第四章线性方程组与向量组的线性相关性

记： A (aij )mn, x ( x1, x2, , xn )T , b ( b1, b2, , bm )T, 称A为系数矩阵，x为未知列，b为常数列， 则线性方程组可写成矩阵形式 Ax=b
§1 消元法与线性方程组的相容性
设n元线性方程组 Ax=b，若A按列分块为 A=(1, 2, … ,n)，则方程组可写成向量形式
1x1+2x2+ … +n xn =b
若b=0, 即 Ax=0 称为齐次线性方程组 若b≠0, 即 Ax=b 称为非齐次线性方程组
若n维列向量=(1, 2,…,n)T满足A=b，则 称x1=1, x2=2,…, xn=n是Ax=b的一个解， 并称是Ax=b的一个解向量，或说x=是Ax=b的解。
§1 消元法与线性方程组的相容性
§1 消元法与线性方程组的相容性
定理1 若(A1, b1)经初等行变换化为(A2, b2)， 则线性方程组A1x=b1与线性方程组A2x=b2同解。 事实上，倍法变换相当于第i个方程两边同乘一 非零常数；消法变换相当于加减消元法；换法变 换相当于交换两个方程的次序，故线性方程组的 解不变。 定义 (A, b)称线性方程组Ax=b的增广矩阵。
其 中 Dj a21
a2 j1
b2 a2 j1 a2n
#
a1 anj1 bn anj 1 ann
§1 消元法与线性方程组的相容性
例1.1 解线性方程组
x1 x2 x3 2
4 x1 6 x2 2x3 2
2
x1
x2
x3 1
x1 1, x2 1, x3 0.
解
线性代数 第四章
第四章 线性方程组与向量组的线性相关性
本章教学内容 §1 消元法与线性方程组的相容性 §2 向量组的线性相关性 §3 向量组的秩 矩阵的行秩与列秩 §4 线性方程组解的结构
§1 消元法与线性方程组的相容性
本节教学内容 1.线性方程组的概念 2. Cramer(克莱姆)法则 3.用消元法解线性方程组
§1 消元法与线性方程组的相容性
证 Ax=b，
x A1b 1 A*b A
A11 A21
1 A12
A
A1n
A22 A2n
An1 b1
An2 b2
Ann
bn
xj
1 A
n k 1
Akj bk
Dj A
( j 1,2, , n)
a11 a1 j1 b1 a1 j1 a1n
§1 消元法与线性方程组的相容性
1.线性方程组的概念 n元线性方程组的一般形式为
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21x1a22 x2 a2n xn b2 am1 x1 am2 x2 amn xn bm
其中 aij , bi 为常数, x j为未知量(i 1,2, , m; j 1,2, , n)
设n元线性方程组 Ax=b，称Ax=0 为与它对应的齐
次线性方程组，
若n维列向量 (≠0)满足A=0，则称x= 是齐次线
性方程组Ax=0的一个非零解， 显然x=0是Ax=0的一个解， 称它为Ax=0的零解， 或当然解，或平凡解。 若线性方程组 Ax=b有解，则称它是相容的， 否则称它是不相容的。 性质齐次线性方程组是相容的。
§1 消元法与线性方程组的相容性
用消元法解线性方程组的思想方法是： 解线性方程组Ax=b
(1)用初等行变换将增广矩阵(A, b)化为最简行阶梯 形矩阵(C, d)； (2)解方程组Cx=d，其解即是方程组Ax=b的解.
§1 消元法与线性方程组的相容性
例1.2 用消元法解线性方程组
x1 x2 x3 2
11 2
2 1 2
A 4 6 2 8 0, D1 2 6 2 8,
2 1 1
1 1 1
1 2 2 D2 4 2 2 8,
2 1 1
1 1 2 D3 4 6 2 0,
2 1 1
§1 消元法与线性方程组的相容性
Cramer法则对于线性方程组的求解有重要的理 论意义。但是，它只能求解方程个数与未知量个 数相同、且其系数行列式的值不为零的线性方程 组，随着未知量个数的增加，计算变得十分困难.
4 x1 6 x2 2x3 2
2
x1
x2
x3 1
1 1 1 2
1 1 1 2
解
( A, b) 4 6 2
2
22rr13rr32
0
4
4
4
2 1 1 1
0 3 1 3
r2 (
1)
4
1 0
1 1
1 2
1 0 0 1
1
1
3rr22 rr31 0
1
§1 消元法与线性方程组的相容性
2. Cramer法则
设n个方程的n元线性方程组 Ax=b，
其中 A (aij )nn, x ( x1, x2, , xn )T, b ( b1, b2, , bn )T,
若A≠0，则线性方程组Ax=b有惟一解
x1
wenku.baidu.comD1 A
,
x2
D2 A
,
, xn
Dn A
.
其中Dj是以b代替A的第 j列所得到的n阶行列式。
R(A)=R(A,b)=3 (未知量个数) 方程组有惟一解。
§1 消元法与线性方程组的相容性
例1 用消元法解线性方程组
x1 2x2 3x3 x4 1 3x1 x2 4x3 3x4 8 2x1 x2 x3 2x4 7
解
1 ( A, b) 3
1
1
0 3 1 3
0 0 2 0
§1 消元法与线性方程组的相容性
1
0
0
1
r3
1 2
1
0
0
1
1
r3 r2
0
0
1
0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1
0 0 2 0
0 0 1 0
0 0 1 0
x1 -1,
于是方程组的解为
x2
-1,
x3 0.
下面，我们来讨论一般的线性方程组的解法。
§1 消元法与线性方程组的相容性
3.用消元法解线性方程组 定义1.1 若线性方程组A1x=b1的解都是线性方 程组A2x=b2的解；反之，线性方程组A2x=b2的解 都是线性方程组A1x=b1的解，则称线性方程组 A1x=b1与线性方程组A2x=b2同解。 在中学，我们已经知道 (1)方程两边同乘一个非零常数，方程的解不变； (2)方程两边同乘一个常数,然后加到另一个方程 上，方程组的解也不变(即加减消元法)。 因此，就有