线性代数经管类——重点难点总结

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线性代数各章节内容重点难点(大一第一学期)

线性代数各章节内容重点难点(大一第一
学期)
教学难点：向量空间、子空间、基、维数等概念的理解和应用，向量的内积和正交矩阵的性质的证明。

第一章：行列式
本章主要介绍了行列式的定义、性质和运算，以及克莱姆法则的应用。

学生需要了解行列式的基本概念和性质，掌握二、三、四阶行列式的计算方法，以及简单的n阶行列式的计算方法。

此外，学生还需要理解克莱姆法则的结论，并会应用于实际问题中。

本章教学难点在于行列式性质的证明。

第二章：矩阵
本章主要介绍了矩阵的概念和各种运算及其规律，包括单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵等的性质，矩阵的线性运算、乘法、转置等，以及逆矩阵、伴随矩阵、初等变换、矩阵等价、矩阵秩等概念和方法。

学生需要掌握这些概念和方法，并能够灵活运用于实际问题中。

本章教学难点在于矩阵可
逆的充分必要条件的证明，初等矩阵及其性质，以及分块矩阵及其运算。

第三章：向量
本章主要介绍了向量的概念和相关性质，包括向量组的线性相关与线性无关的概念和性质，向量组的极大线性无关组的概念，向量组的等价和向量组的秩的概念，向量组的秩与矩阵的秩之间的关系，以及向量空间、子空间、基、维数等概念和向量的内积、正交矩阵等性质。

学生需要掌握这些概念和方法，并能够灵活运用于实际问题中。

本章教学难点在于向量空间、子空间、基、维数等概念的理解和应用，以及向量的内积和正交矩阵的性质的证明。

线性代数重点难点

线性代数重点难点一、重点内容及要求：1. 理解行列式的概念，能熟练运用行列式的基本性质以及行列式按行(列)展开定理计算行列式,会用Laplace定理和Cramer 法则解线性方程组。

2. 理解矩阵及其秩的概念，会用初等变换求其秩，掌握线性方程组有解、有唯一解以及无解的条件。

掌握用行的初等变换求方程组解的方法。

3. 会熟练运用矩阵的加法、数乘、乘法、转置等运算法则,会计算方阵乘积的行列式。

理解矩阵可求逆的概念，掌握利用伴随矩阵和初等变换求出矩阵逆的方法。

理解矩阵的初等变换和初等矩阵的关系, 理解初等变换和矩阵乘法的关系，掌握矩阵可逆的充要条件。

掌握分块矩阵的运算法则。

4. 理解线性空间、向量的线性组合和线性表示、向量组等价、向量组的线性相关线性无关以及向量组的极大线性无关组和向量组秩的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的性质，能判断向量组的线性相关和无关性，会求出向量组的极大线性无关组、确定向量组的秩。

掌握子空间的判断条件，会求出线性空间的基、维数以及向量在一组基下的坐标。

理解基变换的概念，会求过渡矩阵、会用坐标变换公式。

掌握理解向量组的秩与矩阵秩的关系。

理解非齐次线性方程组的解与其导出的齐次线性方程组的解之间的关系、掌握齐次线性方程组基础解系的求法以及写出非齐次线性方程组的通解。

5. 理解内积和欧氏空间的概念，掌握Schmidt正交化方法，理解标准正交基、正交矩阵的概念及其相关性质。

6. 了解线性变换的概念，会写出在基下的矩阵。

理解线性变化和矩阵特定的一一对应关系。

理解并能熟练计算矩阵的特征值和特征向量，掌握矩阵的特征值和特征向量的相关性质。

理解相似矩阵的概念和性质。

掌握矩阵可相似对角阵的充要条件，能熟练地利用之化矩阵为对角阵。

理解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质，能熟练地用整交矩阵化实对称矩阵化为对角阵。

7. 理解二次型及其秩的概念，理解对称矩阵和二次型的一一对应关系，理解二次型的标准形、规范形概念以及惯性定理，熟练利用配方法和正交矩阵化二次型为标准形。

线性代数经管类知识点

线性代数经管类知识点线性代数在经管类学科中具有重要的地位，其涉及的知识点对于分析、建模和解决管理问题具有重要的作用。

本文将介绍一些线性代数在经管类学科中常用的知识点，并探讨其应用。

应用于经管类学科的线性代数知识主要包括矩阵运算、线性方程组的求解以及向量空间的理解。

我们将逐一进行阐述。

1. 矩阵运算：矩阵是一个重要的线性代数工具，在经管类学科中广泛应用于数据的存储和计算。

矩阵的加法、减法和乘法运算能够对数据进行处理和分析。

例如，在经济学中，我们可以通过矩阵乘法来计算不同经济指标的加权平均值，从而对经济状况进行评估。

此外，矩阵的转置运算也可以用于解决一些经济和管理问题，例如对投资组合的评估与优化。

2. 线性方程组的求解：线性方程组是经管类学科中常见的数学模型。

通过线性代数的方法，我们可以求解线性方程组，从而得到方程组的解析解或数值解。

这对于经济学中的均衡分析和管理学中的约束优化问题具有重要的作用。

同时，我们还可以通过求解线性方程组来进行数据拟合和趋势预测，帮助企业做出决策。

3. 向量空间的理解：向量空间是线性代数中的一个重要概念，它描述了向量的线性组合和向量之间的相对位置关系。

在经管类学科中，我们经常遇到多个变量之间的关系，例如市场需求与供给的关系、公司利润与销售额的关系等。

通过将变量转化为向量，我们可以使用向量空间的理论和方法来分析这些关系。

例如，我们可以通过求解向量的线性相关性来检验变量之间的相关性，从而评估市场需求的变化对供给的影响，或者评估公司销售额的变化对利润的影响。

除了以上提到的知识点，线性代数在经管类学科中还有其他重要的应用。

例如，特征值和特征向量的分析可以用于研究矩阵的稳定性和动态系统的行为。

奇异值分解可以用于降维和数据压缩，从而提取关键信息。

矩阵的逆可以用于求解逆问题，例如在金融学中用于对冲或风险管理。

总之，线性代数在经管类学科中扮演着不可或缺的角色。

通过掌握矩阵运算、线性方程组求解和向量空间的理解，我们能够更好地理解和分析经济和管理问题。

线性代数知识重难点和常考题型汇总

②、

a11 a21

a12
a22

a1 n a2 n

x1
x2

b1
b2

Ax
b
（向量方程，
A为mn
矩阵， m
个方程， n 个未知数）
am1
am 2

amn xm
bm
⑦、 r( AB) min(r( A), r(B)) ；（※）⑧、如果 A 是 m n 矩阵， B 是 n s 矩阵，且 AB 0 ，则：（※） Ⅰ、 B 的列向量全部是齐次方程组 AX 0 解（转置运算后的结论）； 3
Ⅱ、 r( A) r(B) n ⑨、若 A 、 B 均为 n 阶方阵，则 r( AB) r( A) r(B) n ；
③、 a1
a2

an

x1
x2

（全部按列分块，其中

b1 b2

）；

xn
bn
④、 a1 x1 a2 x2 an xn （线性表出）
⑤、有解的充要条件： r( A) r( A, ) n （ n 为未知数的个数或维数）
③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为 A ；
3，代数余子式和余子式的关系：
M ij (1)i j Aij
Aij (1)i j M ij
4，设 n 行列式 D ：
n ( n 1)

自考本科线性代数(经管类)知识汇总(红字重点)

自考高数线性代数笔记第一章行列式行列式的定义（一）一阶、二阶、三阶行列式的定义（1）定义：符号叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为：。

注意：在线性代数中，符号不是绝对值。

例如，且；（2）定义：符号叫二阶行列式，它也是一个数，其大小规定为：所以二阶行列式的值等于两个对角线上的数的积之差。

（主对角线减次对角线的乘积）例如（3）符号叫三阶行列式，它也是一个数，其大小规定为例如=0三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆方法是：在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。

我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。

例如：（1）=1×5×9+2×6×7+3×4×8-3×5×7-1×6×8-2×4×9=0（2）（3）（2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2）（3）可见，在三阶行列式中，三角形行列式的值为主对角线的三个数之积，其余五项都是0，例如例1a为何值时，解因为所以8-3a=0，时例2当x取何值时，解：.解得0<x<9所以当0<x<9时，所给行列式大于0。

（二）n阶行列式符号：它由n行、n列元素（共个元素）组成，称之为n阶行列式。

其中，每一个数称为行列式的一个元素，它的前一个下标i称为行标，它表示这个数在第i行上；后一个下标j 称为列标，它表示这个数在第j列上。

所以在行列式的第i行和第j列的交叉位置上。

为叙述方便起见，我们用(i,j)表示这个位置。

n阶行列式通常也简记作。

n阶行列式也是一个数，至于它的值的计算方法需要引入下面两个概念。

线性代数难点解析

线性代数难点解析.txt如果背叛是一种勇气，那么接受背叛则需要更大的勇气。

爱情是块砖，婚姻是座山。

砖不在多，有一块就灵；山不在高，守一生就行。

一章行列式一、重点1、理解：行列式的定义，余子式，代数余子式。

2、掌握：行列式的基本性质及推论。

3、运用：运用行列式的性质及计算方法计算行列式，用克莱姆法则求解方程组。

二、难点行列式在解线性方程组、矩阵求逆、向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面的应用。

三、重要公式1、若A为n阶方阵，则│kA│= kn│A│2、若A、B均为n阶方阵，则│AB│=│A│·│B│3、若A为n阶方阵，则│A*│=│A│n-1若A为n阶可逆阵，则│A-1│=│A│-14、若A为n阶方阵，λi（i=1,2,…,n）是A的特征值，│A│＝∏λi四、题型及解题思路1、有关行列式概念与性质的命题2、行列式的计算（方法）1）利用定义2）按某行（列）展开使行列式降阶3）利用行列式的性质①各行（列）加到同一行（列）上去，适用于各列（行）诸元素之和相等的情况。

②各行（列）加或减同一行（列）的倍数，化简行列式或化为上（下）三角行列式。

③逐次行（列）相加减，化简行列式。

④把行列式拆成几个行列式的和差。

4）递推法，适用于规律性强且零元素较多的行列式5）数学归纳法，多用于证明3、运用克莱姆法则求解线性方程组若D =│A│≠0，则Ax=b有唯一解，即x1=D1/D，x2= D2/D，…，xn= Dn/D其中Dj是把D中xj的系数换成常数项。

注意：克莱姆法则仅适用于方程个数与未知数个数相等的方程组。

4、运用系数行列式│A│判别方程组解的问题1）当│A│＝0时，齐次方程组Ax＝0有非零解；非齐次方程组Ax＝b不是唯一解（可能无解，也可能有无穷多解）2）当│A│≠0时，齐次方程组Ax＝0仅有零解；非齐次方程组Ax＝b有唯一解，此解可由克莱姆法则求出第二章矩阵一、重点1、理解：矩阵的定义、性质，几种特殊的矩阵（零矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，对角矩阵，逆矩阵，正交矩阵，伴随矩阵，分块矩阵）2、掌握：1）矩阵的各种运算及运算规律2）矩阵可逆的判定及求逆矩阵的各种方法3）矩阵的初等变换方法二、难点1、矩阵的求逆矩阵的初等变换2、初等变换与初等矩阵的关系三、重要公式及难点解析1、线性运算1）交换律一般不成立，即AB≠BA2）一些代数恒等式不能直接套用，如设A，B，C均为n阶矩阵(A+B)2=A2+AB+BA+B2≠A2+2AB+B2(AB)2=(AB)(AB)≠A2B2(AB)k≠AkBk(A+B)(A-B)≠A2-B2以上各式当且仅当A与B可交换，即AB=BA时才成立。

线性代数难点解析

一章行列式一、重点1、理解：行列式的定义，余子式，代数余子式。

2、掌握：行列式的基本性质及推论。

3、运用：运用行列式的性质及计算方法计算行列式，用克莱姆法则求解方程组。

二、难点行列式在解线性方程组、矩阵求逆、向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面的应用。

②各行（列）加或减同一行（列）的倍数，化简行列式或化为上（下）三角行列式。

③逐次行（列）相加减，化简行列式。

④把行列式拆成几个行列式的和差。

注意：克莱姆法则仅适用于方程个数与未知数个数相等的方程组。

自考线性代数(经管类)重点内容

《线性代数（经管类）》重点内容前言：很多自考学员反映，在自考复习过程中大多数时候感到既畏惧，又无从下手。

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第一章行列式1.简单的二阶、三阶行列式的计算。

（P3）2.利用行列式的定义计算行列式。

（P9）3.利用行列式的六大性质计算行列式。

（P11）4.利用克拉默法则求解线性方程组。

（P27）第二章矩阵5.矩阵的乘法运算。

（P37）6.矩阵乘法运算规律。

（P41）7.方阵的行列式具有的性质。

（P45）8.方阵的逆矩阵及其具有的性质。

（P48）9.利用矩阵的初等变换求解逆矩阵。

（P66）10.矩阵秩的求法。

（P70）11.利用矩阵求解线性方程组。

（P75）第三章向量空间12.线性表示。

（P83）13.线性相关和线性无关的性质与证明。

（P88）14.求向量组的极大无关组。

（P94）15.向量组的秩具有的性质。

（P97）16.求向量组的秩。

（P99）17.求向量空间的基与维数。

（P106）第四章线性方程组18.齐次线性方程组的性质。

（P110）19.求解齐次线性方程组。

（P114）20.非齐次线性方程组解的判别定理。

（P119）21.非齐次线性方程组的求通解方法。

（P）第五章特征值与特征向量22.特征值与特征向量的定义求法。

（P129）23.特征值与特征向量的一些重要结论。

（P131）24.特征值的性质。

（P132）25.求特征值与特征向量的一般方法。

（P133）26.方阵相似具有的性质。

（P138）27.求向量内积。

（P146）28.正交矩阵的性质与证明。

经济数学基础线性代数部分重难点解析

第三部线性代数第1章行列式1．了解或理解一些基本概念（1）了解n 阶行列式、余子式、代数余子式等概念；（2）了解n 阶行列式性质，尤其是：性质1 行列式D 和其转置行列式T D 相等；性质2 若将行列式的任意两行（或列）互换，则行列式的值改变符号；性质3 行列式一行（或列）元素的公因子可以提到行列式记号的外面；性质5 若将行列式的某一行（或列）的倍数加到另一行（或列）对应的元素上，则行列式的值不变．例1 设行列式211201231--=D ，则D 中元素223=a 的代数余子式23A = 。

解由代数余子式的定义ij A ij ji M +-=)1(，其中ij M 为ij a 的余子式，可知 23A =11311131)1(32-=-+。

应该填写 1131-。

例2 下列等式成立的是（），其中d c b a ,,,为常数。

A ．acb d dc ba -= B ．111111c bd a d c b a +=++C ．d c b a d c ba 22222= D ．111111c b d a d c b a ⋅=⋅⋅ 解因为 dc ba d cb acd a b a b c d a c b d ≠-==-=-，所以选项A 是错误的。

由行列式性质4可知，111111c b d a d c b a +=++，所以选项B 是正确的。

因为d c ba d cb a dc b a 242222≠=，所以选项C 是错误的。

因为1111,11c b d a cd ab d c b a ⋅-=⋅⋅=))((c b d a --，111111c b d a d c b a ⋅≠⋅⋅，所以选项D 是错误的。

例3 行列式4321100001000010=D = 。

解按第1列展开行列式，得6300020001)1(432130000200001014-=-==+D故应该填写 –6。

2．掌握行列式的计算方法化三角形法：利用行列式性质化成上（或下）三角行列式，其主对角线元素的乘积即为行列式的值。

自考线性代数(经管类)各章考核重点解析

自考线性代数（经管类）各章考核重点解析第一章行列式（一）考核知识点1.行列式定义。

2.行列式的性质与计算。

3.克拉默（Cramer）法则。

（二）自学要求学习本章，要确切了解行列式的定义；理解行列式的性质；熟练掌握行列式的计（特别是低阶的数字行列式和具有特殊形状的文字或数字行列式），会计算简单的行式；理解克拉默法则在线性方程组求解理论中的重要性。

本章的重点；行列式的性质与计算。

难点；n阶行列式的计算（三）考核要求1.行列式的定义。

要求达到“识记”层次。

1.1熟练计算二阶与三阶行列式。

1.2清楚行列式中元素的余子式和代数余子式的定义。

1.3了解行列式的按其第一列展开的递归定义。

1.4熟记三角行列式的计算公式。

2.行列式的性质与计算。

要求达到“简单应用”层次。

2.1掌握并会熟练运用行列式的性质。

2.2掌握行列式的基本方法。

2.3回计算具有特殊形状的数字和文字行列式以及简单的n阶行列式。

2.4低阶范德蒙德行列式的计算。

3.克拉默法则。

要求达到“简单应用”层次。

3.1知道克拉默法则。

3.2会用克拉默法则求解简单的线性方程组。

第二章矩阵（一）考核知识点1.矩阵的各种运算的定义及其运算律。

重点是矩阵的乘法。

2. 分快矩阵的定义及其运算。

3.逆矩阵的定义与性质，伴随矩阵，方阵可逆的判别条件。

4.矩阵的初等变换和初等矩阵。

5.可逆矩阵的逆矩阵的求法。

6.矩阵的秩的定义与求法。

（二）自学要求学习本章，要求掌握矩阵的各种运算及其运算法则；知道方阵可逆的充分必要条件；会求可逆矩阵的逆矩阵；熟练掌握矩阵的初等变换；理解矩阵的秩定义，会求矩阵的秩。

本章的重点；矩阵运算及其矩阵的求法，矩阵的初等变换。

难点；逆矩阵的求法及矩阵的概念。

（三）考核要求1.矩阵的定义。

要求达到“识记”层次。

1.1理解矩阵的定义。

1.2知道三角矩阵、对角矩阵、单位矩阵和零矩阵的定义。

1.3清楚矩阵与行列式是两个有本质区别的概念，清楚矩阵与行列式符号的区别。

数学考研复习重点高等数学与线性代数重难点解析

数学考研复习重点高等数学与线性代数重难点解析数学考研复习重点——高等数学与线性代数重难点解析一、高等数学重难点解析1. 极限与连续极限与连续是高等数学中最基础的概念。

在极限与连续的学习中，需要重点掌握基本极限定理、函数极限以及导数与微分等内容。

这些概念和定理是高等数学其他章节的基础，理解它们对后续知识的学习至关重要。

2. 微分学微分学是高等数学中的重要部分，包括函数的导数、高阶导数、微分中值定理等。

在复习微分学时，需要重点关注基本的导数公式和应用、利用微分和导数解决实际问题等。

3. 积分学积分学也是高等数学中的重点内容，包括不定积分、定积分、反常积分和微积分基本定理等。

在复习积分学时，需要熟练掌握常用的积分公式以及应用积分解决实际问题的方法。

4. 一阶微分方程一阶微分方程是高等数学中的难点之一，要掌握解微分方程的方法、常见的一阶微分方程类型以及初值问题的求解等。

5. 多元函数多元函数包括偏导数、全微分、隐函数与参数方程等内容。

复习多元函数时，需要掌握偏导数和全微分的计算方法，以及利用隐函数定理解决问题的技巧。

二、线性代数重难点解析1. 线性方程组线性代数中线性方程组是一个基础和重要的概念。

复习线性方程组时，需要掌握线性方程组的求解方法、线性方程组的解的性质等。

2. 行列式行列式也是线性代数的核心内容之一。

在复习行列式时，需要熟悉行列式的性质、行列式的计算方法以及行列式的应用等。

3. 向量空间向量空间是线性代数中的重难点之一。

复习向量空间时，需要掌握向量空间的基本性质、子空间和线性变换的定义以及应用等。

4. 矩阵与线性变换矩阵和线性变换是线性代数的核心内容，包括矩阵的运算、矩阵的特征值和特征向量、线性变换的矩阵表示等。

在复习矩阵和线性变换时，需要重点关注矩阵的性质和运算法则，以及线性变换的特征值和特征向量的计算方法。

5. 特征值与特征向量特征值和特征向量是线性代数中的重要概念，在矩阵和线性变换中有广泛的应用。

线性代数难点解析

线性代数难点解析一、重点1、理解：行列式的定义，余子式，代数余子式。

2、掌握：行列式的基本性质及推论。

3、运用：运用行列式的性质及计算方法计算行列式，用克莱姆法则求解方程组。

二、难点行列式在解线性方程组、矩阵求逆、向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面的应用。

②各行（列）加或减同一行（列）的倍数，化简行列式或化为上（下）三角行列式。

③逐次行（列）相加减，化简行列式。

④把行列式拆成几个行列式的和差。

注意：克莱姆法则仅适用于方程个数与未知数个数相等的方程组。

4、运用系数行列式│A│判别方程组解的问题1）当│A│＝0时，齐次方程组Ax＝0有非零解；非齐次方程组Ax＝b不是唯一解（可能无解，也可能有无穷多解）2）当│A│≠0时，齐次方程组Ax＝0仅有零解；非齐次方程组Ax ＝b有唯一解，此解可由克莱姆法则求出第二章矩阵一、重点1、理解：矩阵的定义、性质，几种特殊的矩阵（零矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，对角矩阵，逆矩阵，正交矩阵，伴随矩阵，分块矩阵）2、掌握：1）矩阵的各种运算及运算规律2）矩阵可逆的判定及求逆矩阵的各种方法3）矩阵的初等变换方法二、难点1、矩阵的求逆矩阵的初等变换2、初等变换与初等矩阵的关系三、重要公式及难点解析1、线性运算1）交换律一般不成立，即AB≠BA2）一些代数恒等式不能直接套用，如设A，B，C均为n阶矩阵(A+B)2=A2+AB+BA+B2≠A2+2AB+B2(AB)2=(AB)(AB)≠A2B2(AB)k≠AkBk(A+B)(A-B)≠A2-B2以上各式当且仅当A与B可交换，即AB=BA时才成立。

自考线性代数经管类要点考点

线性代数〔经管类〕考点逐个击破第一章行列式〔一〕行列式的定义行列式是指一个由假设干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个式子，它实质上表示把这些数按一定的规则进展运算，其结果为一个确定的数.1．二阶行列式由4个数)2,1,(=j i a ij 得到以下式子：11122122a a a a 称为一个二阶行列式，其运算规则为2．三阶行列式由9个数)3,2,1,(=j i a ij 得到以下式子：333231232221131211a a a a a a a a a称为一个三阶行列式，它如何进展运算呢.教材上有类似于二阶行列式的所谓对角线法，我们采用递归法，为此先要定义行列式中元素的余子式及代数余子式的概念.3．余子式及代数余子式设有三阶行列式 3332312322211312113a a a a a a a a a D =对任何一个元素ij a ，我们划去它所在的第i 行及第j 列，剩下的元素按原先次序组成一个二阶行列式，称它为元素ij a 的余子式，记成ij M例如 3332232211a a a a M =，3332131221a a a a M =，2322131231a a a a M =再记 ij ji ij M A +-=)1( ，称ij A 为元素ij a 的代数余子式.例如 1111M A =，2121M A -=，3131M A = 则，三阶行列式3D 定义为我们把它称为3D 按第一列的展开式，经常简写成∑∑=+=-==3111131113)1(i i i i i i i M a A aD4．n 阶行列式一阶行列式 11111a a D ==n 阶行列式 1121211111212222111211n n nnn n n nn A a A a A a a a a a a a a a a D +++==其中(,1,2,,)ij A i j n =为元素ij a 的代数余子式.5．特殊行列式上三角行列式111212*********n n nn nn a a a a a a a a a =下三角行列式1122112212000nn n n nn a a a a a a a a a =21对角行列式1122112200000nn nna a a a a a =〔二〕行列式的性质性质1 行列式和它的转置行列式相等，即TD D =性质2 用数k 乘行列式D 中*一行〔列〕的所有元素所得到的行列式等于kD ，也就是说，行列式可以按行和列提出公因数.性质3 互换行列式的任意两行〔列〕，行列式的值改变符号.推论1 如果行列式中有*两行〔列〕一样，则此行列式的值等于零.推论2 如果行列式中*两行〔列〕的对应元素成比例，则此行列式的值等于零. 性质4 行列式可以按行〔列〕拆开.性质5 把行列式D 的*一行〔列〕的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行〔列〕的对应元素上去，所得的行列式仍为D.定理1〔行列式展开定理〕n 阶行列式nija D =等于它的任意一行〔列〕的各元素与其对应的代数余子式的乘积的和，即),,2,1(2211n i A a A a A a D in in i i i i =+++=或),,2,1(2211n j A a A a A a D nj nj j j j j =+++=前一式称为D 按第i 行的展开式，后一式称为D 按第j 列的展开式.本定理说明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求出它的值.定理2 n 阶行列式nij a D =的任意一行〔列〕各元素与另一行〔列〕对应元素的代数余子式的乘积之和等于零.即)(02211k i A a A a A a kn in k i k i ≠=+++ 或)(02211s j A a A a A a ns nj s j s j ≠=+++〔三〕行列式的计算行列式的计算主要采用以下两种根本方法：〔1〕利用行列式性质，把原行列式化为上三角〔或下三角〕行列式再求值，此时要注意的是，在互换两行或两列时，必须在新的行列式的前面乘上〔－1〕，在按行或按列提取公因子k 时，必须在新的行列式前面乘上k.〔2〕把原行列式按选定的*一行或*一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值，通常是利用性质在*一行或*一列中产生很多个“0〞元素，再按这一行或这一列展开：例1 计算行列式 52072325121314124-=D解：观察到第二列第四行的元素为0，而且第二列第一行的元素是112=a ，利用这个元素可以把这一列其它两个非零元素化为0，然后按第二列展开.例2 计算行列式 ab b b b a b b b b a b bb b a D =4解：方法1 这个行列式的元素含有文字，在计算它的值时，切忌用文字作字母，因为文字可能取0值.要注意观察其特点，这个行列式的特点是它的每一行元素之和均为b a 3+〔我们把它称为行和一样行列式〕，我们可以先把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因子b a 3+，再将后三行都减去第一行：方法2 观察到这个行列式每一行元素中有多个b ，我们采用“加边法〞来计算，即是构造一个与4D 有一样值的五阶行列式：这样得到一个“箭形〞行列式，如果b a =，则原行列式的值为零，故不妨假设b a ≠，即0≠-b a ，把后四列的ba -1倍加到第一列上，可以把第一列的〔－1〕化为零. 例3 三阶德蒙德行列式 ))()((1112313122322213213x x x x x x x x x x x x V ---== 〔四〕克拉默法则定理1〔克拉默法则〕设含有n 个方程的n 元线性方程组为如果其系数行列式0≠=nija D ，则方程组必有唯一解：n j DD x j j ,,2,1, ==其中j D 是把D 中第j 列换成常数项n b b b ,,,21 后得到的行列式. 把这个法则应用于齐次线性方程组，则有定理2 设有含n 个方程的n 元齐次线性方程组如果其系数行列式0≠D ，则该方程组只有零解：021====n x x x换句话说，假设齐次线性方程组有非零解，则必有0=D ，在教材第二章中，将要证明，n 个方程的n 元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零.第二章矩阵〔一〕矩阵的定义1．矩阵的概念由n m ⨯个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ==排成的一个m 行n 列的数表称为一个m 行n 列矩阵或n m ⨯矩阵当n m =时，称()nn ija A ⨯=为n 阶矩阵或n 阶方阵元素全为零的矩阵称为零矩阵，用n m O ⨯或O 表示2．3个常用的特殊方阵：①n 阶对角矩阵是指形如 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn a a a A0000002211的矩阵 ②n 阶单位方阵是指形如 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100010001 n E 的矩阵③n 阶三角矩阵是指形如 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n nn n n a a a a a a a a a a a a2122211122211211000,000的矩阵 3．矩阵与行列式的差异矩阵仅是一个数表，而n 阶行列式的最后结果为一个数，因而矩阵与行列式是两个完全不同的概念，只有一阶方阵是一个数，而且行列式记号“*〞与矩阵记号“()*〞也不同，不能用错.〔二〕矩阵的运算1．矩阵的同型与相等设有矩阵n m ij a A ⨯=)(，λ⨯=k ij b B )(，假设k m =，λ=n ，则说A 与B 是同型矩阵.假设A 与B 同型,且对应元素相等，即ij ij b a =，则称矩阵A 与B 相等，记为B A =因而只有当两个矩阵从型号到元素全一样的矩阵，才能说相等.2．矩阵的加、减法设n m ij a A ⨯=)(，n m ij b B ⨯=)(是两个同型矩阵则规定注意：只有A 与B 为同型矩阵，它们才可以相加或相减.由于矩阵的相加表达为元素的相加，因而与普通数的加法运算有一样的运算律.3．数乘运算设n m ij a A ⨯=)(，k 为任一个数，则规定n m ij ka kA ⨯=)(故数k 与矩阵A 的乘积就是A 中所有元素都乘以k ，要注意数k 与行列式D 的乘积，只是用k 乘行列式中*一行或*一列，这两种数乘截然不同.矩阵的数乘运算具有普通数的乘法所具有的运算律.4．乘法运算设k m ij a A ⨯=)(，n k ij b B ⨯=)(，则规定n m ij c AB ⨯=)(其中kj ik j i j i ij b a b a b a c +++= 2211),,2,1;,,2,1(n j m i ==由此定义可知，只有当左矩阵A 的列数与右矩阵B 的行数相等时，AB 才有意义，而且矩阵AB 的行数为A 的行数，AB 的列数为B 的列数，而矩阵AB 中的元素是由左矩阵A 中*一行元素与右矩阵B 中*一列元素对应相乘再相加而得到.故矩阵乘法与普通数的乘法有所不同，一般地： ①不满足交换律，即BA AB ≠②在0=AB 时，不能推出0=A 或0=B ，因而也不满足消去律.特别，假设矩阵A 与B 满足BA AB =，则称A 与B 可交换，此时A 与B 必为同阶方阵. 矩阵乘法满足结合律，分配律及与数乘的结合律.5．方阵的乘幂与多项式方阵设A 为n 阶方阵，则规定m A AAA =m 个特别E A =0又假设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++++，则规定称)(A f 为A 的方阵多项式，它也是一个n 阶方阵6．矩阵的转置设A 为一个n m ⨯矩阵，把A 中行与列互换，得到一个m n ⨯矩阵，称为A 的转置矩阵，记为TA ，转置运算满足以下运算律：A A T =T )(，T T TB A B A +=+)(，T T kA kA =)(，T T T A B AB =)(由转置运算给出对称矩阵，反对称矩阵的定义设A 为一个n 阶方阵，假设A 满足A A T =，则称A 为对称矩阵，假设A 满足A A T -=，则称A 为反对称矩阵.7．方阵的行列式矩阵与行列式是两个完全不同的概念，但对于n 阶方阵，有方阵的行列式的概念.设)(ij a A =为一个n 阶方阵，则由A 中元素构成一个n 阶行列式nij a ，称为方阵A 的行列式，记为A方阵的行列式具有以下性质：设A ，B 为n 阶方阵，k 为数，则①A A T =； ②A k kA n = ③B A AB ⋅=〔三〕方阵的逆矩阵1．可逆矩阵的概念与性质设A 为一个n 阶方阵，假设存在另一个n 阶方阵B ，使满足E BA AB ==，则把B 称为A 的逆矩阵，且说A 为一个可逆矩阵，意指A 是一个可以存在逆矩阵的矩阵，把A 的逆矩阵B 记为1-A ，从而A 与1-A 首先必可交换，且乘积为单位方阵E.逆矩阵具有以下性质：设A ，B 为同阶可逆矩阵，0≠k 为常数，则①1-A 是可逆矩阵，且A A =--11)(； ②AB 是可逆矩阵，且111)(---=A B AB ；③kA 是可逆矩阵，且111)(--=A kkA ④TA 是可逆矩阵，且T TA A )()(11--=⑤可逆矩阵可从矩阵等式的同侧消去，即设P 为可逆矩阵，则B A PB PA =⇔=B A BP AP =⇔=2．伴随矩阵设)(ij a A =为一个n 阶方阵，ij A 为A 的行列式n ij a A =中元素ij a 的代数余子式，则矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn nn n n A A A A A A A A A212221212111称为A 的伴随矩阵，记为*A 〔务必注意*A 中元素排列的特点〕伴随矩阵必满足1*-=n AA 〔n 为A 的阶数〕3．n 阶阵可逆的条件与逆矩阵的求法定理：n 阶方阵A 可逆⇔0≠A ，且*11A AA=- 推论：设A ，B 均为n 阶方阵，且满足E AB =，则A ，B 都可逆，且B A =-1，A B =-1例1 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=d c b a A〔1〕求A 的伴随矩阵*A〔2〕a ，b ，c ，d 满足什么条件时，A 可逆.此时求1-A解：〔1〕对二阶方阵A ，求*A 的口诀为“主交换，次变号〞即⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=a c b d A *〔2〕由bc ad dc b a A -==，故当0≠-bc ad 时，即0≠A ，A 为可逆矩阵此时⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==-a c b d bc ad A A A 11*1〔四〕分块矩阵1．分块矩阵的概念与运算对于行数和列数较高的矩阵，为了表示方便和运算简洁，常用一些贯穿于矩阵的横线和纵线把矩阵分割成假设干小块，每个小块叫做矩阵的子块，以子块为元素的形式上的矩阵叫做分块矩阵.在作分块矩阵的运算时，加、减法，数乘及转置是完全类似的，特别在乘法时，要注意到应使左矩阵A 的列分块方式与右矩阵B 的行分块方式一致，然后把子块当作元素来对待，相乘时A 的各子块分别左乘B 的对应的子块.2．准对角矩阵的逆矩阵形如 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛r A A A 21的分块矩阵称为准对角矩阵，其中r A A A ,,,21 均为方阵空白处都是零块.假设r A A A ,,,21 都是可逆矩阵，则这个准对角矩阵也可逆，并且〔五〕矩阵的初等变换与初等方阵1．初等变换对一个矩阵A 施行以下三种类型的变换，称为矩阵的初等行〔列〕变换，统称为初等变换，〔1〕交换A 的*两行〔列〕；〔2〕用一个非零数k 乘A 的*一行〔列〕；〔3〕把A 中*一行〔列〕的k 倍加到另一行〔列〕上.注意：矩阵的初等变换与行列式计算有本质区别，行列式计算是求值过程，用等号连接，而对矩阵施行初等变换是变换过程用“→〞连接前后矩阵.初等变换是矩阵理论中一个常用的运算，而且最常见的是利用矩阵的初等行变换把矩阵化成阶梯形矩阵，以至于化为行简化的阶梯形矩阵.2．初等方阵由单位方阵E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等方阵.由于初等变换有三种类型，相应的有三种类型的初等方阵，依次记为ij P ，)(k D i 和)(k T ij ，容易证明，初等方阵都是可逆矩阵，且它们的逆矩阵还是同一类的初等方阵.3．初等变换与初等方阵的关系设A 为任一个矩阵，当在A 的左边乘一个初等方阵的乘积相当于对A 作同类型的初等行变换；在A 的右边乘一个初等方阵的乘积相当于对A 作同类型的初等列变换.4．矩阵的等价与等价标准形假设矩阵A 经过假设干次初等变换变为B ，则称A 与B 等价，记为B A ≅ 对任一个n m ⨯矩阵A ，必与分块矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛O O O E r 等价，称这个分块矩阵为A 的等价标准形.即对任一个n m ⨯矩阵A ，必存在n 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q ，使得 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O O O E PAQ r5．用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵设A 为任一个n 阶可逆矩阵，构造n n 2⨯矩阵〔A ，E 〕然后 ),(),(1-→A E E A注意：这里的初等变换必须是初等行变换.例2 求⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=421412311A 的逆矩阵解：则 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-1132141241A例3 求解矩阵方程解：令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=213411,421412311B A ，则矩阵方程为B AX =，这里A 即为例2中矩阵，是可逆的，在矩阵方程两边左乘1-A ，得也能用初等行变换法，不用求出1A -，而直接求B A 1-则 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-2052031B A X〔六〕矩阵的秩1．秩的定义设A 为n m ⨯矩阵，把A 中非零子式的最高阶数称为A 的秩，记为秩)(A 或)(A r零矩阵的秩为0，因而{}n m A ,m in )(0≤≤秩，对n 阶方阵A ，假设秩n A =)(，称A 为满秩矩阵，否则称为降秩矩阵.2．秩的求法由于阶梯形矩阵的秩就是矩阵中非零行的行数，又矩阵初等变换不改变矩阵的秩.对任一个矩阵A ，只要用初等行变换把A 化成阶梯形矩阵T ，则秩(A)=秩(T)=T 中非零行的行数.3．与满秩矩阵等价的条件n 阶方阵A 满秩⇔A 可逆，即存在B ，使E BA AB ==⇔A 非奇异，即0≠A⇔A 的等价标准形为E⇔A 可以表示为有限个初等方阵的乘积 ⇔齐次线性方程组0=AX 只有零解⇔对任意非零列向量b ，非齐次线性方程组b AX =有唯一解 ⇔A 的行〔列〕向量组线性无关 ⇔A 的行〔列〕向量组为n R 的一个基⇔任意n 维行〔列〕向量均可以表示为A 的行〔列〕向量组的线性组合，且表示法唯一. ⇔A 的特征值均不为零⇔A A T 为正定矩阵.〔七〕线性方程组的消元法.对任一个线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212*********可以表示成矩阵形式b AX =，其中n m ij a A ⨯=)(为系数矩阵，Tm b b b b ),,,(21 =为常数列矩阵，T n x x x X ),,,(21 =为未知元列矩阵.从而线性方程组b AX =与增广矩阵),(b A A =一一对应.对于给定的线性方程组，可利用矩阵的初等行变换，把它的增广矩阵化成简化阶梯形矩阵，从而得到易于求解的同解线性方程组，然后求出方程组的解.第三章向量空间〔一〕n 维向量的定义与向量组的线性组合1．n 维向量的定义与向量的线性运算由n 个数组成的一个有序数组称为一个n 维向量，假设用一行表示，称为n 维行向量，即n ⨯1矩阵，假设用一列表示，称为n 维列向量，即1⨯n 矩阵与矩阵线性运算类似，有向量的线性运算及运算律.2．向量的线性组合设m ααα,,,21 是一组n 维向量，m k k k ,,,21 是一组常数，则称为m ααα,,,21 的一个线性组合，常数m k k k ,,,21 称为组合系数.假设一个向量β可以表示成则称β是m ααα,,,21 的线性组合，或称β可用m ααα,,,21 线性表出.3．矩阵的行、列向量组设A 为一个n m ⨯矩阵，假设把A 按列分块，可得一个m 维列向量组称之为A 的列向量组. 假设把A 按行分块，可得一个n 维行向量组称之为A 的行向量组.4．线性表示的判断及表出系数的求法.向量β能用m ααα,,,21 线性表出的充要条件是线性方程组βααα=+++m m x x x 2211有解，且每一个解就是一个组合系数.例1 问T )5,1,1(-=β能否表示成T )3,2,1(1=α，T)4,1,0(2=α，T )6,3,2(3=α的线性组合.解：设线性方程组为 βααα=++332211x x x对方程组的增广矩阵作初等行变换：则方程组有唯一解1,2,1321-===x x x所以β可以唯一地表示成321,,ααα的线性组合，且3212αααβ-+=〔二〕向量组的线性相关与线性无关1．线性相关性概念设m ααα,,,21 是m 个n 维向量，如果存在m 个不全为零的数m k k k ,,,21 ，使得02211=+++m m k k k ααα ，则称向量组m ααα,,,21 线性相关，称m k k k ,,,21 为相关系数.否则，称向量m ααα,,,21 线性无关.由定义可知，m ααα,,,21 线性无关就是指向量等式02211=+++m m k k k ααα 当且仅当021====m k k k 时成立.特别单个向量α线性相关⇔0=α；单个向量α线性无关⇔0≠α2．求相关系数的方法设m ααα,,,21 为m 个n 维列向量，则m ααα,,,21 线性相关⇔m 元齐次线性方程组02211=+++m m x x x ααα 有非零解，且每一个非零解就是一个相关系数⇔矩阵),,,(21m A ααα =的秩小于m例2 设向量组123(2,1,7),(1,4,11),(3,6,3)T T Tααα=-==-，试讨论其线性相关性.解：考虑方程组0332211=++αααx x x其系数矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==0001102013117641312),,(321αααA于是，秩32)(<=A ，所以向量组线性相关，与方程组同解的方程组为令13=x ，得一个非零解为1,1,2321==-=x x x 则02321=++-ααα3．线性相关性的假设干根本定理定理1 n 维向量组m ααα,,,21 线性相关⇔至少有一个向量是其余向量的线性组合.即m ααα,,,21 线性无关⇔任一个向量都不能表示为其余向量的线性组合.定理2 如果向量组m ααα,,,21 线性无关，又m αααβ,,,,21 线性相关，则β可以用m ααα,,,21 线性表出，且表示法是唯一的.定理3 假设向量组中有局部组线性相关，则整体组也必相关，或者整体无关，局部必无关. 定理4 无关组的接长向量组必无关.〔三〕向量组的极大无关组和向量组的秩1．向量组等价的概念假设向量组S 可以由向量组R 线性表出，向量组R 也可以由向量组S 线性表出，则称这两个向量组等价.2．向量组的极大无关组设T 为一个向量组，假设存在T 的一个局部组S ，它是线性无关的，且T 中任一个向量都能由S 线性表示，则称局部向量组S 为T 的一个极大无关组.显然，线性无关向量组的极大无关组就是其本身.对于线性相关的向量组，一般地，它的极大无关组不是唯一的，但有以下性质：定理1 向量组T 与它的任一个极大无关组等价，因而T 的任意两个极大无关组等价. 定理2 向量组T 的任意两个极大无关组所含向量的个数一样.3．向量组的秩与矩阵的秩的关系把向量组T 的任意一个极大无关组中的所含向量的个数称为向量组T 的秩.把矩阵A 的行向量组的秩，称为A 的行秩，把A 的列向量组的秩称为A 的列秩. 定理：对任一个矩阵A ，A 的列秩=A 的行秩=秩〔A 〕此定理说明，对于给定的向量组，可以按照列构造一个矩阵A ，然后用矩阵的初等行变换法来求出向量组的秩和极大无关组.例3 求出以下向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表出：解：把所有的行向量都转置成列向量，构造一个54⨯矩阵，再用初等行变换把它化成简化阶梯形矩阵()B A TT T T T =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------==1000001100010100000133697446224112122111,,,,54321ααααα易见B 的秩为4，A 的秩为4，从而秩{}4,,,,54321=ααααα，而且B 中主元位于第一、二、三、五列，则相应地5321,,,αααα为向量组的一个极大无关组，而且324ααα--=〔四〕向量空间1．向量空间及其子空间的定义定义1 n 维实列向量全体〔或实行向量全体〕构成的集合称为实n 维向量空间，记作nR定义2 设V 是n 维向量构成的非空集合，假设V 对于向量的线性运算封闭，则称集合V 是nR 的子空间，也称为向量空间.2．向量空间的基与维数设V 为一个向量空间，它首先是一个向量组，把该向量组的任意一个极大无关组称为向量空间V 的一个基，把向量组的秩称为向量空间的维数.显然，n 维向量空间nR 的维数为n ，且nR 中任意n 个线性无关的向量都是nR 的一个基.3．向量在*个基下的坐标设r ααα,,,21 是向量空间V 的一个基，则V 中任一个向量α都可以用r ααα,,,21 唯一地线性表出，由r 个表出系数组成的r 维列向量称为向量α在此基下的坐标.第四章线性方程组（一）线性方程组关于解的结论定理1 设b AX =为n 元非齐次线性方程组，则它有解的充要条件是)(),(A r b A r = 定理2 当n 元非齐次线性方程组b AX =有解时，即r A r b A r ==)(),(时，则〔1〕b AX =有唯一解⇔n r =；〔2〕b AX =有无穷多解⇔n r <.定理3 n 元齐次线性方程组0=AX 有非零解的充要条件是n r A r <=)( 推论1 设A 为n 阶方阵，则n 元齐次线性方程组0=AX 有非零解⇔0=A 推论2 设A 为n m ⨯矩阵，且n m <，则n 元齐次线性方程组必有非零解〔二〕齐次线性方程组解的性质与解空间首先对任一个线性方程组，我们把它的任一个解用一个列向量表示，称为该方程组的解向量，也简称为方程组的解.考虑由齐次线性方程组0=AX 的解的全体所组成的向量集合显然V 是非空的，因为V 中有零向量，即零解，而且容易证明V 对向量的加法运算及数乘运算封闭，即解向量的和仍为解，解向量的倍数仍为解，于是V 成为n 维列向量空间nR 的一个子空间，我们称V 为方程组0=AX 的解空间〔三〕齐次线性方程组的根底解系与通解把n 元齐次线性方程组0=AX 的解空间的任一个基，称为该齐次线性方程组的一个根底解系.当n 元齐次线性方程组0=AX 有非零解时，即n r A r <=)(时，就一定存在根底解系，且根底解系中所含有线性无关解向量的个数为r n -求根底解系与通解的方法是：对方程组0=AX 先由消元法，求出一般解，再把一般解写成向量形式，即为方程组的通解，从中也能求出一个根底解系.例1 求⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+-+0022*********43214321x x x x x x x x x x x x 的通解解：对系数矩阵A ，作初等行变换化成简化阶梯形矩阵：42)(<=A r ，有非零解，取43,x x 为自由未知量，可得一般解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+-=-=4433432431,54,43x x x x x x x x x x写成向量形式，令13k x =，24k x =为任意常数，则通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1054014321k k X 可见，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1054,014321ξξ为方程组的一个根底解系. 〔四〕非齐次线性方程组1．非齐次线性方程组与它对应的齐次线性方程组〔即导出组〕的解之间的关系设b AX =为一个n 元非齐次线性方程组，0=AX 为它的导出组，则它们的解之间有以下性质：性质1 如果21,ηη是b AX =的解，则21ηηξ-=是0=AX 的解性质2 如果η是b AX =的解，ξ是0=AX 的解，则ηξ+是b AX =的解由这两个性质，可以得到b AX =的解的构造定理：定理设A 是n m ⨯矩阵，且r A r b A r ==)(),(，则方程组b AX =的通解为其中*η为b AX =的任一个解〔称为特解〕,r n -ξξξ,,,21 为导出组0=AX 的一个根底解系.2．求非齐次线性方程组的通解的方法对非齐次线性方程组b AX =，由消元法求出其一般解，再把一般解改写为向量形式，就得到方程组的通解.例2 当参数a ，b 为何值时，线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++=--+-=++=+++1232)3(122043214324324321ax x x x b x x a x x x x x x x x有唯一解.有无穷多解.无解.在有无穷多解时，求出通解.解：对方程组的增广矩阵施行初等行变换，把它化成阶梯形矩阵：当1≠a 时，4)(),(==A r b A r ，有唯一解；当1,1≠=b a 时，3),(=b A r ，2)(=A r ，无解；当1,1-==b a 时，2)(),(==A r b A r ，有无穷多解.此时，方程组的一般解为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==--=++-=44334324312211x x x x x x x x x x令2413,k x k x ==为任意常数，故一般解为向量形式，得方程组通解为。

线性代数复习重点和难点

线性代数复习重点和难点第一章行列式（1）2、3 阶及n阶行列式二阶、三阶行列式概念，行列式的元素的余子式和代数余子式概念， n阶行列式的展开定义。

（2）行列式的性质用行列式的性质计算行列式。

（3）行列式的计算二阶、三阶行列式的计算；用降阶法（按行或按列展开法）计算数字元素行列式的方法。

（4）克莱姆法则克莱姆法则；齐次线性方程组有非零解的条件。

第二章矩阵（1）矩阵的概念及几种特殊的矩阵矩阵的定义，特殊矩阵的结构（零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、上三角矩阵、下三角矩阵、数量矩阵、对角矩阵、对称矩阵、单位矩阵、矩阵的相等、方阵的行列式）。

（2）矩阵的运算矩阵加法法则；数乘矩阵法则；矩阵乘法。

（3）逆矩阵逆矩阵概念，矩阵可逆的充分必要条件；求可逆矩阵的逆矩阵。

求解矩阵方程。

（4）分块矩阵分块矩阵的概念；矩阵运算时分块的方法。

（5）矩阵的初等变换与初等方阵矩阵的初等变换，对矩阵施以初等行变换与列变换。

将矩阵化为初等变换标准形。

初等方阵的概念，初等方阵左乘矩阵与右乘矩阵的性质及其运用。

初等变换求可逆方阵的逆矩阵的方法。

第三章线性方程组（1）线性方程组的消元解法矩阵的初等行变换与方程组高斯消元法的关系；将方程组的增广矩阵化为阶梯形矩阵并根据简化形阶梯形矩阵判断方程组解的情况。

非齐次线性方程组解的判定条件。

齐次线性方程组解的判定条件。

（2）n 维向量的概念n 维向量的概念。

向量加法法则及运算律。

数乘向量法则及运算律。

n 维向量空间概念。

（3）向量间的线性关系线性组合（线性表出）概念；几个重要结论（零向量可由任何向量组线性表出；任何n 维向量可由n 维单位向量组线性表出；向量组中任何向量可由该组向量线性表出）。

向量的线性相关与线性无关概念。

分量已给出的向量组的线性相关和线性无关性的判定方法。

向量组的线性性质（线性相关向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表出；若βααα,,,,21s 线性相关，而s ααα,,,21 线性无关，则β可由s ααα,,,21 唯一线性表出）。

线性代数经管类大一知识点

线性代数经管类大一知识点一、引言线性代数作为经管类大一学生必修的一门数学课程，对于培养学生的抽象思维、计算能力和解决实际问题的能力具有重要意义。

本文将介绍经管类大一线性代数课程的一些重要知识点，帮助学生更好地理解和掌握这门课程。

二、向量与矩阵1. 向量的概念与运算向量是线性代数中最基本的概念之一。

它可以表示空间中的一个点或者一个有方向的量。

向量的加法、数乘和点乘是常见的运算，它们有着重要的应用。

2. 矩阵的概念和基本运算矩阵是线性代数中的另一个重要概念。

矩阵可以看作是一个矩形的数组，它的元素由实数或复数构成。

矩阵的加法和数乘运算是基本的运算，矩阵的乘法与向量的乘法有着密切关系。

三、线性方程组1. 基本概念和解法线性方程组是线性代数中的一个重要内容，它描述了一组线性方程的集合。

通过消元法、高斯消元法和矩阵的逆等方法，可以求解线性方程组的解。

2. 矩阵的秩和行列式矩阵的秩和行列式是线性方程组的求解过程中常见的概念。

矩阵的秩表示矩阵的线性无关的行（列）数，行列式则体现了矩阵的某些性质，例如矩阵是否可逆。

四、向量空间1. 向量空间的定义和性质向量空间是线性代数的核心内容之一。

通过向量的加法和数乘运算，向量空间具有封闭性、交换律、结合律等性质。

学习向量空间可以帮助理解线性代数的抽象性质。

2. 线性相关和线性无关线性相关和线性无关是向量空间中的概念。

学习线性相关和线性无关有助于判断一组向量是否构成向量空间的基底。

五、特征值与特征向量1. 特征值和特征向量的定义特征值和特征向量是矩阵的重要性质。

特征值可以用于衡量矩阵的变化程度，特征向量则表示在该变化下不变的方向。

2. 对角化与相似矩阵对角化是一种特殊的矩阵变换形式，可以将矩阵化简为对角矩阵。

相似矩阵则表示具有相同特征值和特征向量的矩阵。

六、线性代数在经管类学科中的应用线性代数是经管类学科中广泛应用的数学工具。

例如，线性回归模型、投资组合优化和供应链管理等都可以使用线性代数的知识进行建模和解决。

线性代数经管类——重点难点总结

线性代数各章节内容重点难点(大一第一学期)

线性代数重点难点

线性代数经管类知识点

线性代数知识重难点和常考题型汇总

自考本科线性代数(经管类)知识汇总(红字重点)

线性代数难点解析

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自考线性代数(经管类)重点内容

经济数学基础线性代数部分重难点解析

自考线性代数(经管类)各章考核重点解析

数学考研复习重点高等数学与线性代数重难点解析

线性代数难点解析

自考线性代数经管类要点考点

线性代数 复习重点和难点

线性代数经管类大一知识点

线性代数复习重点和难点