第四章线性方程组与向量组的线性相关性
第四章 线性方程组与向量组的线性相关性(第一讲)
§1 消元法与线性方程组的相容性
1.1 线性方程组的相容性与 线性方程组的相容性与Cramer法则 法则 1,线性方程组的表示法 , 一般地,n个未知量 个方程的线性方程组可以表示为 一般地, 个未知量m个方程的线性方程组可以表示为 个未知量
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 , a x + a x +L+ a x = b , 21 1 22 2 2n n 2 LLLLLLLLLL am1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = bm ,
3,线性方程组的相容性 设非齐次方程组Ax=b ,其中A=(aij)m×n,且R(A)=r. 不妨设矩阵A的前r列中有r阶的非零子式,对增广矩阵 B=(A,b)施以初等行的换法变换,将非零子式所在的行调整 到前r行,再经过若干次初等行变换将B化43;1 1 O M M O 0 cr-1,r+1 初等 1 cr ,r+1 B = ( A, b) → ( C , d ) = 0 行变换 0 M 0
L
c1n M cr-1,n crn 0 0 M 0
L L L L
d1 M d r-1 dr , d r+1 0 M 0
它所对应的与原方程组Ax=b 的同解方程组为
c1r +1 xr +1 + L x1 + x2 + c2 r +1 xr +1 + L L L L L L L L L L xr + crr +1 xr +1 + L + c1n xn = d1 , + c2n xn = d2 , L L L L + crn xn = dr , 0 = dr +1 , 0 L 0 = L = 0, L 0.
第四讲 线性方程组与向量组的线性关系
第四讲 线性方程组和线性关系部分是矩阵齐次线性方程组问题：有无非零解？解的结构问题非齐次线性方程组问题：有无解？解的个数、解的结构问题解的存在性：有解当且仅当永远有零解解的个数：有唯一解当且仅当；有无穷多解当且仅当；只有零解当且仅当；有非零解当且仅当的解与的解的关系：的解的线性组合还是它的解；的两个解的差是的解；的一个解与的解的和是的解解的结构：1）的个线性无关解称为的基础解系.（是的基础解系当且仅当都是的解，且能够线性表示的任意解）2）是的基础解系，则（为任意数）为的通解.3）是的基础解系，则（为任意数）为的通解.其中是的一个特解.一 解的结构（概念题）1.是的两个特解，是对应的齐次方程组的基础解系，为任意常数，则的通解为：；;;解：是的特解，不是的特解，所以不可能选择.又与等价，所以也是的基础解系，因此是的通解.而虽然都是的解，但是是否线性无关是不能确定，所以不能确定是的基础解系，因此选择.2. 是矩阵, ，的两个特解满足，求的通解3.求一个齐次线性方程组，使该齐次线性方程组的基础解系为解：设的基础解系为，所以也是的基础解系.所以方程组的解可以写成构造方程组即可二 求解方程组（计算题）1.是3阶方程，.1）求证：存在使得2）求齐次线性方程组的基础解系解： ，，所以或1，如果，1）的结论显然，的基础解系为如果，存在可逆矩阵使得此时齐次方程组即为，即由于，所以，由于所以不全为零，不妨设，的基础解系为2. 已知是齐次线性方程组的一个基础解系， ，问当满足什么条件时，是的基础解系.解：是的基础解系当且仅当与等价当且仅当可逆.由于所以可逆，所以时，时，是的基础解系.3.讨论取何值时下列方程组有解？并在有解时求解1）；解：时，方程无解时，方程有无穷多解，此时，，方程组的通解为为任意数）时，方程有唯一解，此时所以；2）解：时，，方程无解当时，方程组等价于，方程组有无穷多解，此时方程组的通解为（为任意数）; 当，且时，方程有唯一解3）；解：.所以时方程组有唯一解方程组有无穷多解，解为（为任意数）时方程组无解4）解：，所以时方程组有唯一解当时，方程组无解，当时有所以时无解;时，，无穷多解.解为（为任意数）4.求三个线性无关的向量，使它们都是下列线性方程组的解解：通解（为任意数）取，则都是方程组的解，且线性无关.5.（I）；（II）1）求（I）的解；2）当（II）中参数取何值时（I）与（II）同解解：（I）的解为（为任意数）（II）与（I）同解，所以是的解，将解代入方程有是的解，将解代入方程有解的理论（证明题）1.是矩阵，,，的任意个线性无关解满足：1）的任意解均可以表示为2）是的解的充分必要条件是证明：由于是的解，所以1）设是的任意解，由于是的线性无关解，所以是的线性无关解，即的基础解系.事实上，显然是的解，再设，有，由于线性无关，有，故线性无关，所以是的基础解系.所以即.2）当时，，所以是的解如果是的解，则，所以2.证明：是的非空子集，则是某个线性方程组的解集的充分必要条件是对任意的当且仅当.证明：设是线性方程组的解集，，则，所以，所以如果任意，都有取的极大无关组，做以为解的线性方程组，则的通解可表示为所以的解都在中.反之对任意的，，由于，有，所以.所以是某个线性方程组的解集.3.是中的行向量，，证明:的解都是的解的充分必要条件是可由线性表示.证明：充分性:如果可由线性表示,设,则则时,显然有必要性: 的解都是的解则,所以向量组与,秩相同,所以可由线性表示.4. 是矩阵，，有解当且仅当对使得的任意解，有证明：有解可由的行向量线性表示的解都是的解，即对使得的任意解，有5.证明：有解当且仅当无解证明：由于，无解有解.6. 是矩阵，有非零解，证明：存在，使得无解证明： 有非零解当且仅当，所以存在阶可逆矩阵及阶可逆矩阵，使得,所以等价于等价于，令，取，则无解7.的行向量组是齐次线性方程组的基础解系，证明：任意阶可逆矩阵，的行向量组也是的基础解系.证明：令所以，由可逆，知与等价，所以的行向量组也是的基础解系.8. 是矩阵，已知齐次线性方程组的基础解系为，令,求的基础解系解：由已知，所以,令,所以是的解，又由已知，所以是的个线性无关解，又，所以是的基础解系.9. 是中的一组列向量，，求线性方程组的解解： =，当时，，此时只有零解；当时，，此时任意中的列向量都是的解；当时，，此时有，所以的极大无关组是的个线性无关解向量，所以是的基础解系.10.,且存在的某个元素的代数余子式，证明：1）是的基础解系；2)证明：1）当时，有，所以的列向量都是的解， 是的第列，又，所以是的非零解.由于，的解空间是1维的，所以是的基础解系.2）由的解空间是1维的，且的列向量都是的解，知，又，所以，故. 11. 是的前行组成的矩阵，求的基础解系.解：，所以，可逆，设，，，所以又，且是的个线性无关解向量，所以是的基础解系.11.设的行向量组是线性方程组的解,令表示中划掉第列的阶行列式, 1) 证明:当且仅当的行向量组不是的基础解系.2）令，求解：，设1)证明: 如果，由已知是的行向量组，它们都是的解，假设它们是的基础解系，则它们线性无关，又，所以可由线性表示，所以是的解，显然不成立.所以不是的基础解系.反之，如果不是的基础解系.则线性相关，所以，所以，所以，即. 2），所以是的基础解系.则，即，所以.同理12.设两个多项式互素，为阶方阵，,证明：方程组的解都可以唯一表示为形式，其中分别是的解.证明：所以.设是的解，由于，令，则所以都可以表示为形式，其中分别是的解下证表示的唯一性，假设方程组的一个解可以表示为和形式，其中和满足，.所以，即，所以，即由于，所以，即.所以方程组的解都可以唯一表示为形式.（此题也可以表述为：设两个多项式互素，为阶方阵，,证明：分别是方程组，的解空间，证明：都可以唯一表示为形式，其中分别是的解.）13. 是矩阵，，设线性方程组都有解，分别是的任意一个解，则（为与解选取无关的定常数）证明：设也是的解，则，所以是一个与的解选取无关的常数，同理也是一个与的解的选取无关的常数，所以，则（为与解无关的固定常数）向量组的线性相关性1. 是线性空间中线性无关向量组，线性相关，证明：线性无关.证明：设由于线性无关，线性相关，所以可由线性表示，所以存在使得，即由于线性无关，所以代入（1）得到，又线性无关，所以所以，线性无关.2.设向量组的秩为，则中任意个向量线性无关当且仅当对任意的，若，则全为零或全不为零证明：向量组的秩为，且中任意个向量线性无关，设对任意的，若，若中存在为零的数，则不妨设，则，由中任意个向量线性无关有.所以全为零或全不为零.反之，向量组的秩为，且中任意的个向量的线性组合为零都有系数全为零或全不为零.现任取中任意个向量，不妨就记为，设，在向量组中任意取一个异于的向量记为，则，由已知，所以线性无关.3.设向量组线性无关，且可由线性表示，则可以适当调整的顺序使得与等价.（替换定理）证明：当时，由可由线性表示，所以存在，使得，由于线性无关，所以，故存在，适当调整的顺序可使，则，所以与等价.假设对个线性无关向量结论成立，对个线性无关向量向量，如果它们可由线性表示，归纳假设适当调整顺序可使与等价，所以可由线性表示，，如果，则，与线性无关矛盾，所以不全为0，可适当调整顺序可使得，所以所以与等价，即有与等价.4.是阶实方阵，证明：1）如果，则；2），则证明：设，任取不全为零的数，令，则，则所以，所以所以线性无关，所以2）构造矩阵则是的次多项式函数，且且（由1）），如果，则存在，由知，满足由1），矛盾，所以5. 是互不相同的个数，证明：线性无关证明：设方程两边逐步求导，有这个关于的齐次线性方程组的系数行列式为，所以，所以，所以线性无关6.证明：线性无关（三角函数正交系）证明：设利用即可证得，所以线性无关。
《线性代数》教学课件—第4章 向量线性相关 第二节 向量组的线性相关性
9 6
,
有 3 = 21 - 2 , 4 = 1 + 22 , 所以向量组 1,
2 , 3 , 4 线性相关, 其几何意义为: 该向量组所
对应的非齐次线性方程组中的四个方程所表示的
四个平面交于同一条直线. 如图 4.3 .
2x+3y+z=4 3x+8y-2z=13 x-2y+4z=-5 4x-y+9z=-6
x
O M1
图 4.2
M3 a3 RM3 (0,2,2) ,
3y
向量组 a1 , a2 , a3
线性相关,因为
2a1 - a2 - a3 = 0.
(3) 4 维向量组线性相关的几何意义 设有 4 维向量组
2
1
3
4
1T
3
1 4
, 2T
2
45
,
T 3
8
132
, 4T
1
在直线 y =2x 上取三点M1, M2 , M3 , 作三个向量:
6y
5
M3(3,6)
4 3
M2(2,4)
2 1
M1(1,2)
O 123456 x
图 4.1
a1 OM1 (1,2) ,
a2 OM2 (2,4) ,
a3 OM3 (3,6) ,
显然, 这三个向量中的 任意两个向量构成的向 量组都是线性相关的.
证明 向量证组明A 线向性量相组关A, 线等性价相于关齐,次等线价性于齐次线
方程组 方程组 x1a1 + x2a2 x+1a··1·+ x2maa2m+=··0·,+即xmAaxm = 0, 即 Ax = 0
线性代数 第四章 第2节
★矩阵、线性方程组的向量表示 ★向量组的线性相关与线性无关 ★向量组的等价性
本节中向量组的线性相关性与第三节中向量组的秩 的概念是本章的重点和难点。同学们必须熟练且准确地 掌握。通过理清“矩阵”，“向量组”和“线性方程组”的密 切关系可以更好地理解概念和解决问题。
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矩阵的向量表示
定义3 设有两个 n 维向量组
A : a1, a2 , , am; B : b1, b2 , , bs .
如果向量组 A 中每一个向量都能由 B 组中的向量
线性表示，则称向量组 A 能由向量组 B 线性表示。
如果向量组 A 与 B 能相互线性表示，则称向量组 A 与 B 等价。
由上章定理2，可得
定理2 向量组 a1 , a2 , 条件是它所构成的矩阵A
, am (a1 ,
线性相关的充分必要
a2 , , am ) 的秩小于
向量的个数 m ；向量组线性无关的充分必要条件是 R（A）= m。
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1 0
0
例4
n 维向量
4,
试讨论向量组
a1
,
a2
,a13及向量 组5
a1
,
a2的 7线 性相关性。
解法一 (同例4解法一的方法)
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5
1
a1
,
a2
,
a3
1
0 2
2 r2 r1 1 4 ~ 0
0 2
2 r3 2 r2 1 2 ~ 0
.
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线性方程组的向量表示
线性代数课件(高教版)4-2
a 1n a 2n a in a mn
T 1 T 2
T i
T m
向量组 , , …， m称为矩阵A的行向量组．
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m 个 n 维列向量所组成的向量 组 , , , , 1 2 m 构成一个 n m 矩阵
即线性方程组 x x x b 1 1 2 2 m m 有解 .
向量组的等价 定义２.2 设有两个向量组
A: ,m及 B: 1, 2, , s. 1, 2, 称 A 与向 向量组B 能由向量组A 线性表示 .若向量组 量组 B 能相互线性表示，则称 这两个 向量组等价．
向量组 a1 , a2 ,…… , am线性无关的充分必要条件是
R(A)=m.
例2 已知向量组a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1 试证向量组b1 b2 b3线性无关 证法二 把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式
1 0 1 ( b , b , b ) ( a , a , a ) 1 1 0 1 2 3 1 2 3 0 1 1 记作BAK 因为|K|20 知K可逆 所以R(B)R(A)
a 1, a2 , a n 称为矩 向量组 , A 的列 .
( a ) 又有 类似地 , 矩阵 A m 个 n 维行 ij m n
a 11 a 12 a 21 a 22 A a i1 a i 2 am1 am2
T 1 T 2
a a a 0
1 1 2 2 m m
于是
a a a 1 a 0
第四章 线性方程组与向量组的线性相关性(第四讲)
例1 求解线性方程组 x1 x2 x3 x4 0 x1 3x2 x3 x4 0 x 3x 2 x x 0. 2 3 4 1 解 对系数矩阵施以初等行变换，得 1 1 1 1 1 1 1 1 A 1 3 1 1 0 4 2 0 1 3 2 1 0 2 1 0
(3)
由于A与 C 的行向量组等价，故方程组（1）与（3） 同解。在（3）中任给 xr+1 ,… , xn 一组值，即惟一确定 x1 ,…, xr 的值，就得（3）的一个解，也就是（1）的解。 现在令 xr+1 ,… , xn 取下列 n－r 组数： xr 1 1 0 0 x 0 1 0 r 2 = , , , , 1 xn 0 0 由（3）即依次可得 c1,n r x1 c11 c12 c x c c 2 = 21 , 22 , , 2,n r , xr cr1 cr 2 cr ,n r 从而求得（3）〔也就是（1）〕的 n－ r 个解。
η = λr+1 1 + λr+2 2 + … + λnn-r ，
由于1，2，… ，n-r 是（1）的解，故η 也是（1）的解， 比较η 与 ，知它们的后面 n－ r 个分量对应相等，由于 它们都满足方程组（3），从而知它们的前面r个分量亦必 对应相等〔方程组（3）表明任一解的的前 r 个分量由后 n－ r 个分量惟一决定〕，因此 η ＝ ，即
1 1 1 ( , ,1,0)T , 2 (1,0,0,1)T . 2 2
西北工业大学《线性代数》课件-第四章 向量组的线性相关性
b
b2
bm
三、两向量相等
设向量
α (a1, a2 ,, ak )
β (b1, b2 ,, bl )
则
α β k l 且 ai bi
(i 1,2,, k)
四、零向量
分量都是0的向量称为零向量，记做 0，即
0 (0,0,,0).
五、向量的线性运算
⒈ 加法 设
α (a1, a2 ,, an )
2 2 2 ( )2
几何解释：三角形两边 之和大于第三边
α
β
α β
⒊ 夹角 设 与 是n维非零向量，则其夹角定义为
arccos [ , ]
arccos
a1b1 a2b2 anbn
a12 a22 an2 b12 b22 bn2
(0 )
定义的合理性：由不等式 (5) α, β α β
2
➢ 非零向量单位化
设 0 ，单位化向量
0
则有 0 1且 0与 同向.
九、小结
1. n维向量的定义； 2. n维向量的运算规律；
§4.2 向量组的线性相关性
一、线性相关与线性无关
1. 线性组合 定义4.6 设 ,1,2,,m均为n维向量，若有一组 数 k1, k2 ,, km ，使得
⑶ 数量积：a b a b cos
bx
(a
x
,
a
y
,
az
)
by bz
axbx a yby azbz
向量内积及 与模,夹角关系
矩阵乘积表示
可用作内积定义
⑷ 模： a aa
模的定义
三维向量全体构成的集合,称为三维向量空间.记做 R3
解析几何
向量
向量组的线性相关性与线性方程组的解的结构
注：设n维向量 a1 a2 an T , b1 b2 bn T
的对应分量相等，即
ai bi (i 1, 2, , n)
称这两个量是相等的，即
注：1 与 要么都是行向量，要么都是列向量。 2 与 的分量个数应相同。
，， Rn , k, l R
2. 对于任一向量组,不是线性无关就是线性相关.
3.对 于 含 有 两 个 向 量 的 向量 组, 它 线 性 相 关 的 充 要 条 件
是 两 向 量 的 分 量 对 应 成比 例 ， 几 何 意 义 是 两 向量 共 线 ；
三 个 向 量 相 关 的 几 何 意义 是 三 向 量 共 面.
例5.一个零向量形成的向量组是线性相关的， 一个非零向量 a 0 是线性无关的.
证 设有x1, x2 , x3使 x1b1 x2b2 x3b3 0
即 x（1 1 2） x2 ( 2 3 ) x3 ( 3 1 ) 0,
亦即（ x1 x3 )1 ( x1 x2 ) 2 ( x2 x3 ) 3 0,
a
a2
an
称 为n维 向 量 ， 这n个 数 称 为 该 向 量 的n个 分 量 ，
第i个 数ai称 为 第i个 分 量.
分量全为实数的向量称为实向量，
分量全为复数的向量称为复向量.
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列
矩阵，通常用 a,b, , 等表示，如：
a1
a
a2
an
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行
矩阵，通常用 aT ,bT , T , T 等表示，如：
aT (a1 ,a2 , ,an )
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组．
第四章 向量组的线性相关性总结
第四章 向量组的线性相关性§1 n 维向量概念一、向量的概念定义1 n 个有次序的数12,,,n a a a 所组成的数组称为n 维向量,这n 个数称为该向量的n 个分量,第i 个数i a 称为第i 个分量.注1分量全为实数的向量称为实向量.分量不全为实数的向量称为复向量. 注2 n 维向量可以写成一行的形式()12,,,n a a a a =,出可以写成一列的形式12n a a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,前者称为行向量,而后者称为列向量.行向量可看作是一个1n ⨯矩阵,故又称行矩阵;而列向量可看作一个1n ⨯矩阵,故又称作列矩阵.因此它们之间的运算就是矩阵之间的运算,从而符合矩阵运算的一切性质.向量之间的运算只涉及到线性运算和转置运算.为叙述方便,特别约定:在不特别声明时说到的向量均为列向量,行向量视为列向量的转置.注3 用小写黑体字母,,,a b αβ 等表示列向量,用,,,T T T T a b αβ表示行向量. 例1 设123(1,1,0),(0,1,1),(3,4,0)T T T v v v ===，求12v v -及12332v v v +-.解 12v v -(1,1,0)(0,1,1)T T =-(10,11,01)T =---(1,0,1)T =-12332v v v +-3(1,1,0)2(0,1,1)(3,4,0)T T T =+-(31203,31214,30210)T =⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-(0,1,2)T =定义 设v 为n 维向量的集合，如果集合v 非空，且集合v 对于加法与数乘两种运算封闭（即若α∈v,β∈v ，有α+β∈v ；若α∈v, k ∈R ，有k α∈v ），称v 为向量空间。
§2 向量组的线性相关性一、向量组的线性组合 定义3 给定向量组A :12,,,m a a a ,对于任何一组实数12,,,m k k k ,称向量1122m m a a a k k k +++ 为向量组A 的一个线性组合,12,,,m k k k 称为这个线性组合的系数.定义4 给定向量组A :12,,,m a a a 和向量b ,若存在一组实数12,,,m λλλ,使得1122m m a a a b λλλ=+++则称向量b 是向量组A 的一个线性组合,或称向量b 可由向量组A 线性表示.注1任一个n 维向量12n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭都可由n 维单位向量组12,,,n e e e 线性表示:1122n n a a a a e e e =+++ .注2向量b 可由向量组A :12,,,n a a a 线性表示（充要条件）⇔方程组1122n n a a a x x x b +++=有解m n A x b ⨯⇔=有解()(,)R A R A b ⇔=注3 由于线性方程组的解分为：无解，有唯一解，有无穷多解三种情况，所以向量β由向量12,,,n a a a 线性表示的情形也分为三种：不能线性表示，唯一线性表示，无穷多种线性表示，且线性表示式中的系数就是对应线性方程组的解。
第4章 向量组的线性相关性 20100425 0845
α, 2 , α 1α s
若向量组(B)中每一向量都可以由向量组 (A)线性表示，则称向量组(B)可由向量 组(A)线性表示。 若向量组(A)与向量组(B)可以互相线性 表示，则称这两个向量组等价.
4-13
把向量组A和B依次记为A=(a1,a2,…,as), B=(b1,b2,…,bt)，B由A表示的线性式中 的系数构成矩阵K，则有 (b1,b2,…,bt)=(a1,a2,…,as)K 其中
例4 讨论n维单位向量组的线性相关性
1 (1,0,0), 2 (0,1,0,0),, n (0,0,,0,1)
4-15
由上章定理6，立即可得： 定理2 向量组B ：b1,b2,…,bt能由向量组 A：a1,a2,…,as线性表示的充分必要条件 是：R(A)=R(A,B) 推论 向量组B ：b1,b2,…,bt与向量组A： a1,a2,…,as等价的充分必要条件是： R(A)=R(B) =R(A,B)
4-16
4-2
一般的线性方程组可写成常数列向量与 系数列向量有如下的线性关系:
x11 x2 2 xnn
称为方程组的向量形式。其中
a1 j b1 a b 2 j ( j 1, 2, , n), = 2 j a mj bm
4-20
向量的线性表示、矩阵、线性方程 组之间的关系： 向量组B:b1,…,bl能由向量组A:a1,…,am 线 性表示存在矩阵K，使得AK=B 矩阵方程AX=B有解
4-21
第二节 向量组的线性相关
4 定义5：对于向量组1 , 2 s，如果存在一组
不全为零的数，使关系式
k11 k22 kss 0
向量组的线性组合与线性相关性
线性组合的几何意义
几何解释
在几何上，线性组合可以表示为向量 的平移和伸缩变换。通过改变标量的 值，可以得到不同的线性组合结果， 从而描绘出不同的几何图形。
应用
线性组合在解析几何、计算机图形学 等领域有广泛应用，如通过线性组合 表示平面上的点、线、面等几何对象 。
PART 03
线性相关与线性无关
REPORTING
性质
线性组合满足交换律、结合律、分配律等基本的数学运算规 则。
线性组合的几何意义
几何解释
在几何上，线性组合可以表示为向量 的平移和伸缩变换。通过改变标量的 值，可以得到不同的线性组合结果， 从而描绘出不同的几何图形。
应用
线性组合在解析几何、计算机图形学 等领域有广泛应用，如通过线性组合 表示平面上的点、线、面等几何对象 。
PART 01
引言
REPORTING
WENKU DESIGN
PART 01
引言
REPORTING
WENKU DESIGN
目的和背景
研究向量组的线性组合与线性相关性的目的
揭示向量组内部元素间的依赖关系，为向量空间的理论研究和实际应用提供基础 。
线性组合与线性相关性的重要性
在数据分析、机器学习、图像处理等领域中，向量组的线性组合与线性相关性是 理解数据结构和特征提取的关键。
关；否则，线性无关。
行列式法
对于$n$个$n$维向量，可以 构造一个$n$阶行列式。如果 行列式为零，则向量组线性 相关；否则，线性无关。
线性相关与线性无关的判断方法
观察法
通过观察向量组是否包含零 向量或是否共线/共面来判断 其线性相关性。包含零向量 或共线/共面的向量组必定线
性相关。
第4章向量组的线性相关性
[定义]若向量组A与B能相互线性表示 则称这两个向量组等价。
➢矩阵等价与向量组等价的关系
若矩阵A与B 行等价 则这两个矩阵的行向量组等价 若矩阵A与B 列等价 则这两个矩阵的列向量组等价
➢向量组等价的判据 [定理4-2]推论：向量组 A a1, a2, , an 与向量组 B : b1,b2, ,bm 等价的充要条件是R(A)R(B)=R(A B) 。
分量全为实数的向量称为实向量， 例如 (1,2,3,,n)
分量全为复数的向量称为复向量。 例如 (1 2i,2 3i,,n (n 1)i)
第四章 向量组的线性相关性
2、向量的表示
n维向量写成一列，称为列向量（即列矩阵），
通常用 a, b,, 等表示，如：
a1
a
a2
an
n维向量写成一行，称为行向量(即行矩阵），
1 1 1 1
1 0 3 2
~ ~ B
1 2
2 1
1 4
0
3
r
0
1
2
1
r
0
1
2
1
0 0 0 0
0 0 0 0
2
3
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
R(A) R(B) 2
向量b能由向量组 a1, a2, a3 线性表示。
第四章 向量组的线性相关性
由B最简形可得线性方程组 (a1,a2,a3)x b即Ax b 解为
(a11 a12 a1n)
(a21 a22 a2n)
(am1 am2 amn)
第四章 向量组的线性相关性
2、向量组的线性组合
线性代数 第4章 向量组的线性相关性
3 时, 方程组有无穷多解, 可由 A 无穷多种表示.
通解为
x1 1 1 x k 1 2 2 1 0 x3
所有表示方法:
( k 1) 1 ( k 2) 2 k 3
§4.4 线性方程组解的结构 §4.5 向量空间
§4.1 向量组及其线性组合
三维空间的向量:有向线段。 建立标准直角坐标系后，
P ( x, y, z )
O
它由一点 P 或一个三元数组 (x,y,z) 唯一确定。 我们还定义了向量的加法(即平行四边形法则)和向量的数 乘两种运算。
k
示; 能由 A 唯一表示; 能由 A 有无穷多种表示, 并求
所有表示方法. 解 记 A [ 1 , 2 , 3 ] 只需讨论 Ax 解的情况.
这就是P76例12. 结论是
0 时,方程组无解, 不能由 A 表示.
0 且 3 时, 方程组有唯一解, 可由 A 唯一表示.
-6-
定义
对于向量组 A : 1 , 2 ,, m , 表达式
k1 1 k 2 2 k m m ( k i R)
称为向量组 A 的一个线性组合.又如果
是向量组 A 的一个线
性组合, 即
1 1 2 2 m m ( i R)
-13-
解法二
A:
1 1 1 1 1 , 2 1 , 3 2 1 4 3 1 0 1 1 , 2 0 2 1
的行组.
a11 a 21 a m1
线性代数 第4章 向量组的线性相关性
线性组合: 线性组合
定义 2 给定向量组 A : α 1 , α 2 , ⋯ , α m , 对于任何一组 实数 k1， k 2， ， k m，向量 ⋯ k1α 1 + k 2α 2 + ⋯ + k mα m 称为向量组 A 的一个 线性组合 ， k1， k 2， ， k m 称为这 ⋯ 个线性组合的系数。
《线性代数》
学习要求： 学习要求：
第四章向量组的线性相关
维向量； 向量组的线性组合 向量组的线性组合； １、掌握下列基本概念：[1] n维向量；[2]向量组的线性组合；[3] 掌握下列基本概念： 维向量 向量的线性表示； 向量组的线性相关与线性无关 向量组的线性相关与线性无关； 向量组的 向量的线性表示；[4]向量组的线性相关与线性无关；[5]向量组的 极大无关组； 向量组的秩 向量组的秩； 两向量组的等价 两向量组的等价。 极大无关组；[5]向量组的秩；[6]两向量组的等价。 ２、知道向量组线性相关的性质；初步掌握用定义、定理判别向量 知道向量组线性相关的性质；初步掌握用定义、 组的线性相关性。 组的线性相关性。 ３、理解矩阵的秩和向量组的秩之间的关系，熟炼掌握用矩阵的初 理解矩阵的秩和向量组的秩之间的关系， 等变换求向量组的秩和它的极大无关组。 等变换求向量组的秩和它的极大无关组。 ４、理解线性方程组解的结构、基础解系、通解及解空间的概念。 理解线性方程组解的结构、基础解系、通解及解空间的概念。 ５、理解非齐次方程解的结构和通解的概念。 理解非齐次方程解的结构和通解的概念。 ６、熟炼掌握用矩阵来表示向量组，用矩阵及线性方程组理论判 熟炼掌握用矩阵来表示向量组， 别向量组的线性相关性。 别向量组的线性相关性。 ７、知道向量空间、子空间的概念；会求向量空间的基和维数。 知道向量空间、子空间的概念；会求向量空间的基和维数。
第四章 线性方程组 一、主要内容
性线性方程组 A' AX = A' B 必有解．
5．证明：方程 Bn×s X = b 有解的充分必要条件是从 B'Y = 0 一定能推出 b'Y = 0 ．
6．设齐次线性方程组
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = 0, a21 x1 + a22 x2 + L + a2n xn = 0, LLLLLLLLLL LL an1 x1 + an2 x2 + L + ann xn = 0
二、训练题 一、填空题
1．线性方程组 AX = b 无解，且 r( A) = 3, 则 r( AMb) = ____ .
⎧
2．若方程组
⎪ ⎨
x1 + 2x2 − x3 = λ − 1 3x2 − x3 = λ − 2
⎪⎩λx2 − x3 = λ2 − 6λ + 10
有无穷多解，则 λ = ____ .
秩为（ ）。
二、判断说明题
1．齐次线性方程组 ⎪⎨⎧λxx11
+ x2 + λ2 x3 = 0 + λx2 + x3 = 0 的系数矩阵为
A，若存在三阶矩阵 B
≠
0. 使
⎪ ⎩
x1 + x2
+ λx3
=0
得 AB = 0, 则 λ = 1, 且 B = 0.
2．非齐次线性方程组 AX = b 有解，若其解不唯一，则必有无穷多个解．
多组解;
(3) 若 r( A) ≠ r( A) , 则该方程组无解. 2、齐次线性方程组解的结构
定理 4.5-2 设有齐次线性方程组
线性代数习题
r r r 5. 设向量组 β 可以由向量组 α 1 , α 2 , L , α r 线性表示 线性表示, r r r 证明表示法唯一的充分必要条件是α 1 , α 2 ,L , α r 线性无 关. 充分性) 证明 (充分性)书上的定理2.4. 充分性 书上的定理2.4.
r
(必要性)设 必要性) 必要性 又由已知设 两式相减得
r
r (k1 + k 2 + L + k r )α 1 + (k 2 + k 3 + L + k r )α 2 + L + k r α r = 0 r r r 线性无关， 因向量组 α 1 , α 2 , L , α r 线性无关，得 r r r
k1 + k 2 + L + k r = 0 k2 + L + kr = 0 M kr = 0
(3)行列式法（向量组能构成一个方阵A时,才能用此法） 行列式法（向量组能构成一个方阵 时 才能用此法） 行列式法 才能用此法 若 A = 0 ，则向量组线性相关 若 A ≠ 0 ，则向量组线性无关 (4)反证法 反证法
五. 求向量组的秩及极大无关组的方法 r r r （1）向量组α1 ,α 2 ,L ,α s作列向量构成矩阵 ） 作列向量构成矩阵A
r k1 (α 1 ) + k 2 (α 1 + α 2 ) + L + k r (α 1 + α 2 + L + α r ) = 0 r
设
证明
r
r k1 β 1 + k 2 β 2 + L + k r β r = 0
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11 2
2 1 2
A 4 6 2 8 0, D1 2 6 2 8,
2 1 1
1 1 1
1 2 2 D2 4 2 2 8,
2 1 1
1 1 2 D3 4 6 2 0,
2 1 1
§1 消元法与线性方程组的相容性
Cramer法则对于线性方程组的求解有重要的理 论意义。但是，它只能求解方程个数与未知量个 数相同、且其系数行列式的值不为零的线性方程 组，随着未知量个数的增加，计算变得十分困难.
线性代数 第四章
第四章 线性方程组与向量组的线性相关性
本章教学内容 §1 消元法与线性方程组的相容性 §2 向量组的线性相关性 §3 向量组的秩 矩阵的行秩与列秩 §4 线性方程组解的结构
§1 消元法与线性方程组的相容性
本节教学内容 1.线性方程组的概念 2. Cramer(克莱姆)法则 3.用消元法解线性方程组
4 x1 6 x2 2x3 2
2
x1
x2
x3 1
1 1 1 2
1 1 1 2
解
( A, b) 4 6 2
2
22rr13rr32
0
4
4
4
2 1 1 1
0 3 1 3
r2 (
1)
4
1 0
1 1
1 2
1 0 0 1
1
1
3rr22 rr31 0
1
§1 消元法与线性方程组的相容性
定理1 若(A1, b1)经初等行变换化为(A2, b2)， 则线性方程组A1x=b1与线性方程组A2x=b2同解。 事实上，倍法变换相当于第i个方程两边同乘一 非零常数；消法变换相当于加减消元法；换法变 换相当于交换两个方程的次序，故线性方程组的 解不变。 定义 (A, b)称线性方程组Ax=b的增广矩阵。
§1 消元法与线性方程组的相容性
证 Ax=b，
x A1b 1 A*b A
A11 A21
1 A12
A
A1n
A22 A2n
An1 b1
An2 b2
Ann
bn
xj
1 A
n k 1
Akj bk
Dj A
( j 1,2, , n)
a11 a1 j1 b1 a1 j1 a1n
§1 消元法与线性方程组的相容性
2. Cramer法则
设n个方程的n元线性方程组 Ax=b，
其中 A (aij )nn, x ( x1, x2, , xn )T, b ( b1, b2, , bn )T,
若A≠0，则线性方程组Ax=b有惟一解
x1
D1 A
,
x2
D2 A
,
, xn
Dn A
.
其中Dj是以b代替A的第 j列所得到的n阶行列式。
下面，我们来讨论一般的线性方程组的解法。
§1 消元法与线性方程组的相容性
3.用消元法解线性方程组 定义1.1 若线性方程组A1x=b1的解都是线性方 程组A2x=b2的解；反之，线性方程组A2x=b2的解 都是线性方程组A1x=b1的解，则称线性方程组 A1x=b1与线性方程组A2x=b2同解。 在中学，我们已经知道 (1)方程两边同乘一个非零常数，方程的解不变； (2)方程两边同乘一个常数,然后加到另一个方程 上，方程组的解也不变(即加减消元法)。 因此，就有
设n元线性方程组 Ax=b，称Ax=0 为与它对应的齐
次线性方程组，
若n维列向量 (≠0)满足A=0，则称x= 是齐次线
性方程组Ax=0的一个非零解， 显然x=0是Ax=0的一个解， 称它为Ax=0的零解， 或当然解，或平凡解。 若线性方程组 Ax=b有解，则称它是相容的， 否则称它是不相容的。 性质齐次线性方程组是相容的。
1x1+2x2+ … +n xn =b
若b=0, 即 Ax=0 称为齐次线性方程组 若b≠0, 即 Ax=b 称为非齐次线性方程组
若n维列向量=(1, 2,…,n)T满足A=b，则 称x1=1, x2=2,…, xn=n是Ax=b的一个解， 并称是Ax=b的一个解向量，或说x=是Ax=b的解。
§1 消元法与线性方程组的相容性
其 中 Dj a21
a2 j1
b2 a2 j1 a2n
#
a1 anj1 bn anj 1 ann
§1 消元法与线性方程组的相容性
例1.1 解线性方程组
x1 x2 x3 2
4 x1 6 x2 2x3 2
2
x1
x2
x3 1
x1 1, x2 1, x3 0.
解
§1 消元法与线性方程组的相容性
1.线性方程组的概念 n元线性方程组的一般形式为
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21x1a22 x2 a2n xn b2 am1 x1 am2 x2 amn xn bm
其中 aij , bi 为常数, x j为未知量(i 1,2, , m; j 1,2, , n)
1
1
0 3 1 3
0 0 2 0
§1 消元法与线性方程组的相容性
1
0
0
1
r3
1 2
1
0
0
1
1
r3 r2
0
0
1
0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1
0 0 2 0
0 0 1 0
0 0 1 0
x1 -1,
于是方程组的解为
x2
-1,
x3 0.
§1 消元法与线性方程组的相容性
用消元法解线性方程组的思想方法是, b)化为最简行阶梯 形矩阵(C, d)； (2)解方程组Cx=d，其解即是方程组Ax=b的解.
§1 消元法与线性方程组的相容性
例1.2 用消元法解线性方程组
x1 x2 x3 2
记： A (aij )mn, x ( x1, x2, , xn )T , b ( b1, b2, , bm )T, 称A为系数矩阵，x为未知列，b为常数列， 则线性方程组可写成矩阵形式 Ax=b
§1 消元法与线性方程组的相容性
设n元线性方程组 Ax=b，若A按列分块为 A=(1, 2, … ,n)，则方程组可写成向量形式
R(A)=R(A,b)=3 (未知量个数) 方程组有惟一解。
§1 消元法与线性方程组的相容性
例1 用消元法解线性方程组
x1 2x2 3x3 x4 1 3x1 x2 4x3 3x4 8 2x1 x2 x3 2x4 7
解
1 ( A, b) 3