6相似三角形证明技巧.docx

相似三角形证明技巧
姓名: _____________
一、 相似、全等的关系
全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形, 相似形则是全等形的推广.因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们Z 间的联系与区别； 相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础.
二、 相似三角形
（1）三角形相似的条件：
① _____________________ ;② ________________________ ;③ ______________________________ ・
三、 两个三角形相似的六种图形：
只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形, 从而使问题得以解决.
四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：
1） 先找两对内角对应相等（对平行线型找平行线），因为这个条件最简单;
2） 再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例；
3） 若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；
J 找另一角——►两角对应相等，两三角形相似 ［找夹边对应成比例——两边对应成比
例且夹角相等, 「找夹角相等一►两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 X 找第三边也对
应成比例 一►三边对应成比例，两三角形相似 I 找一个直角一►斜边、直角边对
应成比例，两个直角三角形相似
r 找另一角 ►两角对应相等，两三角形相似
L 找两边对应成比例 判定定理1或判定定理4
r 找顶角对应相等一►判定定理1
⑴有等腰关系 彳找底角对应相等一 判定定理1
I 找底和腰对应成比例 ------ ►判定定理3
五、 确定证明的切入点。

几何证明题的证明方法主要有三个方面。

第一，从“已知”入手，通过推 理论证，得出“求证”；第二，从“求证”入手，通过分析，不断寻求“证据”的支撑，一直追溯回 到“己知”；第三，从“己知”及“求证”两方面入手，通过分析找到中间“桥梁”，使之成为清晰 的思维过程。

六、 证明题常用方法归纳：
（一） 、总体思路：“等积”变“比例”，“比例”找“相似”
（二） 、证比例式和等积式的方法：
对线段比例式或等积式的证明：常用“三点定形法”、等线段替换法、中间比过渡法、面积法等.若 比例式或等积式所涉及的线段在同一直线上时，应将线段比“转移"（必要时需添辅助线），使其分别构 成两个相似三角形来证明.
a ）已知一对等角 c ）己知一个直角 c ）相似形的传递性 若厶\sd A2^A3,则△lsA3
两三角形相似
b ）己知两边对应成比例 斜边上的高
可用口诀：遇等积，改等比，横看竖看找关系；三点定形用相似，三点共线取平截；
平行线，转比例，等线等比来代替；两端各自找联系，可用射影和园幕.
1、“三点定形法”:通过“横找”“竖看”寻找三角形，由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的
方法。

具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能, 再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。

例1、已知:如图，AABC屮，CE丄AB,BF丄AC.
求证: AE AC
~AF~~BA
例2、如图，CD是RtAABC的斜边AB ±的高，ZBAC的平分线分别交BC、CD
于点E、F, 求证：AC・AE=AF・AB
例3、己知：如图，Z\ABC中，ZACB=90°, AB的垂直平分线交AB于D,交BC延长线于F。

求证：CD=DE・DFo
C
例3.如图在“BC屮，AD、BE分别是BC、边上的高，DFX.AB于F,交FC的延长线
于〃，交BE于G,求证：（l）F^ / FA=FB / FH ⑵FD是尸&与加的比例中项.
说明：证明线段成比例或等积式，通常是借证三角形相似.找相似三角形用三点定形法（在比例式中, 或横着找三点，或竖着找三点），若不能找到相似三角形，应考虑将比例式变形，找等积式代换，或直接找等比代换
例4、如图6, D ABCD,E是BC上的一点，AE交BD于点F,己知BE：EC=3： 1, S“BE= 18,求：⑴BF：FD （2）S AFDA
A
说明：线段BF、FD三点共线应用平截比定理.由平行四边形得出两线段平行且相等，再由“平截比定理”得到对应线段成比例、三角形相似；由比例合比性质转化为所求线段的比；由面积比等于相似比的平方，求出三角形的面积.
2、过渡法（或叫代换法）
有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种: （1）等量过渡法（等线段代换法）
遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式屮的四条线段都在图形屮的同一条直线上，不能
组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。

然后再应用三点定形法确定相似三角形。

当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。

例5：如图3, ZkABC中，AD平分ZBAC, AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E.求证: DE2=BECE.
练习：如图8在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE丄AC交AC于F,过F作FG//AB交AE 于G.求证：AG2=AF X FC厂
说明：证明线段的等积式，可先转化为比例式，再用等线段替换法，然后利用“三点定形法”确定要证
明的两个三角形相似・、
例6.如图，已知ZiABC中，AB=AC, AD是BC边上的中线，CF〃BA, BF交AD于P点, 交AC于E点。

求证：BP2=PE ・ PFo
分析：因为BP、PE、PF三条线段共线，找不到两个三角形，所以必须考虑等线段代换等其他方法, 因为AB
二AC, D是BC中点，rfl等腰三角形的性质知AD是BC的垂直平分线，如果我们连结PC,
由线段垂直平分线的性质知PB=PC,只需证明厶PECs/XPCF,问题就能解决了。

(2)等比过渡法(等比代换法)
当用三点定形法不能确定三角形，同吋也无等线段代换吋，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，并进行代换，然后再用三点定形法來确定三角形。

例7：如图4,在厶ABC中，ZBAC=90°, AD丄BC, E是AC的中点，ED交AB的延长线于点
F.
求证:
C
练习：如图，在MBC中，AD是BC边上的中线，M是AD的中点，CM的延长线交4B于N.求: AN：AB的值；
说明：求比例式的值，可直接利用己知的比例关系或是借助己知条件中的平行线，找等比过渡.当己知条件中的比例关系不够用时，还应添作平行线，再找中间比过渡.
例8.如图，已知：在AABC中，ZBAC=900, AD丄BC, E是AC的屮点，ED交AB的延长
线于F。

AB _DF 求证：M朋
（3）、等积过渡法（等积代换法）
思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比例；若三点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换，然后再用三点定形法确定相似三角形，若以上三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。

例9：如图5,在AABC中，ZACB=90°, CD是斜边AB ±的高，G是DC延长线上一点, 过B作BE丄AG,垂足为E,交CD于点F.
求证：CD2=DF DG.
A g]5 D B
小结：证明等积式思路口诀：“遇等积，化比例：横找竖找定相似;
不相似，不用急：等线等比来代替。

”
（三）比例问题：常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k o （四）.对于复杂的几何图形，通常采用将部分需要的图形（或基本图形）“分离” 11!来的办法处理。

七、中考链接：
例10. （2015.资阳）如图10,直线y=俶+1与兀轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线y
=£（x>0）相交于点P, PC丄兀轴于点C,且PC=2,点A的坐标为（-2,0）.
（1）求双曲线的解析式；
（2）若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且QHLx轴于当以点Q、C、H为顶点的三角形与△AOB 相似时，求点0的坐标.
同步练习：
1.如图，E是平行四边形的边DA延长线上一点，EC交AB于点G,交BD于点F, 求证：FC2 =FG ・EF.
2.如图，E是正方形ABCD边BC延氏线上一点，连接AE交CD于F,过F作FM〃BE交DE于比求证：
FM=CF.
（注：等线替代和等比替代的思想不局限于证明等积式，也可应用于线段相等的证明。

此题用等比替代可以解决。

）
【家庭作业】
1.如图，点D、E分别在边AB、AC上，且ZADE=ZC
求证：（1）△ADEs^ACB; （2）AD ・AB=AE・AC.
2、如图，ZUBC中，点DE在边BC上，且AADE是等边三角形，ZBAC=120°求证：(1) AADB^ACEA;
(2) DE2=BD - CE; (3)AB ・ AC二AD ・ BC.
3.如图，平行四边形ABCD中，E为BA延长线上一点，ZD=ZECA. 求证：AD・EC=AC・EB .
（此题为陷阱题，应注意条件中唯一的角相等，考虑平行四边形对边相等，用等线替代思想解决）4.如图，ZACB二90° ,AD二DB, DE丄AB,
求证：DC2 =DE ・ DF.。