定理与证明(一)
人教版数学七年级下册5.3.2-1《命题、定理、证明1》教案2
人教版数学七年级下册５.３.２-1《命题、定理、证明１》教案2一. 教材分析《命题、定理、证明1》是人教版数学七年级下册第五章第三节的一部分，这部分内容是学生学习数学证明的基础。
通过这部分的学习，学生将理解命题与定理的概念，学会如何阅读和理解数学证明，并初步掌握证明的方法。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力，能够理解和运用基本的数学概念和运算。
但是，对于数学证明这一概念，学生可能还比较陌生，需要通过具体的例子和实践活动来逐渐理解和掌握。
三. 教学目标1.了解命题和定理的概念，能够区分它们。
2.学会阅读和理解数学证明，能够初步进行简单的证明。
3.培养学生的逻辑思维能力和数学表达能力。
四. 教学重难点1.命题与定理的概念。
2.数学证明的方法和步骤。
五. 教学方法采用问题驱动法和案例教学法，通过具体的例子和实践活动，引导学生理解和掌握命题、定理和证明的概念和方法。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.相关例题和练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体的数学问题，引出命题、定理和证明的概念。
2.呈现（15分钟）讲解命题和定理的概念，通过具体的例子让学生理解它们的区别。
然后讲解数学证明的方法和步骤，引导学生学会阅读和理解数学证明。
3.操练（15分钟）让学生分组讨论，尝试解决一些简单的证明问题，教师巡回指导。
4.巩固（5分钟）对学生的解答进行点评，指出其中的错误和不足，引导学生正确理解和掌握证明的方法。
5.拓展（5分钟）给出一些思考题，让学生进一步深入理解和掌握命题、定理和证明的知识。
6.小结（5分钟）对本节课的主要内容进行总结，强调命题、定理和证明的概念和方法。
7.家庭作业（5分钟）布置一些相关的练习题，让学生巩固所学知识。
8.板书（5分钟）将本节课的主要内容进行板书，方便学生复习和记忆。
教学过程每个环节所用的时间：导入5分钟，呈现15分钟，操练15分钟，巩固5分钟，拓展5分钟，小结5分钟，家庭作业5分钟，板书5分钟。
定理与证明
定理与证明定理与证明是数学的基本概念之一，是数学推理的核心。
定理是指对于一些命题在一定条件下求得的普遍真理，而证明则是通过逻辑推理和推导来验证这个定理的正确性。
定理与证明的关系密不可分，在数学研究中，证明定理是一项重要的工作。
下面我们将详细介绍定理与证明的概念、分类和重要性。
首先，定理是数学中的基本概念，指的是在一定条件下可以得出的普遍真理。
定理是经过推理、证明和验证后被广泛接受的数学命题。
一般来说，定理具有普遍性、确凿性和可证性的特点。
普遍性表示该定理对于所有符合条件的对象都成立；确凿性说明该定理是经过推理证明得出的，具有一定的可靠性；可证性表示该定理可以被证明，即可以通过逻辑推理和推导来验证其正确性。
根据定理的内容和形式，我们可以将定理分为不同的类型。
常见的定理类型包括代数定理、几何定理、概率定理、逻辑定理等。
代数定理主要研究数的性质和运算规律，如勾股定理、费马大定理等；几何定理主要研究形状、空间和尺寸等几何概念之间的关系，如平行线定理、垂线定理等；概率定理主要研究随机事件的概率分布和计算方法，如大数定理、中心极限定理等；逻辑定理主要研究命题之间的逻辑关系及推理规则，如排中律、简化定理等。
为了验证定理的正确性，我们需要进行证明。
证明是通过逻辑推理和推导来验证定理的正确性。
一个正确的证明应具有逻辑严密性、合乎规范和可验证性的特点。
证明的基本过程包括假设、推理和结论。
首先，我们需要根据已知条件和已知定理进行假设，设定一个或多个待证明的命题；然后，根据逻辑规则和推理方法进行严密的推理，从而逐步推导出结果；最后，通过逻辑推理和推导，得出结论，证明待证命题的正确性。
定理与证明在数学研究中具有重要的意义。
首先，定理是数学研究的核心和目标。
数学的发展离不开定理的发现和证明。
通过证明一个定理，可以揭示数学潜在的内在规律和关系，促进数学理论的进一步研究和发展。
其次，证明是数学推理和推导的重要手段。
通过证明，可以验证一个命题的正确性，建立数学理论的可靠性和科学性。
华师大八年级数学上册《定理与证明》课件(共15张PPT)
这个结论正确吗？是否有一个多边形 的内角Fra bibliotek不满足这 一规律？
正确
通过上面几个例子说明： 通过特殊的事例得到的结论可能正确，也可 能不正确。
因此： 通过这种方式得到的结论，还需进一步加以 证实。
证明的定义
根据条件、定义及基本事实、定理等，经过演绎 推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过 程叫做证明。
•3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/212022/4/21April 21, 2022
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公理、定理、命题的关系
真命题
命题
假命题
公理（正确性由实践总结） 定理（正确性通过推理证实）
练习
1.把下列定理改写成“如果……，那么……”的形式，指出 它的条件和结论，并用逻辑推理的方法证明题（1）：
（1）同旁内角互补，两直线平行；
如果两直线被第三条直线所截，同旁内角互补， 那么这两直线平行。
（2）三角形的外角和等于360°．
13.1 命题、定理与证明
复习回顾
1、什么叫命题？ 表示判断的语句叫做命题。
2、命题的结构 命题由条件和结论两部分构成，常可写成“如 果……那么……”的形式
3、命题的分类 正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。
4、真、假命题的判断
判断一个命题是真命题，可以用逻辑推理的方 法证明
判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说 明该命题不成立就可以了，这种方法称为举反例；
如果三个角分别是三角形的三个外角，那么这三 个角的和等于360°。
数学教案定理与证明
数学教案－定理与证明(一) 教学建议（一）教材分析一、知识结构二、重点、难点分析重点：真命题的证明步骤与格式．命题的证明步骤与格式是本节的主要内容，是学习数学必具有的能力，在此后的学习中将会有大量的证明问题；另一方面它还表现了数学的逻辑性和严谨性．难点：推论证明的思路和方式．因为它表现了学生的抽象思维能力，由于学生对逻辑的理解不深刻，往往找不出最优的思维切入点，证明的盲目性很大，因此对学生证明的思路和方式的训练是教学的难点．（二）教学建议一、四个注意（1）注意：①公理是通太长期实践反复验证过的，不需要再进行推理论证而都承认的真命题；②公理可以作为判定其他命题真假的按照．（2）注意：定理都是真命题，但真命题不必然都是定理．一般选择一些最大体最常常利用的真命题作为定理，可以以它们为按照推证其他命题．这些被选作定理的真命题，在教科书中是用黑体字排印的．（3）注意：在几何问题的研究上，必需通过证明，才能作出真实靠得住的判断．如“两直线平行，同位角相等”这个命题，若是只采用测量的方式．只能测量有限个两平行直线的同位角是相等的．但采用推理方式证明两平行直线的同位角相等，那么就可以够确信赖意两平行直线的同位角相等．（4）注意：证明中的每一步推理都要有按照，不能“想固然”．①论据必需是真命题，如：概念、公理、已经学过的定理和巳知条件；②论据的真实性不能依赖于论证的真实性；③论据应是论题的充沛理由．二、慢慢渗透数学证明的思想：（1）增强数学推理(证明)的语言训练使学生做到，能用准确的语言表述学过的概念和命题，即进行语言准确性训练；能学会一些大体的推理论证语言，如“因为……，所以……”句式，“若是……，那么……”句式等等；提高符号语言的识别和表达能力，例如，把要证明的命题结合图形，用已知，求证的形式写出来．（2）提高学生的“图形”能力，包括利用大纲允许的工具画图(垂线、平行线)的能力和在对要证命题的理解(如分清题设、结论)的基础上，画出要证明的命题的图形的能力，后一点尤其重要，一般通过图形易于弄清命题并找出证明的方式．（3）增强各类推理训练，一般应先使学生从“仿照”教科书的形式开始训练．首先是用自然语言叙述只有一步推理的进程，然后用简化的“三段论”方式表述出这一进程，再进行有两步推理的进程的仿照；最后，在学完“命题、定理、证明”一单元后，总结证明的一般步骤，并进行多至三、四步的推理．在以上训练中，每一步推理的后面都应要求填注推理按照，这既可训练良好的推理习惯，又有助于掌握学过的命题．教学目标：一、了解证明的必要性，知道推理要有依据；熟悉综合法证明的格式，能说出证明的步骤．二、能用符号语言写出一个命题的题设和结论．3、通过对真命题的分析，增强推理能力的训练，培育学生逻辑思维能力．教学重点：证明的步骤与格式．教学难点：将文字语言转化为几何符号语言．教学进程：一、温习提问一、命题“两直线平行，内错角相等”的题设和结论各是什么？二、按照题设，应画出什么样的图形？（答：两条平行线a、b被第三条直线c所截）3、结论的内容在图中如何表示？（答：在图中标出一对内错角，并用符号表示）二、例题分析例一、证明：两直线平行，内错角相等．已知：a∥b，c是截线．求证：∠1＝∠2．分析：要证∠1＝∠2，只要证∠3＝∠2即可，因为∠3与∠1是对顶角，按照平行线的性质，易患出∠3＝∠2．证明：∵a∥b（已知），∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）．∵∠1＝∠3（对顶角相等），∴∠1＝∠2（等量代换）．例二、证明：邻补角的平分线彼此垂直．已知：如图，∠AOB＋∠BOC＝180°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC．求证：OE⊥OF．分析：要证明OE⊥OF，只要证明∠EOF＝90°，即∠1＋∠2＝90°即可．证明：∵OE平分∠AOB，∴∠1＝∠AOB，同理∠2＝∠BOC，∴∠1＋∠2＝（∠AOB＋∠BOC）＝∠AOC＝90°，∴OE⊥OF（垂直概念）．三、课堂练习：一、平行于同一条直线的两条直线平行．二、两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线彼此平行．四、归纳小结主要通过学生回忆本节课所学内容，从知识、技术、数学思想方式等方面加以归纳，有利于学生掌握、运用知识．然后见投影仪．五、布置作业讲义P143 五、（2），7。
定理与证明1【公开课教案】(含反思)
第2课时 定理与证明1．了解公理、定理与证明的概念并了解本套教材所采用的公理；(重点)2．体会命题证明的必要性，体验数学思维的严谨性．一、情境导入体验证明的步骤：对于命题“如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直”是否正确？转化为如图所示的图形，已知条件为AB∥CD，AB ⊥EF ，请问CD 与EF 垂直吗？为什么？二、合作探究探究点一：公理与定理下列平行线的判定方法中是公理的是( )A ．平行于同一条直线的两条直线平行B ．同位角相等，两直线平行C ．内错角相等，两直线平行D ．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线解析：A 是由公理推出的定理；C 是由B 推出的平行线的判定定理；D 是平行线的定义，只有B 是由画图实践得来的，符合公理的定义，故选B.方法总结：公理是不需要推理判断的公认的真命题；定理是需要用推理的方法来判断其正确的命题．探究点二：证明【类型一】 直接证明非文字题如图所示，在直线AC 上取一点O ，作射线OB ，OE 和OF 分别平分∠AOB 和∠BOC.求证：OE⊥OF.解析：要证明某个结论，可从条件入手分析，也可以从结论逆推进行分析．要证OE⊥OF ，只需证∠EOF ＝90°，而∠EOF ＝∠EOB ＋∠BOF ，因此只需证∠EOB ＋∠BOF ＝90°.由OE 、OF平分∠AOB 和∠BOC 可得∠EOB ＋∠BOF ＝12(∠AOB ＋∠BOC)＝90°，所以得证OE⊥OF.证明：∵OE 和OF 分别平分∠AOB 和∠BOC，∴∠EOB ＝12∠AOB ，∠BOF ＝12∠BOC.又∵∠AOB ＋∠BOC＝180°，∴∠EOB ＋∠BO F ＝12(∠AOB＋∠BOC)＝12×180°＝90°，即∠EOF＝90°，∴OE ⊥OF.方法总结：从结论逆推进行分析得出条件，反过来的过程就是证明结论的过程．【类型二】 直接证明文字题求证：直角三角形的两个锐角互余．解析：分析这个命题的条件和结论，根据已知条件和结论画出图形，写出已知、求证，并写出证明过程．已知：如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°.求证：∠A 与∠B 互余．证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°(三角形内角和等于180°)，又∠C＝90°，∴∠A ＋∠B ＝180°－∠C＝90°.∴∠A 与∠B 互余．方法总结：解此类题首先根据题意将文字语言变成符号语言，画出图形，最后再经过分析论证，并写出证明的过程．三、板书设计命题⎩⎪⎨⎪⎧分类⎩⎪⎨⎪⎧公理：公认的真命题定理：经过证明的真命题证明：推理的过程经历实际情境，初步体会公理化思想和方法，了解本教材所采用的公理，让学生对真假命题有一个清楚的认识，从而进一步了解定理、公理的概念．培养学生的语言表达能力．7.3 平行线的判定第一环节：情景引入活动内容：回顾两直线平行的判定方法师：前面我们探索过直线平行的条件．大家来想一想：两条直线在什么情况下互相平行呢？ 生1：在同一平面内，不相交的两条直线就叫做平行线．生2：两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行．生3：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行．师：很好．这些判定方法都是我们经过观察、操作、推理、交流等活动得到的．上节课我们谈到了要证实一个命题是真命题．除公理、定义外，其他真命题都需要通过推理的方法证实．我们知道：“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”是定义．“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”是公理．那其他的三个真命题如何证实呢？这节课我们就来探讨．活动目的：回顾平行线的判定方法，为下一步顺利地引出新课埋下伏笔．教学效果：由于平行线的判定方法是学生比较熟悉的知识，教师通过对话的形式，可以使学生很快地回忆起这些知识．第二环节：探索平行线判定方法的证明活动内容：①证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．师：这是一个文字证明题，需要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言．所以根据题意，可以把这个文字证明题转化为下列形式：如图，已知，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2互补，求证：a ∥b．如何证明这个题呢？我们来分析分析．师生分析：要证明直线a与b平行，可以想到应用平行线的判定公理来证明．这时从图中可以知道：∠1与∠3是同位角，所以只需证明∠1=∠3，则a与b即平行．因为从图中可知∠2与∠3组成一个平角，即∠2+∠3=180°,所以：∠3=180°－∠2．又因为已知条件中有∠2与∠1互补，即：∠2+∠1=180°,所以∠1=180°－∠2,因此由等量代换可以知道：∠1=∠3．师：好．下面我们来书写推理过程，大家口述，老师来书写．（在书写的同时说明：符号“∵”读作“因为”，“∴”读作“所以”）证明：∵∠1与∠2互补（已知）∴∠1+∠2=180°（互补定义）∴∠1=180°－∠2（等式的性质）∵∠3+∠2=180°（平角定义）∴∠3=180°－∠2（等式的性质）∴∠1=∠3（等量代换）∴a∥b（同位角相等，两直线平行）这样我们经过推理的过程证明了一个命题是真命题，我们把这个真命题称为：直线平行的判定定理．这一定理可简单地写成：同旁内角互补，两直线平行．注意：（1）已给的公理，定义和已经证明的定理以后都可以作为依据．用来证明新定理．（2）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理，已经学过的定理．在初学证明时，要求把根据写在每一步推理后面的括号内．②证明：内错角相等,两直线平行．师：小明用下面的方法作出了平行线，你认为他的作法对吗？为什么？（见相关动画）生：我认为他的作法对．他的作法可用上图来表示：∠CFE=45°,∠BEF=45°．因为∠BEF与∠FEA组成一个平角，所以∠FEA=180°－∠BEF=180°－45°=135°．而∠CFE与∠FEA是同旁内角．且这两个角的和为180°，因此可知：CD∥AB．师：很好．从图中可知：∠CFE与∠FEB是内错角．因此可知：“内错角相等，两直线平行”是真命题．下面我们来用规范的语言书写这个真命题的证明过程．师生分析：已知，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的内错角，且∠1=∠2．求证：a∥b证明：∵∠1=∠2（已知）∠1+∠3=180°（平角定义）∴∠2+∠3=180°（等量代换）∴∠2与∠3互补（互补的定义）∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）．这样我们就又得到了直线平行的另一个判定定理：内错角相等，两直线平行．③借助“同位角相等，两直线平行”这一公理，你还能证明哪些熟悉的结论呢？生1：已知，如图，直线a⊥c,b⊥c．求证：a∥b．证明：∵a⊥c,b⊥c（已知）∴∠1=90°∠2=90°（垂直的定义）∴∠1=∠2（等量代换）∴b∥a（同位角相等，两直线平行）生2：由此可以得到：“如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行”的结论．师：同学们讨论得真棒．下面我们通过练习来熟悉掌握直线平行的判定定理．活动目的：通过对学生熟悉的平行线判定的证明，使学生掌握平行线判定公理推导出的另两个判定定理，并逐步掌握规范的推理格式．教学效果：由于学生有了以前学习过的相关知识，对几何证明题的格式有所了解，今天的学习只不过是将原来的零散的知识点以及学生片面的认识进行归纳，学生的认识更提高一步．第三环节：反馈练习活动内容：课本第231页的随堂练习第一题活动目的：巩固本节课所学知识，让教师能对学生的状况进行分析，以便调整前进．教学效果：由于此题只是简单地运用到平行线的判定的三个定理（公理），因此，学生都能很快完成此题．第四环节：学生反思与课堂小结活动内容：①这节课我们主要探讨了平行线的判定定理的证明．同学们来归纳一下完成下表：②由角的大小关系来证两直线平行的方法，再一次体现了“数”与“形”的关系；而应用这些公理、定理时，必须能在图形中准确地识别出有关的角．③注意：证明语言的规范化．推理过程要有依据．活动目的：通过对平行线的判定定理的归纳，使学生的认识有进一步的升华，再一次体会证明格式的严谨，体会到数学的严密性．教学效果：学生充分认识到证明步骤的严密性，对平行线判定的三个定理有了更进一步的认识．课后作业：课本第232页习题6.4第1，2，3题思考题：课本第233页习题6.4第4题（给学有余力的同学做）教学反思平行线是众多平面图形与空间图形的基本构成要素之一，它主要借助角来研究两条直线之间的位置关系，即通过两条直线与第三条直线相交所成的角来判定两条直线平行与否，在教学中，要紧紧围绕这些角（同位角、内错角、同旁内角）与平行线之间的关系展开。
全国通用版中考数学：勾股定理有关的几何证明(一)—详解版
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为点N，求证：AN2-BN2=AC2．证明：∵MN⊥AB于N，∴BN2=BM2-MN2，AN2=AM2-MN2，∴BN2-AN2=BM2-AM2，又∵∠C=90°，∴AM2=AC2+CM2 ，∴BN2-AN2=BM2-AC2-CM2，又∵BM=CM，∴BN2-AN2=-AC2，即AN2-BN2=AC2．【例2】四边形ABCD，AC⊥BD ，探究AB2，CD2，BC2，AD2之间的数量关系．【解析】AD2+BC2=AB2+CD2，设AC与BD的交点为E∵AC⊥BD，∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2=AB2+CD2；故答案为：AD2+BC2=AB2+CD2，1.我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，∠DCB=30°．求证：四边形ABCD是以DC、BC为勾股边的勾股四边形．证明：连接CE，∵△DBE是由△ABC的顶点B按顺时针方向旋转60°而得，∴AC=DE，BC=BE，∠CBE=60°，∴△BCE是等边三角形，∴∠BCE=60°，EC=BC，又∵∠DCB=30°，∴∠DCE=90°，∴在Rt△DCE中，DE2=DC2+CE2∴AC2=DC2+BC2即四边形ABCD是以DC，BC为勾股边的勾股四边形．2.在△ABC中，AD⊥BC于D，求证：AB2+CD2=AC2+BD2．证明：在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AB2-BD2=AD2；在Rt△ACD中，根据勾股定理得：AC2-CD2=AD2，∴AB2-BD2=AC2-CD2=AD2，则AB2+CD2=AC2+BD2．3.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC边上任意一点，求证：BD2+CD2=2AD2．证明：作AE⊥BC于E，如图所示：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，1BC，∴BE=CE=AE=2∴BD2+CD2=（BE+DE）2+（CE-DE）2=2AE2+2DE2=2AD2．4.如图，在△ABC中，∠C=90°，点P、Q分别在BC、AC上，求证：AP2+BQ2=AB2+PQ2．证明：∵在RT△APC中，AP2=AC2+CP2，在RT△BCQ中，BQ2=BC2+CQ2，∴AP2+BQ2=AC2+CP2+BC2+CQ2，∵在RT△ABC中，AC2+BC2=AB2，在RT△APC中，PC2+CQ2=PQ2，∴AP2+BQ2=AC2+CP2+BC2+CQ2=AB2+PQ2．5.如图，在△ABC中，∠C=90°，D是AC的中点，DE⊥AB于点E．求证：BC2=BE2-AE2．证明：连接BD，∵D是AC的中点，∴CD=AD．∵∠C=90°，DE⊥AB，∴BE2-AE2=（BD2-DE2）-（AD2-DE2）=BD2-AD2=（BC2+CD2）-AD2=BC2．【例1】在△ABC中，以AB为斜边，作Rt△ABD，使点D落在△ABC内，∠ADB=90°，AD=BD，过点D的直线交AC于点E，交BC于点F，EF⊥AC，且AE=EC，请直接写出线段BF、FC、AD之间的关系（不需要证明）．证明：BF2+FC2=2AD2，理由：如图3，连接AF、CD．∵EF⊥AC，且AE=EC，∴FA=FC，∠FAC=∠FCA，∵EF⊥AC，且AE=EC，∴∠DAC=∠DCA，DA=DC，∵AD=BD，∴BD=DC，∴∠DBC=∠DCB，∵∠FAC=∠FCA，∠DAC=∠DCA，∴∠DAF=∠DCB，∴∠DAF=∠DBC，∴∠AFB=∠ADB=90°，在Rt△ADB中，DA=DB，∴AB2=2AD2，在Rt△ABF中，BF2+FA2=AB2=2AD2，∵FA=FC∴BF2+FC2=2AD2．【例2】如图，∠C=90°，AM=CM，MP⊥AB于点P，求证：BP2=AP2+BC2．证明：∵△ABC是直角三角形，∠C=90°，∴AB2=BC2+AC2，则AB2-AC2=BC2．又∵在直角△AMP中，AP2=AM2-MP2，∴AB2-AC2+（AM2-MP2）=BC2+（AM2-MP2）．又∵AM=CM，∴AB2-AC2+（AM2-MP2）=BC2+（MC2-MP2），①∵△APM是直角三角形，∴AM2=AP2+MP2，则AM2-MP2=AP2，②∵△BPM与△BCM都是直角三角形，∴BM2=BP2+MP2=MC2+BC2，MC2+BC2-MP2=BM2-MP2=BP2，③把②③代入①，得AB2-AC2+AP2=BP2，即BP2=AP2+BC2．1.如图，已知AM是△ABC的BC边上的中线，证明：AB2+AC2=2（AM2+MC2）．证明：过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2①，在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2②，由①+②得：AB2+AC2=2AD2+BD2+CD2，在Rt△ADM中，AD2=AM2-DM2，则AB2+AC2=2AM2-2DM2+BD2+CD2，∵AM是△ABC的BC边上的中线，∴BM=MC，∴BD2=（BM+DM）2=（MC+DM）2=MC2+2MC•DM+DM2，CD2=（MC-DM）2=MC2-2MC•DM+DM2，∴AB2+AC2=2AM2-2DM2+MC2+2MC•DM+DM2+MC2-2MC•DM+DM2，∴AB2+AC2=2AM2+2MC2=2（AM2+MC2）．2.在△ABC中，AB=AC．（1）如图，若点P是BC边上的中点，连接AP．求证：BP•CP=AB2-AP2；（2）如图，若点P是BC边上任意一点，上面（1）的结论还成立吗？若成立，请证明、若不成立，请说明理由；（3）如图，若点P是BC边延长线上一点，线段AB，AP，BP，CP之间有什么样的数量关系？画出图形，写出你的结论．（不必证明）（1）证明：∵AB=AC，P是BC的中点，∴AP⊥BC，∴AB2-AP2=BP2=BP•CP；（2）成立，理由如下：如图所示，过点A作AD⊥BC于D，∵AB=AC，∴BD=CD在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2①在Rt△APD中，AP2=AD2+PD2②①-②得：AB2-AP2=BD2-PD2=（BD+PD）（BD-PD）=PC•BP；（3）结论：AP2-AB2=BP•CP．如图所示，理由如下：P是BC延长线任一点，连接AP，并做AD⊥BC，交BC于D，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2，在Rt△ADP中，AP2=AD2+DP2，∴AP2-AB2=（AD2+BD2）-（AD2+DP2）=PD2-BD2，又∵BP=BD+DP，CP=DP-CD=DP-BD，∴BP•CP=（BD+DP）（DP-BD）=DP2-BD2，∴AP2-AB2=BP•CP．3.已知AM是△ABC的中线．（1）求证：AB2+AC2=2（AM2+BM2）；（2）若AD是高，求证：AB2-AC2=2BC•MD．证明：（1）在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2①，在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2②，由①+②得：AB2+AC2=2AD2+BD2+CD2，在Rt△ADM中，AD2=AM2-DM2，则AB2+AC2=2AM2-2DM2+BD2+CD2，∵AM是△ABC的BC边上的中线，∴BM=MC，∴BD2=（BM+DM）2=（MC+DM）2=MC2+2MC•DM+DM2，CD2=（MC-DM）2=MC2-2MC•DM+DM2，∴AB2+AC2=2AM2-2DM2+MC2+2MC•DM+DM2+MC2-2MC•DM+DM2，∴AB2+AC2=2AM2+2BM2=2（AM2+BM2）．（2）∵AD是高，∴△ABD和△ACD是直角三角形，∴AB2=BD2+AD2，AC2=AD2+DC2，∴AB2-AC2=BD2-DC2=（BD+CD）（BD-CD）=BC（BM+MD-CD），∵AM是中线，∴AB2-AC2=BC（CM+MD-CD）=BC（MD+MD）=2BC•MD．。
13.定理与证明PPT课件(华师大版)
是( )
A．40°
B．50°
C．60°
D．140°
2 完成下面的证明过程，并在括号内填上理由．已知：如图所
示，AD∥BC，∠BAD＝∠BCD.求证：AB∥CD.
证明：因为AD∥BC( )，
所以∠1＝________(
)，
又因为∠BAD＝∠BCD(
)，
所以∠BAD－∠1＝∠BCD－∠2(
)，
即∠3＝∠4，所以AB∥________(
2 × 3 + 1 =7, 2 × 3 × 5+! =31, 2 × 3 × 5 × 7 + l = 211.
计算一下 2×3×5×7×
11+1与 2×3×5×7× 11×13+1，你 发现了什么？
于是，他根据上面的结果并利 用质数表得出结论:从 质数2开始， 排在前面的任意多个质数的乘积加1 一定 也是质数.他的结论正确吗？
例2 填写下列证明过程中的推理根据．
如图13.1-2：已知AC，BD相交于点O，DF平分
∠CDO与AC相交于点F，BE平分∠ABO与AC相交
于点E，∠A＝∠C.
求证：∠1＝∠2.
证明：∵∠A＝∠C(已知)，
∴AB∥CD(________)．
图13.1-2
∴∠ABO＝∠CDO(________)．
又∵DF平分∠CDO，BE平分∠ABO(已知)，
)．
获取证明思路的方法： (1)从已知条件出发，结合图形，根据前面学过的定
义、基本事实、定理、公式逐步推理求证的结论，这 种方法叫做“综合法”． (2)从结论出发，去探求其成立的原因，直到与已知 条件相吻合为止，这种方法叫“分析法”． (3)“两头凑”，即在解决问题时，将上面的两种方 法结合起来用．
八年级数学上第13章全等三角形13.1命题、定理与证明1命题目标二命题的真假课华东师大
第13章
全等三角形
1课3题. 12.
命题
1
目标二 命题的真假
习题链接
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1 2B 3D 4D
5A 6C 7C 8
答案呈现
9
1 下列四个命题：①对顶角相等；②同旁内角互补； ③ 4的算术平方根是 2；④两直线平行，同位角相等． 其中是假命题的是__②__③____(填序号)．
2 【2020·岳阳】下列命题是真命题的是( B ) A．一个角的补角一定大于这个角 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．等边三角形是中心对称图形 D．旋转改变图形的形状和大小
9 【教材P55练习T2变式】判断下列命题是真命题还是假 命题，若是假命题，请举出反例． (1)两个锐角的和是锐角；
解：假命题．反例：∠1＝70°，∠2＝80°， 但∠1＋∠2＝150°，不是锐角．(举反例不唯一)
(2)经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线 平行； 解：真命题．
(3)如果a2＝b2，那么a＝b. 假命题．反例：a＝2，b＝－2，有a2＝b2， 但a≠b.(举反例不唯一)
3 【2021·安阳文峰区期末】下列命题是真命题的是( D ) A．若 x2＋kx＋14是完全平方式，则 k＝1 B．一个正数的算术平方根一定比这个数小 C．若等腰三角形的两边长分别是 3 和 7，则第三边长 是3或7 D．两点之间线段最短
4 【2020·通辽改编】下列命题中，是假命题的是( D ) A．无理数都是无限小数 B．因式分解ax2－a＝a(x＋1)(x－1) C．棱长是1cm的正方体的表面展开图的周长一定 是14 cm D．六边形的内角和是360°
命题、定理与证明
如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补； （5）同角的补角相等.
如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．
问题6：
下列题中哪些命题是正确的，哪些命题是错误的？
（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
√ （2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式； √ （3）互为相反数的两个数相加得0；
平行.
已知：如图，AB、CD被直线EF所截，且
AB∥CD，EG、FH分别是∠AEF和
∠EFD的平分线
求证：EG∥FH
A
E
B
G
H
CF
D
例2.证明：邻补角的平分线互相垂直.
已知：如图，∠AOB、∠BOC互为邻补角，
OE平分∠AOB， OF平分∠BOC
求证：OE⊥OF
E
B
证明：∵OE平分∠AOB，
∴∠1=
（4）同旁内角互补；
√ （5）对顶角相等．
命题的真假
真命题：如果条件成立，那么结论一定成立， 这样的命题叫做真命题．
假命题：如果条件成立时，不能保证结论总是正确， 也就是说结论不成立，这样的命题叫做假命题．
问题7判断下列命题的真假。真的用“√”，
假的用“× 表示。
1）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直（√ ） 2）一个角的补角大于这个角（ × ） 3）相等的两个角是对顶角（ × ） 4）两点可以确定一条直线（ √ ） 5）若A=B，则2A = 2B（√ ） 6）锐角和钝角互为补角（ × ）
命题
1.定义： 判断一件事情的语句.
2.构成：
1)每个命题都是由题设、结论两部分组成.
2)命题常写成“如果······那么······”的形 式3.分. 类： 1)真命题：正确的命题； 2)假命题：错误的命题.
高数中需要掌握证明过程的定理
高数中的重要定理与公式及其证明一考研数学中最让考生头疼的当属证明题,而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明;如果本着严谨的对待数学的态度,一切定理的推导过程都是应该掌握的;但考研数学毕竟不是数学系的考试,很多时候要求没有那么高;而有些定理的证明又过于复杂,硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力,最后还弄得自己一头雾水;因此,在这方面可以有所取舍;应深受大家敬佩的静水深流力邀,也为了方便各位师弟师妹复习,不才凭借自己对考研数学的一点了解,总结了高数上册中需要掌握证明过程的公式定理;这些证明过程,或是直接的考点,或是蕴含了重要的解题思想方法,从长远来看都是应当熟练掌握的;由于水平有限,总结不是很全面,但大家在复习之初,先掌握这些公式定理证明过程是必要的; 1常用的极限0ln(1)lim 1x x x →+=,01lim 1x x e x →-=,01lim ln x x a a x →-=,0(1)1lim a x x a x →+-=,201cos 1lim 2x x x →-=点评：这几个公式大家在计算极限的过程中都再熟悉不过了,但有没有人想过它们的由来呢事实上,这几个公式都是两个重要极限1lim(1)xx x e →+=与0sin lim1x xx→=的推论,它们的推导过程中也蕴含了计算极限中一些很基本的方法技巧;证明：0ln(1)lim 1x x x →+=：由极限10lim(1)x x x e →+=两边同时取对数即得0ln(1)lim 1x x x→+=;01lim 1x x e x →-=：在等式0ln(1)lim 1x x x→+=中,令ln(1)x t +=,则1t x e =-;由于极限过程是0x →,此时也有0t →,因此有0lim11tt te →=-;极限的值与取极限的符号是无关的,因此我们可以吧式中的t 换成x ,再取倒数即得01lim1x x e x→-=;01lim ln x x a a x →-=：利用对数恒等式得ln 0011lim lim x x a x x a e x x →→--=,再利用第二个极限可得ln ln 0011limln lim ln ln x a x a x x e e a a x x a →→--==;因此有01lim ln x x a a x→-=;0(1)1lim a x x a x→+-=：利用对数恒等式得 ln(1)ln(1)ln(1)00000(1)111ln(1)1ln(1)lim lim lim lim lim ln(1)ln(1)a a x a x a x x x x x x x e e x e x a a a x x a x x a x x+++→→→→→+---+-+====++上式中同时用到了第一个和第二个极限;201cos 1lim 2x x x →-=：利用倍角公式得22220002sin sin1cos 1122lim lim lim 222x x x x x x x x x →→→⎛⎫ ⎪-=== ⎪ ⎪⎝⎭;2导数与微分的四则运算法则'''''''''22(), d()(), d()(), d()(0)u v u v u v du dv uv u v uv uv vdu udvu vu uv u vdu udv v v v v v ±=±±=±=+=+--==≠点评：这几个求导公式大家用得也很多,它们的证明需要用到导数的定义;而导数的证明也恰恰是很多考生的薄弱点,通过这几个公式可以强化相关的概念,避免到复习后期成为自己的知识漏洞;具体的证明过程教材上有,这里就不赘述了; 3链式法则设(),()y f u u x ϕ==,如果()x ϕ在x 处可导,且()f u 在对应的()u x ϕ=处可导,则复合函数(())y f x ϕ=在x 处可导可导,且有：[]'''(())()()dy dy duf x f u x dx du dxϕϕ==或点评：同上;4反函数求导法则设函数()y f x =在点x 的某领域内连续,在点0x 处可导且'()0f x ≠,并令其反函数为()x g y =,且0x 所对应的y 的值为0y ,则有：'0''00111()()(())dx g y dyf x fg y dy dx===或 点评：同上;5常见函数的导数()'1x xααα-=,()'sin cos x x =,()'cos sin x x =-, ()'1ln x x =,()'1log ln a x x a=, ()'x xe e =,()'ln x xa ea =点评：这些求导公式大家都很熟悉,但很少有人想过它们的由来;实际上,掌握这几个公式的证明过程,不但可以帮助我们强化导数的定义这个薄弱点,对极限的计算也是很好的练习;现选取其中典型予以证明; 证明：()'1x x ααα-=：导数的定义是'0()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-=∆,代入该公式得 ()'1100(1)1(1)1()lim lim x x x x x x x x x x x x x x x xxααααααααα--∆→∆→∆∆+-+-+∆-====∆∆∆;最后一步用到了极限0(1)1lima x x a x→+-=;注意,这里的推导过程仅适用于0x ≠的情形;0x =的情形需要另行推导,这种情况很简单,留给大家;()'sin cos x x =：利用导数定义()'0sin()sin sin lim x x x x x x ∆→+∆-=∆,由和差化积公式得002cos()sinsin()sin 22lim lim cos x x x xx x x x x x x ∆→∆→∆∆++∆-==∆∆;()'cos sin x x =-的证明类似;()'1ln x x=：利用导数定义()'00ln(1)ln()ln 1ln lim lim x x x x x x x x x x x∆→∆→∆++∆-===∆∆;()'1log ln a x x a =的证明类似利用换底公式ln log ln a xx a=;()'x xe e=：利用导数定义()()'001lim lim x x x xx x x x x e e e ee e x x+∆∆∆→∆→--===∆∆;()'ln x x a e a =的证明类似利用对数恒等式ln x x a a e =;6定积分比较定理如果在区间[,]a b 上恒有()0f x ≥,则有()0ba f x dx ≥⎰推论：ⅰ如果在区间[,]a b 上恒有()()f x g x ≥,则有()()b baaf x dxg x dx ≥⎰⎰；ⅱ设M m 和是函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值与最小值,则有：()()()ba mb a f x dx M b a -≤≤-⎰点评：定积分比较定理在解题时应用比较广,定积分中值定理也是它的推论;掌握其证明过程,对理解及应用该定理很有帮助;具体的证明过程教材上有; 7定积分中值定理设函数()f x 在区间[,]a b 上连续,则在积分区间[,]a b 上至少存在一点ξ使得下式成立：()()()baf x dx f b a ξ=-⎰点评：微积分的两大中值定理之一,定积分比较定理和闭区间上连续函数的推论,在证明题中有重要的作用;考研真题中更是有直接用到该定理证明方法的题目,重要性不严而喻;具体证明过程见教材;8变上限积分求导定理如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续,则积分上限的函数()()xa x f x dx Φ=⎰在[,]ab 上可导,并且它的导数是'()()(),xa d x f x dx f x a xb dx Φ==≤≤⎰设函数()()()()u x v x F x f t dt =⎰,则有'''()(())()(())()F x f u x u x f v x v x =-;点评：不说了,考试直接就考过该定理的证明;具体证明过程见教材; 9牛顿-莱布尼兹公式如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续,则有()()()ba f x dx Fb F a =-⎰,其中()F x 是()f x 的原函数;点评：微积分中最核心的定理,计算定积分的基础,变上限积分求导定理的推论;具体证明过程见教材;10费马引理：设函数()f x 在点0x 的某领域0()U x 内有定义,并且在0x 处可导,如果对任意的0()x U x ∈,有00()()()()f x f x f x f x ≤≥或,那么'0()0f x =点评：费马引理是罗尔定理的基础,其证明过程中用到了极限的保号性,是很重要的思想方法;具体证明过程见教材; 11罗尔定理： 如果函数()f x 满足 1在闭区间[,]a b 上连续； 2在开区间(,)a b 上可导3在区间端点处的函数值相等,即()()f a f b =那么在(,)a b 内至少存在一点()a b ξξ<<,使得'()0f ξ=;点评：罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理是一脉相承的三大定理；它们从形式上看是由特殊到一般,后面的定理包含前面的定理,但实际上却是相互蕴含,可以相互推导的;这几个定理的证明方法也就是与中值有关的证明题主要的证明方法;中值定理的证明是高数中的难点,一定要多加注意;具体证明过程见教材; 12拉格朗日中值定理： 如果函数()f x 满足 1在闭区间[,]a b 上连续； 2在开区间(,)a b 上可导那么在(,)a b 内至少存在一点()a b ξξ<<,使得'()()()f b f a f b aξ-=-;点评：同上;13柯西中值定理： 如果函数()f x 和()g x 满足 1在闭区间[,]a b 上连续； 2在开区间(,)a b 上可导那么在(,)a b 内至少存在一点()a b ξξ<<,使得''()()()()()()f f b f ag g b g a ξξ-=-; 点评：同上; 14单调性定理：设函数()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 上可导;如果在(,)a b 上有'()0f x >,那么函数()f x 在[,]a b 上单调递增; 如果在(,)a b 上有'()0f x <,那么函数()f x 在[,]a b 上单调递减;点评：这个定理利用导数与切线斜率的关系很容易理解,但实际证明中却不能用图形来解释,需要更严密的证明过程; 证明：仅证明'()0f x >的情形,'()0f x <的情形类似;12,(,)x x a b ∀∈,假定12x x >则利用拉个朗日中值定理可得,()22,x x ξ∃∈使得()'1212()()()f x f x f x x ξ-=-; 由于()'0f ξ>,因此12()()0f x f x ->;由12,x x 的任意性,可知函数()f x 在[,]a b 上单调递增;14极值第一充分条件设函数()f x 在0x 处连续,并在0x 的某去心邻域0(,)U x δ内可导;ⅰ若00(,)x x x δ∈-时,'()0,f x >而00(,)x x x δ∈+时,'()0,f x <则()f x 在0x 处取得极大值ⅱ若00(,)x x x δ∈-时,'()0,f x <而00(,)x x x δ∈+时,'()0,f x >则()f x 在0x 处取得极小值；ⅲ若0(,)x U x δ∈时,'()f x 符号保持不变,则()f x 在0x 处没有极值； 点评：单调性定理的推论,具体证明过程见教材;15极值第二充分条件设函数()f x 在0x 处存在二阶导数且'0()0f x =,那么 ⅰ若''0()0,f x >则()f x 在0x 处取得极小值； ⅱ若''0()0,f x <则()f x 在0x 处取得极大值;点评：这个定理是判断极值点最常用的方法,证明过程需要用到泰勒公式; 证明：仅证明''0()0,f x >的情形,''0()0,f x <的情形类似;由于()f x 在0x 处存在二阶导数,由带皮亚诺余项的泰勒公式得;在0x 的某领域内成立()()()()()()220'''00000()2x x f x f x f x x x f x o x x -⎡⎤=+-++-⎣⎦由于'0()0f x =,因此()()()()()()()()()220''0002''0200020()22x x f x f x f x o x x o x x f x f x x x x x -⎡⎤=++-⎣⎦⎧⎫⎡⎤-⎪⎪⎣⎦=+-+⎨⎬-⎪⎪⎩⎭由高阶无穷小的定义可知,当0x x →时,有()()20200o x x x x ⎡⎤-⎣⎦→-,又由于()''002f x >,因此在0x 的某领域内成立()()()2''002002o x x f x x x ⎡⎤-⎣⎦+>-; 进一步,我们有()()()()()()2''020000202o x x f x f x x x f x x x ⎧⎫⎡⎤-⎪⎪⎣⎦+-+>⎨⎬-⎪⎪⎩⎭; 也即,在0x 的某领域内成立()0()f x f x >; 由极值点的定义可知()f x 在0x 处取得极小值;16洛必达法则设函数(),()f x g x 在x a =的空心邻域内可导,'()0g x ≠,且''()lim ()x a f x A g x →= 则有()lim()x af x Ag x →=,其中A 可以是有限数,也可以是,+∞-∞; 点评：洛必达法则是计算极限时最常用的方法,但它的证明却很少有人关注;洛必达法则是拉格朗日中值定理的推论,证明过程比较简单,也是一个潜在的考点,需要引起注意;具体证明过程见教材;。
13.1 命题、定理与证明 课件 2024-2025学年 华东师大版数学八年级上册
本课结束
【举一反三】 1.(2024·来宾期中)下列命题中,是真命题的是( B ) A.相等的角是对顶角 B.垂线段最短 C.三角形的外角和等于180° D.三角形的外角大于它的内角 2.(2024·吴忠期末)命题“等角的余角相等”的题设是____两__个__角__是_等__角__的__余__角_____, 结论是___它__们__相__等_____.
2.下列说法正确的是( C ) A.命题是定理,定理是命题 B.命题不一定是定理,定理不一定是命题 C.真命题有可能是定理,假命题不可能是定理 D.定理可能是真命题,也可能是假命题
3. 如 图 , 有 如 下 四 个 论 断 : ① AC ∥ DE; ② DC ∥ EF; ③ CD 平 分 ∠ BCA; ④ EF 平 分 ∠BED,请你选择四个论断中的三个作为条件,余下的一个作为结论,构成一个正 确的数学命题并证明它.
5.(8分·推理能力、几何直观)如图,有下列三个条件:①DE∥BC;②∠1=∠2; ③∠B=∠C. (1)若从这三个条件中任选两个作为题设,另一个作为结论, 组成一个命题,一共能组成几个命题?请你都写出来; 【解析】(1)一共能组成三个命题: ①如果DE∥BC,∠1=∠2,那么∠B=∠C; ②如果DE∥BC,∠B=∠C,那么∠1=∠2; ③如果∠1=∠2,∠B=∠C,那么DE∥BC.
13.1 命题、定理与证明 1.命题 2.定理与证明
基础 主干落实 重点 典例研析 素养 当堂测评
课时学习目标 1.了解命题的概念,理解命题的结构,会区分命题的条件 和结论,会将命题改写成“如果……,那么……”的形式 2.掌握已学的5个基本事实,理解定理的概念 3.理解证明的概念,掌握推理证明的格式,并会证明简单 命题的真假
2.五个基本事实: (1)两点确定一条直线; (2)两点之间,__线__段__最__短__; (3)过一点__有__且__只__有__一__条__直__线__与已知直线垂直; (4)过直线外一点__有__且__只__有__一__条__直__线__与这条 直线平行; (5)两条直线被第三条直线所截,如果同位角 相等,那么这两条直线_平__行___.
定理与证明初中教学教案
定理与证明初中教学教案一、教学目标：1. 让学生理解并掌握基本的数学定理和证明方法。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生的逻辑思维能力和推理能力。
二、教学内容：1. 第一章：平行线的性质定理与证明学习平行线的性质定理，如同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等，并进行证明。
2. 第二章：三角形的性质定理与证明学习三角形的性质定理，如三角形的内角和定理、三角形的两边之和大于第三边等，并进行证明。
3. 第三章：几何图形的对称性定理与证明学习几何图形的对称性定理，如轴对称、中心对称等，并进行证明。
4. 第四章：比例的性质定理与证明学习比例的性质定理，如合比性质、分比性质、比例的传递性等，并进行证明。
5. 第五章：勾股定理及其应用学习勾股定理，并运用勾股定理解决实际问题，如直角三角形的边长计算等。
三、教学方法：1. 采用讲授法，讲解定理的定义和证明过程。
2. 采用案例分析法，分析实际问题，引导学生运用定理解决实际问题。
3. 采用小组讨论法，让学生分组讨论，培养学生的合作能力和逻辑思维能力。
四、教学评价：1. 课堂练习：每章结束后，进行课堂练习，检验学生对定理的理解和掌握程度。
2. 课后作业：布置课后作业，让学生巩固所学定理和证明方法。
3. 单元测试：每个单元结束后，进行单元测试，全面评估学生的学习效果。
五、教学资源：1. 教材：采用初中数学教材，为学生提供系统的数学知识。
2. 课件：制作精美的课件，辅助讲解，提高学生的学习兴趣。
3. 教具：准备相关的几何模型和教具，帮助学生直观地理解定理和证明过程。
4. 网络资源：利用网络资源，为学生提供更多的学习资料和实践案例。
六、教学计划：1. 第六章：三角形的相似性质定理与证明学习三角形的相似性质定理，如相似三角形的对应边成比例、对应角相等等。
通过几何图形的实例，让学生理解相似性质定理的应用和证明过程。
2. 第七章：三角形的全等性质定理与证明学习三角形的全等性质定理，如SAS（边-角-边）、ASA（角-边-角）、AAS（角-角-边）等。
定理与证明
定理与证明在数学中，定理的证明是通过逻辑推理来建立一个合理的论证链条，以确保定理的正确性。
在证明过程中，数学家会运用一系列的定义、定理、引理和推论等基本概念来推导出结论。
一个合理的证明应该是严谨、清晰、逻辑严密的。
证明的过程可以分为直接证明、间接证明和反证法等几种方法。
直接证明是指通过逐步说明命题的前提条件和推导出的结论之间的逻辑关系来证明命题的真实性。
间接证明则是通过假设命题不成立，推导出与已知事实矛盾的结论，进而推出命题的真实性。
反证法是一种特殊的间接证明方法，它通过假设命题不成立，推导出与已知事实矛盾的结论，从而证明命题的真实性。
除了以上的一些基本方法之外，证明还常常使用分析、归纳、差减、同加等技巧来简化证明过程。
数学家会根据具体的问题和证明目标选择合适的方法和技巧。
在进行证明时，数学家会遵循一些基本原则。
首先，证明应该是可追溯的和可复现的，要提供足够的细节和步骤，使得读者能够明确理解证明的过程。
其次，证明应该是充分的，要使用尽可能多的已知定理和推论来支撑证明过程。
此外，证明应该是严谨的，要避免逻辑漏洞和错误的推理。
最后，证明应该是清晰的，要使用准确的符号和术语，避免模糊和歧义。
在数学中，定理和证明是相辅相成的。
定理提供了数学结论的准确性，而证明则确保了定理的可信度。
一个没有经过严密证明的定理是不能被广泛接受和应用的。
总结起来，定理和证明是数学中基本的概念，它们在数学研究和应用中起着至关重要的作用。
定理通过证明确保了数学结论的准确性和可信度。
无论是解决数学难题还是推动数学领域的发展，定理和证明都是必不可少的。
八年级数学上册第13章全等三角形13.1命题定理与证明1命题说课稿华东师大版.doc
13.1 命题、定理与证明（第一课时）一、说教材1、教材的地位和作用命题是数学教学的基本依据，经过推理证实的命题如定理可以作为继续推理的依据，所以认识命题的定义、结构、真假是数学学习的主要任务之一。
而正确找出命题的题设和结论，是基础，特别是题设和结论不明显的命题，和难以判断真假的命题，是学习的重点。
本节课将通过一些具体的例子来了解基本概念，不必深究，不钻难题。
二、说教学目标知识与技能目标：了解命题、真命题、假命题、定理的含义能识别真假命题。
会区分命题的题设和结论。
过程与方法目标：通过命题的真假，培养分类思想。
通过命题的构成，培养学生分析法。
通过命题的构成，培养语言推理技能。
情感态度与价值观目标：通过命题、定理的具体含义，让学生体会到数学的严谨性。
通过学习命题真假，培养学生尊重科学、实事求是的态度。
通过学习命题的构成，使学生获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。
三、教学重点:定义、命题、公理、定理的概念；四、教学难点:判定什么定义、命题、定理、公理，及找出命题的题设和结论。
五、说教法学法通过“目标定向，自主合作”，以实现学习目标为目的，以问题为载体给学生提供探索的空间，引导学生积极探索。
教学环节的设计与展开，都以问题的解决为中心，使教学过程成为在教师指导下学生的一种自主探索的学习活动过程，在探索中形成自己的观点。
本节课的学习任务是让学生了解命题的概念，能区分命题的题设和结论，并初步认识真、假命题。
因此就内容看来，可能会较为枯燥、单调；因此在教学设计时，根据不同的学习任务进行了不同的教学设计。
在命题的概念教学中，与以往直接的告知学生概念不同，采用了让学生对两组语句进行比较、区别，然后再学生充分讨论的感性认识基础上，在提出命题的概念，能有效促进学生对命题概念的理解，然后再通过学生举例来加强巩固概念。
在命题的构成这一环节中，通过一个问题的思考与探讨，让学生了解到命题是由题设和结论两部分构成，同时感受到命题的常用表述形式，然后教师再加以总结分析，使学生对知识的认识更加透彻。
定理与证明 教学设计方案(一)
定理与证明教学设计方案（一）一、教学目标1.了解定理与证明的基本概念和重要性。
2.掌握定理与证明的基本方法和步骤。
3.能够独立运用定理与证明解决问题。
二、教学内容1.定理的定义和特点。
2.证明的基本方法和步骤。
3.通过例题和习题练习运用定理与证明。
三、教学重点1.理解定理的定义和特点。
2.掌握证明的基本方法和步骤。
四、教学难点1.运用定理与证明解决实际问题。
2.独立进行证明的思考和推理。
五、教学方法1.讲授法：通过教师的讲解，介绍定理与证明的基本概念、方法和步骤。
2.案例法：通过实际案例的分析与讨论，引导学生运用定理与证明解决问题。
3.合作学习法：组织学生分组合作，共同思考和推理解决问题。
六、教学过程1. 导入（5分钟）通过提问或展示一个经典的定理或证明，引起学生的兴趣和思考，并与学生讨论定理和证明的重要性。
2. 知识讲解（15分钟）2.1 定理的定义和特点讲解定理的基本定义和特点，强调定理是经过严密证明的命题，具有普遍适用性和可靠性。
2.2 证明的基本方法和步骤讲解证明的基本方法，包括直接证明、间接证明、反证法等，并介绍证明的基本步骤，包括假设、推理和结论。
3. 案例分析（20分钟）通过具体的案例，引导学生分析和讨论如何应用定理和证明解决问题。
教师可以提供一些经典的例题，引导学生思考并给予指导。
4. 合作学习（30分钟）将学生分成小组，给予每个小组一个实际问题，要求学生利用已学的定理和证明方法解决问题，并在小组内进行讨论和合作。
教师在小组间巡回指导、辅助解答和提供反馈。
5. 总结归纳（10分钟）根据学生的合作学习情况，引导学生总结定理与证明的重要性、基本方法和步骤，并对本节课的知识进行归纳和梳理。
七、教学资源1.讲义：提供定理与证明的基本概念、方法和步骤的讲义，供学生参考。
2.习题集：提供一些练习题和案例，供学生巩固和应用所学知识。
八、课堂评估通过学生在合作学习过程中的表现，以及教师收集的学生的习题和答案，进行课堂评估。
平面几何中的相似定理与证明
平面几何中的相似定理与证明相似定理是平面几何中重要的基础概念之一，它描述了在两个图形之间存在着一种特定的比例关系。
通过相似定理，我们能够推导出许多几何性质和定理。
本文将介绍相似定理的基本概念、常见的相似定理，并详细讲解其证明过程。
一、相似定理的基本概念在平面几何中，如果两个图形的对应边长之比相等，那么我们称这两个图形是相似的。
相似定理就是通过比较图形的边长比例，研究并推导出一些性质和定理。
相似定理有以下几个基本要点：1. 对应角相等定理：如果两个三角形的对应角相等，那么它们相似；2. 对应线段成比例定理：如果两个三角形的对应线段之比相等，那么它们相似；3. 对应线段之比相等定理：如果两个三角形相似，那么它们的对应线段之比相等。
二、常见的相似定理及证明1. AAA相似定理：如果两个三角形的三个对应角相等，那么它们相似。
证明：设有两个三角形ABC和DEF，已知∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
我们需要证明∆ABC~∆DEF。
首先，由于∠A=∠D，根据角的对应边相等定理可知AB/DE=x（假设比例系数为x）。
同理，根据∠B=∠E和∠C=∠F，可得BC/EF=x和AC/DF=x。
因此，根据对应线段之比相等定理可得∆ABC~∆DEF。
2. SSS相似定理：如果两个三角形的对应边长之比相等，那么它们相似。
证明：设有两个三角形ABC和DEF，已知AB/DE=x，BC/EF=y，AC/DF=z。
我们需要证明∆ABC~∆DEF。
通过对应线段成比例定理，我们可以得到AB/DE=x，AC/DF=z，BC/EF=y。
由于三角形的内部角和为180度，我们可以得到∠B=180°-∠A-∠C和∠E=180°-∠D-∠F。
因此，我们可以通过计算得到∠B/∠E=(180°-∠A-∠C)/(180°-∠D-∠F)。
根据∠A=∠D，∠C=∠F，我们可以得到∠B/∠E=180°-∠A-∠C/180°-∠A-∠C=1。
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定理与证明(一)
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教学建议
（一）教材分析
1、知识结构
2、重点、难点分析
重点：真命题的证明步骤与格式．命题的证明步骤与格式是本节的主要内容，是学习数学必具备的能力，在今后的学习中将会有大量的证明问题；另一方面它还体现了数学的逻辑性和严谨性．
难点：推论证明的思路和方法．因为它体现了学生的抽象思维能力，由于学生对逻辑的理解不深刻，往往找不出最优的思维切入点，证明的盲目性很大，因此对学生证明的思路和方法的训练是教学的难点．（二）教学建议
1、四个注意
（1）注意：①公理是通过长期实践反复验证过的，不需要再进行推理论证而都承认的真命题；②公理可以作为判定其他命题真假的根据．
（2）注意：定理都是真命题，但真命题不一定都是定理．一般选择一些最基本最常用的真命题作为定理，可以以它们为根据推证其他命题．这些被选作定理的真命题，在教科书中是用黑体字排印的．（3）注意：在几何问题的研究上，必须经过证明，才能作出真实可靠的判断．如“两直线平行，同位角相等”这个命题，如果只采用测量的方法．只能测量有限个两平行直线的同位角是相等的．但采用推理方法证明两平行直线的同位角相等，那么就可以确信任意两平行直线的同位角相等．
（4）注意：证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．①论据必须是真命题，如：定义、公理、已经学过的定理和巳知条件；②论据的真实性不能依赖于论证的真实性；③论据应是论题的充足理由．
2、逐步渗透数学证明的思想：
（1）加强数学推理(证明)的语言训练使学生做到，能用准确的语言表述学过的概念和命题，即进行语言准确性训练；能学会一些基本的推理论证语言，如“因为……，所以……”句式，“如果……，那么……”句式等等；提高符号语言的识别和表达能力，例如，把要证明的命题结合图形，用已知，求证的形式写出来．（2）提高学生的“图形”能力，包括利用大纲允许
的工具画图(垂线、平行线)的能力和在对要证命题的理解(如分清题设、结论)的基础上，画出要证明的命题的图形的能力，后一点尤其重要，一般通过图形易于弄清命题并找出证明的方法．
（3）加强各种推理训练，一般应先使学生从“模仿”教科书的形式开始训练．首先是用自然语言叙述只有一步推理的过程，然后用简化的“三段论”方法表述出这一过程，再进行有两步推理的过程的模仿；最后，在学完“命题、定理、证明”一单元后，总结证明的一般步骤，并进行多至三、四步的推理．在以上训练中，每一步推理的后面都应要求填注推理根据，这既可训练良好的推理习惯，又有助于掌握学过的命题．教学目标：
1、了解证明的必要性，知道推理要有依据；熟悉综合法证明的格式，能说出证明的步骤．
2、能用符号语言写出一个命题的题设和结论．
3、通过对真命题的分析，加强推理能力的训练，培养学生逻辑思维能力．
教学重点：证明的步骤与格式．
教学难点：将文字语言转化为几何符号语言．
教学过程：
一、复习提问
1、命题“两直线平行，内错角相等”的题设和结论各是什么？
2、根据题设，应画出什么样的图形？（答：两条平行线a、b被第三条直线c所截）
3、结论的内容在图中如何表示？（答：在图中标出一对内错角，并用符号表示）
二、例题分析
例1、证明：两直线平行，内错角相等．
已知：a∥b，c是截线．
求证：∠1＝∠2．
分析：要证∠1＝∠2，
只要证∠3＝∠2即可，因为
∠3与∠1是对顶角，根据平行线的性质，
易得出∠3＝∠2．
证明：∵a∥b（已知），
∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）．
∵∠1＝∠3（对顶角相等），
∴∠1＝∠2（等量代换）．
例2、证明：邻补角的平分线互相垂直．
已知：如图，∠AOB＋∠BOC＝180°，
OE平分∠AOB，OF平分∠BOC．
求证：OE⊥OF．
分析：要证明OE⊥OF，只要证明∠EOF＝90°，即∠1＋∠2＝90°即可．
证明：∵OE平分∠AOB，
∴∠1＝∠AOB，同理∠2＝∠BOC，
∴∠1＋∠2＝（∠AOB＋∠BOC）＝∠AOC＝90°，∴OE⊥OF（垂直定义）．
三、课堂练习：
1、平行于同一条直线的两条直线平行．
2、两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行．
四、归纳小结
主要通过学生回忆本节课所学内容，从知识、技能、数学思想方法等方面加以归纳，有利于学生掌握、运用知识．然后见投影仪．
五、布置作业
课本P143 5、（2），7。
六、课后思考：
1、垂直于同一条直线的两条直线的位置关系怎样？
2、两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线位置关系怎样？
3、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平
分线位置关系怎样？
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