初等几何研究 第十四章几何题的证明

∴ △FBD∽△FAC ∴∠AFC=∠BFD
7. 在锐角△ABC 中，作 BD⊥AC 于 D，CE⊥AB 于 E，取 BC
中点 F，求证：∠FED=∠EDF=∠A.
证明：∵BD⊥AC CE⊥AB
A
∴ F 是 Rt△BEC 和 Rt△BDC 斜边的中点,
E1
3
2D
∴ EF=FD
∴∠FED=∠FDE B
证明：设 AC 交 EF 于 M，由于 EF⊥AB ， ∴AD∥EF∥BC
∴ EM DA CE CD
AF MF AB BC
又 DE=DA CE=BC
又 ∵ DE AF DC AB
∴ EM=MF
EM DE MF MF CE DC CB CE 即 AC 平分 EF.
D E C
M
A
F
B
第 2 题图
PB=QD=RF.根据相交弦定理有：AR×BR=RF×RE
即 AR×(RP+BP)=RF×(RQ+QE) 整理得 AR×RP=RF×RQ 同理可得 EQ×QR=DQ×PQ
F
A
R
所以有
BP×RP=CP×PQ RP:RQ=RF:AR
C P
B
D Q
E
RQ:PQ=DQ:EQ PQ:RP=BP:CP
第 1 题图
3. 过 AB 为直径的半圆上任意一点 C，作 CD⊥AB 于 D，⊙H
与 CD、弧 BC 分别相切于 E、F，又与 AB 相切于 G，求证：AC=AG.
证明：∵A、E、F 三点共线（△HEF∽△AOF）
连接 BF, ∴ B、F、E、D 四点共圆
C
∴ AG2=AE·AF
而
AE·AF=AD·AB
AD·AB=AC2
∴ GC+GD= GA+GB+GE+GF
F
C
G
A
B
第 8 题图
9. 在△ABC 中，AB=AC，AG⊥BC，CD 平分∠ACB，DE⊥
BC，在 CB 延长线上取一点 F，使∠CDF=90°，求证:CF=4EG.
证明：∵ CD 平分∠ACB. CD⊥FF＇
∴DF=DF＇,CF=CF＇
AF
过 D 作 DH∥BC 交 AC 于 H. ∴ H 为 CF 的中点, ∵∠DF＇C=∠CFD 而∠FDH=∠DF＇C
初等几何研究习题解
《中学数学教材教法》，主编 赵振武 副主编 章士藻 第三分
册 《初等几何研究》习题解答
第十四章 几何题的证明
习题十四
1. 圆内三弦 AB、CD、EF 两两相交于 P、Q、R，且 PC=QE=RA,
PB=QD=RF,求证：△PQR 是正三角形.
证明：如图圆中三弦 AB、CD、EF 两两相交于 P、Q、R，并且 PC=QE=RA，
根据已知 AR=CP=EQ, BP=DQ=FR
所以有
RP RQ PQ RP RQ PQ 1 RQ PQ RP RQ PQ RP
所以
RP=PQ=RQ 所以△RPQ 为正三角形.
2. 在梯形 ABCD 中, ∠A=∠B=90°,以 AB 为直径的圆切 CD 于
E,过 E 作
EF∥BC 交 AB 于 F, 求证：AC 平分 EF.
∴ B、E、D、C 共圆
∴∠B=∠3
F
C
第 7 题图
∠1+∠3+∠FED=180° ∴ ∠FED=∠A
8. 在正六边形外接圆上任取一点，求证该点至各顶点的连线中，
两长者之和必等于其余四者之和.
证明：设∠GAF=α, ∠GFA=β 长： GC+GD=2Rcosα+2Rcosβ
E
D
短： GA+GB+GE+GF =2Rsinβ+2Rcos(60°－β)+ 2R cos(60°－α)+2Rsinα = 2R(cosα+ cosβ) (α+β=30°)
D
SH
F＇
BE G
C
第 9 题图
∴∠FDH=∠CFD
∴ DH=FH= ½ CF.
AG 垂直平分 DH 于 S ∴DS=EG ∴CF=4EG
10. 在△ABC 中，已知 AB=AC, AD⊥BC, 以 AD 为直径作⊙O，
由 B、C 分别作该圆的切线 BE、CF（不同于 BC），E、F 为切点，求 证 EF 在△ABC 内部一段长等于它在外部两段长之和.
证明：延长 AE 交 CB 于 M, A
连 DE，则 DE⊥AM
BE=BD
∴∠BED=∠BDE
∴∠BME+∠BDE M
=∠BEM+∠BED
=90°
EG
R H
F
B
D
C
N
第 10 题图
∴∠BME=∠BEM. ∴BM=BE ∴ BM=BD
即 B 为 DM 的中点，∵ EH∥MD. ∴ G 为 EH 的中点
证明：∵ DE∥AC E
CE∥AF
AC=AF
C
B
∴ ACEF 为菱形
F
∴∠FAE=∠EAC=∠FEA 在△ADF 中
D
A
第 5 题图
AF²=AD²+DF²－2AD·DFcos135° AF= 2 AD=1
DF 1 ( 6 2)
∴ cos DFA
3
∠DFA=30°
2
2
∴∠DAF=45°－∠FAC=45°－∠DAF=45°－30°=15°
Baidu Nhomakorabea
F E
H
A
O DG
B
∴ AG2=AC2 即 AG=AC
第 3 题图
4. 在正方形 ABCD 中，F 为 CD 的中点，过 D 作 DE⊥AF 于 G，
且交 AC 于 E，，求证：∠EFC=∠AFD. 证明：连接 BE 并延长 DE 交 BC 于 H, ∵ DG⊥AF ∴CH=DF ∴ DF=FC=CH=HB
∴∠DAE－∠FAE=EAC=15°
6. 已知 AC⊥AB, BD⊥AB, AD 与 BC 交于 E， 过 E 作 EF⊥
AB 于 F，求证∠AFC=∠BFD. 证明：∵ BD∥EF∥CA
D
B
BE BF EC AF
E
F
BD BE AC EC
C
A
第 6 题图
BF BD AF AC
∠FBD=∠FAC=90°
同理 R 为 HF 的中点. ∴ GR=EG+FR
11. 已知⊙O1 与⊙O2 交于 P、Q 两点，一外公切线切两圆于 A、 B，其中点 P 与 AB 在 O1O2 的两旁，求证：
(1) ∠O1PO2=2∠APB; (2) ∠AQB=180°－½∠O1PO2 证明：(1) ∠1=∠4，
∠3=∠5， ∠4+∠PAB+∠5+∠PBA=180° ∠2=180°－∠PAB－∠PBA
D
F
C
G
E
H
∴ △FCE≌△HCE
A
B
第 4 题图
∴ EF=FH
∴ △DEF≌△BEH
∴ ∠BEH=∠DEF F、E、B 三点共线，∴ ∠EFC=∠AFD
5. 在正方形 ABCD中，作 DE∥AC,在 DE上取一点 F，使 AF=AC，
又作 CE∥AF 交 DE 于 E， 连接 AE，求证：∠DAF=∠FAE=∠EAC.