直线与平面的位置关系_课件

【规律方法总结】 1．空间直线和平面的位置关系：直线在平面内，直线和平面平行，直线和平面
相交．了解空间直线和平面位置关系的画法，掌握它们的特征，即直线在平面 内——有无数个公共点，直线和平面平行——无公共点，直线和平面相交——有且只 有一个公共点． 2．直线和平面平行时，直线和平面没有公共点，直线与平面内的直线只有两种 位置关系：平行或异面．直线和平面平行的性质定理可简述为“若线面平行，则 线线平行”，它实际上是两直线平行的判定定理．
求证：AE∥平面DCF.
思路点拨:
证 明 ： 过 点 E 作 EG⊥CF 交 CF 于 G ， 连 接 DG ， 可 得 四 边 形 BCGE 为 矩 形．又ABCD为矩形， 所以AD EG，从而四边形ADGE为平行四边形， 故AE∥DG.因为AE⊄平面DCF，DG⊂平面DCF， 所以AE∥平面DCF.
(2)连结PM、MC，∵∠PDA=45°，PA⊥AD，∴AP=AD. ∵ 四 边 形 ABCD 为 矩 形 ． ∴ AD=BC ， ∴ PA=BC. 又 ∵ M 为 AB 的 中 点 ，
∴AM=BM. 而∠PAM=∠CBM=90°，∴PM=CM.又N为PC的中点， ∴MN⊥PC.由(1)知，MN⊥CD，PC∩CD=C，∴MN⊥平面PCD.
(1)求证：MN⊥CD；
(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.
思路点拨：(1)因M为AB中点，只要证△ANB为等腰三角形，则利用等腰三
角形的性质可得MN⊥AB.
(2)已知MN⊥CD，只需再证MN⊥PC，易看出△PMC为等腰三角形，利用N
为PC的中点，可得MN⊥PC.
(1)连结AC，AN，BN，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC， 在Rt△PAC中，N为PC中点，∴AN= PC. ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB， PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB， 从而在Rt△PBC中，BN为斜边PC上的中线， ∴BN= PC.∴AN=BN，∴△ABN为等腰三角形， 又M为底边的中点，∴MN⊥AB，又∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
变式1：如图，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M 为PB的中点． 求证：PD∥平面MAC. 证明：连结BD交AC于点O，连结MO， ∵O为BD的中点，又M为PB的中点， ∴MO∥PD.又∵MO⊂平面MAC， PD⊄平面MAC， ∴PD∥平面MAC.
如果已知直线和平面平行，在利用直线与平面平行的性质定理时，常过
答案：
2．a、b为平面M外的两条直线，在a∥M的前提下，a∥b是b∥M的________条
件．
解析：∵
⇒
a∥b，∴a∥b是b∥M的充分不必要条件．
答案：充分不必要条件
3．(2010·扬州中学高三考试)若一个长方体的长、宽、高分别为5米、4米、3米，
则其外接球的表面积为________米2.
解析：设球的半径为R，则(2R)2＝52＋42＋32＝50.∴S＝4πR2＝50π.
直线与平面的位置关系
通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面平行、垂直的判定定理 和性质定理，并能用它们证明线面的平行与垂直问题．
【命题预测】
1．空间中平行关系的概念性比较强，与前后知识的联系比较紧密，是每年高考考 查线面位置关系及综合运用知识解答问题经常涉及的内容，试题在考查“四种 能力”的同时，非常重视对数学思想方法的考查，试题主要体现立体几何的通 性通法，突出了化归、转化等思想方法的考查．因此，对这些内容要认真复习， 真正学明白．
5．点面、线面距离及线面角
(1)点到平面的距离
从平面外一点引平面的垂线，这个点和 垂足 间的距离，叫做这个点到这
个平面的距离．
(2)直线和平面的距离
一条直线和一个平面 平行 ，这条直线上 任意一点 到这个平面的距离，
叫 做这条直线和这个平面的距离．
(3)直线与平面所成的角 ①平面的一条斜线与它在这个平面内的 射影 所成的 锐角 ， 叫做这条直线与这个平面所成的角． ②一条直线 垂直于 平面，则称它们所成的角是直角；一条直线与 平面 平行 或 在平面内 ，则称它们所成的角是0°的角.
(2)由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得AC=PA， ∵E是PC的中点，∴AE⊥PC. 由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD=C，所以AE⊥平面PCD. 而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD，AB⊥AD， ∴AB⊥PD.又∵AB∩AE=A，综上得PD⊥平面ABE.
，其中
思考：直线与平面平行的判定定理是判断平行关系的核心，运用此定理应注
意 什么？
提示：应注意平面外的一条直线和平面内的一直线平行才能得到线面平行．
3．直线和平面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝l⇒
a∥l.
4．直线与平面垂直
(1)直线与平面垂直的定义
如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a与平
变式3：(2010·江苏省东台中学高三数学诊断性试卷) 如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD， AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点． (1)证明CD⊥AE；(2)证明PD⊥平面ABE. 证明：(1)在四棱锥P—ABCD中，因PA⊥底面ABCD， CD⊂ 平面ABCD， 故PA⊥CD，∵AC⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC. 而AE⊂面PAC，∴CD⊥AE.
(2)三垂线定理的基本图形
右图是三垂线定理的基本图形，PA⊥α，PO是平
面α的斜线，AO为PO在α内的射影，直线a在α内，若
a⊥AO，则a⊥PO.
(3)三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条
斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂
直．
(4)三垂线定理及其逆定理的作用 三垂线定理及其逆定理，是立体几何中的重要定理，是共面两直线的垂直关系与 空间两直线的垂直关系之间相互转化的判定定理，它的实质是通过线线垂直得到的 线面垂直，又转化为线线垂直，它是证明线线垂直的重要方法．它的用途： 在作图中，作二面角的平面角； 在证明中，证明线线垂直； 在计算中，用归纳法归拢已知条件，便于计算．
• 变式2：如图，设AB、CD分别是位于平面α 两侧的异面线段，且AB∥α，
CD∥α，直线AC、AD、BC、BD分别交α于点E、F、H、G， 求证：EG与FH互相平分． 证明：∵AC∩AD＝A，∴AC和AD可确定一个平面． ∵CD∥α，平面ACD∩α＝EF，∴CD∥EF. 同理，CD∥HG，∴EF∥HG.同理，EH∥FG. ∴四边形EFGH为平行四边形．∴EG与FH互相平分．
体
性质知，BB1⊥面AC，AO⊂面AC，∴AO⊥BB1.∴AO⊥平面BB1D1.而AO＝ a，
∴A到平面BB1D1的距离为 a.∵AA1∥平面BB1D1，
∴AA1到面BB1D1的距离等于A到平面BB1D1的距离为
a.
来自百度文库
答案： a
a
a
判定直线与平面平行，主要有三种方法： (1)利用定义(常用反证法)．(2)利用判定定理：关键是找平面内与已知直线平行
的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角 形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．(3)利用面面平 行的性质定理：当两平面平行时，其中一个平面内的任一直线平行于另一平面．
【例1】 如图，矩形ABCD和梯形BEFC有公共边BC，BE∥CF，∠BCF＝90°，
答案：8
5．在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，A到平面B1C的距离为________，A到平
面BB1D1D的距离为________，AA1到平面BB1D1D的距离为________．
解析：由正方体性质知AB⊥BB1，AB⊥BC，∴AB⊥平面B1C.
又∵AB＝a，∴点A到平面B1C的距离为a.过点A作AO⊥BD，垂足为O，由正方
1．直线a和平面α的位置关系有 平行 平__行___与 相交 统称直线在平面外．
、 相交 在、平面内
2．直线和平面平行的判定
(1)定义：如果一条直线a和一个平面α没有公共点，
我们就说直线a与平面α平行
．
(2)判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒
a∥α ；
(3)其他判定方法：α∥β，a⊂α⇒
a∥β.
关键明3．直线与平面垂直的判定方法：①定义；②判定定理．由直线和平面 垂直的判定定理知，把线线垂直关系转化为线面垂直关系．
4．直线和平面垂直的性质定理是由线面垂直关系到线线垂直关系的转换， 掌握性质，确平面的垂线．应用时，只要找到这个平面的两条垂线就可以了.
❖ 6．平行六面体
❖
底面是平行四边形的四棱柱叫做 平行六面体 ，侧棱与底面垂直的平行六
❖
面体叫做直平行六面体 ，底面是矩形的直平行六面体叫做 长方体 ，棱长
❖
． 相等的长方体叫做 正方体
1．(2010·东台中学高三诊断性试卷)已知球面上有四点A、B、C、D，DA⊥平面
ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝ ，则该球的体积等于________．
此直线作和已知平面相交的辅助平面，完成线面平行向线线平行的转化．转化 思想是本章知识最常用的思想．
【例2】求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的 交
线平行．
已知：如图，α∩β=l，a∥α，a∥β.
求证：a∥l.
思路点拨：利用直线与平面平行的性质，分别在平面α、β找与a平行的直线． 证明：过α作平面γ交平面α于b，∵a∥α，∴a∥b. 同样，过a作平面δ交平面β于c. ∵a∥β，∴a∥c.∴b∥c.又∵b⊄β，c⊂β，∴b ∥β. 又平面α经过b交β于l， ∴b∥l.又a∥b，∴a∥l.
2．垂直是直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系中的纽带，常常起到承 上启下的作用，不少问题常常是以垂直为解题的突破口，然后深入进行下 去．在高考中，空间三种垂直关系的转化始终是立体几何考查的重点．
【应试对策】
1．对线面平行、面面平行的认识一般按“定义——判定定理——性质定理——应用”的 顺序进行，其中定义的条件和结论是相互等价的，它既可以作为判定线面平行 和面面平行的方法，又可以作为线面平行和面面平行的性质来应用．
4．求直线与平面所成的角，一般是作出直线与平面所成的角，并通过解三角 形求出．
【知识拓展】 三垂线定理和逆定理 (1)三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这 条斜线垂直．其符号表述为：直线l与平面α斜交，l′是l在α内的射影，直线m⊂α， m⊥l′⇒m⊥l.
面
α 互相垂直，记作a⊥α，
直线a叫做平面α的 垂线 ，平面α叫做直线a
的 垂面 ，垂线和平面的交点称为 垂足 ．
(2)直线与平面垂直的判定定理
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线 都垂直，那么这条直线垂直于这
个平面．
(3)直线与平面垂直的性质定理
如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线 平行 ．
答案：50π
4．如图，BC是Rt△ABC的斜边，AP⊥平面ABC，连结PB、PC，作PD⊥BC于 D， 连结AD，则图中共有直角三角形______个．
解析：Rt△PAB、Rt△PAC、Rt△ABC、Rt△ADP.
可证BC⊥平面APD，由BC⊥AD，BC⊥PD.
可证Rt△PBD、Rt△PDC、Rt△ADB、Rt△ADC共8个．
2．应用线面平行的判定定理证明线面平行，关键是找到平面内与平面外直线平行 的直线．应用线面平行的性质定理解题的关键是利用已知条件作辅助平面，然 后把已知中的线面平行转化为直线和交线平行．
3．要判定一条直线是否和一个平面垂直，取决于在这个平面内能否找出两条 相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点则 无关紧要．
证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)利用判定定理．(2)利用平行线垂
直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)．(3)利用面面平行的性质(a⊥α，
α∥β⇒a⊥β)．(4)利用面面垂直的性质．当直线和平面垂直时，该直线垂直于
平面内的任一直线，常用来证明线线垂直．
【例3】 如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB，PC的中点．