运筹学中的运输问题

3 各种变形的运输问题建模
例4 某公司决定使用三个有生产余力的工厂进行四种新产品的生产。每 单位产品需要等量的工作，所以工厂的有效生产能力以每天生产的任意 种产品的数量来衡量（见表的最右列）。而每种产品每天有一定的需求 量（见表的最后一行）。每家工厂都可以制造这些产品，除了工厂2不 能生产产品3以外。然而，每种产品在不同工厂中的单位成本是有差异 的（如表所示）。 现在需要决定的是在哪个工厂生产哪种产品，可使总成本最小。
平衡指派问题（总人数等于总任务数） 数学模型和电子表格模型 各种变形的建模
1 运输问题



运输问题最初起源于人们在日常生活中把某 些物品或人们自身从一些地方转移到另一些 地方，要求所采用的运输路线或运输方案是 最经济或成本最低的，这就成为了一个运筹 学问题。 随着经济的不断发展，现代物流业蓬勃发展， 如何充分利用时间、信息、仓储、配送和联 运体系创造更多的价值，向运筹学提出了更 高的挑战。 要求科学地组织货源、运输和配送使得运输 问题变得日益复杂，但是其基本思想仍然是 实现现有资源的最优化配置。

2 运输问题数学模型和电子表格模型
Байду номын сангаас
（1）产销平衡运输问题的数学模型 具有m个产地Ai（i＝1,2, ,m）和n个销地 Bj（j＝1,2, ,n）的运输问题的数学模型为
2 运输问题数学模型和电子表格模型


需要注意的是：运输问题有这样一个性 质（整数解性质），只要它的供应量和 需求量都是整数，任何有可行解的运输 问题必然有所有决策变量都是整数的最 优解。因此，没有必要加上所有变量都 是整数的约束条件。 由于运输量经常以卡车、集装箱等为单 位，如果卡车不能装满的话，就很不经 济了。整数解性质就避免了运输量（运 输方案）为小数的麻烦。
2 运输问题数学模型和电子表格模型
例3的电子表格模型
3 各种变形的运输问题建模
现实生活中符合产销平衡运输问题每一个条件的情况很少。一 个特征近似但其中的一个或者几个特征却并不符合产销平衡运 输问题条件的运输问题却经常出现。 下面是要讨论的一些特征： （1）总供应大于总需求。每一个供应量（产量）代表了从其出 发地中配送出去的最大数量（而不是一个固定的数值,≤）。 （2）总供应小于总需求。每一个需求量（销量）代表了在其目 的地中所接收到的最大数量（而不是一个固定的数值,≤）。 （3）一个目的地同时存在着最小需求和最大需求，于是所有在 这两个数值之间的数量都是可以接收的（≥,≤）。 （4）在配送中不能使用特定的出发地—目的地组合（xij=0）。 （5）目标是使与配送数量有关的总利润最大而不是使总成本最 小。（Min－> Max）
B1 A1 A2 销量 13 11 53 B2 15 29 36 B3 12 22 65 产量 78 45
（销大于产）
2 运输问题数学模型和电子表格模型
解：由表知，总产量为78+45=123，总销量为 53+36+65=154，销大于产(供不应求)。数学模型如下： 设xij为产地Ai运往销地Bj的物品数量
运输问题和指派问题 The Transportation
and Assignment Problems
本章内容要点
运输问题的基本概念及其各
种变形的建模与应用
指派问题的基本概念及其各 种变形的建模与应用
本章节内容

1 运输问题基本概念 2 运输问题数学模型和电子表格模型 3 各种变形的运输问题建模
（3）销大于产（供不应求）运输问题
（以满足小的产量为准）
i
j=
2 运输问题数学模型和电子表格模型
例2 某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供 10，15，25，20台同一规格的柴油机。已知该厂各 季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如表所示。 如果生产出来的柴油机当季不交货的，每台每积压 一个季度需储存、维护等费用1500元。要求在完成 合同的情况下，做出使该厂全年生产（包括储存、 维护）费用最小的决策。
cij=第i季度每台的生产成本+0.15(j-i)（储存、维护等费用）
把第i季度生产的柴油机数看作第i个生产厂商的产 量；把第j季度交货的柴油机数看作第j个销售点的销 量；生产成本加储存、维护等费用看作运费。将生产 与储存问题转化为运输问题，相关数据见表。
2 运输问题数学模型和电子表格模型
柴油机生产的相关数据
4 运输问题应用举例
5 指派问题
6 各种变形的指派问题建模
本章主要内容框架图

运输问题 运输问题和指派问题
产销平衡（总产量等于总销量） 产大于销（总产量大于总销量） 销大于产（总产量小于总销量） 各种变形的建模
应用举例
数学模型和电子表格模型


指派问题

（3）约束条件 ①满足产地产量 （3个产地的产 品都要全部配 送出去） ②满足销地销量 （4个销地的产 品都要全部得 到满足） ③非负
2 运输问题数学模型和电子表格模型

运输问题是一种特殊的线性规划问题，一般采用“表上作业 法”求解运输问题，但Excel的“规划求解”工具还是采用 “单纯形法”来求解。 例1的电子表格模型
1 2 3 4 生产能力
1
2 3 4
需求量
10.8
10.95
11.10
11.10
11.25 11.00
11.25
11.40 11.15 11.30
25
35
30 10
10
15
25
20
由表可知，总产量（生产能力）为 25+35+30+10=100，总销量（需求量）为 10+15+25+20=70，因此是产大于销的运输问题。
+ 11.30 x44
2 运输问题数学模型和电子表格模型
例2的电子表格模型
2 运输问题数学模型和电子表格模型
例3 某公司从两个产地A1、A2将物品运往三 个销地 B1、B2、B3，各产地的产量、各销地 的销量和各产地运往各销地每件物品的运费 如表所示。问应如何调运，可使得总运输费 最小？
例3 运输费用表
各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本
季度 生 产 能 力 （ 台 ） 单位成本（万元）
1 2 3
25 35 30
10.8 11.1 11.0
4
10
11.3
2 运输问题数学模型和电子表格模型
解：这是一个生产与储存（库存）问题，可以转化为 运输问题来做。 由于每个季度生产出来的柴油机不一定当季交货， 所以设xij为第i季度生产的第j季度交货的柴油机数。 则第i季度生产的第j季度交货的每台柴油机的实际成 本cij为：
(1)决策变量 设xij为从产地Ai运往销地Bj的运输量(i＝1,2,3;j=1,2,3,4) （2）目标函数 本问题的目标是使得总运输费最小
Min z =3x11 + 11x12 + 3x13 + 10 x14 + x21 + 9 x22 + 2 x23 + 8 x24 + 7 x31 + 4 x32 + 10 x33 + 5 x34
设xij为工厂i供应给顾 客j的产品数量
3 各种变形的运输问题建模
例5的电子表格模型
4 运输问题应用举例
例6 某厂生产设备是以销定产的。已知1～6月份各月的生产能力、合 同销量和单台设备平均生产费用，如表所示。 已知上年末库存103台。如果当月生产出来的设备当月不交货，则 需要运到分厂库房，每台增加运输成本0.1万元，每台设备每月的平均 仓储费、维护费为0.2万元。7～8月份为销售淡季，全厂停产1个月， 因此在6月份完成销售合同后还要留出库存80台。加班生产设备每台增 加成本1万元。问应如何安排1～6月份的生产，使总的生产（包括运输、 仓储、维护）费用最少？
3 各种变形的运输问题建模
例4的电子表格模型
产品4分在2个工厂生产
3 各种变形的运输问题建模
例5 某公司在3个工厂中专门生产一种产品。在未来的4个月中，有四个
处于国内不同区域的潜在顾客（批发商）很可能大量订购。顾客1是公司 最好的顾客，所以他的全部订购量都应该满足；顾客2和顾客3也是公司 很重要的顾客，所以营销经理认为作为最低限度至少要满足他们订单的 1/3；对于顾客4，销售经理认为并不需要进行特殊考虑。由于运输成本 上的差异，销售一个产品得到的净利润也不同，很大程度上取决于哪个 工厂供应哪个顾客（见表）。问应向每一个顾客供应多少货物，以使公 司总利润最大？ 表4-8 工厂供应顾客的相关数据
1 运输问题基本概念

一般的运输问题就是解决如何把某种产品从若干个产地 调运到若干个销地，在每个产地的供应量和每个销地的 需求量已知，并知道各地之间的运输单价的前提下，如 何确定一个使得总的运输费用最小的方案。 平衡运输问题的条件：
1. 明确出发地（产地）、目的地（销地）、供应量（产量）、需求 量（销量）和单位成本。 2. 需求假设：每一个出发地都有一个固定的供应量，所有的供应量 都必须配送到目的地。与之类似，每一个目的地都有一个固定的 需求量，整个需求量都必须由出发地满足。即“总供应＝总需 求”。 3. 成本假设：从任何一个出发地到任何一个目的地的货物配送成本 与所配送的数量成线性比例关系，因此成本就等于配送的单位成 本乘以所配送的数量（目标函数是线性的）。

1 运输问题基本概念

例1 某公司有三个加工厂A1、A2、A3生产某产品，每日 的产量分别为：7吨、4吨、9吨；该公司把这些产品分别 运往四个销售点B1、B2、B3、B4，各销售点每日销量分 别为：3吨、6吨、5吨、6吨；从各工厂到各销售点的单 位产品运价如表1所示。问该公司应如何调运这些产品， 在满足各销售点的需要量的前提下，使总运费最少？