大学 高等数学 竞赛训练 级数

大学生数学竞赛训练四—级数

一、（20分）设()2

101n

n x f x x n

∞

==≤≤∑

1）证明：()()()()2

1ln ln 1016

f x f x x x x π+-+-=≤≤

2）计算1

011ln 2dx x x

-⎰

证明：1）设()()()()1ln ln 1F x f x f x x x =+-+-，因为

()()()1

111

1ln 1ln 1n n n n x x x x

F x n n x

x

--∞

∞==--'=-+

-

-∑

∑ ()()

()()()

()1

11

1

111ln 111

ln 11n

n n n

n n x x x x

x n x n

x

x

--∞

∞

==-------=

+

+

-

--∑∑ ()()ln 1ln 1ln ln 0,0111x x x x

x x x x x

--=-

+

+-=<<--

所以，当01x ≤≤时，()F x 为常数，即有

()()()2

21

1116n F x F f n π∞

=====∑

（注意这里利用了极限()()()211112

1ln 1ln 1lim ln ln 1lim lim lim 0111

1ln ln x x x x x x x x x x x x x ----→→→→-

---====--

）

2）()()1110222ln 2ln 1ln 2112ln 12t x t t dx dt dt x x t t =-⎛⎫⎛

⎫+- ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪=--=- ⎪ ⎪⎝⎭

⎰⎰⎰ ()

1

11

12

22

22221

11111112ln 2ln 2ln 222n

n n n n n n n n t t dt dt t n n n n

--∞∞∞∞====⎛⎫

-- ⎪⎝⎭=-+=--=--+∑∑∑∑⎰⎰ 2

2

2

211ln 2ln 262122

f ππ

⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭。 二、（15分）设()f x 在点0x =的一个邻域内有连续导数，且()0

lim

0x f x a x

→=>。证明：级

数()

1

11n

n f n ∞

=⎛⎫

- ⎪⎝⎭∑收敛，但级数11n f n ∞

=⎛⎫

⎪⎝⎭

∑发散。 证明：因为()()0

lim lim

0x x f x f x x x

→→==，

由连续性可得()()()()0

000,0lim 0

x f x f f f a x →-'===-，

由导数的连续性可得存在0x =的一个邻域内()0f x k '>>，这就说明当n 充分大时，数列

1f n ⎧⎫

⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭是递减的，并且1lim 0n f n →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭，由莱布尼茨判别法可得，级数()1

11n n f n ∞

=⎛⎫

- ⎪⎝⎭∑收敛； 由()()0,f f x 单调增可得，级数11n f n ∞

=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑是正项级数，对函数()f x 在区间10,n ⎡

⎤⎢⎥⎣⎦运用拉

格朗日中值定理，存在10,n ξ⎛

⎫∈ ⎪⎝

⎭有

()()110f f f f n n n ξ'⎛⎫⎛⎫

=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

当n 充分大时有1k

f n n ⎛⎫> ⎪⎝⎭，因为级数1n k n

∞=∑发散，由比较判别法，级数11n f n ∞

=⎛⎫

⎪⎝⎭

∑

发散。 三、（15分）求级数()()()

121

123n n n n n ∞

=++++∑

的和。

解：因为()()()()()()()

15

21221231223n n n n n n n n -

+=+

+++++++ 111511212223n n n n ⎛⎫⎛⎫

=--+- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭

所以(

)()()12111517

123222312n n n n n ∞

=+=-⨯+⨯=+++∑

。

四、（15分）设()f x 是以2π为周期的连续函数，0,,,1,2,n n a a b n =是()f x 的傅里叶

系数，证明贝塞尔不等式

()()22

22

011

2n n n a f x dx a b π

π

π

∞

-

=≥++∑⎰

证明：因为()()01cos sin 2n n n a f x a nx b nx ∞==

++∑，设()01

cos sin 2n k k k a S a kx b kx ∞

==++∑，则有 ()()()()()()()2

22

1

1

1

1

02

n n n

f x S x dx f x dx f x S x dx S x dx π

π

π

π

π

π

π

πππππ

-

-

-

-

≤

-=

-+

⎰⎰⎰⎰