高考数学一轮复习 单元能力测试卷9

高考数学一轮复习 单元能力测试卷9

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．) 1．若曲线

x 2

m ＋4

＋y 2

9

＝1的一条准线方程为x ＝10，则m 的值为( ) A ．8或86 B ．6或56 C ．5或56

D ．6或86

答案 D

解析 由准线是x ＝10及方程形式知曲线是焦点在x 轴上的椭圆，所以a 2＝m ＋4，b 2

＝9，则c ＝m －5，于是

m ＋4

m －5

＝10，解得m ＝6或86.∵m ＋4>9，∴m >5，均符合题意． 2．已知椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的面积为S ＝abπ，现有一个椭圆，其中心在坐标原点，一

个焦点坐标为(4,0)，且长轴长与短轴长的差为2，则该椭圆的面积为( )

A ．15π B.154

π C ．3π

D.2554

π 答案 D

解析 由题意得⎩

⎪⎨

⎪⎧

a 2－

b 2＝

c 2＝42

，

2a －2b ＝2，则⎩

⎪⎨

⎪⎧

a ＋

b ＝16，

a －

b ＝1，得到⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝17

2，b ＝15

2.

所以S ＝abπ＝172×152π＝255

4

π.

3．过抛物线y ＝14x 2

准线上任一点作抛物线的两条切线，若切点分别为M ，N ，则直线MN

过定点( )

A ．(0,1)

B ．(1,0)

C ．(0，－1)

D ．(－1,0)

答案 A

解析 特殊值法，取准线上一点(0，－1)．设M (x 1，14x 12)，N (x 2，14x 22

)，则过M 、N 的切

线方程分别为y －14x 12＝12x 1(x －x 1)，y －14x 22＝12

x 2(x －x 2)．将(0，－1)代入得x 12＝x 22

＝4，∴

MN 的方程为y ＝1，恒过(0,1)点．

4．设双曲线16x 2

－9y 2

＝144的右焦点为F 2，M 是双曲线上任意一点，点A 的坐标为(9,2)，

则|MA |＋3

5

|MF 2|的最小值为( )

A ．9 B.365 C.42

5

D.545

答案 B

解析 双曲线标准方程为x 29－y 2

16＝1，离心率为53，运用第二定义，将3

5|MF 2|转化为M 到右

准线的距离．

5．抛物线y ＝－ax 2

(a ＜0)的焦点坐标是( ) A ．(0，a

4

)

B ．(0，1

4a )

C ．(0，－1

4a )

D ．(0，－a

4

)

答案 C

解析 因为a ＜0，所以方程可化为x 2

＝1－a y ，

所以焦点坐标为(0，－1

4a

)．故选C.

6．设F 1、F 2分别是双曲线x 2

－y 2

9

＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→

＝0，

则|PF 1→＋PF 2→

|等于( )

A.10 B ．210 C. 5

D ．2 5

答案 B

解析 F 1(－10，0)，F 2(10，0)，2c ＝210，2a ＝2. ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2|2＝4c 2

＝40

∴(PF 1→＋PF 2→)2＝|PF 1→|2＋|PF 2→|2＋2PF 1→·PF 2→＝40，∴|PF 1→＋PF 2→

|＝210.

7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2

n

2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和

(c,0)．若c 是a 与m 的等比中项，n 2

是m 2

与c 2

的等差中项，则椭圆的离心率等于( )

A.1

3 B.33 C.1

2

D.22

答案 B

解析 ∵c 2

＝am,2n 2

＝c 2

＋m 2

，又n 2

＝c 2

－m 2

， ∴m 2＝13c 2，即m ＝33c .∴c 2

＝33ac ，则e ＝c a ＝33.

8．设双曲线以椭圆

x 225＋y 2

9

＝1长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线

的渐近线的斜率为( )

A ．±2

B ．±43

C ．±12

D ．±34

答案 C

解析 椭圆x 225＋y 2

9

＝1中，a ＝5，c ＝4.

设双曲线方程为x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)．

所以c ＝5，a 2c ＝4.所以a 2＝20，b 2＝c 2－a 2

＝5.所以双曲线方程为x 220－y 25

＝1.

所以其渐近线方程为y ＝±

520

x ＝±1

2x ，所以其斜率为±12

.

解决此题关键是分清椭圆与双曲线中的a ，b ，c 关系，这也是极易混淆之处． 9．已知椭圆x 23＋y 2

4

＝1的两个焦点为F 1、F 2，M 是椭圆上一点，且|MF 1|－|MF 2|＝1，则△

MF 1F 2是( )

A ．锐角三角形

B ．钝角三角形

C ．直角三角形

D ．等边三角形

答案 C

解析 由x 23＋y 2

4＝1知a ＝2，b ＝3，c ＝1，e ＝1

2.

则|MF 1|＋|MF 2|＝4， 又|MF 1|－|MF 2|＝1.

∴|MF 1|＝52，|MF 2|＝3

2，又|F 1F 2|＝2.

∴|MF 1|>|F 1F 2|>|MF 2|，

cos ∠MF 2F 1＝|MF 2|2

＋|F 1F 2|2

－|MF 1|

2

2|MF 2||F 1F 2|＝0，

∴∠MF 2F 1＝90°.即△MF 1F 2是直角三角形．