2024_T42铝合金疲劳裂纹扩展的可靠性分析

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2024-T42 铝合金疲劳裂纹扩展的可靠性分析
齐 鸣 朱 江 徐文君
（中国民航大学工程技术训练中心， 天津 300300 ）
摘 要 ：在工程实际中， 材料的疲劳裂纹扩展过程具有很大的分散性， 主要体现在裂纹扩展速率的不确定性， 这种分散性的来源有两个： 材料的 固有分散性， 即材料微观结构的不均匀性； 而外在分散性则由外载、 试件几何、 工作环境等的不确定因素引起。 目前， 对疲 固有分散性和外在分散性。 劳裂纹扩展速率的研究在工程上采用最多的是 Paris-Erdogan 模型， 对这一类模型的处理方法有几种， 其中之一是将 Paris 公式中的参数 c 和 n 随机 化， 参数的不同组合可以得到不同的随机模型， 对 T2024-42 铝合金材料的 c 和 n 参数的分布进行相关的分析， 从而确定此种材料裂纹扩展速率的 特性。 关键词 ：疲劳裂纹扩展速率； 分散性； 参数分布； 方差； 统计特性
根据马尔可夫链理论， 在已知初始分布和 一步转移概率的情况下，通过切普曼 - 柯尔哥 洛夫方程， 可以得到任意的有限维的概率分布。 即任意给定一个裂纹尺寸 （对应着一个损伤状 态 ） ， 便可以得到该尺寸下疲劳寿命的分布。 2.2 马尔可夫型连续模型 这一类模型可以分为两种： 一种是实验数 据的拟合模型， 它从合理的 a- t 关系出发， 通过 对任意制定下的寿命数据直接进行统计分析， 得到任意裂纹尺寸下的分布规律， 另一种是对 式进行随机微积分运算以期 直接求得 a- t 的解析解或数值解。 2024- T42 铝合金疲劳裂纹扩展的统计特 性 2.2.1 关于 Paris 公式的分析 裂纹在扩展的过程中扩展速率是不断变 化的，在这种不确定的情况下我们不得不采用 一些定性的方法才能对裂纹的扩展情况作出估 计，从而判断裂纹在经过一定的载荷循环次数 之后它的裂纹所能达到的长度范围。可以认为 在裂纹扩展的过程中对应每一个裂纹长度有相 应的裂纹扩展速率， 从微分学的角度考虑， 它是 在微小段循环次数 dN 的载荷的作用下所对应 的裂纹长度的增长量， 计作 da/dN。在每一个裂 纹长度下还有一个应力强度因子变程 ΔK 与 其对应，通过对裂纹扩展速率以及应力强度因 子所取的对数可以得到一系列坐标点 （以扩展 速率的对数为纵坐标，以应力强度因子的对数 为横坐标） ， 如果这些点是线性相关的， 可以利 用最小二乘法来解出一条直线，使得所有点到 这条直线的距离为最短距离，这样就拟合出了 为函数的直线， 一条以 lgΔK 为自变量、以 直线的斜率设为 n、 截距设为 a,函数表达式为
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lg da = a + n lg(D K ) dN
DK = a DP Y( ) B W W
表 3 应力强度因子变程计算数据
方程可以变换成如下形式
da = lg c + n lg(D K ) lg dN
其中 ΔP 为所加 载 荷 的 变 程 B 为试 (ΔP=Pmax- Pmin)， 件的厚度， W 为试件的 宽度， 为关于 的 函数， 可用下式表示
引言 实际结构以及裂纹性 由于材料本身性质、 质等一系列内在因素的不同再加上变化多端的 工作载荷、环境这些外在因素的影响造成材料 的裂纹在扩展过程中往往呈现出复杂的分散 性。 通过对其分析可把分散性的来源分为两类， 即内在分散性和外在分散性。 目前， 对材料的分 散性的研究在理论上和实践上都比较成功， 有 许多模型可供工程应用时选择，采用最多的是 Paris- Erdogan 模型，对这一类模型的处理方法 参 之一是将 Paris 公式中的参数 c 和 n 随机化， 数的不同组合可以得到不同的随机模型，对 c 和 n 参数的分布进行相关的统计，从而确定此 种材料裂纹扩展速率的特性。 本篇文章对 2024- T42 铝合金材料的 c 与 n 值进行了相关的统计，找到了 c 和 n 的分布 规律，从而进一步研究 2024- T42 铝合金材料 的疲劳裂纹扩展特性。 疲劳裂纹扩展分散性现象及来源 材料的疲劳裂纹扩展过程是一种随机过 程，这种随机过程体现在疲劳裂纹扩展的速率 上，我们发现无论加载情况是否相同，在实验 中，不仅同一试件的疲劳裂纹扩展速率不能呈 现出有规律的变化，而且不同试件的疲劳裂纹 随机扩展速率曲线也不能完全吻合，这种裂纹 扩展的不确定性就是疲劳裂纹扩展的分散性。 疲劳裂纹扩展速率的函数可用 da/dn=L (ΔK,Kmax,R,S,a,…)形式来表述， 通过循环续循环 的运算利用 da/dn 的数值便可得到任意时刻 T 的裂纹扩展长度 aT, 或者对其进行积分得到裂 纹扩展到 aT 时所需的载荷循环次数 NT。 这种裂 纹扩展速率函数是确定性的，因此 aT 以及 NT 的计算结果也是确定的。 但实验结果表明， 疲劳 裂纹的扩展具有很大的分散性。 材料的裂纹扩展分散性来源可分为两大 a.内在的分散性： 材料固有的分散性即微观 类： 结构不均匀性， 这包括晶格缺陷、 不纯原子 、 晶 界、位错及松孔、裂纹和铸造缺陷的随机分布 b.外在分散性： 外载、 试件几何、 工作环境等 等； 的不确定性因素。根据在不同材料以及同一材 料的不同试件中对裂纹的随机扩展所作的对 比，可以将材料固有分散性的来源再细化分为 两类：第一类主要来源于材料微观结构的不均 构成物质的不均匀性、 缺陷分布的不均匀 匀性、 性等因素， 体现了材料分散性的总体差别。 第二 、 裂 类来源于材料内部阻力的不恒定 （如晶界 ） 纹面的不规则、 裂纹判读的不确定等因素， 体现 了材料分散性的个体差别。 疲劳裂纹扩展分散性研究现状
2.1 马尔可夫链离散模型 这 类 模 型 以 Bogdanoff- Kozin 模 型 为 代 表，它将疲劳裂纹扩展累积损伤定义为整个寿 命区内的不可逆过程，用马尔可夫链来模拟此 过程， 认为裂纹扩展是独立的、 不可逆的 、 无后 效性的随机离散马尔可夫链。该模型首先定义 一个初始的损伤状态 P0= {π1,π2…， πb- 1,0}， 式 由初始裂纹尺寸 （EIFS ） 中 πj=P{损伤状态 j|t- 0}， 分布函数给出， 损伤 （如裂纹） 只能按状态序列 顺序跳到相邻的下一个状态, 损伤状态转移概 率矩阵为
( a da ) = dN N - a - N
表 2 给出了 2024- T42 铝合金 14 个试件 相应裂纹长度的裂纹扩展速率的计算数据。 3.2 应力强度因子变程的数值计算 由于本次试验采用 ccT 试件， 在计算应力 强度因子变程时需应用公式
Á Â Ã Ä Å Æ Á Ç È É Å Æ Ã Ä Â È Á Ç Å Ã Æ Â È É Ç Å Á Ã Æ Â È É Ç Å Æ Ã Â È Á Ä Ä Â Ã Â É Á Ä Á Ã Ä Å Á É Æ È Ç Å Ä Á Â Ã Æ Ç Â É Å Á È Æ Ç Â Ã Æ È Â È Ä Å Ä Á Á Ã Â Ä Á Á Ã Ä Â Á Å Æ Ç Å Æ Ç Ã Æ Â Å Ã Æ Â Ã É Ç È É È Ç Ç Å É Á Â Ä È È Ã Á Â Á Á Ä Â Á Æ Ä Å Â Á Á Ã Á Ç Ã È Â Å Ç Ä È Ã Â Æ Æ Å Á Â Ã Ç Ä Ã Â Æ Ç Á È Ã Å Â Ç Á È Å Á Å Á É Ä É É É Ä Å ÁÁ Â Â Á Ç È Æ Ã Ä Ã Ç Ä Ã Ä Å Æ Â ÂÂ Æ ÃÃ Æ Á É Å Ç Á Æ Ä È Å Á Ã ÇÇ ÅÅ Æ Á Á Á Á Â Ã Å Á Â Ã Ä Æ Ä Ç ! " # Â $ % È & Á ÂÉ Å Â Æ Ç È
Y( a )= W pa pa sec( ) W W
由于 的数值 接近于 1，在计算中可 以忽略不计， 从而 ΔK 的计算表达式可以变 为如下形式
DP pa = D s pa BW
DK =
表 3 给出了 14 个试件相应裂纹长度下 的应力强度因子变程 表 1 2024-T42 铝合金疲劳裂纹扩展试验数据 单位 （mm ） 的计算数据。 da 3.3 lg dN - lg (ΔK) 直线的拟合 da 将上面得到的 dN 和 ΔK 的数值分别取 对数， 并使 作为 纵坐标、 lg(ΔK) 作 为 横坐标，这样对于每 个试件就可以得到一 系列的坐标点，通过 线性相关性的计算可 以得知各个试件的坐 标点的线性相关性都 在 0.93 到 0.99 的 范 围内，所以可以利用 表 2 2024-T42 铝合金裂纹扩展速率计算数据(×10-7) 最小二乘法对每个试件拟合出 一条直线，该直线的函数表达 式由 （2 ） 式给出。 这里把 n 设为 b、 把 lgc 设为 a， 则公式变为 da lg = a + b lg(D K ) ， 直线的截距和 dN 斜率可用如下公式求出
3 参数 c 和 n 的统计特性 3.1 裂纹扩展速率的数值计算 本文采用割线法对各个裂纹长度下的裂 纹扩展速率进行了计算，方法是将邻近点连接 形成若干条分段直线， 求出每一条直线的斜率， 所得到的斜率的数值可以认为是该段直线的起 点(该直线段裂纹扩展前的那一点)处对应的裂 纹长度下的裂纹扩展速率值， 计算公式如下
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（1 ） 其中 lgc=a,使方程两边取指数就可以得到 Paris 公式的形式 （2 ） 2.2.2 2024- T42 铝合金疲劳裂纹扩展试
da = c (D K ) dN
验
此次试验在 2024- T42 材料中抽取了一个 容量为 14 的样本进行研究， 所用试件等幅的循环载荷 (Pmax=25.0kN,Pmin=12.5kN)。 试件及试件安装、 加载精度和加载频率 （10Hz ） 均满足国标要求。表 1 给出了裂纹扩展的试验 数据。
目前， 处理疲劳裂纹增长的随机特性有两 条途径：第一种是建立在确定性断裂力学的基 第二种 础上， 将 da/dn 表达式中的参数随机化； 是建立在马尔可夫随机过程基础上的累积损伤 模型。 1 材料固有分散性的随机模型 1.1 材料的第一类固有分散性的裂纹随机 扩展模型 对这一类模型的处理方法之一是将 Paris 公式中的参数随机化，参数 c 和 n 的不同组合 ⑴c 服从正态分布， 可以得到不同的随机模型： n 为常数； ⑵ n 服从正态分布， c 为常数； ⑶c 和 n 统计相关。对于每一个试件利用线性相关可 以求出一对 c 和 n 的值，从而就可以拟合出一 条以 lg(c)为截距、 以 n 为斜率的直线， 通过对不 同试件所对应的直线进行比较可以看出在不同 的试件中裂纹扩展速率有的快有的慢，每一条 曲线都不能完全吻合，这就体现了材料裂纹扩 展分散性的总体差别。 1.2 材料的第二类固有分散性的裂纹随机 扩展模型 处理这一类分散性的一个方法是将这种 分散性看作是一个平稳正态过程，其裂纹扩展 ,式中 Z(t)=lgX(t)。 对 速率可表示为 该表达式求积分可求出达到任意裂纹尺寸时使 用寿命的分布或者至任一使用时间时裂纹尺寸 的分布。但通常此裂纹扩展速率表达式无解析 解。 一般采用 Monte Carlo 法或其它的近似方法 不同的求解方法， 便得到不同的模型。 一 求解。 般的解法是解析法和二次矩近似法。 1.3 综合考虑材料两类分散性的随机模型 综合考虑材料两类固有分散性时， 可利用 如下疲劳裂纹扩展速率表达式 ， c 和 n 是随 式中 Z(a)为零均值平稳的高斯过程， 机变量。 这种模型是前面两种模型的综合。 通过 时 对裂纹扩展速率的时间序列分析可从幅域 、 域和频域三个方面完整地描述扩展速率数据随 机涨落的幅域、 时域和频域的数字特征， 可以方 便地确定随机涨落数据在不同时刻的统计相关 性。 综合考虑材料两类分散性的模型还有很 多，它们与此模型比较，差别主要体现在两方 面： 一是随机化形式的不同， 将 Paris 公式中的 c 和 n 均假设成随机过程 (C (x)=C0+C1 (x),n(x) =n0+n1(x))， 其中 C0， n0 描述了材料的第一类分散 C1(x)， n1(x)描述了材料的第二类 性， 是随机变量， 分散性， 是随机过程； 二是随机化形式相同， 但 是取的随机过程不同。 2 裂纹随机扩展的马尔可夫过程模型