直线与平面的位置关系_课件

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直线和平面的位置关系PPT完美课件

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应用举例1 (2)点A是平面外的一点,过A和 平面平行的直线有 无数 条。
A α
应用举例1
(3)点A是直线l 外的一点,过A 和直线l 平行的平面有无数 个。
A
应用举例1
(4)过两条平行线中的一条和另 一条平行的平面有 无数 个。
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应用举例1
(5)过两条异面直线中的一条和另 一条平行的平面有 且仅有一 个。
直线和平面的位置关系PPT完美课件
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应用举例1
(6)如果l1 // l2 , l1 平行于 平面,则l2 或 // 平面
l2 l1
l2
直线和平面的位置关系PPT完美课件
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应用举例1
(7)如果两直线a,b相交,a平行于 平面,则b与平面的位置关系 是 相交或平行 。
知识三
线面平行的性质
(1)如果一条直线与一个平面平行, 则这条直线与这个平面无公共点
(2)如果一条直线与一个平面平行, 则这条直线与这个平面内的直线成 异面直线或平行直线 (3)如果一条直线与一个平面平行, 经过这条直线的平面和这个平面相 交,则这条直线与交线平行。
直线和平面的位置关系PPT完美课件
2、如图,两个全等的正方形ABCD和ABEF
所在平面交于AB, M.N分别是对角线上
的点,AM=FN,求证:MN//面BCE。
A
DM B
F
N
∵△AFN∽ △BNH
∴ AN/NH=FN/BN ∴ AN/NH=AM/MC
EH
∴ MN//CH
C
∴ MN //面BCE
直线和平面的位置关系PPT完美课件

1、直线和平面有哪几种位置关系?PPT完美课件

1、直线和平面有哪几种位置关系?PPT完美课件


5. 这是一篇托物言志的铭文,本文言 简义丰 、讲究 修辞。 文章骈 散结合 ,以骈 句为主 ,句式 整齐, 节奏分 明,音 韵和谐 。

6.了解和名著有关的作家作品及相关 的诗句 、名言 、成语 和歇后 语等, 能按要 求向他 人推介 某部文 学名著 。

7.能够根据所提供的有关文学名著的 相关语 言信息 推断作 品的作 者、作 品的名 称和人 物形象 ,分析 人物形 象的性 格和作 品的思 想内容 并进行 简要评 价。
P A B1A M ,P CB1C N ,
求证 M/N : 平 / A 面 BCD D 1
C1
A1
B1
M D
P N
C
A
B
1、直线和平面有哪几种位置关系?PP T完美 课件
1、直线和平面有哪几种位置关系?PP T完美 课件
证明:
D1
连结AC、A1C1 长方体中 A1A//C1C A1C1 // AC
1、直线和平面有哪几种位置关系?PP T完美 课件
1、直线和平面有哪几种位置关系?PP T完美 课件
证明平行的 转化思想:
线//线
小结
(1)平行公理 (2)三角形中位线 (3)平行线分线段成比例 (4)相似三角形对应边成比例 (5)平行四边形对边平行
线//面
面//面
要证 a//,通过构造过直线 a 的平面 与平面
相交于直线b,只要证得a // b即可。
1、直线和平面有哪几种位置关系?PP T完美 课件
练习(P68习题5) 1、直线和平面有哪几种位置关系?PPT完美课件
已知:如图,AB//平面 ,AC//BD,且
AC、BD与 分别相 交于点C, D.

人教版高中数学必修2空间中直线与平面之间的位置关系课件

人教版高中数学必修2空间中直线与平面之间的位置关系课件
Rt△EFG中,求得∠EGF =45° (2)∵BFIIAE ∴∠FBG(或其补角)为所求, Rt△BFG中,求得∠FBG=600
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6.课堂小结
异面直线的定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 相交直线
空间两直线的位置关系
平行直线异面直线来自异面直线的画法 用平面来衬托异面直线所成的角 平移,转化为相交直线所成的角
答:从图中可看出,∠ADC=∠A₁D₁C₁, ∠ADC+∠A₁ B₁C₁ =180°
定理(等角定理):空间中,如果两个角的两边分别对应平行, 那么这两个角相等或互补.
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3.异面直线所成的角
(1)复习回顾 在平面内,两条直线相交成四
个角,其中不大于90度的角称为它 们的夹角,用以刻画两直线的错开 程度,如图.
对?
答:共有三对
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我们知道,在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行, 那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?
视察:将一张纸如图进行折叠,则各折痕及边a,b,c,d,e,... 之间有何关系?
allb llc lld lle ll ...
公 理 4 :在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行. 平行线的传递性
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六角螺母
C
D B
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练习1:在教室里找出几对异面直线的例子 合作探究 一
分别在两个平面内的两条直线是否一定异面?
答 :不一定:它们可能异面,可能相交,也可能平行。
a与b是异面直线
a与b是相交直线
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a与b是平行直线
1.异面直线的定义:

空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系 课件

空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系 课件

答案:D
符号语言 a⊂α a∩α=A a∥α
二、平面和平面的位置关系
问题思考 1.观察前面问题中的长方体,平面A1C1与长方体的其余各个面,两 两之间有几种位置关系? 提示:两种位置关系:两个平面相交或两个平面平行. 2.平面与平面平行的符号语言和图形语言分别怎样表达? 提示:平面与平面平行的符号语言是:α∥β;图形语言是:
因思考不全面致错 【典例】 设P是异面直线a,b外的一点,则过P与a,b都平行的平面 () A.有且只解如图,过P作a1∥a,b1∥b.
∵a1∩b1=P,∴过a1,b1有且只有一个平面.故选A.
提示:以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何 改正?如何防范?
∴在平面α内与b平行的直线都与a平行,故④正确.
答案:A
反思感悟直线与平面的位置关系有三种,即直线在平面内,直线 与平面相交,直线与平面平行.
(1)判断直线在平面内,需找到直线上两点在平面内,根据公理1知 直线在平面内.
(2)判断直线与平面相交,据定义只需判定直线与平面有且只有一 个公共点.
(3)判断直线与平面平行,可根据定义判断直线与平面没有公共点, 也可以排除直线与平面相交及直线在平面内两种情况,从而判断直 线与平面平行.
空间中直线与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系
一、直线和平面的位置关系 问题思考
1.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,线段BC1所在的直线与 长方体的六个面所在的平面有几种位置关系?
提示:三种位置关系:(1)直线在平面内;(2)直线与平面相交;(3)直 线与平面平行.
2.如何用图形表示直线与平面的位置关系?这种位置关系如何用 符号语言表示?
答案:C
(2)如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那

直线与平面的位置关系

直线与平面的位置关系



如果一条直线和一个平面平行,经过这条 直线的平面和这个平面相交,那么这条直 线就和交线平行.
a∥

∩=b
a
a∥b

线面平行线线平行
例1 若三个平面两两相交于三条直线,并 且其中两条交线平行,那么第三条交线也 和它们平行. 变式:若三个平面两两相交于三条直线,并 且其中两条直线相交,那么第三条交线必 经过前两条直线的交点.
M P

A
问题:如果两条直线同垂直于一 个平面,那么这两条直线的位置关 系如何?
直线和平面垂直的性质定理
如果两条直线同垂直于一个平面, 那么这两条直线平行.
因为a ,b ,所以a∥ b.
a b O b'

若a , 则点到平面的距离:AB的长度.
面外一点与这个平面内各点的连结而 成的线段中,垂直于平面的线段最短.
D1 A1 E
D A N C1
B1
M
C
B
9.已知:四边形ABCD是平行四边形, 点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点, DM上取一点G,过AP和G作平面交平面 BDM于GH.求证:AP∥GH.
P M D
H
G O
B
C
A
直线与平面垂直
问题:将课本竖放在讲台上,指出书脊(想 象成一条直线)、各书页与桌面的交线, 由于书脊和书页底边(即与桌面接触的一 边)垂直,得出书脊和桌面上所有直线垂 直.
F G
E
D
A
B
C
已知点A是平面BCD外的一点,AB CD, AC BD,求证:AD BC.
A
B C
D
例:四面体ABCD中,AC=BC,AD=BD, BE⊥CD于E,AH⊥BE于H,求证:AH⊥ A 平面BCD.

第二讲直线与平面的位置关系

第二讲直线与平面的位置关系

第二讲直线与平面的位置关系一、知识点1.直线与平面的位置关系有且只有三种,即直线与平面平行、直线与平面相交、直线在平面内.2.直线与平面平行的判定:如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行.3.直线与平面平行的性质:如果一条直线与一个平面平行,经过这条直线的平面与已知平面相交,那么这条直线与交线平行.4如果一条直线与平面相交并且与平面内的所有直线都垂直,那么就说这条直线与这个平面垂直. 5直线与平面垂直的判定:如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线与这个平面垂直.6直线与平面垂直的性质:如果两条直线都与同一个平面垂直,那么这两条直线平行.二、典型例题例1如下图,两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ,M ∈AC ,N ∈FB 且AM =FN ,求证:MN ∥平面BCE .QAB CDMP FE NGA BCDM FE N例2】 如下图,正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,侧面对角线AB 1、BC 1上分别有两点E 、F ,且B 1E =C 1F .求证:EF ∥平面ABCD .AA DBC BCD1111EFGMN例3已知正四棱锥P —ABCD 的底面边长及侧棱长均为13,M 、N 分别是P A 、BD 上的点,且PM ∶MA =BN ∶ND =5∶8.ABCD E O MNP(1)求证:直线MN ∥平面PBC ;(2)求直线MN 与平面ABCD 所成的角.例4在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AB 1⊥BC 1,AB =CC 1=a ,BC =b .AA CB BC E G F111(1)设E 、F 分别为AB 1、BC 1的中点,求证:EF ∥平面ABC ; (2)求证:A 1C 1⊥AB ;(3)求点B 1到平面ABC 1的距离.例5已知直线a ⊥平面α,直线b ⊥平面α,O 、A 为垂足.求证:a ∥b .Oα例6已知P A ⊥⊙O 所在的平面,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上任意一点,过A 点作AE ⊥PC 于点E ,求证:AE ⊥平面PBC .CABP.OE例7在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,B 1C 1=A 1C 1,A 1B ⊥AC 1,求证:A 1B ⊥B 1C .AABBC CDD1111例8如图8—45, AB 是圆O 的直径,C 是圆上异于A,B 的任意一点,ABC PA 平面⊥,PC AF ⊥,求证PBC AF 平面⊥例9如图8—49, ABCD -1111D C B A 是正方形,求证BD C C A 11面⊥ 例10正方形ABCD -1111D C B A 中, 求()11BD 与面ABCD 所成角的正切值.(2)所成的角与面111D ABC BA ()所成角的正切值与面1113ACD D B例11.设有平面α、β和直线m 、n ,则m ∥α的一个充分条件是A.α⊥β且m ⊥βB.α∩β=n 且m ∥nC.m ∥n 且n ∥αD.α∥β且m β例12.设m 、n 是两条不同的直线,α、β、γ是三个不同的平面.给出下列四个命题,其中正确命题的序号是①若m ⊥α,n ∥α,则m ⊥n ②若α∥β,β∥γ,m ⊥α,则m ⊥γ ③若m ∥α,n ∥α,则m ∥n ④若α⊥γ,β⊥γ,则α∥βA.①②B.②③C.③④D.①④例13.一条直线若同时平行于两个相交平面,那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是 A.异面 B.相交 C.平行 D.不能确定abcl αβγ例14设平面α∥平面β,A 、C ∈α,B 、D ∈β,直线AB 与CD 交于点S ,且AS =8,BS =9,CD =34,①当S 在α、β之间时,SC =_____________,②当S 不在α、β之间时,SC =_____________.例15设D 是线段BC 上的点,BC ∥平面α,从平面α外一定点A (A 与BC 分居平面两侧)作AB 、AD 、AC 分别交平面α于E 、F 、G 三点,BC =a ,AD =b ,DF =c ,则EG =_____________.例16在四面体ABCD 中,M 、N 分别是面△ACD 、△BCD 的重心,则四面体的四个面中与MN 平行的是________.三、练习题ABCDMN..1.“直线l 垂直于平面α内的无数条直线”是“l ⊥α”的 A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件2.给出下列命题,其中正确的两个命题是①直线上有两点到平面的距离相等,则此直线与平面平行 ②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面 ③直线m ⊥平面α,直线n ⊥m ,则n ∥α ④a 、b 是异面直线,则存在唯一的平面α,使它与a 、b 都平行且与a 、b 距离相等A.①②B.②③C.③④D.②④3.在正方形SG 1G 2G 3中,E 、F 分别是G 1G 2、G 2G 3的中点,D 是EF 的中点,沿SE 、SF 及EF 把这个正方 形折成一个四面体,使G 1、G 2、G 3三点重合,重合后的点记为G ,那么,在四面体S —EFG 中必有A.SG ⊥平面EFGB.SD ⊥平面EFGC.FG ⊥平面SEFD.GD ⊥平面SEF 4.在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中,当底面四边形ABCD 满足条件_____________时,有A 1C ⊥B 1D 1.(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情况)A AD DB BC C11115.设正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1,则D D AA C CB B1111(1)A 点到CD 1的距离为________; (2)A 点到BD 1的距离为________;(3)A 点到面BDD 1B 1的距离为_____________; (4)A 点到面A 1BD 的距离为_____________; (5)AA 1与面BB 1D 1D 的距离为__________.6.两条直线a 、b 满足a ∥b ,b α,则a 与平面α的关系是 A.a ∥α B.a 与α相交 C.a 与α不相交 D.a α7.a 、b 是两条异面直线,A 是不在a 、b 上的点,则下列结论成立的是 A.过A 有且只有一个平面平行于a 、b B.过A 至少有一个平面平行于a 、b C.过A 有无数个平面平行于a 、b D.过A 且平行a 、b 的平面可能不存在8已知a 、b 为不垂直的异面直线,α是一个平面,则a 、b 在α上的射影有可能是①两条平行直线;②两条互相垂直的直线;③同一条直线;④一条直线及其外一点.在上面结论中,正确结论的编号是__________.(写出所有正确结论的编号)9.已知Rt △ABC 的直角顶点C 在平面α内,斜边AB ∥α,AB =26,AC 、BC 分别和平面α成45°和30°角,则AB 到平面α的距离为__________.10.如下图,四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形,侧棱P A ⊥底面ABCD ,侧面PBC 内有BE ⊥PC 于E ,且BE =36a ,试在AB 上找一点F ,使EF ∥平面P AD . A BC DEPGF11.如下图,设P 为长方形ABCD 所在平面外一点,M 、N 分别为AB 、PD 上的点,且MB AM =NPDN,求证:直线MN ∥平面PBC .ABCDMNPQ R。

一,平面内两直线位置关系PPT课件

一,平面内两直线位置关系PPT课件

(2)两直线斜率不存在且两直线不重合
l1: x=x1
l2: x=x2
l1∥l2
讨论
x1≠x2
已知直线 l1 : A1x+B1y+C1 = 0 , l2 : A2x+B2y+C2= 0 (A1B1C1 ≠ 0
那么l1 ∥l2 的充要条件是什么?
A2B2C2≠ 0 ).l1 Nhomakorabea∥l2A1 A2
=
B1 B2
一平面内两直线位置关系1平行2重合垂直垂直3相交斜交二两直线平行的条件1两直线斜率存在且两直线不重合当直线l1和l2有斜截式方程l1
一,平面内两直线位置关系
(1)平行
(2)重合 (3)相交
垂直 斜交
二,两直线平行的条件
(1)两直线斜率存在且两直线不重合
当直线l1和l2有斜截式方程
l1:y=kx+b1, l2:y=k2x+b2时,
l1∥l2
k1=k2且b1≠b2.
如果l1∥l2(如图),那么直线l1和l2在y轴上的截距不相等, 即b1≠b2,但它们的倾斜角相等,即α1=α2. ∴tanα1=tanα2即k1=k2. 反过来,如果b1≠b2,则l1和l2不重合.又如果k1=k2,即 tanα1=tanα2,那么由0°≤α1<180°,0°≤α2<1 80°,并利用正切函数的图象,可知 α1=α2,所以l1∥l2.
ab
a b 0
1×1+k1·k2=0
即l1⊥l2
k1·k2=-1.
(2)两直线斜率有不存在或有零时
例3.已知两条直线: l1 : 2x 4 y 7 0,l2 : 2x y 5 0,
求证: l1 l2 .
例4.求过点A(2,1),且与直线 2x y 10 0 垂直的直线 l 的方程.

空间直线和平面的位置关系ppt课件

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a
④求异面直线A1B与B1C1的距离
2a 2Biblioteka 例3:如图,已知长方体ABCD-A’B’C’D’的
棱长AA’=3cm,AB=4cm,AD=5cm.
(1)求点A和C’的距离;
(2)求点A到棱B’C’的距离;
(3)求棱AB和平面A’B’C’D’的距离;
(4)求异面直线AD和A’B’的距离.
D
C
A
B
D’
C’
取一点M,我们把__点__M___到___平__面____的___距___离_____
叫做直线l 和平面的距离。
3)平面和平面的距离: 设平面平行于平面β,在平面上任取一点M,我
们把_点__M__到_平__面__β_的__距__离__叫做平面和平面β
的距离。
M
MN
N
4)异面直线的距离
思考:和两条异面直线都垂直的直线有多少条?
练习:1. 选择题:
(1) 直线 m 与平面 平行的充分条件是 ( )
A. 直线 m 与平面 内一条直线平行;
B. 直线 m 与平面 内无数条直线平行; C. 直线 m 与平面 内所有直线平行; D. 直线 m 与平面 没有公共点;
(2) 过直线 l 外两点,作与 l 平行的平面,这样的平面 ( ) A. 能作无数个; B. 只能作一个;
(2) 过一点有且只有一个平面和一条直线垂直 .
(3) 平面的垂线一定与平面相交,交点就是垂足 .
A
直线和平面垂直,记作
l
2、判定直线和平面垂直的方法 (1)根据定义
直线l与平面上的任何直线都垂直
(2)直线和平面垂直的判定定理
定理2:如果直线l与平面上的两条相交直线a,b都 垂直,那么直线l与平面垂直.

空间中直线与平面之间的位置关系

空间中直线与平面之间的位置关系

空间中直线与平面之间的位置关系知识点一直线与平面的位置关系1、 直线和平而平行的定义如杲一条亶线和一个平而没有公共点,那么这条直线和这个平而平行。

2、 直线与平面位置关系的分类(1) 直线与平而位昼关系可归纳为(玄线和平面平行①按公共点个数分类:直线和平面不平行「直线在平面内②按是否在平面内分类[直线不在平面内 (2) 在直线和平面的位宜关系中,亶线和平面平行,直线和平面相交统称亶线在平而外,我们用记号"U Q 来表示all a 和dp|a = A 这两种情形•⑶宜线与平而位蜀关系的图形画法:① 画直线a 在平而a 内时,裘示亶线a 的直线段只能在表示平而a 的平行四边形内,而 不能有部分在这个平行四边形之外,这爱因为这个用来丧示平面的平行四边形的四周应曼无 限延伸而没有边界的,闵而这条直线不可能有某部分在某外;② 在画宜线a 与平而&相交时,表示直线;1的线段必须有部分在表示平而a 的平行四边 形之外,这样吒能与丧示亶线在平面內区分开来,又具有较强的立体感;③ 画亶线与平面平行时,晟克观的画法是用来裘示熨线的线在用来表示平而的平行四边形之 外,且与某一边平行。

例1、下列命題中正确的命•題的个数为 ______ o① 如果一条直线与一平而平行,那么这条直线与平面内的任意一条直线平行;②如栗一 条亶线与一平面相交,那么这条直线与平而內的无數条宜线垂直;③过平而外一点有且只有 一条宜线与平画平行;④一条直线上有两点到一个平而的距离相等,则这条克线平行于这个 平面。

炎式1、下列说法中正确的是 ______ O① 直线/平行于平面a 內无數条直线,则〃/a ;② 若宜线Q 在平面a 外,则a//a ;③ 若直线a//b,直线bua,则a//a ;宜线和平面相交 宜线在平面内宜线和平面相交直线和平面平行④若直线a//b,直线bug 那么直线2就平行于平面a內的无數条宜线。

变式2、下列命题中正确的个数是()①若直线1上有无数个点不在平而a内,则l//a②若直线1与平而a平行,则1与平而a内的任蕙一条直线都平行③如杲两条平行直线中的一条与一个平而平行,那么另一条也与这个平而平行④若直线1与平而Ot平行,则1与平而0C内的任意一条直线都没有公共点A.OB.lC.2D.3分析:如图2,图2我们借助长方体模型,AA,所在直线有无数点在平面ABCD外,但AA,所在直线与平面ABCP相交,所以命题①不正确;A IB I所在直线平行于平面ABCD, 显然不平行于BD,所以命題②不正确;所在直线平行于平面ABCP,但直线ABU平面ABCP.所以命题③不正确;1与平面0C平行,则1与a无公共点,1与平面«內所有直线都没有公共点,所以命题④正确. 卷案:B萸式3、若直线1上有两个点到平而oc的距离相等,讨论直线1与平而oc的位置关系.0 3解:直线1与平而oc的位亘关系有两种悄况(如图3),直线与平而平行或賣线与平而相交. 例2、若两条相交直线中的一条在平面工內,讨论另一条直线与平而oc的位置关系.用符号语言表示为:若arib=A,bC:a,R>] aCZa或aAa=A.变式1、若两条异面直线中的一条在平而oc内,讨论另一条直线与平面oc的位虽关系.用符号语言表示为:若a与b异而则b//工或bAa=A.例3、若直线狄不平行于平而oc,且 y 则下列结论成立的是() A.a 内的所有直线与n 异而 B.oc 內的宜线与久都相交例如直线X B 与平而ABCD 相交,恵线AB 、CD 在平而ABCP 内,直线AB 与直线?/ B 相交,賣线CD 与直线工B 异面,所以A. B 都不正确;平面ABCP 內不存在与a 平行的 直线,所以应选D ・ 变式1.不在同一条直线上的三点A 、B 、C 到平而oc 的距离相等,且Aga,以下三个命题: ①AABC 中至少有一条边平行于oc;②AABC 中至多有两边平行于oc ;③ZLABC 中只可能有一条边与oo 相交.其中真命题畏 _______________ .其中真命题是①.萸式2、若賣线aCa,则下列结论中成立的个数是( (1) 00内的所有直线与a 异面 ⑵a 內的賣线与a 都相交 內不存在与次平行的直线A.OB.lC.2D.3分析:丁 直线 a (Za,/.a // a 或 ap|a=A.如图9,显然⑴⑵⑶(4)都有反例,所以应选A.咎案:A.知识点二直线与平面平行1、直线与平面平行的判定龙理:如杲平而外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么 这条直线和这个平而平行。

3-4.4(直线与平面的位置关系)--线性代数PPT

3-4.4(直线与平面的位置关系)--线性代数PPT

3x 4 y z 10 0,且与直线 l1 :
x1 3
y3 1
z 2
相交.
答案: 1. 4x 6 y 3z 8 0;
2. x 1 y z 4 . 48 37 4
空间直线
空间直线
整理得 : x (4 3) y z (24 17) 0
由 (2,2,1) (1,4 3,) 0 解得: 10
7
代入 : x (4 3) y z (24 17) 0 化简: : 7x 2 y 10z 2 0 从而投影直线为:
l :
l与l 的夹角 称为l与的夹角.

n
s
l
s,n
2
s,n
2
, ,
s,n
2
s,n .
2
l
从而 sin s n
Am Bn Cp
sn
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
空间直线
例1 判定直线 l : x 1 y 2 z
1 2 2
与平面 : x 4 y z 1 0
过 M 作平面 与l1 垂直, 与l1的交点即为N.
M
l
N
i
l1 的方向向量
s1 1
j 1
k 2
9i 5 j 7k.
341
空间直线
过M(2,5,-2)且与l 垂直的平面
: -9(x - 2) +5(y - 5) +7(z + 2) = 0.
9x - 5y - 7z - 7 = 0. (1)
从而投影直线为
l :
7x 2 y 10z 2 0 2x 2 y z 11 0
空间直线
主要 1. 直线与平面的位置关系 内容 2. 平面束
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,其中
思考:直线与平面平行的判定定理是判断平行关系的核心,运用此定理应注
意 什么?
提示:应注意平面外的一条直线和平面内的一直线平行才能得到线面平行.
3.直线和平面平行的性质定理:a∥α,a⊂β,α∩β=l⇒
a∥l.
4.直线与平面垂直
(1)直线与平面垂直的定义
如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线a与平
• 变式2:如图,设AB、CD分别是位于平面α 两侧的异面线段,且AB∥α,
CD∥α,直线AC、AD、BC、BD分别交α于点E、F、H、G, 求证:EG与FH互相平分. 证明:∵AC∩AD=A,∴AC和AD可确定一个平面. ∵CD∥α,平面ACD∩α=EF,∴CD∥EF. 同理,CD∥HG,∴EF∥HG.同理,EH∥FG. ∴四边形EFGH为平行四边形.∴EG与FH互相平分.
变式3:(2010·江苏省东台中学高三数学诊断性试卷) 如图,在四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD, AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点. (1)证明CD⊥AE;(2)证明PD⊥平面ABE. 证明:(1)在四棱锥P—ABCD中,因PA⊥底面ABCD, CD⊂ 平面ABCD, 故PA⊥CD,∵AC⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC. 而AE⊂面PAC,∴CD⊥AE.
变式1:如图,已知P是▱ABCD所在平面外一点,M 为PB的中点. 求证:PD∥平面MAC. 证明:连结BD交AC于点O,连结MO, ∵O为BD的中点,又M为PB的中点, ∴MO∥PD.又∵MO⊂平面MAC, PD⊄平面MAC, ∴PD∥平面MAC.
如果已知直线和平面平行,在利用直线与平面平行的性质定理时,常过

α 互相垂直,记作a⊥α,
直线a叫做平面α的 垂线 ,平面α叫做直线a
的 垂面 ,垂线和平面的交点称为 垂足 .
(2)直线与平面垂直的判定定理
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线 都垂直,那么这条直线垂直于这
个平面.
(3)直线与平面垂直的性质定理
如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线 平行 .
❖ 6.平行六面体

底面是平行四边形的四棱柱叫做 平行六面体 ,侧棱与底面垂直的平行六

面体叫做直平行六面体 ,底面是矩形的直平行六面体叫做 长方体 ,棱长

. 相等的长方体叫做 正方体
1.(2010·东台中学高三诊断性试卷)已知球面上有四点A、B、C、D,DA⊥平面
ABC,AB⊥BC,DA=AB=BC= ,则该球的体积等于________.
求证:AE∥平面DCF.
思路点拨:
证 明 : 过 点 E 作 EG⊥CF 交 CF 于 G , 连 接 DG , 可 得 四 边 形 BCGE 为 矩 形.又ABCD为矩形, 所以AD EG,从而四边形ADGE为平行四边形, 故AE∥DG.因为AE⊄平面DCF,DG⊂平面DCF, 所以AE∥平面DCF.
直线与平面的位置关系
通过直观感知、操作确认,归纳出直线与平面平行、垂直的判定定理 和性质定理,并能用它们证明线面的平行与垂直问题.
【命题预测】
1.空间中平行关系的概念性比较强,与前后知识的联系比较紧密,是每年高考考 查线面位置关系及综合运用知识解答问题经常涉及的内容,试题在考查“四种 能力”的同时,非常重视对数学思想方法的考查,试题主要体现立体几何的通 性通法,突出了化归、转化等思想方法的考查.因此,对这些内容要认真复习, 真正学明白.
此直线作和已知平面相交的辅助平面,完成线面平行向线线平行的转化.转化 思想是本章知识最常用的思想.
【例2】求证:如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线和它们的 交
线平行.
已知:如图,α∩β=l,a∥α,a∥β.
求证:a∥l.
思路点拨:利用直线与平面平行的性质,分别在平面α、β找与a平行的直线. 证明:过α作平面γ交平面α于b,∵a∥α,∴a∥b. 同样,过a作平面δ交平面β于c. ∵a∥β,∴a∥c.∴b∥c.又∵b⊄β,c⊂β,∴b ∥β. 又平面α经过b交β于l, ∴b∥l.又a∥b,∴a∥l.
(1)求证:MN⊥CD;
(2)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面PCD.
思路点拨:(1)因M为AB中点,只要证△ANB为等腰三角形,则利用等腰三

角形的性质可得MN⊥AB.
(2)已知MN⊥CD,只需再证MN⊥PC,易看出△PMC为等腰三角形,利用N
为PC的中点,可得MN⊥PC.
(1)连结AC,AN,BN,∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AC, 在Rt△PAC中,N为PC中点,∴AN= PC. ∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC,又BC⊥AB, PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB,∴BC⊥PB, 从而在Rt△PBC中,BN为斜边PC上的中线, ∴BN= PC.∴AN=BN,∴△ABN为等腰三角形, 又M为底边的中点,∴MN⊥AB,又∵AB∥CD,∴MN⊥CD.
2.垂直是直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系中的纽带,常常起到承 上启下的作用,不少问题常常是以垂直为解题的突破口,然后深入进行下 去.在高考中,空间三种垂直关系的转化始终是立体几何考查的重点.
【应试对策】
1.对线面平行、面面平行的认识一般按“定义——判定定理——性质定理——应用”的 顺序进行,其中定义的条件和结论是相互等价的,它既可以作为判定线面平行 和面面平行的方法,又可以作为线面平行和面面平行的性质来应用.
2.应用线面平行的判定定理证明线面平行,关键是找到平面内与平面外直线平行 的直线.应用线面平行的性质定理解题的关键是利用已知条件作辅助平面,然 后把已知中的线面平行转化为直线和交线平行.
3.要判定一条直线是否和一个平面垂直,取决于在这个平面内能否找出两条 相交直线和已知直线垂直,至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点则 无关紧要.
(2)三垂线定理的基本图形
右图是三垂线定理的基本图形,PA⊥α,PO是平
面α的斜线,AO为PO在α内的射影,直线a在α内,若
a⊥AO,则a⊥PO.
(3)三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条
斜线垂直,那么它也和这条斜线在平面内的射影垂
直.
(4)三垂线定理及其逆定理的作用 三垂线定理及其逆定理,是立体几何中的重要定理,是共面两直线的垂直关系与 空间两直线的垂直关系之间相互转化的判定定理,它的实质是通过线线垂直得到的 线面垂直,又转化为线线垂直,它是证明线线垂直的重要方法.它的用途: 在作图中,作二面角的平面角; 在证明中,证明线线垂直; 在计算中,用归纳法归拢已知条件,便于计算.
答案:50π
4.如图,BC是Rt△ABC的斜边,AP⊥平面ABC,连结PB、PC,作PD⊥BC于 D, 连结AD,则图中共有直角三角形______个.
解析:Rt△PAB、Rt△PAC、Rt△ABC、Rt△ADP.
可证BC⊥平面APD,由BC⊥AD,BC⊥PD.
可证Rt△PBD、Rt△PDC、Rt△ADB、Rt△ADC共8个.
5.点面、线面距离及线面角
(1)点到平面的距离
从平面外一点引平面的垂线,这个点和 垂足 间的距离,叫做这个点到这
个平面的距离.
(2)直线和平面的距离
一条直线和一个平面 平行 ,这条直线上 任意一点 到这个平面的距离,
叫 做这条直线和这个平面的距离.
(3)直线与平面所成的角 ①平面的一条斜线与它在这个平面内的 射影 所成的 锐角 , 叫做这条直线与这个平面所成的角. ②一条直线 垂直于 平面,则称它们所成的角是直角;一条直线与 平面 平行 或 在平面内 ,则称它们所成的角是0°的角.
【规律方法总结】 1.空间直线和平面的位置关系:直线在平面内,直线和平面平行,直线和平面
相交.了解空间直线和平面位置关系的画法,掌握它们的特征,即直线在平面 内——有无数个公共点,直线和平面平行——无公共点,直线和平面相交——有且只 有一个公共点. 2.直线和平面平行时,直线和平面没有公共点,直线与平面内的直线只有两种 位置关系:平行或异面.直线和平面平行的性质定理可简述为“若线面平行,则 线线平行”,它实际上是两直线平行的判定定理.
答案:8
5.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中,A到平面B1C的距离为________,A到平
面BB1D1D的距离为________,AA1到平面BB1D1D的距离为________.
解析:由正方体性质知AB⊥BB1,AB⊥BC,∴AB⊥平面B1C.
又∵AB=a,∴点A到平面B1C的距离为a.过点A作AO⊥BD,垂足为O,由正方
关键明3.直线与平面垂直的判定方法:①定义;②判定定理.由直线和平面 垂直的判定定理知,把线线垂直关系转化为线面垂直关系.
4.直线和平面垂直的性质定理是由线面垂直关系到线线垂直关系的转换, 掌握性质,确平面的垂线.应用时,只要找到这个平面的两条垂线就可以了.
的直线.可先直观判断平面内是否已有,若没有,则需作出该直线,常考虑三角 形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.(3)利用面面平 行的性质定理:当两平面平行时,其中一个平面内的任一直线平行于另一平面.
【例1】 如图,矩形ABCD和梯形BEFC有公共边BC,BE∥CF,∠BCF=90°,
证明直线和平面垂直的常用方法有:(1)利用判定定理.(2)利用平行线垂
直于平面的传递性(a∥b,a⊥α⇒b⊥α).(3)利用面面平行的性质(a⊥α,
α∥β⇒a⊥β).(4)利用面面垂直的性质.当直线和平面垂直时,该直线垂直于
平面内的任一直线,常用来证明线线垂直.
【例3】 如图所示,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M、N分别是AB,PC的中点.
4.求直线与平面所成的角,一般是作出直线与平面所成的角,并通过解三角 形求出.
【知识拓展】 三垂线定理和逆定理 (1)三垂线定理 在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这 条斜线垂直.其符号表述为:直线l与平面α斜交,l′是l在α内的射影,直线m⊂α, m⊥l′⇒m⊥l.
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