第5章_线性定常系统的综合-现代控制理论
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ur1
B D 1/s A
xn1
C
+ ym1
nm
G
若D=0，状态空间表达式为
x ( A GC ) x Bu y Cx
记作： G A GC , B, C
WG ( s ) C sI ( A GC ) B
1
5 闭环系统的能控与能观性 定理5.1-1：状态反馈不改变原系统的能控性， 但却不一定能保证能观性．
当n 1时，Qc1 Qc 2 , rank(Qc 2 ) rank(Qc1 )
当n 2时，Qc1 B
AB I KB AB I 0
Qc 2 B ( A BK ) B B rank(Qc 2 ) rank(Qc1 )
当n 3时 Qc1 B ， B
K k1 k2 kn f ( ) I ( A BK ) n an 1 n 1 a1 a0
③求出希望的闭环系统特征方程。
* * * f ( ) ( i* ) n an1 n1 a1 a0 * i 1 n
1 0 k1 A A BK k 0 2 1 1 k1 k 2 k1 2 k 2 k2 k2
f I A
1 k1
k1
2 3 k1 k 2 1 k1 2 k 2 k1k 2 2 3 k1 k 2 2 2k1 k 2
( 证明：设原系统为 0 ：A, B, C ) ，是能控的。
Qc1 B AB A2 B An 1B
状态反馈后系统 K A BK , B, C
Qc 2 B A BK ) B A BK ) 2 B A BK ) n 1 B
D
u v Hy
vr1
ur1
B
1/s A H
xn1
+
C
+
ym1
x Ax Bu y Cx Du
u v H (Cx Du ) v HCx HDu ( I HD ) 1 (v HCx )
rm
x A B( I HD)1 HC x B( I HD)1 v y C D( I HD)1 HC x D( I HD)1 v
K A BK , B, C
改变了系统的极点。
( （1）定理5.2-1 采用状态反馈对 0 ：A, B, C ) 任意配置极 ( 点的充要条件是 0 ：A, B, C ) 完全能控。
5.2 极点配置问题
2 采用状态反馈
（2）采用状态反馈的步骤： ①验证原系统的能控性。 ②定义反馈增益矩阵K，闭环系统特征方程。
2 全维状态观测器
设线性定常连续系统的状态空间模型为(A,B,C),即为
x Ax Bu y Cx
在这里设系统的状态矩阵A、输入矩阵B和输出矩阵C都已知。 这里的问题是：若状态变量x(t)不能完全直接测量到，如 何构造一个系统随时估计该状态变量x(t)。
5.3 系统镇定问题
1 问题提出
5.3 系统镇定问题
3个定理
证明：由于系统 {A, B} 不完全可控，则有可控性结构分解
Ac xc xc 1 x A x B u A PAP 0 c c
引入状态反馈 K [ K1 , K 2 ]
现 代 控 制 理 论
第5章 线性定常系统的综合
第5章 线性定常系统的综合
本章结构
5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性 5.2 极点配置问题 5.3 系统镇定问题 5.4 状态观测器 5.5 利用状态观测器实现状态反馈的系统
5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性
1 问题提出
前几章我们介绍的内容都属于系统的描述与分析。系 统的描述主要解决系统的建模、各种数学模型之间的相互 转换等；系统的分析则主要研究系统的定量变化规律(如 状态方程的解，即系统的运动分析等)和定性行为(如能控 性、能观测性、稳定性等)。 而综合与设计问题则与此相反，即在已知系统结构和 系统数学模型的基础上，寻求控制规律，以使系统具有某 种期望的性能。 在本章中，我们将以状态空间描述和状态空间方法为 基础，仍然在时域中讨论线性反馈控制规律的综合与设计 方法。
n n, rank(Qc 2 ) rank(Qc1 )
状态反馈可能改变系统的能观性，举例说明
1 2 0 x x 1 u 0 3 y 1 1 x
C 1 1 rank rank 2n CA 1 5
原系统可观，设状态反馈阵K=[0 4]
3 输出反馈
把输出乘以一个反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入 相减形成控制律。
D
x Ax Bu y Cx Du
ur1
vr1
B
1/s A
ym1
在系统中引入反馈控制律
u v Hy
其中， v r 1
rm
H
H r m
参考输入； 输出反馈系数阵
对单输入系统，K为m维行向量。
u v Kx
ur1
D B 1/s A
xn1
+
C
0 ：x Ax Bu y Cx Du
vr1
-
ym1
K ：x ( A BK ) x Bv y (C DK ) x Dv
rn
K
若D=0
K ：x ( A BK ) x Bv y Cx
1 2 0 x (A-BK )x Bv x 1 u 0 1 C 1 1 rank rank1 1 1 n C ( A BK )
状态反馈系统不能观，原因是当用状态反馈配置的极点与原系 统零点相对消。 s 1 s 1 反馈后G f ( s) 原系统G0 ( s) ( s 1)( s 1) ( s 1)( s 3)
1
闭环系统传递函数为： Gk ( s ) C sI ( A BK ) B
比较开环系统 0 ( A, B, C ) 与闭环系统 ( A BK , B, C )
可见，状态反馈阵K的引入，并不增加系统的维数，但可 通过K的选择自由地改变闭环系统的特征值，从而使系统 获得所要求的性能。
定理5.1-2：输出至参考输入端的反馈不改变原 系统的能观性与能控性．
定理5.1-3：输出至状态导数的反馈不改变原系 统的能观性，但可能改变原系统的能控性．
5.2 极点配置问题
5.2 极点配置问题
1 问题提出
2 采用状态反馈
ur1
vr1
B
1/s A
xn1
C
+
ym1
rn
K
0 ：A, B, C ) (
④计算K
an 1 , ,a1 ,a0 K k1 k2 kn
例题：已知线性定常连续系统的状态空间表达式为
0 1 0 x x 2 u 0 3 y 1 0 x
设计状态反馈增益矩阵K，使闭环系统的极点为－1和－2， 并画出闭环系统的结构图。 解：先判断系统的能控性。
Qc 2 B ( A BK ) B ( A BK ) B
2
AB
2
A2 B
AB BKB
A B ABBK BKAB BKBKB KAB KBKB KB I
I BK B AB A2 B 0 I 0 0 rank(Qc 2 ) rank(Qc1 )
[解]： （1）系统的特征值为1，2和－5。有两个特征值在右半S平面， 因此系统不是渐近稳定的。 （2）由动态方程知系统是不能控的，但不能控部分的特征值 是-5，位于左半S平面，可知此部分是渐近稳定的。因 此该系统是状态反馈能镇定的。
（3）不能控部分的极点为－5，与其中一个期望极点相同。 此时，只能对能控部分进行极点配置。设 K k1 , k，对 2 能控部分进行极点配置。
2 k 2
k2
期望的特征多项式为：
f 2 j 2 2 j 2 2 4 8
由 f f 得：
3 k1 k 2 4 2 2 k1 k 2 8
解得：
k1 13 k 2 20
所以反馈阵为： K 13 20
5.4 状态观测器
5.5 状态观测器
1 问题提出 状态反馈实现的前提是获得系统全部状态信息，然 而，状态变量并不一定是系统的物理量，选择状态 变量的这种自由性本是状态空间综合法的优点之一， 但这也使得系统的所有状态变量不一定都能直接量 测；另一方面，有些状态变量即使可测，但所需传 感器的价格可能会过高。状态观测或状态重构问题 正为了克服状态反馈物理实现的这些困难而提出的， 其核心是通过系统可量测参量(输出及输入)重新构 造在一定指标下和系统真实状态等价的估计状态或 重构状态。
若D=0，状态空间表达式为
x ( A BHC ) x Bv y Cx
状态反馈：x ( A BK ) x Bv
如果
HC K
输出反馈等价于状态反馈
4 从输出到状态微分ẋ反馈
把输出乘以一个反馈系数，然后反馈到状态微分ẋ端
x Ax Bu y Cx Du x Ax Gy Bu y Cx Du x ( A GC ) x ( B GD)u y Cx Du
2 状态反馈
ur1
D B 1/s A
xn1
+
C
vr1
0 ：x Ax Bu y Cx Du
-
ym1
rn
K
把状态乘以一个反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相减 形成控制律。
u v Kx
其中， v r 1
参考输入； K r n 状态反馈系数阵 对单输入系统，K为n维行向量。
1 0 0 1 例题：系统的状态方程为 X AX bu 0 2 0 X 1 u 0 0 5 0
（1）该系统是否是渐近稳定的？ （2）该系统是否是状态反馈能镇定的？ （3）设计状态反馈，使期望的闭环极点为
1 2 j 2, 2 2 j 2, 3 5
0 2 rank[Qc ] rank[ B AB] rank 2 2 6
系统状态完全能控，可以通过状态反馈任意配置其极点。 令
K k1 k2
则状态反馈闭环系统的特征多项式为
f ( ) | I ( A BK ) |
1
2k1 (3 2k2 )
Bc A12 , B PB Ac 0
det(sI A BK ) det(sI A B K ) sI Ac Bc K1 A12 Bc K 2 det 0 sI Ac det(sI Ac Bc K1 ) det(sI Ac )
2 (3 2k2 ) 2k1
期望的特征多项式为
由 f
f
f * ( ) ( 1)( 2) 2 3 2
K 1 3
，求得
状态反馈闭环系统的结构图如下：
v
+-
u
2
++
3
x2
x1
y
+ +
3
1
5.3 系统镇定问题
B D 1/s A
xn1
C
+ ym1
nm
G
若D=0，状态空间表达式为
x ( A GC ) x Bu y Cx
记作： G A GC , B, C
WG ( s ) C sI ( A GC ) B
1
5 闭环系统的能控与能观性 定理5.1-1：状态反馈不改变原系统的能控性， 但却不一定能保证能观性．
当n 1时，Qc1 Qc 2 , rank(Qc 2 ) rank(Qc1 )
当n 2时，Qc1 B
AB I KB AB I 0
Qc 2 B ( A BK ) B B rank(Qc 2 ) rank(Qc1 )
当n 3时 Qc1 B ， B
K k1 k2 kn f ( ) I ( A BK ) n an 1 n 1 a1 a0
③求出希望的闭环系统特征方程。
* * * f ( ) ( i* ) n an1 n1 a1 a0 * i 1 n
1 0 k1 A A BK k 0 2 1 1 k1 k 2 k1 2 k 2 k2 k2
f I A
1 k1
k1
2 3 k1 k 2 1 k1 2 k 2 k1k 2 2 3 k1 k 2 2 2k1 k 2
( 证明：设原系统为 0 ：A, B, C ) ，是能控的。
Qc1 B AB A2 B An 1B
状态反馈后系统 K A BK , B, C
Qc 2 B A BK ) B A BK ) 2 B A BK ) n 1 B
D
u v Hy
vr1
ur1
B
1/s A H
xn1
+
C
+
ym1
x Ax Bu y Cx Du
u v H (Cx Du ) v HCx HDu ( I HD ) 1 (v HCx )
rm
x A B( I HD)1 HC x B( I HD)1 v y C D( I HD)1 HC x D( I HD)1 v
K A BK , B, C
改变了系统的极点。
( （1）定理5.2-1 采用状态反馈对 0 ：A, B, C ) 任意配置极 ( 点的充要条件是 0 ：A, B, C ) 完全能控。
5.2 极点配置问题
2 采用状态反馈
（2）采用状态反馈的步骤： ①验证原系统的能控性。 ②定义反馈增益矩阵K，闭环系统特征方程。
2 全维状态观测器
设线性定常连续系统的状态空间模型为(A,B,C),即为
x Ax Bu y Cx
在这里设系统的状态矩阵A、输入矩阵B和输出矩阵C都已知。 这里的问题是：若状态变量x(t)不能完全直接测量到，如 何构造一个系统随时估计该状态变量x(t)。
5.3 系统镇定问题
1 问题提出
5.3 系统镇定问题
3个定理
证明：由于系统 {A, B} 不完全可控，则有可控性结构分解
Ac xc xc 1 x A x B u A PAP 0 c c
引入状态反馈 K [ K1 , K 2 ]
现 代 控 制 理 论
第5章 线性定常系统的综合
第5章 线性定常系统的综合
本章结构
5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性 5.2 极点配置问题 5.3 系统镇定问题 5.4 状态观测器 5.5 利用状态观测器实现状态反馈的系统
5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性
1 问题提出
前几章我们介绍的内容都属于系统的描述与分析。系 统的描述主要解决系统的建模、各种数学模型之间的相互 转换等；系统的分析则主要研究系统的定量变化规律(如 状态方程的解，即系统的运动分析等)和定性行为(如能控 性、能观测性、稳定性等)。 而综合与设计问题则与此相反，即在已知系统结构和 系统数学模型的基础上，寻求控制规律，以使系统具有某 种期望的性能。 在本章中，我们将以状态空间描述和状态空间方法为 基础，仍然在时域中讨论线性反馈控制规律的综合与设计 方法。
n n, rank(Qc 2 ) rank(Qc1 )
状态反馈可能改变系统的能观性，举例说明
1 2 0 x x 1 u 0 3 y 1 1 x
C 1 1 rank rank 2n CA 1 5
原系统可观，设状态反馈阵K=[0 4]
3 输出反馈
把输出乘以一个反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入 相减形成控制律。
D
x Ax Bu y Cx Du
ur1
vr1
B
1/s A
ym1
在系统中引入反馈控制律
u v Hy
其中， v r 1
rm
H
H r m
参考输入； 输出反馈系数阵
对单输入系统，K为m维行向量。
u v Kx
ur1
D B 1/s A
xn1
+
C
0 ：x Ax Bu y Cx Du
vr1
-
ym1
K ：x ( A BK ) x Bv y (C DK ) x Dv
rn
K
若D=0
K ：x ( A BK ) x Bv y Cx
1 2 0 x (A-BK )x Bv x 1 u 0 1 C 1 1 rank rank1 1 1 n C ( A BK )
状态反馈系统不能观，原因是当用状态反馈配置的极点与原系 统零点相对消。 s 1 s 1 反馈后G f ( s) 原系统G0 ( s) ( s 1)( s 1) ( s 1)( s 3)
1
闭环系统传递函数为： Gk ( s ) C sI ( A BK ) B
比较开环系统 0 ( A, B, C ) 与闭环系统 ( A BK , B, C )
可见，状态反馈阵K的引入，并不增加系统的维数，但可 通过K的选择自由地改变闭环系统的特征值，从而使系统 获得所要求的性能。
定理5.1-2：输出至参考输入端的反馈不改变原 系统的能观性与能控性．
定理5.1-3：输出至状态导数的反馈不改变原系 统的能观性，但可能改变原系统的能控性．
5.2 极点配置问题
5.2 极点配置问题
1 问题提出
2 采用状态反馈
ur1
vr1
B
1/s A
xn1
C
+
ym1
rn
K
0 ：A, B, C ) (
④计算K
an 1 , ,a1 ,a0 K k1 k2 kn
例题：已知线性定常连续系统的状态空间表达式为
0 1 0 x x 2 u 0 3 y 1 0 x
设计状态反馈增益矩阵K，使闭环系统的极点为－1和－2， 并画出闭环系统的结构图。 解：先判断系统的能控性。
Qc 2 B ( A BK ) B ( A BK ) B
2
AB
2
A2 B
AB BKB
A B ABBK BKAB BKBKB KAB KBKB KB I
I BK B AB A2 B 0 I 0 0 rank(Qc 2 ) rank(Qc1 )
[解]： （1）系统的特征值为1，2和－5。有两个特征值在右半S平面， 因此系统不是渐近稳定的。 （2）由动态方程知系统是不能控的，但不能控部分的特征值 是-5，位于左半S平面，可知此部分是渐近稳定的。因 此该系统是状态反馈能镇定的。
（3）不能控部分的极点为－5，与其中一个期望极点相同。 此时，只能对能控部分进行极点配置。设 K k1 , k，对 2 能控部分进行极点配置。
2 k 2
k2
期望的特征多项式为：
f 2 j 2 2 j 2 2 4 8
由 f f 得：
3 k1 k 2 4 2 2 k1 k 2 8
解得：
k1 13 k 2 20
所以反馈阵为： K 13 20
5.4 状态观测器
5.5 状态观测器
1 问题提出 状态反馈实现的前提是获得系统全部状态信息，然 而，状态变量并不一定是系统的物理量，选择状态 变量的这种自由性本是状态空间综合法的优点之一， 但这也使得系统的所有状态变量不一定都能直接量 测；另一方面，有些状态变量即使可测，但所需传 感器的价格可能会过高。状态观测或状态重构问题 正为了克服状态反馈物理实现的这些困难而提出的， 其核心是通过系统可量测参量(输出及输入)重新构 造在一定指标下和系统真实状态等价的估计状态或 重构状态。
若D=0，状态空间表达式为
x ( A BHC ) x Bv y Cx
状态反馈：x ( A BK ) x Bv
如果
HC K
输出反馈等价于状态反馈
4 从输出到状态微分ẋ反馈
把输出乘以一个反馈系数，然后反馈到状态微分ẋ端
x Ax Bu y Cx Du x Ax Gy Bu y Cx Du x ( A GC ) x ( B GD)u y Cx Du
2 状态反馈
ur1
D B 1/s A
xn1
+
C
vr1
0 ：x Ax Bu y Cx Du
-
ym1
rn
K
把状态乘以一个反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相减 形成控制律。
u v Kx
其中， v r 1
参考输入； K r n 状态反馈系数阵 对单输入系统，K为n维行向量。
1 0 0 1 例题：系统的状态方程为 X AX bu 0 2 0 X 1 u 0 0 5 0
（1）该系统是否是渐近稳定的？ （2）该系统是否是状态反馈能镇定的？ （3）设计状态反馈，使期望的闭环极点为
1 2 j 2, 2 2 j 2, 3 5
0 2 rank[Qc ] rank[ B AB] rank 2 2 6
系统状态完全能控，可以通过状态反馈任意配置其极点。 令
K k1 k2
则状态反馈闭环系统的特征多项式为
f ( ) | I ( A BK ) |
1
2k1 (3 2k2 )
Bc A12 , B PB Ac 0
det(sI A BK ) det(sI A B K ) sI Ac Bc K1 A12 Bc K 2 det 0 sI Ac det(sI Ac Bc K1 ) det(sI Ac )
2 (3 2k2 ) 2k1
期望的特征多项式为
由 f
f
f * ( ) ( 1)( 2) 2 3 2
K 1 3
，求得
状态反馈闭环系统的结构图如下：
v
+-
u
2
++
3
x2
x1
y
+ +
3
1
5.3 系统镇定问题