信息与编码信息与编码 15-6
信息论与编码试题集与答案(新)
1. 在无失真的信源中，信源输出由 H (X ) 来度量；在有失真的信源中，信源输出由 R (D ) 来度量。
2. 要使通信系统做到传输信息有效、可靠和保密，必须首先 信源 编码， 然后_____加密____编码，再______信道_____编码，最后送入信道。
3. 带限AWGN 波形信道在平均功率受限条件下信道容量的基本公式，也就是有名的香农公式是log(1)C W SNR =+；当归一化信道容量C/W 趋近于零时，也即信道完全丧失了通信能力，此时E b /N 0为 -1.6 dB ，我们将它称作香农限，是一切编码方式所能达到的理论极限。
4. 保密系统的密钥量越小，密钥熵H (K )就越 小 ，其密文中含有的关于明文的信息量I (M ；C )就越 大 。
5. 已知n ＝7的循环码42()1g x x x x =+++，则信息位长度k 为 3 ，校验多项式 h(x)= 31x x ++ 。
6. 设输入符号表为X ＝{0，1}，输出符号表为Y ＝{0，1}。
输入信号的概率分布为p ＝(1/2，1/2)，失真函数为d (0，0) = d (1，1) = 0，d (0，1) =2，d (1，0) = 1，则D min ＝ 0 ，R (D min )＝ 1bit/symbol ，相应的编码器转移概率矩阵[p(y/x )]＝1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦；D max ＝ 0.5 ，R (D max )＝ 0 ，相应的编码器转移概率矩阵[p(y/x )]＝1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
7. 已知用户A 的RSA 公开密钥(e,n )=(3,55)，5,11p q ==,则()φn = 40 ，他的秘密密钥(d,n )＝(27,55) 。
若用户B 向用户A 发送m =2的加密消息，则该加密后的消息为 8 。
二、判断题1. 可以用克劳夫特不等式作为唯一可译码存在的判据。
（√ ）2. 线性码一定包含全零码。
（√ ）3. 算术编码是一种无失真的分组信源编码，其基本思想是将一定精度数值作为序列的 编码，是以另外一种形式实现的最佳统计匹配编码。
信息论基础与编码15
c4 c1 c3 c5 c1 c2 c3 c6 c1 c2 c7 c2 c3
c1 0 c3 c4 0 0 0 0
cc11
c2 c2
c3 0 c5 0 0 0 0 0 0 c6 0 0
0 c2 c3 0 0 0 c7 0
一致校验方程
❖ H若不是典型阵，可通过初等行变换化为典型 阵。
❖ H矩阵的各行是线性无关的。
❖ 若一矩阵能写成典型阵形式，则其各行一定是 线性无关的。
• 定理: (n,k) 线性分组码最小距离等于 dmin 的充要条件是：校验矩阵H的列矢量中至少 要有 dmin 个才能线性相关,而任意 (dmin 1) 列线性无关。
生成矩阵与校验矩阵的关系
• 由于生成矩阵G的每一行都是一个码字，所以G 的 每行都满足HCT=0T，则有 HGT=0T 或 GHT=0
• 线性系统码的校验矩阵 H 和生成矩阵 G 之间可以
直接互换。 若G = [Ik P ] ，则 H＝[ PT In-k ]
• 举例：已知(7,4)线性系统码的监督矩阵为
1 1 1 0 1 0 0 H(7,4) 0 1 1 1 0 1 0
1 1 0 1 0 0 1
可写出生成矩阵为：
1 0 0 0 1 0 1
G(7,4)
0 0
1 0
0 1
0 0
1 1
1 1
1 0
0 0 0 1 0 1 1
H矩阵的性质
❖ H的行数就是监督关系式的数目，它等于监督 位的数目r。 ❖ 典型阵H＝[ PT In-k ]。
❖ 非系统码与系统码并无本质区别，它的生成 矩阵可以通过行初等变换转变为系统形式，这个 过程叫做系统化。系统化并不会改变码集，其纠 错能力完全等价。
信息理论与编码-期末试卷A及答案
一、填空题（每空1分，共35分） 1、1948年，美国数学家 发表了题为“通信的数学理论”的长篇论文，从而创立了信息论。
信息论的基础理论是 ，它属于狭义信息论。
2、信号是 的载体，消息是 的载体。
3、某信源有五种符号}{,,,,a b c d e ，先验概率分别为5.0=a P ，25.0=b P ，125.0=c P ，0625.0==e d P P ，则符号“a ”的自信息量为 bit ，此信源的熵为 bit/符号。
4、某离散无记忆信源X ，其概率空间和重量空间分别为1234 0.50.250.1250.125X x x x x P ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦和12340.5122X x x x x w ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则其信源熵和加权熵分别为 和 。
5、信源的剩余度主要来自两个方面，一是，二是 。
6、平均互信息量与信息熵、联合熵的关系是 。
7、信道的输出仅与信道当前输入有关，而与过去输入无关的信道称为 信道。
8、马尔可夫信源需要满足两个条件：一、 ； 二、。
9、若某信道矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡010001000001100，则该信道的信道容量C=__________。
10、根据是否允许失真，信源编码可分为 和 。
12、在现代通信系统中，信源编码主要用于解决信息传输中的 性，信道编码主要用于解决信息传输中的 性，保密密编码主要用于解决信息传输中的安全性。
13、差错控制的基本方式大致可以分为 、 和混合纠错。
14、某线性分组码的最小汉明距dmin=4，则该码最多能检测出 个随机错，最多能纠正 个随机错。
15、码字101111101、011111101、100111001之间的最小汉明距离为 。
16、对于密码系统安全性的评价，通常分为 和 两种标准。
17、单密钥体制是指 。
18、现代数据加密体制主要分为 和 两种体制。
19、评价密码体制安全性有不同的途径，包括无条件安全性、 和 。
信息的编码
汉字编码
1.怎样将汉字输入计算机？ 2.在计算机内部怎样处理汉字？ 3.在各计算机系统之间怎样交换汉字信息？ 4. 计算机怎样实现汉字信息的输出（显示）？
汉字编码
怎样将汉字输入计算机？
汉字输入方法： 自动识别方式和汉字编码输入。
字形识别 语音识别 输入码：音码、形码、音形码、形音码
汉字编码
在各计算机系统之间怎样交换汉字信息？
数字编码
进 制 基本数 码 位权 计数规则
i 01 2 二进制 逢二进一 “半斤八两”是表示“差不多，相
当”。原来古时候在重量方面设置了 八进制、十六进制具有哪些特征？ 01234567 8i 八进制 逢八进一 一斤是十六两，这表明古时候在重量 方面采用的数制是： 0123456789 10i 十进制 逢十进一
。 。
数字编码
字符编码
国际上普遍采用ASCII编码（American Standard Code for Information Interchange，美国信息交换 标准代码） 作为通用的字符编码 。 ASCII编码的作用就是给英文字母、数字、标点 、字符转换成计算机能识别的二进制数的标准 。在信息表示中使用最多的符号有：数字0~9， 大小写英文字母（A~Z，a~z），通用的算术运 算符及各种标点符号等大约128种，需要用 7 位二进制数来编码表示128个不同的符号。
十六 进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
练习： A5H=（1010 ,0101）B 3BDH=（ ）B (4B9E) 111010B= （ ）H =(0100,1011,1001,1110)
16 2
=(100101110011110)
2
数字编码
信息论与编码-教案
1平均互信息的凸函数性，以二进制信源送入二进制对称信道为例，仔细推导最后得出结论，平均互信息量是信源概率分布p(x)和信道传递概率p(x|y)的凸函数。讲解55分钟
2数据处理定理，讲解20分钟
3加权熵的概念及基本性质，加权熵从某种程度上反映了人的主观因素。信源平均每发出一个消息，总能提供一定的信息量，最差是零。信源空间中概率分量的微小波动，不会引起加权熵值的很大变动。在一定程度上反映了认识主体的主观意志，具有效用和意义的含义。香农最大熵可看成是加权熵在权重系数都为1时的特例。讲解15分钟
4讲解练习题，讲解60分钟
作业及课外训练：2.17
参考资料（含参考书、文献等）：
课后自我总结分析：
周次
第6周，第9次课
编写时间
2009.10.2
章节名称
2.3连续信源—2.4离散无失真信源编码定理
教学目的与要求：
参考资料（含参考书、文献等）：
课后自我总结分析：
理解离散平稳信源条件熵和极限熵的性质至关重要。
周次
第4周，第7次课
编写时间
2009.9.18
章节名称
2.2.4马尔可夫信源
教学目的与要求：
掌握马尔可夫信源的特点及其极限熵的求解，了解马尔可夫链的性质。
教学重点和难点：
教学重点：马尔可夫信源的特点
教学难点：马尔可夫信源极限熵的求解
2相对率，讲解10分钟
3信息变差，信源最大可能熵与实际熵的差值定义为内熵。相对率、剩余度、内熵均可用来表示信源的剩余情况。信源的剩余度表示信源的可压缩程度。从提高信息传输效率的观点出发，总是希望减少或去掉剩余度（信源编码）。从提高抗干扰能力的角度出发，总是希望增加或保留剩余度（信道编码）。
信息论与编码理论习题答案全解
信息论与编码理论习题答案全解第二章 信息量和熵2.2 八元编码系统，码长为3，第一个符号用于同步，每秒1000个码字，求它的信息速率。
解：同步信息均相同，不含信息，因此 每个码字的信息量为 2⨯8log =2⨯3=6 bit因此，信息速率为 6⨯1000=6000 bit/s2.3 掷一对无偏骰子，告诉你得到的总的点数为：(a) 7; (b) 12。
问各得到多少信息量。
解：(1) 可能的组合为 {1，6},{2，5},{3，4},{4，3},{5，2},{6，1})(a p =366=61得到的信息量 =)(1loga p =6log =2.585 bit (2) 可能的唯一，为 {6，6})(b p =361得到的信息量=)(1logb p =36log =5.17 bit2.4 经过充分洗牌后的一副扑克（52张），问：(a) 任何一种特定的排列所给出的信息量是多少？(b) 若从中抽取13张牌，所给出的点数都不相同时得到多少信息量？解：(a) )(a p =!521信息量=)(1loga p =!52log =225.58 bit (b) ⎩⎨⎧⋯⋯⋯⋯花色任选种点数任意排列13413!13)(b p =1352134!13A ⨯=1352134C 信息量=1313524log log -C =13.208 bit即)0;(1u I ，)00;(1u I ，)000;(1u I ，)0000;(1u I)0(p =4)1(81⨯-p +481⨯p =21)0;(1u I =)0()|0(log1p u p =211log p-=1+)1log(p - bit)00(p =]2)1(4)1(2[8122p p p p +-+-=41)00;(1u I =)00()|00(log 1p u p =4/1)1(log 2p -=)]1log(1[2p -+ bit)000(p =])1(3)1(3)1[(813223p p p p p p +-+-+-=81)000;(1u I =3[1+)1log(p -] bit)0000(p =])1(6)1[(814224p p p p +-+- )0000;(1u I =42244)1(6)1()1(8logp p p p p +-+-- bit2.12 计算习题2.9中);(Z Y I 、);(Z X I 、);,(Z Y X I 、)|;(X Z Y I 、)|;(Y Z X I 。
信息论与编码陈运主编答案完整版
信息论与编码陈运主编答案完整版信息论与编码课后习题答案详解试问四进制、⼋进制脉冲所含信息量是⼆进制脉冲的多少倍？解：四进制脉冲可以表⽰4 个不同的消息，例如：{0, 1, 2, 3}⼋进制脉冲可以表⽰8 个不同的消息，例如：{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ⼆进制脉冲可以表⽰ 2 个不同的消息，例如：{0, 1} 假设每个消息的发出都是等概率的，则：四进制脉冲的平均信息量H X( 1) = log n = log4 = 2 bit symbol/ ⼋进制脉冲的平均信息量H X( 2) = log n = log8 = 3 bit symbol/⼆进制脉冲的平均信息量H X( 0) = log n = log2 =1 bit symbol/所以：四进制、⼋进制脉冲所含信息量分别是⼆进制脉冲信息量的 2 倍和3 倍。
居住某地区的⼥孩⼦有25%是⼤学⽣，在⼥⼤学⽣中有75%是⾝⾼160厘⽶以上的，⽽⼥孩⼦中⾝⾼160厘⽶以上的占总数的⼀半。
假如我们得知“⾝⾼160厘⽶以上的某⼥孩是⼤学⽣”的消息，问获得多少信息量？解：设随机变量X 代表⼥孩⼦学历X x1（是⼤学⽣）x2（不是⼤学⽣）P(X)设随机变量Y 代表⼥孩⼦⾝⾼Y y1（⾝⾼>160cm）y2（⾝⾼<160cm）P(Y)已知：在⼥⼤学⽣中有75%是⾝⾼160 厘⽶以上的即：p y( 1 / x1) = bit求：⾝⾼160 厘⽶以上的某⼥孩是⼤学⽣的信息量p x p y( 1) ( 1 / x1 ) log ×=bit即：I x( 1 / y1 ) =log p x( 1 / y1 ) = log =p y( 1 )⼀副充分洗乱了的牌（含52张牌），试问 (1) 任⼀特定排列所给出的信息量是多少？(2) 若从中抽取13张牌，所给出的点数都不相同能得到多少信息量？解：(1) 52 张牌共有 52！种排列⽅式，假设每种排列⽅式出现是等概率的则所给出的信息量是：p x ( i ) =I x ( i ) =?log p x ( i ) = log52!= bit(2) 52 张牌共有 4 种花⾊、13 种点数，抽取 13 张点数不同的牌的概率如下：p x ( i ) =C 5213413I x ( i ) = ?log p x ( i ) = ?logC 5213 = bit设离散⽆记忆信源P X (X ) = x 31 /=80x 2 =1 x 3 = 2 x 4 = 3??，其发出的信息为 1/4 1/4 1/8 ?(202032)，求(1) 此消息的⾃信息量是多少？(2) 此消息中平均每符号携带的信息量是多少？解：(1) 此消息总共有 14 个 0、13 个 1、12 个 2、6 个 3，因此此消息发出的概率是：p = ??3??14 ×?? 1 ??25 ×??1??6 ?8?48此消息的信息量是：I =?log p = bit(2) 此消息中平均每符号携带的信息量是：I n / = 45 = bit从⼤量统计资料知道，男性中红绿⾊盲的发病率为7%，⼥性发病率为%，如果你问⼀位男⼠：“你是否是⾊盲？”他的回答可能是“是”，可能是“否”，问这两个回答中各含多少信息量，平均每个回答中含有多少信息量？如果问⼀位⼥⼠，则答案中含有的平均⾃信息量是多少？解：男⼠： p x ( Y ) = 7%I x ( Y ) = ?log p x ( Y ) = ? = bit p x ( N ) = 93%I x ( N ) = ?log p x ( N ) = ? = bit H X () p x ( )log p x ( ) bitsymbol /i⼥⼠：H X () p x ( )log p x ( )bit symbol /P X ( )H(X) > log6不满⾜信源熵的极值性。
信息编码详细讲解
练习：
1011101B= 93 D ( 89 )10= ( 1011001 ) 2 1001011B= 4BH 11111001B= F9H 6FH= 01101111B
英文、数字等字符的编码
字母的摩斯编码
A .B -... C -.-. D -.. E. F ..-. G --. H .... I .. J .--K -.L .-.. M -N -.
O --P .--. Q --.R .-. S ... TU ..V ...W .-X -..Y -.-Z --..
常用缩写
• CQ —— Calling any station（连络任一站台） • SOS ——（紧急呼救=国际通用）
则处理后的音频文件存储容量约是原文件的
（A）1/2
（B）1/3
（C）1/4
（D）3/4
将某播放时长为20秒的音频wav文件进行如下操作：
①增加前10秒音频音量2Db
②将右声道设置为静音
③保存处理后的音频文件
则处理后的音频文件与原文件的存储容量之比约为
（A）1 : 1 （B）1 : 2
（C）1 : 3
信息编码就是采用某种原则或方法 编制代码来表示信息；
信息编码的根本目的是为了能对信 息进行有效的处理，有时也是为了对信 息加密，使其不为局外人所知。
不同领域有着不同的信息编码原则 和方法
著名科学家冯·诺依曼计算机内的数据和程序采用二进制代 码表示。电子计算机将所有输入的信息（数据、程序等）都 转化为机器能识别和处理的二进制数字代码，由“0”、“1” 组成的代码叫二进制代码。
信息的编码教案初中
信息的编码教案初中教学目标：1. 让学生了解信息编码的基本概念和作用。
2. 掌握数字编码、字符编码和汉字编码的基本方法。
3. 能够运用编码知识解决实际问题。
教学重点：1. 信息编码的基本概念和作用。
2. 数字编码、字符编码和汉字编码的基本方法。
教学难点：1. 编码知识的实际应用。
教学准备：1. PPT课件。
2. 编码相关素材。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生思考：在日常生活中，我们如何传递信息？2. 学生回答，教师总结：通过语言、文字、图像等方式传递信息。
3. 提问：那么，如何确保这些信息能够准确无误地传递呢？4. 学生思考，教师引入课题：信息的编码。
二、新课讲解（20分钟）1. 讲解信息编码的基本概念：信息编码是指将信息转化为一定的符号或数字序列，以便于存储、传输和处理。
2. 讲解信息编码的作用：简化信息、防止信息丢失、提高信息处理效率等。
3. 讲解数字编码：数字编码是将数字信息转化为二进制序列，如ASCII编码、Unicode编码等。
4. 讲解字符编码：字符编码是将文字信息转化为二进制序列，如GB2312、GBK、UTF-8等。
5. 讲解汉字编码：汉字编码是将汉字信息转化为二进制序列，如GB2312、GBK、UTF-8等。
6. 示例讲解：以ASCII编码为例，讲解其编码规则及应用。
三、课堂实践（15分钟）1. 学生分组讨论：总结数字编码、字符编码和汉字编码的特点和应用场景。
2. 各组汇报讨论成果，教师点评并总结。
3. 提问：如何运用编码知识解决实际问题？4. 学生思考，教师示例：如在网络通信中，如何确保数据传输的准确性？5. 学生尝试解决实际问题，教师辅导。
四、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容：信息编码的基本概念、作用和编码方法。
2. 强调编码知识在实际生活中的应用。
五、课后作业（课后自主完成）1. 总结数字编码、字符编码和汉字编码的特点和应用场景。
2. 运用编码知识解决一个实际问题，如设计一个简单的信息加密和解密算法。
信息论与编码-曹雪虹-课后习题答案
《信息论与编码》-曹雪虹-课后习题答案第二章2.1一个马尔可夫信源有3个符号{}1,23,u u u ，转移概率为：()11|1/2p u u =，()21|1/2p u u =，()31|0p u u =，()12|1/3p u u =，()22|0p u u =，()32|2/3p u u =，()13|1/3p u u =，()23|2/3p u u =，()33|0p u u =，画出状态图并求出各符号稳态概率。
解：状态图如下状态转移矩阵为：1/21/201/302/31/32/30p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭设状态u 1，u 2，u 3稳定后的概率分别为W 1，W 2、W 3由1231WP W W W W =⎧⎨++=⎩得1231132231231112331223231W W W W W W W W W W W W ⎧++=⎪⎪⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪++=⎩计算可得1231025925625W W W ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩2.2 由符号集{0，1}组成的二阶马尔可夫链，其转移概率为：(0|00)p =0.8，(0|11)p =0.2，(1|00)p =0.2，(1|11)p =0.8，(0|01)p =0.5，(0|10)p =0.5，(1|01)p =0.5，(1|10)p =0.5。
画出状态图，并计算各状态的稳态概率。
解：(0|00)(00|00)0.8p p == (0|01)(10|01)0.5p p ==(0|11)(10|11)0.2p p == (0|10)(00|10)0.5p p == (1|00)(01|00)0.2p p == (1|01)(11|01)0.5p p == (1|11)(11|11)0.8p p == (1|10)(01|10)0.5p p ==于是可以列出转移概率矩阵：0.80.200000.50.50.50.500000.20.8p ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 状态图为：设各状态00，01，10，11的稳态分布概率为W 1,W 2,W 3,W 4 有411i i WP W W ==⎧⎪⎨=⎪⎩∑ 得 13113224324412340.80.50.20.50.50.20.50.81W W W W W W W W W W W W W W W W +=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪+=⎪+++=⎪⎩ 计算得到12345141717514W W W W ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩2.3 同时掷出两个正常的骰子，也就是各面呈现的概率都为1/6，求：(1) “3和5同时出现”这事件的自信息； (2) “两个1同时出现”这事件的自信息；(3) 两个点数的各种组合（无序）对的熵和平均信息量； (4) 两个点数之和（即2, 3, … , 12构成的子集）的熵； (5) 两个点数中至少有一个是1的自信息量。
信息论与编码-曹雪虹-课后习题参考答案
《信息论与编码》-曹雪虹-课后习题答案第二章错误!未定义书签。
2.1一个马尔可夫信源有3个符号{}1,23,uu u ，转移概率为：()11|1/2p u u =，()21|1/2p u u =，()31|0p u u =，()12|1/3p u u =，()22|0p u u =，()32|2/3p u u =，()13|1/3p u u =，()23|2/3p u u =，()33|0p u u =，画出状态图并求出各符号稳态概率。
W 2、W 31231025925625W W W ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ 2.2(0|p (0|01)p =0.5，(0|10)p 解：(0|00)(00|00)0.8p p ==(0|01)(10|01)0.5p p ==于是可以列出转移概率矩阵：0.80.200000.50.50.50.500000.20.8p ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 状态图为：设各状态00，01，10，11的稳态分布概率为W1,W2,W3,W4有411iiWP WW==⎧⎪⎨=⎪⎩∑得13113224324412340.80.50.20.50.50.20.50.81W W WW W WW W WW W WW W W W+=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪+=⎪+++=⎪⎩计算得到12345141717514WWWW⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩2.31/6，求：(1)“3和5(2)“两个1(3)1的自信息量。
11 12 13 14 15 1621 22 23 24 25 2631 32 33 34 35 3641 42 43 44 45 4651 52 53 54 55 5661 62 63 64 65 66共有21种组合：其中11，22，33，44，55，66的概率是3616161=⨯ 其他15个组合的概率是18161612=⨯⨯ (4)x p x p X H X P X i i i 1212181log 1812361log 3612 )(log )()(1211091936586173656915121418133612)( ⎝⎛⨯+⨯+⨯-=-=⎪⎩⎪⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑2.575%是身高160厘米以上的占总数的厘米以上的某女孩是大学生”的设随机变量X 代表女孩子学历X x 1（是大学生） x 2（不是大学生）P(X) 0.25 0.75设随机变量Y 代表女孩子身高Y y1（身高>160cm）y2（身高<160cm）P(Y) 0.5 0.5已知：在女大学生中有75%是身高160厘米以上的即：bitxyp75.0)/(11=求：身高160即：ypxypxpyxpyxI5.075.025.0log)()/()(log)/(log)/(11111111⨯-=-=-=2.6掷两颗骰子，1()(1,2)(2,1)18p x p p=+=log()log18 4.170p x bit=-==7的概率log()log6 2.585p x bit=-==341231/41/8x x===⎫⎪⎭（1）求每个符号的自信息量（2）信源发出一消息符号序列为{202120130213001203210110321010021032011223210}，求该序列的自信息量和平均每个符号携带的信息量解：122118()log log 1.415()3I x bit p x === 同理可以求得233()2,()2,()3I x bit I x bit I x bit === 因为信源无记忆，所以此消息序列的信息量就等于该序列中各个符号的信息量之和就有：123414()13()12()6()87.81I I x I x I x I x bit =+++= 平均每个符号携带的信息量为87.81 1.9545=bit/符号 2.8试问四进制、八进制脉冲所含信息量是二进制脉冲的多少倍？解：四进制脉冲可以表示4个不同的消息，例如：{0,1,2,3}八进制脉冲可以表示8个不同的消息，例如：{0,1,2,3,4,5,6,7}二进制脉冲可以表示2个不同的消息，例如：{0,1}假设每个消息的发出都是等概率的，则：四进制脉冲的平均信息量symbol bit n X H / 24log log )(1=== 八进制脉冲的平均信息量symbol bit n XH / 38log log )(2=== 二进制脉冲的平均信息量symbol bit n X H / 12log log )(0===所以：四进制、八进制脉冲所含信息量分别是二进制脉冲信息量的2倍和3倍。
信息论与编码第五章习题参考答案
5.1某离散无记忆信源的概率空间为采用香农码和费诺码对该信源进行二进制变长编码，写出编码输出码字，并且求出平均码长和编码效率。
解：计算相应的自信息量1)()(11=-=a lbp a I 比特 2)()(22=-=a lbp a I 比特 3)()(313=-=a lbp a I 比特 4)()(44=-=a lbp a I 比特 5)()(55=-=a lbp a I 比特 6)()(66=-=a lbp a I 比特 7)()(77=-=a lbp a I 比特 7)()(77=-=a lbp a I 比特根据香农码编码方法确定码长1)()(+<≤i i i a I l a I平均码长984375.164/6317128/17128/1664/1532/1416/138/124/112/1L 1=+=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=由于每个符号的码长等于自信息量，所以编码效率为1。
费罗马编码过程5.2某离散无记忆信源的概率空间为使用费罗码对该信源的扩展信源进行二进制变长编码，(1) 扩展信源长度，写出编码码字，计算平均码长和编码效率。
(2) 扩展信源长度，写出编码码字，计算平均码长和编码效率。
(3) 扩展信源长度，写出编码码字，计算平均码长和编码效率，并且与(1)的结果进行比较。
解：信息熵811.025.025.075.075.0)(=--=lb lb X H 比特/符号 （1）平均码长11=L 比特/符号编码效率为%1.81X)（H 11==L η（2）平均码长为84375.0）3161316321631169（212=⨯+⨯+⨯+⨯=L 比特/符号 编码效率%9684375.0811.0X)（H 22===L η（3）当N=4时，序列码长309.3725617256362563352569442569242562732562732256814=⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯=L平均码长827.04309.34==L %1.98827.0811.0X)（H 43===L η可见，随着信源扩展长度的增加，平均码长逐渐逼近熵，编码效率也逐渐提高。
《信息论与编码》课后习题答案
《信息论与编码》课后习题答案第二章2.1一个马尔可夫信源有3个符号{}1,23,u u u ，转移概率为：()11|1/2p u u =，()21|1/2p u u =，()31|0p u u =，()12|1/3p u u =，()22|0p u u =，()32|2/3p u u =，()13|1/3p u u =，()23|2/3p u u =，()33|0p u u =，画出状态图并求出各符号稳态概率。
解：状态图如下状态转移矩阵为：1/21/201/302/31/32/30p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭设状态u 1，u 2，u 3稳定后的概率分别为W 1，W 2、W 3由1231WP W W W W =⎧⎨++=⎩得1231132231231112331223231W W W W W W W W W W W W ⎧++=⎪⎪⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪++=⎩计算可得1231025925625W W W ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩2.2 由符号集{0，1}组成的二阶马尔可夫链，其转移概率为：(0|00)p =0.8，(0|11)p =0.2，(1|00)p =0.2，(1|11)p =0.8，(0|01)p =0.5，(0|10)p =0.5，(1|01)p =0.5，(1|10)p =0.5。
画出状态图，并计算各状态的稳态概率。
解：(0|00)(00|00)0.8p p == (0|01)(10|01)0.5p p ==(0|11)(10|11)0.2p p == (0|10)(00|10)0.5p p == (1|00)(01|00)0.2p p == (1|01)(11|01)0.5p p == (1|11)(11|11)0.8p p == (1|10)(01|10)0.5p p ==于是可以列出转移概率矩阵：0.80.200000.50.50.50.500000.20.8p ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 状态图为：设各状态00，01，10，11的稳态分布概率为W 1,W 2,W 3,W 4 有411i i WP W W ==⎧⎪⎨=⎪⎩∑ 得 13113224324412340.80.50.20.50.50.20.50.81W W W W W W W W W W W W W W W W +=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪+=⎪+++=⎪⎩ 计算得到12345141717514W W W W ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩2.3 同时掷出两个正常的骰子，也就是各面呈现的概率都为1/6，求：(1) “3和5同时出现”这事件的自信息； (2) “两个1同时出现”这事件的自信息；(3) 两个点数的各种组合（无序）对的熵和平均信息量； (4) 两个点数之和（即2, 3, … , 12构成的子集）的熵； (5) 两个点数中至少有一个是1的自信息量。
信息论与编码作业答案 新 超全
2-2
由符号集{0，1}组成的二阶马尔可夫链，其转移概率为：p(0 | 00) =0.8，p(0 | 11)=0.2，p(1 | 00)=0.2，p(1 | 11) =0.8，
p(0 | 01) =0.5， p(0 | 10) =0.5， p(1 | 01) =0.5， p(1 | 10) =0.5。画出状态图，并计算各状态的稳态概率。
解：（1）状态转移矩阵
p(0 | 00) = p(00 | 00) = 0.8
p(0 | 01) = p(10 | 01) = 0.5
p(0 | 11) = p(10 | 11) = 0.2
p(0 | 10) = p(00 | 10) = 0.5
p(1 | 00) = p(01 | 00) = 0.2 p(1 | 01) = p(11 | 01) = 0.5
合共 15 种，每种出现的概率均为 1/18。
H
(X1, X2)
=
6
´
1 36
´
log
36
+
15
´
1 18
´
log 18
»
4.337bit
/event
（4）两个点数之和（即 2，3，…，12 构成的子集）的概率如下表所示
和2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
组 1+1 1+2
1+3
1+4
1+5
1+6
2+6
3+6
答：（略）#
2-8
（题目略） Log(2) 1 Log(4) 2 Log(8) 3
2-9
信息论与编码习题参考答案(全)
111
(1)在W4＝011中，接到第一个码字“0”后获得关于a4的信息量I(a4;0)；
(2)在收到“0”的前提下，从第二个码字符号“1”中获取关于a4的信息量I(a4;1/0)；
(3)在收到“01”的前提下，从第三个码字符号“1”中获取关于a4的信息量I(a4;1/01)；
(4)从码字W4＝011中获取关于a4的信息量I(a4;011)。
其中N=2FT,б2X是信号的方差(均值为零),б2N是噪声的方差(均值为零).
再证:单位时间的最大信息传输速率
信息单位/秒
(证明详见p293-p297)
5.12设加性高斯白噪声信道中,信道带宽3kHz,又设{(信号功率+噪声功率)/噪声功率}=10dB.试计算改信道的最大信息传输速率Ct.
解:
5.13在图片传输中,每帧约有2.25×106个像素,为了能很好的重现图像,需分16个量度电平,并假设量度电平等概率分布,试计算每分钟传输一帧图片所需信道的带宽(信噪功率比为30dB).
(2)求信源的极限熵H∞；
(3)求当p=0,p=1时的信息熵，并作出解释。
解:
3.10设某马尔柯夫信源的状态集合S：{S1S2S3}，符号集X：{α1α2α3}。在某状态Si(i=1,2,3)下发发符号αk(k=1,2,3)的概率p(αk/Si) (i=1,2,3; k=1,2,3)标在相应的线段旁,如下图所示.
证明:
3.5试证明：对于有限齐次马氏链，如果存在一个正整数n0≥1，对于一切i，j＝1，2，…，r，都有pij(n0)>0，则对每个j＝1，2，…，r都存在状态极限概率：
(证明详见:p171~175)
3.6设某齐次马氏链的第一步转移概率矩阵为：
信息论与编码-曹雪虹-课后习题答案
《信息论与编码》-曹雪虹-课后习题答案 第二章2.1一个马尔可夫信源有3个符号{}1,23,u u u ，转移概率为：()11|1/2p u u =，()21|1/2p uu =，()31|0p u u =，()12|1/3p u u =，()22|0p u u =，()32|2/3p u u =，()13|1/3p u u =，()23|2/3p u u =，()33|0p u u =，画出状态图并求出各符号稳态概率。
解：状态图如下 状态转移矩阵为：设状态u 1，u 2，u 3稳定后的概率分别为W 1，W 2、W 3由1231WP W W W W =⎧⎨++=⎩得1231132231231112331223231W W W W W W W W W W W W ⎧++=⎪⎪⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪++=⎩计算可得1231025925625W W W ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ 2.2 由符号集{0，1}组成的二阶马尔可夫链，其转移概率为：(0|00)p =0.8，(0|11)p =0.2，(1|00)p =0.2，(1|11)p =0.8，(0|01)p =0.5，(0|10)p =0.5，(1|01)p =0.5，(1|10)p =0.5。
画出状态图，并计算各状态的稳态概率。
解：(0|00)(00|00)0.8p p == (0|01)(10|01)0.5p p ==于是可以列出转移概率矩阵：0.80.200000.50.50.50.500000.20.8p ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭状态图为：设各状态00，01，10，11的稳态分布概率为W 1,W 2,W 3,W 4 有411i i WP W W ==⎧⎪⎨=⎪⎩∑ 得 13113224324412340.80.50.20.50.50.20.50.81W W W W W W W W W W W W W W W W +=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪+=⎪+++=⎪⎩ 计算得到12345141717514W W W W ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩2.3 同时掷出两个正常的骰子，也就是各面呈现的概率都为1/6，求：(1) “3和5同时出现”这事件的自信息； (2) “两个1同时出现”这事件的自信息； (3) 两个点数的各种组合（无序）对的熵和平均信息量；(4) 两个点数之和（即2, 3, … , 12构成的子集）的熵；(5) 两个点数中至少有一个是1的自信息量。
信息论与编码第六章课后习题答案(曹雪虹)(word文档良心出品)
第六章：信道编码(本章复习大纲我重新修改了一下，尤其要关注红色内容)1、基本概念：差错符号、差错比特；差错图样：随机差错、突发差错；纠错码分类：检错和纠错码、分组码和卷积码、线性码与非线性码、纠随机差错码和纠突发差错码；矢量空间、码空间及其对偶空间； 有扰离散信道的编码定理：-()NE R e P e （掌握信道编码定理的内容及减小差错概率的方法）；线形分组码的扩展与缩短（掌握奇偶校验码及缩短码的校验矩阵、生成矩阵与原线形分组码的关系）。
2、线性分组码(封闭性)：生成矩阵及校验矩阵、系统形式的G 和H 、伴随式与标准阵列译码表、码距与纠错能力、完备码(汉明码)、循环码的生成多项式及校验多项式、系统形式的循环码。
作业：6-1、6-3、6-4、6-5和6-6选一、6-7 6-8和6-9选一 6-1 二元域上4维4重失量空间的元素个数总共有24=16个，它们分别是(0,0,0,0),(0,0,0,1)…(1,1,1,1)，它的一个自然基底是(0,0,0,1),(0,0,1,0),(0,1,0,0)和(1,0,0,0)；其中一个二维子空间含有的元素个数为22个，选取其中一个自然基底为(0,0,0,1)和(0,0,1,0)，则其二维子空间中所包含的全部矢量为(0,0,0,0,),(0,0,0,1),(0,0,1,0)和(0,0,1,1)(注选择不唯一)；上述子空间对应的对偶子空间可以有三种不同的选择：(0,0,0,0) ,(0,1,0,0),(1,0,0,0)，(1,1,0,0)或(0,0,0,0) ,(0,1,0,0)或(0,0,0,0) (1,0,0,0)。
(注意本题中所包含的关于矢量空间的一些基本概念)6-3 由题设可以写出该系统(8,4)码的线形方程组如下：736251403320231012100321v u v u v u v u v u u u v u u u v u u u v u u u=⎧⎪=⎪⎪=⎪=⎪⎨=++⎪⎪=++⎪=++⎪⎪=++⎩(注：系统码高四位与信息位保持一致，u i 为信息位) 把上述方程组写成矩阵形式，可以表示为 V =U G ，其中V 为码字构成的矢量，即V =(v 7,v 6,v 5,v 4,v 3,v 2,v 1,v 0)，U 为信息位构成的矢量，即U =( u 3,u 2,u 1,u 0)，观察方程组可得系统生成矩阵为：[]44*41000110101001011G I |P 0010011100011110⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦由系统生成矩阵和校验矩阵的关系可得：4*441101100010110100H P |I 0111001011100001T ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦由校验矩阵可以看出，矩阵H 的任意三列都是线性无关的(任意三列之和不为0)，但存在四列线性相关的情况(如第1、5、6、8列，这四列之和为0)，即校验矩阵H 中最小的线性相关的列数为4，从而得该线性分组码的最小码距为4。
信息论与编码理论基础(第六章)
信道编码主要分为：检验码、纠错码。
检验码只检查信息在传输过程中是否有差错， 而纠错码不但检查是否有差错，而且还可以 将错误的信息纠正。
3
2013-7-15
为什么要引入线性码
信道编码研究的主要问题是：发现或构造实际 上可实现的好码（纠错能力和传信率都比较理 想的码）。
注3：有限域GF(D)与实数域的区别是：传统的“逼 近”、“极限”的概念消失了。
2013-7-15 13
预备知识 -- Galois域
例：GF(2)上的方阵 1 0 1 是否可逆？
1 0 1 1 0 0
回答是肯定的。两种不同的判别方法都能够证明它是可逆的 ： （1）它经过可逆行变换能够变成单位阵； （2）它的行列式不等于0。（等于1！）
信道编码的引入
信息传输系统的基本功能是：在系统输 出端及时、准确地再现系统输入端发送 的信息。
我们希望信息传输多快好省，但现实与 我们的良好愿望之间总是存在差距。
首先，信息传输的速度受信道容量的限制， 不可能无限大； 其次，由于信道噪声的干扰，传输错误不可 避免。
1
2013-7-15
信道编码的引入
编码方案太多，以至全局搜索好码是不可能的，现 实的做法是对编码方案加以一定的约束，在一个子集中 寻找局部最优，这种约束既要能包含尽可能好的码，又 要便于分析，便于译码，目前对线性系统的研究远比非 线性系统充分
2013-7-15 4
线性分组码定义
n长向量 k长信息分组 。。。。。 n长码字 。。。。。
香农的信道编码定理指出：只要信息传输速 率低于信道容量，通过对信息进行适当的编 码，可以在不牺牲信息传输或存储速率的情 况下，将有噪信道或存储媒质引入的差错降 到任意低的程度。 这就是说，可以通过编码使通信过程实际上 不发生错误，或者使错误控制在允许的数值 之下。
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根据定义，恰好可纠正t个错误的纠错码可以纠正不多于t的个错误，码的最小距离与纠错性能有如下关系。
第二节课：
6.2码的基本定义与纠错检错能力。----------35分钟
6.3编码理论的基本问题。----------------------10分钟
例题、练习题
例题：结合相关概念给出例题。
作业、思考题
P140页6.1, 6.2题
教案
内容
备注
第六章编码理论的基本知识
6.1代数码理论的基本特点
编码理论中具有以下特点。
定理6.2.3码C恰好可纠正t个错误的充分必要条件为d(C)=2t+1或2t+2。
推论6.2.1d(C)=d的充分必要条件是码C恰好可纠正 个错误。
例6.2.4我们称以下类型的码为码长n的q元重复码，如C={00…0,11…1,…,(q-1)(q-1)…(q-1)}因为d(C)=n，所以码C既是一个恰好可以纠正个错误的纠错码，同时又是一个恰好可以检出n-1个错误的检错码。
定义6.2.2设 ，那么x和y的汉明距离d(x,y)为x和y中不同的位置个数，因此 其中 而 。由此看来，汉明距离函数d(x,y)是 的映射，其中N为全体非负整数。我们以下记d(x)为x的汉明势，这是x中非另分量的个数。
定理6.2.1如果d(x,y)是V(n,q)上的汉明距离函数，那么对任意 ,满足下列性质：
东北电力大学
教案封皮
开课单位
理学院信息与计算教研室
课程名称
信息与编码
授课教师
常志文
授课对象
信息与计算专业121
选用教材
信息论与编码理论（沈世镒）
总学时
60（含课内实验10学时）
课次
15
第6章
第1~3节代数码理论的基本特点，码的定义与纠错检错能力。
教学目的
及要求
教学目的及要求：
掌握代数码的基本概念；
掌握代数码的纠错与检错能力。
(3)代数码理论与通信工程密切结合，在有限域中的运算都可通过逻辑电路实现且编、译码运算还要求与通信实时、同步完成。因此，我们在学习代数码理论时不仅要注意它的袋鼠结构，还要注意它的计算复杂度。
6.2码的基本定义与纠错、检错能力
6.2.1码的基本定义
定义6.2.1如果C为V(n,q)中的任一非空子集，那么称C为q元分组码，称n为分组长度，C中的每一个向量(或字串)为一个码字，如果|C|=M，那么称C为一个(q,n,M)码或q为元(n,M)码，该码的码率定义为
结合实际应用
结合实例计算
结合实例计算
结合实例说明最小距离译码方法
系统码与检错码关系。
纠错能力好坏直接关系到码的实用性。
给出实例计算。
纠错码进一步结论。
例6.2.3二元码C={000.100.010.001}不是系统码。
6.2.2码的检错和纠错能力
检测码和纠错码就是一个码在信息传递时可以自动发现与纠正差错。这种检测和纠错能力与码的最小距离有关，我们在下文中详细叙述。
定义6.2.4设C是一个(n,M)码，码C的最小距离定义为 。我们用(n,M,d)表示码长为n，大小为M，最小距离为d的码。
(1)非负性： 的充分必要条件为x=y；
(2)对称性：d(x,y)=d(y,x)；
(3)三角不等式： 。
因此，具有汉明距离d(x,y)定义的V(n,q)是一个距离空间，又称为汉明空间。
对任何 ，就有一个 使 ，对任何 ，这时有 ，对任何 成立，我们称 是y最大似然译码或最小汉明距离译码。
定义6.2.3设C是q元 码，如果存在一个下标集合 ，使得码C去掉其他的n-k个位置所得字的全体为 上长度为k的所有串的集合 ，也就是 。那么码C称为具有k个信息位的q元系统码。集合 称为信息位，其余n-k个位置称为校验位或冗余度。
(1)充分利用代数工具，把码的结构与编、译码算法用代数方法给以表达与计算。
(2)这里评价码好坏的标准与第一部分不同，第一部分信道编码定理的要求是消息传递误差要非常小。而第二部分对码好坏的评价只是纠错或检错能力。因此，代数码只能起到降低通信中的误差概率的作用，如果信道对信号传输本身的误差概率就很小，那么通过代数码理论就可实现优质通信。
如果信源信息可以表示成 上长度为k的所有串的集合 ，则一个具有k个信息位的q元系统码可以把每一个信源信息在保持不变的条件下嵌入一个码字，下面举例说明。
例6.2.2二元码C={0000,0110,1001,1010}是系统码。
上例中的编码方法称为系统编码，它的译码过程很简单，我们可以直接从码字的信息位上中读出信源字符。
定义6.2.5如果对码C中每一个码字，当发生至多t个(至少一个)错误时，所产生的字表示码字，则称码C为可检查码；如果能检查t个错误而不能检查t+1个错误，则称码C为恰好可检查t个错误的检错码。
由码的检错性定义可得对任何 ，与任何 ，如果 那么y必不在C中，因此有以下定理成立。
定理6.2.2码C恰好可检查t个错误的充分必要条件为d(C)=t+1。
教学重点处理安排
教学重点：
代数码的基本概念与纠错检错能力；
处理安排：
通过代数码的实例与相关理论来说明。
教学难点处理安排
教学难点：
码的汉明距离、重量与最小距离的计算；
处理安排：
通过例题及练习题来巩固相关知识。
教学方式、
方法
方式（手段）：多媒体；
方法：讲授法。
教学
内容
及时
间分
配
第一节课：
6.1代数码理论的基本特点；-------------------45分钟