(){}|sin ,A y y n n Z ωϕ==+∈，若存在ϕ使得集合A 中恰有3个元素，则ω的取值不可能是（ ） A ．27π B ．25πC ．2π D ．23π16．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，11AA =，3AB BC ==，1cos 3ABC ∠=，P 是1A B 上的一动点，则1AP PC +的最小值为（ ）A 5B 7C ．13+D ．317．在ABC 中，60BAC ∠=，3BC =，且有2CD DB =，则线段AD 长的最大值为（ ） A 13B ．2 C 31 D ．318．在三棱锥S ABC -中，侧棱SA ，SB ，SC 两两垂直，且2SA SB SC +==.设SA x =，该三棱锥的表面积为函数()y f x =，以下判断正确的是（ ） A ．()f x 为常数 B ．()f x 有极小值 C ．()f x 有极大值D ．()f x 是单调函数19．已知1sin ,sin ,sin ,222a x x b x ωωω⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0>ω，若函数1()2f x a b =⋅-在区间(,2)ππ内有零点，则实数ω的取值可能是（ ）A ．18B ．14C ．12D ．3420．若函数()()11,0sin ,0133,1x x x f x x x x ππ⎧-++≤⎪=-<<⎨⎪-≥⎩，满足()()()()()f a f b f c f d f e ====且a 、b 、c 、d 、e 互不相等，则a b c d e ++++的取值范围是（ ）A ．340,log 9⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．390,log 4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．340,log 3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．330,log 4⎛⎫ ⎪⎝⎭三、解答题21．（1）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，R 表示ABC ∆的外接圆半径. ①如图，在以O 圆心、半径为2的圆O 中，BC 和BA 是圆O 的弦，其中2BC =，45ABC ∠=︒，求弦AB 的长；②在ABC ∆中，若C ∠是钝角，求证：2224a b R +<；（2）给定三个正实数a 、b 、R ，其中b a ≤，问：a 、b 、R 满足怎样的关系时，以a 、b 为边长，R 为外接圆半径的ABC ∆不存在、存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在ABC ∆存在的情况下，用a 、b 、R 表示c .22．若函数()y f x =的图像上存在两个不同的点关于y 轴对称，则称函数()y f x =图像上存在一对“偶点”．（1）写出函数()sin f x x =图像上一对“偶点”的坐标；（不需写出过程） （2）证明：函数()ln(2)2g x x x =+-+图像上有且只有一对“偶点”；（3）若函数()2()x h x e mx m =--∈R 图像上有且只有一对“偶点”，求m 的取值范围．23．已知函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向左平移2π个单位长度后与函数()()cos 22g x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭图象重合.（1）求ω和ϕ的值；（2）若函数()88h x f x g x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求函数()h x 的单调递减区间及图象的对称轴方程.24．已知函数2()6f x x ax =--(a 为常数，a R ∈).给你四个函数：①1()21g x x =+；②2()3xg x =；③32()log g x x =；④4()cos g x x =. （1）当5a =时，求不等式2(())0f g x ≥的解集；（2）求函数4(())y f g x =的最小值；（3）在给你的四个函数中，请选择一个函数(不需写出选择过程和理由)，该函数记为()g x ，()g x 满足条件：存在实数a ，使得关于x 的不等式(())0f g x ≤的解集为[,]s t ，其中常数s ，t R ∈，且0s >.对选择的()g x 和任意[2,4]x ∈，不等式(())0f g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.25．已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =+，x ∈R ． （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值，并求出取得最值时的x 的值．26．已知函数()()2cos 3sin cos 1f x xx x =+-．（1）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值；（2）若()85f x =-，2,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求cos2x 的值；（3）若函数()()0y f x ωω=>在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递增函数，求正数ω的取值范围．27．已知向量33cos ,sin 22a x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（1）求a ·b 及||a b +；（2）若3()||2f x a b a b =⋅-+，求()f x 的最小值28．已知函数()()()2331?0f x cos x sin x cos x ωωωω=+-->，()12 1()3f x f x ==-，，且12min 2x x π-=.（1）求()f x 的单调递减区间； （2）若()237,,,sin 33235,25f ππβπαβαβ⎛⎫⎛⎫∈-=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求2f α⎛⎫⎪⎝⎭的值. 29．在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且32sin a c A = (Ⅰ)确定角C 的大小： （Ⅱ）若c ＝,且△ABC 的面积为,求a ＋b 的值．30．函数()sin()16f x A x πω=-+（0,0A ω>>）的最大值为3， 其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π， （1）求函数()f x 的解析式；（2）设π(0,)2α∈，则()22f α=，求α的值【参考答案】一、填空题123．⎝ 4．①③5．47,912ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭6．)1⎡++∞⎣ 7．4333-8．8,83⎛⎫ ⎪⎝⎭9 10．4 二、单选题 11．D 12．B 13．A 14．A 15．A 16．B 17．C 18．A 19．D 20．C 三、解答题21．（1）②证明见解析，（2）见解析.【解析】 【分析】（1）①由正弦定理知2sin sin sin AB b aR C B A===，根据题目中所给的条件可求出AB 的长； ②若C ∠是钝角，则其余弦值小于零，由余弦定理得2222(2)a b c R +<<，即可证出结果；（2）根据图形进行分类讨论判断三角形的形状与两边,a b 的关系，以及与直径的大小的比较，分三类讨论即可. 【详解】（1）①解：因为1sin 22a A R ==，角A 为锐角，所以30A =︒ 因为45ABC ∠=︒，所以105C =︒由正弦定理得，2sin1054sin 75AB R =︒=︒②证明：因为C ∠是钝角，所以cos 0C <，且cos 1C ≠-所以222cos 02a b c C ab +-=<，所以2222(2)a b c R +<<， 即2224a b R +<（2）当2a R >或2a b R ==时，ABC ∆不存在当2a R b a =⎧⎨<⎩时，90A =︒，ABC ∆存在且只有一个所以c =当2a R b a <⎧⎨=⎩时，A B ∠=∠且都是锐角，sin sin 2a A B R ==时，ABC ∆存在且只有一个所以2sin c R C ==当2b a R <<时，B 总是锐角，A ∠可以是钝角，可以是锐角 所以ABC ∆存在两个当90A ∠<︒时，c =当90A ∠>︒时， c =【点睛】此题考查三角形中的几何计算，综合考查了三角形形状的判断然，三角形的外接圆等知识，综合性强，属于难题.22．（1）()(),0,0ππ-（2）见解析（3）()1,+∞ 【解析】（1）根据题意即正弦函数的性质即可直接求解；（2）要证：函数数()2x h x e mx =--图象上有且只有一对“偶点”，只需证：())()()y Q x g x g x ==--=在(0,2)上有且只有一个零点，结合导数及函数的性质即可证明；（3）由题意，问题可转化为函数()()y h x h x =--只有一个零点，结合函数的性质及导数可求． 【详解】（1）函数()sin f x x =图像上一对“偶点”的坐标为()(),0,0ππ-， （2）设()()()()()ln 2ln 22Q x g x g x x x x =--=+--+-， 因为()y Q x =的定义域为()2,2-，且()()Q x Q x -=-， 所以函数()y Q x =为奇函数，要证：函数()ln(2)2g x x x =+-+图像上有且只有一对“偶点”， 只需证：()y Q x =在()0,2上有且只有一个零点， 令()()222204x Q x x -'==-，得x =所以，函数()Q x 在(上为单调减函数，在)2上为单调增函数，(ln 30Q=+-<，4441122ln 40Q e e e ⎛⎫⎛⎫-=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()Q x 在41e ⎫-⎪⎭上有且只有一个零点，所以函数()ln(2)2g x x x =+-+图像上有且只有一对“偶点”，（3）设()()()2x xF x h x h x e e mx -=--=--，()00F =，因为()y F x =的定义域为R ，且()()F x F x -=-， 所以函数()y F x =为奇函数，因为函数()2()x h x e mx m =--∈R 图像上有且只有一对“偶点”， 所以函数()y F x =在()0,∞+有且只有一个零点， ()12x xF x e m e '=+-，()0,x ∈+∞， ①当1m 时，因为()220F x m '>-≥，所以函数()y F x =在()0,∞+上为单调增函数，所以()()00F x F >=， 所以函数()F x 在()0,∞+无零点，②当1m 时，由()212120x x xx xe me F x e m e e -+'=+-==，得：(0ln x m =，所以函数()y F x =在()00,x 上单调减函数，在()0,x +∞上单调增函数， 所以()()000F x F <=， 设()ln H x x x =-，()1xH x x-'=，所以函数()H x 在()0,1上单调增函数，在()1,+∞上单调减函数， 所以()()110H x H ≤=-<，所以ln x x <，所以(ln ln 22m m m +<<，设()()211x m x e x x =-->，设()()2xM x m x e x '==-， 因为()220xM x e e '=->->，所以函数()M x 在()1,+∞单调增函数，所以()()120M x M e >=->，所以函数()m x 在()1,+∞单调增函数， 所以()()120m x m e >=->，所以当1x >时，21x e x >+， ()22222124140m m m F m e m e m e=-->-->， 因为函数()y F x =在()0,x +∞上单调增函数，所以函数()F x 在()0,2x m 上有且仅有一个1x ，使得()10F x =， 综上：m 的取值范围为()1,+∞. 【点睛】本题中综合考查了函数的性质及导数的综合应用，体现了分类讨论思想的应用，试题具有一定的综合性． 23．（1）2ω=，3πϕ=；（2）减区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，对称轴方程为()212k x k Z ππ=+∈ 【解析】 【分析】(1)先根据平移后周期不变求得2ω=,再根据三角函数的平移方法求得3πϕ=即可.(2)根据(1)中()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()cos 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭代入可得()h x ,利用辅助角公式求得()23h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,再代入调递减区间及图象的对称轴方程求解即可.【详解】（1）因为函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向左平移2π个单位长度后与函数()()cos 22g x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭图象重合,所以2ω=.5sin 2sin 2cos 222663f x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以()cos 2cos 23x x πϕ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,因为2πϕ<,所以3πϕ=.（2）由（1）()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()cos 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以()88h x f x g x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,sin 2cos 2212123x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令()3222232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈,解得()71212k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以函数的单调递减区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 令()232x k k Z πππ+=+∈,可得图象的对称轴方程为()212k x k Z ππ=+∈. 【点睛】本题主要考查了三角函数的平移运用以及辅助角公式.同时也考查了根据三角函数的解析式求解单调区间以及对称轴等方法.属于中档题.24．（1）[31log 2,)++∞；（2）2min–5,26,2245,2a a ay a a a -≥⎧⎪⎪=---<<⎨⎪-≤-⎪⎩；（3）1a ≥-. 【解析】（1）令()2u g x =，则()0f u ≥的解为1u ≤-或6u ≥，由后者可得2(())0f g x ≥的解. （2）令()4t g x =，则[1,1]t ∈-，分类讨论后可求26y t at =--，[1,1]t ∈-的最小值，该最小值即为原来函数的最小值.（3）取()32()log g x g x x ==，可以证明()g x 满足条件，再利用换元法考虑任意[2,4]x ∈，不等式(())0f g x ≤恒成立可得实数a 的取值范围. 【详解】（1）当5a =时，()256f x x x =--.令()2u g x =，因为2560u u --≥的解为1u ≤-或6u ≥， 所以31x ≤-（舍）或36x ≥，故31log 2x ≥+， 所以2(())0f g x ≥的解集为[31log 2,)++∞. （2）令()4cos ,t g x x x R ==∈，则[1,1]t ∈-，函数4(())y f g x =的最小值即为()26h t t at =--，[1,1]t ∈-的最小值.当()1,12a ∈-即22a -<<时， ()2min 64a h t =--.当12a ≤-即2a ≤-时，()min 5h t a =-； 当12a >即2a >时， ()min –5h t a =-. 故2min –5,26,2245,2a a a y a a a -≥⎧⎪⎪=---<<⎨⎪-≤-⎪⎩. （3）取()32()log g x g x x ==，令2log u x =，设260u au --≤的解集为闭区间[]12,u u ，由12u u u ≤≤得1222u u x ≤≤，故(())0f g x ≤的解集为122,2u u ⎡⎤⎣⎦，取12u s =，则0s >，故()g x 满足条件.当[2,4]x ∈时，2[]1,u ∈，故()0f u ≤在[1,2]上恒成立，故2211602260a a ⎧-⨯-≤⎨--≤⎩，解得1a ≥-， 所以实数a 的取值范围是1a ≥-.【点睛】本题考查复合函数的性质及复合函数对应的不等式的解与恒成立问题，此类问题可通过换元法把复合函数问题转化为二次函数的最值问题或恒成立问题，本题有一定综合性，是难题.25．（1）π；（2）()()min max ππ,0,,148x f x x f x =-===. 【解析】(1) 函数()f x 解析式去括号后利用二倍角的正弦、余弦公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出w 的值，代入周期公式即可求出最小正周期;(2)根据x 的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出()f x 的值域，进而求出()f x 的最小值与最大值..【详解】（1）()()π2cos sin cos sin2cos21214f x x x x x x x ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭， 因此，函数()f x 的最小正周期πT =．（2） 因为ππ44x -≤≤ 所以ππ3π2444x -≤+≤,sin 24x π⎡⎤⎛⎫∴+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，即()1f x ⎡⎤∈⎣⎦， 所以当244x ππ+=-，即4x π=-时，()min 0f x =， 当242x ππ+=，即8x π=时，()max 1f x =.所以4x π=-时，()min 0f x =，8x π=时，()max 1f x . 【点睛】 此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键,是中档题.26．（I ）1-；（II ；（III ）10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ 【解析】【分析】 将()f x 整理为2sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（I ）利用x 的范围求得26x π+的范围，结合sin x 的图象可求得最值；（II ）利用()85f x =-可求得sin 26x ；结合角的范围和同角三角函数关系可求得cos 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭；根据cos 2cos 266x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用两角和差余弦公式可求得结果；（III ）利用x 的范围求得26x πω+的范围，从而根据sin x 单调递增区间构造出关于ω的不等式组，解不等式组再结合0>ω即可得到结果.【详解】()2cos 2cos 12cos 22sin 26f x x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭ （I ）0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 72,666x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦[]2sin 21,26x π⎛⎫∴+∈- ⎪⎝⎭ ()f x ∴在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为：1- （II ）由题意得：82sin 265x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 4sin 265x π⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭ 2,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 3132,626x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦ 3cos 265x π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭ cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦341552=⨯（III ）()2sin 26f x x πωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,6366x πωπππωωπ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦2622362k k ππωππωππππ⎧+≤+⎪⎪∴⎨⎪+≥-⎪⎩，k Z ∈，解得：12362k k ωω⎧≤+⎪⎨⎪≥-⎩，k Z ∈ 0ω>，可知当0k =时满足题意，即103ω<≤ω∴的取值范围为：10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查正弦型函数的值域求解、单调性应用、三角恒等变换公式应用、同角三角函数关系等问题.关键是能够利用二倍角公式和辅助角公式将函数化为()sin A x ωϕ+的形式，从而通过整体对应的方式来研究函数的值域和性质.27．（1）见解析；（2）178-. 【解析】【分析】（1）运用向量数量积的坐标表示，求出a ·b ；运用平面向量的坐标运算公式求出a b +，然后求出模．（2）根据上（1）求出函数()f x 的解析式，配方，利用二次函数的性质求出最小值．【详解】（1）33cos cos sin sin cos22222x x a b x x x ⋅=⋅-⋅= cosa b⎛+= ⎝=∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴cos 0x ∴2cos a b x += （2）()cos23cos f x x x =- 223172cos 13cos 2cos 48x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭ ∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴0cos 1x ∴()min 317cos 48x f x ==- 【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标表示，以及平面向量的坐标加法运算公式．重点是二次函数求最小值问题．28．(1) 单调递减区间为7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； (2) 15. 【解析】【分析】（1）根据题意求出函数()f x 的解析式，然后可求出它的单调递减区间．（2）结合条件求出()424sin ,cos 3525πβαβ⎛⎫-=+=- ⎪⎝⎭，然后由()2sin 12sin 1233f αππααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦可得结果． 【详解】（1）()2()1f x cos x sin x x ωωω=221sin xcos x x ωωω=+221)1sin x cos x ωω=--221sin x x ωω=-2(2)13sin x πω=+-． ∵1(2)13sin x πω-≤+≤， ∴32(2)113sin x πω-≤+-≤， ∴()f x 的最大值为1，最小值为3-．又()()121,3f x f x ==-，且12min 2x x π-=， ∴函数()f x 的最小正周期为22ππ⨯=，∴1ω=， ∴()2(2)13f x sin x π=+-． 由3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 得7,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， ∴()f x 的单调递减区间为7[,],1212k k k Z ππππ++∈． （2）由（1）得3212335f sin βππβ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴4sin 35πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ∵2,33ππβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴0,33ππβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∴3cos 35πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭． ∵()7sin 25αβ+=-且2,,33ππαβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴24,33ππαβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴()24cos 25αβ+==-． ∴()2sin 12sin 1233f αππααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()()2sin cos cos sin 133ππαββαββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+--+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 7324421255255⎡⎤⎛⎫=⨯-⨯--⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦15=． 【点睛】（1）解答有关三角函数性质的有关问题时，首项把函数解析式化为(x)Asin(x )f ωϕ=+的形式，然后再结合正弦函数的相关性质求解，解题时注意系数,A ω对结果的影响． （2）对于三角变换中的“给值求值”问题，在求解过程中注意角的变换，通过角的“拆”、“拼”等手段转化为能应用条件中所给角的形式，然后再利用整体思想求解．29．(Ⅰ) 3π（Ⅱ）5 【解析】【详解】试题分析：（12sin sin A C A =即可得sin C =60C =︒（2）∵1sin 2S ab C ==a b + 试题解析：解：（12sin sin A C A =，∵,A C 是锐角，∴sin C =60C =︒.（2）∵1sin 2S ab C ==6ab = 由余弦定理得222222cos ()3()187c a b ab C a b ab a b =+-=+-=+-=∴5a b +=点睛：在解三角形问题时多注意正余弦定理的结合运用，正弦定理主要用在角化边和边化角上，而余弦定理通常用来求解边长30．（1）()2sin(2) 1.6f x x π=-+；（2）3π. 【解析】【详解】（1）由三角函数性质得,最大值为A+1=3,∴A=2， 周期2222πππωω⨯==⇒=，∴f （x ）=2sin （2x-6π）+1（2）π(0,)2α∈，f （2α）=2 ∴2sin （22α⨯-6π）+1=2,得sin （α-6π）=12，α=3π。
三角函数练习题及答案百度文库
三角函数练习题及答案百度文库精心选一选山岳得分1、在直角三角形中，各边都扩大2倍，则锐角A的正弦值与余弦值都A、缩小2倍B、扩大2倍C、不变D、不能确定4，BC=4，sinA=52、在Rt△ABC中，∠C=90，则AC=A、3B、C、D、61sinA=3，则3、若∠A是锐角，且A、00 13sinA?tanA4、若cosA=3，则4sinA?2tanA=411A、 B、 C、D、05、在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：1：2，则a：b：c=2A、1：1：B、1：1：C、1：1：3D、1：1：26、在Rt△ABC中，∠C=900，则下列式子成立的是A、sinA=sinBB、sinA=cosBC、tanA=tanBD、cosA=tanB．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=3，则下列各式中，正确的是2223A．sinB=B．cosB=C．tanB=D．tanB=28．点关于y轴对称的点的坐标是11113A．B．C．D．9．每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣．?某同学站在离旗杆12米远的地方，当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为30°，?若这位同学的目高1.6米，则旗杆的高度约为A．6.9米 B．8.5米 C．10.3米 D．12.0米10．王英同学从A地沿北偏西60o方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地503m100 m150m m11、如图1，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30?，向高楼前进60米到C点，又测得仰角为45?，则该高楼的高度大约为A.82米B.163米C.52米D.70米12、一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40o的方向行驶40海里到达B 地，再由B地向北偏西10o的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距．30海里0海里 0海里 0海里细心填一填1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则sinB=_____．．在△ABC中，若AC=3，则cosA=________．3．在△ABC中，AB=，B=30°，则∠BAC的度数是______．图14．如图，如果△APB绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A＇P＇B，且BP=2，那么PP＇的长为____________．5．如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°．甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西___________度．第4题图第5题图第6题图6．如图，机器人从A点，沿着西南方向，行了个2单位，到达B点后观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，则原来A的坐标为___________结果保留根号）．．求值：sin260°+cos260°=___________．8．在直角三角形ABC中，∠A=90，BC=13，AB=12，则tanB?_________．．根据图中所给的数据，求得避雷针CD的长约为_______m．．11．如图，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，?这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为________米。
三角函数练习题(含答案)
点后观察到原点 O 在它的南偏东 60°的方向上，则原来 A 的坐标为 ___________结果保留根号）． 7．求值：sin260°+cos260°=___________． 8．在直角三角形 ABC 中，∠A= 900 ，BC=13，AB=12，那么
tan B ___________．
9．根据图中所给的数据，求得避雷针 CD 的长约为_______m（结果精 确的到 0.01m）．（可用计算器求，也可用下列参考数据 求：sin43°≈0.6802，sin40°≈0.6428，cos43°≈ 0.7341，cos40°≈0.7660，tan43°≈0.9325，tan40°
地，此时王英同学离 A 地 （ ）
（A） 50 3 m （B）100 m （C）150m （D）100 3 m
11、如图 1，在高楼前 D 点测得楼顶的仰角为 300，向高楼前进 60 米到 C 点，又测得仰角
为 450，则该高楼的高度大约为（
）
A.82 米 B.163 米
C.52 米 D.70 米
≈0.8391）
10．如图，自动扶梯 AB 段的长度为 20 米，倾斜 角 A 为α，高度 BC 为___________米（结果用含 α的三角比表示）．
11．如图 2 所示，太阳光线与地面成 60°角，一 棵倾斜的大树与地面成 30°角，这时测得大树在 地面上的影子约为 10 米，则大树的高约为________米．（保
6 2
据供解题使用：sin15°=，cos15°= 4 )
5．如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的 走向是北偏东 48°．甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接 通，则乙地所修公路的走向是南偏西___________度．
高中三角函数专题练习题(附答案)
高中三角函数专题练习题（附答案）一、填空题1．在ABC 中，AB =BC =1cos 7BAC ∠=，动点D 在ABC 所在平面内且2π3BDC ∠=．给出下列三个结论：①BCD △②线段AD 的长度只有最小值，无最大值，且最小值为1；③动点D 的轨迹的长度为8π3．其中正确结论的序号为______．2．已知单位向量1e ，2e 与非零向量a 满足12322e e +≤()120a e e ⋅-≤，则()1232a e e a⋅+的最大值是______.3．若,,44x y ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，a ∈R ，且33sin 204sin cos 0x x a y y y a ⎧+-=⎨++=⎩，则()cos 2x y +=______（提示：sin y x =在,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上严格增函数） 4．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的三边分别为a ，b ，c ，c ＝2b ，若△ABC 的面积为1，则BC 的最小值是________ ．5．已知向量a ，b ，c 满足0a b c ++=，()()0a b a c -⋅-=，||9b c -=，则||||||a b c ++的最大值是___________.6．已知函数()2sin 16f x x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，其中0>ω，若()f x 在区间(4π，23π)上恰有2个零点，则ω的取值范围是____________.7．已知函数()sin cos f x x x =+，()sin cos g x x x =：①函数()f x 的图象关于点(,0)4π对称；②函数|()|g x 的最小正周期是2π；③把函数f (2x )图象上所有点向右平移8π个单位长度得到的函数图象的对称轴与函数y=()g x 图象的对称轴完全相同；④函数1()()y f x g x =--在R 上的最大值为2.则以上结论正确的序号为_______________8．平面向量a ，b ，c 满足1a a b c =-==，()222b ac b c b a c +⋅+-=⋅+，1a b b a b b cb⋅+=+⋅，则()2b c-=______．9．在三棱锥P ABC -中，4AB BC ==，8PC =，异面直线PA ，BC 所成角为π3，AB PA ⊥，AB BC ⊥，则该三棱锥外接球的表面积为______．10．已知函数()cos()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=->><<的部分图像如图所示，设函数()266g x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()g x 的值域为___________.二、单选题11．已知双曲线2221(0)y x b b-=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作直线l 交双曲线的右支于A ，B 两点.若11||::3:3:2AB AF BF =，则双曲线的离心率为（ ） A ．333B ．2C ．113D ．1112．《九章算术》卷五“商功”：今有刍甍，下广3丈，袤4丈；上袤2丈，无广；高1丈.其描述的是下图的一个五面体，底面ABCD 是矩形，4AB =，3BC =，2EF =，//EF 底面ABCD 且EF 到底面ABCD 的距离为1.若DE AE BF CF ===，则该刍甍中点F 到平面EBC 的距离为（ ）A ．15B ．35C 10D 2513．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且()222S a b c =--，则222b c bc+的取值范围为（ ）A ．4359,1515⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．4322,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．5922,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．)22,⎡+∞⎣14．如图，将矩形纸片ABCD 折起一角落()EAF △得到EA F '△，记二面角A EF D '--的大小为π04θθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，直线A E '，A F '与平面BCD 所成角分别为α，β，则（ ）．A ．αβθ+>B ．αβθ+<C ．π2αβ+>D ．2αβθ+>15．如图，在正方体ABCD EFGH -中，P 在棱BC 上，BP x =，平行于BD 的直线l 在正方形EFGH 内，点E 到直线l 的距离记为d ，记二面角为A l P --为θ，已知初始状态下0x =，0d =，则（ ）A ．当x 增大时，θ先增大后减小B ．当x 增大时，θ先减小后增大C ．当d 增大时，θ先增大后减小D ．当d 增大时，θ先减小后增大16．在ABC 中，60BAC ∠=，3BC =，且有2CD DB =，则线段AD 长的最大值为（ ） A 13B ．2 C 31 D ．317．在三棱锥S ABC -中，侧棱SA ，SB ，SC 两两垂直，且2SA SB SC +==.设SA x =，该三棱锥的表面积为函数()y f x =，以下判断正确的是（ ） A ．()f x 为常数 B ．()f x 有极小值 C ．()f x 有极大值D ．()f x 是单调函数18．设点()11,P x y 在椭圆22182x y +=上，点()22,Q x y 在直线280x y +-=上，则2121x x y y -+-的最小值是（ ）A ．212+B ．3C ．312+D ．219．函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，已知,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心，直线1312x π=为() f x 图象的一条对称轴，且() f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．记满足条件的所有ω的值的和为S ，则S 的值为（ ） A ．125 B ．85C ．165D ．18520．在ABC 中，2AB =，,D E 分别是边AB ，AC 的中点，CD 与BE 交于点O ，若OC 3OB =，则ABC 面积的最大值为（ ）A ．3B ．33C ．63D ．93三、解答题21．在海岸A 处，发现北偏东45︒方向，距离A 为31-海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75︒方向，距离A 为2海里的C 处有一艘缉私艇奉命以103海里/时的速度追截走私船，此时，走私船正以10海里/时的速度从B 处向北偏东30方向逃窜.（1）问C 船与B 船相距多少海里？C 船在B 船的什么方向？ （2）问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间.22．函数()()3sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B ，C 为图象与x 轴的交点，ABC ∆为等边三角形.将函数()f x 的图象上各点的横坐标变为原来的π倍后，再向右平移23π个单位，得到函数()y g x =的图象.（Ⅰ）求函数()g x 的解析式；（Ⅱ）若不等式()23sin 324x m g x m π-⋅-≤+对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围.23．已知函数()cos f x x x =，()sin g x x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求证:()()f x g x ≤；（2）若()ax g x bx <<在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值.24．已知函数2()23sin 2sin cos ()f x x x x a a R =-++∈，且(0)3f =. （1）求a 的值；（2）若()f x ω在[0,]π上有且只有一个零点，0>ω，求ω的取值范围. 25．如图所示，在平面四边形ABCD 中，1,2,AB BC ACD ==∆为正三角形.（1）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin(2)3sin A C C +=，求角B 的大小； （2）求BCD ∆面积的最大值.26．如图，在ABC ∆中，90,3,1ABC AB BC ︒∠===，P 为ABC ∆内一点，90BPC ︒∠=.（1）若32PC =，求PA ； （2）若120APB ︒∠=，求ABP ∆的面积S .27．已知函数()()sin 0,2f x t x t πωϕϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，()f x 的部分图像如图所示，点()0,3N ，,02M π⎛⎫- ⎪⎝⎭，,4P t π⎛⎫⎪⎝⎭都在()f x 的图象上.（1）求()f x 的解析式；（2）当,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()3f x m -≤恒成立，求m 的取值范围.28．已知向量()cos sin ,sin a m x m x x ωωω=-，()cos sin ,2cos b x x n x ωωω=--，设函数()()2n f x a b x R =⋅+∈的图象关于点,112π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且()1,2ω∈ （I ）若1m =，求函数()f x 的最小值；（II ）若()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切实数恒成立，求()y f x =的单调递增区间．29．已知函数())2cos cos 1f x xx x =+-．（1）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值；（2）若()85f x =-，2,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求cos2x 的值；（3）若函数()()0y f x ωω=>在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递增函数，求正数ω的取值范围．30．已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，S 为ABC 的面积，()222sin SB C a c +=-． （1）证明：2A C =；（2）若2b =，且ABC 为锐角三角形，求S 的取值范围．【参考答案】一、填空题1．①③2 3．145．3+36．742ω<<或91322ω<≤.7．②③④8．229．80π 10．9[,4]4-二、单选题 11．A 12．C 13．C 14．A 15．C 16．C 17．A 18．D 19．A 20．C 三、解答题21．（1）=BC C 船在B 船的正西方向；（2）缉私艇沿东偏北30才能最快追上走私船． 【解析】（1）在ABC 中根据余弦定理计算BC ，再利用正弦定理计算ABC ∠即可得出方位； （2）在BCD △中，利用正弦定理计算BCD ∠，再计算BD 得出追击时间． 【详解】解：（1）由题意可知1=AB ，2AC =，120BAC ∠=︒， 在ABC 中，由余弦定理得：2222cos1206BC AB AC AB AC =+-︒=，BC ∴，由正弦定理得：sin sin AC BCABC BAC=∠∠，即2sin ABC∠解得：sin ABC ∠=， 45ABC ∴∠=︒，C ∴船在B 船的正西方向．（2）由（1）知=BC 120DBC ∠=︒， 设t 小时后缉私艇在D 处追上走私船，则10BD t =，CD =，在BCD △10sin tBCD∠， 解得：1sin 2BCD ∠=， 30BCD ∴∠=︒，BCD ∴△是等腰三角形，10t ∴=，即t =∴缉私艇沿东偏北30【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，以及解三角形的实际应用，考查转化能力和运算能力，属于中档题．22．（Ⅰ）()12g x x =（Ⅱ）2,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（Ⅰ）利用等边三角形的性质，根据已知，可以求出函数的周期，利用正弦型函数的最小正周期公式求出ω，最后根据正弦型函数图象的变换性质求出()y g x =的解析式； （Ⅱ）根据函数()y g x =的解析式，原不等式等价于23cos 3cos 10x m x m +++≥在x ∈R 恒成立，利用换元法，构造二次函数，分类讨论进行求解即可. 【详解】（Ⅰ）点A ABC ∆为等边三角形，所以三角形边长为2，所以24T πω==，解得2πω=，所以()23f x x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象上各点的横坐标变为原来的π倍后，得到()123h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向右平移23π个单位，得到()12g x x =.（Ⅱ）()22g x x x ππ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，所以()223sin 233cos 3cos x g x x m x π⋅-=--，原不等式等价于23cos 3cos 10x m x m +++≥在x ∈R 恒成立. 令cos x t =，[]1,1t ∈-，即23310t mt m +++≥在[]1,1t ∈-上恒成立.设()2331t t mt m ϕ=+++，对称轴2m t =-， 当12m-≤-时，即2m ≥时，()1240m ϕ-=-+≥，解得2m ≤，所以2m =；当12m-≥时，即2m ≤-时，()1440m ϕ=+≥，解得1m ≥-（舍）； 当112m -<-<时，即22m -<<时，231024m m m ϕ⎛⎫-=-++≥ ⎪⎝⎭，解得223m -≤<.综上，实数m 的取值范围为2,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了正弦型函数的图象变换和性质，考查了利用换元法、构造法解决不等式恒成立问题，考查了数学运算能力.23．（1）答案见解析；（2）a 最大值为2π,b 的最小值为1. 【解析】 【分析】（1）构建函数()cos sin h x x x x =-，通过导数研究函数()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调性并计算最值，可得结果.（2）构造函数()sin M x x cx =-，通过分类讨论的方法，0c ≤，1c ≥和01c <<，利用导数判断函数()M x 的单调性，并计算最值比较，可得结果. 【详解】（1）由()()()cos sin h x f x g x x x x =-=- 所以()'cos sin cos sin h x x x x x x x =--=-. 又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()'sin 0h x x x =-≤,所以()h x 在区间上0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减.从而()()00h x h ≤=,()()f x g x ≤. （2）当0x >时,“()ax g x <”等价于“sin 0x ax ->” “()g x bx <”等价于“sin 0x bx -<”.令()sin M x x cx =-,则()'cos M x x c =-,当0c ≤时,()0M x >对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立.当1c ≥时,因为对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,()'cos 0M x x c =-<,所以()M x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.从而()()00M x M <=对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立.当01c <<时,存在唯一的00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()'cos 0M x x c =-=.()M x 与()'M x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的情况如下:因为在区间0上是增函数, 所以()()000M x M >=.进一步,“()0M x >对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立”当且仅当1022M c ππ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭,即20c π<≤,综上所述： 当且仅当2c π≤时,()0M x >对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立; 当且仅当1c ≥时,()0M x <对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立.所以，若()ax g x bx <<对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立,则a 最大值为2π,b 的最小值为1. 【点睛】本题考查导数的综合应用，关键在于构建函数，化繁为简，同时掌握分类讨论的思想，考验分析问题的能力以及计算能力，属中档题.24．（1）a =（2）15,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）利用降次公式、辅助角公式化简()f x 表达式，利用(0)f =a 的值. （2）令()0f x ω=，结合x 的取值范围以及三角函数的零点列不等式，解不等式求得ω的取值范围. 【详解】（1）2()2sin cos f x x x x a =-++sin 2x x a =+2sin 23x a π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭(0)f =(0)2sin3f a π∴=+=即a =（2）令()0f x ω=，则sin 203x πω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，[0,]x π∈，2,2333πππωπω⎡⎤∴+∈+⎢⎥⎣⎦，()f x 在[0,]π上有且只有一个零点，223πππωπ∴+<，1536ω∴<， ω∴的取值范围为15,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数零点问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.25．（1）23B π=；（21. 【解析】 【分析】（1）由正弦和角公式,化简三角函数表达式,结合正弦定理即可求得角B 的大小;（2）在ABC ∆中,设,ABC ACB αβ∠=∠=,由余弦定理及正弦定理用,αβ表示出CD .再根据三角形面积公式表示出∆BCD S ,即可结合正弦函数的图像与性质求得最大值. 【详解】 （1）由题意可得：sin2cos cos2sin 3sin A C A C C +=∴()22sin cos cos 12sin sin 3sin A A C A C C +-=整理得sin (cos cos sin sin )sin A A C A C C -= ∴sin cos()sin A A C C += ∴sin cos sin A B C -= ∴sin 1cos sin 2C c B A a =-=-=- 又(0,)B π∈ ∴23B π=（2）在ABC ∆中,设,ABC ACB αβ∠=∠=,由余弦定理得：22212212cos 54cos AC αα=+-⨯⨯=-,∵ACD ∆为正三角形, ∴2254cos CD C A α=-=, 在ABC ∆中,由正弦定理得：1sin sin ACβα=, ∴sin sin AC βα=, ∴sin sin CD βα=,∵()222222(cos )1sin sin 54cos sin CD CD CD ββααα=-=-=--2(2cos )α=-,∵BAC β<∠,∴β为锐角,cos 2cos CD βα=-, 12sin sin 233BCD S CD CD ππββ∆⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos sin 2CD ββ=+,1cos )sin sin 223πααα⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭, ∵(0,)απ∈∴当56πα=时,()max 1BCD S ∆=. 【点睛】本题考查了三角函数式的化简变形,正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用,三角形面积的表示方法,正弦函数的图像与性质的综合应用,属于中档题.26．（1；（2 【解析】 【分析】（1）求出12BP ==，,36CBP ABP ππ∠=∠=，ABP ∆中由余弦定理即可求得PA ；（2）设PBA α∠=，利用正弦定理表示出()sin120sin 60AB PB =︒︒-α，求得tan α=，利用面积公式即可得解. 【详解】（1）在ABC ∆中，90,1ABC AB BC ︒∠===，2AC =P 为ABC ∆内一点，90BPC ︒∠=，PC =，所以12BP =，CBP ∆中，由余弦定理得：2221cos 22BP BC PC CBP BP BC +-∠==⋅所以,36CBP ABP ππ∠=∠=ABP ∆中，由余弦定理得：AP==； （2）120APB ︒∠=，设0,,90,602PBA PBC PAB π⎛⎫∠=α∈∠=︒-α∠=︒-α ⎪⎝⎭，在Rt PBC ∆中，sin sin PB BC =⋅α=α， 在PBA ∆中，由正弦定理()sin120sin 60AB PB=︒︒-α，即()sin 2sin 60α=︒-α，sin sin α=α-α，所以tan α=sin PB α==ABP ∆的面积11sin 22S AB PB α=⋅==. 【点睛】此题考查解三角形，对正余弦定理的综合使用，涉及两角差的正弦公式以及同角三角函数关系的使用，综合性较强.27．（1）()22sin 33x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）[]1,0-【解析】 【分析】（1）由三角函数图像，求出,,t ωϕ即可；（2）求出函数()f x m -的值域，再列不等式组32m m +≥⎧⎪⎨≤⎪⎩.【详解】解：（1）由()f x 的图象可知34424T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则3T π=， 因为23T ππω==，0>ω，所以23ω=，故()2sin 3t x f x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为,02M π⎛⎫- ⎪⎝⎭在函数()f x 的图象上，所以sin 023f t ππϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()3k k Z πϕπ-+=∈，即()3k k Z πϕπ=+∈，因为2πϕ<，所以3πϕ=.因为点(N 在函数()f x 的图象上，所以()0sin 3f t π==解得2t =，故()22sin 33x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）因为,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以22,3333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以2sin 33x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，则()2f x ≤.因为()33f x m -≤-≤，所以()3m f x m ≤+， 所以32m m +≥⎧⎪⎨⎪⎩10m -≤≤.故m 的取值范围为[]1,0-. 【点睛】本题考查了利用三角函数图像求解析式，重点考查了三角函数值域的求法，属中档题.28．（Ⅰ）1()22,31234k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】化简()f x 解析式可得()()22n f x x ωϕ=-+；根据图象关于,112π⎛⎫ ⎪⎝⎭可求得n ；（Ⅰ）若1m =，则()()21f x x ωϕ=-+，从而可得函数最小值；（Ⅱ）利用4x π=为对称轴，,112π⎛⎫ ⎪⎝⎭为对称中心可得()*642T T k k N π=+⋅∈，根据周期和ω的范围可求得ω；将,112π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入解析式可求得()314f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，将34x π-整体放入正弦函数的单调递增区间中，解出x 的范围即可. 【详解】由题意得：()()22cos sin 2sin cos 2n f x m x x n x x ωωωω=--++()sin 2cos 2222n n n x m x x ωωωϕ=-+=-+ 其中cos ϕ=sin ϕ=图象关于点,112π⎛⎫⎪⎝⎭对称 12n ∴=，解得：2n =()()21f x x ωϕ∴=-+（Ⅰ）若1m =，则()()21f x x ωϕ=-+()min 1f x ∴=（Ⅱ）()4f x f π⎛⎪≤⎫ ⎝⎭对一切实数恒成立 ()max 4f x f π⎛⎫∴= ⎪⎝⎭()*412642T T k k N πππ∴-==+⋅∈，即：()()*223212T k N k ππω==∈+ ()3212k ω∴=+，又()1,2ω∈ 32ω∴=()2sin3cos31f x x m x ∴=-+，又图象关于点,112π⎛⎫⎪⎝⎭对称2sin cos 111244f m πππ⎛⎫∴=-+= ⎪⎝⎭，解得：2m =()2sin 32cos31314f x x x x π⎛⎫∴=-+=-+ ⎪⎝⎭令232242k x k πππππ-+≤-≤+，k Z ∈，解得：2212343k k x ππππ-+≤≤+，k Z ∈ ()f x ∴的单调递增区间为：()22,31234k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 【点睛】本题考查三角函数图象与性质的综合应用问题，涉及到根据三角函数的性质求解函数解析式的求解、三角函数最值的求解、单调区间的求解问题.29．（I ）1-；（II ；（III ）10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】将()f x 整理为2sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（I ）利用x 的范围求得26x π+的范围，结合sin x 的图象可求得最值；（II ）利用()85f x =-可求得sin 26x ；结合角的范围和同角三角函数关系可求得cos 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭；根据cos 2cos 266x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用两角和差余弦公式可求得结果；（III ）利用x 的范围求得26x πω+的范围，从而根据sin x 单调递增区间构造出关于ω的不等式组，解不等式组再结合0>ω即可得到结果. 【详解】()2cos 2cos 12cos 22sin 26f x x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭（I ）0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 72,666x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦[]2sin 21,26x π⎛⎫∴+∈- ⎪⎝⎭()f x ∴在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为：1-（II ）由题意得：82sin 265x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 4sin 265x π⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭2,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 3132,626x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦ 3cos 265x π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭ cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦341552=⨯（III ）()2sin 26f x x πωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,6366x πωπππωωπ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦2622362k k ππωππωππππ⎧+≤+⎪⎪∴⎨⎪+≥-⎪⎩，k Z ∈，解得：12362k k ωω⎧≤+⎪⎨⎪≥-⎩，k Z ∈ 0ω>，可知当0k =时满足题意，即103ω<≤ω∴的取值范围为：10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查正弦型函数的值域求解、单调性应用、三角恒等变换公式应用、同角三角函数关系等问题.关键是能够利用二倍角公式和辅助角公式将函数化为()sin A x ωϕ+的形式，从而通过整体对应的方式来研究函数的值域和性质. 30．（1）见解析；（2）2⎫⎪⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式表示S ，结合余弦定理和正弦定理，建立三角函数等式，证明结论，即可．（2）结合三角形ABC 为锐角三角形，判定tanC 的范围，利用tanC 表示面积，结合S 的单调性，计算范围，即可． 【详解】(1)证明：由()222sin S B C a c +=-，即222sin SA a c=-， 22sin sin bc A A a c∴=-，sin 0A ≠，22a c bc ∴-=， 2222cos abc bc A =+-，2222cos a c b bc A ∴-=-， 22cos b bc A bc ∴-=，2cos b c A c ∴-=，sin 2sin cos sin B C A C ∴-=，()sin 2sin cos sin A C C A C ∴+-=，sin cos cos sin sin A C A C C ∴-=， ()sin sin A C C ∴-=，A ，B ，()0,C π∈，2A C ∴=．(2)解：2A C =，3B C π∴=-，sin sin3B C ∴=．sin sin a b A B=且2b =，2sin2sin3Ca C∴=， ()212sin2sin 2sin2sin 2tan2tan 4tan 4sin 32sin 2sin2cos cos2sin tan2tan 3tan tan tan C C C C C C C S ab C C C C C C C C C CC C∴======+++--，ABC 为锐角三角形，20,230,20,2A C B C C ππππ⎧⎛⎫=∈ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫∴=-∈⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫∈⎪⎪⎝⎭⎩，,64C ππ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，tan C ⎫∴∈⎪⎪⎝⎭， 43tan tan S CC=-为增函数， 2S ⎫∴∈⎪⎪⎝⎭．【点睛】考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形面积公式，考查了函数单调性判定，难度偏难．。
(完整版)三角函数公式练习(答案)
三角函数公式练习题（答案）1．1．（ ）29sin6π=A ．B ．C ．D 12-12【答案】【解析】C试题分析：由题可知，；2165sin )654sin(629sin ==+=ππππ考点：任意角的三角函数2．已知，，（ ）10274(sin =-πα257cos2=α=αsin A ．B ．C ．D ．5454-53-53【答案】D 【解析】试题分析：由①，7sin()sin cos 45πααα-=⇒-= 2277cos2cos sin 2525ααα=⇒-=所以②，由①②可得 ③，()()7cos sin cos sin 25αααα-+=1cos sin 5αα+=-由①③得， ，故选D3sin 5α=考点：本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式点评：解决本题的关键是熟练掌握两角和与差的三角函数，二倍角公式3．（ ）cos 690= A ．B ．C ．D ．2121-2323-【答案】C 【解析】试题分析：由，故选C ()()cos 690cos 236030cos 30cos30=⨯-=-==考点：本题考查三角函数的诱导公式点评：解决本题的关键是熟练掌握三角函数的诱导公式以及特殊角的三角函数值4．的值为π316tanA. B. C. D.33-3333-【答案】 C 【解析】试题分析tanπ=tan（6π﹣）=﹣tan=．考点：三角函数的求值，诱导公式．点评：本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值．5．若，，202παβπ<<<<-1cos()43πα+=cos()42πβ-=cos()2βα+=A ．B ．C ．D ．3333-93596-【答案】C．【解析】试题分析：因为，，所以，且202παβπ<<<<-1cos()43πα+=4344παππ<+<；又因为，所以322)4sin(=+απcos(42πβ-=02<<-βπ，且．又因为，所以2244πβππ<-<3624sin(=-βπ24()4(2βπαπβα--+=+)24sin()4sin(24cos()4cos()]24()4cos[(2cos(βπαπβπαπβπαπβα-++-+=--+=+．故应选C ．935363223331=⨯+⨯=考点：1、同角三角函数的基本关系；2、两角差的余弦公式．6．若角α的终边在第二象限且经过点(P -，则等于sin αA ．．12- D ．12【答案】A 【解析】试题分析：由已知，故选A ．23sin 2,3,1==⇒=∴=-=r y r y x α考点：三角函数的概念．7．sin70Cos370- sin830Cos530的值为（ ）A ． B ． C ． D ．21-212323-【答案】A 【解析】试题分析：sin70Cos370- sin830Cos530()()3790sin 790cos 37cos 7sin ---=()()2130sin 377sin 37sin 7cos 37cos 7sin -=-=-=-= 考点：三角恒等变换及诱导公式；8．已知，那么＝（ ）53)4cos(=-x πsin 2x （A ） （B ） （C ） （D ）25182524±257-257【答案】C 【解析】试题分析：sin2x ＝cos （－2x ）＝2cos 2（－x ）－1＝2×2π4π237(1525-=-考点：二倍角公式，三角函数恒等变形9．已知,那么 （ ） 51sin()25πα+=cos α=A ． B ． C ． D ．25-15-1525【答案】C 【解析】试题分析：由=,所以选C ．51sin()25πα+=sin()cos 2a a π+=考点：三角函数诱导公式的应用10．已知，则的值为（ ）31)2sin(=+a πa 2cos A ． B ． C ． D ．3131-9797-【答案】D 【解析】试题分析：由已知得,从而,故选D.31cos =α971921cos 22cos 2-=-=-=αα考点：诱导公式及余弦倍角公式.11．已知点（）在第三象限，则角在 （ ） P ααcos ,tan αA ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B 【解析】试题分析：由已知得，，故角在第二象限．tan 0,cos 0αα<⎧⎨<⎩α考点：三角函数的符号.12．已知是第四象限角，，则（ ）α125tan -=α=αsin A ． B ． C ． D ．5151-135135-【答案】D 【解析】试题分析：利用切化弦以及求解即可．，1cos sin 22=+αα125cos sin tan -==ααα又是第四象限角，,故，16925sin 1cos sin 222=∴=+αααα135sin ,0sin -=<αα选：D.考点：任意角的三角函数的定义 ωπω2sin ==T x y ．13．化简得到（ ）2cos (4πα--2sin ()4πα-A ．α2sin B ．α2sin - C ．α2cos D ．α2cos -【答案】A 【解析】试题分析：απαπαπαπααππα2sin )22cos()4(2cos 4(sin )4(cos )4(sin )4(cos 2222=-=-=---=---考点：三角函数的诱导公式和倍角公式.14．已知，则3cos ,05ααπ=<<tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A.B. C. D.15171-7-【答案】D 【解析】试题分析：由可知，因此，053cos ,0>=<<απα20πα<<54sin =α，由和角公式可知，故答案34tan =α713411344tan tan 14tantan )4tan(-=⨯-+=⋅-+=+παπαπα为D 。
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第四章 三角函数§4-1 任意角的三角函数一、选择题：1．使得函数lg(sin cos )y θθ=有意义的角在（ ）（Ａ）第一，四象限 （Ｂ）第一，三象限 （Ｃ）第一、二象限 （Ｄ）第二、四象限２．角α、β的终边关于У轴对称，（κ∈Ζ）。
则 （Ａ）α＋β＝２κπ （Ｂ）α－β＝２κπ（Ｃ）α＋β＝２κπ－π （Ｄ）α－β＝２κπ－π ３．设θ为第三象限的角，则必有（ ） （Ａ）tancot22θθ（Ｂ）tancot22θθ（Ｃ）sincos22θθ（Ｄ）sincos22θθ４．若4sin cos 3θθ+=-，则θ只可能是（ ）（Ａ）第一象限角 （Ｂ）第二象限角 （C ）第三象限角 （Ｄ）第四象限角 ５．若tan sin 0θθ且0sin cos 1θθ+，则θ的终边在（ ）(A)第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 二、填空题：6．已知α是第二象限角且4sin 5α=则2α是第▁▁▁▁象限角，2α是第▁▁▁象限角。
7．已知锐角α终边上一点A 的坐标为（2sina3,-2cos3）,则α角弧度数为▁▁▁▁。
8．设1sin ,(,)sin y x x k k Z xπ=+≠∈则Y 的取值范围是▁▁▁▁▁▁▁。
9．已知cosx-sinx<-1，则x 是第▁▁▁象限角。
三、解答题：10．已知角α的终边在直线y =上，求sin α及cot α的值。
11．已知Cos(α+β)+1=0, 求证：sin(2α+β)+sin β=0。
12．已知()()cos ,5n f n n N π+=∈，求ƒ（1）+ƒ（2）+ƒ（3）+……+ƒ（2000）的值。
§4-2 同角三角函数的基本关系式及诱导公式一、选择题： 1．()sin 2cos 22ππ⎛⎫---⎪⎝⎭化简结果是（ ） （A ）0 （B ）1- （C ）2sin 2 ()2sin 2D -2．若1sin cos 5αα+=，且0απ，则tan α的值为（ ） ()43A - ()34B - ()34C ()43D -或34-3. 已知1sin cos 8αα=，且42ππα，则cos sin αα-的值为（ ）()2A ()34B ()2C - ()2D ± 4. 已知4sin 5α=，并且α是第一象限角，则tan α的值是（ ） ()43A - ()34B - ()34C ()43D5.）()0cos100A ()0cos80B ()0sin80C ()0cos10D6. 若cot ,(0)m m α=≠且cos α=，则角α所在的象限是（ ）（A ）一、二象限 （B ）二、三象限 （C ）一、三象限 （D ）一、四象限 填空题：7．化简()()()21sin 2sin 2cos αππαα+-+--=▁▁▁▁▁▁。
8．已知1tan 3α=-，则212sin cos cos ααα+的值为▁▁▁▁▁▁。
9．292925sincos tan 634πππ⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=▁▁▁▁▁。
10．若关于x 的方程2(5)(25)40m x m x +-++=的两根是直角三角形两锐角的正弦值，则m =▁▁▁▁。
解答题：11．已知：tan 3α=，求(()2122sin 3sin cos ααα-的值。
12．已知22tan 2tan 1αβ=+，求证：22sin 2sin 1βα=- 13．已知1sin 24θ=，且42ππθ，求cos sin θθ-的值。
14．若sin cos 0,sin cot 0,αααα§4-3：两角和与差的三角函数1． “()tan 0αβ+=”是“tan tan 0αβ+=”的（ ）（A ） 充分必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件2．已知sin αβ==且,αβ为锐角，则αβ+为（ ） ()4A π ()4B π或34π ()34C π()D 非以上答案 3． 设0sin15cos15,sin16cos16,a b =+=+则下列各式正确的是（ ）()()()()22222222,22,22a b a b A ab B a b a b a b C b aD b a ++++ 4． 已知α3,22ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3cot ,4α=-则3cos 4πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值是（ ）()10A ()B - (C ()D 二、填空题： 5． 已知53cos ,,,132πθθπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭则cos 3πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为____________6． 已知()()44cos ,cos 55αβαβ-=-+=且()()3,,,222ππαβπαβπ⎛⎫⎛⎫-∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则_____________________cos 2β=7． 已知11sin sin ,cos cos ,32αβαβ-=-=则()___________________cos αβ-=8． 在ABC ∆中，tan ,tan A B 是方程23810x x +-=的两根，则_________________tan C = 三、解答题：9． 求值()00sin 501。
10． 求证：tan tan tan cot cot cot A B BB A A-=- 11．ABC ∆中，BC=5，BC 边上的高AD 把ABC ∆面积分为12,S S ，又12,S S 是方程215540x x -+=的两根，求A ∠的度数。
§4-4 二倍角的正弦、余弦、正切一．选择题：1． sin15cos165的值为（ ）()14A ()14B - ()12C ()12D -2． 已知()21tan .tan 544παββ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭, 则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ） ()318A ()1318B ()322C ()1322D3． 已知57,22ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, ）()2cos 2A α ()2cos 2B α- ()2sin 2C α ()2sin 2D α-4． 函数()f x =的定义域是（ ）().3A x k x k k Z πππ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭().124B x k x k k Z ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭()11.412C x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭().62D x k x k k Z ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭ 5． ABC ∆中，3sin 4cos 6A B +=， 4sin 3cos 1,B A +=则C ∠的大小为（ ） ()6A π ()56B π ()6C π或56π()3D π或23π 二．填空题：6． 已知sin 2m θ=，若0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin cos ______θθ-= 若,42ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭, 则sin cos ______θθ-= 7． 若3sin 4cos 0θθ+=, 则cot 2______θ= 8． 若111cos sin θθ-=,则sin 2θ的值为_______ 9． 已知2sin cos 5sin 3cos θθθθ+=--,则3cos 24sin 2______θθ+=三．解答题： 10．求值4sin 20tan 20+ 11．化简222cos 12tan()sin ()44αππαα--+12．设,αβ均为锐角，且sin cos()sin βαβα=+，求tan β的最大值。
§4-5 三角函数的化简和求值一．选择题：1． 在ABC ∆中，若2sin sin cos2AB C =，则ABC ∆的形状是（ ） ()A 等腰三角形 ()B 直角三角形 ()C 等边三角形 ()D 等腰直角三角形 2． 设3A B π+=，tan tan 3A B +=，则cos cos A B 的值为（ ）(A (B (C ()D 3． 22cos 15cos 75cos15cos75++的值为（ ） ()32A ()34B ()54C ()1D 4． 若()tan sin 2f x x =，则()1f -的值为（ ） ()sin 2A - ()1B - ()12C ()1D 5． 已知sin sin sin 0αβγ++=，cos cos cos 0αβγ++=，则()cos αβ-的值为（ ） ()1A ()1B - ()12C ()12D - 二．填空题：6． 函数2sin cos 2sin 1y z x x x =-+的最小正周期______T = 7． 一个等腰三角形一个底角的正弦值为513，则这个三角形顶点的正切为______ 8． 若1sin cos 2x x -=，则33sin cos ______x x -= 9．sin10sin 30sin 50sin 70______= 三．解答题：10．已知α是第二，三象限的角，化简：cos sin 11．已知60sin cos 169ϕϕ=且42ππϕ，求sin ϕ和cos ϕ的值12(sin 40sin 5013tan10701cos +++13．已知,2k παβπ≠+k Z ∈，()3sin 20αβ+-=，()5sin 10αβ--=，求tan tan αβ的值。
§4-6 三角函数的恒等变形1． 求值：tan10tan 20tan 20tan 60tan 60tan10++ 2． 求证：()()sin cos 1sin cos 1sin 2tan2θθθθθθ+--+= 3． 求证：2221tan 1tan 1cot 1cot A A A A +-⎛⎫= ⎪+-⎝⎭4． 试探讨()()1tan 1tan 2A B ++=，,2A B k ππ≠+，k Z ∈成立的充要条件（A ，B 所满足的关系）。
5． 已知ABC ∆三个内角A.B.C 成等差数列，且110cos cos A C +=，求cos2A C -的值（参考公式：cos cos 2cos cos 22αβαβαβ+-+=()()1cos cos cos cos 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦） 6． 已知α，β为锐角，且223sin 2sin 1αβ+=，3sin 22sin 20αβ-=，求证22παβ+=。
§4-7 三角函数的图象一．选择题：１．要得到sin2x y =的图象，只要将函数1sin()24y x π=+的图象（ ） ()A 向左平移4π单位 ()B 向右平移4π单位 ()C 向左平移2π单位 ()D 向右平移2π单位 ２．以下给出的函数中，以π为周期的偶函数是（ ）()22cos sin A y x x =- ()tan B y x = ()sin cos C y x x = ()cos 2x D y = ３．函数()sin y A x ωϕ=+在同一区间内的9x π=处取最大值12，在49x π=处取得最小值12-，则函数解析式为（ ）()1sin 236x A y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()1sin 326B y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()1sin 236x C y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()1sin 326D y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭4．3cot ,2y π⎫=⎪⎭5. ① 53sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ② 3sin 2y x ⎛=⎝③ 53sin 212y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ ④ 3sin 2y x ⎛=⎝其中在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象如图所示的函数是（ ()A ③ ()B ① ② ()C ① ② ④ ()D ① ② ③ ④二．填空题：6．把函数cos sin y x x =-的图象向左平移()0m m个单位，所得图象关于y 轴对称，则m 的最小值是______7。