初等几何研究 第十四章几何题的证明
初等几何研究 第十四章几何题的证明
证明：∵ DE∥AC E
CE∥AF
AC=AF
C
B
∴ ACEF 为菱形
F
∴∠FAE=∠EAC=∠FEA 在△ADF 中
D
A
第 5 题图
AF²=AD²+DF²－2AD·DFcos135° AF= 2 AD=1
DF 1 ( 6 2)
∴ cos DFA
3
∠DFA=30°
2
2
∴∠DAF=45°－∠FAC=45°－∠DAF=45°－30°=15°
初等几何研究习题解
《中学数学教材教法》，主编 赵振武 副主编 章士藻 第三分
册 《初等几何研究》习题解答
第十四章 几何题的证明
习题十四
1. 圆内三弦 AB、CD、EF 两两相交于 P、Q、R，且 PC=QE=RA,
PB=QD=RF,求证：△PQR 是正三角形.
证明：如图圆中三弦 AB、CD、EF 两两相交于 P、Q、R，并且 PC=QE=RA，
B
D
C
第 16 题图
∴ BE BD ① AD AC
CF CD ② AC BC
①×②得 BE CF BD CD AD AC AC BC
AD·BD·CD=BE·CF·BC
即
AD3=BC·BE·CF
17. 已知 AM 是△ABC 中 BC 边上中线，任作一直线交 AB、AC、
AM 于 P、Q、N，求证： AB 、 AM 、 AC 成等差数列
tan∠CAD －tan∠B= 1 ( 5 1)﹥0 2
而
∠CAD、∠B∈（0°， 90°） ∴ ∠CAD﹥∠B
16. 在△ABC 中，已知∠A=90°，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥
初中生如何做好几何证明题(含答案)
14.若何做几何证实题【常识精读】1. 几何证实是平面几何中的一个主要问题,它对造就学生逻辑思维才能有着很大感化.几何证实有两种根本类型：一是平面图形的数目关系;二是有关平面图形的地位关系.这两类问题经常可以互相转化,如证实平行关系可转化为证实角等或角互补的问题.2. 控制剖析.证实几何问题的经常运用办法：（1）综正当（由因导果）,从已知前提动身,经由过程有关界说.定理.正义的运用,慢慢向前推动,直到问题的解决;（2）剖析法（执果索因）从命题的结论斟酌,斟酌使其成立须要具备的前提,然后再把所需的前提算作要证的结论持续斟酌,如斯慢慢往上逆求,直到已知事实为止;（3）两端凑法：将剖析与综正当归并运用,比较起来,剖析法利于思虑,综正当易于表达,是以,在现实思虑问题时,可归并运用,灵巧处理,以利于缩短题设与结论的距离,最后达到证实目标.3. 控制结构根本图形的办法：庞杂的图形都是由根本图形构成的,是以要擅长将庞杂图形分化成根本图形.在更多时刻须要结构根本图形,在结构根本图形时往往须要添加帮助线,以达到分散前提.转化问题的目标.【分类解析】1.证实线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证实中最根本也是最主要的一种相等关系.许多其它问题最后都可化归为此类问题来证.证实两条线段或两角相等最经常运用的办法是运用全等三角形的性质,其它如线段中垂线的性质.角等分线的性质.等腰三角形的剖断与性质等也经经常运用到.例1. 已知：如图1所示,∆ABC中,∠=︒===90，，，.C AC BC AD DB AE CF求证：DE＝DF剖析：由∆ABC是等腰直角三角形可知,∠=∠=︒A B45,由D是AB中点,可斟酌贯穿连接CD,易得CD AD=,∠=︒DCF45.从而不难发明∆∆≅DCF DAE证实：贯穿连接CD解释：在直角三角形中,作斜边上的中线是经常运用的帮助线;在等腰三角形中,作顶角的等分线或底边上的中线或高是经常运用的帮助线.显然,在等腰直角三角形中,更应当贯穿连接CD,因为CD既是斜边上的中线,又是底边上的中线.本题亦可延伸ED到G,使DG＝DE,贯穿连接BG,证∆EFG是等腰直角三角形.有兴致的同窗无妨一试.例2. 已知：如图2所示,AB＝CD,AD＝BC,AE＝CF.求证：∠E＝∠F证实：贯穿连接AC在∆ABC和∆CDA中,在∆BCE和∆DAF中,解释：运用三角形全等证实线段求角相等.常须添帮助线,制作全等三角形,这时应留意：（1）制作的全等三角形应分离包含求证中一量;（2）添帮助线可以或许直接得到的两个全等三角形.2.证实直线平行或垂直在两条直线的地位关系中,平行与垂直是两种特别的地位.证两直线平行,可用同位角.内错角或同旁内角的关系来证,也可经由过程边对应成比例.三角形中位线定理证实.证两条直线垂直,可转化为证一个角等于90°,或运用两个锐角互余,或等腰三角形“三线合一”来证.例3. 如图3所示,设BP.CQ是∆ABC的内角等分线,AH.AK分离为A到BP.CQ 的垂线.求证：KH∥BC剖析：由已知,BH等分∠ABC,又BH⊥AH,延伸AH交BC于N,则BA＝BN,AH＝HN.同理,延伸AK交BC于M,则CA＝CM,AK＝KM.从而由三角形的中位线定理,知KH∥BC.证实：延伸AH交BC于N,延伸AK交BC于M∵BH等分∠ABC又BH⊥AHBH＝BH同理,CA＝CM,AK＝KM∴KH是∆AMN的中位线即KH//BC解释：当一个三角形中消失角等分线.中线或高线重应时,则此三角形必为等腰三角形.我们也可以懂得成把一个直角三角形沿一条直角边翻折（轴对称）而成一个等腰三角形.例4. 已知：如图4所示,AB＝AC,∠，，90.A AE BF BD DC=︒==求证：FD⊥ED证实一：贯穿连接AD在∆ADE和∆BDF中,解释：有等腰三角形前提时,作底边上的高,或作底边上中线,或作顶角等分线是经常运用帮助线.证实二：如图5所示,延伸ED到M,使DM＝ED,贯穿连接FE,FM,BM解释：证实两直线垂直的办法如下：（1）起首剖析前提,不雅察可否用供给垂直的定理得到,包含添经常运用帮助线,见本题证二.（2）找到待证三直线所构成的三角形,证实个中两个锐角互余.（3）证实二直线的夹角等于90°.3.证实一线段和的问题（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段,证实其余部分等于另一较短线段.（截长法）例5. 已知：如图6所示在∆ABC中,∠=︒B60,∠BAC.∠BCA的角等分线AD.CE 订交于O.求证：AC＝AE＋CD剖析：在AC上截取AF＝AE.易知∆∆B60,知≅,∴∠=∠AEO AFO12.由∠=︒，，.∴∠=∠=∠=∠=︒∠+∠=︒∠=︒∠+∠=︒566016023120123460,得：≅∴=，∆∆FOC DOC FC DC证实：在AC上截取AF＝AE又∠=︒B60即AC AE CD=+（二）延伸一较短线段,使延伸部分等于另一较短线段,则两较短线段成为一条线段,证实该线段等于较长线段.（补短法）例6. 已知：如图7所示,正方形ABCD中,F在DC上,E在BC上,∠=︒EAF45.求证：EF＝BE＋DF剖析：此题若模仿例1,将会碰到艰苦,不轻易运用正方形这一前提.无妨延伸CB至G,使BG＝DF.证实：延伸CB至G,使BG＝DF在正方形ABCD中,∠=∠=︒=90，ABG D AB AD又∠=︒EAF45即∠GAE＝∠FAE4.中考题：如图8所示,已知∆ABC为等边三角形,延伸BC到D,延伸BA到E,并且使AE＝BD,贯穿连接CE.DE.求证：EC＝ED证实：作DF//AC交BE于F∆ABC是正三角形∴∆BFD是正三角形又AE＝BD即EF＝AC题型展现：证实几何不等式：例题：已知：如图9所示,∠=∠>12，AB AC.求证：BD DC>证实一：延伸AC到E,使AE＝AB,贯穿连接DE在∆ADE和∆ADB中,证实二：如图10所示,在AB上截取AF＝AC,贯穿连接DF则易证∆∆≅ADF ADC解释：在有角等分线前提时,常以角等分线为轴翻折结构全等三角形,这是经常运用帮助线.【实战模仿】1. 已知：如图11所示,∆ABC 中,∠=︒C 90,D 是AB 上一点,DE⊥CD 于D,交BC 于E,且有AC AD CE ==.求证：DE CD =122. 已知：如图12所示,在∆ABC 中,∠=∠A B 2,CD 是∠C 的等分线. 求证：BC ＝AC ＋AD3. 已知：如图13所示,过∆ABC 的极点A,在∠A 内任引一射线,过B.C 作此射线的垂线BP 和CQ.设M 为BC 的中点.求证：MP ＝MQ4. ∆ABC 中,∠=︒⊥BAC AD BC 90，于D,求证：()AD AB AC BC <++14【试题答案】1. 证实：取CD 的中点F,贯穿连接AF又∠+∠=︒∠+∠=︒14901390，2. 剖析：本题从已知和图形上看仿佛比较简略,但一时又不知若何下手,那么在证实一条线段等于两条线段之和时,我们经常采取“截长补短”的手段.“截长”即将长的线段截成两部分,证实这两部分分离和两条短线段相等;“补短”即将一条短线段延伸出另一条短线段之长,证实其和等于长的线段.证实：延伸CA 至E,使CE ＝CB,贯穿连接ED在∆CBD 和∆CED 中,又∠=∠+∠BAC ADE E3. 证实：延伸PM 交CQ 于R又BM CM BMP CMR，=∠=∠∆斜边上的中线∴QM是Rt QPR4. 取BC中点E,贯穿连接AE。
几何证明的基本方法
几何证明的基本方法几何证明是数学中一种重要的推理方法，通过运用几何知识和定理，以及逻辑推理，来说明几何问题的正确性。
在进行几何证明时，我们可以运用一些基本的方法和技巧，帮助我们更好地展示证明过程，并确保结论的准确性。
本文将介绍一些常用的几何证明的基本方法。
一、直接证明法直接证明法是最常用的几何证明方法之一。
它的基本思路是利用已知条件和几何定理，通过一系列逻辑推理，直接得出结论。
例如，现有一个三角形ABC，已知AB=AC，需要证明∠B=∠C。
我们可以通过以下步骤进行直接证明：1. 根据已知条件，得到AB=AC；2. 利用等边三角形的性质，得到∠B=∠C，并给出证明过程。
二、间接证明法间接证明法与直接证明法相反，它是通过排除一切其他可能性，间接证明出所要证明的结论。
这种方法常用于复杂且难以直接证明的几何问题。
例如，现有一个平行四边形ABCD，需要证明对角线AC与BD相等。
我们可以通过以下步骤进行间接证明：1. 假设对角线AC与BD不相等；2. 利用平行四边形的性质和已知条件，进行逻辑推理，得出AC与BD相等的结论；3. 排除了AC与BD不相等的可能性，证明结论成立。
三、反证法反证法是一种常用的几何证明方法，它通过假设所要证明的结论不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题的真实性。
例如，现有一个直角三角形ABC，需要证明∠B=90度。
我们可以通过以下步骤进行反证法证明：1. 假设∠B不等于90度；2. 利用直角三角形的性质，通过逻辑推理得出∠B=90度；3. 得到矛盾的结论，推翻了假设，证明∠B=90度成立。
四、构造法构造法是利用几何工具，在已知条件下构造出满足某种要求的几何图形，从而推导出所要证明的结论。
例如，现有一个等边三角形ABC，需要证明三条边相等。
我们可以通过以下步骤进行构造法证明：1. 在AB、BC、CA之间分别用直尺和圆规作等边三角形ABC的三条边；2. 利用等边三角形的构造，得到三条边相等的结论。
初中几何证明分析方法简析
初中几何证明分析方法简析
几何证明是数学中的重要部分，需要依托一定的分析方法才能解决复杂的问题。
下面
将简要介绍几何证明的分析方法。
1. 运用数学分析方法
几何证明通常需要依托一些特殊的几何定理或公式，这些定理或公式有时可以运用数
学分析方法进行计算。
例如，在证明平行四边形对角线相交于其中点这一定理时，可以利
用向量分析的方法来证明。
将平行四边形的对角线向量分别表示为a和b，点O表示对角线的交点，那么有a + b = 0，2O = a + b，因此O为对角线的中点。
2. 运用几何图形特点
几何图形的特点是几何证明的重要依据。
例如，在证明相似三角形两边对角度相等时，可以利用其对应角相等的性质，从而得到证明。
在证明垂臂定理时，可以利用垂直角度相
等的性质，从而得出证明结论。
3. 运用逆向推理法
逆向推理法是一种常用的分析方法。
在证明中，可以通过逆向推理先假设结论成立，
再根据已知条件逐步推导得出。
如果得出的结论和假设一致，那么证明就完成了。
例如，
证明勾股定理时，可以先假设c的平方等于a的平方加b的平方，接着运用三角形面积和
勾股定理的公式得出结论，进而证明是正确的。
数学归纳法是解决一类问题的重要方法，其基本思想是：如果一个结论在某个情况下
成立，并且在有一个或几个条件下也成立，那么就可以认为该结论对所有情况都成立。
在
几何证明中，也可以运用归纳法来证明一类问题。
例如，在证明多边形内角和公式时，可
以先证明三角形内角和公式成立，再通过加一个角逐步推导到任意多边形，从而得到结
论。
初中数学知识归纳几何证明方法与技巧
初中数学知识归纳几何证明方法与技巧几何证明在初中数学学习中占据重要地位，它不仅锻炼了学生的逻辑思维能力，同时也帮助他们更好地理解几何概念和性质。
本文将从几何证明方法和技巧两个方面，对初中数学知识进行归纳总结，帮助同学们更好地掌握几何证明。
一、几何证明方法1. 直接证明法：直接证明法是指通过逻辑推理，通过列举已知条件，应用定理或性质得出结论。
例如，在证明“两角的平分线相交于一点，证明这两个角是相等的”时，可以通过假设两角的平分线不相交，然后运用已有定理，如“两条直线如果相交，那么相交时所成的两对相邻角互补”，反驳这一假设，最终得出结论。
2. 反证法：反证法是指通过“假设取反”来推导出矛盾的结论，从而证明原命题。
例如，在证明“平行四边形的对角线相等”时，可以先假设平行四边形的对角线不相等，通过推理得出与已知矛盾的结论，因此可以推出对角线相等。
3. 数学归纳法：数学归纳法是一种用于证明一个关于正整数的性质的方法。
在几何证明中，数学归纳法常用于证明类似“正 n 边形的内角和等于 (n - 2) × 180°”这样的结论。
4. 分类讨论法：有时候，一个几何证明的结论在不同的情况下是不同的，这时候可以采用分类讨论法。
例如，在证明“平行线上的对应角相等”时，可以分为三种情况：直角、钝角和锐角，分别来讨论并证明。
5. 使用等边、等角特性：在几何证明中，等边和等角是常用的证明工具。
通过找到等边或等角的性质，可以推导出一些结论。
例如，在证明“三角形的内角和等于180°”时，可以构造一个等腰三角形，通过等边和等角的性质，得出结论。
二、几何证明技巧1. 图形辅助：在几何证明中，合理地画图可以帮助我们更好地理解问题，并且有助于我们找到解决问题的方法。
在证明时，通过画图可以清晰地展示已知条件和结论，有助于我们观察和推理。
2. 引入辅助线段：在几何证明中，引入辅助线段可以帮助我们分析出问题中的隐藏关系，并以此为基础进行推导。
初中几何证明题解题思路
初中几何证明题解题思路几何证明是数学中重要的一部分，通过证明题目中的几何性质，我们可以进一步理解和应用几何知识。
本文将介绍一些解题思路和方法，帮助初中学生更好地应对几何证明题。
一、直线的证明1. 平行线的证明：要证明两条线段平行，可以利用平行线的性质，如同位角相等、内错角相等等。
根据题目给出的已知条件，运用这些性质进行推导和证明即可。
2. 垂直线的证明：要证明两条线段垂直，可以利用垂直线的性质，如互余角相等、互补角相等等。
根据已知条件，使用这些性质进行推导和证明。
3. 点在线段中垂线的证明：该证明通常应用于证明等腰三角形、相似三角形等问题中。
可以利用垂直线的性质，将问题转化为垂线问题，再通过垂线的角度关系进行证明。
二、三角形的证明1. 等边三角形的证明：要证明一个三角形是等边三角形，可以利用等边三角形的性质，即三条边相等。
通过对已知条件进行推导和运算，最终得出结论。
2. 相似三角形的证明：相似三角形是几何证明中常见的一种类型。
要证明两个三角形相似，可以利用相似三角形的性质，如对应角相等、对应边成比例等。
通过对已知条件进行推导和运算，最终得出结论。
三、四边形的证明1. 矩形的证明：要证明一个四边形是矩形，可以利用矩形的性质，如对角线相等、内角为直角等。
通过对已知条件进行推导和运算，最终得出结论。
2. 平行四边形的证明：要证明一个四边形是平行四边形，可以利用平行四边形的性质，如对角线互相平分、同位角相等等。
通过对已知条件进行推导和运算，最终得出结论。
以上是一些常见的初中几何证明题解题思路。
在解题过程中，我们需要熟练掌握几何图形的性质和定理，灵活运用这些性质进行推导和证明。
同时，需要注意画图准确、逻辑严谨，清晰地呈现证明过程。
为了提高解题效率，我们可以使用分类整理法。
先根据题目中给出的几何形状，确定题目所涉及的几何性质，再找出相关的定理和公式。
将已知条件和待证事实进行对比和联系，根据已知条件推导出待证事实，最终得出结论。
几何证明知识点
几何证明知识点几何证明是数学学科中的一项重要内容，通过逻辑推理和几何定理的运用，来论证几何问题的正确性。
在几何证明中，需要掌握一些基本的知识点和方法。
本文将介绍一些常见的几何证明知识点。
一、垂直线段的性质在几何证明中，常常需要证明某两条线段或者线段与直线垂直。
垂直线段的性质有以下几点：1. 垂直线段的定义：当两条线段的乘积为0时，它们互相垂直。
2. 垂直线段的性质：如果两条线段的斜率乘积为-1，那么这两条线段互相垂直。
3. 两直线垂直的条件：两条直线的斜率乘积为-1时，这两条直线垂直。
二、角的性质与证明角是几何中非常重要的概念，角的性质与证明方法是几何证明的重点之一。
下面介绍一些常见的角的性质和证明方法：1. 交角的性质：交角的两个邻补角相等。
2. 顶角的性质：在一个三角形中，顶角的和等于180度。
3. 同位角的性质：同位角互相相等。
4. 反向角的性质：反向角互相相等。
三、相似三角形的性质与证明相似三角形是几何证明中常常涉及的一个概念，下面介绍一些相似三角形的性质与证明方法：1. 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应角相等，那么它们是相似三角形。
2. AA判定相似：如果两个三角形的两个角对应相等，那么它们是相似的。
3. SAS判定相似：如果两个三角形的一个角相等，两个边的比值相等，那么它们是相似的。
4. SSS判定相似：如果两个三角形的三条边的比值相等，那么它们是相似的。
四、平行线与证明平行线是几何证明中常需要研究的一个概念，下面介绍一些平行线的性质与证明方法：1. 平行线的定义：如果两条直线上的任意两个点的连线与另一条直线垂直，那么这两条直线是平行线。
2. 平行线的性质：如果两条直线被一条平行线截断，那么对应的对内角相等，对外角互为补角。
3. 相交线的性质：如果两条直线被一条平行线截断，那么对应的同位角互相相等。
五、圆的性质与证明圆是几何证明中常见的图形，下面介绍一些圆的性质与证明方法：1. 圆的定义：圆是平面上所有到中心距离相等的点的集合。
几何定理证明：几何定理的证明
几何定理证明：几何定理的证明几何定理是数学中非常重要的一部分，它们是建立和推导几何关系的基础。
在几何学中，定理的证明是确保定理的正确性和可靠性的关键步骤。
本文将介绍几何定理的证明过程，并以几个典型的几何定理为例进行详细阐述。
一、直角三角形的勾股定理证明勾股定理是几何中最经典且重要的定理之一，它声称：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
该定理的证明可以通过几何方法或代数方法来展开。
几何方法证明：以直角三角形ABC为例，其中∠B为直角。
我们可以通过画图来证明勾股定理。
1. 以BC为边，作一个正方形BCDE。
2. 连接AC和AE。
3. 证明四边形ABED是一个平方。
4. 由于正方形的性质，我们可以得出AE和BD是相等的。
5. 观察三角形ACD和三角形ABC，它们的两个角分别相等，并且一边相等，所以它们是全等三角形。
6. 根据全等三角形的性质，我们可以得出AD和AB相等。
7. AD是直角边的平方，AB是斜边的平方，因此AD的平方加上AB的平方等于斜边AC的平方，从而证明了勾股定理。
代数方法证明：我们可以使用代数方法证明勾股定理。
设直角三角形ABC中，∠B为直角，AB=a，BC=b，AC=c。
根据直角三角形的定义，我们可以得到两个关系式：a² + b² = c²（1）tan(∠B) = a/b （2）将式（2）代入式（1），得到：a² + (a/tan(∠B))² = c²经过变形和化简，我们最终可以得到：(1 + tan²(∠B))a² = c²由于tan²(∠B) + 1 = sec²(∠B)（余切定理），所以我们可以进一步化简为：sec²(∠B) a² = c²最后，我们得到了勾股定理的形式。
二、等腰三角形底角定理证明等腰三角形是指两边相等的三角形。
在等腰三角形中，底角定理成立，即等腰三角形的底角是两个顶角的一半。
初中生如何做好几何证明题(含答案)
14、如何做几何证明题【知识精读】1。
几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。
几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。
这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。
2。
掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1)综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；（2)分析法(执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。
3。
掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的,因此要善于将复杂图形分解成基本图形。
在更多时候需要构造基本图形,在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的. 【分类解析】1、证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系.很多其它问题最后都可化归为此类问题来证.证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。
例1. 已知:如图1所示,∆ABC 中，∠=︒===C AC BC AD DB AE CF 90，，，。
求证：DE ＝DF分析：由∆ABC 是等腰直角三角形可知，∠=∠=︒A B 45，由D 是AB 中点，可考虑连结CD ，易得CD AD =，∠=︒DCF 45。
从而不难发现∆∆DCF DAE ≅ 证明：连结CDAC BC A BACB AD DBCD BD AD DCB B A AE CF A DCB AD CD=∴∠=∠∠=︒=∴==∠=∠=∠=∠=∠=90，，，，∴≅∴=∆∆ADE CDFDE DF说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。
几何证明—证题法(初等数学课件)
演绎法和归纳法
完全归纳法是对研究的全体对象一一考察，发现它们都是具有某种属性， 从而总结出一般性结论的方法。完全归纳法得到的结论是可靠的，是一种严 格的证明方法，当研究对象个数有限时，要注意一一验证，不能遗漏。当研 究对象个数无限时，一般用数学归纳法证明，数学归纳法是一种完全归纳法。
设圆心 O 在圆周角 APB的内部，过 P 作直径 PC ，由（1）得
AOB AOC BOC 2APC 2BPC 2APB
演绎法和归纳法
（3）圆心在圆周角的外部
设圆心O 在圆周角APB的外部，仍然过
P 作直径 PC ，由（1），得
AOB BOC AOC 2BPC 2APC 2APB
综上可知，同弧所对的圆心角是圆周角的 2 倍。
综合法和分析法
例 如图所示，在 ABCD 中，点 M , N 分别是 BC, AD 的中点， AM 和CN 分别交 对角线 BD 于 E, F ，求证： BE EF FD
证法 1（分析法）要证 BE EF 在 BCF 中，因为点 M 是 BC 的中点
故只需证明 EM // FC 。
综合法和分析法
初等数学研究
直接证法和反证法
直接证法
直接证法就是由已知条件出发，根据定义、公理和定理，按正确的 推理形式直接推出结论的真实性的证明方法。
直接证法
例 1 如图所示，在⊙O 中，弦 AB 与 CD 相交 于 E ， AE EC ，求证 AD CB .
证明 连接 AD，CB 因为同弧所对的圆周角相等， 所以 A C,D B .
演绎法和归纳法
例 证明：同弧所对的圆心角是圆周角的两倍。 （1）圆心在圆周角的一条边上
设圆心 O 在圆周角 APB的一条边 PA 上， 则 PA为直径，由三角形的一个外角等于不 相邻的两内角之和得 AOB APB B 。 又因OP OB ，所以B APB。
华师大版八年级数学上册第14章第1节《反证法》课件
当堂练习
1.试说出下列命题的反面： （1）a是实数; a不是实数 （2)a大于2; a小于或等于２ （3）a小于2; a大于或等于２ （4）至少有2个; 没有两个 （5）最多有一个; 一个也没有 （6）两条直线平行; 两直线相交 2.用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”的第一步是 假设a=b . 3.用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个 三角形不是等腰三角形”的第一步假设这个三角形是等腰三角形 .
4.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定 是（ C ） A.有两个内角是直角 B.有三个内角是直角 C.至少有两个内角是直角 D.没有一个内角是直角
5.否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设 为（ D ） A.a，b，c都是奇数 B. a，b，c都是偶数 C. a，b，c中至少有两个偶数 D. a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
（a≤b≤c）,a2 +b2 ≠ c2”，请问这个三角形是否一定不是直角三
角形呢？请说明理由.
A
探究： （1）假设它是一个直角三角形; （2）由勾股定理，一定有a2 +b2 ＝c2，与已知 b 条件a2 +b2 ≠ c2矛盾； （3）因此假设不成立，即它不是一个直角三 C
角形.
c
a
B
探究发现
这种证明方法与前面的证明方法不同，其步骤为： (1)先假设结论的反面是正确的; (2)然后通过逻辑推理，得出与基本事实、已证的定理、 定义或已知条件相矛盾； (3)从而说明假设不成立，进而得出原结论正确。
以考虑用反证法.
证明：假设a与b不止一个交点，不妨假设有两个交点A和A',
因为两点确定一条直线，即经过点A和A’的直线有且只有一
初等几何的证明方法
初等几何的证明方法初等几何是数学中的重要分支，它以点、线、面的基本概念和直观的几何图形为基础，通过推理和论证来证明几何命题。
在初等几何中，有许多常用的证明方法。
本文将介绍一些常见的初等几何证明方法，包括直接证明法、间接证明法、假设法以及数学归纳法。
直接证明法是最常用的证明方法之一。
它通过逻辑思维和几何性质直接推导出结论。
这种证明方法从已知条件出发，通过一系列的逻辑推理和想象，得出结论。
例如，我们要证明一个三角形的两边之和大于第三边，我们可以假设三角形的三条边分别为a、b、c，根据三角形的定义和直角三角形的性质，推导出a+b>c的结论。
间接证明法则是另一种常见的证明方法。
它通过假设命题的否定，从而推出与已知条件相矛盾的结论，进而证明原命题的正确性。
在间接证明中，我们首先假设所要证明的命题为假，然后通过推理得出一个矛盾结论，从而证明原命题的正确性。
例如，我们要证明在一个等边三角形中，三条边的长度相等，可以通过假设这个命题不成立，即存在一个边的长度与其他两边不相等，然后通过推理可以得出一个矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。
假设法是初等几何中常用的证明方法之一。
它通过假设某个条件成立，然后通过推理和演绎得出结论。
这种证明方法常用于证明一些关于线段、角度和三角形等几何命题。
例如，要证明一个四边形是矩形，我们可以假设四边形的对角线互相垂直，然后通过对角线垂直性质和线段长度的性质，推导出四条边两两平行的结论，从而证明这个四边形是矩形。
数学归纳法在初等几何中也有一定的应用。
它是一种证明数学命题的常用方法，适用于证明一系列的命题。
在初等几何中，常用数学归纳法证明一些等差数列、等比数列的性质。
例如，我们要证明n边形的内角和公式为(n-2)×180°，可以通过数学归纳法证明。
首先证明当n=3时命题成立，然后假设当n=k时命题成立，再利用等差数列的性质推导出当n=k+1时命题也成立，从而得出结论。
几何证明的基本推证方法
几何证明的基本推证方法一、综合法从已知条件出发，以公理、定理为依据，进行推理、论证。
直至导出所需求证的结论。
例1、AB为⊙O直径，AC为弦，CD切⊙O于C，BD⊥CD于D，延长AC、BD，交于E，求证：AB=BE思考方法：由CD是⊙O切线可知，CD与过C点的半径垂直，则有半径平行BD，产生同位角相等。
例2、已知：如图，BE ABEF AC=,求证：△CDF是等腰三角形思考方法：由比例式BE ABEF AC=可想到作平行线，导出所要求证的结论例3、已知：圆内接四边形对角线交于P，且AC⊥BD,PE⊥AD交BC于F，求证：F 为BC边的中点思考方法：由垂线可证∠1＝∠2，推出∠3＝∠4，由等角证等边，可达目的二、分析法欲证此结论，须有何条件，再需有什么新条件，如此一步步以公理、定理为依据，进行探求，直至导出题目中所给定的条件，倒推回去，即是证明的叙述过程。
例1、已知AD为△ABC的角平分线，E为BC上任意一点，EG∥AD交AB、AC（或延长线）于F、G，求证BE BFEC CG例2、已知：△ABC内接于⊙O，AE为⊙O直径，AD⊥BC于D，求证：∠BAE=∠CAD三、综合分析法即综合法与分析法兼而有之，因为综合法由已知可以导出的结论有时很多，怎样选择，要由分析法所导出的需求条件进行取舍，这样取各法之长，思路更为快捷。
例1、⊙O与⊙O′交于A、B两点，P为⊙O上任意一点，PA、PB分别交⊙O′于A′、B′，EF切⊙O于P点，求证：EF∥A′B′例2、已知：等腰梯形ABCD中，AB∥CD，求证：AC2=BC2+AB•CD例3、⊙O的弦AD与直径AB夹角为300，在AB的延长线上取C，使CD=AD，求证：DC为⊙O的切线四、反证法欲证命题的结论，可从结论的否定出发，经过合理的推理论证，导出与命题的条件或几何中的公理、定理相矛盾的结论，从而说明结论的否定使错误的，而原命题的结论是正确的。
例1、证明：等腰三角形的底角必为锐角。
北师大版数学七年级下册专题十四几何证明课件
证明：∵ ∠ = ∠，
∴ ∠ + ∠ = ∠ + ∠，即∠ = ∠.
在△ 和△ 中，
∠ = ∠,
ቐ∠ = ∠,
= ,
∴△ ≌△ ，∴ = .
4.如图，完成下列推理过程：
如图所示，点E在△ ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于点
= ,
ቐ = ′ ,
= ′ ,
∴△ ≌△ ′ .
（2）若∠BAC = 100∘ ，求∠DAE的度数.
解：∵△ ≌△ ′，
∴ ∠ = ∠′，∴ ∠ = ∠′ = ∘ ，
∵ 以△ 的边所在直线为对称轴作△ 的轴对称图形△ ′，
∴ ∠ + ∠ = ∘ ，∵ ∠ = ∘ ，
∴ ∠ + ∠ 中，
∠ = ∠ = ∘ ,
ቐ∠ = ∠,
∴△ ≌△ .
= ,
（2）当AD = 3，BE = 1时，求DE的长.
解：∵△ ≌△ ，∴ = = ， = = ，∴ = + =
+ = .
类型二 与轴对称有关的几何证明
8.如图，在△ ABC中，AB = AC，D，E是BC边上的点，连
接AD，AE，以△ ADE的边AE所在直线为对称轴作△ ADE
的轴对称图形△ AD′E，连接D′C，若BD = CD′.
∠ABC交AC于点F，AE ⊥ BF交BF的延长线于点E，AE，BC的
延长线交于点M.
（1）求证：AB = BM；
证明：由题意得 ⊥ ，∴ ∠ = ∠ = ∘ .
∵ 平分∠，∴ ∠ = ∠.
在△ 和△ 中，
∠ = ∠ = ∘ ,
∴ ∠ = ∠′ =
初中数学几何证明方法总结
初中数学几何证明方法总结几何证明是数学学科中非常重要的一部分，它旨在通过使用逻辑推理和几何性质来解决各种几何问题。
在初中数学教学中，有许多常用的几何证明方法，下面将对其中一些常见的方法进行总结和说明。
一、直接证明法直接证明法是最常见的证明方法之一。
它的基本思想是根据已知条件，通过逻辑推理和几何性质来得出结论。
一般采用以下步骤进行证明：1. 根据已知条件作出几何图形，并标注相关的角、线段等。
2. 根据图形性质和已知条件，运用几何定理和定律进行推理，逐步得出结论。
3. 证明过程中需要使用一些基本事实和过程，例如平行线的性质、角的性质以及三角形的性质等。
4. 最后，通过逻辑推理将已知条件与推理步骤连接起来，得出结论。
二、间接证明法间接证明法是一种通过反证法来证明问题的方法。
其基本思想是，假设问题的结论不成立，从而得出与已知条件矛盾的结论，推出原问题的结论成立。
1. 首先，通过分析问题，假设问题的结论不成立，即假设与题目要求相反的情况。
2. 根据已知条件和假设的情况，进行逻辑推理，使用几何定理和定律，得出一系列推论。
3. 在推论的过程中，如果推理得到与现实矛盾的结论，即与已知条件不符合，那么原问题的结论就是成立的。
4. 最后，根据推论的结论撤销假设，得出原问题的结论。
三、切线证明法切线证明法主要用于证明与圆相关的性质。
在证明问题过程中，需要运用到圆内切角、切线与半径垂直等性质。
常见的切线证明方法有以下几种：1. 以圆心为原点建立坐标系，根据圆心、切点和切线的关系得出结论。
2. 利用勾股定理和三角形的辅助线，根据圆、切点和切线的关系得出结论。
3. 通过观察和运用几何性质，结合已知条件进行推理，得出与问题相关的结论。
四、相似证明法相似证明法是一种通过相似三角形的性质来证明问题的方法。
它适用于证明线段比例、角度比例、图形相似等问题。
其中有几种常见的相似证明方法：1. 根据已知条件和相似三角形的定义，通过角度对应相等、边长成比例等性质进行推理，得出结论。
《几何原本》第十四、十五卷命题一览
《几何原本》第十四、十五卷命题一览现在通行的汉语白话版《几何原本》，是以希斯整理的英文版为基础的。
这个版本只有十三卷，而本文提到的第十四卷、十五卷，其母本与之不同。
一般认为，这两卷不是欧几里得所著，但既能附骥于后，自有一定价值，如一直不能与读者见面，亦属可惜。
我经多方查找，最终在上海古籍出版社1996年版的《续修四库全书·子部·西学译著类》中找到了全部十五卷内容。
按，此二卷连同第七至第十三卷，即清末伟烈亚力、李善兰合译部分。
我不揣冒昧，将后两卷译为白话，列之于下，敬请读者一阅。
为方便读者对照及提出意见，将原文一并列出，图则附于白话译文和文言译文之间。
重点字词释义例：引理；系：推论；同球所容、同圆所容：同一球内（的内接多面体）、同一圆内（内接多边形），《几何原本》里指的都是正多面体、正多边形；平圆：圆，中国古代曾以“立圆”称球；中末比：黄金分割，现代白话文版称“中外比”；大分、小分：分别为对一线段黄金分割后得到的大段线段、小段线段，如原线段（中末全线）为1，大分即约为0.618。
前言：这里原著有一段前言如下，笔者没有译出，这是避免错译以贻害读者：此下二卷乃后人所续，或言出亚力山太【地名】虚西格里手。
卷首列书一通，有复以仆所撰者寄呈左右云云。
而书不署名，究不知是虚西氏否也。
与薄大古书某启：推罗白西里第在亚历山太时，与家君时相会语，讲明算学，家君甚爱其明悟。
一日相与论亚波罗泥所著《同球容十二面二十面二体较义》尚未尽善，家君尝与白里第改定其例，其后仆得亚波罗泥别本，论此理甚精微，与昔见本不同，读之不觉狂喜。
此本今已不啻家有其书矣。
然因阁下与家君及仆累世交好，故敢复以仆所撰者寄呈左右。
阁下于此事称最精伏，祈详加检阅，我不逮幸甚。
第十四卷1. 从圆心到该圆内接正五边形的一边做垂线，垂线段长为该圆内接正六边形和内接正十边形边长一半的和。
在ABC圆内，BC为正五边形的一边，D为圆心，做DE垂直BC 于E，延长DE交圆于F，求证DE为该圆内接正六边形、正十边形边长和的一半。
几何证明的基本方法
几何证明的基本方法几何证明是数学中的一种重要方法，通过一系列严密的推理和演绎，来论证某个几何命题的正确性。
在进行几何证明时，我们需要掌握一些基本的方法和技巧。
本文将介绍几何证明的基本方法，帮助读者更好地理解和应用几何知识。
一、直角三角形的证明方法直角三角形是指一个角为90度的三角形。
在几何证明中，经常会遇到直角三角形的推导和证明。
常用的直角三角形证明方法有以下几种：1. 通过勾股定理证明：勾股定理是指在一个直角三角形中，直角边的平方等于其他两条边的平方之和。
通过使用勾股定理，可以推导出三角形的某个边长。
例如，已知一个三角形的两条边长，要证明该三角形是直角三角形，可以使用勾股定理来进行证明。
2. 通过角度证明：直角三角形的一个特点是其中一个角为90度。
在几何证明中，可以通过证明三角形中某个角为90度来得出三角形为直角三角形的结论。
常用的证明方法有使用垂直角、对顶角等角度关系。
二、相似三角形的证明方法相似三角形是指两个三角形的对应角相等，且对应边成比例。
相似三角形的证明在几何证明中也是常见的。
以下是一些常用的相似三角形证明方法：1. AA相似法则证明：AA相似法则是指若两个三角形的两个角相等，则这两个三角形相似。
在进行相似三角形的证明时，可以通过证明两个三角形的两个角相等来得出相似的结论。
2. SSS相似法则证明：SSS相似法则是指若两个三角形的三条边依次成比例，则这两个三角形相似。
在证明两个三角形相似时，可以通过证明三个对应边的比例关系来得出结论。
三、圆的性质的证明方法圆是几何中常见的图形，具有许多重要的性质。
以下是一些常用的圆的性质的证明方法：1. 弧的性质证明：在圆上，弧是指两个点之间的弧段。
在证明圆的性质时，可以通过证明圆上某个弧的性质来得出结论。
常见的弧的性质有圆心角等于弧对应的弦的两倍，弦上的两个等角所对应的弦长度相等等。
2. 切线的性质证明：在圆上，切线是指与圆相切且只有一个交点的直线。
初中几何证明方法总结
初中几何证明方法总结嘿，同学们！今天咱就来好好唠唠初中几何证明那些事儿。
几何证明啊，就像是一场刺激的解谜游戏。
你得找到各种线索，运用合适的方法，才能一步步揭开谜底，证明出那些神奇的结论。
咱先说这全等三角形证明法。
就好比是找到两块一模一样的拼图，通过边边边、边角边、角边角等条件，让它们严丝合缝地对上，这证明不就出来啦！你想想，是不是挺有意思的？还有相似三角形证明法呢！这就像是在一群人里找到和自己长得很像的小伙伴，通过对应边成比例、对应角相等这些特征来确定。
这可需要咱有一双敏锐的眼睛，能发现那些隐藏的相似之处。
平行四边形的证明方法也很重要呀！两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等，这些都是打开平行四边形大门的钥匙呢！你说这像不像找到打开宝藏箱子的密码？再说说中位线定理吧。
中位线就像是一座桥，连接起了三角形两边的中点，能得出好多有用的结论呢！这多神奇呀！那圆呢？圆的证明方法也不少。
比如证明切线，那就是要找到那条和圆相切的线，通过一些条件来确定它的身份。
这就好像是在茫茫人海中找到那个特别的人一样。
在做几何证明题的时候，咱可不能马虎。
要仔细观察图形，把那些隐藏的条件都给找出来。
就像侦探找线索一样，一个小细节都不能放过！要是不小心漏了一个条件，那可就前功尽弃啦！而且啊，咱们还得大胆尝试，多去想想不同的方法。
也许一种方法走不通，换一种就豁然开朗了呢！这就好比是走迷宫，不能一条道走到黑呀，得学会变通。
几何证明不仅能锻炼我们的逻辑思维能力，还能让我们更细心、更有耐心。
每次成功证明出一个结论，那种成就感，简直无与伦比！所以啊，同学们，别害怕几何证明，大胆地去探索吧！相信自己，你们一定能在几何的世界里闯出一片天！加油！。
初中数学知识归纳几何证明题的分析与解题方法
初中数学知识归纳几何证明题的分析与解题方法几何证明题是初中数学中的重要部分，通过解题可以帮助我们巩固基础知识，提升逻辑思维能力。
本文将分析几何证明题的特点，并介绍解题的方法。
一、几何证明题的特点1. 图形清晰：几何证明题通常给出了明确的图形，我们需要仔细观察图形的形状、所给的条件等。
2. 充分条件：几何证明题给出一系列条件，我们需要根据这些条件进行推理和演绎。
在解答过程中，需要充分利用所给条件，灵活运用几何定理和性质。
3. 严格的逻辑性：几何证明题的解答过程需要严密的逻辑推理，每一步都要清晰地说明推理依据。
4. 数学语言的运用：在解答几何证明题时，我们要注意运用数学语言来进行精确的描述，不仅要言之有物，更要条理清晰。
二、解题方法1. 推理和演绎：首先，根据所给的条件进行推理和演绎，找出可能的推理路径。
根据几何定理和性质，可以进行等式推导、证明图形相似、利用垂直关系等等。
通过推理和演绎过程，我们可以得到一系列结果，为接下来的解题提供依据。
2. 反证法：几何证明题中，有时候可以采用反证法来解题。
反证法的基本思路是假设所要证明的结论不成立，然后通过逻辑推理推出矛盾的情况，从而推翻最初的假设。
通过反证法解题可以锻炼我们的逻辑推理能力，培养我们的思维严密性。
3. 分析全局：在解答几何证明题时，我们需要充分把握全局。
我们要观察图形的整体结构，找出其中的特点和规律。
有时候，我们需要从整个图形的角度出发，通过观察、比较、归纳整理相关性质，从而进行证明。
4. 结合具体例子：有时候，我们可以通过结合具体例子进行解题。
首先，我们选择一组具体的数据，画出相应的图形，然后根据特定的条件进行分析和推理。
通过具体例子的解题过程，我们可以更好地理解和掌握几何证明题的解题方法。
5. 利用已掌握的定理和性质：几何证明题通常会涉及到各种几何定理和性质，这就要求我们要牢固掌握各类几何定理和性质，能够熟练运用。
在解答过程中，我们可以参考已经掌握的定理和性质，将其应用到具体的题目中。
几何证明—命题(初等数学课件)
否命题 若则
互逆
互否 为逆
为
逆
互
否
互逆
逆命题 若则
互 否
逆否命题 若则
例题讲解
例 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假： （1）对顶角相等； 解 原命题：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。（真） 逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角。（假） 否命题：如果两个角不是对顶角，那么这两个角不相等。（假） 逆否命题：如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角。（真）
命题的四种形式
一般地，用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论，用p 和q 分别表示 p 和
q 的否定。于是四种命题的形式为：
原命题：若 则 q p q
逆命题：若 q 则 p q p
否命题：若q 则q (p q)
逆否命题：若q 则q (q p)
命题的四种形式
四种命题的关系：
原命题 若则
关于本节课的内容有几点说明：
1．对命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定题设又否定结论； 2．互为逆否命题的两个命题等价，为命题真假判定提供一个策略； 3．通常复合命题“ p 或 q ”的否定为“p 且q ”、“ p 且 q ”的否定为“p
或 q ”、“全为”的否定是“不全为”、“都是”的否定为“不都是”等等； 4．有时一个命题的叙述方式比较的简略，此时应先分清条件和结论，该写成
初等数学研究
命题的四种形式
命题的四种形式
数学命题一般写成假言命题的形式：如果 p ，那么 q （或若 p ，则 q ）。其
中 p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论。任何数学命题都是由条件和结论两部 分组成。如，在命题“如果两个三角形的两条边及其夹角对应相等，那么这两个 三角形全等”中，条件是“两个三角形的两条边及其夹角对应相等”，结论是“这 两个三角形全等”。
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∴∠DAE－∠FAE=EAC=15°
6. 已知 AC⊥AB, BD⊥AB, AD 与 BC 交于 E， 过 E 作 EF⊥
AB 于 F，求证∠AFC=∠BFD. 证明：∵ BD∥EF∥CA
D
B
BE BF EC AF
E
F
BD BE AC EC
C
A
第 6 题图
BF BD AF AC
∠FBD=∠FAC=90°
∴ B、E、D、C 共圆
∴∠B=∠3
F
C
第 7 题图
∠1+∠3+∠FED=180° ∴ ∠FED=∠A
8. 在正六边形外接圆上任取一点，求证该点至各顶点的连线中，
两长者之和必等于其余四者之和.
证明：设∠GAF=α, ∠GFA=β 长： GC+GD=2Rcosα+2Rcosβ
E
D
短： GA+GB+GE+GF =2Rsinβ+2Rcos(60°－β)+ 2R cos(60°－α)+2Rsinα = 2R(cosα+ cosβ) (α+β=30°)
3. 过 AB 为直径的半圆上任意一点 C，作 CD⊥AB 于 D，⊙H
与 CD、弧 BC 分别相切于 E、F，又与 AB 相切于 G，求证：AC=AG.
证明：∵A、E、F 三点共线（△HEF∽△AOF）
连接 BF, ∴ B、F、E、D 四点共圆
C
∴ AG2=AE·AF
而
AE·AF=AD·AB
AD·AB=AC2
PB=QD=RF.根据相交弦定理有：AR×BR=RF×RE
即 AR×(RP+BP)=RF×(RQ+QE) 整理得 AR×RP=RF×RQ 同理可得 EQ×QR=DQ×PQ
F
A
R
所以有
BP×RP=CP×PQ RP:RQ=RF:AR
C P
B
D Q
E
RQ:PQ=DQ:EQ PQ:RP=BP:CP
第 1 题图
证明：设 AC 交 EF 于 M，由于 EF⊥AB ， ∴AD∥EF∥BC
∴ EM DA CE CD
AF MF AB BC
又 DE=DA CE=BC
又 ∵ DE AF DC AB
∴ EM=MF
EM DE MF MF CE DC CB CE 即 AC 平分 EF.
D E C
M
A
F
B
第 2 题图
初等几何研究习题解
《中学数学教材教法》，主编 赵振武 副主编 章士藻 第三分
册 《初等几何研究》习题解答
第十四章 几何题的证明
习题十四
1. 圆内三弦 AB、CD、EF 两两相交于 P、Q、R，且 PC=QE=RA,
PB=QD=RF,求证：△PQR 是正三角形.
证明：如图圆中三弦 AB、CD、EF 两两相交于 P、Q、R，并且 PC=QE=RA，
D
SH
F＇
BE G
C
第 9 题图
∴∠FDH=∠CFD
∴ DH=FH= ½ CF.
AG 垂直平分 DH 于 S ∴DS=EG ∴CF=4EG
10. 在△ABC 中，已知 AB=AC, AD⊥BC, 以 AD 为直径作⊙O，
由 B、C 分别作该圆的切线 BE、CF（不同于 BC），E、F 为切点，求 证 EF 在△ABC 内部一段长等于它在外部两段长之和.
∴ △FBD∽△FAC ∴∠AFC=∠BFD
7. 在锐角△ABC 中，作 BD⊥AC 于 D，CE⊥AB 于 E，取 BC
中点 F，求证：∠FED=∠EDF=∠A.
证明：∵BD⊥AC CE⊥AB
A
∴ F 是 Rt△BEC 和 Rt△BDC 斜边的中点,
E1
3
2D
∴ EF=FD
∴∠FED=∠FDE B
∴ GC+GD= GA+GB+GE+GF
F
C
G
A
B
第 8 题图
9. 在△ABC 中，AB=AC，AG⊥BC，CD 平分∠ACB，DE⊥
BC，在 CB 延长线上取一点 F，使∠CDF=90°，求证:CF=4EG.
证明：∵ CD 平分∠ACB. CD⊥FF＇
∴DF=DF＇,CF=CF＇
AF
过 D 作 DH∥BC 交 AC 于 H. ∴ H 为 CF 的中点, ∵∠DF＇C=∠CFD 而∠FDH=∠DF＇C
D
F
C
G
E
H
∴ △FCE≌△HCE
A
B
第 4 题图
∴ EF=FH
∴ △DEF≌△BEH
∴ ∠BEH=∠DEF F、E、B 三点共线，∴ ∠EFC=∠AFD
5. 在正方形 ABCD中，作 DE∥AC,在 DE上取一点 F，使 AF=AC，
又作 CE∥AF 交 DE 于 E， 连接 AE，求证：∠DAF=∠FAE=∠EAC.
证明：∵ DE∥AC E
CE∥AF
AC=AF
C
B
∴ ACEF 为菱形
F
∴∠FAE=∠EAC=∠FEA 在△ADF 中
D
A
第 5 题图
AF²=AD²+DF²－2AD·DFcos135° AF= 2 AD=1
DF 1 ( 6 2)
∴ cos DFA
3
∠DFA=30°
2
2
∴∠DAF=45°－∠FAC=45°－∠DAF=45°－30°=15°
F E
H
A
O DG
B
∴ AG2=AC2 即 AG=AC
第 3 题图
4. 在正方形 ABCD 中，F 为 CD 的中点，过 D 作 DE⊥AF 于 G，
且交 AC 于 E，，求证：∠EFC=∠AFD. 证明：连接 BE 并延长 DE 交 BC 于 H, ∵ DG⊥AF ∴CH=DF ∴ DF=FC=CH=HB
同理 R 为 HF 的中点. ∴ GR=EG+FR
11. 已知⊙O1 与⊙O2 交于 P、Q 两点，一外公切线切两圆于 A、 B，其中点 P 与 AB 在 O1O2 的两旁，求证：
(1) ∠O1PO2=2∠APB; (2) ∠AQB=180°－½∠O1PO2 证明：(1) ∠1=∠4，
∠3=∠5， ∠4+∠PAB+∠5+∠PBA=180° ∠2=180°－∠PAB－∠PBA
证明：延长 AE 交 CB 于 M, A
连 DE，则 DE⊥AM
BE=BD
∴∠BED=∠BDE
∴∠BME+∠BDE M
=∠BEM+∠BED
=90°
EG
R H
F
B
D
C
N
第 10 题图
∴∠BME=∠BEM. ∴BM=BE ∴ BM=BD
即 B 为 DM 的中点，∵ EH∥MD. ∴ G 为 EH 的中点
根据已知 AR=CP=EQ, BP=DQ=FR
所以有
RP RQ PQ RP RQ PQ 1 RQ PQ RP RQ PQ RP
所以
RP=PQ=RQ 所以△RPQ 为正三角形.
2. 在梯形 ABCD 中, ∠A=∠B=90°,以 AB 为直径的圆切 CD 于
E,过 E 作
EF∥BC 交 AB 于 , 求证：AC 平分 EF.