2020年中考数学提优专题:《圆:切割线定理》(含答案)

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2020年中考数学试题《圆》试题精编含答案

2020年中考数学试题《圆》试题精编含答案
23.(2020•郴州)如图,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径.直线l与⊙O相切于点A,在l上取一点D使得DA=DC,线段DC,AB的延长线交于点E.
(1)求证:直线DC是⊙O的切线;
(2)若BC=2,∠CAB=30°,求图中阴影部分的面积(结果保留π).
24.(2020•临沂)已知⊙O1的半径为r1,⊙O2的半径为r2.以O1为圆心,以r1+r2的长为半径画弧,再以线段O1O2的中点P为圆心,以 O1O2的长为半径画弧,两弧交于点A,连接O1A,O2A,O1A交⊙O1于点B,过点B作O2A的平行线BC交O1O2于点C.
(1)求证:△ABD≌△ACD;
(2)判断直线DE与⊙O的位置关系,并说明理由.
27.(2020•深圳)如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,AD与过点C的切线互相垂直,垂足为D.连接BC并延长,交AD的延长线于点E.
(1)求证:AE=AB;
(2)若AB=10,BC=6,求CD的长.
28.(2020•咸宁)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点O在AC上,以OA为半径的半圆O交AB于点D,交AC于点E,过点D作半圆O的切线DF,交BC于点F.
1.【解答】解:(1)证明:连接OC,如图,
∵CD与⊙O相切于点C,
∴∠OCD=90°,
∴∠ACD+∠ACO=90°,
∵AD⊥DC,
∴∠ADC=90°,
∴∠ACD+∠DAC=90°,
∴∠ACO=∠DAC,∵O Nhomakorabea=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
∴∠DAC=∠OAC,
∴AC是∠DAB的角平分线;
(2)∵AB是⊙O的直径,
(1)求证:BF=DF;
(2)若AC=4,BC=3,CF=1,求半圆O的半径长.

2020中考数学 压轴专题 圆的综合(包含答案)

2020中考数学 压轴专题 圆的综合(包含答案)

2020中考数学 压轴专题 圆的综合(含答案)1. 如图,PB 为⊙O 的切线,B 为切点,直线PO 交⊙O 于点E 、F ,过点B 作PO 的垂线BA ,垂足为点D ,交⊙O 于点A ,延长AO 与⊙O 交于点C ,连接BC ,AF .(1)求证:直线P A 为⊙O 的切线;(2)求证:EF 2=4OD ·OP ;(3)若BC =6,tan F =12,求AC 的长.第1题图(1)证明:如解图,连接OB ,第1题解图⊙PB 是⊙O 的切线,⊙⊙PBO =90°,⊙OA =OB ,BA ⊙PO 于点D ,⊙AD =BD ,⊙点D 为AB 的中点,即OP 垂直平分AB ,⊙⊙APO =⊙BPO ,⊙⊙ADP =⊙BDP =90°,⊙⊙APD ⊙⊙BPD ,⊙AP =BP ,在⊙P AO 和⊙PBO 中,⎩⎪⎨⎪⎧P A =PB ⊙APO =⊙BPO OP =OP,⊙⊙P AO ⊙⊙PBO (SAS ),⊙⊙P AO =⊙PBO =90°,⊙OA 为⊙O 的半径,⊙直线P A 为⊙O 的切线;(2)证明:⊙⊙P AO =⊙PDA =90°,⊙⊙OAD +⊙AOD =90°,⊙OP A +⊙AOP =90°,⊙⊙OAD =⊙OP A ,⊙⊙OAD ⊙⊙OP A ,⊙OA OP =OD OA,即OA 2=OD ·OP , 又⊙EF =2OA ,⊙EF 2=4OD ·OP ;(3)解:⊙OA =OC ,AD =BD ,BC =6,⊙OD =12BC =3, 设AD =x ,⊙tan F =AD DF =x DF =12, ⊙DF =2x ,⊙OA =OF =2x -3,在Rt⊙AOD 中,由勾股定理得(2x -3)2=x 2+32,解得x 1=4或x 2=0(不合题意,舍去),⊙OA =2x -3=5,⊙AC 为⊙O 的直径,⊙AC =2OA =10.2. 如图,在⊙ABC 中,AB =AC ,以AB 为直径的⊙O 与边BC ,AC 分别交于D ,E 两点,过点D 作DF ⊙AC ,垂足为点F .(1)求证:DF 是⊙O 的切线;(2)若AE =4,cos A =25,求DF 的长.第2题图(1)证明:如解图,连接OD ,第2题解图 G⊙OB =OD ,⊙⊙ODB =⊙B ,又⊙AB =AC ,⊙⊙C =⊙B ,⊙⊙ODB =⊙C ,⊙OD ⊙AC ,⊙DF ⊙AC ,⊙⊙DFC =90°,⊙⊙ODF =⊙DFC =90°,⊙OD 是⊙O 的半径,⊙DF 是⊙O 的切线;(2)解:如解图,过点O 作OG ⊙AC ,垂足为G ,⊙AG =12AE =2. ⊙cos A =AG OA =2OA =25, ⊙OA =5,⊙OG =OA 2-AG 2=21,⊙⊙ODF =⊙DFG =⊙OGF =90°,⊙四边形OGFD 为矩形,⊙DF =OG =21.3. 如图,在⊙O 中,直径CD ⊙弦AB 于点E ,AM ⊙BC 于点M ,交CD 于点N ,连接AD .(1)求证:AD =AN ;(2)若AB =42,ON =1,求⊙O 的半径.第3题图(1)证明:⊙⊙BAD 与⊙BCD 是同弧所对的圆周角,⊙⊙BAD =⊙BCD ,⊙AE ⊙CD ,AM ⊙BC ,⊙⊙AEN =⊙AMC =90°,⊙⊙ANE =⊙CNM ,⊙⊙BAM =⊙BCD ,⊙⊙BAM =⊙BAD ,在⊙ANE 与⊙ADE 中,⎩⎪⎨⎪⎧⊙BAM =⊙BAD AE =AE⊙AEN =⊙AED, ⊙⊙ANE ⊙⊙ADE (ASA),⊙AN =AD ;(2)解:⊙AB =42,AE ⊙CD ,⊙AE =12AB =22,又⊙ON=1,⊙设NE=x,则OE=x-1,NE=ED=x,OD=OE+ED=2x-1,如解图,连接AO,则AO=OD=2x-1,第3题解图⊙⊙AOE是直角三角形,AE=22,OE=x-1,AO=2x-1,⊙(22)2+(x-1)2=(2x-1)2,解得x1=2,x2=-43(舍),⊙AO=2x-1=3,即⊙O的半径为3.4.如图,在⊙ABC中,⊙C=90°,D是BC边上一点,以DB为直径的⊙O经过AB的中点E,交AD的延长线于点F,连接EF.(1)求证:⊙1=⊙F;(2)若sin B=55,EF=25,求CD的长.第4题图(1)证明:如解图,连接DE.第4题解图⊙BD是⊙O的直径,⊙⊙DEB=90°.⊙E是AB的中点,⊙DA=DB,⊙⊙1=⊙B.⊙⊙1=⊙F;(2)解:⊙⊙1=⊙F,⊙AE=EF=25,⊙AB=2AE=4 5.在Rt⊙ABC中,AC=AB·sin B=4,⊙BC=AB2-AC2=8.设CD=x,则AD=BD=8-x.在Rt⊙ACD中,由勾股定理得AC2+CD2=AD2,即42+x2=(8-x)2,解得x=3,⊙CD=3.5.如图,直线DP和⊙O相切于点C,交直径AE的延长线于点P,过点C作AE的垂线,交AE于点F,交⊙O于点B,作Y ABCD,连接BE,DO,CO.(1)求证:DA=DC;(2)求⊙P及⊙AEB的度数.第5题图(1)证明:⊙四边形ABCD是平行四边形,⊙CB ⊙AE ,⊙AD ⊙AE ,⊙⊙DAO =90°,又⊙直线DP 和⊙O 相切于点C ,⊙DC ⊙OC ,⊙⊙DCO =90°,⊙在Rt⊙DAO 和Rt⊙DCO 中,⎩⎪⎨⎪⎧DO =DO AO =CO , ⊙Rt⊙DAO ⊙Rt⊙DCO (HL),⊙DA =DC ;(2)解:⊙CB ⊙AE ,AE 是⊙O 的直径,⊙CF =FB =12BC , 又⊙四边形ABCD 是平行四边形,⊙AD =BC ,⊙CF =12AD , 又⊙CF ⊙DA ,⊙⊙PCF ⊙⊙PDA ,⊙PC PD =CF AD =12,即PC =12PD ,DC =12PD . 由(1)知DA =DC ,⊙DA =12PD , ⊙在Rt⊙DAP 中,⊙P =30°.⊙⊙F AB =⊙P =30°,又⊙⊙ABE =90°,⊙⊙AEB =90°-30°=60°.6. 如图,在⊙ABC 中,AB =AC ,以AB 为直径的⊙O 与BC 交于点D ,过点D 作⊙O 的切线交AC 于点E .(1)求证:⊙ABD =⊙ADE ;(2)若⊙O 的半径为256,AD =203,求CE 的长.第6题图(1)证明:如解图,连接OD .第6题解图 ⊙DE 为⊙O 的切线, ⊙OD ⊙DE ,⊙⊙ADO +⊙ADE =90°. ⊙AB 为⊙O 的直径, ⊙⊙ADB =90°, ⊙⊙ADO +⊙ODB =90°. ⊙⊙ADE =⊙ODB , ⊙OB =OD , ⊙⊙OBD =⊙ODB , ⊙⊙ABD =⊙ADE ;(2)解:⊙AB =AC =2×256=253,⊙ADB =⊙ADC =90°,⊙⊙ABC =⊙C ,BD =CD . ⊙O 为AB 的中点, ⊙OD 为⊙ABC 的中位线,⊙OD ⊙AC , ⊙OD ⊙DE , ⊙AC ⊙DE , 在Rt⊙ACD 中, CD =AC 2-AD 2=(253)2-(203)2=5, ⊙⊙C =⊙C ,⊙DEC =⊙ADC =90°, ⊙⊙DEC ⊙⊙ADC , ⊙CE DC =DC AC ,即CE 5=5253, ⊙CE =3.7. 如图,在⊙ABC 中,⊙ACB =90°,D 是边AB 上的一点,且⊙A =2⊙DCB ,点E 是BC 上的一点,以EC 为直径的⊙O 经过点D . (1)求证:AB 是⊙O 的切线;(2)若CD 的弦心距为1,BE =EO ,求BD 的长.第7题图(1)证明:如解图⊙,连接OD ,第7题解图⊙则⊙DOB=2⊙DCB,又⊙⊙A=2⊙DCB,⊙⊙A=⊙DOB,又⊙⊙A+⊙B=90°,⊙⊙DOB+⊙B=90°,⊙⊙BDO=90°,即OD⊙AB,又⊙OD是⊙O的半径,⊙AB是⊙O的切线.(2)解:如解图⊙,过点O作OM⊙CD于点M,连接DE,第7题解图⊙⊙OD =OE =BE =12BO ,⊙BDO =90°,⊙⊙B =30°, ⊙⊙DOB =60°, ⊙⊙DCB =30°, ⊙OC =2OM =2, ⊙OD =2,⊙BD =OD tan60°=2 3.8. 如图,PB 为⊙O 的切线,B 为切点,过B 作OP 的垂线BA ,垂足为C ,交⊙O 于点A ,连接P A ,AO ,并延长AO 交⊙O 于点E ,与PB 的延长线交于点D . (1)求证:P A 是⊙O 的切线;(2)若cos⊙CAO =45,且OC =6,求PB 的长.第8题图(1)证明:如解图,连接OB,第8题解图⊙OA=OB,⊙⊙OAB=⊙OBA,⊙OP⊙AB,⊙AC=BC,⊙OP是AB的垂直平分线,⊙P A =PB , ⊙⊙P AB =⊙PBA , ⊙⊙P AO =⊙PBO . ⊙PB 为⊙O 的切线, ⊙⊙OBP =90°, ⊙⊙P AO =90°, ⊙OA 为⊙O 的半径, ⊙P A 是⊙O 的切线; (2)解:⊙cos⊙CAO =45,⊙设AC =4k ,AO =5k ,由勾股定理可知OC =3k , ⊙sin⊙CAO =35,tan⊙COA =43,⊙CO OA =35,即6OA =35,解得OA =10, ⊙tan⊙POA =tan⊙COA =AP AO =43,⊙AP 10=43,解得AP =403,⊙P A =PB , ⊙PB =P A =403.9. 如图,在⊙ABC 中,以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ,⊙ACD =⊙ABC . (1)求证:CA 是⊙O 的切线;(2)若点E 是BC 上一点,已知BE =6,tan⊙ABC =23,tan⊙AEC =53,求⊙O 的直径.第9题图(1)证明:⊙BC 是⊙O 的直径, ⊙⊙BDC =90°, ⊙⊙ABC +⊙DCB =90°, ⊙⊙ACD =⊙ABC , ⊙⊙ACD +⊙DCB =90°, ⊙⊙ACB =90°, 即BC ⊙CA ,又⊙BC 是⊙O 的直径, ⊙CA 是⊙O 的切线;(2)解:在Rt⊙AEC 中,tan⊙AEC =53,⊙AC EC =53,EC =35AC . 在Rt⊙ABC 中,tan⊙ABC =23,⊙AC BC =23,BC =32AC . ⊙BC -EC =BE =6,⊙32AC -35AC =6,解得AC =203, ⊙BC =32×203=10,即⊙O 的直径为10.10. 如图,在⊙ABC 中,AB =AC ,以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ,过点D 作⊙O 的切线DE 交AC 于点E ,交AB 延长线于点F . (1)求证:DE ⊙AC ;(2)若AB =10,AE =8,求BF 的长.第10题图(1)证明:如解图,连接OD ,AD ,第10题解图⊙DE 与⊙O 相切于点D , ⊙OD ⊙DE .⊙AB 是⊙O 的直径, ⊙⊙ADB =90°, ⊙AB =AC , ⊙D 为BC 中点, 又⊙O 为AB 中点, ⊙OD ⊙AC ,⊙DE ⊙AC ; (2)解:⊙AB =10, ⊙OB =OD =5. 由(1)知OD ⊙AC , ⊙⊙ODF ⊙⊙AEF ,⊙ABBF OB BF AF OF AE OD ++==,设BF =x ,则有10585++=x x 解得x =310,⊙BF =310. 11. 如图,已知AB 为⊙O 的直径,F 为⊙O 上一点,AC 平分⊙BAF 且交⊙O 于点C ,过点C作CD ⊙AF 于点D ,延长AB 、DC 交于点E ,连接BC 、CF . (1)求证:CD 是⊙O 的切线; (2)若AD =6,DE =8,求BE 的长; (3)求证:AF +2DF =AB .第11题图(1)证明:如解图,连接OC .第11题解图⊙AC 平分⊙BAD ,⊙⊙OAC =⊙CAD ,又⊙OAC =⊙OCA ,⊙⊙OCA =⊙CAD ,⊙CO ⊙AD .又CD ⊙AD ,⊙CD ⊙OC ,又⊙OC 是⊙O 的半径,⊙CD 是⊙O 的切线;(2)解:在Rt⊙ADE 中,⊙AD =6,DE =8,根据勾股定理得:AE =10,⊙CO ⊙AD ,⊙⊙EOC ⊙⊙EAD ,⊙ADOC EA EO =. 设⊙O 的半径为r ,⊙OE =10-r . ⊙61010r r -=, ⊙r =415,⊙BE =10-2r =25; (3)证明:如解图,过点C 作CG ⊙AB 于点G .⊙⊙OAC =⊙CAD ,AD ⊙CD ,⊙CG =CD ,在Rt⊙AGC 和Rt⊙ADC 中,⊙CG =CD ,AC =AC ,⊙Rt⊙AGC ⊙Rt⊙ADC (HL ),⊙AG =AD .又⊙⊙BAC =⊙CAD ,⊙BC =CF ,在Rt⊙CGB 和Rt⊙CDF 中,⊙BC =FC ,CG =CD ,⊙Rt⊙CGB ⊙Rt⊙CDF (HL ),⊙GB =DF .⊙AG +GB =AB ,⊙AD +DF =AB ,即AF +2DF =AB .12. 如图,在Rt⊙ABC 中,⊙ACB =90°,以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ,E 是AC 的中点,OE 交CD 于点F .(1)若⊙BCD =36°,BC =10,求BD ︵的长;(2)判断直线DE 与⊙O 的位置关系,并说明理由;(3)求证:2CE 2=AB ·EF .第12题图(1)解:如解图,连接OD ,第12题解图⊙⊙BCD =36°,⊙⊙BOD =2⊙BCD =2×36°=72°,⊙BC 是⊙O 的直径,BC =10,⊙OB =5,⊙l BD ︵=72π×5180=2π; (2)解:DE 是⊙O 的切线;理由如下:⊙BC 是⊙O 的直径,⊙⊙ADC =180°-⊙BDC =90°,又⊙点E 是线段AC 中点,⊙DE =12AC =EC , 在⊙DOE 与⊙COE 中,⎩⎪⎨⎪⎧OD =OC OE =OE DE =CE,⊙⊙DOE ⊙⊙COE (SSS).⊙⊙ACB =90°,⊙⊙ODE =⊙OCE =90°,⊙OD 是⊙O 的半径,⊙DE 是⊙O 的切线;(3)证明:由(2)知,⊙DOE ⊙⊙COE ,⊙OE 是线段CD 的垂直平分线,⊙点F 是线段CD 中点,⊙点E 是线段AC 中点,则EF =12AD , ⊙⊙BAC =⊙CAD ,⊙ADC =⊙ACB ,⊙⊙ACD ⊙⊙ABC ,则AC AB =AD AC,即AC 2=AB ·AD , 而AC =2CE ,AD =2EF ,⊙(2CE )2=AB ·2EF ,即4CE 2=AB ·2EF ,⊙2CE 2=AB ·EF .13. 如图,AB 是⊙O 的直径,点D 是»AE 上的一点,且⊙BDE =⊙CBE ,BD 与AE 交于点F . (1)求证:BC 是⊙O 的切线;(2)若BD 平分⊙ABE ,延长ED 、BA 交于点P ,若P A =AO ,DE =2,求PD 的长.第13题图(1)证明:⊙AB 是⊙O 的直径,⊙⊙AEB =90°,⊙⊙EAB +⊙EBA =90°,⊙⊙BDE =⊙EAB ,⊙BDE =⊙CBE , ⊙⊙EAB =⊙CBE ,⊙⊙ABE +⊙CBE =90°,⊙CB ⊙AB ,⊙AB 是⊙O 的直径,⊙BC 是⊙O 的切线;(2)解:⊙BD 平分⊙ABE , ⊙⊙ABD =⊙DBE ,如解图,连接DO ,第13题解图⊙OD =OB ,⊙⊙ODB =⊙OBD ,⊙⊙EBD =⊙OBD ,⊙⊙EBD =⊙ODB ,⊙OD ⊙BE ,⊙PD PE =PO PB, ⊙P A =AO ,⊙P A =AO =OB ,⊙PO PB =23, ⊙PD PE =23, ⊙PD PD +DE =23, ⊙DE =2, ⊙PD =4.。

2020年中考数学提优专题:《圆:切割线定理》(含答案)

2020年中考数学提优专题:《圆:切割线定理》(含答案)

《圆:切割线定理》知识梳理:(1)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.几何语言:∵PT切⊙O于点T,PBA是⊙O的割线∴PT的平方=PA•PB(切割线定理)(2)推论:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.几何语言:∵PBA,PDC是⊙O的割线∴PD•PC=PA•PB(切割线定理推论)(割线定理)由上可知:PT2=PA•PB=PC•PD.一.选择题1.如图,P是⊙O的直径BC延长线上一点,PA切⊙O 于点A,若PC=2,BC=6,则切线PA的长为()A.无限长B.C.4 D.2.如图,PT是⊙O的切线,T为切点,PBA是割线,交⊙O于A、B两点,与直径CT交于点D,已知CD=2,AD=3,BD=4,那么PB等于()A.6 B.C.7 D.203.设H为锐角△ABC的三条高AD、BE、CF的交点,若BC=a,AC=b,AB=c,则AH•AD+BH•BE+CH•CF 等于()A.(ab+bc+ca)B.(a2+b2+c2)C.(ab+bc+ca) D.(a2+b2+c2)4.如图,MN切⊙O于A点,AC为弦,BC为直径,那么下列命题中假命题是()A.∠MAB和∠ABC互余B.∠CAN=∠ABC C.OA=BC D.MA2=MB•BC5.如图,以OB为直径的半圆与半圆O交于点P,A、O、C、B在同一条直线上,作AD⊥AB与BP的延长线交于点D,若半圆O的半径为2,∠D的余弦值是方程3x2﹣10x+3=0的根,则AB的长等于()A.B.C.8 D.56.如图,AB是⊙O直径,AC是⊙O的弦,过弧BC 的中点D作AC的垂线交AC的延长于E,若DE=2,EC=1,则⊙O的直径为()A. B.C.5 D.47.如图,过点P作⊙O的两条割线分别交⊙O于点A、B和点C、D,已知PA=3,AB=PC=2,则PD的长是()A.3 B.7.5 C.5 D.5.58.如图,已知⊙O的弦A B、CD相交于点P,PA=4cm,PB=3cm,PC=6cm,EA切⊙O于点A,AE与CD的延长线交于点E,若AE=cm,则PE的长为()A.4cm B.3cm C.5cm D.cm9.如图,⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,PQ切⊙O1于点P,交⊙O2于点Q、M,交AB的延长线于点N.若MN=1,MQ=3,则NP等于()A.1 B.C.2 D.310.同心圆O中,大圆的弦EF切小圆于K,EP切小圆于P,FQ切小圆于Q,G为小圆上一点,GE、GF 分别交小圆于M、N两点,下列四个结论:①EM=MG;②FQ2=FN•NG;③EP=FQ;④FN•FG=EM•EG.正确的结论为()A.①③B.②③C.③④D.②④二.填空题11.如图,AB为⊙O的直径,P点在AB的延长线上,PM切⊙O于点M.若OA=a,PM=,那么△PMB 的周长是.12.已知:如图,PC切⊙O于点C,割线PAB经过圆心O,弦CD⊥AB于点E,PC=4,PB=8,则PA =,sin∠P=,CD=.13.如图,PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B,AC 是⊙O的直径,PC交⊙O于点D,已知∠APB=60°,AC=2,那么CD的长为.14.如图,PA切⊙O于点A,割线PBC交⊙O于点B、C,若PA=6,PB=4,弧AB的度数为60°,则BC =,∠PCA=度,∠PAB=度.15.如图,已知ABCD是一个半径为R的圆内接四边形,AB=12,CD=6,分别延长AB和DC,它们相交于点P,且BP=8,∠APD=60°,则R=.16.如图,AC为⊙O的直径,PA是⊙O的切线,切点为A,PBC是⊙O的割线,∠BAC的平分线交BC于D 点,PF交AC于F点,交AB于E点,要使AE=AF,则PF应满足的条件是(只需填一个条件).17.由⊙O外一点F作⊙O的两条切线,切点分别为B、D,AB是⊙O的直径,连接AD、BD,线段OF交⊙O 于E,交BD于C,连接DE、BE.有下列序号为①~④的四个结论:①BE=DE;②∠EBD=∠EDB;③DE∥AB;④BD2=2AD•FC其中正确的结论有.(把你认为正确结论的序号全部填上)三.解答题18.已知:如图,在△ABC中,∠C=90°,BE是角平分线,DE⊥BE交AB于D,⊙O是△BDE的外接圆.(1)求证:AC是⊙O的切线;(2)若AD=6,AE=6,求DE的长.19.如图,圆O是以AB为直径的△ABC的外接圆,D 是劣弧的中点,连AD并延长与过C点的切线交于点P,OD与BC相交于E;(1)求证:OE=AC;(2)求证:;(3)当AC=6,AB=10时,求切线PC的长.20.如图,OB是以(O,a)为圆心,a为半径的⊙O1的弦,过B点作⊙O1的切线,P为劣弧上的任一点,且过P作OB、AB、OA的垂线,垂足分别是D、E、F.(1)求证:PD2=PE•PF;(2)当∠BOP=30°,P点为的中点时,求D、E、F、P四个点的坐标及S△DEF.参考答案一.选择题1.解:∵PC=2,BC=6,∴PB=8,∵PA2=PC•PB=16,∴PA=4.故选:C.2.解:∵TD•CD=AD•BD,CD=2,AD=3,BD=4,∴TD=6,∵PT2=PD2﹣TD2,∴PT2=PB•PA=(PD﹣BD)(PD+AD),∴PD=24,∴PB=PD﹣BD=24﹣4=20.故选:D.3.解:AH•AD=AC•AE=AC•AB•cos∠BAE=(b2+c2﹣a2),同理BH•BE=(a2+c2﹣b2),CH•CF=(a2+b2﹣c2),故AH•AD+BH•BE+CH•CF=(a2+b2+c2).故选:B.4.解:∵BC是⊙O的直径,∴∠BAC=90°,∴∠MAB+∠CA N=90°;∵MN切⊙O于A,∴MA2=MB•MC,(故D错误)∠CAN=∠CBA,(故B正确)∴∠MAB+∠CBA=90°;(故A正确)∵OA是⊙O的半径,BC是⊙O的直径,∴BC=2OA;(故C正确)故选:D.5.解:∵3x2﹣10x+3=0,∴x=3(不合题意,舍去)或x=.∴cosD=AD:BD=1:3,设A D=x,则BD=3x.∴AB==2x,BC=2x﹣4.∴(2x)2=(2x﹣4)•x.∴x=0(舍去),或x=2.∴AB=2×2=8.故选:C.6.解:连接OD,∵点D是弧BC的中点,∴OD⊥BC,∠OFC=90°,AB是直径,∴∠ACB=90°,DE⊥AE,∴∠E=90°,∴四边形CFDE是矩形,∴∠ODE=90°,∴ED是圆的切线.作OG⊥AC,则OG=CF=ED=2.∵DE2=EC•AE,∴AE=4,AC=3,AG=,∴AO=,∴AB=5.故选:C.7.解:∵PA=3,AB=PC=2,∴PB=5,∵PA•PB=PC•PD,∴PD=7.5,故选:B.8.解:∵PA•PB=PC•PD,PA=4cm,PB=3cm,PC=6cm,∴PD=2;设DE=x,∵AE2=ED•EC,∴x(x+8)=20,∴x=2或x=﹣10(负值舍去),∴PE=2+2=4.故选:A.9.解:∵PN2=NB•NA,NB•NA=NM•NQ,∴PN2=NM•NQ=4,∴PN=2.故选:C.10.解:连接OK,∵EF切小圆于K,∴OK⊥EF,根据垂径定理得EK=FK,∵EP切小圆于P,FQ切小圆于Q,∴EP=EK,FQ=FK,∴EP=FQ,故③正确;∴由切割线定理得,FK2=FN•FG,EK2=EM•EG,∴FN•FG=EM•EG,故④正确;故选:C.二.填空题(共7小题)11.解:连接OM;∵PM切⊙O于点M,∴∠OMP=90°,∵OA=OM=a,PM=,∴tan∠MOP=MP:OM=,∴∠MOP=60°,∴OP=2a,∴PB=OP﹣OB=a;∵OM=OB,∴△OMB是等边三角形,MB=OB=a,∴△PMB的周长是(+2)a.12.解:∵PC切⊙O于点C,割线PAB经过圆心O,PC=4,PB=8,∴PC2=PA•PB.∴PA==2.∴AB=6.∴圆的半径是3.连接OC.∵OC=3,OP=5,∴sin∠P=.∴CE=,∴CD=.13.解:连接AD,OB,OP;∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B,∴∠OAP=∠OBP=90°,∠AOB=180°﹣∠P=120°,∴∠AOP=60°,AP=AOtan60°=,∴PC=;∵PA2=PD•PC,∴PD=,∴CD=.14.解:∵PA2=PB•PC,PA=6,PB=4;∴PC=9,∴BC=5;∵弧AB的度数为60°,∴∠PCA=30°,∴∠PAB=30°.15.解:由切割线定理得PB•PA=PC•PD,则有8×20=PC(PC+6).解得PC=10.在△PAC中,由PA=2PC,∠APC=60°,得∠PCA=90°.从而AD是圆的直径.由勾股定理,得AD2=AC2+CD2=(PA2﹣PC2)+CD2=202﹣102+62=336.∴AD==4∴R=AD=2.故答案为2.16.解:∵∠PAC=90°,∠ABC=90°,∴90°﹣∠AFP=90°﹣∠BEP,∴∠APF=∠CPF,∴PF平分∠APC.17.解:∵BF,DF是⊙O的两条切线∴OF是∠DFB的角平分线,DF=FB,FO⊥BD,CD=CB∴=∴BE=DE(①正确)∵=∴∠EBD=∠EDB(②正确)∵FB切⊙O于B∴FB⊥OB∵BC⊥OF∵BC2=OC•FC∴(BD)2=OC•CE∵OC为△ABD的中位线∴OC=AD∴(BD)2=AD•CE∴BD2=2AD•FC(④正确)故其中正确的结论有①②④.三.解答题(共3小题)18.(1)证明:连接OE;(1分)∵⊙O是△BDE的外接圆,∠DEB=90°,∴BD是⊙O的直径,(不证直径,不扣分)∵BE平分∠ABC,∴∠CBE=∠OBE,∵OB=OE,∴∠OBE=∠OEB,(2分)∴∠OEB=∠CBE,∴OE∥BC,(3分)∵∠C=90°,∴∠AEO=90°,∴AC是⊙O的切线;(4分)(2)解:∵AE是⊙O的切线,AD=6,AE=6,∴AE2=AD•AB,(5分)∴AB===12,∴BD=AB﹣AD=12﹣6=6;∵∠AED=∠ABE,∠A=∠A,∴△AED∽△ABE,(6分)∴;设DE=x,BE=2x,∵DE2+BE2=BD2,(7分)∴2x2+4x2=36,解得x=±(负的舍去),∴DE=2.(8分)19.(1)证明:∵AB为直径∴∠ACB=90°∴AC⊥BC又D为中点,∴OD⊥BC,OD∥AC,又O为AB中点,∴;(4分)(2)证明:连接CD,PC为切线,由∠PCD=∠CAP,∠P为公共角,∴△PCD∽△PAC,(6分)∴,又CD=BD,∴;(8分)(3)解:∵AC=6,AB=10,∴BC=8,BE=4,OE=3,∴DE=2,∴BD2=DE2+BE2=20,(9分)∴AD2=AB2﹣BD2=80,∴AD=4,(10分)CD=BD=2,由(2),∴,(11分)∴CP2=DP•AP=45×5,∴切线PC=15.(12分)20.(1)证明:连接PB,OP,∵PE⊥AB,PD⊥OB,∴∠BEP=∠PDO=90°,∵AB切⊙O1于B,∠ABP=∠BOP,∴△PBE∽△POD,∴=,同理,△OPF∽△BPD∴=,∴=,∴PD2=PE•PF;(2)解:连接O1B,O1P,∵AB切⊙O1于B,∠POB=30°,∴∠ABP=30°,∴∠O1BP=90°﹣30°=60°,∵O1B=O1P,∴△O1BP为等边三角形,∴O1B=BP,∵P为弧BO的中点,∴BP=OP,即△O1PO为等边三角形,∴O1P=OP=a,∴∠O1OP=60°,又∵P为弧BO的中点,∴O1P⊥OB,在△O1DO中,∵∠O1OP=60°O1O=a,∴O1D=a,OD=a,过D作DM⊥OO1于M,∴DM=OD=a,OM=DM=a,∴D(﹣a,a),∵∠O1OF=90°,∠O1OP=60°∴∠POF=30°,∵PE⊥OA,∴PF=OP=a,OF=a,∴P(﹣a,),F(﹣a,0),∵AB切⊙O1于B,∠POB=30°,∴∠ABP=∠BOP=30°,∵PE⊥AB,PB=a,∴∠EPB=60°∴PE=a,BE=a,∵P为弧BO的中点,∴BP=PO,∴∠PBO=∠BOP=30°,∴∠BPO=120°,∴∠BPE+∠BPO=120°+60°=180°,即OPE三点共线,∵OE=a+a=a,过E作EM⊥x轴于M,∵AO切⊙O1于O,∴∠EOA=30°,∴EM=OE=a,OM=a,∴E(﹣a,a),∵E(﹣a,a),D(﹣a,a),∴DE=﹣a﹣(﹣a)=a,DE边上的高为:a,∴S△DEF=×a×a=a2.故答案为:D(﹣a,a),E(﹣a,a),F(﹣a,0),P(﹣a,);S△DEF=a2.。

2020年中考数学重难点复习《圆》解答题及答案解析 (20)

2020年中考数学重难点复习《圆》解答题及答案解析 (20)

2020年中考数学重难点复习《圆》解答题1.如图,点B为长为5的线段AC上一点,且AB=2,过B作BE⊥BC于B,且BE=4,以BC、BE为邻边作矩形BCDE,将线段AB绕点B顺时针旋转,得到线段BF,优弧交BE于N,交BC于M,设旋转角为a(1)若扇形MBF的面积为π,则a的度数为200;(2)连接EC,判断CE与扇形ABF所在圆⊙B的位置关系,并说明埋由.(3)设P为直线AC上一点,沿EP所在直线折叠矩形,若折叠后DE所在的直线与扇形ABF所在的⊙B相切,求CP的长.【分析】(1)由扇形的面积公式得:=,则∠MBF=20°,即可求解;(2)过点B作BG⊥CE于点G,则CB×BE=CE×BG,求出BG=>2,即可求解;(3)分点Q在BE的左侧、点Q在BE右侧两种情况,分别求解即可.【解答】解:(1)由扇形的面积公式得:=,则∠MBF=20°,a=180°+20°=200°,答案为:200;(2)相离.如图1,∵BE⊥BC,∴∠EBC=90°,∵BE=4,BC=3,∴EC=5,过点B作BG⊥CE于点G,∴CB×BE=CE×BG,∴BG=>2,∴CE与扇形ABF所在圆⊙B相离;(3)①当折叠后DE所在的直线与扇形ABF所在的圆B相切时,切点为Q,如图2,当点Q在BE的左侧时,连接BQ,则∠BQE=90°,∵BQ=2,BE=4,sin∠QEB=,∴∠QEB=30°,∵四边形EBCD为矩形,∴∠DEB=90°,∴∠QED=120°,又由题意得:∠QEP=∠PED=60°,∴∠EPB=30°,∵BE=4,∴PB=,∴CP=3﹣;②如图3,当点Q在BE右侧时,同理可得:∠QEB=30°,又由题意得:∠QEP=∠PED=30°,∵BE=4,∴PB=4,∠BEP=60°,∴CP=4﹣3.③当D′E于圆相切时,如图3,由折叠知:∠1=∠2,在Rt△BQE中,∵BQ=BE,∴∠BEC=30°,又∠B′EC=90°,∴∠1=∠2=30°,在Rt△PBE中,PB=tan∠PEB•BE=×4=,PC=3+;④当D′E同左侧圆相切时,如图4,同理可得:PB=4,PC=4+3;综上,PC=3﹣或4﹣3或3+或4+3.。

2020中考数学 压轴专题 圆的综合(包含答案)

2020中考数学 压轴专题 圆的综合(包含答案)

2020中考数学 压轴专题 圆的综合(含答案)1. 如图,PB 为⊙O 的切线,B 为切点,直线PO 交⊙O 于点E 、F ,过点B 作PO 的垂线BA ,垂足为点D ,交⊙O 于点A ,延长AO 与⊙O 交于点C ,连接BC ,AF .(1)求证:直线P A 为⊙O 的切线;(2)求证:EF 2=4OD ·OP ;(3)若BC =6,tan F =12,求AC 的长.第1题图(1)证明:如解图,连接OB ,第1题解图⊙PB 是⊙O 的切线,⊙⊙PBO =90°,⊙OA =OB ,BA ⊙PO 于点D ,⊙AD =BD ,⊙点D 为AB 的中点,即OP 垂直平分AB ,⊙⊙APO =⊙BPO ,⊙⊙ADP =⊙BDP =90°,⊙⊙APD ⊙⊙BPD ,⊙AP =BP ,在⊙P AO 和⊙PBO 中,⎩⎪⎨⎪⎧P A =PB ⊙APO =⊙BPO OP =OP,⊙⊙P AO ⊙⊙PBO (SAS ),⊙⊙P AO =⊙PBO =90°,⊙OA 为⊙O 的半径,⊙直线P A 为⊙O 的切线;(2)证明:⊙⊙P AO =⊙PDA =90°,⊙⊙OAD +⊙AOD =90°,⊙OP A +⊙AOP =90°,⊙⊙OAD =⊙OP A ,⊙⊙OAD ⊙⊙OP A ,⊙OA OP =OD OA,即OA 2=OD ·OP , 又⊙EF =2OA ,⊙EF 2=4OD ·OP ;(3)解:⊙OA =OC ,AD =BD ,BC =6,⊙OD =12BC =3, 设AD =x ,⊙tan F =AD DF =x DF =12, ⊙DF =2x ,⊙OA =OF =2x -3,在Rt⊙AOD 中,由勾股定理得(2x -3)2=x 2+32,解得x 1=4或x 2=0(不合题意,舍去),⊙OA =2x -3=5,⊙AC 为⊙O 的直径,⊙AC =2OA =10.2. 如图,在⊙ABC 中,AB =AC ,以AB 为直径的⊙O 与边BC ,AC 分别交于D ,E 两点,过点D 作DF ⊙AC ,垂足为点F .(1)求证:DF 是⊙O 的切线;(2)若AE =4,cos A =25,求DF 的长.第2题图(1)证明:如解图,连接OD ,第2题解图 G⊙OB =OD ,⊙⊙ODB =⊙B ,又⊙AB =AC ,⊙⊙C =⊙B ,⊙⊙ODB =⊙C ,⊙OD ⊙AC ,⊙DF ⊙AC ,⊙⊙DFC =90°,⊙⊙ODF =⊙DFC =90°,⊙OD 是⊙O 的半径,⊙DF 是⊙O 的切线;(2)解:如解图,过点O 作OG ⊙AC ,垂足为G ,⊙AG =12AE =2. ⊙cos A =AG OA =2OA =25, ⊙OA =5,⊙OG =OA 2-AG 2=21,⊙⊙ODF =⊙DFG =⊙OGF =90°,⊙四边形OGFD 为矩形,⊙DF =OG =21.3. 如图,在⊙O 中,直径CD ⊙弦AB 于点E ,AM ⊙BC 于点M ,交CD 于点N ,连接AD .(1)求证:AD =AN ;(2)若AB =42,ON =1,求⊙O 的半径.第3题图(1)证明:⊙⊙BAD 与⊙BCD 是同弧所对的圆周角,⊙⊙BAD =⊙BCD ,⊙AE ⊙CD ,AM ⊙BC ,⊙⊙AEN =⊙AMC =90°,⊙⊙ANE =⊙CNM ,⊙⊙BAM =⊙BCD ,⊙⊙BAM =⊙BAD ,在⊙ANE 与⊙ADE 中,⎩⎪⎨⎪⎧⊙BAM =⊙BAD AE =AE⊙AEN =⊙AED, ⊙⊙ANE ⊙⊙ADE (ASA),⊙AN =AD ;(2)解:⊙AB =42,AE ⊙CD ,⊙AE =12AB =22,又⊙ON=1,⊙设NE=x,则OE=x-1,NE=ED=x,OD=OE+ED=2x-1,如解图,连接AO,则AO=OD=2x-1,第3题解图⊙⊙AOE是直角三角形,AE=22,OE=x-1,AO=2x-1,⊙(22)2+(x-1)2=(2x-1)2,解得x1=2,x2=-43(舍),⊙AO=2x-1=3,即⊙O的半径为3.4.如图,在⊙ABC中,⊙C=90°,D是BC边上一点,以DB为直径的⊙O经过AB的中点E,交AD的延长线于点F,连接EF.(1)求证:⊙1=⊙F;(2)若sin B=55,EF=25,求CD的长.第4题图(1)证明:如解图,连接DE.第4题解图⊙BD是⊙O的直径,⊙⊙DEB=90°.⊙E是AB的中点,⊙DA=DB,⊙⊙1=⊙B.⊙⊙1=⊙F;(2)解:⊙⊙1=⊙F,⊙AE=EF=25,⊙AB=2AE=4 5.在Rt⊙ABC中,AC=AB·sin B=4,⊙BC=AB2-AC2=8.设CD=x,则AD=BD=8-x.在Rt⊙ACD中,由勾股定理得AC2+CD2=AD2,即42+x2=(8-x)2,解得x=3,⊙CD=3.5.如图,直线DP和⊙O相切于点C,交直径AE的延长线于点P,过点C作AE的垂线,交AE于点F,交⊙O于点B,作Y ABCD,连接BE,DO,CO.(1)求证:DA=DC;(2)求⊙P及⊙AEB的度数.第5题图(1)证明:⊙四边形ABCD是平行四边形,⊙CB ⊙AE ,⊙AD ⊙AE ,⊙⊙DAO =90°,又⊙直线DP 和⊙O 相切于点C ,⊙DC ⊙OC ,⊙⊙DCO =90°,⊙在Rt⊙DAO 和Rt⊙DCO 中,⎩⎪⎨⎪⎧DO =DO AO =CO , ⊙Rt⊙DAO ⊙Rt⊙DCO (HL),⊙DA =DC ;(2)解:⊙CB ⊙AE ,AE 是⊙O 的直径,⊙CF =FB =12BC , 又⊙四边形ABCD 是平行四边形,⊙AD =BC ,⊙CF =12AD , 又⊙CF ⊙DA ,⊙⊙PCF ⊙⊙PDA ,⊙PC PD =CF AD =12,即PC =12PD ,DC =12PD . 由(1)知DA =DC ,⊙DA =12PD , ⊙在Rt⊙DAP 中,⊙P =30°.⊙⊙F AB =⊙P =30°,又⊙⊙ABE =90°,⊙⊙AEB =90°-30°=60°.6. 如图,在⊙ABC 中,AB =AC ,以AB 为直径的⊙O 与BC 交于点D ,过点D 作⊙O 的切线交AC 于点E .(1)求证:⊙ABD =⊙ADE ;(2)若⊙O 的半径为256,AD =203,求CE 的长.第6题图(1)证明:如解图,连接OD .第6题解图 ⊙DE 为⊙O 的切线, ⊙OD ⊙DE ,⊙⊙ADO +⊙ADE =90°. ⊙AB 为⊙O 的直径, ⊙⊙ADB =90°, ⊙⊙ADO +⊙ODB =90°. ⊙⊙ADE =⊙ODB , ⊙OB =OD , ⊙⊙OBD =⊙ODB , ⊙⊙ABD =⊙ADE ;(2)解:⊙AB =AC =2×256=253,⊙ADB =⊙ADC =90°,⊙⊙ABC =⊙C ,BD =CD . ⊙O 为AB 的中点, ⊙OD 为⊙ABC 的中位线,⊙OD ⊙AC , ⊙OD ⊙DE , ⊙AC ⊙DE , 在Rt⊙ACD 中, CD =AC 2-AD 2=(253)2-(203)2=5, ⊙⊙C =⊙C ,⊙DEC =⊙ADC =90°, ⊙⊙DEC ⊙⊙ADC , ⊙CE DC =DC AC ,即CE 5=5253, ⊙CE =3.7. 如图,在⊙ABC 中,⊙ACB =90°,D 是边AB 上的一点,且⊙A =2⊙DCB ,点E 是BC 上的一点,以EC 为直径的⊙O 经过点D . (1)求证:AB 是⊙O 的切线;(2)若CD 的弦心距为1,BE =EO ,求BD 的长.第7题图(1)证明:如解图⊙,连接OD ,第7题解图⊙则⊙DOB=2⊙DCB,又⊙⊙A=2⊙DCB,⊙⊙A=⊙DOB,又⊙⊙A+⊙B=90°,⊙⊙DOB+⊙B=90°,⊙⊙BDO=90°,即OD⊙AB,又⊙OD是⊙O的半径,⊙AB是⊙O的切线.(2)解:如解图⊙,过点O作OM⊙CD于点M,连接DE,第7题解图⊙⊙OD =OE =BE =12BO ,⊙BDO =90°,⊙⊙B =30°, ⊙⊙DOB =60°, ⊙⊙DCB =30°, ⊙OC =2OM =2, ⊙OD =2,⊙BD =OD tan60°=2 3.8. 如图,PB 为⊙O 的切线,B 为切点,过B 作OP 的垂线BA ,垂足为C ,交⊙O 于点A ,连接P A ,AO ,并延长AO 交⊙O 于点E ,与PB 的延长线交于点D . (1)求证:P A 是⊙O 的切线;(2)若cos⊙CAO =45,且OC =6,求PB 的长.第8题图(1)证明:如解图,连接OB,第8题解图⊙OA=OB,⊙⊙OAB=⊙OBA,⊙OP⊙AB,⊙AC=BC,⊙OP是AB的垂直平分线,⊙P A =PB , ⊙⊙P AB =⊙PBA , ⊙⊙P AO =⊙PBO . ⊙PB 为⊙O 的切线, ⊙⊙OBP =90°, ⊙⊙P AO =90°, ⊙OA 为⊙O 的半径, ⊙P A 是⊙O 的切线; (2)解:⊙cos⊙CAO =45,⊙设AC =4k ,AO =5k ,由勾股定理可知OC =3k , ⊙sin⊙CAO =35,tan⊙COA =43,⊙CO OA =35,即6OA =35,解得OA =10, ⊙tan⊙POA =tan⊙COA =AP AO =43,⊙AP 10=43,解得AP =403,⊙P A =PB , ⊙PB =P A =403.9. 如图,在⊙ABC 中,以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ,⊙ACD =⊙ABC . (1)求证:CA 是⊙O 的切线;(2)若点E 是BC 上一点,已知BE =6,tan⊙ABC =23,tan⊙AEC =53,求⊙O 的直径.第9题图(1)证明:⊙BC 是⊙O 的直径, ⊙⊙BDC =90°, ⊙⊙ABC +⊙DCB =90°, ⊙⊙ACD =⊙ABC , ⊙⊙ACD +⊙DCB =90°, ⊙⊙ACB =90°, 即BC ⊙CA ,又⊙BC 是⊙O 的直径, ⊙CA 是⊙O 的切线;(2)解:在Rt⊙AEC 中,tan⊙AEC =53,⊙AC EC =53,EC =35AC . 在Rt⊙ABC 中,tan⊙ABC =23,⊙AC BC =23,BC =32AC . ⊙BC -EC =BE =6,⊙32AC -35AC =6,解得AC =203, ⊙BC =32×203=10,即⊙O 的直径为10.10. 如图,在⊙ABC 中,AB =AC ,以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ,过点D 作⊙O 的切线DE 交AC 于点E ,交AB 延长线于点F . (1)求证:DE ⊙AC ;(2)若AB =10,AE =8,求BF 的长.第10题图(1)证明:如解图,连接OD ,AD ,第10题解图⊙DE 与⊙O 相切于点D , ⊙OD ⊙DE .⊙AB 是⊙O 的直径, ⊙⊙ADB =90°, ⊙AB =AC , ⊙D 为BC 中点, 又⊙O 为AB 中点, ⊙OD ⊙AC ,⊙DE ⊙AC ; (2)解:⊙AB =10, ⊙OB =OD =5. 由(1)知OD ⊙AC , ⊙⊙ODF ⊙⊙AEF ,⊙ABBF OB BF AF OF AE OD ++==,设BF =x ,则有10585++=x x 解得x =310,⊙BF =310. 11. 如图,已知AB 为⊙O 的直径,F 为⊙O 上一点,AC 平分⊙BAF 且交⊙O 于点C ,过点C作CD ⊙AF 于点D ,延长AB 、DC 交于点E ,连接BC 、CF . (1)求证:CD 是⊙O 的切线; (2)若AD =6,DE =8,求BE 的长; (3)求证:AF +2DF =AB .第11题图(1)证明:如解图,连接OC .第11题解图⊙AC 平分⊙BAD ,⊙⊙OAC =⊙CAD ,又⊙OAC =⊙OCA ,⊙⊙OCA =⊙CAD ,⊙CO ⊙AD .又CD ⊙AD ,⊙CD ⊙OC ,又⊙OC 是⊙O 的半径,⊙CD 是⊙O 的切线;(2)解:在Rt⊙ADE 中,⊙AD =6,DE =8,根据勾股定理得:AE =10,⊙CO ⊙AD ,⊙⊙EOC ⊙⊙EAD ,⊙ADOC EA EO =. 设⊙O 的半径为r ,⊙OE =10-r . ⊙61010r r -=, ⊙r =415,⊙BE =10-2r =25; (3)证明:如解图,过点C 作CG ⊙AB 于点G .⊙⊙OAC =⊙CAD ,AD ⊙CD ,⊙CG =CD ,在Rt⊙AGC 和Rt⊙ADC 中,⊙CG =CD ,AC =AC ,⊙Rt⊙AGC ⊙Rt⊙ADC (HL ),⊙AG =AD .又⊙⊙BAC =⊙CAD ,⊙BC =CF ,在Rt⊙CGB 和Rt⊙CDF 中,⊙BC =FC ,CG =CD ,⊙Rt⊙CGB ⊙Rt⊙CDF (HL ),⊙GB =DF .⊙AG +GB =AB ,⊙AD +DF =AB ,即AF +2DF =AB .12. 如图,在Rt⊙ABC 中,⊙ACB =90°,以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ,E 是AC 的中点,OE 交CD 于点F .(1)若⊙BCD =36°,BC =10,求BD ︵的长;(2)判断直线DE 与⊙O 的位置关系,并说明理由;(3)求证:2CE 2=AB ·EF .第12题图(1)解:如解图,连接OD ,第12题解图⊙⊙BCD =36°,⊙⊙BOD =2⊙BCD =2×36°=72°,⊙BC 是⊙O 的直径,BC =10,⊙OB =5,⊙l BD ︵=72π×5180=2π; (2)解:DE 是⊙O 的切线;理由如下:⊙BC 是⊙O 的直径,⊙⊙ADC =180°-⊙BDC =90°,又⊙点E 是线段AC 中点,⊙DE =12AC =EC , 在⊙DOE 与⊙COE 中,⎩⎪⎨⎪⎧OD =OC OE =OE DE =CE,⊙⊙DOE ⊙⊙COE (SSS).⊙⊙ACB =90°,⊙⊙ODE =⊙OCE =90°,⊙OD 是⊙O 的半径,⊙DE 是⊙O 的切线;(3)证明:由(2)知,⊙DOE ⊙⊙COE ,⊙OE 是线段CD 的垂直平分线,⊙点F 是线段CD 中点,⊙点E 是线段AC 中点,则EF =12AD , ⊙⊙BAC =⊙CAD ,⊙ADC =⊙ACB ,⊙⊙ACD ⊙⊙ABC ,则AC AB =AD AC,即AC 2=AB ·AD , 而AC =2CE ,AD =2EF ,⊙(2CE )2=AB ·2EF ,即4CE 2=AB ·2EF ,⊙2CE 2=AB ·EF .13. 如图,AB 是⊙O 的直径,点D 是»AE 上的一点,且⊙BDE =⊙CBE ,BD 与AE 交于点F . (1)求证:BC 是⊙O 的切线;(2)若BD 平分⊙ABE ,延长ED 、BA 交于点P ,若P A =AO ,DE =2,求PD 的长.第13题图(1)证明:⊙AB 是⊙O 的直径,⊙⊙AEB =90°,⊙⊙EAB +⊙EBA =90°,⊙⊙BDE =⊙EAB ,⊙BDE =⊙CBE , ⊙⊙EAB =⊙CBE ,⊙⊙ABE +⊙CBE =90°,⊙CB ⊙AB ,⊙AB 是⊙O 的直径,⊙BC 是⊙O 的切线;(2)解:⊙BD 平分⊙ABE , ⊙⊙ABD =⊙DBE ,如解图,连接DO ,第13题解图⊙OD =OB ,⊙⊙ODB =⊙OBD ,⊙⊙EBD =⊙OBD ,⊙⊙EBD =⊙ODB ,⊙OD ⊙BE ,⊙PD PE =PO PB, ⊙P A =AO ,⊙P A =AO =OB ,⊙PO PB =23, ⊙PD PE =23, ⊙PD PD +DE =23, ⊙DE =2, ⊙PD =4.。

初中数学重点梳理:切线和割线

初中数学重点梳理:切线和割线

切线和割线知识定位切割线定理是初中平面几何中的重要定理,它应用广泛,各地的中考题有相当多的题目都用到它,竞赛题也不例外.且题目新颖,灵活多变,学生往往甚感困难。

因此有计划、有目的、有步骤地对切割线定理进行补充、演化无疑是十分有益的。

知识梳理知识梳理1:切割线定理切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

是圆幂定理的之一。

几何语言:∵PT切⊙O于点T,PDC是⊙O的割线∴PT²=PD·PC(切割线定理)知识梳理2:割线定理从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言:∵PT是⊙O切线,PBA、PDC是⊙O的割线∴PD·PC=PA·PB(切割线定理推论)(割线定理)由上可知:PT²=PA·PB=PC·PD例题精讲【试题来源】【题目】如图,等边三角形ABC中,边AB与⊙O相切于点H,边BC,CA与⊙O交于点D,E,F,G。

已知AG=2,GF=6,FC=1.则DE=_______.【答案】21【解析】2由切割线定理可知16:4又AH AG AF,AHAC AG=•=∴==2又99故5则25又7,9,AC AG GF FCAB ACBHBD BE BHCE CD CF CG BC AC=++=∴===•==•=•===【知识点】切线和割线【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】如图,⊙O和⊙O′都经过点A和B,PQ切⊙O于P,交⊙O′于Q,M,交AB的延长线于N.求证:2PN MN NQ=⋅.【答案】【解析】【知识点】切线和割线【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】如图,已知点P是O外一点,PS,PT是O的两条切线,过点P作O的割线PAB,交O于A.B两点,并交ST于点C,求证:1111()2PC PA PB=+.【答案】【解析】【知识点】切线和割线【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】如图,设△ABC是直角三角形,点D在斜边BC上,BD=4DC。

2020年中考数学重难点复习《圆》解答题及答案解析 (45)

2020年中考数学重难点复习《圆》解答题及答案解析 (45)

2020年中考数学重难点复习《圆》解答题1.如图所示,在△ABC中,AB=AC=5,O为BC边中点,BC=8,点E、G是线段AB上的动点(不与端点重合),点H、F是线段AC上的动点,且EF∥GH∥BC.设点O到EF、GH的距离分别为x、y.(1)若△EOF的面积为S:①用关于x的代数式表示线段EF的长;②求S的最大值;(2)以点O为圆心,当以OE为半径的圆与以OG为半径的圆重合时,求x与y应满足的关系式,并求x的取值范围.【分析】(1)①连接OA,判断出AO是△ABC的高,AM是△AEF的高,再利用相似三角形的对应边上的高的比等于相似比,即可得出结论;②利用三角形面积公式得出S与x的函数关系式,即可得出结论;(2)先判断出DE=DG,再用三角函数表示出BE,BD,BG,即可得出结论.【解答】解:(1)①如图1,连接OA,交EF于M,∵AB=AC,O为BC边中点,∴OA⊥BC,∵EF∥BC,∴AM⊥EF,∵BC=8,∴OB=BC=4,在Rt△AOB中,根据勾股定理得,OA==3,∵点O到EF的距离为为x,∴OM=x,∴AM=OA﹣OM=3﹣x,∵EF∥BC,∴△AEF∽△ABC,∴,∴,∴EF=(3﹣x);②由①知,EF=(3﹣x),∴S=S△OEF=×(3﹣x)•x=﹣(x2﹣3x)=﹣(x﹣)2+3,∵﹣<0,∴当x=时,S最大=3;(2)如图2,∵以OE为半径的圆与以OG为半径的圆重合,∴OE=OG,过点O作OD⊥AB于D,∴DE=DG,连接OA,由(1)知,OA⊥BC,OA=3,在Rt△AOB中,sin B==,cos A==,过点E作EP⊥BC于P,PE=x,在Rt△BPE中,sin B=,∴BE==x,过点G作DQ⊥BC于Q,GQ=y,在Rt△BQG中,BG==y,∴DE=EG=(BG﹣BE)=(y﹣x),在Rt△BDO中,BD=OB•cos B=4×=,∴DE=BD﹣BE=﹣x,∴(y﹣x)=﹣x,∴y=﹣x+,∵S△AOB=AB•OD=OA•OB,∴OD==,根据勾股定理得,BD==,∵以点O为圆心,当以OE为半径的圆与以OG为半径的圆重合时,∴OE=OG,即:⊙与线段AB相交于E,G两点,在Rt△BPE中,BE=x,当⊙O与AB相切时,点E,G重合,此时,BD=BE,∴x=,∴x=,当点F在点H下方是,即:点G在点E上方,此时,BE越小时,x越小,∴当点G和点A重合时,x最小,即:y=OA=3,∴﹣x+=3,∴x=,当点F在点H上方是,即:点G在点E下方,∴当点E和点A重合时,x最大,即:x=OA=3,即:y=﹣x+(<x<3且x≠).。

2020-2021中考数学培优(含解析)之圆的综合及答案解析

2020-2021中考数学培优(含解析)之圆的综合及答案解析

2020-2021中考数学培优(含解析)之圆的综合及答案解析一、圆的综合1.图 1 和图 2 中,优弧»AB纸片所在⊙O 的半径为 2,AB=23,点P为优弧»AB上一点(点P 不与A,B 重合),将图形沿BP 折叠,得到点A 的对称点A′.发现:(1)点O 到弦AB 的距离是,当BP 经过点O 时,∠ABA′=;(2)当BA′与⊙O 相切时,如图 2,求折痕的长.拓展:把上图中的优弧纸片沿直径MN 剪裁,得到半圆形纸片,点P(不与点M, N 重合)为半圆上一点,将圆形沿NP 折叠,分别得到点M,O 的对称点A′, O′,设∠MNP=α.(1)当α=15°时,过点A′作A′C∥MN,如图 3,判断A′C 与半圆O 的位置关系,并说明理由;(2)如图 4,当α= °时,NA′与半圆O 相切,当α= °时,点O′落在»NP上.(3)当线段NO′与半圆O 只有一个公共点N 时,直接写出β的取值范围.【答案】发现:(1)1,60°;(2)3;拓展:(1)相切,理由详见解析;(2)45°;30°;(3)0°<α<30°或45°≤α<90°.【解析】【分析】发现:(1)利用垂径定理和勾股定理即可求出点O到AB的距离;利用锐角三角函数的定义及轴对称性就可求出∠ABA′.(2)根据切线的性质得到∠OBA′=90°,从而得到∠ABA′=120°,就可求出∠ABP,进而求出∠OBP=30°.过点O作OG⊥BP,垂足为G,容易求出OG、BG的长,根据垂径定理就可求出折痕的长.拓展:(1)过A'、O作A'H⊥MN于点H,OD⊥A'C于点D.用含30°角的直角三角形的性质可得OD=A'H=12A'N=12MN=2可判定A′C与半圆相切;(2)当NA′与半圆相切时,可知ON⊥A′N,则可知α=45°,当O′在»PB时,连接M O′,则可知NO′=12MN,可求得∠MNO′=60°,可求得α=30°;(3)根据点A′的位置不同得到线段NO′与半圆O只有一个公共点N时α的取值范围是0°<α<30°或45°≤α<90°.【详解】发现:(1)过点O作OH⊥AB,垂足为H,如图1所示,∵⊙O的半径为2,AB=23,∴OH=22OB HB-=222(3)1-=在△BOH中,OH=1,BO=2∴∠ABO=30°∵图形沿BP折叠,得到点A的对称点A′.∴∠OBA′=∠ABO=30°∴∠ABA′=60°(2)过点O作OG⊥BP,垂足为G,如图2所示.∵BA′与⊙O相切,∴OB⊥A′B.∴∠OBA′=90°.∵∠OBH=30°,∴∠ABA′=120°.∴∠A′BP=∠ABP=60°.∴∠OBP=30°.∴OG=12OB=1.∴3.∵OG⊥BP,∴3.∴3.∴折痕的长为3拓展:(1)相切.分别过A'、O作A'H⊥MN于点H,OD⊥A'C于点D.如图3所示,∵A'C∥MN∴四边形A'HOD是矩形∴A'H=O∵α=15°∴∠A'NH=30∴OD=A'H=12A'N=12MN=2∴A'C与半圆(2)当NA′与半圆O相切时,则ON⊥NA′,∴∠ONA′=2α=90°,∴α=45当O′在»PB上时,连接MO′,则可知NO′=12 MN,∴∠O′MN=0°∴∠MNO′=60°,∴α=30°,故答案为:45°;30°.(3)∵点P,M不重合,∴α>0,由(2)可知当α增大到30°时,点O′在半圆上,∴当0°<α<30°时点O′在半圆内,线段NO′与半圆只有一个公共点B;当α增大到45°时NA′与半圆相切,即线段NO′与半圆只有一个公共点B.当α继续增大时,点P逐渐靠近点N,但是点P,N不重合,∴α<90°,∴当45°≤α<90°线段BO′与半圆只有一个公共点B.综上所述0°<α<30°或45°≤α<90°.【点睛】本题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理、三角函数的定义、30°角所对的直角边等于斜边的一半、翻折问题等知识,正确的作出辅助线是解题的关键.2.如图,AB是半圆O的直径,C是的中点,D是的中点,AC与BD相交于点E.(1)求证:BD平分∠ABC;(2)求证:BE=2AD;(3)求DEBE的值.【答案】(1)答案见解析(2)BE=AF=2AD(3)21 2 -【解析】试题分析:(1)根据中点弧的性质,可得弦AD=CD,然后根据弦、弧、圆周角、圆心角的性质求解即可;(2)延长BC与AD相交于点F, 证明△BCE≌△ACF, 根据全等三角形的性质可得BE=AF=2AD;(3)连接OD,交AC于H.简要思路如下:设OH为1,则BC为2,OB=OD=2,DH=21-, 然后根据相似三角形的性质可求解.试题解析:(1)∵D是的中点∴AD=DC∴∠CBD=∠ABD∴BD平分∠ABC(2)提示:延长BC与AD相交于点F,证明△BCE≌△ACF,BE=AF=2AD(3)连接OD,交AC于H.简要思路如下:设OH为1,则BC为2,2,21, DEBE=DHBCDE BE =2123.如图,已知在△ABC中,AB=15,AC=20,tanA=12,点P在AB边上,⊙P的半径为定长.当点P与点B重合时,⊙P恰好与AC边相切;当点P与点B不重合时,⊙P与AC边相交于点M和点N.(1)求⊙P的半径;(2)当AP=65时,试探究△APM与△PCN是否相似,并说明理由.【答案】(1)半径为35;(2)相似,理由见解析.【解析】【分析】(1)如图,作BD⊥AC,垂足为点D,⊙P与边AC相切,则BD就是⊙P的半径,利用解直角三角形得出BD与AD的关系,再利用勾股定理可求得BD的长;(2)如图,过点P作PH⊥AC于点H,作BD⊥AC,垂足为点D,根据垂径定理得出MN=2MH,PM=PN,再利用勾股定理求出PH、AH、MH、MN的长,从而求出AM、NC的长,然后求出AMMP、PNNC的值,得出AMMP=PNNC,利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可证明.【详解】(1)如图,作BD⊥AC,垂足为点D,∵⊙P与边AC相切,∴BD就是⊙P的半径,在Rt△ABD中,tanA= 1BD2AD =,设BD=x,则AD=2x,∴x2+(2x)2=152,解得:5∴半径为5(2)相似,理由见解析,如图,过点P作PH⊥AC于点H,作BD⊥AC,垂足为点D,∴PH垂直平分MN,∴PM=PN,在Rt△AHP中,tanA=12PHAH =,设PH=y,AH=2y,y 2+(2y )2=(65)2 解得:y=6(取正数), ∴PH=6,AH=12,在Rt △MPH 中,MH=()22356-=3,∴MN=2MH=6,∴AM=AH-MH=12-3=9,NC=AC-MN-AM=20-6-9=5, ∴35535AM MP ==,355PN NC =, ∴AM MP =PN NC, 又∵PM=PN ,∴∠PMN=∠PNM ,∴∠AMP=∠PNC ,∴△AMP ∽△PNC.【点睛】本题考查了解直角三角形、垂径定理、相似三角形的判定与性质等,综合性较强,有一定的难度,正确添加辅助线、灵活应用相关的性质与定理是解题的关键.4.如图1,在Rt △ABC 中,AC=8cm ,BC=6cm ,D 、E 分别为边AB 、BC 的中点,连结DE ,点P 从点A 出发,沿折线AD ﹣DE 运动,到点E 停止,点P 在AD 上以5cm/s 的速度运动,在DE 上以1cm/s 的速度运动,过点P 作PQ ⊥AC 于点Q ,以PQ 为边作正方形PQMN .设点P 的运动时间为t (s ).(1)当点P 在线段DE 上运动时,线段DP 的长为_____cm .(用含t 的代数式表示) (2)当正方形PQMN 与△ABC 重叠部分图形为五边形时,设五边形的面积为S (cm 2),求S与t的函数关系式,并写出t的取值范围.(3)如图2,若点O在线段BC上,且CO=1,以点O为圆心,1cm长为半径作圆,当点P 开始运动时,⊙O的半径以0.2cm/s的速度开始不断增大,当⊙O与正方形PQMN的边所在直线相切时,求此时的t值.【答案】(1)t﹣1;(2)S=﹣38t2+3t+3(1<t<4);(3)t=103s.【解析】分析:(1)根据勾股定理求出AB,根据D为AB中点,求出AD,根据点P在AD上的速度,即可求出点P在AD段的运动时间,再求出点P在DP段的运动时间,最后根据DE段运动速度为1c m/s,即可求出DP;(2)由正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形,可知点P在DE上,求出DP=t﹣1,PQ=3,根据MN∥BC,求出FN的长,从而得到FM的长,再根据S=S梯形FMHD+S矩形DHQP,列出S与t的函数关系式即可;(3)当圆与边PQ相切时,可求得r=PE=5﹣t,然后由r以0.2c m/s的速度不断增大,r=1+0.2t,然后列方程求解即可;当圆与MN相切时,r=CM=8﹣t=1+0.2t,从而可求得t的值.详解:(1)由勾股定理可知:AB=22AC BC=10.∵D、E分别为AB和BC的中点,∴DE=12AC=4,AD=12AB=5,∴点P在AD上的运动时间=55=1s,当点P在线段DE上运动时,DP段的运动时间为(t﹣1)s.∵DE段运动速度为1c m/s,∴DP=(t﹣1)cm.故答案为t﹣1.(2)当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时,有一种情况,如下图所示.当正方形的边长大于DP时,重叠部分为五边形,∴3>t﹣1,t<4,DP>0,∴t﹣1>0,解得:t>1,∴1<t<4.∵△DFN∽△ABC,∴DNFN=ACBC=86=43.∵DN=PN﹣PD,∴DN=3﹣(t﹣1)=4﹣t,∴4t FN -=43,∴FN =344t -(), ∴FM =3﹣344t -()=34t , S =S 梯形FMHD +S 矩形DHQP , ∴S =12×(34t +3)×(4﹣t )+3(t ﹣1)=﹣38t 2+3t +3(1<t <4). (3)①当圆与边PQ 相切时,如图:当圆与PQ 相切时,r =PE ,由(1)可知,PD =(t ﹣1)cm ,∴PE =DE ﹣DP =4﹣(t ﹣1)=(5﹣t )cm .∵r 以0.2c m/s 的速度不断增大,∴r =1+0.2t ,∴1+0.2t =5﹣t ,解得:t =103s . ②当圆与MN 相切时,r =CM .由(1)可知,DP =(t ﹣1)cm ,则PE =CQ =(5﹣t )cm ,MQ =3cm ,∴MC =MQ +CQ =5﹣t +3=(8﹣t )cm ,∴1+0.2t =8﹣t ,解得:t =356s . ∵P 到E 点停止,∴t ﹣1≤4,即t ≤5,∴t =356s (舍). 综上所述:当t =103s 时,⊙O 与正方形PQMN 的边所在直线相切. 点睛:本题主要考查的是圆的综合应用,解答本题主要应用了勾股定理、相似三角形的性质和判定、正方形的性质,直线和圆的位置关系,依据题意列出方程是解题的关键.5.已知:如图,AB是⊙O的直径,PB切⊙O于点B,PA交⊙O于点C,∠APB是平分线分别交BC,AB于点D、E,交⊙O于点F,∠A=60°,并且线段AE、BD的长是一元二次方程 x2﹣kx+23 =0的两根(k为常数).(1)求证:PA•BD=PB•AE;(2)求证:⊙O的直径长为常数k;(3)求tan∠FPA的值.【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)tan∠FPA=2﹣3 .【解析】试题分析:(1)由PB切⊙O于点B,根据弦切角定理,可得∠PBD=∠A,又由PF平分∠APB,可证得△PBD∽△PAE,然后由相似三角形的对应边成比例,证得PA•BD=PB•AE;(2)易证得BE=BD,又由线段AE、BD的长是一元二次方程 x2﹣kx+2=0的两根(k为常数),即可得AE+BD=k,继而求得AB=k,即:⊙O的直径长为常数k;(3)由∠A=60°,并且线段AE、BC的长是一元二次方程 x2﹣kx+2=0的两根(k为常数),可求得AE与BD的长,继而求得tan∠FPB的值,则可得tan∠FPA的值.试题解析:(1)证明:如图,∵PB切⊙O于点B,∴∠PBD=∠A,∵PF平分∠APB,∴∠APE=∠BPD,∴△PBD∽△PAE,∴PB:PA=BD:AE,∴PA•BD=PB•AE;(2)证明:如图,∵∠BED=∠A+∠EPA,∠BDE=∠PBD+∠BPD.又∵∠PBD=∠A,∠EPA=∠BPD,∴∠BED=∠BDE.∴BE=BD.∵线段AE、BD的长是一元二次方程 x2﹣kx+2=0的两根(k为常数),∴AE+BD=k,∴AE+BD=AE+BE=AB=k,即⊙O直径为常数k.(3)∵PB切⊙O于B点,AB为直径.∴∠PBA=90°.∵∠A=60°.∴PB=PA•sin60°=PA,又∵PA•BD=PB•AE,∴BD=AE,∵线段AE、BD的长是一元二次方程 x2﹣kx+2=0的两根(k为常数).∴AE•BD=2,即AE2=2,解得:AE=2,BD=,∴AB=k=AE+BD=2+,BE=BD=,在Rt△PBA中,PB=AB•tan60°=(2+)×=3+2.在Rt△PBE中,tan∠BPF===2﹣,∵∠FPA=∠BPF,∴tan∠FPA=2﹣.【点睛】此题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及根与系数的关系等知识.此题难度较大,注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.6.已知:如图1,∠ACG=90°,AC=2,点B为CG边上的一个动点,连接AB,将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到△ADB,过点D作DF⊥CG于点F.(1)当BC=233时,判断直线FD与以AB为直径的⊙O的位置关系,并加以证明;(2)如图2,点B在CG上向点C运动,直线FD与以AB为直径的⊙O交于D、H两点,连接AH,当∠CAB=∠BAD=∠DAH时,求BC的长.【答案】(1)直线FD与以AB为直径的⊙O相切,理由见解析;(2)22 .【解析】试题分析:(1)根据已知及切线的判定证明得,直线FD与以AB为直径的⊙O相切;(2)根据圆内接四边形的性质及直角三角形的性质进行分析,从而求得BC的长.试题解析:(1)判断:直线FD与以AB为直径的⊙O相切.证明:如图,作以AB为直径的⊙O;∵△ADB是将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到的,∴△ADB≌△ACB,∴∠ADB=∠ACB=90°.∵O为AB的中点,连接DO,∴OD=OB=AB,∴点D在⊙O上.在Rt△ACB中,BC=,AC=2;∴tan∠CAB==,∴∠CAB=∠BAD=30°,∴∠ABC=∠ABD=60°,∴△BOD是等边三角形.∴∠BOD=60°.∴∠ABC=∠BOD,∴FC∥DO.∵DF⊥CG,∴∠ODF=∠BFD=90°,∴OD⊥FD,∴FD为⊙O的切线.(2)延长AD交CG于点E,同(1)中的方法,可证点C在⊙O上;∴四边形ADBC是圆内接四边形.∴∠FBD=∠1+∠2.同理∠FDB=∠2+∠3.∵∠1=∠2=∠3,∴∠FBD=∠FDB,又∠DFB=90°.∴EC=AC=2.设BC=x,则BD=BC=x,∵∠EDB=90°,∴EB=x.∵EB+BC=EC,∴x+x=2,解得x=2﹣2,∴BC=2﹣2.7.如图,△ABC是⊙O的内接三角形,点D,E在⊙O上,连接AE,DE,CD,BE,CE,∠EAC+∠BAE=180°,»»AB CD.(1)判断BE与CE之间的数量关系,并说明理由;(2)求证:△ABE≌△DCE;(3)若∠EAC=60°,BC=8,求⊙O的半径.【答案】(1)BE=CE,理由见解析;(2)证明见解析;(3)833.【解析】分析:(1)由A、B、C、E四点共圆的性质得:∠BCE+∠BAE=180°,则∠BCE=∠EAC,所以»»BE CE=,则弦相等;(2)根据SSS证明△ABE≌△DCE;(3)作BC和BE两弦的弦心距,证明Rt△GBO≌Rt△HBO(HL),则∠OBH=30°,设OH=x,则OB=2x,根据勾股定理列方程求出x的值,可得半径的长.本题解析:(1)解:BE=CE ,理由:∵∠EAC+∠BAE=180°,∠BCE+∠BAE=180°,∴∠BCE=∠EAC ,∴»»BECE =, ∴BE=CE ;(2)证明:∵»»AB CD =,∴AB=CD ,∵»»BE CE =,»»AE ED=,∴AE=ED , 由(1)得:BE=CE ,在△ABE 和△DCE 中,∵AE DE AB CD BE CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩, ∴△ABE ≌△DCE (SSS );(3)解:如图,∵过O 作OG ⊥BE 于G ,OH ⊥BC 于H ,∴BH=12BC=12×8=4,BG=12BE , ∵BE=CE ,∠EBC=∠EAC=60°, ∴△BEC 是等边三角形,∴BE=BC ,∴BH=BG ,∵OB=OB ,∴Rt △GBO ≌Rt △HBO (HL ),∴∠OBH=∠GBO=12∠EBC=30°, 设OH=x ,则OB=2x , 由勾股定理得:(2x )2=x 2+42,x=43, ∴OB=2x=83,∴⊙O 的半径为83.点睛:本题是圆的综合题,考查了四点共圆的性质、三角形全等的性质和判定、勾股定理、直角三角形30°的性质,难度适中,第一问还可以利用三角形全等得出对应边相等的结论;第三问作辅助线,利用勾股定理列方程是关键.8.如图,AC 是⊙O 的直径,OB 是⊙O 的半径,PA 切⊙O 于点A ,PB 与AC 的延长线交于点M ,∠COB =∠APB .(1)求证:PB 是⊙O 的切线;(2)当MB =4,MC =2时,求⊙O 的半径.【答案】(1)证明见解析;(2)3.【解析】【分析】(1)根据题意∠M +∠P =90°,而∠COB =∠APB ,所以有∠M +∠COB =90°,即可证明PB 是⊙O 的切线.(2)设圆的半径为r ,则OM =r +2,BM=4,OB =r ,再根据勾股定理列方程便可求出r .【详解】证明:(1)∵AC 是⊙O 的直径,PA 切⊙O 于点A ,∴PA ⊥OA∴在Rt △MAP 中,∠M +∠P =90°,而∠COB =∠APB ,∴∠M +∠COB =90°,∴∠OBM =90°,即OB ⊥BP ,∴PB 是⊙O 的切线;(2)设⊙O 的半径为r ,2OM r ∴=+ ,OB r = ,4BM =OBM ∆Q 为直角三角形∴222OM OB BM =+ ,即222(2)+4r r +=解得:r =3,∴⊙O 的半径为3.【点睛】本题主要考查圆的切线问题,证明圆的切线有两种思路一种是证明连线是半径,另一种是证明半径垂直.9.在O e 中,AB 为直径,C 为O e 上一点.(Ⅰ)如图①,过点C 作O e 的切线,与AB 的延长线相交于点P ,若28CAB ∠=︒,求P ∠的大小;(Ⅱ)如图②,D 为弧AC 的中点,连接OD 交AC 于点E ,连接DC 并延长,与AB 的延长线相交于点P ,若12CAB ∠=︒,求P ∠的大小.【答案】(1)∠P =34°;(2)∠P =27°【解析】【分析】(1)首先连接OC ,由OA=OC ,即可求得∠A 的度数,然后由圆周角定理,求得∠POC 的度数,继而求得答案;(2)因为D 为弧AC 的中点,OD 为半径,所以OD ⊥AC ,继而求得答案.【详解】(1)连接OC ,∵OA =OC ,∴∠A =∠OCA =28°,∴∠POC =56°,∵CP 是⊙O 的切线,∴∠OCP =90°,∴∠P =34°;(2)∵D 为弧AC 的中点,OD 为半径,∴OD ⊥AC ,∵∠CAB =12°,∴∠AOE =78°,∴∠DCA =39°,∵∠P =∠DCA ﹣∠CAB ,∴∠P =27°.【点睛】本题考查切线的性质以及等腰三角形的性质.注意准确作出辅助线是解此题的关键.10.如图1,已知⊙O 是ΔADB 的外接圆,∠ADB 的平分线DC 交AB 于点M ,交⊙O 于点C ,连接AC ,BC .(1)求证:AC=BC ;(2)如图2,在图1 的基础上做⊙O 的直径CF 交AB 于点E ,连接AF ,过点A 作⊙O 的切线AH ,若AH//BC ,求∠ACF 的度数;(3)在(2)的条件下,若ΔABD的面积为63,ΔABD与ΔABC的面积比为2:9,求CD 的长.【答案】(1)证明见解析;(2)30°;(3)233【解析】分析:(1)运用“在同圆或等圆中,弧相等,所对的弦相等”可求解;(2)连接AO并延长交BC于I交⊙O于J,由AH是⊙O的切线且AH∥BC得AI⊥BC,易证∠IAC=30°,故可得∠ABC=60°=∠F=∠ACB,由CF是直径可得∠ACF的度数;(3)过点D作DG⊥AB ,连接AO,知ABC为等边三角形,求出AB、AE的长,在RtΔAEO 中,求出AO的长,得CF的长,再求DG 的长,运用勾股定理易求CD的长.详解:(1)∵DC平分∠ADB,∴∠ADC=∠BDC,∴AC=BC.(2)如图,连接AO并延长交BC于I交⊙O于J∵AH是⊙O的切线且AH∥BC,∴AI⊥BC,∴BI=IC,∵AC=BC,∴IC=1AC,2∴∠IAC=30°,∴∠ABC=60°=∠F=∠ACB.∵FC 是直径,∴∠FAC=90°,∴∠ACF=180°-90°-60°=30°.(3)过点D 作DG AB ⊥,连接AO由(1)(2)知ABC 为等边三角形∵∠ACF=30°,∴AB CF ⊥,∴AE=BE , ∴2ΔABC 33S AB == ∴AB=3 ∴33AE =在RtΔAEO 中,设EO=x ,则AO=2x ,∴222AO AE OE =+,∴()(222233x x =+,∴x =6,⊙O 的半径为6,∴CF=12. ∵ΔABD 11636322S AB DG DG =⨯⨯=⨯= ∴DG=2.如图,过点D 作DG CF '⊥,连接OD .∵AB CF ⊥,DG AB ⊥,∴CF//DG ,∴四边形G ′DGE 为矩形,∴2G E '=, 63211CG G E CE +=++'==',在RtΔOG D '中,5,6OG OD ='=, ∴11DG '=∴222''=+=+=CD DG CG1111233点睛:本题是一道圆的综合题.考查了圆的基本概念,垂径定理,勾股定理,圆周角定理等相关知识.比较复杂,熟记相关概念是解题关键.11.如图,AB是圆O的直径,O为圆心,AD、BD是半圆的弦,且∠PDA=∠PBD.延长PD 交圆的切线BE于点E(1)判断直线PD是否为⊙O的切线,并说明理由;(2)如果∠BED=60°,PD=3,求PA的长;(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF,点F正好在圆O上,如图2,求证:四边形DFBE为菱形.【答案】(1)证明见解析;(2)1;(3)证明见解析.【解析】【分析】(1)连接OD,由AB是圆O的直径可得∠ADB=90°,进而求得∠ADO+∠PDA=90°,即可得出直线PD为⊙O的切线;(2)根据BE是⊙O的切线,则∠EBA=90°,即可求得∠P=30°,再由PD为⊙O的切线,得∠PDO=90°,根据三角函数的定义求得OD,由勾股定理得OP,即可得出PA;(3)根据题意可证得∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF,由AB是圆O的直径,得∠ADB=90°,设∠PBD=x°,则可表示出∠DAF=∠PAD=90°+x°,∠DBF=2x°,由圆内接四边形的性质得出x 的值,可得出△BDE是等边三角形.进而证出四边形DFBE为菱形.【详解】(1)直线PD为⊙O的切线,理由如下:如图1,连接OD,∵AB是圆O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠ADO+∠BDO=90°,又∵DO=BO,∴∠BDO=∠PBD,∵∠PDA=∠PBD,∴∠BDO=∠PDA,∴∠ADO+∠PDA=90°,即PD⊥OD,∵点D在⊙O上,∴直线PD为⊙O的切线;(2)∵BE是⊙O的切线,∴∠EBA=90°,∵∠BED=60°,∴∠P=30°,∵PD为⊙O的切线,∴∠PDO=90°,在Rt△PDO中,∠P=30°,∴0 tan30ODPD=,解得OD=1,∴PO,∴PA=PO﹣AO=2﹣1=1;(3)如图2,依题意得:∠ADF=∠PDA,∠PAD=∠DAF,∵∠PDA=∠PBD∠ADF=∠ABF,∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF,∵AB是圆O的直径,∴∠ADB=90°,设∠PBD=x°,则∠DAF=∠PAD=90°+x°,∠DBF=2x°,∵四边形AFBD内接于⊙O,∴∠DAF+∠DBF=180°,即90°+x+2x=180°,解得x=30°,∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°,∵BE、ED是⊙O的切线,∴DE=BE,∠EBA=90°,∴∠DBE=60°,∴△BDE是等边三角形,∴BD=DE=BE,又∵∠FDB=∠ADB﹣∠ADF=90°﹣30°=60°∠DBF=2x°=60°,∴△BDF是等边三角形,∴BD=DF=BF,∴DE=BE=DF=BF,∴四边形DFBE 为菱形.【点睛】本题是一道综合性的题目,考查了切线的判定和性质,圆周角定理和菱形的性质,是中档题,难度较大.12.如图1,等腰直角△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC ,过点A ,C 的圆交AB 于点D ,交BC 于点E ,连结DE(1)若AD=7,BD=1,分别求DE ,CE 的长(2)如图2,连结CD ,若CE=3,△ACD 的面积为10,求tan ∠BCD(3)如图3,在圆上取点P 使得∠PCD=∠BCD (点P 与点E 不重合),连结PD ,且点D 是△CPF 的内心①请你画出△CPF ,说明画图过程并求∠CDF 的度数②设PC=a ,PF=b ,PD=c ,若(a-2c )(b-2c )=8,求△CPF 的内切圆半径长.【答案】(1)DE=1,CE=322)tan ∠BCD=14;(3)①135°;②2. 【解析】【分析】 (1)由A 、C 、E 、D 四点共圆对角互补为突破口求解;(2)找∠BDF 与∠ODA 为对顶角,在⊙O 中,∠COD=2∠CAD ,证明△OCD 为等腰直角三角形,从而得到∠EDC+∠ODA=45°,即可证明∠CDF=135°;(3)过点D 做DH CB 于点H ,以D 为圆心,DH 为半径画圆,过点P 做D e 切线PF 交CB 的延长线于点F ,结合圆周角定理得出∠CPD=∠CAD=45°,再根据圆的内心是三角形三个内角角平分线的交点,得出∠CPF=90°,然后根据角平分线性质得出114522DCF CFD PCF PFC ∠+∠=∠+∠=︒,最后再根据三角形内角和定理即可求解;证明∠DCF+∠CFD=45°,从而证明∠CPF 是直角,再求证四边形PKDN 是正方形,最后以△PCF 面积不变性建立等量关系,结合已知(a-2c )(b-2c )=8,消去字母a ,b 求出c 值,即求出△CPF 的内切圆半径长为22c . 【详解】(1)由图可知:设BC=x .在Rt △ABC 中,AC=BC .由勾股定理得:AC 2+BC 2=AB 2,∵AB=AD+BD ,AD=7,BD=1,∴x 2+x 2=82,解得:x=42.∵⊙O 内接四边形,∠ACD=90°,∴∠ADE=90°,∴∠EDB=90°,∵∠B=45°,∴△BDE 是等腰直角三形.∴DE=DB ,又∵DB=1,∴DE=1,又∵CE=BC-BE ,∴CE=42232-=.(2)如图所示:在△DCB 中过点D 作DM ⊥BE ,设BE=y ,则DM=12y , 又∵CE=3,∴BC=3+y ,∵S △ACB =S ACD +S DCB , ∴()1114242103y y 222⨯⨯=+⨯+⨯, 解得:y=2或y=-11(舍去).∴EM=1,CM=CE+ME=1+3=4,又∵∠BCD=∠MCD ,∴tan ∠BCD=tan ∠MCD , 在Rt △DCM 中,tan ∠MCD=DM CM =14, ∴tan ∠BCD=14. (3)①如下图所示:过点D 做DH CB ⊥于点H ,以D 为圆心,DH 为半径画圆,过点P 做D e 切线PF 交CB 的延长线于点F .∵∠CAD=45°,∴∠CPD=∠CAD=45°,又∵点D 是CPF ∆的内心,∴PD 、CD 、DF 都是角平分线,∴∠FPD=∠CPD =45°,∠PCD=∠DCF ,∠PFD=∠CFD∴∠CPF=90°∴∠PCF+∠PFC=90°∴114522DCF CFD PCF PFC ∠+∠=∠+∠=︒ ∴∠CDF=180°-∠DCF-∠CFD F=90°+45°=135°,即∠CDF 的度数为135°.②如下图所示过点D 分别作DK ⊥PC ,DM ⊥CF ,DN ⊥PF 于直线PC ,CF 和PF 于点K ,M ,N 三点, 设△PCF 内切圆的半径为m ,则DN=m ,∵点D 是△PCF 的内心,∴DM=DN=DK ,又∵∠DCF+∠CFD+∠FDC=180°,∠FDC=45°,∴∠DCF+∠CFD=45°,又∵DC ,DF 分别是∠PCF 和∠PFC 的角平分线,∴∠PCF=2∠DCF ,∠PFC=2∠DFC ,∴∠PCF+∠PFC=90°,∴∠CPF=90°.在四边形PKDN 中,∠PND=∠NPK=∠PKD=90°,∴四边形PKDN 是矩形,又∵KD=ND ,∴四边形PKDN 是正方形.又∵∠MBD=∠BDM=45°,∠BDM=∠KDP ,∴∠KDP=45°.∵PC=a ,PF=b ,PD=c ,∴PN=PK=2C 2, ∴NF=2b c 2-,CK=2a c 2-, 又∵CK=CM ,FM=FN ,CF=CM+FM ,∴CF=a b 2c +,又∵S △PCF =S △PDF +S △PDC +S △DCF , ∴112121ab a c b c (a b 2222222=⨯+⨯++-)×2c 2, 化简得:)22a b c c +-------(Ⅰ),又∵若(2c )(2c )=8 化简得:()2ab 2c a b 2c 8++=------(Ⅱ),将(Ⅰ)代入(Ⅱ)得:c2=8,解得:c22=-(舍去),=,或c22∴m=22=⨯=,c22222即△CPF的内切圆半径长为2.【点睛】本题考查圆的内接四边形性质,圆的内心,圆心角、圆周角,同弧(或等弧)之间的相互关系,同时也考查直角三角形,勾股定理,同角或等角的三角函数值相等和三角形的面积公式,正方形,对顶角和整式的运算等知识点;难点是作辅助线和利用等式求△CPF的内切圆半径长.13.如图,在中,,以为直径作,交边于点,交边于点,过点作的切线,交的延长线于点,交于点.(1)求证:;(2)若,,求的半径.【答案】(1)证明见解析;(2)4.【解析】试题分析:(1)连接AD,根据等腰三角形三线合一即可证明.(2)设⊙O的半径为R,则FO=4+R,FA=4+2R,OD=R,连接OD,由△FOD∽△FAE,得列出方程即可解决问题.试题解析:(1)连接AD,∵AB是直径,∴∠ADB=90°,∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=DC.(2)设⊙O的半径为R,则FO=4+R,FA=4+2R,OD=R,连接OD、∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,∵OB=OD,∴∠ABC=∠ODB,∴∠ODB=∠C,∴OD∥AC,∴△FOD∽△FAE,∴,∴,整理得R2﹣R﹣12=0,∴R=4或(﹣3舍弃).∴⊙O的半径为4.考点:切线的性质、等腰三角形的性质等知识.14.如图, Rt△ABC中,∠B=90°,它的内切圆分别与边BC、CA、AB相切于点D、E、F, (1)设AB=c, BC=a, AC=b, 求证: 内切圆半径r=12(a+b-c).(2) 若AD交圆于P, PC交圆于H, FH//BC, 求∠CPD;(3)若r=310, PD=18, PC=272. 求△ABC各边长.【答案】(1)证明见解析(2)45°(3)1010,1510,12【解析】【分析】(1)根据切线长定理,有AE=AF,BD=BF,CD=CE.易证四边形BDOF为正方形,BD=BF=r,用r表示AF、AE、CD、CE,利用AE+CE=AC为等量关系列式.(2)∠CPD为弧DH所对的圆周角,连接OD,易得弧DH所对的圆心角∠DOH=90°,所以∠CPD=45°.(3)由PD=18和10,联想到垂径定理基本图形,故过圆心O作PD的垂线OM,求得弦心距OM=3,进而得到∠MOD的正切值.延长DO得直径DG,易证PG∥OM,得到同位角∠G=∠MOD.又利用圆周角定理可证∠ADB=∠G,即得到∠ADB的正切值,进而求得AB.再设CE=CD=x,用x表示BC、AC,利用勾股定理列方程即求出x.【详解】解:(1)证明:设圆心为O,连接OD、OE、OF,∵⊙O分别与BC、CA、AB相切于点D、E、F∴OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,AE=AF,BD=BF,CD=CE ∴∠B=∠ODB=∠OFB=90°∴四边形BDOF是矩形∵OD=OF=r∴矩形BDOF是正方形∴BD=BF=r∴AE=AF=AB-BF=c-r,CE=CD=BC-BD=a-r∵AE+CE=AC∴c-r+a-r=b整理得:r=12(a+b-c)(2)取FH中点O,连接OD∵FH∥BC∴∠AFH=∠B=90°∵AB与圆相切于点F,∴FH为圆的直径,即O为圆心∵FH∥BC∴∠DOH=∠ODB=90°∴∠CPD=12∠DOH=45°(3)设圆心为O,连接DO并延长交⊙O于点G,连接PG,过O作OM⊥PD于M ∴∠OMD=90°∵PD=18∴DM=12PD=9 ∵BF=BD=OD=r=310, ∴OM=22OD DM -=22(310)9-=9081-=3∴tan ∠MOD=DM OM =3 ∵DG 为直径∴∠DPG=90°∴OM ∥PG ,∠G+∠ODM=90°∴∠G=∠MOD∵∠ODB=∠ADB+∠ODM=90°∴∠ADB=∠G∴∠ADB=∠MOD∴tan ∠ADB=AB BD=tan ∠MOD=3 ∴AB=3BD=3r=910∴AE=AF=AB-BF=910−310=610设CE=CD=x ,则BC=310+x ,AC=610+x∵AB 2+BC 2=AC 2∴(910)2.+(310+x)2=(610+x)2解得:x=910∴BC=1210,AC=1510∴△ABC 各边长AB=910,AC=1510,BC=1210【点睛】本题考查切线的性质,切线长定理,正方形的判定,圆周角定理,垂径定理,勾股定理.切线长定理的运用是解决本题的关键,而在不能直接求得线段长的情况下,利用勾股定理作为等量关系列方程解决是常用做法.15.如图,已知等边△ABC ,AB=16,以AB 为直径的半圆与BC 边交于点D ,过点D 作DF ⊥AC ,垂足为F ,过点F 作FG ⊥AB ,垂足为G ,连结GD .(1)求证:DF是⊙O的切线;(2)求FG的长;(3)求tan∠FGD的值.【答案】(1)证明见解析;(2)6;(3).【解析】试题分析:(1)连接OD,根据等边三角形得出∠A=∠B=∠C=60°,根据OD=OB得到∠ODB=60°,得到OD∥AC,根据垂直得出切线;(2)根据中位线得出BD=CD=6,根据Rt△CDF的三角函数得出CF的长度,从而得到AF的长度,最后根据Rt△AFG的三角函数求出FG的长度;(3)过点D作DH⊥AB,根据垂直得出FG∥DH,根据Rt△BDH求出BH、DH的长度,然后得出∠GDH的正切值,从而得到∠FGD的正切值.试题解析:(1)如图①,连结OD,∵△ABC为等边三角形,∴∠C=∠A=∠B=60°,而OD=OB,∴△ODB是等边三角形,∠ODB=60°,∴∠ODB=∠C,∴OD∥AC,∵DF⊥AC,∴OD⊥DF,∴DF是⊙O的切线(2)∵OD∥AC,点O为AB的中点,∴OD为△ABC的中位线,∴BD=CD=6.在Rt△CDF中,∠C=60°,∴∠CDF=30°,∴CF=CD=3,∴AF=AC-CF=12-3=9 在Rt△AFG中,∵∠A=60°,∴FG=AF·sinA=9×=(3)如图②,过D作DH⊥AB于H.∵FG⊥AB,DH⊥AB,∴FG∥DH,∴∠FGD=∠GDH.在Rt△BDH中,∠B=60°,∴∠BDH=30°,∴BH=BD=3,DH=BH=3.∴tan∠GDH===,∴tan∠FGD=tan∠GDH=考点:(1)圆的基本性质;(2)三角函数.。

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2024年中考数学压轴题重难点知识剖析及训练—圆与母子型相似:切割线定理反A模型压轴题专题(含解析)切割线定理:反A模型1.(北雅)如图,D 为⊙O 上一点,点C 在直径BA 的延长线上,且∠CDA =∠CBD .(1)求证:CD 是⊙O 的切线;(2)过点B 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ,若BC =6,tan ∠CDA=,求BE的长.【解答】(1)证明:连OD ,OE ,如图,∵AB 为直径,∴∠ADB =90°,即∠ADO +∠1=90°,又∵∠CDA =∠CBD ,而∠CBD =∠1,∴∠1=∠CDA ,∴∠CDA +∠ADO =90°,即∠CDO =90°,∴CD 是⊙O 的切线;(2)解:∵EB 为⊙O 的切线,∴ED =EB ,OE ⊥DB ,∴∠ABD +∠DBE =90°,∠OEB +∠DBE =90°,图形相似的证明结论因为⎩⎨⎧∠=∠∠=∠DACDCB D D ∴DCB ∆∽DAC ∆①DA DB DC ⋅=2;②相似比=∠=∠DCB A tan tan∴∠ABD=∠OEB,∴∠CDA=∠OEB.而tan∠CDA=,∴tan∠OEB==,∵Rt△CDO∽Rt△CBE,∴===,∴CD=×6=4,在Rt△CBE中,设BE=x,∴(x+4)2=x2+62,解得x=.2.(南雅)如图,D为⊙O上一点,点C在直径BA的延长线上,且CD2=CA•CB.(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E,若BC=10,,求BE的长.【解答】(1)证明:如图,连接OD,∵CD2=CA•CB,∴,∵∠C=∠C,∴△DCA∽△BCD,∴∠ADC=∠DBC,∵OB=OD,∴∠BDO=∠DBO,∵AB为⊙O的直径,∴∠BDA=90°,∴∠BDO+∠ODA=∠CDA+∠ODA=90°,∴OD⊥CD,∴CD为O0的切线;(2)∵BE、CE是⊙O的切线,∴ED=EB,∵△DCA∽△BCD,∴∠DBA=∠CDA,∴=tan∠DBA=tan∠CDA=,∴CD=BC=6,设BE=x,则DE=x,CE=x+6.在Rt△CBE中,(x+6)2=x2+102,解得:x=,∴BE=.3.(长郡)已知:如图,⊙O的直径AB垂直于弦CD,过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P,连结PD.(1)求证:PD是⊙O的切线.(2)求证:2PD PB PA=⋅.(3)若4PD=,1tan2CDB∠=,求直径AB的长.【解答】(1)证明:连接OD,OC,∵PC是⊙O的切线,∴∠PCO=90°,∵AB⊥CD,AB是直径,∴弧BD=弧BC,∴∠DOP=∠COP,在△DOP和△COP中,,∴△DOP≌△COP(SAS),∴∠PDO=∠PCO=90°,∵D在⊙O上,∴PD是⊙O的切线;(2)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∵∠PDO=90°,∴∠ADO=∠PDB=90°﹣∠BDO,∵OA=OD,∴∠A=∠ADO,∴∠A=∠PDB,∵∠BPD=∠BPD,∴△PDB∽△PAD,∴,∴PD2=PA•PB;(3)解:∵DC⊥AB,∴∠ADB=∠DMB=90°,∴∠A+∠DBM=90°,∠CDB+∠DBM=90°,∴∠A=∠CDB,∵tan∠CDB=,∴tan A==,∵△PDB∽△PAD,∴===∵PD=4,∴PB=2,PA=8,∴AB=8﹣2=6.4.(明德)如图,AB为圆O的直径,C为圆O上一点,AD和过C点的直线互相垂直,垂足为D,且AC 平分∠DAB,延长AB交DC于点E,CF⊥AB于点F.(1)求证:直线DE与⊙O相切;(2)若EB=2,EC=4,求⊙O的半径及AC、AD的长;(3)在(2)的条件下,求阴影部分的面积.【解答】解:(1)连接OC;∵AD⊥DC,∴∠DAC+∠ACD=90°;又∵AC平分∠DAB,OA=OC,∴∠DAC=∠CAO,∠CAO=∠ACO,∴∠DAC=∠ACO,∴∠ACD+∠ACO=90°,即OC⊥DC,∴直线DE与⊙O相切.(2)∵EC是⊙O的切线,∴EC2=EB•EA,而EC=4,EB=2,∴EA=8,AB=8﹣2=6;∴⊙O的半径为3.∵AC平分∠DAE,∴,∴,∴AD=2DC(设为x);∵AC平分∠DAB,CD⊥AD,CF⊥AB,∴CD=CF;在△ADC与△AFC中,,∴△ADC≌△AFC(HL),∴AF=AD=2x,BF=6﹣2x;∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°;由射影定理得:CF2=AF•BF,即x2=2x(6﹣2x),解得:x=,∴AD=;由勾股定理得:,∴AC=,即⊙O的半径及AC、AD的长分别为3,,.(3)∵,,∴.5.(雅礼)如图,在⊙O中,AB为直径,OC⊥AB,弦CD与OB交于点F,在AB的延长线上有一点E,且EF=ED.(1)求证:DE是⊙O的切线(2)若tan A=,探究线段AB和BE之间的数量关系,并证明;(3)在(2)的条件下,若OF=1,求⊙O的半径和CD的长.【解答】(1)证明:连接OD,如图,∵EF=ED,∴∠EFD=∠EDF,∵∠EFD=∠CFO,∴∠CFO=∠EDF,∵OC⊥OF,∴∠OCF+∠CFO=90°,∵OC=OD,∴∠OCF=∠ODF,∴∠ODC+∠EDF=90°,即∠ODE=90°,∴OD⊥DE,∵点D在⊙O上,∴DE是⊙O的切线;(2)解;线段AB、BE之间的数量关系为:AB=3BE.证明:∵AB为⊙O直径,∴∠ADB=90°,∴∠ADO=∠BDE,∵OA=OD,∴∠ADO=∠A,∴∠BDE=∠A,而∠BED=∠DEA,∴△EBD∽△EDA,∴,∵Rt△ABD中,tan A==,∴=,∴AE=2DE,DE=2BE,∴AE=4BE,∴AB=3BE;(3)解:设BE=x,则DE=EF=2x,AB=3x,半径OD=x,∵OF=1,∴OE=1+2x,在Rt△ODE中,由勾股定理可得:(x)2+(2x)2=(1+2x)2,∴x=﹣(舍)或x=2,∴AB=3x=6,∴圆O的半径为3.过点O作OH⊥CD,∵OC=OD,∴CD=2CH,在Rt△OCF中,CF==,OH==,在Rt△OCH中,tan∠OCH===,∴CH=3OH=,∴CD=2CH=.6.(青竹湖)如图,已知AB是⊙O的直径,直线AC与⊙O相切于点A,过点B作BD∥OC交⊙O于点D,连接CD并延长交AB的延长线于点E.(1)求证:CD是⊙O的切线.(2)求证:DE2=EB•EA;(3)若BE=1,,求线段AD的长度.【解答】解:(1)∵BD∥OC,∴∠DBO=∠COA,∠ODB=∠COD,∵OB=OD,∴∠DBO=∠ODB,∴∠COA=∠COD,在△COA和△COD中,,∴△COA≌△COD(SAS),∴∠CAO=∠CDO,∵AC是⊙O的切线,∴∠CAO=90°=∠CDO,即OD⊥EC,∵OD是⊙O的半径,∴EC是⊙O的切线;(2)∵EC是⊙O的切线,∴∠ODE=90°,即∠EDB+∠ODB=90°,又∴AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠ABD+∠BAD=90°,又∵∠ODB=∠OBD,∴∠EDB=∠EAD,又∵∠E=∠E,∴△EBD∽△EDA,∴=,即DE2=AE•BE;(3)∵∠ACO+∠COA=90°,∠BAD+∠OBD=90°,而∠OBD=∠ODB=∠COD=∠COA,∴∠ABD+∠BAD=90°,∴∠BAD=∠ACO,由△EBD∽△EDA,∴==tan∠BAD=,∵BE=1,∴DE=2,由DE2=AE•BE得,22=1×AE,∴AE=4,∴AB=4﹣1=3,设BD=a,则AD=2a,由勾股定理得,BD2+AD2=AB2,即a2+(2a)2=32,解得a=,∴AD=2a=.7.(北雅)如图①,△ABC内接于⊙O,点P是△ABC的内切圆的圆心,AP交边BC于点D,交⊙O于点E,经过点E作⊙O的切线分别交AB、AC延长线于点F、G.(1)求证:BC∥FG;(2)探究:PE与DE和AE之间的关系;(3)当图①中的FE=AB时,如图②,若FB=3,CG=2,求AG的长.【解答】(1)证明:连接BE,∵点P是△ABC的内心,∴∠BAD=∠CAD.又∵FG切⊙O于E,∴∠BEF=∠BAD.又∵∠DBE=∠CAD,∴∠BEF=∠DBE.∴BC∥FG.(2)解:连接BP,则∠ABP=∠CBP.∵∠BPE=∠BAP+∠ABP=∠PBC+∠EBD,∴∠BPE=∠PBE.∴BE=PE.在△ABE和△BDE中,∠BAE=∠EBD,∠BED=∠AEB,∴△ABE∽△BDE.∴=.∴BE2=AE•DE.∴PE2=AE•DE.(3)解:∵FE2=FB•FA=FB(FB+AB),而FE=AB,∴AB2=3(3+AB).设AB=x,则x2﹣3x﹣9=0,解之得x=.∴AB=(取正值).由(1)在△AFG中,BC∥FG,∴.∴AC==×=1+.∴AG=AC+CG=3+.8.(青竹湖)如图,⊙O经过△ABC的顶点A、C,并与AB边相交于点D,过点D作DF∥BC,交AC于点E,交⊙O于点F,连接DC,点C为弧DF的中点.(1)求证:BC为⊙O的切线;(2)若⊙O的半径为3,DF=4,求CE•CA的值;(3)在(2)的条件下,连接AF,若BD=AF,求AD的长.【解答】(1)证明:连接CO并延长交⊙O于G,连接DG,如图:∵CG为直径,∴∠GDC=90°,∴∠DCG+∠DGC=90°,∵∠DGC=∠BAC,点C为弧DF的中点,∴∠CDF=∠BAC,∴∠DGC=∠CDF,∴∠DCG+∠CDF=90°,∵DF∥BC,∴∠CDF=∠DCB,∴∠DCG+∠DCB=90°,∴OC⊥BC,又∵OC是⊙O的半径,∴BC为⊙O的切线;(2)解:连接OC交DF于M,∵C为弧DF的中,∴OC⊥DF,∴DM=MF=DF=2,∵⊙O的半径为3,∴OM===1,∴CM=OC﹣OM=3﹣1=2,∴DC2=DM2+CM2==12,∵,∴∠DAC=∠CAF,∵∠CDF=∠CAF,∴∠CDF=∠DAC,∵∠DCE=∠ACD,∴△DCE∽△ACD,∴,∴CD2=CE•CA,∴CE•CA=12;(3)解:连接CF,∵四边形ADCF内接于⊙O,∴∠ADC+∠AFC=180°,又∵∠BDC+∠CDA=180°,∴∠AFC=∠BDC,∵,∴CD=CF=2,又∵BD=AF,∴△BDC≌△AFC(SAS),∴BC=AC,∠BCD=∠ACF,∵∠ACF=∠ADF,∴∠BCD=∠ADF,∵DF∥BC,∴∠CDF=∠BCD,∴∠CDF=∠ADF,∴AF=CF,∴,BD=CF=2,∴,∴AC=DF=4=BC,∵∠BCD=∠CDF=∠CAF=∠DAC,∠DBC=∠ABC,∴△DBC∽△CBA,∴,∴BC2=BD•AB,∴•AB,∴AB=,∴AD=AB﹣BD==.9.(麓山国际)如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,AD与过点C的切线垂直,垂足为点D,直线DC与AB的延长线相交于点P,弦CE平分∠ACB,交AB点F,连接BE.(1)求证:AC平分∠DAB;(2)求证:PC=PF;(3)若tan∠ABC=,AB=14,求线段PC的长.【解答】(1)证明:∵PD切⊙O于点C,∴OC⊥PD,又∵AD⊥PD,∴OC∥AD,∴∠ACO=∠DAC.∵OC=OA,∴∠ACO=∠CAO,∴∠DAC=∠CAO,即AC平分∠DAB;(2)证明:∵AD⊥PD,∴∠DAC+∠ACD=90°.又∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°.∴∠PCB+∠ACD=90°,∴∠DAC=∠PCB.又∵∠DAC=∠CAO,∴∠CAO=∠PCB.∵CE平分∠ACB,∴∠ACF=∠BCF,∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF,∴∠PFC=∠PCF,∴PC=PF;(3)解:∵∠PAC=∠PCB,∠P=∠P,∴△PAC∽△PCB,∴=.又∵tan∠ABC=,∴,∴,设PC=4k,PB=3k,则在Rt△POC中,PO=3k+7,OC=7,∵PC2+OC2=OP2,∴(4k)2+72=(3k+7)2,∴k=6(k=0不合题意,舍去).∴PC=4k=4×6=24.10.(青竹湖)如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,D为BA延长线上一点,∠ACD=∠B.(1)求证:DC为⊙O的切线;(2)若⊙O的半径为5,sin B=,求CD和AD的长;(3)在(2)的条件下,线段DF分别交AC,BC于点E,F且∠CEF=45°,求CF的长.【解答】(1)证明:∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=∠BCO+∠OCA=90°,∵OB=OC,∴∠B=∠BCO,∵∠ACD=∠B,∴∠ACD=∠BCO,∴∠ACD+∠OCA=90°,即∠OCD=90°,又∵OC是半径,∴DC为⊙O的切线;(2)解:Rt△ACB中,AB=10,sin B==,∴AC=6,∴BC==8,∵∠ACD=∠B,∠ADC=∠CDB,∴△CAD∽△BCD,∴,设AD=3x,CD=4x,则OD=5+3x,Rt△OCD中,OC2+CD2=OD2,∴52+(4x)2=(5+3x)2,∴x=0(舍)或x=,∴AD=,CD=;(3)解:∵∠CEF=45°,∠ACB=90°,∴CE=CF,设CF=a,∵∠CEF=∠ACD+∠CDE,∠CFE=∠B+∠BDF,∴∠CDE=∠BDF,∵∠ACD=∠B,∴△CED∽△BFD,∴,∴=,∴a=,∴CF=.。

2020年中考数学一轮复习之圆的综合(切线证明、面积、动点问题)(解析版)

2020年中考数学一轮复习之圆的综合(切线证明、面积、动点问题)(解析版)

2020年中考数学一轮复习之圆的综合(切线证明、面积、动点问题)1.如图1,已知四边形ABCD内接于⊙O,AC为⊙O的直径,AD=DB,AC与BD交于点E,且AE=BC.(1)求证:AB=CB;(2)如图2,△ABC绕点C逆时针旋转35°得到△FGC,点A经过的路径为弧AF,若AC=4,求图中阴影部分的面积.(1)证明:∵AD=BD,∠DAE=∠DBC,AE=BC,∴△ADE≌△BDC(SAS),∴∠ADE=∠BDC,∴=.∴AB=BC.(2)解:S阴=S扇形CAF+S△CFG﹣S△ABC=S扇形CAF==.2.如图,CD是⊙O的直径,AB是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足为G,OG:CG=3:2,AB=16.(1)求⊙O的半径;(2)点E为圆上一点,∠ECD=30°,将沿弦CE翻折,交CB于点F,求图中阴影部分的面积.解:(1)连接AO,如右图所示,∵CD为⊙O的直径,AB⊥CD,AB=16,∴AG==8,∵OG:CG=3:2,∴OG:OC=3:5,AB⊥CD,垂足为G,∴设⊙O的半径为5k,则OG=3k,∴(3k)2+82=(5k)2,解得,k=2或k=﹣2(舍去),∴5k=10,即⊙O的半径是10;(2)如图所示,将阴影部分沿CE翻折,点F的对应点为M,∵∠ECD=30°,由对称性可知,∠DCM=60°,S阴影=S弓形CBM,连接OM,则∠MOD=120°,∴∠MOC=60°,过点M作MN⊥CD于点N,∴MN=MO•sin60°=10×=5,∴S阴影=S扇形OMC﹣S△OMC=﹣×10×5=﹣25.3.如图1,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,连接CB,过C作CD⊥AB于点D,过点C作∠BCE,使∠BCE=∠BCD,其中CE交AB的延长线于点E.(1)求证:CE是⊙O的切线.(2)如图2,点F在⊙O上,且满足∠FCE=2∠ABC,连接AF井延长交EC的延长线于点G.①试探究线段CF与CD之间满足的数量关系;②若CD=4,BD=2,求线段FG的长.(1)证明:如图1,连接OC,∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,∵CD⊥AB,∴∠OBC+∠BCD=90°,∵∠BCE=∠BCD,∴∠OCB+∠BCE=90°,即OC⊥CE,∴CE是⊙O的切线;(2)解:①线段CF与CD之间满足的数量关系是:CF=2CD,理由如下:如图2,过O作OH⊥CF于点H,∴CF=2CH,∵∠FCE=2∠ABC=2∠OCB,且∠BCD=∠BCE,∴∠OCH=∠OCD,∵OC为公共边,∴△COH≌△COD(AAS),∴CH=CD,∴CF=2CD;②∵CD=4,BD=2,∴BC==2,由①得:CF=2CD=8,设OC=OB=x,则OD=x﹣2,在Rt△ODC中,OC2=OD2+CD2,∴x2=(x﹣2)2+42,解得:x=5,即OB=5,∵OC⊥GE,∴∠OCF+∠FCG=90°,∵∠OCD+∠COD=90°,∠FCO=∠OCD,∴∠GCF=∠COB,∵四边形ABCF为⊙O的内接四边形,∴∠GFC=∠ABC,∴△GFC∽△CBO,∴=,∴=,∴FG=.4.如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A出发沿AB以1cm/s 的速度向点B移动;同时,点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动.设运动时间为t秒.(1)当t=2时,△DPQ的面积为28 cm2;(2)在运动过程中△DPQ的面积能否为26cm2?如果能,求出t的值,若不能,请说明理由;(3)运动过程中,当A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上时,求t的值;(4)运动过程中,当以Q为圆心,QP为半径的圆,与矩形ABCD的边共有4个交点时,直接写出t的取值范围.解:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=12,CD=AB=6,∠A=∠B=∠C=90°,由题意得:AP=t,BQ=2t,∴BP=AB﹣AP=6﹣t,CQ=BC﹣BQ=12﹣2t,当t=2时,AP=2,BQ=4,BP=AB﹣AP=4,CQ=BC﹣BQ=8,∴△DPQ的面积=12×6﹣×12×2﹣×4×4﹣×6×8=28(cm2),故答案为:28;(2)不能;理由如下:根据题意得:△DPQ的面积=,整理得:t2﹣6t+10=0,∵b2﹣4ac=﹣4<0,∴方程无实数根,∴△DPQ的面积不可能为26cm2;(3)∵∠A=90°,∴A、P、D三点在以DP为直径的圆上,若点Q也在圆上,则∠PQD=90°,∵PQ2=(6﹣t)2+(2t)2,DQ2=62+(12﹣2t)2,DP2=t2+122,PQ2+DQ2=DP2,∴(6﹣t)2+(2t)2+62+(12﹣2t)2=t2+122;解得t1=6,t2=,∴t=6或时A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上.(4)如图1,⊙Q与边AD相切时,过点Q作QE⊥AD,∵⊙Q与边AD相切,∴QE=QP,由勾股定理得:62=(6﹣t)2+(2t)2;解得t1=0(舍去),t2=,如图2,⊙Q过点D时,则QD=QP,由勾股定理得:(6﹣t)2+(2t)2=62+(12﹣2t)2;解得:(舍去)∴当<t<时,⊙Q与矩形ABCD的边共有四个交点.5.如图,已知直线l的函数表达式为y=x+3,它与x轴、y轴的交点分别为A、B两点.(1)若⊙O的半径为2,说明直线AB与⊙O的位置关系;(2)若△ABO的内切圆圆心是点M,外接圆圆心是点N,则MN的长度是;(直接填空)(3)设F是x轴上一动点,⊙P的半径为2,⊙P经过点B且与x轴相切于点F,求圆心P的坐标.解:(1)∵直线l的函数表达式为y=x+3,它与x轴、y轴的交点分别为A、B两点,∴当x=0时,y=3;当y=0时,x=4;∴A(﹣4,0),B(0,3),∴OB=3,OA=4,AB===5,过点O作OC⊥AB于C,如图1所示:∵sin∠BAO==,∴=,∴OC=>2,∴直线AB与⊙O的位置关系是相离;(2)设⊙M分别与OA、OB、AB相切于C、D、E,连接MC、MD、ME、BM,如图2所示:则四边形OCMD是正方形,DE⊥AB,BE=BD,∴MC=MD=ME=OD=(OA+OB﹣AB)=×(4+3﹣5)=1,∴BE=BD=OB﹣OD=3﹣1=2,∵∠AOB=90°,∴△ABO外接圆圆心N在AB上,∴AN=BN=AB=,∴NE=BN﹣BE=﹣2=,在Rt△MEN中,MN===;故答案为:;(3)连接PB、PF,作PC⊥OB于C,如图3所示:则四边形OCPF是矩形,∴OC=PF=BP=2,BC=OB﹣OC=3﹣2=1,∴PC===,∴圆心P的坐标为:(,2).6.联想我们曾经学习过的三角形外心的概念,我们可引入准外心的定义:到三角形的两个顶点距离相等的点,叫做此三角形的准外心.请回答下面的三个问题:(1)如图1,若PB=PC,则点P为△ABC的准外心,而且我们知道满足此条件的准外心有无数多个,你能否用尺规作出另外一个准外心Q呢?请尝试完成;(2)如图2,已知△ABC为直角三角形,斜边BC=5,AB=3,准外心P在AC边上,试探究PA的长;(3)如图3,点B既是△EDC又是△ADC的准外心,BD=BA=BC=2AD,BD∥AC,CD=,求AD的值.解:(1)能用尺规作出另外一个准外心Q,作AB的垂直平分线MN,在MN上取点Q,如图1所示:则QA=QB,点Q为△ABC的准外心;(2)连接BP,如图2所示:∵△ABC为直角三角形,斜边BC=5,AB=3,∴AC===4,∵准外心P在AC边上,①当PB=PC时,设PB=PC=x,则PA=4﹣x,在Rt△ABP中,由勾股定理得:32+(4﹣x)2=x2,解得:x=,∴PA=4﹣=;②当PA=PC时,PA=AC=2;③当PA=PB时,∵△ABC是直角三角形,此情况不存在;综上所述,准外心P在AC边上,PA的长为或2;(3)∵BD=BA=BC,∴∠BAC=∠BCA,点D、A、C在以B为圆心,AB长为半径的圆上,如图3所示:则∠ABD=2∠ACD,作BE⊥CD于E,BF⊥AD于F,则DE=CE=CD=,DF=AF=AD,∠ABD=2∠DBF,∠BEC=∠DFB=90°,∵BD∥AC,∴∠ABD=∠BAC=∠BCA=2∠ACD=2∠DBF=2∠BCE,∴∠DBF=∠BCE,在△BDF和△CBE中,,∴△BDF≌△CBE(ASA),∴DF=BE,设DF=BE=x,则AD=2x,BD=2AD=4x,在Rt△BDE中,由勾股定理得:x2+()2=(4x)2,解得:x=,∴AD=2x=.7.如图,在平面直角坐标系中,AB=AC=10,线段BC在x轴上,BC=12,点B的坐标为(﹣3,0),线段AB交y轴于点E,过A作AD⊥BC于D,动点P从原点出发,以每秒3个单位的速度沿x轴向右运动,设运动的时间为t秒.(1)当△BP E是等腰三角形时,求t的值;(2)若点P运动的同时,△ABC以B为位似中心向右放大,且点C向右运动的速度为每秒2个单位.△ABC放大的同时高AD也随之放大,当以EP为直径的圆与动线段AD 所在直线相切时,求t的值和此时点C的坐标.解:(1)∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=CD=BC=6,∴AD===8,∵点B的坐标为(﹣3,0),∴OB=3,∴OD=BD﹣OB=6﹣3=3,∴A(3,8),设直线AB的解析式为:y=kx+b,则,解得:,∴直线AB的解析式为:y=x+4,∴E(0,4),∴OE=4,BE===5,当△BPE是等腰三角形有三种情况:①当BE=BP时,则3+3t=5,解得:t=;②当BE=EP时,则3t=3,解得:t=1;③当BP=PE时,∵BP=PE,AB=AC,∠ABC=∠PBE,∴∠PEB=∠ACB=∠ABC,∴△PBE∽△ABC,∴=,即=,解得:t=;综上所述,当△BPE是等腰三角形时,t的值为或1或;(2)由题意得:C(9+2t,0),∴BC=12+2t,BD=CD=6+t,OD=3+t,设F为EP的中点,连接OF,作FH⊥AD于H,FG⊥OP于G,如图所示:则四边形FGDH是矩形,FG∥EO,∴FG是△POE的中位线,∴PG=OG=OP=t,FG=OE=2,∴F(t,2),∵四边形FGDH是矩形,∴FH=GD=OD﹣OG=3+t﹣t=3﹣t,∵以EP为直径的圆与动线段AD所在直线相切,∴FH=EP=3﹣t,在Rt△POE中,EP2=OP2+OE2,即:4(3﹣t)2=(3t)2+42,解得:t=1或t=﹣(不合题意舍去),∴C(11,0),∴以EP为直径的圆与动线段AD所在直线相切时,t的值为1,此时点C的坐标为(11,0).8.如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC的角平分线交AC上点E,过点E作BE 的垂线交AB于点F,△BEF的外接圆⊙O与CB交于点D.(1)求证:AC是⊙O的切线;(2)若BC=9,EH=3,求⊙O的半径长;(3)如图2,在(2)的条件下,过C作CP⊥AB于P,求CP的长.(1)证明:连接OE.如图1所示:∵BE⊥EF,∴∠BEF=90°,∴BF是圆O的直径,∴OB=OE,∴∠OBE=∠OEB,∵BE平分∠ABC,∴∠CBE=∠OBE,∴∠OEB=∠CBE,∴OE∥BC,∴∠AEO=∠C=90°,∴AC⊥OE,∴AC是⊙O的切线;(2)解:∵∠ACB=90°,∴EC⊥BC,∵BE平分∠ABC,EH⊥AB,∴EH=EC,∠BHE=90°,在Rt△BHE和Rt△BCE中,,∴Rt△BHE≌Rt△BCE(HL),∴BH=BC=9,∵BE⊥EF,∴∠BEF=90°=∠BHE,BF是圆O的直径,∴BE===3,∵∠EBH=∠FBE,∴△BEH∽△BFE,∴=,即=,解得:BF=10,∴⊙O的半径长=BF=5;(3)解:连接OE,如图2所示:由(2)得:OE=OF=5,EC=EH=3,∵EH⊥AB,∴OH===4,在Rt△OHE中,cos∠EOA==,在Rt△EOA中,cos∠EOA==,∴OA=OE=,∴AE===,∴AC=AE+EC=+3=,,∵AB=OB+OA=5+=,∠ACB=90°,∴△ABC的面积=AB×CP=BC×AC,∴CP===.9.【操作体验】如图①,已知线段AB和直线1,用直尺和圆规在1上作出所有的点P,使得∠APB=30°,如图②,小明的作图方法:第一步:分别以点A,B为圆心,AB长为半径作弧,两弧在AB上方交于点O第二步:连接OA,OB;第三步:以O为圆心,OA长为半径作⊙O,交l于P1,P2;所以图中P1,P2即为所求的点(1)在图②中,连接P1A,P1B,说明∠AP1B=30°【方法迁移】(2)如图③,用直尺和圆规在矩形ABCD内作出所有的点P,使得∠BPC=45°(不写作法,保留作图痕迹);【深入探究】(3)已知矩形ABCD,BC=2,AB=m,P为AD边上的点,若满足∠BPC=45°的点P恰有两个,求m的取值范围;(4)已知矩形ABCD,AB=3,BC=2,P为矩形ABCD内一点,且∠BPC=120°,若点P绕点A逆时针旋转60°到点Q,求PQ的最小值.解:(1)如图②,连接AP1,BP1,∵OA=OB=AB,∴△OAB是等边三角形,∴∠AOB=60°,∴∠AP1B=∠AOB=30°;(2)如图③,①以B、C为圆心,以BC为半径作圆,交AB、DC于E、F,②作BC的中垂线,连接EC,交于O,③以O为圆心,OE为半径作圆,则上所有的点(不包括E、F两点)即为所求;(3)如图④,同理作⊙O,∵BE=BC=2,∴CE=4,∴⊙O的半径为2,即OE=OG=2,∵OG⊥EF,∴EH=,∴OH=,∴GH=2﹣,∴BE≤AB<MB,∴3≤m<2+,故答案为:3≤m<2+;(4)如图⑤,构建⊙O,使∠COB=120°,在优弧上取一点H,则∠CHB=60°∴∠CPB=120°,由旋转得:△APQ是等边三角形,∴PQ=AP,∴PQ取最小值时,就是AP取最小值,当P与E重合时,即A、P、O在同一直线上时,AP最小,则PQ的值最小,在Rt△AFO中,AF=,OF=3+1=4,∴AO==,∴AE=﹣2=AP,∴PQ=AP=﹣2.10.如图,线段AB是⊙O的直径,C、D是半圆的三等分点,过点C的直线与AD的延长线垂直,垂足为点E,与AB的延长线相交于点F,连接OE,交AC于点G.(1)求证:FC是⊙O的切线;(2)连接DC、CO,判断四边形ADCO的形状,并证明;(3)求OG与GE的比值.(1)证明:连接OC,∵C、D是半圆的三等分点,∴==,∴∠DAC=∠CAB,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∴∠DAC=∠OCA,∴OC∥AE,∴∠OCF=∠AEC=90°,∴OC⊥EF,∴FC是⊙O的切线;(2)解:四边形ADCO是菱形,理由如下:连接DC、DO,由(1)知==,∴∠AOD=∠DOC=COB=×180°=60°,又∵OA=OD=OC,∴△OAD与△OCD是等边三角形,∴OA=OD=AD,OD=OC=DC,∴OA=AD=DC=OC,∴四边形ADCO是菱形;(3)解:由(1)知,OC∥AE,∴△OCG∽△EAG,△FCO∽△FEA,∠COF=∠EAF=60°,∴=,=,∴=,在Rt△OCF中,∠F=30°,设OC=r,则OF=2r,∴==,∴=,∴OG与GE的比值为.11.已知:CD为△ABC的外角平分线,交△ABC的外接圆O于D.(1)如图1,连接0A,OD,求证:∠AOD=2∠BCD;(2)如图2.连接BC,若CB平分∠ACD,求证:AB=BD;(3)如图3,在(2)的条件下,在AB上取一点E,BD上取一点F.连接DE、AF交于点M,连接EF,若∠DMF=60°,AC=EF=7,CD=8(DF>BF),求AE的长.解:(1)如图1,连接BD,∵CD为△ABC的外角平分线,∴∠HCD=∠BCD,∵∠HCD=∠ABD,∴∠ABD=∠BCD,∵∠AOD=2∠ABD,∴∠AOD=2∠BCD;(2)∵CB平分∠ACD,∴∠ACB=∠DCB,∴=,∴AB=BD;(3)如图3,作FG⊥AB于G,EP⊥AF于P,CN⊥AC交AC的延长线于N.在Rt△CDN中,∵∠DCN=60°,CD=8,∴∠CDN=30°,∴CN=CD=4,DN=4,∴AD===13,∵AB=BD,∠B=60°,∴∠ABC是等边三角形,∴AD=DB=BD=13,∠DAB=60°,∵∠DMF=∠ADM+∠MAD=60°,∠MAE+∠MAD=60°,∴∠ADE=∠BAF,∵∠DAE=∠B,∴△ADE≌△BAF(ASA),∴AE=BF,设AE=BF=x,则BE=13﹣x,BG=x,EG=13﹣x,FG=x,在Rt△EFG中,72=(13﹣x)2+(x)2,解得x=5或8(舍弃),∴AE=BF=5.12.如图,PB为⊙O的切线,B为切点,直线PO交⊙于点E、F,过点B作PO的垂线BA,垂足为点D,交⊙O于点A,延长A0与⊙O交于点C,连接BC,AF.(1)求证:直线PA为⊙O的切线;(2)证明:OA2=OD•OP;(3)若BC=6,tan∠F=,求cos∠ACB的值.(1)证明:连接OB,如图1所示:∵PB为⊙O的切线,∴OB⊥PB,∴∠OBP=90°,∵BA⊥PF,∴AD=BD,即OP垂直平分AB,∴PA=PB,∴∠PAB=∠PBA,∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA,∴∠PAB+∠OAB=∠PBA+∠OBA=90°,即∠OAP=90°,∴OA⊥PA,∴直线PA为⊙O的切线;(2)∵∠ADO=∠OAP=90°,∠AOD=∠POA,∴△OAD∽△OPA,∴=,∴OA2=OD•OP;(3)解:连接AE,如图2所示:∵AC为直径,∴∠ABC=90°,∵OD垂直平分AB,∴OD∥BC,∴OD是△ABC的中位线,∴OD=BC=3,设DE=x,则OE=OA=OF=3+x,∵OD垂直平分AB,∴=,∴∠F=∠DAE,∴tan∠DAE=tan∠F=,∴AD=2DE=2x,在Rt△ADF中,tan∠F==,∴=,解得:x=2,∴AD=4,BC=6,OA=OE=5,在Rt△ABC中,AC=2OA=10,∴cos∠ACB===.13.如图1,在矩形ABCD中,AB=18cm,BC=24cm.在Rt△GEF中,∠GFE=90°.EF =12cm,GF=16cm.E,F两点在BC边上,GE,GF两边分别与矩形ABCD对角线BD交于M,N两点.现矩形ABCD固定不动,△GEF从点F与点B重合的位置出发,沿BC以2cm/s的速度向点C运动,点P从点F出发,在折线FG﹣GE上以4cm/s的速度向点E运动.⊙G是以G为圆心.GP的长为半径的圆.△GEF与点P同时出发,当点E到达点C 时,△GEF和点P同时停止运动.设运动的时间是t(单位:s).(1)当t=2s时,PN= 5 cm,GM=cm;(2)当△PGE为等腰三角形时,求t的值;(3)当⊙G与BD相切时,求t的值.解:(1)当t=2时,BF=2×2=4(cm),FP=2×4=8(cm),∵四边形ABCD是矩形,∴∠C=90°,AB=CD=18cm,tan∠DBC===,∵∠GFE=90°,∴∠BFN=90°=∠C,∴GF∥CD,∴△BFN∽△BCD,∴=,即=,解得:FN=3cm,∴PN=FP﹣FN=5cm;GN=GF﹣FN=16﹣3=13(cm),∵Rt△GEF中,∠GFE=90°.EF=12cm,GF=16cm,∴GE==20cm,tan∠G===,∴∠DBC=∠G,∵∠BFN=180°﹣90°=90°,∴∠DBC+∠BNF=90°,∵∠GNM=∠BNF,∴∠G+∠GNM=90°,∴∠GMN=90°,∴△GNM∽△GEF,∴=,即=,∴GM=cm,故答案为:5,;(2)由题意得:当△PGE为等腰三角形时,PG=PE,如图2所示:设PF=x,则PE=PG=(16﹣x)cm,在Rt△PEF中,由勾股定理得:122+x2=(16﹣x)2,解得:x=,∴PF=,∴t=÷4=(s);(3)由勾股定理得:BD==30cm,由(1)得:∠GMN=90°,∴GM⊥BD,∵GP是⊙G的半径,∴当⊙G与BD相切时,GM=GP,∵∠BME=∠C=90°,∠DBC=∠EBM,∴△BME∽△BCD,∴=,即=,解得:ME=(2t+12),∴GM=GE﹣ME=20﹣(2t+12)=,分两种情况:①当0<t≤4时,∵GP=16﹣4t,∴=16﹣4t,解得:t=;②当4<t≤6时,P与M重合,GP=4t﹣16,∴=4t﹣16,解得:t=;综上所述,当⊙G与BD相切时,t的值为s或s.14.如图1,已知AB是⊙O的直径,AM和BN是⊙O的两条切线,∠是⊙O的半圆弧上一动点(不与A,B重合),过点E的直线分别交射线AM、BN于D、C两点,且CB=CE.(1)求证:CD为⊙O的切线;(2)求证:AB2=4AD•BC;(3)如图2,连接OE并延长交AM于点F,连接CF.若∠ADE=2∠OFC,AD=1,求图中阴影部分的面积.(1)证明:如图1,连接OE,OC,在△BCO与△ECO中,,∴△BCO≌△ECO(SSS),∴∠OEC=∠OBC,∵BN是⊙O的切线,∴AB是⊙O的直径,∴AB⊥BN,∴∠ABC=90°,∴∠OEC=90°,∴CD为⊙O的切线;(2)证明:连接OC、OD,如图1所示:∵AM和BN是它的两条切线,∴AM⊥AB,BN⊥AB,∴AM∥BN,∴∠ADE+∠BCE=180°∵DC切⊙O于E,∴∠ODE=∠ADE,∠OCE=∠BCE,∴∠ODE+∠OCE=90°,∴∠DOC=90°,∴∠AOD+∠COB=90°,∵∠AOD+∠ADO=90°,∴∠AOD=∠OCB,∵∠OAD=∠OBC=90°,∴△AOD∽△BCO,∴=,∴OA2=AD•BC,∴(AB)2=AD•BC,∴AB2=4AD•BC;(2)解:连接OD,OC,如图2所示:∵∠ADE=2∠OFC,∴∠ADO=∠OFC,∵∠ADO=∠BOC,∠BOC=∠FOC,∴∠OFC=∠FOC,∴CF=OC,∴CD垂直平分OF,∴OD=DF,在△COD和△CFD中,,∴△COD≌△CFD(SSS),∴∠CDO=∠CDF,∵∠ODA+∠CDO+∠CDF=180°,∴∠ODA=60°=∠BOC,∴∠BOE=120°,在Rt△DAO,AD=OA,Rt△BOC中,BC=OB,∴AD:BC=1:3,∵AD=1,∴BC=3,OB=,∴图中阴影部分的面积=2S△OBC﹣S扇形OBE=2×××3﹣=3﹣π.15.如图,A(﹣5,0),B(﹣3,0)点C在y的正半轴上,∠CBO=45°,CD∥AB.∠CDA=90°,点P从点A出发,沿x轴向右以每秒1个单位长度的速度运动,运动时间为t秒.(1)当时t=1,求PC的长;(2)当∠BCP=15°时,求t的值;(3)以线段PC为直径的⊙Q随点P的运动而变化,当⊙Q与四边形ABCD的边(或边所在的直线)相切时,求t的值.解:(1)A(﹣5,0),B(﹣3,0),∴OA=5,OB=3,当t=1时,AP=1,∴OP=OA﹣AP=4,∵∠CBO=45°,∠BOC=90°,∴△BOC是等腰直角三角形,∴∠OCB=45°,OC=OB=3,∴PC===5;(2)分两种情况:如图1所示:①当P在点B的左侧时,∵∠CBO=45°,∠BCP=15°∴∠OCP=∠OCB+∠BCP=45°+15°=60°,∴∠OPC=30°,∴OP=OC=3,∴AP=OA﹣OP=5﹣3,∵点P沿x轴向右以每秒1个单位的速度运动,∴t=5﹣3,②当P在点B的右侧时,∵∠OCB=45°,∠BCP=15°∴∠OCP=∠OCB﹣∠BCP=45°﹣15°=30°,∴OP=OC=,∴AP=OA﹣OP=5﹣,∵点P沿x轴向右以每秒1个单位的速度运动,∴t=5﹣;综上所述,当∠BCP=15°时,t的值为(5﹣3)秒或(5﹣)秒;(3)如图2中,由题意知,若该圆与四边形ABCD的边相切,有以下三种情况:①当该圆与BC相切于点C时,有∠BCP=90°,从而∠OCP=45°,得到OP1=OC=3,此时AP1Q=5+3=8,∴t=8;②当该圆与CD相切于点C时,有P2C⊥CD,即点P2与点O重合,此时AP2=5,∴t=5;③当该圆与AD相切时,设P3(5﹣t,0),则Q(,),半径r2=()2+()2,作QH⊥AD于点H,则QH=,∵QH2=r2,∴()2=()2+()2,解得t=,综上所述,t的值为8秒或5秒或秒.。

2020年九年级数学中考压轴专题: 切线的性质与判定(含答案)

2020年九年级数学中考压轴专题: 切线的性质与判定(含答案)

2020年九年级数学中考压轴专题:切线的性质与判定(含答案)切线的性质1.如图1,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作☉O,点D为☉O上一点,且CD=CB,连接DO并延长交CB 的延长线于点E.(1)判断直线CD与☉O的位置关系,并说明理由;(2)若BE=2,DE=4,求☉O的半径及AC的长.图12.如图2,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O与边BC,AC分别交于D,E两点,过点D作DH⊥AC于点H.(1)判断DH与☉O的位置关系,并说明理由;(2)求证:点H为CE的中点.图23.如图3,BE是☉O的直径,点A和点D是☉O上的两点,过点A作☉O的切线交BE的延长线于点C.(1)若∠ADE=25°,求∠C的度数;(2)若AB=AC,CE=2,求☉O的半径长.图34.如图4,AB是☉O的直径,点C为☉O上一点,CN为☉O的切线,OM⊥AB于点O,分别交AC,CN于D,M两点.(1)求证:MD=MC;(2)若☉O的半径为5,AC=4√5,求MC的长.图4|类型2| 切线的判定5.如图5,☉O与△ABC的AC边相切于点C,与AB,BC边分别交于点D,E,DE∥OA,CE是☉O的直径.(1)求证:AB是☉O的切线;(2)若BD=4,CE=6,求AC的长.图56.如图6,△ABC内接于☉O,∠B=60°,CD是☉O的直径,点P是CD延长线上一点,且AP=AC.(1)求证:P A是☉O的切线;(2)若PD=√5,求☉O的直径.图67.如图7,点P在☉O外,PC是☉O的切线,C为切点,直线PO与☉O相交于点A,B.(1)若∠A=30°,求证:P A=3PB;(2)小明发现,∠A在一定范围内变化时,始终有∠BCP=1(90°-∠P)成立.请你写出推理过程.2图78.如图8,BD是☉O的直径,弦BC与OA相交于点E,AF与☉O相切于点A,交DB的延长线于点F,∠F=30°,∠BAC=120°,BC=8.(1)求∠ADB的度数;(2)求AC的长度.图8【参考答案】1.解:(1)直线CD与☉O相切.理由如下:连接CO.∵点D在圆上,∴OD=OB,又∵CD=CB,CO=CO,∴△COD≌△COB(SSS).∵∠ABC=90°,∴∠ODC=∠ABC=90°,∴OD⊥DC,∴直线CD与☉O相切.(2)设☉O的半径为x,∵DE=4,∴OE=4-x.在Rt△OBE中,BE2+BO2=OE2,即22+x2=(4-x)2,解得x=1.5,∴OD=OB=1.5.AB=2OB=3.∵CB,CD是圆的切线,∴CB=CD.则设CB=CD=y,在Rt△CDE中,CD2+DE2=CE2,即y2+42=(y+2)2,解得y=3,∴BC=3.在Rt△ABC中,AC=√AB2+BC2=3√2.2.(1)连接OD,AD,先利用圆周角定理得到∠ADB=90°,再根据等腰三角形的性质得BD=CD,再证明OD为△ABC 的中位线得到OD∥AC,根据DH⊥AC,所以OD⊥DH,然后根据切线的判定定理可判断DH为☉O的切线. (2)连接DE,由圆内接四边形的性质得∠DEC=∠B,再证明∠DEC=∠C,然后根据等腰三角形的性质得到CH=EH.解:(1)DH与☉O相切.理由如下:连接OD,AD,如图,∵AB为直径,∴∠ADB=90°,即AD⊥BC,∵AB=AC,∴BD=CD,而AO=BO,∴OD为△ABC的中位线,∴OD∥AC,∵DH⊥AC,∴OD⊥DH,∴DH为☉O的切线.(2)证明:连接DE,如图,∵四边形ABDE为☉O的内接四边形,∴∠DEC=∠B,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠DEC=∠C,∵DH⊥CE,∴CH=EH,即H为CE的中点.3.解:(1)如图,连接OA,∵AC为☉O的切线,OA是☉O的半径,∴OA⊥AC.∴∠OAC=90°.∵∠ADE=25°,∴∠AOE=2∠ADE=50°.∴∠C=90°-∠AOE=90°-50°=40°. (2)∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵∠AOC=2∠B,∴∠AOC=2∠C.∵∠OAC=90°,∴∠AOC+∠C=90°,∴3∠C=90°,∠C=30°.OC.∴OA=12设☉O 的半径为r , ∵CE=2,∴r=12(r +2).∴r=2.∴☉O 的半径为2. 4.解:(1)证明:连接OC , ∵CN 为☉O 的切线, ∴OC ⊥CM ,∴∠OCA +∠MCD=90°. ∵OM ⊥AB ,∴∠OAC +∠ODA=90°. ∵OA=OC , ∴∠OAC=∠OCA , ∴∠MCD=∠ODA. 又∵∠ODA=∠MDC , ∴∠MCD=∠MDC , ∴MD=MC.(2)依题意可知AB=5×2=10,AC=4√5, ∵AB 为☉O 的直径,∴∠ACB=90°, ∴BC=√102-(4√5)2=2√5. ∵∠AOD=∠ACB ,∠A=∠A , ∴△AOD ∽△ACB , ∴OD BC=AO AC,即2√5=4√5,得OD=52.设MC=MD=x ,在Rt △OCM 中, 由勾股定理得x +522=x 2+52, 解得x=154,即MC=154.5.解:(1)证明:连接OD ,∵DE ∥OA ,∴∠AOC=∠OED ,∠AOD=∠ODE , ∵OD=OE ,∴∠OED=∠ODE , ∴∠AOC=∠AOD , 又∵OA=OA ,OD=OC ,∴△AOC ≌△AOD (SAS),∴∠ADO=∠ACO. ∵CE 是☉O 的直径,AC 为☉O 的切线, ∴OC ⊥AC ,∴∠OCA=90°, ∴∠ADO=∠OCA=90°,∴OD ⊥AB. ∵OD 为☉O 的半径, ∴AB 是☉O 的切线.(2)∵CE=6,∴OD=OC=3, ∵∠BDO=180°-∠ADO=90°, ∴BO 2=BD 2+OD 2, ∴OB=√42+32=5, ∴BC=8,∵∠BDO=∠OCA=90°,∠B=∠B , ∴△BDO ∽△BCA , ∴BD BC =ODAC , ∴48=3AC , ∴AC=6.6.解:(1)证明:连接OA ,∵∠B=60°,∴∠AOC=2∠B=120°,又∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA=30°,又∵AP=AC,∴∠P=∠ACP=30°,∴∠OAP=∠AOC-∠P=90°,∴OA⊥P A,∴P A是☉O的切线.(2)在Rt△OAP中,∵∠P=30°,∴PO=OD+PD=2OA,又∵OA=OD,∴PD=OA,∵PD=√5,∴CD=2OA=2PD=2√5.∴☉O的直径为2√5.7.解:(1)证明:∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∵∠A=30°,∴AB=2BC.连接OC.AB,∵PC是☉O的切线,∴∠OCP=90°,∴∠BCP=∠P=30°,∴PB=BC,又∵BC=12∴P A=3PB.(2)∵点P在☉O外,PC是☉O的切线,C为切点,直线PO与☉O相交于点A,B,∴∠BCP=∠ACO=∠A,∵∠A+∠P+∠ACB+∠BCP=180°,且∠ACB=90°,∴2∠BCP=90°-∠P,(90°-∠P).∴∠BCP=128.解:(1)∵AF与☉O相切于点A,∴AF⊥OA,∵BD是☉O的直径,∴∠BAD=90°,∵∠BAC=120°,∴∠DAC=30°,∴∠DBC=∠DAC=30°,∵∠F=30°,∴∠F=∠DBC,∴AF∥BC,∴OA⊥BC,∴∠BOA=90°-30°=60°,∠AOB=30°.∴∠ADB=12(2)∵OA ⊥BC ,∴BE=CE=12BC=4,∴AB=AC ,∵∠AOB=60°,OA=OB ,∴△AOB 是等边三角形,∴AB=OB , ∵∠OBE=30°,∴OE=12OB ,BE=√3OE=4,∴OE=4√33,∴AC=AB=OB=2OE=8√33.。

专题:圆之弦切角定理—冲刺2020年全国中考数学真题专项强化练习卷(含答案)

专题:圆之弦切角定理—冲刺2020年全国中考数学真题专项强化练习卷(含答案)

专题:圆之弦切角定理—冲刺2020年全国中考数学真题专项强化练习卷时间:100分钟满分:100分一.选择题(每题3分,共27分)1.如图,BD为圆O的直径,直线ED为圆O的切线,A、C两点在圆上,AC平分∠BAD 且交BD于F点.若∠ADE=19°,则∠AFB的度数为何?()A.97°B.104°C.116°D.142°2.如图为△ABC和一圆的重迭情形,此圆与直线BC相切于C点,且与AC交于另一点D.若∠A=70°,∠B=60°,则的度数为何()A.50°B.60°C.100°D.120°3.如图,CD是⊙O的切线,T为切点,A是上的一点,若∠TAB=100°,则∠BTD的度数为()A.20°B.40°C.60°D.80°4.如图,直线AD与△ABC的外接圆相切于点A,若∠B=60°,则∠CAD等于()A.30°B.60°C.90°D.120°5.如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB=BC.AT是⊙O的切线,∠BAT=55°,则∠D等于()A.110°B.115°C.120°D.125°6.如图,AB为⊙O的直径,C、D为⊙O上的点,直线MN切⊙O于C点,图中与∠BCN 互余的角有()A.1个B.2个C.3个D.4个7.如图,已知△ABC是⊙O的内接三角形,AD是⊙O的切线,点A为切点,∠ACB=60°,则∠DAB的度数是()A.30°B.45°C.60°D.120°8.直线AB切⊙O于点A,割线BDC交⊙O于点D、C.若∠C=30°,∠B=20°,则∠ADC=()A.70°B.50°C.30°D.20°9.已知:如图,E是相交两圆⊙M和⊙N的一个交点,且ME⊥NE,AB为外公切线,切点分别为A,B连接AE,BE,则∠AEB的度数为()A.145°B.140°C.135°D.130°二.填空题(每题3分,共33分)10.已知⊙O中,的度数为70°,过点A的直线AC与⊙O相切,则弦切角∠BAC的度数为.11.如图,割线P AB过圆心O,PD切⊙O于D,C是上一点,∠PDA=20°,则∠C的度数是度.12.如图,△ABC内接于圆⊙O,CT切⊙O于C,∠ABC=100°,∠BCT=40°,则∠AOB =度.13.如图,AB切⊙O于C,AO交⊙O于D,AO的延长线交⊙O于E,若∠A=α,则∠ECB =(用含α的式子表示).14.如图,P A、PB是⊙O的两条切线,A、B为切点,则∠ABO﹣∠ABP=.15.如图,已知AB是⊙O的弦,AC切⊙O于点A,∠BAC=60°,则∠ADB的度数为度.16.如图,AB为⊙O直径,CE切⊙O于点C,CD⊥AB,D为垂足,AB=12cm,∠B=30°,则∠ECB=度;CD=cm.17.如图,已知AB是圆O的弦,AC是圆O的切线,∠BAC的平分线交圆O于D,连BD 并延长交AC于点C,若∠DAC=40°,则∠B=度,∠ADC=度.18.已知一个圆的弦切角等于40°,那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数是.19.如图,EF切△ABC的外接圆于C,∠BAC=80°,那么∠BCE=度.20.如图,P A切⊙O于A点,C是弧AB上任意一点,∠P AB=58°,则∠C的度数是度.三.解答题(每题8分,共40分)21.如图,OA和OB是⊙O的半径,并且OA⊥OB,P是OA上任一点,BP的延长线交⊙O 于点Q,过点Q的⊙O的切线交OA延长线于点R.(Ⅰ)求证:RP=R Q;(Ⅱ)若OP=P A=1,试求PQ的长.22.已知:如图,⊙O是△ABC的外接圆,且AB=AC=13,BC=24,P A是⊙O的切线,A为切点,割线PBD过圆心,交⊙O于另一点D,连接CD.(1)求证:P A∥BC;(2)求⊙O的半径及CD的长.23.如图,已知△ABC内接于⊙O,AD平分∠BAC,交⊙O于点D,过D作⊙O的切线与AC的延长线交于点E.(1)求证:BC∥DE;(2)若AB=3,BD=2,求CE的长;(3)在题设条件下,为使BDEC是平行四边形,△ABC应满足怎样的条件(不要求证明).24.如图,已知AB为⊙O的弦,以OB为直径作⊙O1交AB于D,⊙O的弦AE切⊙O1于点C.求证:(1)BC2=BE•BD;(2)AC•CE=BE•BD.25.如图,△ABC内接于⊙O,AB的延长线与过C点的切线GC相交于点D,B E与AC 相交于点F,且CB=CE.求证:(1)BE∥DG;(2)CB2﹣CF2=BF•FE.参考答案一.选择题1.解:∵BD是圆O的直径,∴∠BAD=90°,又∵AC平分∠BAD,∴∠BAF=∠DAF=45°,∵直线ED为圆O的切线,∴∠ADE=∠ABD=19°,∴∠AFB=180°﹣∠BAF﹣∠ABD=180°﹣45°﹣19°=116°.故选:C.2.解:∵∠A=70°,∠B=60°,∴∠C=50°.∵此圆与直线BC相切于C点,∴的度数=2∠C=100°.故选:C.3.解:∵四边形ABET是圆内接四边形,∴∠E=180°﹣∠A=80°,又CD是⊙O的切线,T为切点,∴∠BTD=∠E=80°.故选:D.4.解:∵DA与△ABC的外接圆相切于点A,∴∠CAD=∠B=60°.(弦切角定理)故选:B.5.解:如图,连接AC,由弦切角定理知∠ACB=∠BAT=55°,∵AB=BC,∴∠ACB=∠CAB=55°,∴∠B=180°﹣2∠ACB=70°,∴∠D=180°﹣∠B=110°.故选:A.6.【解答】解:∵直线MN切⊙O于C点,∴∠BCN=∠BAC,∠ACM=∠D=∠B,∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠BCN+∠ACM=90°,∠B+∠BCN=90°,∠D+∠BCN=90°.故选:C.7.解:∵AD是⊙O的切线,∴∠DAB=∠ACB=60°.故选:C.8.解:∵直线AB切⊙O于点A,∴∠BAD=∠C=30°,∴∠ADC=50°.故选:B.9.解:连接AM,BN,∵∠BAE=∠AME,∠ABM=∠BNE,∴∠BAE+∠ABE=(∠AME+∠BNE),∵MA⊥AB,NB⊥AB,∴MA∥NB,∴∠AMN+∠BNM=180°.∵∠MEN=90°,∴∠EMN+∠ENM=90°,∴∠AME+∠BNE=180°﹣90°=90°,∴∠BAE+∠ABE=×90°=45°,∴∠AEB=180°﹣45°=135°.故选:C.二.填空题(共11小题)10.解:如图;的度数为70°,EF与⊙O相切,切点为A;∵的度数为70°,∴∠ADB=35°.∵EF是⊙O的切线,∴∠F AB=∠ADB=35°,∴∠DAE=180°﹣∠F AB=145°.①当∠BAC=∠BAF时,∠BAC=35°;②当∠BAC=∠BAE时,∠BAE=145°;因此弦切角∠BAC的度数为35°或145°.11.解:连接BD,则∠BDA=90°,∵PD切⊙O于点D,∴∠ABD=∠PDA=20°,∴∠DAB=90°﹣∠ABD=90°﹣20°=70°;又∵四边形ADCB是圆内接四边形,∴∠C=180°﹣∠DAB=180°﹣70°=110°.12.解:∵CT切⊙O于C∴∠BAC=∠BCT=40°;在△ABC中,∠BAC=40°,∠ABC=100°,∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=180°﹣40°﹣100°=40°,∴∠AOB=2∠ACB=2×40°=80°.13.解:连接CD;则∠BCE=∠CDE,∠CDE+∠E=90°;∵∠A+∠ACD=∠CDE,∴α+∠ACD=∠CDE;又∵∠ACD=∠E,∴∠E=90°﹣∠CDE=∠CDE﹣α;∴∠CDE=45°+;故∠CDE=∠ECB=45°+.14.解:连接OA,根据切线的性质定理得OB⊥BP、OA⊥AP,则∠AOB+∠P=180°;又∠ABO+∠OAB+∠AOB=180°,∠OAB=∠ABO,∴∠ABO=∠P,根据切线长定理得P A=PB,则∠PBA=∠P AB=,因此∠ABO﹣∠ABP=∠P﹣45°.15.解:∵AC切⊙O于点A,∴∠DAC=∠ABD;又∠BAC=60°,∴∠ABD+∠BAD=∠BAC=60°,∴∠ADB=180°﹣60°=120°.16.解:∵AB为⊙O直径,∴∠ACB=90°,∠A=60°;由弦切角定理知,∠ECB=∠A=60°;在Rt△ABC中,∠B=30°,AB=12cm;BC=AB•cos∠B=6cm;在Rt△BCD中,∠B=30°,BC=6cm;CD=BC•sin∠B=3cm.故∠ECB=60°,CD=3cm.17.解:∵AC是圆O的切线,∠DAC=40°,∴∠B=40°,∵∠BAC的平分线交圆O于D,∴∠BAD=∠DAC=40°,∴∠ADC=∠B+∠BAD=40°+40°=80°,故答案为:40,80.18.解:由弦切角定理可得:这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数=2×弦切角的度数=80°.故答案为:80°.19.解:∵EF切⊙O于点C,∴∠BCE=∠BAC=80°.(弦切角定理)20.解:在优弧AB上任意找一点D,连接AD、BD;∵P A与⊙O相切,切点为A,∴∠D=∠P AB=58°,∵四边形ACBD内接于⊙O,∴∠C+∠D=180°,即∠C=122°.三.解答题(共5小题)21.(Ⅰ)证法一:连接OQ;∵RQ是⊙O的切线,∴∠OQB+∠BQR=90°.∵OA⊥OB,∴∠OPB+∠B=90°.又∵OB=OQ,∴∠OQB=∠B.∴∠PQR=∠BPO=∠RPQ.∴RP=RQ.证法二:作直径BC,连接CQ;∵BC是⊙O的直径,∴∠B+∠C=90°.∵OA⊥OB,∴∠B+∠BPO=90°.∴∠C=∠BPO.又∠BPO=∠RPQ,∴∠C=∠RPQ.又∵RQ为⊙O的切线,∴∠PQR=∠C.∴∠PQR=∠RPQ.∴RP=RQ.(Ⅱ)解法一:作直径AC,∵OP=P A=1,∴PC=3.由勾股定理,得BP==由相交弦定理,得PQ•PB=P A•PC.即PQ×=1×3,∴PQ=.解法二:作直径AE,过R作RF⊥BQ,垂足为F,设RQ=RP=x;由切割线定理,得:x2=(x﹣1),(x+3)解得:x=,又由△BPO∽△RPF得:,∴PF=,由等腰三角形性质得:PQ=2PF=.22.(1)证明:∵P A是⊙O的切线,∴∠P AB=∠2.又∵AB=AC,∴∠1=∠2,∴∠P AB=∠1.∴P A∥BC.(2)解:连接OA交BC于点G,则OA⊥P A;由(1)可知,P A∥BC,∴OA⊥BC.∴G为BC的中点,∵BC=24,∴BG=12.又∵AB=13,∴AG=5.设⊙O的半径为R,则OG=OA﹣AG=R﹣5,在Rt△BOG中,∵OB2=BG2+OG2,∴R2=122+(R﹣5)2,∴R=16.9,OG=11.9;∵BD是⊙O的直径,∴DC⊥BC.又∵OG⊥BC,∴OG∥DC.∵点O是BD的中点,∴DC=2OG=23.8.23.(1)证明:连接CD;∵DE是圆O的切线,∴∠CDE=∠CBD.∵∠CBD=∠DAC,∴∠CDE=∠DAC.∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.∴∠CDE=∠BAD.∵∠BAD=∠BCD,∴∠CDE=∠BCD.∴BC∥DE.(2)解:如图,连接CD;∵AD平分∠BAC,∴=.∴∠BC D=∠CBD.∴BD=CD=2.∵BC∥DE,∴∠E=∠ACB=∠ADB.又由(1)中已证得∠CDE=∠BAD,∴△ABD∽△DCE.∴AB:BD=CD:CE.∴CE=BD•CD÷AB=.(3)解:应该是∠BAC=2∠A CB.24.证明:(1)过点B作⊙O1的切线MN,连接CD,(1分)∵OB是⊙O的半径,∴MN切⊙O于点B,∵∠E=∠MBA,∠BCD=∠MBA,∴∠E=∠BCD,∵AE切⊙O1于点C,∴∠BDC=∠BCE,∴△BCE∽△BDC,(3分)∴,∴BC2=BE•BD;(4分)(2)延长BC与⊙O相交于点F,连接OC,(1分)∵OB是⊙O1的直径,∴OC⊥BC,∴BC=CF,(2分)∵AC•CE=BC•CF,∴AC•CE=BC2,∴AC•CE=BE•BD.(3分)25.证明:(1)∵CB=CE,∴∠E=∠CBE.∵CG为⊙O切线,∴∠BCD=∠E.∴∠CBE=∠BCD.∴BE∥DG.(2)∵∠A=∠E,∴∠A=∠CBE.∵∠ACB=∠ACB,∴△CBF∽△CAB,.∴CB2=CF•AC=CF•(CF+AF)=CF2+CF•AF.即CB2﹣CF2=AF•CF.由相交弦定理,得AF•CF=BF•FE.∴CB2﹣CF2=BF•FE.。

【中考冲刺】切割线定理

【中考冲刺】切割线定理

【中考冲刺】切割线定理【中考冲刺】切割线定理一、选择题(共14小题)1.(2002•温州)如图,AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,PC是⊙O的切线,C为切点,PC=2,PB=4,则⊙O的半径等于()D.2.(2002•辽宁)如图,PA切⊙O于点A,PBC是⊙O的割线且过圆心,PA=4,PB=2,则⊙O的半径等于()3.(2006•襄阳)如图,PA切⊙O的割线,如果PB=2,PC=4,则PA的长为()4.(2006•辽宁)如图,点P是⊙O外一点,PAB为⊙O的一条割线,且PA=AB,PO交⊙O于点C,若OC=3,OP=5,则AB长为().C D.5.(2005•温州)如图,PT切⊙O于点T,经过圆心O的割线PAB交⊙O于点A、B,已知PT=4,PA=2,则⊙O 的直径AB等于()6.(2002•浙江)如图,⊙O的两条割线PAB,PCD分别交⊙O于点A,B和点C,D.已知PA=6,AB=4,PC=5,则CD=().C7.(2002•朝阳区)已知:如图,⊙O半径为5,PC切⊙O于点C,PO交⊙O于点A,PA=4,那么PC的长等于()8.(2000•西城区)如图,PA切⊙O于点A,PBC是⊙O的割线,如果PB=2,PC=8,那么PA的长为().9.(2000•温州)如图,AD是⊙O的切线,D为切点,过点A引⊙O的割线ABC,依次交⊙O于点B和点C,若AC=4,AD=2,则AB等于().D10.(2000•兰州)有两个同心圆,大圆的直径AB交小圆于C、D,大圆的弦EF切小圆于C点,ED交小圆于G点,.C D.11.(1999•北京)如图,PA切⊙O于点A,PBC是⊙O的割线,且PB=BC,如果PA=3,那么BC的长为()D12.(1998•绍兴)如图,过点P作⊙O的两条割线分别交⊙O于点A、B和点C、D,已知PA=3,AB=PC=2,则PD的长是()13.(2003•宁波)如图,PA切⊙O点于A,割线PBC交⊙O于点B、C,已知PB=BC=3,则PA的长是()C D14.(2001•荆州)已知:如图⊙O的割线PAB交⊙O于点A,B,PA=7cm,AB=5cm,PO=10cm,则⊙O的半径是()二、填空题(共15小题)(除非特别说明,请填准确值)15.(2011•巴彦淖尔)如图,直线PA过半圆的圆心O,交半圆于A,B两点,PC切半圆与点C,已知PC=3,PB=1,则该半圆的半径为_________.16.(2008•南充)如图,从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB,切点分别是A、B,若PA=8cm,C是上的一个动点(点C与A、B两点不重合),过点C作⊙O的切线,分别交PA、PB于点D、E,则△PED的周长是_________ cm.17.(2006•玉溪)如图,半圆O的直径AB=10cm,PO=8cm,DC=2PC,则PC=_________cm.18.(2006•宁波)如图,⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,连接AB,并在其延长线上取点P,过P作⊙O1、⊙O2的切线PC、PD,切点分别为C、D,若PC=6,则PD=_________.19.(2005•漳州)如图,PA切⊙O于点A,PBC是⊙O的割线,若PB=BC=2,则PA=_________.20.(2004•泉州)如图,PA与⊙O相切于点A,PBC为割线,PA=4,PC=8,则PB=_________.21.(2004•南京)如图,割线PAB与⊙O交于点A、B,割线PCD与⊙O交于点C、D,PA=PC,PB=3cm,则PD= _________cm.22.(2004•丽水)如图,过⊙O外一点P作两条割线,分别交⊙O于A,B和C,D.已知PA=2,PB=5,PD=8,则PC的长是_________.23.(2004•本溪)从圆O外一点P作圆O的切线,A为切点,PBC是圆O的割线交圆O于B,C.若PB=BC=2cm,则PA的长为_________cm.24.(2003•南宁)如图,已知PA是⊙O的切线,A是切点PC是过圆心的一条割线,点B、C是它与⊙O的交点,且PA=8,PB=4.则⊙O的半径为_________.25.(2003•辽宁)如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,以AC为直径作圆与斜边交于点P,则BP的长为_________.26.(2002•三明)如图,PAB、PCD是⊙O的割线,PA=3,PB=6,PC=2,则PD=_________.27.(2007•贵阳)如图,某机械传动装置在静止状态时,连杆PA与点A运动所形成的⊙O交于B点,现测得PB=4cm,AB=5cm,⊙O的半径R=4.5cm,此时P点到圆心O的距离是_________cm.28.(2004•北京)如图,AB为⊙O的直径,P为AB延长线上一点,PC切⊙O于C,若PB=2,AB=6,则PC=_________.29.(2003•舟山)如图,AC交⊙O于点B、C,AD切⊙O于点D,已知AB=2,AC=8,则AD的长为_________.三、解答题(共1小题)(选答题,不自动判卷)30.(2009•淄博)如图,两个同心圆的圆心是O,大圆的半径为13,小圆的半径为5,AD是大圆的直径.大圆的弦AB,BE分别与小圆相切于点C,F.AD,BE相交于点G,连接BD.(1)求BD的长;(2)求∠ABE+2∠D的度数;(3)求的值.【中考冲刺】切割线定理参考答案与试题解析一、选择题(共14小题)1.(2002•温州)如图,AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,PC是⊙O的切线,C为切点,PC=2,PB=4,则⊙O的半径等于()D.PA=.2.(2002•辽宁)如图,PA切⊙O于点A,PBC是⊙O的割线且过圆心,PA=4,PB=2,则⊙O的半径等于()3.(2006•襄阳)如图,PA切⊙O的割线,如果PB=2,PC=4,则PA的长为().4.(2006•辽宁)如图,点P是⊙O外一点,PAB为⊙O的一条割线,且PA=AB,PO交⊙O于点C,若OC=3,OP=5,则AB长为().C D..5.(2005•温州)如图,PT切⊙O于点T,经过圆心O的割线PAB交⊙O于点A、B,已知PT=4,PA=2,则⊙O 的直径AB等于()6.(2002•浙江)如图,⊙O的两条割线PAB,PCD分别交⊙O于点A,B和点C,D.已知PA=6,AB=4,PC=5,则CD=().C7.(2002•朝阳区)已知:如图,⊙O半径为5,PC切⊙O于点C,PO交⊙O于点A,PA=4,那么PC的长等于()PC=2;8.(2000•西城区)如图,PA切⊙O于点A,PBC是⊙O的割线,如果PB=2,PC=8,那么PA的长为().9.(2000•温州)如图,AD是⊙O的切线,D为切点,过点A引⊙O的割线ABC,依次交⊙O于点B和点C,若AC=4,AD=2,则AB等于().D10.(2000•兰州)有两个同心圆,大圆的直径AB交小圆于C、D,大圆的弦EF切小圆于C点,ED交小圆于G点,.C D.EC==2ED==2)=11.(1999•北京)如图,PA切⊙O于点A,PBC是⊙O的割线,且PB=BC,如果PA=3,那么BC的长为()D12.(1998•绍兴)如图,过点P作⊙O的两条割线分别交⊙O于点A、B和点C、D,已知PA=3,AB=PC=2,则PD的长是()13.(2003•宁波)如图,PA切⊙O点于A,割线PBC交⊙O于点B、C,已知PB=BC=3,则PA的长是()C D,14.(2001•荆州)已知:如图⊙O的割线PAB交⊙O于点A,B,PA=7cm,AB=5cm,PO=10cm,则⊙O的半径是()二、填空题(共15小题)(除非特别说明,请填准确值)15.(2011•巴彦淖尔)如图,直线PA过半圆的圆心O,交半圆于A,B两点,PC切半圆与点C,已知PC=3,PB=1,则该半圆的半径为4.16.(2008•南充)如图,从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB,切点分别是A、B,若PA=8cm,C是上的一个动点(点C与A、B两点不重合),过点C作⊙O的切线,分别交PA、PB于点D、E,则△PED的周长是16 cm.17.(2006•玉溪)如图,半圆O的直径AB=10cm,PO=8cm,DC=2PC,则PC=cm.cmPC=18.(2006•宁波)如图,⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,连接AB,并在其延长线上取点P,过P作⊙O1、⊙O2的切线PC、PD,切点分别为C、D,若PC=6,则PD=6.19.(2005•漳州)如图,PA切⊙O于点A,PBC是⊙O的割线,若PB=BC=2,则PA=.20.(2004•泉州)如图,PA与⊙O相切于点A,PBC为割线,PA=4,PC=8,则PB=2.21.(2004•南京)如图,割线PAB与⊙O交于点A、B,割线PCD与⊙O交于点C、D,PA=PC,PB=3cm,则PD= 3cm.22.(2004•丽水)如图,过⊙O外一点P作两条割线,分别交⊙O于A,B和C,D.已知PA=2,PB=5,PD=8,则PC的长是.PC==23.(2004•本溪)从圆O外一点P作圆O的切线,A为切点,PBC是圆O的割线交圆O于B,C.若PB=BC=2cm,则PA的长为2cm.cm24.(2003•南宁)如图,已知PA是⊙O的切线,A是切点PC是过圆心的一条割线,点B、C是它与⊙O的交点,且PA=8,PB=4.则⊙O的半径为6.25.(2003•辽宁)如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,以AC为直径作圆与斜边交于点P,则BP的长为 3.6.26.(2002•三明)如图,PAB、PCD是⊙O的割线,PA=3,PB=6,PC=2,则PD=9.PD=27.(2007•贵阳)如图,某机械传动装置在静止状态时,连杆PA与点A运动所形成的⊙O交于B点,现测得PB=4cm,AB=5cm,⊙O的半径R=4.5cm,此时P点到圆心O的距离是7.5cm.28.(2004•北京)如图,AB为⊙O的直径,P为AB延长线上一点,PC切⊙O于C,若PB=2,AB=6,则PC=4.29.(2003•舟山)如图,AC交⊙O于点B、C,AD切⊙O于点D,已知AB=2,AC=8,则AD的长为4.三、解答题(共1小题)(选答题,不自动判卷)30.(2009•淄博)如图,两个同心圆的圆心是O,大圆的半径为13,小圆的半径为5,AD是大圆的直径.大圆的弦AB,BE分别与小圆相切于点C,F.AD,BE相交于点G,连接BD.(1)求BD的长;(2)求∠ABE+2∠D的度数;(3)求的值.菁优网©2010-2013 菁优网。

中考数学复习----《切线》知识点总与专项练习题(含答案解析)

中考数学复习----《切线》知识点总与专项练习题(含答案解析)

中考数学复习----《切线》知识点总与专项练习题(含答案解析)知识点总结1.点与圆的位置关系:OP=,则有:点与圆的位置关系有3种.设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离dd>①点P在圆外⇔rd=②点P在圆上⇔rd<①点P在圆内⇔r2.三角形的外接圆与外心:经过三角形的三个顶点的圆,叫做三角形的外接圆。

圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心。

3.直线与圆的位置关系:设⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,直线和圆的三种位置关系:d>。

①相离:一条直线和圆没有公共点。

直线l和⊙O相离⇔r②相切:一条直线和圆只有一个公共点,叫做这条直线和圆相切,这条直线叫圆的切d=。

线,唯一的公共点叫切点。

直线l和⊙O相切⇔r③相交:一条直线和圆有两个公共点,此时叫做这条直线和圆相交,这条直线叫圆的d<。

割线。

直线l和⊙O相交⇔r4.切线的性质:①圆的切线垂直于经过切点的半径。

②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。

③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

运用切线的性质进行计算或证明时,常常作的辅助线是连接圆心和切点,通过构造直角三角形或相似三角形解决问题。

5.切线的判定:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

在判定一条直线为圆的切线时,当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时,常过圆心作该直线的垂线段,证明该线段的长等于半径,可简单的说成“无交点,作垂线段,证半径”;当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时,常连接过该公共点的半径,证明该半径垂直于这条直线,可简单地说成“有交点,作半径,证垂直”。

练习题1、(2022•常州)如图,△ABC是⊙O的内接三角形.若∠ABC=45°,AC=,则⊙O的半径是.【分析】连接AO并延长交⊙O于点D,连接CD,根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACD =90°,再利用同弧所对的圆周角相等可得∠ADC=45°,然后在Rt△ACD中,利用锐角三角函数的定义求出AD的长,从而求出⊙O的半径,即可解答.【解答】解:连接AO并延长交⊙O于点D,连接CD,∵AD是⊙O的直径,∴∠ACD=90°,∵∠ABC=45°,∴∠ADC=∠ABC=45°,∴AD===2,∴⊙O的半径是1,故答案为:1.2、(2022•黑龙江)如图,在⊙O中,AB是⊙O的弦,⊙O的半径为3cm.C为⊙O上一点,∠ACB=60°,则AB的长为cm.【分析】连接AO并延长交⊙O于点D,根据直径所对的圆周角是直角可得∠ABD=90°,再利用同弧所对的圆周角相等可求出∠ADB=60°,然后在Rt△ABD中,利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答.【解答】解:连接AO并延长交⊙O于点D,∵AD是⊙O的直径,∴∠ABD=90°,∵∠ACB=60°,∴∠ADB=∠ACB=60°,在Rt△ABD中,AD=6cm,∴AB=AD•sin60°=6×=3(cm),故答案为:3.3、(2022•玉林)如图,在5×7网格中,各小正方形边长均为1,点O,A,B,C,D,E均在格点上,点O是△ABC的外心,在不添加其他字母的情况下,则除△ABC外把你认为外心也是O的三角形都写出来.【分析】由网格利用勾股定理分别求解OA,OB,OC,OD,OE,根据三角形的外心到三角形顶点的距离相等可求解.【解答】解:由图可知:OA=,OB=,OC=,OD=,OE=,∴OA=OB=OC=OD≠OE,∴△ABD,△ACD,△BCD的外心都是点O,故答案为:△ABD,△ACD,△BCD.4、(2022•凉山州)如图,在边长为1的正方形网格中,⊙O是△ABC的外接圆,点A,B,O 在格点上,则cos∠ACB的值是.【分析】先连接AD,BD,然后根据题意,可以求得cos∠ADB的值,再根据圆周角定理可以得到∠ACB=∠ADB,从而可以得到cos∠ACB的值.【解答】解:连接AD,BD,AD和BD相交于点D,∵AD是⊙O的直径,∴∠ABD=90°,∵AB=6,BD=4,∴AD===2,∴cos∠ADB===,∵∠ACB=∠ADB,∴cos∠ACB的值是,故答案为:.5、(2022•资阳)如图,△ABC内接于⊙O,AB是直径,过点A作⊙O的切线AD.若∠B=35°,则∠DAC的度数是度.【分析】根据直径所对的圆周角是直角,可得∠BAC=55°,再根据切线的性质可得∠BAD=90°,即可求解.【解答】解:∵AB为直径,∴∠C=90°,∵∠B=35°,∴∠BAC=55°,∵AD与⊙O相切,∴AB⊥AD,即∠BAD=90°,∴∠CAD=90°﹣∠BAC=35°.故答案为:35.6、(2022•衢州)如图,AB切⊙O于点B,AO的延长线交⊙O于点C,连结BC.若∠A=40°,则∠C的度数为.【分析】连接OB,先根据切线的性质求出∠AOB,再根据OB=OC,∠AOB=∠C+∠OBC 即可解决问题.【解答】解:如图,连接OB.∵AB是⊙O切线,∴OB⊥AB,∴∠ABO=90°,∵∠A=40°,∴∠AOB=90°﹣∠A=50°,∵OC=OB,∴∠C=∠OBC,∵∠AOB=∠C+∠OBC,∴∠C=25°.故答案为:25°.7、(2022•盐城)如图,AB、AC是⊙O的弦,过点A的切线交CB的延长线于点D,若∠BAD =35°,则∠C=°.【分析】连接AO并延长交⊙O于点E,连接BE,根据切线的性质可得∠OAD=90°,从而求出∠BAE=55°,然后利用直径所对的圆周角是直角可得∠ABE=90°,从而利用直角三角形的两个锐角互余可求出∠E的度数,最后根据同弧所对的圆周角相等,即可解答.【解答】解:连接OA并延长交⊙O于点E,连接BE,∵AD与⊙O相切于点A,∴∠OAD=90°,∵∠BAD=35°,∴∠BAE=∠OAD﹣∠BAD=55°,∵AE是⊙O的直径,∴∠ABE=90°,∴∠E=90°﹣∠BAE=35°,∴∠C=∠E=35°,故答案为:35.8、(2022•上海)定义:有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点,截得的三条弦相等,我们把这个圆叫作“等弦圆”,现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形,当等弦圆最大时,这个圆的半径为.【分析】根据题意画出相应的图形,利用圆周角定理、直角三角形的边角关系以及三角形的面积公式进行计算即可.【解答】解:如图,∵圆与三角形的三条边都有两个交点,截得的三条弦相等,∴圆心O 就是三角形的内心,∴当⊙O 过点C 时,且在等腰直角三角形ABC 的三边上截得的弦相等,即CG =CF =DE ,此时⊙O 最大,过点O 分别作弦CG 、CF 、DE 的垂线,垂足分别为P 、N 、M ,连接OC 、OA 、OB , ∵CG =CF =DE ,∴OP =OM =ON ,∵∠C =90°,AB =2,AC =BC ,∴AC =BC =×2=,由S △AOC +S △BOC +S △AOB =S △ABC ,∴AC •OP +BC •ON +AB •OM =S △ABC =AC •BC ,设OM =x ,则OP =ON =x ,∴x +x +2x =×, 解得x =﹣1, 即OP =ON =﹣1,在Rt △CON 中,OC =ON =2﹣,故答案为:2﹣.9、(2022•泰州)如图,PA 与⊙O 相切于点A ,PO 与⊙O 相交于点B ,点C 在AmB ⌒上,且与点A、B不重合.若∠P=26°,则∠C的度数为°.【分析】连接AO并延长交⊙O于点D,连接DB,由切线的性质得出∠OAP=90°,由∠P =26°,求出∠AOP=64°,由圆周角定理即可求出∠C=∠D=32°.【解答】解:如图,连接AO并延长交⊙O于点D,连接DB,∵PA与⊙O相切于点A,∴∠OAP=90°,∵∠P=26°,∴∠AOP=90°﹣∠P=90°﹣26°=64°,∴∠D=∠AOP=×64°=32°,∵点C在上,且与点A、B不重合,∴∠C=∠D=32°,故答案为:32.10、(2022•宁波)如图,在△ABC中,AC=2,BC=4,点O在BC上,以OB为半径的圆与AC相切于点A.D是BC边上的动点,当△ACD为直角三角形时,AD的长为.【分析】根据切线的性质定理,勾股定理,直角三角形的等面积法解答即可.【解答】解:连接OA,过点A作AD⊥BC于点D,∵圆与AC相切于点A.∴OA⊥AC,由题意可知:D点位置分为两种情况,①当∠CAD为90°时,此时D点与O点重合,设圆的半径=r,∴OA=r,OC=4﹣r,∵AC=2,在Rt△AOC中,根据勾股定理可得:r2+4=(4﹣r)2,解得:r=,即AD=AO=;②当∠ADC=90°时,AD=,∵AO=,AC=2,OC=4﹣r=,∴AD=,综上所述,AD的长为或,故答案为:或.11、(2022•金华)如图,木工用角尺的短边紧靠⊙O于点A,长边与⊙O相切于点B,角尺的直角顶点为C.已知AC=6cm,CB=8cm,则⊙O的半径为cm.【分析】连接OA,OB,过点A作AD⊥OB于点D,利用矩形的判定与性质得到BD=AC =6cm,AD=BC=8cm,设⊙O的半径为rcm,在Rt△OAD中,利用勾股定理列出方程即可求解.【解答】解:连接OA,OB,过点A作AD⊥OB于点D,如图,∵长边与⊙O相切于点B,∴OB⊥BC,∵AC⊥BC,AD⊥OB,∴四边形ACBD为矩形,∴BD=AC=6cm,AD=BC=8cm.设⊙O的半径为rcm,则OA=OB=rcm,∴OD=OB﹣BD=(r﹣6)cm,在Rt△OAD中,∵AD2+OD2=OA2,∴82+(r﹣6)2=r2,解得:r=.故答案为:.12、(2022•湖北)如图,点P 是⊙O 上一点,AB 是一条弦,点C 是APB ⌒上一点,与点D 关于AB 对称,AD 交⊙O 于点E ,CE 与AB 交于点F ,且BD ∥CE .给出下面四个结论: ①CD 平分∠BCE ;②BE =BD ;③AE 2=AF •AB ;④BD 为⊙O 的切线.其中所有正确结论的序号是 .【分析】根据题意可得AB 是CD 的垂直平分线,从而可得AD =AC ,BD =BC ,再利用等腰三角形和平行线的性质可得CD 平分∠BCE ,即可判断①;根据圆内接四边形对角互补和平角定义可得∠DEB =∠ACB ,再利用SSS 证明△ADB ≌△ACB ,然后利用全等三角形的性质可得∠ADB =∠ACB ,从而可得∠DEB =∠ADB ,即可判断②;根据等弧所对的圆周角相等可得∠AEF ≠∠ABE ,从而可得△AEF 与△ABE 不相似,即可判断③;连接OB ,交EC 于点H ,利用①②的结论可得BE =BC ,从而可得=,然后利用垂径定理可得∠OHE =90°,最后利用平行线的性质可求出∠OBD =90°,即可解答.【解答】解:∵点C 与点D 关于AB 对称,∴AB 是CD 的垂直平分线,∴AD =AC ,BD =BC ,∴∠BCD =∠BDC ,∵BD ∥CE ,∴∠BDC =∠DCE ,∴CD平分∠BCE;故①正确;∵四边形ACBE是⊙O的内接四边形,∴∠ACB+∠AEB=180°,∵∠AEB+∠DEB=180°,∴∠DEB=∠ACB,∵AD=AC,BD=BC,AB=AB,∴△ADB≌△ACB(SSS),∴∠ADB=∠ACB,∴∠DEB=∠ADB,∴BD=BE,故②正确;∵AC≠AE,∴≠,∴∠AEF≠∠ABE,∴△AEF与△ABE不相似,故③不正确;连接OB,交EC于点H,∵BD=BE,BD=BC,∴BE=BC,∴=,∴OB⊥CE,∵BD∥CE,∴∠OHE=∠OBD=90°,∵OB是⊙O的半径,∴BD为⊙O的切线,故④正确;所以给出上面四个结论,其中所有正确结论的序号是:①②④,故答案为:①②④.。

2020年中考数学一轮复习之圆的综合(切线证明、面积、动点问题)(解析版)

2020年中考数学一轮复习之圆的综合(切线证明、面积、动点问题)(解析版)

2020年中考数学一轮复习之圆的综合(切线证明、面积、动点问题)1.如图1,已知四边形ABCD内接于⊙O,AC为⊙O的直径,AD=DB,AC与BD交于点E,且AE=BC.(1)求证:AB=CB;(2)如图2,△ABC绕点C逆时针旋转35°得到△FGC,点A经过的路径为弧AF,若AC=4,求图中阴影部分的面积.(1)证明:∵AD=BD,∠DAE=∠DBC,AE=BC,∴△ADE≌△BDC(SAS),∴∠ADE=∠BDC,∴=.∴AB=BC.(2)解:S阴=S扇形CAF+S△CFG﹣S△ABC=S扇形CAF==.2.如图,CD是⊙O的直径,AB是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足为G,OG:CG=3:2,AB=16.(1)求⊙O的半径;(2)点E为圆上一点,∠ECD=30°,将沿弦CE翻折,交CB于点F,求图中阴影部分的面积.解:(1)连接AO,如右图所示,∵CD为⊙O的直径,AB⊥CD,AB=16,∴AG==8,∵OG:CG=3:2,∴OG:OC=3:5,AB⊥CD,垂足为G,∴设⊙O的半径为5k,则OG=3k,∴(3k)2+82=(5k)2,解得,k=2或k=﹣2(舍去),∴5k=10,即⊙O的半径是10;(2)如图所示,将阴影部分沿CE翻折,点F的对应点为M,∵∠ECD=30°,由对称性可知,∠DCM=60°,S阴影=S弓形CBM,连接OM,则∠MOD=120°,∴∠MOC=60°,过点M作MN⊥CD于点N,∴MN=MO•sin60°=10×=5,∴S阴影=S扇形OMC﹣S△OMC=﹣×10×5=﹣25.3.如图1,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,连接CB,过C作CD⊥AB于点D,过点C作∠BCE,使∠BCE=∠BCD,其中CE交AB的延长线于点E.(1)求证:CE是⊙O的切线.(2)如图2,点F在⊙O上,且满足∠FCE=2∠ABC,连接AF井延长交EC的延长线于点G.①试探究线段CF与CD之间满足的数量关系;②若CD=4,BD=2,求线段FG的长.(1)证明:如图1,连接OC,∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,∵CD⊥AB,∴∠OBC+∠BCD=90°,∵∠BCE=∠BCD,∴∠OCB+∠BCE=90°,即OC⊥CE,∴CE是⊙O的切线;(2)解:①线段CF与CD之间满足的数量关系是:CF=2CD,理由如下:如图2,过O作OH⊥CF于点H,∴CF=2CH,∵∠FCE=2∠ABC=2∠OCB,且∠BCD=∠BCE,∴∠OCH=∠OCD,∵OC为公共边,∴△COH≌△COD(AAS),∴CH=CD,∴CF=2CD;②∵CD=4,BD=2,∴BC==2,由①得:CF=2CD=8,设OC=OB=x,则OD=x﹣2,在Rt△ODC中,OC2=OD2+CD2,∴x2=(x﹣2)2+42,解得:x=5,即OB=5,∵OC⊥GE,∴∠OCF+∠FCG=90°,∵∠OCD+∠COD=90°,∠FCO=∠OCD,∴∠GCF=∠COB,∵四边形ABCF为⊙O的内接四边形,∴∠GFC=∠ABC,∴△GFC∽△CBO,∴=,∴=,∴FG=.4.如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A出发沿AB以1cm/s 的速度向点B移动;同时,点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动.设运动时间为t秒.(1)当t=2时,△DPQ的面积为28 cm2;(2)在运动过程中△DPQ的面积能否为26cm2?如果能,求出t的值,若不能,请说明理由;(3)运动过程中,当A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上时,求t的值;(4)运动过程中,当以Q为圆心,QP为半径的圆,与矩形ABCD的边共有4个交点时,直接写出t的取值范围.解:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=12,CD=AB=6,∠A=∠B=∠C=90°,由题意得:AP=t,BQ=2t,∴BP=AB﹣AP=6﹣t,CQ=BC﹣BQ=12﹣2t,当t=2时,AP=2,BQ=4,BP=AB﹣AP=4,CQ=BC﹣BQ=8,∴△DPQ的面积=12×6﹣×12×2﹣×4×4﹣×6×8=28(cm2),故答案为:28;(2)不能;理由如下:根据题意得:△DPQ的面积=,整理得:t2﹣6t+10=0,∵b2﹣4ac=﹣4<0,∴方程无实数根,∴△DPQ的面积不可能为26cm2;(3)∵∠A=90°,∴A、P、D三点在以DP为直径的圆上,若点Q也在圆上,则∠PQD=90°,∵PQ2=(6﹣t)2+(2t)2,DQ2=62+(12﹣2t)2,DP2=t2+122,PQ2+DQ2=DP2,∴(6﹣t)2+(2t)2+62+(12﹣2t)2=t2+122;解得t1=6,t2=,∴t=6或时A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上.(4)如图1,⊙Q与边AD相切时,过点Q作QE⊥AD,∵⊙Q与边AD相切,∴QE=QP,由勾股定理得:62=(6﹣t)2+(2t)2;解得t1=0(舍去),t2=,如图2,⊙Q过点D时,则QD=QP,由勾股定理得:(6﹣t)2+(2t)2=62+(12﹣2t)2;解得:(舍去)∴当<t<时,⊙Q与矩形ABCD的边共有四个交点.5.如图,已知直线l的函数表达式为y=x+3,它与x轴、y轴的交点分别为A、B两点.(1)若⊙O的半径为2,说明直线AB与⊙O的位置关系;(2)若△ABO的内切圆圆心是点M,外接圆圆心是点N,则MN的长度是;(直接填空)(3)设F是x轴上一动点,⊙P的半径为2,⊙P经过点B且与x轴相切于点F,求圆心P的坐标.解:(1)∵直线l的函数表达式为y=x+3,它与x轴、y轴的交点分别为A、B两点,∴当x=0时,y=3;当y=0时,x=4;∴A(﹣4,0),B(0,3),∴OB=3,OA=4,AB===5,过点O作OC⊥AB于C,如图1所示:∵sin∠BAO==,∴=,∴OC=>2,∴直线AB与⊙O的位置关系是相离;(2)设⊙M分别与OA、OB、AB相切于C、D、E,连接MC、MD、ME、BM,如图2所示:则四边形OCMD是正方形,DE⊥AB,BE=BD,∴MC=MD=ME=OD=(OA+OB﹣AB)=×(4+3﹣5)=1,∴BE=BD=OB﹣OD=3﹣1=2,∵∠AOB=90°,∴△ABO外接圆圆心N在AB上,∴AN=BN=AB=,∴NE=BN﹣BE=﹣2=,在Rt△MEN中,MN===;故答案为:;(3)连接PB、PF,作PC⊥OB于C,如图3所示:则四边形OCPF是矩形,∴OC=PF=BP=2,BC=OB﹣OC=3﹣2=1,∴PC===,∴圆心P的坐标为:(,2).6.联想我们曾经学习过的三角形外心的概念,我们可引入准外心的定义:到三角形的两个顶点距离相等的点,叫做此三角形的准外心.请回答下面的三个问题:(1)如图1,若PB=PC,则点P为△ABC的准外心,而且我们知道满足此条件的准外心有无数多个,你能否用尺规作出另外一个准外心Q呢?请尝试完成;(2)如图2,已知△ABC为直角三角形,斜边BC=5,AB=3,准外心P在AC边上,试探究PA的长;(3)如图3,点B既是△EDC又是△ADC的准外心,BD=BA=BC=2AD,BD∥AC,CD=,求AD的值.解:(1)能用尺规作出另外一个准外心Q,作AB的垂直平分线MN,在MN上取点Q,如图1所示:则QA=QB,点Q为△ABC的准外心;(2)连接BP,如图2所示:∵△ABC为直角三角形,斜边BC=5,AB=3,∴AC===4,∵准外心P在AC边上,①当PB=PC时,设PB=PC=x,则PA=4﹣x,在Rt△ABP中,由勾股定理得:32+(4﹣x)2=x2,解得:x=,∴PA=4﹣=;②当PA=PC时,PA=AC=2;③当PA=PB时,∵△ABC是直角三角形,此情况不存在;综上所述,准外心P在AC边上,PA的长为或2;(3)∵BD=BA=BC,∴∠BAC=∠BCA,点D、A、C在以B为圆心,AB长为半径的圆上,如图3所示:则∠ABD=2∠ACD,作BE⊥CD于E,BF⊥AD于F,则DE=CE=CD=,DF=AF=AD,∠ABD=2∠DBF,∠BEC=∠DFB=90°,∵BD∥AC,∴∠ABD=∠BAC=∠BCA=2∠ACD=2∠DBF=2∠BCE,∴∠DBF=∠BCE,在△BDF和△CBE中,,∴△BDF≌△CBE(ASA),∴DF=BE,设DF=BE=x,则AD=2x,BD=2AD=4x,在Rt△BDE中,由勾股定理得:x2+()2=(4x)2,解得:x=,∴AD=2x=.7.如图,在平面直角坐标系中,AB=AC=10,线段BC在x轴上,BC=12,点B的坐标为(﹣3,0),线段AB交y轴于点E,过A作AD⊥BC于D,动点P从原点出发,以每秒3个单位的速度沿x轴向右运动,设运动的时间为t秒.(1)当△BP E是等腰三角形时,求t的值;(2)若点P运动的同时,△ABC以B为位似中心向右放大,且点C向右运动的速度为每秒2个单位.△ABC放大的同时高AD也随之放大,当以EP为直径的圆与动线段AD 所在直线相切时,求t的值和此时点C的坐标.解:(1)∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=CD=BC=6,∴AD===8,∵点B的坐标为(﹣3,0),∴OB=3,∴OD=BD﹣OB=6﹣3=3,∴A(3,8),设直线AB的解析式为:y=kx+b,则,解得:,∴直线AB的解析式为:y=x+4,∴E(0,4),∴OE=4,BE===5,当△BPE是等腰三角形有三种情况:①当BE=BP时,则3+3t=5,解得:t=;②当BE=EP时,则3t=3,解得:t=1;③当BP=PE时,∵BP=PE,AB=AC,∠ABC=∠PBE,∴∠PEB=∠ACB=∠ABC,∴△PBE∽△ABC,∴=,即=,解得:t=;综上所述,当△BPE是等腰三角形时,t的值为或1或;(2)由题意得:C(9+2t,0),∴BC=12+2t,BD=CD=6+t,OD=3+t,设F为EP的中点,连接OF,作FH⊥AD于H,FG⊥OP于G,如图所示:则四边形FGDH是矩形,FG∥EO,∴FG是△POE的中位线,∴PG=OG=OP=t,FG=OE=2,∴F(t,2),∵四边形FGDH是矩形,∴FH=GD=OD﹣OG=3+t﹣t=3﹣t,∵以EP为直径的圆与动线段AD所在直线相切,∴FH=EP=3﹣t,在Rt△POE中,EP2=OP2+OE2,即:4(3﹣t)2=(3t)2+42,解得:t=1或t=﹣(不合题意舍去),∴C(11,0),∴以EP为直径的圆与动线段AD所在直线相切时,t的值为1,此时点C的坐标为(11,0).8.如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC的角平分线交AC上点E,过点E作BE 的垂线交AB于点F,△BEF的外接圆⊙O与CB交于点D.(1)求证:AC是⊙O的切线;(2)若BC=9,EH=3,求⊙O的半径长;(3)如图2,在(2)的条件下,过C作CP⊥AB于P,求CP的长.(1)证明:连接OE.如图1所示:∵BE⊥EF,∴∠BEF=90°,∴BF是圆O的直径,∴OB=OE,∴∠OBE=∠OEB,∵BE平分∠ABC,∴∠CBE=∠OBE,∴∠OEB=∠CBE,∴OE∥BC,∴∠AEO=∠C=90°,∴AC⊥OE,∴AC是⊙O的切线;(2)解:∵∠ACB=90°,∴EC⊥BC,∵BE平分∠ABC,EH⊥AB,∴EH=EC,∠BHE=90°,在Rt△BHE和Rt△BCE中,,∴Rt△BHE≌Rt△BCE(HL),∴BH=BC=9,∵BE⊥EF,∴∠BEF=90°=∠BHE,BF是圆O的直径,∴BE===3,∵∠EBH=∠FBE,∴△BEH∽△BFE,∴=,即=,解得:BF=10,∴⊙O的半径长=BF=5;(3)解:连接OE,如图2所示:由(2)得:OE=OF=5,EC=EH=3,∵EH⊥AB,∴OH===4,在Rt△OHE中,cos∠EOA==,在Rt△EOA中,cos∠EOA==,∴OA=OE=,∴AE===,∴AC=AE+EC=+3=,,∵AB=OB+OA=5+=,∠ACB=90°,∴△ABC的面积=AB×CP=BC×AC,∴CP===.9.【操作体验】如图①,已知线段AB和直线1,用直尺和圆规在1上作出所有的点P,使得∠APB=30°,如图②,小明的作图方法:第一步:分别以点A,B为圆心,AB长为半径作弧,两弧在AB上方交于点O第二步:连接OA,OB;第三步:以O为圆心,OA长为半径作⊙O,交l于P1,P2;所以图中P1,P2即为所求的点(1)在图②中,连接P1A,P1B,说明∠AP1B=30°【方法迁移】(2)如图③,用直尺和圆规在矩形ABCD内作出所有的点P,使得∠BPC=45°(不写作法,保留作图痕迹);【深入探究】(3)已知矩形ABCD,BC=2,AB=m,P为AD边上的点,若满足∠BPC=45°的点P恰有两个,求m的取值范围;(4)已知矩形ABCD,AB=3,BC=2,P为矩形ABCD内一点,且∠BPC=120°,若点P绕点A逆时针旋转60°到点Q,求PQ的最小值.解:(1)如图②,连接AP1,BP1,∵OA=OB=AB,∴△OAB是等边三角形,∴∠AOB=60°,∴∠AP1B=∠AOB=30°;(2)如图③,①以B、C为圆心,以BC为半径作圆,交AB、DC于E、F,②作BC的中垂线,连接EC,交于O,③以O为圆心,OE为半径作圆,则上所有的点(不包括E、F两点)即为所求;(3)如图④,同理作⊙O,∵BE=BC=2,∴CE=4,∴⊙O的半径为2,即OE=OG=2,∵OG⊥EF,∴EH=,∴OH=,∴GH=2﹣,∴BE≤AB<MB,∴3≤m<2+,故答案为:3≤m<2+;(4)如图⑤,构建⊙O,使∠COB=120°,在优弧上取一点H,则∠CHB=60°∴∠CPB=120°,由旋转得:△APQ是等边三角形,∴PQ=AP,∴PQ取最小值时,就是AP取最小值,当P与E重合时,即A、P、O在同一直线上时,AP最小,则PQ的值最小,在Rt△AFO中,AF=,OF=3+1=4,∴AO==,∴AE=﹣2=AP,∴PQ=AP=﹣2.10.如图,线段AB是⊙O的直径,C、D是半圆的三等分点,过点C的直线与AD的延长线垂直,垂足为点E,与AB的延长线相交于点F,连接OE,交AC于点G.(1)求证:FC是⊙O的切线;(2)连接DC、CO,判断四边形ADCO的形状,并证明;(3)求OG与GE的比值.(1)证明:连接OC,∵C、D是半圆的三等分点,∴==,∴∠DAC=∠CAB,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∴∠DAC=∠OCA,∴OC∥AE,∴∠OCF=∠AEC=90°,∴OC⊥EF,∴FC是⊙O的切线;(2)解:四边形ADCO是菱形,理由如下:连接DC、DO,由(1)知==,∴∠AOD=∠DOC=COB=×180°=60°,又∵OA=OD=OC,∴△OAD与△OCD是等边三角形,∴OA=OD=AD,OD=OC=DC,∴OA=AD=DC=OC,∴四边形ADCO是菱形;(3)解:由(1)知,OC∥AE,∴△OCG∽△EAG,△FCO∽△FEA,∠COF=∠EAF=60°,∴=,=,∴=,在Rt△OCF中,∠F=30°,设OC=r,则OF=2r,∴==,∴=,∴OG与GE的比值为.11.已知:CD为△ABC的外角平分线,交△ABC的外接圆O于D.(1)如图1,连接0A,OD,求证:∠AOD=2∠BCD;(2)如图2.连接BC,若CB平分∠ACD,求证:AB=BD;(3)如图3,在(2)的条件下,在AB上取一点E,BD上取一点F.连接DE、AF交于点M,连接EF,若∠DMF=60°,AC=EF=7,CD=8(DF>BF),求AE的长.解:(1)如图1,连接BD,∵CD为△ABC的外角平分线,∴∠HCD=∠BCD,∵∠HCD=∠ABD,∴∠ABD=∠BCD,∵∠AOD=2∠ABD,∴∠AOD=2∠BCD;(2)∵CB平分∠ACD,∴∠ACB=∠DCB,∴=,∴AB=BD;(3)如图3,作FG⊥AB于G,EP⊥AF于P,CN⊥AC交AC的延长线于N.在Rt△CDN中,∵∠DCN=60°,CD=8,∴∠CDN=30°,∴CN=CD=4,DN=4,∴AD===13,∵AB=BD,∠B=60°,∴∠ABC是等边三角形,∴AD=DB=BD=13,∠DAB=60°,∵∠DMF=∠ADM+∠MAD=60°,∠MAE+∠MAD=60°,∴∠ADE=∠BAF,∵∠DAE=∠B,∴△ADE≌△BAF(ASA),∴AE=BF,设AE=BF=x,则BE=13﹣x,BG=x,EG=13﹣x,FG=x,在Rt△EFG中,72=(13﹣x)2+(x)2,解得x=5或8(舍弃),∴AE=BF=5.12.如图,PB为⊙O的切线,B为切点,直线PO交⊙于点E、F,过点B作PO的垂线BA,垂足为点D,交⊙O于点A,延长A0与⊙O交于点C,连接BC,AF.(1)求证:直线PA为⊙O的切线;(2)证明:OA2=OD•OP;(3)若BC=6,tan∠F=,求cos∠ACB的值.(1)证明:连接OB,如图1所示:∵PB为⊙O的切线,∴OB⊥PB,∴∠OBP=90°,∵BA⊥PF,∴AD=BD,即OP垂直平分AB,∴PA=PB,∴∠PAB=∠PBA,∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA,∴∠PAB+∠OAB=∠PBA+∠OBA=90°,即∠OAP=90°,∴OA⊥PA,∴直线PA为⊙O的切线;(2)∵∠ADO=∠OAP=90°,∠AOD=∠POA,∴△OAD∽△OPA,∴=,∴OA2=OD•OP;(3)解:连接AE,如图2所示:∵AC为直径,∴∠ABC=90°,∵OD垂直平分AB,∴OD∥BC,∴OD是△ABC的中位线,∴OD=BC=3,设DE=x,则OE=OA=OF=3+x,∵OD垂直平分AB,∴=,∴∠F=∠DAE,∴tan∠DAE=tan∠F=,∴AD=2DE=2x,在Rt△ADF中,tan∠F==,∴=,解得:x=2,∴AD=4,BC=6,OA=OE=5,在Rt△ABC中,AC=2OA=10,∴cos∠ACB===.13.如图1,在矩形ABCD中,AB=18cm,BC=24cm.在Rt△GEF中,∠GFE=90°.EF =12cm,GF=16cm.E,F两点在BC边上,GE,GF两边分别与矩形ABCD对角线BD交于M,N两点.现矩形ABCD固定不动,△GEF从点F与点B重合的位置出发,沿BC以2cm/s的速度向点C运动,点P从点F出发,在折线FG﹣GE上以4cm/s的速度向点E运动.⊙G是以G为圆心.GP的长为半径的圆.△GEF与点P同时出发,当点E到达点C 时,△GEF和点P同时停止运动.设运动的时间是t(单位:s).(1)当t=2s时,PN= 5 cm,GM=cm;(2)当△PGE为等腰三角形时,求t的值;(3)当⊙G与BD相切时,求t的值.解:(1)当t=2时,BF=2×2=4(cm),FP=2×4=8(cm),∵四边形ABCD是矩形,∴∠C=90°,AB=CD=18cm,tan∠DBC===,∵∠GFE=90°,∴∠BFN=90°=∠C,∴GF∥CD,∴△BFN∽△BCD,∴=,即=,解得:FN=3cm,∴PN=FP﹣FN=5cm;GN=GF﹣FN=16﹣3=13(cm),∵Rt△GEF中,∠GFE=90°.EF=12cm,GF=16cm,∴GE==20cm,tan∠G===,∴∠DBC=∠G,∵∠BFN=180°﹣90°=90°,∴∠DBC+∠BNF=90°,∵∠GNM=∠BNF,∴∠G+∠GNM=90°,∴∠GMN=90°,∴△GNM∽△GEF,∴=,即=,∴GM=cm,故答案为:5,;(2)由题意得:当△PGE为等腰三角形时,PG=PE,如图2所示:设PF=x,则PE=PG=(16﹣x)cm,在Rt△PEF中,由勾股定理得:122+x2=(16﹣x)2,解得:x=,∴PF=,∴t=÷4=(s);(3)由勾股定理得:BD==30cm,由(1)得:∠GMN=90°,∴GM⊥BD,∵GP是⊙G的半径,∴当⊙G与BD相切时,GM=GP,∵∠BME=∠C=90°,∠DBC=∠EBM,∴△BME∽△BCD,∴=,即=,解得:ME=(2t+12),∴GM=GE﹣ME=20﹣(2t+12)=,分两种情况:①当0<t≤4时,∵GP=16﹣4t,∴=16﹣4t,解得:t=;②当4<t≤6时,P与M重合,GP=4t﹣16,∴=4t﹣16,解得:t=;综上所述,当⊙G与BD相切时,t的值为s或s.14.如图1,已知AB是⊙O的直径,AM和BN是⊙O的两条切线,∠是⊙O的半圆弧上一动点(不与A,B重合),过点E的直线分别交射线AM、BN于D、C两点,且CB=CE.(1)求证:CD为⊙O的切线;(2)求证:AB2=4AD•BC;(3)如图2,连接OE并延长交AM于点F,连接CF.若∠ADE=2∠OFC,AD=1,求图中阴影部分的面积.(1)证明:如图1,连接OE,OC,在△BCO与△ECO中,,∴△BCO≌△ECO(SSS),∴∠OEC=∠OBC,∵BN是⊙O的切线,∴AB是⊙O的直径,∴AB⊥BN,∴∠ABC=90°,∴∠OEC=90°,∴CD为⊙O的切线;(2)证明:连接OC、OD,如图1所示:∵AM和BN是它的两条切线,∴AM⊥AB,BN⊥AB,∴AM∥BN,∴∠ADE+∠BCE=180°∵DC切⊙O于E,∴∠ODE=∠ADE,∠OCE=∠BCE,∴∠ODE+∠OCE=90°,∴∠DOC=90°,∴∠AOD+∠COB=90°,∵∠AOD+∠ADO=90°,∴∠AOD=∠OCB,∵∠OAD=∠OBC=90°,∴△AOD∽△BCO,∴=,∴OA2=AD•BC,∴(AB)2=AD•BC,∴AB2=4AD•BC;(2)解:连接OD,OC,如图2所示:∵∠ADE=2∠OFC,∴∠ADO=∠OFC,∵∠ADO=∠BOC,∠BOC=∠FOC,∴∠OFC=∠FOC,∴CF=OC,∴CD垂直平分OF,∴OD=DF,在△COD和△CFD中,,∴△COD≌△CFD(SSS),∴∠CDO=∠CDF,∵∠ODA+∠CDO+∠CDF=180°,∴∠ODA=60°=∠BOC,∴∠BOE=120°,在Rt△DAO,AD=OA,Rt△BOC中,BC=OB,∴AD:BC=1:3,∵AD=1,∴BC=3,OB=,∴图中阴影部分的面积=2S△OBC﹣S扇形OBE=2×××3﹣=3﹣π.15.如图,A(﹣5,0),B(﹣3,0)点C在y的正半轴上,∠CBO=45°,CD∥AB.∠CDA=90°,点P从点A出发,沿x轴向右以每秒1个单位长度的速度运动,运动时间为t秒.(1)当时t=1,求PC的长;(2)当∠BCP=15°时,求t的值;(3)以线段PC为直径的⊙Q随点P的运动而变化,当⊙Q与四边形ABCD的边(或边所在的直线)相切时,求t的值.解:(1)A(﹣5,0),B(﹣3,0),∴OA=5,OB=3,当t=1时,AP=1,∴OP=OA﹣AP=4,∵∠CBO=45°,∠BOC=90°,∴△BOC是等腰直角三角形,∴∠OCB=45°,OC=OB=3,∴PC===5;(2)分两种情况:如图1所示:①当P在点B的左侧时,∵∠CBO=45°,∠BCP=15°∴∠OCP=∠OCB+∠BCP=45°+15°=60°,∴∠OPC=30°,∴OP=OC=3,∴AP=OA﹣OP=5﹣3,∵点P沿x轴向右以每秒1个单位的速度运动,∴t=5﹣3,②当P在点B的右侧时,∵∠OCB=45°,∠BCP=15°∴∠OCP=∠OCB﹣∠BCP=45°﹣15°=30°,∴OP=OC=,∴AP=OA﹣OP=5﹣,∵点P沿x轴向右以每秒1个单位的速度运动,∴t=5﹣;综上所述,当∠BCP=15°时,t的值为(5﹣3)秒或(5﹣)秒;(3)如图2中,由题意知,若该圆与四边形ABCD的边相切,有以下三种情况:①当该圆与BC相切于点C时,有∠BCP=90°,从而∠OCP=45°,得到OP1=OC=3,此时AP1Q=5+3=8,∴t=8;②当该圆与CD相切于点C时,有P2C⊥CD,即点P2与点O重合,此时AP2=5,∴t=5;③当该圆与AD相切时,设P3(5﹣t,0),则Q(,),半径r2=()2+()2,作QH⊥AD于点H,则QH=,∵QH2=r2,∴()2=()2+()2,解得t=,综上所述,t的值为8秒或5秒或秒.。

2020年中考数学提优专题:《圆:切线长定理》(含答案)

2020年中考数学提优专题:《圆:切线长定理》(含答案)

《圆:切线长定理》知识梳理:(1)圆的切线长定义:经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长.(2)切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线,平分两条切线的夹角.(3)注意:切线和切线长是两个不同的概念,切线是直线,不能度量;切线长是线段的长,这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点,可以度量.(4)切线长定理包含着一些隐含结论:①垂直关系三处;②全等关系三对;③弧相等关系两对,在一些证明求解问题中经常用到.综合练习:一.选择题1.如图,已知AB为⊙O的直径,CB切⊙O于B,CD切⊙O于D,交BA的延长线于E,若AB=3,ED=2,则BC的长为()A.2 B.3 C.3.5 D.42.既有外接圆,又有内切圆的平行四边形是()A.矩形B.菱形C.正方形D.矩形或菱形3.如图所示,已知PA、PB切⊙O于A、B两点,C是上一动点,过C作⊙O的切线交PA于点M,交PB于点N,已知∠P=56°,则∠MON=()A.56°B.60°C.62°D.不可求4.已知四边形ABCD是梯形,且AD∥BC,AD<BC,又⊙O与AB、AD、CD分别相切于点E、F、G,圆心O在BC上,则AB+CD与BC的大小关系是()A.大于B.等于C.小于D.不能确定5.如图,在平行四边形ABCD中,AB=15,过点D作一圆与AB、BC分别相切于G、H,与边AD、CD相交于点E、F,且5AE=4DE,8CF=DF,则BH等于()A.5 B.6 C.7 D.86.如图,PA,PB分别切⊙O于点A和点B,C是上任一点,过C的切线分别交PA,PB于D,E.若⊙O的半径为6,PO=10,则△PDE的周长是()A.16 B.14 C.12 D.107.如图△ABC内接于⊙O,PA,PB是⊙O的两条切线,已知AC=BC,∠ABC=2∠P,则∠ACB的弧度数为()A.B.C.D.8.PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E,∠APB=54°,则∠COD=()A.36°B.63°C.126°D.46°9.如图,P A、PB分别是⊙O的切线,A、B为切点,AC是⊙O的直径,已知∠BAC=35°,∠P的度数为()A.35°B.45°C.60°D.70°10.已知:如图,AB为⊙O的直径,CD、CB为⊙O的切线,D、B为切点,OC交⊙O 于点E,AE的延长线交BC于点F,连接AD、BD.以下结论:①AD∥OC;②点E为△CDB的内心;③FC=FE;④CE•FB=AB•CF.其中正确的只有()A.①②B.②③④C.①③④D.①②④二.填空题11.如图,PA,PB分别为⊙O的切线,切点分别为A、B,PA=6,在劣弧AB上任取一点C,过C作⊙O的切线,分别交PA,PB于D,E,则△PDE的周长是.12.如图,AB为⊙O的直径,点C在AB的延长线上,CD、CE分别与⊙O相切于点D、E,若AD=2,∠DAC=∠DCA,则CE=.13.如图,四边形ABCD是正方形,以BC边为直径在正方形内作半圆O,再过顶点A作半圆O的切线(切点为F)交CD边于E,则sin∠DAE=.14.如图,AC是⊙O的直径,PA,PB是⊙O的切线,A,B为切点,AB=6,PA=5.则⊙O的半径.15.如图,PA,PB分别是⊙O的切线,A,B为切点,AC是⊙O的直径,已知∠BAC=35°,∠P的度数为.16.如图,PA、PB、EF分别切⊙O于A、B、D,若PA=10cm,则△PEF的周长是cm,若∠P=35°,则∠AOB=(度),∠EOF=(度).17.如图,正方形ABCD的边长为4,以AB为直径向正方形内作半圆,CE与DF是半圆的切线,M,N为切点,CE,DF交于点P.则AE=,△PMN的面积是.三.解答题18.如图,∠APB=52°,PA、PB、DE都为⊙O的切线,切点分别为A、B、F,且PA=6.(1)求△PDE的周长;(2)求∠DOE的度数.19.如图,P是半径为cm的⊙O外一点,PA,PB分别和⊙O切于点A,B,PA=PB =3cm,∠APB=60°,C是弧AB上一点,过C作⊙O的切线交PA,PB于点D,E.(1)求△PDE的周长;(2)若DE=cm,求图中阴影部分的面积.20.已知:AB为⊙O的直径,∠A=∠B=90°,DE与⊙O相切于E,⊙O的半径为,AD=2.①求BC的长;②延长AE交BC的延长线于G点,求EG的长.参考答案一.选择题1.解:由切割线定理,得DE2=EA•EB,∵AB=3,ED=2,∴4=AE(AE+3),解得AE=1或﹣4(舍去),∵CB切⊙O于B,∴∠B=90°,∴根据勾股定理得,BC2+42=(BC+2)2,∴BC=3.故选:B.2.解:A、矩形只有外接圆,没有内切圆,故本选项不符合题意;B、菱形只有内切圆,没有外接圆,故本选项不符合题意;C、正方形既有外接圆,也有内切圆,故本选项符合题意;D、矩形只有外接圆,没有内切圆,菱形只有内切圆,没有外接圆,故本选项不符合题意;故选:C.3.解:∠PMN+∠PNM=180°﹣∠P=124°,∠AMN+∠BNM=360°﹣124°=236°,∵MA、MC是⊙O的切线,∴∠AMO=∠CMO,∵NB、NC是⊙O的切线,∴∠BNO=∠CNO,∴∠CMO+∠CNO=(∠AMN+∠BNM)=118°,∴∠MON=180°﹣118°=62°,故选:C.4.解:连接OF,OA,OE,作AH⊥BC于H.∵AD是切线,∴OF⊥AD,易证四边形AHOF是矩形,∴AH=OF=OE,∵S△AOB=•OB•AH=•AB•OE,∴OB=AB,同理可证:CD=CO,∴AB+CD=BC,故选:B.5.解:由8CF=DF,得CF=15×=,则CH2=CF×DC,故CH=5,设BC=x,则BH=x﹣5=BG,故AG=20﹣x,又∵5AE=4DE,∴DE=x,AE=x,则AG2=AE×AD,则(20﹣x)2=x2,解得:x=12,故BH=BC﹣CH=7.故选:C.6.解:连接OA,∵PA切⊙O于A,∴∠OAP=90°,∴在Rt△OAP中,OP=10,OA=6,由勾股定理得:PA=8,∵PA,PB分别切⊙O于点A和点B,DE切⊙O于C,∴PA=PB=8,DA=DC,EB=EC,∴△PDE的周长是:PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=8+8=16,故选:A.7.解:连接OA,OB.则OA⊥AP,OB⊥PB,∴在四边形APBO中,∠P+∠AOB=180°,又∵∠AOB=2∠ACB,∠ABC=2∠P,设∠ACB=180°﹣2∠ABC=180°﹣4∠P,∴∠AOB=360°﹣8∠P,∴∠P+∠AOB=∠P+(360°﹣8∠P)=180°,∴∠P=,∴∠ACB=180﹣4×=,∴∠ACB的弧度数为.故选:A.8.解:如图,连接OA,OB,OE,∵PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E,∴∠AOC=∠EOC,同理∠BOD=∠DOE,∴∠COD=∠COE+∠DOE=∠AOB,∵∠APB=54°,∴∠AOB=126°,∴∠COD=63°.故选:B.9.解:根据切线的性质定理得∠PAC=90°,∴∠PAB=90°﹣∠BAC=90°﹣35°=55°.根据切线长定理得PA=PB,所以∠PBA=∠PAB=55°,所以∠P=70°.故选:D.10.解:连接OD,DE,EB,CD与BC是⊙O的切线,∠ODC=∠OBC=90°,OD=OB,∵OC=OC∴Rt△CDO≌Rt△CBO,∴∠COD=∠COB,∴∠COB=∠DAB=∠DOB,∴AD∥OC,故①正确;∵CD是⊙O的切线,∴∠CDE=∠DOE,而∠BDE=∠BOE,∴∠CDE=∠BDE,即DE是∠CDB的角平分线,同理可证得BE是∠CBD的平分线,因此E为△CBD的内心,故②正确;若FC=FE,则应有∠OCB=∠CEF,应有∠CEF=∠AEO=∠EAB=∠DBA=∠DEA,∴弧AD=弧BE,而弧AD与弧BE不一定相等,故③不正确;设AE、BD交于点G,由②可知∠EBG=∠EBF,又∵BE⊥GF,∴FB=GB,由切线的性质可得,点E是弧BD的中点,∠DCE=∠BCE,又∵∠MDA=∠DCE(平行线的性质)=∠DBA,∴∠BCE=∠GBA,而∠CFE=∠ABF+∠FAB,∠DGE=∠ADB+∠DAG,∠DAG=∠FAB(等弧所对的圆周角相等),∴∠AGB=∠CFE,∴△ABG∽△CEF,∴CE•GB=AB•CF,又∵FB=GB,∴CE•FB=AB•CF故④正确.因此正确的结论有:①②④.故选:D.二.填空题(共7小题)11.解:∵PA,PB分别为⊙O的切线,∴PA=PB,同理,DA=DC,EB=EC.∴△PDE的周长=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PD+AD+PE+BE=PA+PB=2PA=2×6=12.故答案是:12.12.解:∵CD、CE分别与⊙O相切于点D、E,∴CD=CE,∵∠DAC=∠DCA,∴AD=CD,∴AD=CE,∵AD=2,∴CE=2.故答案为:2.13.解:设正方形ABCD的边长为4a,EC=x,∵AF为半圆O的切线,∴AF=AB=4a,EC=EF=x,在Rt△ADE中,DE=4a﹣x,AE=4a+x,∴AE2=AD2+DE2,即(4a+x)2=(4a)2+(4a﹣x)2,解得x=a,∴AE=5a,DE=3a,在Rt△ADE中,sin∠DAE===.故答案为.14.解:连接OP,OB,∵AP为⊙O切线,PB为⊙O切线,∴PA=PB,∵∠APO=∠BPO,PG=PG,∴△APG≌△BPG,∴∠PGA=90°,∵△APO为直角三角形,∠APG=∠APG,∴△PGA∽△PAO,根据垂径定理,得到AG=GB,在R t△PAG中,PG==4,∵△PGA∽△AGO,∴=,∴=,∴AO=.故答案为:.15.解:∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA,∵∠BAC=35°,∴∠AOB=110°,∵PA,PB分别是⊙O的切线,∴∠PAO=∠PBO=90°,∵∠P+∠AOB+∠PAO+∠PBO=360°,∴∠P=70°.故答案为:70°.16.解:∵PA、PB、EF分别切⊙O于A、B、D,∴PA=PB=10cm,ED=EA,FD=DB,∴PE+EF+PF=PE+ED+PF+FD=PA+PB=20(cm);∵PA、PB为⊙O的切线,∴∠PAO=∠PBO=90°,而∠P=35°,∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣35°=145°;连OD,如图,∴∠ODE=∠ODF=90°,易证得Rt△OAE≌Rt△ODE,Rt△OFD≌Rt△OFB,∴∠1=∠2,∠3=∠4,∴∠2+∠3=∠AOB=72.5°,∠EOF=72.5°.故答案为20;145;72.5.17.解:(1)由切线长定理知:AE=EM,CM=CB;∵CD=CB,∴CM=CD=4.设AE=EM=x,则DE=4﹣x,CE=CM+EM=4+x;在Rt△CDE中,由勾股定理得:(4﹣x)2+42=(4+x)2,解得x=1;故AE=1.(2)同(1)可求得BF=FN=1,则DF=CE=5,DE=CF=3;则可证得Rt△CDE≌Rt△DCF;∴∠DCP=∠CDP,即DP=CP,∴PM=PN;故△DPC∽△NPM,且MN∥CD;设MN所在直线与AD、BC的交点为R、T,则MR⊥AD,NT⊥BC;在Rt△MRE中,ME=1,则ER=ME•cos∠DEC=,MR=ME•sin∠DEC=;过P作PG⊥MN于G,则RG=GT=2,MG=2﹣RM=;易知RE∥PG,则△REM∽△GPM,∴=()2=;∵S△REM=MR•RE=××=,∴S△PMG=×=,故S△PMN=2S△PMG=.三.解答题(共3小题)18.解:(1)∵PA、PB、DE都为⊙O的切线,∴DA=DF,EB=EF,PA=PB=6,∴DE=DA+EB,∴PE+PD+DE=PA+PB=12,即△PDE的周长为12;(2)连接OF,∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、F三点,∴OB⊥PB,OA⊥PA,∠BOE=∠FOE=∠BOF,∠FOD=∠AOD=∠AOF,∵∠APB=52°,∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣52°=128°,∴∠DOE=∠FOE+∠FOD=(∠BOF+∠AOF)=∠BOA=64°.19.解:(1)∵PA、PB、DE是⊙O的切线,∴PA=PB=3cm,CE=BE,AD=DC,∴△PDE的周长=PE+DE+PD=PE+CE+CD+PD=PE+BE+AD+PD=PA+PB=3cm+3cm=6cm;(2)连接OB、OA、OE,OD,如图,∵PA、PB、OC是⊙O的切线,∴OB⊥PB,OA⊥PA,OC⊥DE,∴∠OBP=∠OPA=90°,∵∠APB=60°,∴∠BOA=120°,∵BE=CE,DC=DA,∴S△OCE=S△OBE,S△OCD=S△ODA,∴S五边AOBED=2S△ODE=2×××=4,∴图中阴影部分的面积=S五边AOBED﹣S扇形AOB=4﹣=(4﹣π)cm2.20.解:①过点D作DF⊥BC于点F,∵AB为⊙O的直径,∠A=∠B=90°,∴四边形ABFD是矩形,AD与BC是⊙O的切线,∴DF=AB=2,BF=AD=2,∵DE与⊙O相切,∴DE=AD=2,CE=BC,设BC=x,则CF=BC﹣BF=x﹣2,DC=DE+CE=2+x,在Rt△DCF中,DC2=CF2+DF2,即(2+x)2=(x﹣2)2+(2)2,解得:x=,即BC=;②∵AB为⊙O的直径,∠A=∠B=90°,∴AD∥BC,∴△ADE∽△GCE,∴AD:CG=DE:CE,AE:EG=AD:CG,∵AD=DE=2,∴CG=CE=BC=,∴BG=BC+CG=5,∴AE:EG=4:5,在Rt△ABG中,AG==3,∴EG=AG=.。

中考数学知识点过关培优训练:切线长定理(圆)(解析版)

中考数学知识点过关培优训练:切线长定理(圆)(解析版)

1. 2. 3. 4. 中考数学知识点过关培优训练:切线长定理•选择题 如图,是用一把直尺、 含60°角的直角三角板和光盘摆放而成, 点,点B 为光盘与直尺唯一交点,若 AB= 3,则光盘的直径是( C. 6 点A 为60°角与直尺交D. 3如图,AB 是O O 的直径,点 C 为O O 外一点,CA CD 是O 0的切线, OA. 32 ,则/ DBA 勺大小是(B. 48°C. 60° PA PB 切O 0于点 A B, PA= 10, CD 切O O 于点 E , 如图, C. 20 交PA A D 为」切点,连接D. 66°PB 于 C D 两点,则D. 22PB CD 分别切O O 于A 、B E, CD 交PA PB 于C D 两点,若/ P = 40°,则如图,PAA.50°B. 62C. 66D.70°5.如图,AB AC BD是O O的切线,切点分别是P、C D.若AB= 5, AC= 3, 则BD的长是A. 4B. 3C. 2D. 16.已知O Oi和O Q外切于M AB是O O和O Q的外公切线, A, B为切点,若MA= 4cm MB=3cm贝y M到AB的距离是(A. cm2B.匕cm5 C.cm D.4825cm7.如图,P为O O外一点,PA PB分别切O B,CD切O O于点E,分别交PA PB于A. 5B. 7C.D.10&如图,直线AB CD BC分别与O O相切于E F、G且AB// CD 若OB= 6cm OC= 8cmB. 12C. 11D. 109.如图,△ ABC是一张周长为17 cm的三角形的纸片, BC= 5cm O O是它的内切圆,小明准备用剪刀在O O的右侧沿着与O O相切的任意一条直线MN剪下△AMN则剪下的三角形的周长为(B. 7cmD.随直线MN的变化而变化10.如图,PA PB 切于A , B 两点,CD 切O O 于点E ,交PAPB 于C D.若O O 的半径为1, △ PCD 勺周长等于2二,则线段AB 的长是( ).填空题11.如图,PA PB DE 分别切O O 于A B 、C, O O 的半径为6cm , OP 的长为10cm,则厶PDE12.如图,P 为O O 外一点,PA PB 分别切O O 于A B, CD 切O O 于点E,分别交 PA PB13.如图,四边形 ABCD 是O O 的外切四边形,且 AB= 10, CD= 12,则四边形 ABC 啲周长C. 6cmC. 2 -A. 12cm14•如图,PA PB切O O于A B,点C在上, DE切O O于C,交PA PB于D E已知C D,已知△15.如图,PA PB分别切圆O于A B,并与圆O的切线,分别相交于周长等于10cm贝U PA= _______ cmN、P,且16.如图,四边形ABC[的边AB BC CD DA和O O分别切于L、MCD= 5cm,则四边形ABCC周长为_______ cm18.如图,已知以直角梯形ABCD勺腰CD为直径的半圆O与梯形上底均相切,切点分别是D, C, E.若半圆O的半径为2,梯形的腰AB为5,则该梯形的周长19.已知:PA PB EF分别切O O于A B、D,若PA= 15cm那么△PEF周长是cm.若/ P= 50°,那么/ EOF= ________ .20.如图所示,O D的半径为3, A是圆D外一点且AD= 5, AB, AC分别与O D相切于点B,C. G是劣弧BC上任意一点,过G作O D的切线,交AB于点E,交AC于点F.(1 )△ AEF的周长是______ ;(2)当G为线段AD与O D的交点时」,连结CD则五边形DBEFC的面积是__________ .三•解答题21.如图,PA PB是O O的切线,A、B为切点,AC是O O的直径,/ BAC= 20°,求/ P的CD切O O于点E △ PCD的周长为12,/ AP申60° .求:(1) PA的长;(2)Z COD勺度数.23.如图,AB为O O直径,PA PC分别与O O相切于点A C, PQL PA PQ交OC的延长线于点Q.(1)求证:OQ= PQ(2 )连BC并延长交PQ于点D, PA= AB,且CQ= 6,求BD的长.24.如图,/ APB= 52°, PA PB DE都为O O的切线,切点分别为A、B、F,且PA= 6.(1 )求厶PDE的周长;(2)求/ DOE勺度数.25.已知PA PB分别切O O于A、B, E为劣弧AB上一点,过E点的切线交PA于C、交PB于D.(1 )若PA= 6,求厶PCD勺周长.(2)若/ P= 50° 求/ DOC26•如图所示,PA PB 是O O 的切线,切点分别是 A B, Q 为O O 上一点,cQ 点作O O 的参考答案1解:设三角板与圆的切点为C,连接OA OBAB由,切线长定理知AB= AC= 3, 0A平分/ BAC•••/ OAB= 60°,在Rt △ ABO中, OB= AB an / OAB= 3 二•光盘的直径为 6 _,故选:A.2 .解:T CA CD是O O的切线,•••CA= CD•••/ ACD= 48°,• / CAD=/ CDA= 66°,•••CALAB AB是直径,•••/ ADB=Z CAB= 90°,•••/ DBA/ DA申90。

2020-2021学年九年级数学北师大版下册 第三章 圆 3.7 切线长定理 复习练习含答案

2020-2021学年九年级数学北师大版下册 第三章 圆  3.7  切线长定理  复习练习含答案

第三章圆 3.7 切线长定理1.如图,PA、PB切⊙O于点A、B,OP交⊙O于点C,下列结论错误的是( )A.∠1=∠2 B.PA=PB C.AB⊥OP D.PA=AB2.如图,从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB,切点分别为A、B.如果∠APB =60°,PA=8,那么弦AB的长是( )A.4 B.8 C.4 3 D.8 33.如图,PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点,若∠C=65°,则∠P的度数为( )A.65° B.130° C.50° D.100°4.在△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4,则它的内切圆的半径是( ) A.1 B.2 C.3 D.45. 如图,PA、PB是⊙O的切线,A、B为切点,AC是⊙O的直径.若∠P=46°,则∠BAC等于( )A.21 B.22 C.23 D.256.如图所示,若△ABC的边长分别为AB=9,BC=5,CA=6,△ABC的内切圆O切AB 、BC 、AC 于D 、E 、F ,则AF 的长为( ) A .6 B .5 C .4 D .37.如图,PA 、PB 为圆O 的切线,切点分别为A 、B ,PO 交AB 于点C ,PO 的延长线交圆O 于点D ,下列结论不一定成立的是()A .PA =PB B .∠BPD =∠APDC .AB ⊥PD D .AB 平分PD 8.平面内,⊙O 的半径为1,点P 到O 的距离为2,过点P 可作⊙O 的切线条数为( )A .0条B .1条C .2条D .无数条9.如图,Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AC =4,BC =6,以斜边AB 上的一点O 为圆心所作的半圆分别与AC 、BC 相切于点D 、E ,则AD 为()A .2.5B .1.6C .1.5D .110. 如图,小明同学测量一个光盘的直径,他只有一把直尺和一块三角板,他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上,并量出AB =3cm ,则此光盘的直径是cm.11.如图,Rt △ABC 的内切圆⊙O 与两直角边AB 、BC 分别相切于点D 、E ,过劣弧DE ︵(不包括端点D 、E)上任一点作⊙O 的切线MN 与AB 、BC 分别交于点M 、N.若⊙O 的半径为r ,则Rt △MBN 的周长为 .12.如图,已知AB 为⊙O 的直径,AB =2,AD 和BE 是圆O 的两条切线,A 、B 为切点,过圆上一点C 作⊙O 的切线CF ,分别交AD 、BE 于点M 、N ,连接AC 、CB.若∠ABC =30°,则AM=.13. 如图所示,在△ABC 中,∠C =90°,AC =8,AB =10,点P 在AC 上,AP =2,若⊙O 的圆心在线段BP 上,且⊙O 与AB 、AC 都相切,则⊙O 的半径是 .14. 如图,PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点,∠P =40°,则∠C= .15.如图,△ABC 的内切圆分别与BC 、AC 、AB 相切于点D 、E 、F ,且AB =9 cm ,BC =14 cm ,AC =13 cm ,求AF 、BD 、CE 的长.16. 如图所示,P 是⊙O 外一点,PA 、PB 分别和⊙O 切于A 、B 两点,PA =PB =4cm ,∠P =40°,C 是AB ︵上任意一点,过点C 作⊙O 的切线,分别交PA 、PB 于点D 、E.求:(1)△PDE 的周长;(2)∠DOE 的度数.17.已知△ABC 的内切圆⊙O 与AB 、BC 、AC 分别相切于点D 、E 、F ,若EF ︵=DE ︵,如图1.(1)判断△ABC 的形状,并证明你的结论;(2)设AE 与DF 相交于点M ,如图2,AF =2FC =4,求AM 的长.18.如图①,直线y =-34x +3与x 轴相交于点A ,与y 轴相交于点B ,点C(m ,n)是第二象限内一点,以点C 为圆心的圆与x 轴相切于点E ,与直线AB 相切于点F.(1)当四边形OBCE是矩形时,求点C的坐标;(2)如图②,若⊙C与y轴相切于点D,求⊙C的半径.19.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,内切圆⊙I与BC相切于点D,∠BIC =105°,AB=8 cm,求:(1)∠IBA和∠A的度数;(2)BC和AC的长;(3)内切圆⊙I的半径和BI的长.20. 如图,直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G,且AB∥CD,OB=6 cm,OC=8 cm.求:(1)∠BOC的度数;(2)BE+CG的长;(3)⊙O的半径.答案:1-9 DBCAC BDCB10. 6 311. 2r12.3 313. 114. 70°15. 解:∵⊙O为△ABC内切圆,∴AF=AE,BF=BD,CD=CE,又∵AB=9 cm,BC=14 cm,AC=13 cm,∴C△ABC=36 cm,∴AF=AE=(C△ABC-BF-BD-CD-CE)÷2=(C△ABC-2BC)÷2=4 cm,同理可得:BD=(C△ABC-2AC)÷2=5 cm,CE=(C△ABC-2AB)÷2=9 cm.15.解: (1)如图所示,连接OA、OB、OC.∵PA、PB、DE分别是⊙O的切线,A、B、C为切点,∴OA⊥PA,OB⊥PB,OC⊥DE.∴DA=DC,EB=EC.16.∴DE=DC+CE=DA+EB.17.∴△PDE的周长=PD+PE+DE=PD+PE+DA+EB=PA+PB=4+4=8(cm);(2)∵PA、PB为⊙O的切线,∴∠PAO=∠PBO=90°.在四边形APBO中,∠AOB=180°-∠P=140°.∵DA、DC为⊙O的切线,∴DA=DC,∠ADO=∠CDO.又∵DO=DO,∴△ADO≌△CDO.∴∠1=∠2,同理,∠3=∠4.∴∠DOE=∠2+∠3=12∠AOB=12×140°=70°.17. 解:(1)△ABC为等腰三角形,∵△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D 、E 、F ,∴∠CFO =∠CEO =∠BDO =∠BEO =90°,∵四边形内角和为360°,∴∠EOF +∠C =180°,∠DOE +∠B =180°,∵EF ︵=DE ︵,∴∠EOF =∠DOE ,∴∠B =∠C ,AB =AC ,∴△ABC 为等腰三角形;(2)连接OB 、OC 、OD 、OF ,如图,∵等腰三角形ABC 中,AE ⊥EC ,∴E 是BC 中点,BE =CE ,∵在Rt △AOF 和Rt △AOD 中,⎩⎪⎨⎪⎧OD =OF OA =OA,∴Rt △AOF ≌Rt △AOD ,∴AF =AD ,同理Rt △COF ≌Rt △COE ,CF =CE =2,Rt △BOD ≌Rt △BOE ,BD =BE ,∴AD =AF ,BD =CF ,∴DF ∥BC,∴AM AE =AF AC =23,∵AE =AC 2-CE 2=42,∴AM =23AE =42×23=823.18. 解:(1)连接CB 、CE 、CF 、AC ,则∠BAC =∠EAC =∠BCA ,∴AB =BC =5, CE =OB =3,∴C 的坐标为(-5,3);(2)连接CD 、CE 、CF ,∵∠CEO =∠CDO =90°,又∠DOE =90°,∴四边形CEOD 为矩形,又∵CE =CD ,得正方形CEOD ,∴CE =DO =R ,又BO =3,∴BD =3-R ,∵BF 、BD 为切线,∴FB =BD =3-R ,同理AE =AF ,即R +4=3-R +5,∴R =2. 19. 解:(1)连接ID.∵∠ICD =12∠ACB =45°,ID ⊥BC ,∴∠CID =45°,又∵∠BIC =105°,∴∠BID =60°,∴∠IBA =∠IBD =30°,∴∠A =30°; (2)∵在Rt △ABC 中,∠A =30°,AB =8 cm ,∴BC =4 cm ,AC =4 3 cm ; (3)∵在Rt △BID 中,ID 2+BD 2=IB 2,r 2+(4-r)2=(2r)2,解得r =(23-2) cm ,BI =(43-4) cm ,内切圆⊙I 的半径为(23-2) cm. 20. 解:(1)连接OF ;根据切线长定理得:BE =BF ,CF =CG ,∠OBF =∠OBE ,∠OCF =∠OCG ;∵AB ∥CD ,∴∠ABC +∠BCD =180°,∴∠OBF+∠OCF=90°,∴∠BOC=90°;(2)由(1)知,∠BOC=90°.∵OB=6 cm,OC=8 cm,∴由勾股定理得到:BC=OB2+OC2=10 cm,∴BE+CG=BC=10 cm;(3)∵OF⊥BC,∴OF=OB·OCBC=4.8 cm.。

切割线定理习题

切割线定理习题

回顾旧知:P 点从圆内向圆外移动时结论 :PA PB=PC ・PD 就是否成立?您能给出合理得证明吗? 三、练习:(1)已知 PAB 、PCD 就是圆 0 得割线,PA=5 , AB=3 ,CD=3,贝U PC= _____⑵已知PT 就是圆O 得切线,PA=4, PT=6 ,则圆O 得面积= ________⑶已知:圆、圆相交于 A 、B, P 就是BA 延长线上得一点,PCD 就是圆得割线,PEF 就是圆得害熾,求证:PC ?PD=PE? PF巩固加深一、选择题洪15小题)1•如图,PAB 为割线且 PA=AB,PO 交O O 于C,若OC=3,OP=5,则AB 得长为()A 、B 、C 、D 、2. 如图,OO 得割线 PAB 交 O O 于点 A,B,PA=14cm,AB=1Ocm,PO=2Ocm,3•如图,已知O O 得弦AB 、CD 相交于点P,PA=4cm,PB=3cm,PC=6cm,EA 切O O 于点A,AE 与 CD 得延长线交于点 E 若AE=cm,则PE 得长为()切割线定理则O O 得半径就是 ( )A 、 8cmB 、 10cmC 、 12cmD 、 14cmA 、 4cmB 、 3cmC 、 5cmcm请结合以上得两图写出相交弦定理及推论得内容 相交弦定理: __________________________________ 二、探索发现:4•如图,O 01与O 02相交于A、B两点,PQ切O 01于点P交O 02于点Q、M,交AB得延长线于点N.若MN=1,MQ=3,贝U NP等于()A 、1B 、C、2 D 、3第4题第5题第7题5•如图,PAB、PCD就是O O得两条割线,PA=3,AB=5,PC=4,则CD等于()A、6B、3C、D、6•已知PA就是O 0得切线,A为切点,PBC就是过点0得割线,PA=10cm,PB=5cm,则O 0得半径长为()A、15cmB、10cmC、7、5cmD、5cm7.(2004?锦州)如图,O 0与O0都经过点A与点B,点P在BA得延长线上,过P作O 0得割线PCD 交O O于C、D,作OO得切线PE切OO于E,若PC=4,CD=5,则PE等于()A、6B、2C、20D、368•如图O O得两条弦AB、CD相交于点E,AC与DB得延长线交于点P下列结论中成立得就是()A、CE?CD=BE ?BAB、CE?AE=BE ?DEC、PC?CA=PB ?BDD、PC?PA=PB?PD第8题第10题第11题9•已知AB为O O得直径,C为AB得延长线上一点,过C得直线与相切于点D,若BC=2,CD=4, 则O 0得半径长就是()A、3B、6C、8D、无法计算10.如图,已知O 01、O 02相交于A、B两点,且点01在O 02上,过A作O01得切线AC交B01得延长线于点P交O 02于点C,BP交O01于点D,若PD=1,PA=,则AC得长为()A、B、C、D、11.如图,PT就是外切两圆得公切线,T为切点,PAB,PCD分别为这两圆得割线•若PA=3,PB=6,PC=2, 则PD 等于()A、12B、9C、8D、412.如图,在Rt△ ABC中,AC=5,BC=12, O 0分别与边AB,AC相切,切点分别为E,C,则O 0得半径就是()A、B、C、D、第12题第13题第14题13•如图,已知PAC为O 0得割线,连接P0交O 0于B,PB=2,OP=7,PA=AC,贝U PA得长为(A、B、 2 C、D、 314.如图,PA,PB为O O得切线,A,B分别为切点,/APB=60 :点P到圆心O得距离OP=2,则O O 得半径为()A、B、1 C、D、215.(2007?双柏县)如图,已知PA就是O O得切线,A为切点,PC与O O相交于B、C两点,PB=2cm,BC=8cm,则PA 得长等于()A、4cmB、16cmC、20cmD、2cm二、填空题洪15小题)(除非特别说明,请填准确值)16.(2003?泸州)如图,O O1与O O2相交于C、D两点,O O1得割线PAB与DC得延长线交于点P,PN 与O O2 相切于点N,若PB=10,AB=6,贝U PN= ____________ .第16题第17题第18题17.如图,PA BO O于点A,割线PBC交O O于点B、C,若PA=6,PB=4,弧AB得度数为60。

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《圆:切割线定理》知识梳理:(1)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.几何语言:∵PT切⊙O于点T,PBA是⊙O的割线∴PT的平方=PA•PB(切割线定理)(2)推论:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.几何语言:∵PBA,PDC是⊙O的割线∴PD•PC=PA•PB(切割线定理推论)(割线定理)由上可知:PT2=PA•PB=PC•PD.一.选择题1.如图,P是⊙O的直径BC延长线上一点,PA切⊙O 于点A,若PC=2,BC=6,则切线PA的长为()A.无限长B.C.4 D.2.如图,PT是⊙O的切线,T为切点,PBA是割线,交⊙O于A、B两点,与直径CT交于点D,已知CD=2,AD=3,BD=4,那么PB等于()A.6 B.C.7 D.203.设H为锐角△ABC的三条高AD、BE、CF的交点,若BC=a,AC=b,AB=c,则AH•AD+BH•BE+CH•CF 等于()A.(ab+bc+ca)B.(a2+b2+c2)C.(ab+bc+ca) D.(a2+b2+c2)4.如图,MN切⊙O于A点,AC为弦,BC为直径,那么下列命题中假命题是()A.∠MAB和∠ABC互余B.∠CAN=∠ABC C.OA=BC D.MA2=MB•BC5.如图,以OB为直径的半圆与半圆O交于点P,A、O、C、B在同一条直线上,作AD⊥AB与BP的延长线交于点D,若半圆O的半径为2,∠D的余弦值是方程3x2﹣10x+3=0的根,则AB的长等于()A.B.C.8 D.56.如图,AB是⊙O直径,AC是⊙O的弦,过弧BC 的中点D作AC的垂线交AC的延长于E,若DE=2,EC=1,则⊙O的直径为()A. B.C.5 D.47.如图,过点P作⊙O的两条割线分别交⊙O于点A、B和点C、D,已知PA=3,AB=PC=2,则PD的长是()A.3 B.7.5 C.5 D.5.58.如图,已知⊙O的弦A B、CD相交于点P,PA=4cm,PB=3cm,PC=6cm,EA切⊙O于点A,AE与CD的延长线交于点E,若AE=cm,则PE的长为()A.4cm B.3cm C.5cm D.cm9.如图,⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,PQ切⊙O1于点P,交⊙O2于点Q、M,交AB的延长线于点N.若MN=1,MQ=3,则NP等于()A.1 B.C.2 D.310.同心圆O中,大圆的弦EF切小圆于K,EP切小圆于P,FQ切小圆于Q,G为小圆上一点,GE、GF 分别交小圆于M、N两点,下列四个结论:①EM=MG;②FQ2=FN•NG;③EP=FQ;④FN•FG=EM•EG.正确的结论为()A.①③B.②③C.③④D.②④二.填空题11.如图,AB为⊙O的直径,P点在AB的延长线上,PM切⊙O于点M.若OA=a,PM=,那么△PMB 的周长是.12.已知:如图,PC切⊙O于点C,割线PAB经过圆心O,弦CD⊥AB于点E,PC=4,PB=8,则PA =,sin∠P=,CD=.13.如图,PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B,AC 是⊙O的直径,PC交⊙O于点D,已知∠APB=60°,AC=2,那么CD的长为.14.如图,PA切⊙O于点A,割线PBC交⊙O于点B、C,若PA=6,PB=4,弧AB的度数为60°,则BC =,∠PCA=度,∠PAB=度.15.如图,已知ABCD是一个半径为R的圆内接四边形,AB=12,CD=6,分别延长AB和DC,它们相交于点P,且BP=8,∠APD=60°,则R=.16.如图,AC为⊙O的直径,PA是⊙O的切线,切点为A,PBC是⊙O的割线,∠BAC的平分线交BC于D 点,PF交AC于F点,交AB于E点,要使AE=AF,则PF应满足的条件是(只需填一个条件).17.由⊙O外一点F作⊙O的两条切线,切点分别为B、D,AB是⊙O的直径,连接AD、BD,线段OF交⊙O 于E,交BD于C,连接DE、BE.有下列序号为①~④的四个结论:①BE=DE;②∠EBD=∠EDB;③DE∥AB;④BD2=2AD•FC其中正确的结论有.(把你认为正确结论的序号全部填上)三.解答题18.已知:如图,在△ABC中,∠C=90°,BE是角平分线,DE⊥BE交AB于D,⊙O是△BDE的外接圆.(1)求证:AC是⊙O的切线;(2)若AD=6,AE=6,求DE的长.19.如图,圆O是以AB为直径的△ABC的外接圆,D 是劣弧的中点,连AD并延长与过C点的切线交于点P,OD与BC相交于E;(1)求证:OE=AC;(2)求证:;(3)当AC=6,AB=10时,求切线PC的长.20.如图,OB是以(O,a)为圆心,a为半径的⊙O1的弦,过B点作⊙O1的切线,P为劣弧上的任一点,且过P作OB、AB、OA的垂线,垂足分别是D、E、F.(1)求证:PD2=PE•PF;(2)当∠BOP=30°,P点为的中点时,求D、E、F、P四个点的坐标及S△DEF.参考答案一.选择题1.解:∵PC=2,BC=6,∴PB=8,∵PA2=PC•PB=16,∴PA=4.故选:C.2.解:∵TD•CD=AD•BD,CD=2,AD=3,BD=4,∴TD=6,∵PT2=PD2﹣TD2,∴PT2=PB•PA=(PD﹣BD)(PD+AD),∴PD=24,∴PB=PD﹣BD=24﹣4=20.故选:D.3.解:AH•AD=AC•AE=AC•AB•cos∠BAE=(b2+c2﹣a2),同理BH•BE=(a2+c2﹣b2),CH•CF=(a2+b2﹣c2),故AH•AD+BH•BE+CH•CF=(a2+b2+c2).故选:B.4.解:∵BC是⊙O的直径,∴∠BAC=90°,∴∠MAB+∠CA N=90°;∵MN切⊙O于A,∴MA2=MB•MC,(故D错误)∠CAN=∠CBA,(故B正确)∴∠MAB+∠CBA=90°;(故A正确)∵OA是⊙O的半径,BC是⊙O的直径,∴BC=2OA;(故C正确)故选:D.5.解:∵3x2﹣10x+3=0,∴x=3(不合题意,舍去)或x=.∴cosD=AD:BD=1:3,设A D=x,则BD=3x.∴AB==2x,BC=2x﹣4.∴(2x)2=(2x﹣4)•x.∴x=0(舍去),或x=2.∴AB=2×2=8.故选:C.6.解:连接OD,∵点D是弧BC的中点,∴OD⊥BC,∠OFC=90°,AB是直径,∴∠ACB=90°,DE⊥AE,∴∠E=90°,∴四边形CFDE是矩形,∴∠ODE=90°,∴ED是圆的切线.作OG⊥AC,则OG=CF=ED=2.∵DE2=EC•AE,∴AE=4,AC=3,AG=,∴AO=,∴AB=5.故选:C.7.解:∵PA=3,AB=PC=2,∴PB=5,∵PA•PB=PC•PD,∴PD=7.5,故选:B.8.解:∵PA•PB=PC•PD,PA=4cm,PB=3cm,PC=6cm,∴PD=2;设DE=x,∵AE2=ED•EC,∴x(x+8)=20,∴x=2或x=﹣10(负值舍去),∴PE=2+2=4.故选:A.9.解:∵PN2=NB•NA,NB•NA=NM•NQ,∴PN2=NM•NQ=4,∴PN=2.故选:C.10.解:连接OK,∵EF切小圆于K,∴OK⊥EF,根据垂径定理得EK=FK,∵EP切小圆于P,FQ切小圆于Q,∴EP=EK,FQ=FK,∴EP=FQ,故③正确;∴由切割线定理得,FK2=FN•FG,EK2=EM•EG,∴FN•FG=EM•EG,故④正确;故选:C.二.填空题(共7小题)11.解:连接OM;∵PM切⊙O于点M,∴∠OMP=90°,∵OA=OM=a,PM=,∴tan∠MOP=MP:OM=,∴∠MOP=60°,∴OP=2a,∴PB=OP﹣OB=a;∵OM=OB,∴△OMB是等边三角形,MB=OB=a,∴△PMB的周长是(+2)a.12.解:∵PC切⊙O于点C,割线PAB经过圆心O,PC=4,PB=8,∴PC2=PA•PB.∴PA==2.∴AB=6.∴圆的半径是3.连接OC.∵OC=3,OP=5,∴sin∠P=.∴CE=,∴CD=.13.解:连接AD,OB,OP;∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B,∴∠OAP=∠OBP=90°,∠AOB=180°﹣∠P=120°,∴∠AOP=60°,AP=AOtan60°=,∴PC=;∵PA2=PD•PC,∴PD=,∴CD=.14.解:∵PA2=PB•PC,PA=6,PB=4;∴PC=9,∴BC=5;∵弧AB的度数为60°,∴∠PCA=30°,∴∠PAB=30°.15.解:由切割线定理得PB•PA=PC•PD,则有8×20=PC(PC+6).解得PC=10.在△PAC中,由PA=2PC,∠APC=60°,得∠PCA=90°.从而AD是圆的直径.由勾股定理,得AD2=AC2+CD2=(PA2﹣PC2)+CD2=202﹣102+62=336.∴AD==4∴R=AD=2.故答案为2.16.解:∵∠PAC=90°,∠ABC=90°,∴90°﹣∠AFP=90°﹣∠BEP,∴∠APF=∠CPF,∴PF平分∠APC.17.解:∵BF,DF是⊙O的两条切线∴OF是∠DFB的角平分线,DF=FB,FO⊥BD,CD=CB∴=∴BE=DE(①正确)∵=∴∠EBD=∠EDB(②正确)∵FB切⊙O于B∴FB⊥OB∵BC⊥OF∵BC2=OC•FC∴(BD)2=OC•CE∵OC为△ABD的中位线∴OC=AD∴(BD)2=AD•CE∴BD2=2AD•FC(④正确)故其中正确的结论有①②④.三.解答题(共3小题)18.(1)证明:连接OE;(1分)∵⊙O是△BDE的外接圆,∠DEB=90°,∴BD是⊙O的直径,(不证直径,不扣分)∵BE平分∠ABC,∴∠CBE=∠OBE,∵OB=OE,∴∠OBE=∠OEB,(2分)∴∠OEB=∠CBE,∴OE∥BC,(3分)∵∠C=90°,∴∠AEO=90°,∴AC是⊙O的切线;(4分)(2)解:∵AE是⊙O的切线,AD=6,AE=6,∴AE2=AD•AB,(5分)∴AB===12,∴BD=AB﹣AD=12﹣6=6;∵∠AED=∠ABE,∠A=∠A,∴△AED∽△ABE,(6分)∴;设DE=x,BE=2x,∵DE2+BE2=BD2,(7分)∴2x2+4x2=36,解得x=±(负的舍去),∴DE=2.(8分)19.(1)证明:∵AB为直径∴∠ACB=90°∴AC⊥BC又D为中点,∴OD⊥BC,OD∥AC,又O为AB中点,∴;(4分)(2)证明:连接CD,PC为切线,由∠PCD=∠CAP,∠P为公共角,∴△PCD∽△PAC,(6分)∴,又CD=BD,∴;(8分)(3)解:∵AC=6,AB=10,∴BC=8,BE=4,OE=3,∴DE=2,∴BD2=DE2+BE2=20,(9分)∴AD2=AB2﹣BD2=80,∴AD=4,(10分)CD=BD=2,由(2),∴,(11分)∴CP2=DP•AP=45×5,∴切线PC=15.(12分)20.(1)证明:连接PB,OP,∵PE⊥AB,PD⊥OB,∴∠BEP=∠PDO=90°,∵AB切⊙O1于B,∠ABP=∠BOP,∴△PBE∽△POD,∴=,同理,△OPF∽△BPD∴=,∴=,∴PD2=PE•PF;(2)解:连接O1B,O1P,∵AB切⊙O1于B,∠POB=30°,∴∠ABP=30°,∴∠O1BP=90°﹣30°=60°,∵O1B=O1P,∴△O1BP为等边三角形,∴O1B=BP,∵P为弧BO的中点,∴BP=OP,即△O1PO为等边三角形,∴O1P=OP=a,∴∠O1OP=60°,又∵P为弧BO的中点,∴O1P⊥OB,在△O1DO中,∵∠O1OP=60°O1O=a,∴O1D=a,OD=a,过D作DM⊥OO1于M,∴DM=OD=a,OM=DM=a,∴D(﹣a,a),∵∠O1OF=90°,∠O1OP=60°∴∠POF=30°,∵PE⊥OA,∴PF=OP=a,OF=a,∴P(﹣a,),F(﹣a,0),∵AB切⊙O1于B,∠POB=30°,∴∠ABP=∠BOP=30°,∵PE⊥AB,PB=a,∴∠EPB=60°∴PE=a,BE=a,∵P为弧BO的中点,∴BP=PO,∴∠PBO=∠BOP=30°,∴∠BPO=120°,∴∠BPE+∠BPO=120°+60°=180°,即OPE三点共线,∵OE=a+a=a,过E作EM⊥x轴于M,∵AO切⊙O1于O,∴∠EOA=30°,∴EM=OE=a,OM=a,∴E(﹣a,a),∵E(﹣a,a),D(﹣a,a),∴DE=﹣a﹣(﹣a)=a,DE边上的高为:a,∴S△DEF=×a×a=a2.故答案为:D(﹣a,a),E(﹣a,a),F(﹣a,0),P(﹣a,);S△DEF=a2.。

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