大学 高等数学 竞赛训练 级数
竞赛培训ppt课件 第5章 无穷级数
南京航空航天大学高等数学竞赛培训
无穷级数
2016年5月
1级数的基本性质及收敛条件
数项级数的收敛与发散
收敛级数的性质
收敛级数的性质
加括号级数
级数收敛的必要条件
常用级数的收敛性
D
D
2 正项级数审敛法
正项级数收敛的充要条件
比较审敛法
比较审敛法的极限形式
与p-级数结合
回顾：无穷小等价替换与常用极限
比值审敛法和根值审敛法
3 交错级数审敛法
交错级数的定义
莱布尼茨审敛法
使用莱布尼茨审敛法时：
4 绝对收敛与条件收敛
绝对收敛的性质（条件收敛不具备）
讨论：收敛级数逐项相乘后的收敛性
5 幂级数的收敛域
收敛定理
收敛半径、收敛区间、收敛域
收敛半径的计算公式
（不要求掌握）
幂级数运算后的收敛半径
6 幂级数的和函数
和函数的性质
和函数的性质。
数学竞赛无穷级数(习题)
58. 设 f .x/ 是以 2 为周期的连续函数，其傅立叶系数为 an、bn（n D 0; 1; 2; : : :）. 又
设
1 ∫ xCh
gh.x/ D 2h
f .t/ dt :
xh
试证明：(1) gh.x/ 也是以 2 为周期的周期函数，并且 gh.x/ 具有连续的导数；
(2) 求 gh.x/ 的以 2 为周期的傅立叶级数并说明此傅立叶级数在 . 1; C1/ 上收敛于
44.
设
p
D
X 1
nD0
.4n
4n
，q C 1/Š
D
X 1
nD0
.4n
4n
，计算 C 3/Š
p q
.
45. 计算 lim .1 x/3 P1 n2xn .
x!1
nD1
ˇˇf
46. .x0/
f设.x00f/ˇˇ.x6/
满足 kjx0
条 件 ： 对 于 任 意 x0 与 x00j. 对于给定的 x0，定义
51. 设 f .x/ D arcsin.sin x/，求 f .x/ 的以 2 为周期的傅立叶级数，并写出此傅立叶级 数的收敛和。
52. 设 f .x/ D x2， 6 x 6 . 试将 f .x/ 展开成以 2 为周期的傅立叶级数，并写出 它的收敛和。
53. 设 f .x/ D x2，0 6 x 6 2 . 试将 f .x/ 展开成以 2 为周期的傅立叶级数，并写出 它的收敛和。
.
X 1 .2n 1/ŠŠ 1 Án
7. 1 C
.2n/ŠŠ 2 D
.
nD1
(
8.
设 f .x/ D
x C 1; 0;
当 当
数学竞赛无穷级数(一)
n!1an 1
an 1
1
lim
ˇˇf .x/ˇˇ dx D 0. 记 un
f .x/ dx. 则无穷级数 P un 的敛散性
n!1 an
an
nD1
b
与瑕积分 f .x/ dx 的敛散性相同。
f .x/ dx 的敛散性相同。
nDa
a
3. 广义积分与无穷级数的收敛性的联系
定理 5 设 a 为一整数，函数 f .x/ > 0 在 Œa; C1/ 上单调减少，un
1
C1
f .n/. 则无穷级数 P un 的敛散性与广义积分
f .x/ dx 的敛散性相同。
nDa
a
例4
当实数
p
取何值时，级数
1
P
D
lim
n!1
anC1 .n C 1/Š.an nŠ
.n C 1/nC1
nn
D
lim
n!1
ann .n C 1/n
a
a
D lim
n!1
1
C
1 n
nD e:
所以当 a < e 时，原级数收敛；当 a > e 时，发散。
例1
设
a
>
0
为常数，试判断级数
1
P
nD1
an nŠ nn
的敛散性。
解 注意到
D
lim
n!1
anC1 .n C 1/Š.an nŠ
.n C 1/nC1
nn
D
lim
n!1
ann .n C 1/n
a
a
D lim
n!1
1
C
1 n
nD e:
高等数学竞赛选拔考核试卷
A.定积分的换元法可以简化被积函数
B.定积分的换元法需要引入雅可比行列式
C.定积分的换元法只能用于线性换元
D.定积分的换元法可以推广到多变量函数的积分
17.关于向量场的散度和旋度，以下说法正确的是（）
A.散度描述了向量场源和汇的性质
B.旋度描述了向量场的旋转性质
A. f(x)在[0,1]上的平均值
B. f(x)在[0,1]上的定积分
C. f(x)在[0,1]上的变上限积分
D. f(x)在[0,1]上的原函数
17.三阶行列式的值为0，则（）
A.行列式的三行（或三列）线性相关
B.行列式的三行（或三列）线性无关
C.行列式至少有一行（或一列）为零向量
D.行列式的元素至少有一个为零
A. 1/3
B. 1/6
C. 1/12
D. 1/24
5.设f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1，则f(x)的极大值为（）
A. 1
B. 3
C. 5
D. 7
6.矩阵A的行列式为0，则（）
A. A一定是奇异矩阵
B. A一定可逆
C. A的列向量线性无关
D. A的行向量线性相关
7.若f(x) = (sin x)/x，则f'(π/2)等于（）
A.必有极大值
B.必有极小值
C.必有拐点
D.以上都不一定
3.若级数∑(n=1 to ∞) a_n的收敛半径为R，则级数∑(n=1 to ∞) a_n^2的收敛半径是（）
A. R
B. R/2
C. 2R
D. √R
4.二重积分∬_D f(x,y) dσ中，区域D为y=x^2，x属于[0,1]，则该二重积分的值为（）
数学竞赛之无穷级数
无穷级数知识要点：（一）正项级数收敛的方法：1. 柯西准则：数项级数1231 n n n u u u u u ∞==+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅∑收敛的充要条件是对任意的0ε>，总存在()N N ε=，使得当n N >时，对任意的0P >都有不等式1n pn p n ii n S S uε++=+-=<∑成立。
2. 比较判别法： 设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数, 且存在0n 使得0n n >时有u n ≤ cv n .则若级数∑∞=1n n v 收敛, 则级数∑∞=1n n u 收敛; 反之, 若级数∑∞=1n n u 发散, 则级数∑∞=1n n v 发散.3. 比较判别法的极限形式：设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数, 且nnn v u l ∞→=lim(1)如果 0<l <+∞, 则级数∑∞=1n n v 与级数∑∞=1n n u 有相同敛散性;(2)如果0=l 且∑∞=1n n v 收敛，则∑∞=1n n u 收敛;（3）如果+∞=l 且级数∑∞=1n n v 发散, 则级数∑∞=1n n u 发散.4. 比值判别法定理—达朗贝尔判别法：设正项级数∑∞=1n n u () 3,2,1,0=>n u n 且nn n u u l 1lim+∞→=, 则当l <1时级数收敛; 当l >1(或+∞=+∞→nn n u u 1lim)时级数发散; 当l =1时级数可能收敛也可能发散.5. 根值判别法—柯西判别法设∑∞=1n n u 是正项级数满足n n n u l ∞→=lim , 则当l <1时级数收敛; 当l >1(或+∞=∞→n n n u lim )时级数发散; 当l =1时级数可能收敛也可能发散.6. 拉阿伯判别法：设∑∞=1n n u 是正项级数满足1lim (1)nn n u n l u →∞+-=，则当1l >时级数收敛;当1l <时级数发散。
高数竞赛试题集
高等数学竞赛一、填空题 若 lim sin x (cosx -b) =5，则 a = i 0e X -a 设 f(X)= lim (n 2 "x,贝U f (x)的间断点为 x= ______ . nx +1 曲线y=lnx 上与直线X+y=1垂直的切线方程为 ________________________________ . 已知 f (e X ) =xe 」，且 f(1)= 0,贝u f (X)= ___________ . l x =t 3+3t +1设函数y(x)由参数方程彳 3确定，则曲线y = y(x)向上凸的x 取值[y =t -3t +11. 2.3. 4.5.范围为6.i 2x 设y =arctane X - InV e 2x17.若 X T 0时，(1 -ax2)4 -1xe x 2设 f (x) - {-1与xsinx 是等价无穷小，则a=1 < —2，则2B f(x —1)dx =29. 由定积分的定义知，和式极限lim ^n n 2+k 210. '1 8 dx X J X 2-1 二、单项选 择题 X x -— X T 0 时的无穷小量 a = Lcost 2dt,P = T tan 寸tdt,Y = 11 .把是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是 【】(A)a ,P ,Y . (B) a ,Y , P . (C) P^J . 12•设函数f(x)连续，且f(0) :>0,则存在6 >0，使得 【 (A) f(x)在(0, 6)内单调增加. (C )对任意的 X 忘(0, 5)有 f(x)>f(0).13 .设 f(X)=|x(1-X)| ,贝U 【<x3 [si nt dt ,使排在后面的】(B ) f(x)在(-■& ,0)内单调减少.(D)对任 意的 X 亡(一6,0)有f(x)>f(0). (A ) (B) (C) (D ) =0是f (X)的极值点，但(0, 0)不是曲线y = f (X)的拐点. =0不是f (X)的极值点，但(0, 0)是曲线y = f(x)的拐点. =0是f (X)的极值点，且(0, 0)是曲 =0不是f (X)的极值点，(0, 0)也不 线y = 是曲线 f ( x)的拐点. y = f (x)的拐点. 14 . lim In 『(1+丄)2(1+2)2|II (1+卫)2等于 ¥ n n n 血X2 n2 (B) Zjxdx . [(c)2J In(1+x)dx .2 2(D)J In2(1 + x)dx15 .函数 (A)(一、| x |sin(x -2)亠 f(X)= --- --- 一在下列哪个区X (X -1)(X -2)21 , 0). (B ) (0 , 1).间内有界.【(C) (1 ,2). (D) (2,3).16.设 f(X)在(+ )内有定义，且lim f(x)=a ，ggJGw 0，则【】高等数学竞赛试卷Y ［ 0 ,x=0 (B) X = 0必是g(x)的第二类间断点. (D) g(x)在点X = 0处的连续性与a 的取值有关. 】 (A) X = 0必是 (C) X = 0必是 17 .设f '(X)在［a , b ］上连续，且f "(a) >0, f'(b) v0，则下列结论中错误的是【 X 0 € (a, b)，X 0 (a,b)， X 0 丘(a,b)， X 0 亡(a,b)，g(x)的第一类间断点. g(x)的连续点. (A ) (B ) (C )(D ) 18 .设 (A) (B) (C) (D) 至少存在一点 至少存在一点 至少存在一点至少存在一点 使得 使得 使得 使得 f (X 0) > f (a). f (X 0)> f (b). f'(X 0)=O . f (X 0)=0. ,1, X >0 f(x) =40,x =0，F(x) ［-1, x <0 点不连续.)内连续，但在X = 0点不可导.)内可导，且满足 F(x) = f(x).)内可导，但不一定满足F'(X)= f (x). F(x)在 X = 0 F(x)在( F(x)在(F(x)在( 三、解答题 1 r< 2 19.求极限ljm —(一 20 •设函数f (X)在(—壬 +再上有定义，在区间［0, 2］上,f(X)= x(x — 4),若对任意的X 都满足 f(X)=kf(X +2),其中k 为常数.(I )写出f (X)在［—2, 0］上的表达式;(n )问k 为何值时，f(x)在x = 0处可导.21 .设f ( X )，g (X )均在［a, b :上连续，证明柯西不等式 2 + COSX f 「b (x)dx h a 2 2 2 4 22 .设 ecacbce ,证明 ln b-ln a 》一f(b-a). e f (x)g(x)dx i 兰 if f 2 g 2(x)dx j X 丄 — e 中e 23曲线y =— ---- --- 与直线x=0, x = t(t> 0)及 y = 0围成一曲 边梯形.该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体，其 体积为V(t),侧面积为S(t),在x=t 处的底面积为F(t).( I )求 V(t) X X24 .设 f (X) , g(x)在［a , b ］上连续，且满足 J f (t)dt > Jg(t)dt ，x a a 的值;(n ) lim -S(^). t -就 F(t) bb［a ,b)，J a f(t)dt = J a g(t)dt .证明：［b xf(x)dx < f bxg(x)dx . •a 'a25. 速并停下.现有一质量为9000kg 飞机的速度成正比(比例系数为 表示千米/小时.尾部张开 减速伞，以增大阻 力，使飞机迅速减 经测试，减速伞打开后， 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的 瞬间，飞机的飞机，着陆时的水平 速度为 700km/h. k=6.0x106).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？飞机所受的总阻力与 注 kg 表示 千克，km/h 一、单项选择题 2 X -ax — b 尸 0 1、若 ％+1 (A ) a =1, b =1(B) a=T, b =1 (C) a =1, b =—1 (D)a = —1, b=—1F（x ）2、设 F （x ）詔 x ，［f（0）,（A ） 连续点 （B ）3、设常数k A O ，函数 X 工0 c，其中f （x ）在X =0处可导且f '（0） H 0X ：= 0 第一类间断点（C ） 第二类间断点 （D ）以上都不X f （X ）= In X —一 +k 在（0, xc ）内零点的个数为e f (0) =0，贝U X = 0 是 F(X)的 (C) 4、若在［0,1］上有 f ( 0 > g (0=) 0, 4 g) = ab)且 f''X 另，0 g”(x)c0 ,I1 =f （X ）dx ，I 2 5、 1 = J o g(x)dx ，I 3 I 1 > l 2> 图形0<a<x<b, 0<y<f(x 绕y 轴旋转所成 的旋转体 bb(A) 由平面 (A) 6、 7、1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、1=f ax dx 的大小关系为 j 0 ------------------I 3 ( B ) I 2 > I 3 二 I 1 ( C )V =2兀 J xf(Mdx( B ) V =2和 f ( x) d X C )VP(1,3,4)关于平面 3x + y —2z =0的对称点是_( A ) (5, —1,0) 设D 为 X 2 + y 2<R 2，D 1 是 D 位于第一象限的部分，f (X)连续， 2(A)8JJf(X 2)dcrD 1(B ) 0( C )a 为常数，则级数二、填空题3 l ：m tan 2x （1 hm —4—（1X —30 X y r sin(na) 1 1n 2"T n J13 — 12 — 11 的体积为 ___________ b2=兀 Ja f (x)dX (B ) (5,1,0) 则 JJ f (x 2D R R 2Jdxjj(x+ y 2)dy(D)bV " Ja f (x)dx (C ) (-5,-1,0) ( D ) (-5,1,0) + y 2)dcr = _______ (D ) (D )4JJf(x 2 D 1+ y 2)db绝对收敛（B ）发散C ）条件收敛（D ）收敛性与a 的取值有关个。
高数竞赛7 级数精选.ppt
nan x 2 n2 的收敛区间。
n1
例3．已知幂级数 an x 3n 在 x 0 处收敛，在 x 6 n0
处发散，求其收敛域。
例4．设 a 0 ，b 0
，讨论幂级数
n1
an n
bn
n2
x n
的收敛域。
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29
l lim n n
an n
bn n2
a, b,
当a b时 当a b时
f
(x)
a0 2
(ak
k 1
coskx
bk
sin
kx)
且假定三角级数可逐项积分 则
a0
1
f
(x)dx
an
1
f
(x)cosnxdx
(n
12)
定理1 正项级数收敛的充分必要条件是：它的部分和数列
有界。
定理2 （比较审敛法） 设 un 和 vn 都是正项级数，且
n1
n1
un vn
(n
1,2,).
若级数
vn
收敛，则级数
n1
un收敛；若级数 un发散，则级数 vn也发散。
n1
n1
n1
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7
定理3（比较审敛法的极限形式）设 un 和 vn 都是正项级数，
un 收敛，这时极限
n1
s
叫做这级数的和；如果 un没有极限，则称 n1
无穷级数 un发散。 n1
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2
二、收敛级数的基本性质
性质1 如果级数 un 收敛于和 S ，则级数 kun 也
n1
n1
敛， 且其和为 ks 。
性质2 如果级数 un、 vn分别收敛于 s和 t则
高等数学训练之无穷级数.
第五讲无穷级数§1 概念及其性质∞无穷级数（简称级数）：∑un=u1+u2+ +un+ ，un称为第n项式通项一般项。
n=1n∞iSn=u1+u2+ +un=∑ui=1为∑un的前n项和。
n=1∞∞定义：若limSn=S（有限数），则称级数∑un收敛，S为其和，即∑un=S；n→∞n=1n=1∞若limSn不存在，则称级数∑un发散。
n→∞n=1例1：判别下列级数的敛散性，收敛时求其和。
∞（1）∑n=11∞；（2）∑n=1n∞(n+1)!；（3）∑n=11n(n+1)(n+2)；提示：将通项un写成两项差的形式，即un=vn-vn-1。
解：（1）un=Sn=∞=n1+)+ +=1→∞ (n→∞) ∴∑un=1发散。
（2）un=(n+1)-1=n+1!()1n!-1(n+1)!；⎛1⎫1⎫⎛11⎫11⎛=1-→1 (n→∞) Sn= 1-⎪+ -⎪+ + -⎪⎪2!2!3!n!n+1!n+1!()()⎝⎭⎝⎭⎝⎭∞∴∑un=1n=1。
⎤1⎡11=⎢- （3）un=⎥ n(n+1)(n+2)2⎣n(n+1)(n+1)(n+2)⎦1Sn=1⎡⎛11⎫⎛11-+-⎢⎪2⎢⎝1⋅22⋅3⎭⎝2⋅33⋅4⎣⎛⎫⎤11⎫+ +-⎥⎪⎪⎪⎭⎝n(n+1)(n+1)(n+2)⎭⎥⎦⎤1⎡111=⎢-→(n→∞) ⎥2⎣1⋅2(n+1)(n+2)⎦4∞∴性质：∑n=1un=14。
∞∞①设c≠0为常数，则∑cun与∑un具有相同的敛散性；n=1n=1∞∞∞②设∑un=S，∑vn=σ，则∑(un±vn)=S±σ；n=1n=1n=1∞∞∞设∑un收敛，∑vn发散，则∑(un±vn)发散；n=1n=1n=1∞∞∞设∑un与∑vn均发散，则∑(un±vn)具体分析。
n=1n=1n=1∞③ ∑un去掉或添加有限项不影响其敛散性，但收敛时其和可能要改变；n=1∞④设∑un收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍然收敛于原级数的和；n=1∞∞设有一个∑un，若对各项加括号后所得新级数发散，则原级数∑un发散；若对其n=1n=1各项任意加括号后收敛，则原级数敛散性要具体分析。
(整理)高数竞赛练习题答案(函数、极限、连续)
函数、极限、连续1. ],[)(),(b a C x g x f ∈，在),(b a 内二阶可导且存在相等的最大值，又),()(),()(b g b f a g a f ==证明：(1))()(),,(ηηηg f b a =∈∃使(2))()(),,(ξξξg f b a ''=''∈∃使证明：设)(),(x g x f 分别在d x c x ==,处取得最大值M ，不妨设)(b d c a d c <≤<≤此时，作辅助函数),()()(x g x f x F -=往证0)(),,(=''∈∃ξξF b a 使令),()()(x g x f x F -=则)(x F 在二阶可导上连续，在),(],[b a b a ，且0)()(==b F a F ，① 当d c <，由于 0)()()()(≥-=-=c g M c g c f c F 0)()()()(≤-=-=M d f d g d f d F 由“闭.连.”零点定理， )()(),,(],[ηηηg f b a d c =⊂∈∃使 ② 当d c =，由于0)()()()()(=-=-=-=M M d g c f c g c f c F 即)()(),,(ηηηg f b a =∈∃使对)(x F 分别在],[],,[b a ηη上用罗尔定理，),(),,(21b a ηξηξ∈∈∃，使0)()(21='='ξξF F ，在],[21ξξ上对)(x F 在用罗尔定理，),(),(21b a ⊂∈∃ξξξ，使0)(=''ξF ，)()(),,(ξξξg f b a ''=''∈∃使.2. 设数列}{n x 满足 ,2,1,sin ,011==<<+n x x x n n π (1) 证明存在n n x ∞→lim ，并求该极限(2) 计算21)(lim 1nx nn n x x +∞→分析：(1) 确定}{n x 为单调减少有下界即可(2) 利用(1)确定的n n x ∞→lim ，用洛必达法则.解：易得),3,2(10 =≤<n x n ，所以),3,2(,sin 1 =<=+n x x x n n n ，即}{n x 为单调减少有下界的数列，所以 存在n n x ∞→lim ，并记为]1,0[,lim ∈=∞→a a x n n 则，对等式,sin 1n n n x x x <=+两边令∞→n 取极限，得]1,0[,sin ∈=a a a ，所以,0=a 即0lim =∞→n n x .(2) 2sin 0212121)ln(lim 01)sin (lim )sin (lim )(lim t t x t n n n nn n ttt t n n x n x e t t x x x x →===→=∞→+∞→令由于613-lim 31cos lim sin lim 1lim )]1(1ln[lim 2221020302sin 02sin 0)ln(lim2sin 0-==-=-=-=-+→→→→→=→t t t t t t t t t t t t t t t t t t t ttt 洛 所以6121)(lim 1-+∞→=e x x n x nn n .3. 已知]1,0[)(在x f 连续，在)1,0(可导，且1)1(,0)0(==f f ，证明： (1)ξξξ-=∈∃1)(),1,0(f 使，(2) 存在两个不同点1)()(),1,0(,=''∈ζηζηf f 使证：(1) 令1)()(-+=x x f x F ，则)(x F 在]1,0[上连续，且01)1(,01)0(>=<-=F F ，由“闭.连.”零点定理，ξξξξ-==∈∃1)(,0)(),1,0(f F 即使(2) ]1,[],,0[)(ξξ在x f 上都满足拉格朗日中值定理，所以)1,(),,0(ξζξη∈∈∃，使)1)(()()1(),0)(()0()(ξζξξηξ-'=--'=-f f f f f f ，即ξξξξξξζξξξξη-=---=--='-=='11)1(11)(1)(1)()(f f f f111)()(=-⋅-=''∴ξξξξζηf f4. 设方程01=-+nx x n ，其中n 为正整数，证明此方程存在唯一的正实根n x ，并证明当1>α时，级数∑∞=1n n x α收敛.证：令,1)(-+=nx x x f n 则)(x f 在),0(+∞上连续，且0)1()1(,01)0(>=<-=n nn f f所以由连续函数的零点定理，所给方程在)1,0(n内有根，又由)1,0()(,0)1()(1n x f x n x f n 在即>+='-内单调递增，所以所给方程)1,0(n内只有唯一的根，在)1(∞，n上无根，即所给方程存在唯一的正实根n x .由上述知，对 ,2,1=n ，有,10n x n <<有ααnx n 10<<， 此外，由1>α知，级数∑∞=11n nα收敛，所以由正项级数比较审敛法，知∑∞=1n n x α收敛.5. 求)21ln(1)(cos lim 0x x x +→解：)21ln(1)(cos lim 0x x x +→=)1ln(cos ln lim20x xx e +→，其中21lim)1ln()]1(cos 1ln[lim)1ln(cos ln lim2221022-=-=+-+=+→→→x x x x x x x x x所以，21)21ln(1)(cos lim -→=+ex x x6. )(x f 在0=x 的某邻域内具有一阶连续导数，且,0)0(,0)0(≠'≠f f 若)0()2()(f h bf h af -+在0→h 时是比h 高阶的无穷小，试确定b a ,的值.解1：（利用导数定义）hf b a f b a h f b a h bf h bf h af h af h f bf bf h bf af af h af h f h bf h af h h h h h h )0(]1)[(lim )0()()0(]1)[(lim )0()2(lim )0()(lim )0()0()0()2()0()0()(lim)0()2()(lim0000000-++'+=-++-+-=-+-++-=-+=→→→→→→由,0)0(,0)0(≠'≠f f 得1,2,021-==⎩⎨⎧=+=+b a b a b a 即解2：按解1，只要假定0)(=x x f 在处可导即可，但在题中“)(x f 在0=x 的某邻域内具有一阶连续导数”的假定下，有以下解法： 由0)0()2()(lim0=-+→hf h bf h af h 得 )0()2()(lim 0f h bf h af h -+→=0 即)0()1()0()2()(lim 00f b a f h bf h af h -+=-+=→，由,0)0(≠f 得 1=+b a （1）又由)0()2()2(2)(lim )0()2()(lim000f b a h f b h f a hf h bf h af h h '+='+'=-+=→→洛且,0)0(≠'f 所以 02=+b a （2）由（1）、（2）得.1,2-==b a7. 求.sin 12lim 410⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++→x x e e x x x 解：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++→x x e e x xx sin 12lim 410⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=---→+x x e e e x x x x sin 12lim 43401=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++-→x x e e x x x sin 12lim 410⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=-→x x e e x x x sin 12lim 4101=所以 原式 = 18. 求.211lim20xx x x --++→解1：（泰勒公式）因)0(41~)(412)](81211[)](81211[2112222222→-+-=-+--++-+=--++x x x o x x o x x x o x x x x所以 4141lim 211lim 2202-=-=--++→→x xx x x x x 解2：（洛必达法则）41.)11(2lim 41111lim 11lim 412121121lim 211lim 000020-=++--=-+⋅+--=--+=--++→→→→→x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x 洛必达。
数学竞赛无穷级数(二)
an
收敛，证明级数
1
P
n
.an/ nC1
也收敛。
nD1
nD1
例4
两个正项级数
1
1
P an、 P bn
nD1
nD1
满足
anC1 an
6
bnC1 bn
（n D 1; 2; : : :）。试讨论这两个级数敛散性之间的关系，并证明你的结论。
2. 利用正项级数的比较审敛法来判断敛散性
例2
给定正项级数
1
P
nD1
nx
1
收敛；且当 x ¤ 2m （m 2 Z）时，余弦级数 P an cos nx 均收敛。
nD1
证 当 x D 2m 时，an sin nx Á 0. 当 x ¤ 2m 时，利用三角函数的积
化和差公式得： n
Á.
P sin kx D
cos
x 2
cos
nC
1 2
2
sin
x 2
:
kD1
1
于是上述部分和数列有界。由狄利克雷判别法知，级数 P an sin nx 收敛。
例2
给定正项级数
1
P
nD1
an，设存在极限
lim
n!1
ln.1=an/ ln n
D q. 证明：当 q > 1 时，该级数收敛；当 q < 1 时，该级数发散。
2. 利用正项级数的比较审敛法来判断敛散性
例2
给定正项级数
1
P
nD1
an，设存在极限
lim
n!1
ln.1=an/ ln n
D q. 证明：当 q > 1 时，该级数收敛；当 q < 1 时，该级数发散。
《高数》第7章级数-练习题参考答案
第七章 无穷级数练习题—参考答案一、单项选择题1-5.ABDCC....6-10.BCADA...11-15.CBACC.. 16-20.CACCC..21.C 二、填空题1. . ...2. ...3. .. . ...4.p=.... p>...5... (-1,1).....6.......7. .....8. .9.. .. (0,2).三. 判定下列级数的敛散性1. （比较法）2. （比较法） 解: 解:发散又∑∞=131n n 都收敛与又∑∑∞=∞=131221n n nn发散∑∞=+∴1121n n ）收敛（31221n nn +∴∑∞=∑∞=++∴12)1(2n n n n 3. （比值法） 4. （比较法）解.... 解..515收敛∑∞=∴n n n 收敛又2311nn ∑∞=.1131收敛+∴∑∞=n n5. （比较法）6. （根值法、级数收敛必要条件） 解........解... 收敛又211n n ∑∞=011lim 1lim lim 1≠=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∞→∞→∞→e n n n U nn n n n n 但 .131收敛n n n +∴∑∞= .11收敛∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-∴n nn n 7. （比值法） 8. （比较法）解. . 解.().121发散∑∞=+∴n n n n 收敛又n n 211∑∞=收敛∑∞=+∴1321n n9. （比值法） 10. （比值法）解....解.12114321lim 10<=+⋅++⋅=∞→）（n n n n n 123123lim 2>=+⋅=∞→）（n n n 收敛∑∞=+∴0102)3(n nn n 收敛∑∞=⋅∴1223n n n n 11. （莱布尼茨定理） 12. （绝对收敛法）解........解.01limlim ==∞→∞→nU n n n 又 .)2()1(12绝对收敛∑∞=-∴n nnn.1)1(1收敛由莱布尼茨定理，∑∞=-∴n nn13. （绝对收敛法） 14. （绝对收敛法、比较法极限形式）解.12131312lim lim 111--⋅--=++∞→+∞→n n n n n nn n U U 解:∑∑∞=∞=+++=04)2(3n n nn n n U)12()13()133()122(lim ---•-•=∞→n n n n n114)2(3lim 21=+++∞→nn n n n 又 且 发散∑∞=0211n n132233322lim <=••••=∞→n n n n n 发散∑∞=+++-∴04)2(3)1(n nn n n 绝对收敛∑∞=---∴01312)1(n n n n15. （比较法） 16. （比较法极限形式） 解.......... 解. 收敛又n n 231∑∞=收敛又nn 311∑∞=收敛∑∞=-+∴02)1(2n nn 收敛∑∞=-∴031n n n 四. 解答题1. 求下列幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域及在收敛区间内的和函数(1)∑∞=⋅13n n nnx (2)nn x n ∑∞=+1)1( (3)∑∞=--11)1(n nn x n(1)解:1>先求收敛半径、收敛区间、收敛域31)1(3n 3lim lim 11=+••==+∞→+∞→n U U n n n nn n ρ ，收敛半径31==∴ρR ).3,3(-收敛区间为收敛；时，原级数当,)1(31∑∞=-=-=n n n x .,131发散时，原级数当∑∞===n n x )3,3(-∴原级数的收敛域为2>再求收敛区间内的和函数 （方法: 先求导, 再积分）x x x x x s n n n n n -=-•==='-∞=∞=-∑∑31311131)31(313)(1111 )3ln(31)()(0x dt tdt t s x s xx--=-='=∴⎰⎰(2)解:1>先求收敛半径、收敛区间、收敛域112lim lim1=++==∞→+∞→n n U U n nn n ρ ，收敛半径11==∴ρR ).1,1(-收敛区间为发散；时，原级数当,)1)(1(11∑∞=-+=-=n nn x .,1n 11发散）（时，原级数当∑∞=+==n x)1,1(-∴原级数的收敛域为2>再求收敛区间内的和函数 （方法: 先积分, 再求导）xx xdt t n dt t s n n n xnx-==+=+∞=∞=∑∑⎰⎰1)1()(21112220)1(21)()(x x x x x dt t s x s x--='⎥⎦⎤⎢⎣⎡-='⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∴⎰(3)解:1>先求收敛半径、收敛区间、收敛域11lim )1(1)1(lim lim11=+=-+-==∞→-∞→+∞→n n nn U U n n nn nn n ρ ，收敛半径11==∴ρR ).1,1(-收敛区间为 发散；时，原级数当,)1(11∑∞=-=-=n n x .,)1(111收敛时，原级数当∑∞=--==n n n x]1,1(-∴原级数的收敛域为2>再求收敛区间内的和函数 （方法: 先求导, 再积分） xx x xx s n n n n n +=--=-=-='-∞=∞=--∑∑11)(11)()1()(11111)1ln(11)()(00x dt tdt t s x s xx +=+='=∴⎰⎰ 2. 将 展开为 处的泰勒级数. （方法: 泰勒级数展开式定义---求函数展开式的直接法） 解：,ln )(x x f =令n n n x n x f x x fx x f x x f xx f -------=-=='''-=''=')!1()1()(,;!3)(;!2)(;)(,1)(1)(4)4(32 则nn n n f f f f f 2)!1()1()2(,;2!2)2(;21)2(,21)2(,2ln )2(1)(32--=='''-=''='=∴- 1)1()(32)2()!1()()2(!)2()2(!3)2()2(!2)2()2)(2()2()(++-++-++-'''+-''+-'+=∴n n nn x n f x n f x f x f x f f x f ξ 1)1(13322)2()!1(!)1()2(!2)!1()1()2(!32!2)2(!221)2(212ln ++---+⋅-+---++-+---⋅+=n n n n n n x n n x n n x x x ξ ∑=++---+⋅-+---+=nk n n n k k k x n n x k k 11)1(1)2()!1(!)1()2(!2)!1()1(2ln ξ ),0(x ∈ξ ∑=++---+-+-•-+=nk n n n k kk x n x k 11)1(1)2(1)1()2(21)1(2ln ξ ),0(x ∈ξ 1)1()2(1)1()(++--+-=n n n x n x R ξ余项 ),0(x ∈ξ∞→→-⋅+=-⋅+≤-⋅+=-⋅+=∴+++++++-n xx n x xn x n x n x R n n n n n n n ,02)1(12)1(12)1(121)(111111)1(ξξ∑∑∞=-=--•-+=+-•-+==∴1111)2(21)1(2ln )2(21)1(2ln )(ln k k kk nk k k k x k x k x f x3. 将 展开成( )的幂级数. （方法: 求函数展开式的间接法） 解：)1141(51)4)(1(1431)(2+--=-+=--=x x x x x x x f321115122111013213122121513)2(12)2(151-+⋅---⋅-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+----=x x x x x x ∑∑∞=∞==--=+0;11;)1(11n n n n n x x x x ∑∑∞=∞=-=-=--002)2()22(2211n n n n n x x x ； .3)2()1()32()1(321100n n n n n n n x x x --=--=-+∑∑∞=∞= .)2(3)1(21513)2()1(1512)2(101)(01100nn n n n n nn n n n n x x x x f -⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=-----=∴∑∑∑∞=++∞=∞=4. 利用间接展开法求 的麦克劳林展式. （方法: 求函数展开式的间接法） 解： x x x y 2cos 212122cos 1cos 2+=+== )!2()1(cos 20n x x nn n∑∞=-=n n n n n n nx n n x x 22020)!2(2)1()!2()2()1(2cos ⋅-=-=∴∑∑∞=∞= n n n n x n x x y 2202)!2(2)1(21212cos 2121cos ⋅-+=+==∑∞=.)!2(2)1(212120n n n n x n ⋅-+=-∞=∑。
省高数竞赛阶段练习4
高数竞赛阶段练习4 学号 姓名一、填空题1. 设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可导且在1x =处取得极值(1)1g =，则211=x y zx y==∂∂∂ ；2.设函数(,)F u v 具有连续的偏导数，且0u v F F ''>，函数()y f x =由ln ln ,0x y F x y y x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭确定，则()f x '= ； 3.设函数(,)f x y 在点(2,2)-处可微，满足(sin()2cos ,2cos )f xy x xy y +-=21x +2y + ()220x y ++，()220x y +表示比22x y +为高阶无穷小（当(,)(0,0)x y →时），则该曲面(,)z f x y =在点(2,2,(2,2))f --处的切平面方程 ；4. 设函数()2222322222,0(,)0, 0x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪⎪=+⎨⎪+=⎪⎩，则(,)f x y 在(0,0) 连续 （填连续或不连续） （填可微或不可微）；5. 设函数(,)z z x y =由222z x y z yf y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭所确定，其中f 可导且2z z f y ⎛⎫'≠ ⎪⎝⎭，则222()2z zx y z xy x y∂∂--+=∂∂ ； 6.函数442(,)()f x y x y x y =+-+的极值情况： ； 7.点(2,1,3)-到直线13122x y z-+==-的距离为 ； 8.点(1,21)A -，(5,2,3)B -在平面:223x y z ∏--=的两侧，过点,A B 作球面∑使其在平面∏上截得的圆Γ最小,则球面∑的球心坐标为 ； 9.函数(,)u x y 具有连续的二阶偏导数，算子A 定义为()u uA u x y x y ∂∂=+∂∂，则 1）(())A u A u -= ；2)利用结论1）以,yxy x为新的自变量改变方程222222220u u u xxyyx x yy 的形式为 ；10. 函数()()2,x f x y e ax b y -=+-中常数,a b 满足条件 时，()1,0f -为其极大值. 11. 点()-1,6,1关于直线412312x y z -++==-的对称点的坐标是 ； 12. 已知函数(,,)F u v w 可微，(0,0,0)1u F '=，(0,0,0)2v F '=，(0,0,0)3wF '=，函数(,)=z f x y 由222(23,4,)0-+-+=F x y z x y z xyz 确定，满足(1,2)0=f ，则(1,2)'=x f ； 13. ()224444lim sin =x y x xy y x y x y →∞→∞++++ ； 14. ()2222limsin =x y x y x xy y x xy y →∞→∞+-+-+ ； 15.设函数2(,)xyxt f x y e dt =⎰，则2(1,1)|fx y∂=∂∂4e .二、设(,)f x y 在平面区域D 上可微，线段PQ 位于D 内，点P,Q 的坐标为(,)P a b ，(,)Q x y ，求证：在线段PQ 上存在点(,)M ξη，使得(,)(,)(,)()(,)()x y f x y f a b f x a f y b ξηξη''=+-+-.三、已知函数(,)z z x y =由方程22()ln 2(1)0x y z z x y +++++=确定，求(,)z z x y =的极值.四、证明当0x ≥，0y ≥时，()2221312x y e x y +-≥+.五、已知曲面222248++=x y z 与平面220++=x y z 的交线Γ是椭圆，Γ在xOy 平面上的投影1Γ也是椭圆. (1) 求椭圆1Γ的四个顶点1234,,,A A A A 的坐标（i A 位于第i 象限，1,2,3,4=i ）；(2) 判断椭圆Γ的四个顶点在xOy 平面上的投影是否是1234,,,A A A A ，写出理由.六、已知二次锥面222430+-=x y z λ与平面0-+=x y z 的交线是一条直线L .(1) 求常数λ的值，并求直线L 的标准方程；(2) 平面∏通过直线L ，且与球面222622100+++--+=x y z x y z 相切，求平面∏方程.七、已知曲线22:324Γ++=x y xy 是xOy 平面上的椭圆.(1) 求椭圆Γ的四个顶点的坐标，并求Γ所围平面图形的面积； (2) 求椭圆Γ上纵坐标最大与最小的点的坐标.八、求函数233(,)3(2)8f x y x y x y =-+-的极值，并证明(0,0)0f =不是(,)f x y 的极值.九、已知直线1513:102x y z L -+-==，2811:211x y z L ---==-.1）证明1L 与2L 是异面直线；2）若直线L 与1L 、2L 皆垂直相交，交点分别为P 、Q ，试求点P 与Q 的坐标.3）求异面直线1L 与2L 的距离.十、已知直线1513:102x y z L -+-==，2811:211x y z L ---==-.1）若直线L 与1L 、2L 皆垂直相交，交点分别为P 、Q ，试求点P 与Q 的坐标；2）求异面直线1L 与2L 的距离.。
高等数学竞赛试题含答案
高等数学竞赛试题一、求由方程032=-+xy y x所确定的函数()x y y =在()+∞,0内的极值，并判断是极大值还是极小值. 解：对032=-+xy y x两边求导得()2230x y y y xy ''+-+=，223y xy y x-'=- 令0y '=得2yx =，代入原方程解得11,84x y ==.()()()()()2111122,,,08484232613x y x y y y y x y x yy y yx '=====''-----''=-.故当18x =时，y 取极大值14.二、设xyyx u -+=1arctan ，求x u ∂∂, 22x u ∂∂.解：()()2211111xy yy x xy xy y x xu-++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=∂∂=211x+, 22x u ∂∂=()2212x x +-三、计算曲线积分⎰+-=Lyx ydxxdy I224，其中L 是以点（1，0）为中心，R 为半径的圆周,0>R 1≠R ,取逆时针方向.解：()224,yx yy x P +-=, ()224,y x x y x Q +=, 当()()0,0,≠y x 时,()x Qyx x y y P ∂∂=+-=∂∂2222244， 当10<<R 时()D ∉0,0,由格林公式知,0=I .当1>R 时, ()D ∈0,0,作足够小的椭圆曲线⎪⎩⎪⎨⎧==θεθεsin cos 2:y x C ,θ从0到π2.当>ε充分小时,C 取逆时针方向,使D C ⊂,于是由格林公式得0422=+-⎰-+CL yx ydxxdy ， 因此⎰+-L y x ydx xdy 224⎰+-=C yx ydxxdy 224 =θεεπd ⎰202221 =π 四、设函数()x f 在()+∞,0内具有连续的导数，且满足()()()422222t dxdy y xfy x t f D+++=⎰⎰，其中D 是由222t y x =+所围成的闭区域，求当x ∈()+∞,0时()x f 的表达式.解：()()22402tf t d r f r rdr t πθ=+⎰⎰=()3404tr f r dr t π+⎰,两边对t 求导得()()3344f t t f t t π'=+，且()00f =，这是一个一阶线性微分方程，解得()()411t f t e ππ=-五、设dx x x a n n⎰=πsin ，求级数∑∞=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111n n na a 的和.解：令t n x -=π, 则()dt t t n a n n ⎰-=ππ0sin=n n a dt t n -⎰ππ0sin .sin 2n nn a t dt ππ=⎰2220sin sin 22n n t dt tdt n πππππ===⎰⎰.⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+1111111n n a a n n π.1n n k S =⎛⎫=-∑=n k =111n ⎫-⎪+⎭, =S 111n n ⎫-=⎪+⎭六、设()f x 在[)+∞,0上连续且单调增加，试证：对任意正数a ，b ，恒有()()()[]⎰⎰⎰-≥ba ba dx x f a dx x fb dx x xf 0021. 解：令()()0xF x x f t dt =⎰，则()()()0xF x f t dt xf x '=+⎰,()()()ba Fb F a F x dx '-=⎰=()()0bx a f t dt xf x dx ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()()ba xf x xf x dx ≤⎡+⎤⎣⎦⎰ =()2baxf x dx ⎰,于是()()()()()001122bba axf x dx F b F a b f x dx a f x dx ⎡⎤≥⎡-⎤=-⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰. 七、设()v u ,ϕ具有连续偏导数，由方程()bz y az x --,ϕ=0确定隐函数()y x z z ,=，求yzb x z a ∂∂+∂∂. 解：两边对x 求偏导得1210z z a b x x ϕϕ∂∂⎛⎫⎛⎫''-+-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭g g ,两边对y 求偏导得1210z z ab y y ϕϕ⎛⎫⎛⎫∂∂''-+-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭g g , 112z x a b ϕϕϕ'∂=∂''+，212z x a b ϕϕϕ'∂=∂''+, yz b x z a ∂∂+∂∂=1.八、设nn x n121112----=Λ，判别数列{}n x 的敛散性.解：定义00x =，令1k k k u x x -=-，则1nk n k u x ==∑,当2n ≥时，1n n n u x x -=-=-,()21-==+.1lim 14n n u →∞=,由1n ∞=1n n u ∞=∑收敛，从而{}n x 收敛. 九、设半径为r 的球面∑的球心在球面0∑：()22220xy z R R ++=>上，问当r 为何值时，球面∑在球面0∑内部的那部分面积最大？解：由对称性可设∑的方程为()2222xy z R r ++-=，球面∑被球面0∑所割部分的方程为zR =z x ∂=∂, z x ∂=∂,=球面∑与球面0∑的交线在xoy 平面的投影曲线方程为422224r x y r R +=-，令l =所求曲面面积为()200l DSr d πθρ==⎰⎰,=222r r r R π⎛⎫- ⎪⎝⎭.令()0S r '=得驻点43r R =,容易判断当43rR =时，球面∑在球面0∑内部的那部分面积最大. 十.计算()ds yx y x IL⎰+-+=22221，其中曲线弧L 为：x y x 222=+，0≥y . 解： 22x x y-=, (1) 221xx x y --=',ds ==， (2)将(1)、(2)代入()ds y x y x IL⎰+-+=22221得 dx x x xI 220212-=⎰ =dx x⎰-2212 =4. 十一.计算曲面积分()3322231Ix dydz y dzdx z dxdy ∑=++-⎰⎰，其中∑是曲面221y x z --=被平面0=z 所截出部分的上侧.解：记1∑为xoy 平面上被园221x y +=所围成的部分的下侧，Ω为由∑与0∑围成的空间闭区域.由高斯公式知()()13322222316x dydz y dzdx z dxdy x y z dv ∑∑Ω+++-=++⎰⎰⎰⎰⎰Ò =()221126r d dr z r rdz πθ-+⎰⎰⎰=()()122320112112r r r r dr π⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦⎰ =2π.()221332122313x y x dydz y dzdx z dxdy dxdy ∑+≤++-=--⎰⎰⎰⎰=3π23I πππ=-=-。
级数练习题精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版级 数一、 判断题1．正项级数 ∑∞=1n n u 发散，则其部分和数列趋于无穷大。
（ 对 ）2． 若1lim =∞→n nn v u ，则级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 同时收敛同时发散。
（ 错 ） 3．若级数∑∞=1n n u 收敛，则级数∑∞=12n n u 一定收敛。
（ 错 ）4．若正项级数∑∞=1n n u 收敛，则必有1lim1<+∞→nn n u u （ 错 ）1115.(1).n n n n n u u u ∞-+=-≥∑若交错级数收敛，则必有 （ 错 ）116.lim 1,.n n n n nuu u ∞+→∞=>∑若则发散 （对 ） 17.(1).n n n a ∞=-∑若级数收敛，则必为条件收敛 （ 错 ）二、选择题：1．设幂级数∑∞=-1)1(n nn x a 在 x = -1 处条件收敛，则级数∑∞=1n n a ____A_____.A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 发散D. 收敛性不能确定2．设级数∑∞=1n n a 条件收敛，那么级数∑∞=+12n nn a a ____C____.A. 必定条件收敛B. 必定绝对收敛C. 必定发散D. 敛散性不能确定111122113..()..(||||).().n n n n nn n nn n nn n n n n u v A uv B u v C uv D uv ∞∞==∞∞==∞∞==+++∑∑∑∑∑∑若与都发散，则___C____.发散必发散必发散必发散4．设级数1n n a ∞=∑绝对收敛，则11(1)n n n a n ∞=+∑ （ D ）.A ．发散B ．条件收敛C ．敛散性不能判定D ．绝对收敛115.(0)lim,..1.1.1.1n n n n n na a a r a A r B r C r D r ∞+→∞=>=>≥<≤∑若收敛，且存在则__D___6．设幂函数∑=-nn nn x a 1)12(在x=2处收敛，则级数∑∞=-1)2(n n n a ____A____A 绝对收敛B 条件收敛C 发散D 收敛性不能确定7．设级数∑∞=12n n u 收敛，则∑∞=-1)1(n nnnu （ C ） A ．发散 B ．条件收敛 C ．绝对收敛 D ． 敛散性不能判定（2211(1)2n n nn n u u u n n +-=⋅≤） 三、填空题：1. 级数 n 1(1)2nnx n ∞=-⋅∑ 的收敛半径为___2___，收敛域为__[-1,3）__.2．部分和数列}{n s 有界是正项级数∑∞=1n n u 收敛的__充要_条件，是任意项级数∑∞=1n nu 收敛的__必要__条件。
高数竞赛7 级数PPT课件
1 常数项级数的概念和性质 2 常数项级数审敛法 3 幂级数 4 函数展开成幂级数 5 函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质
6 傅立叶级数 7 一般周期函数的傅立叶级数
.
1
级数收敛的概念
定义 如果级数 u n 的部分和数列 { s n } 有极限，即
n1
lnimsn
s 则称无穷级数
u n 收敛，这时极限
n1
s
叫做这级数的和；如果 u n没有极限，则称 n1
无穷级数 u n 发散。 n1
.
2
二、收敛级数的基本性质
性质1
如果级数
n1
un
收敛于和
S
，则级数 n1
ku
n也
敛， 且其和为 ks。
性质2 如果级数 u 、n v n分别收敛于 s和 t则
n1
n1
级数 (kun mvn ) 也收敛， 且其和为 k s m t .
性质5 （级数收敛的必要条件）
如果级数 u n 收敛，则它的一般项趋于
零，即 n 1
lnimun 0
.
4
数项级数审敛法基本思想
• Sn单调有界 • 夹逼定理
.
5
2 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法 二、一般项级数及其审敛法
.
6
一、正项级数审敛法
正项级数概念 各项都是正数或零的级数称为正项级数。 定理1 正项级数收敛的充分必要条件是：它的部分和数列
.
16
但是交错级数
un
n1
n1
(n2
(1)n 3n2)x
是莱布尼茨型级数，收敛，因此原级数条件收敛
所以，原级数
(整理)高等数学竞赛练习题(含答案)
高等数学竞赛练习题1、单项选择题(1)已知()f x 在区间(,)-∞+∞上单调递减，则2(4)f x +的单调递减区间是( C ) A ．()+∞∞-, B ．()0,∞- C ．[)+∞,0 D ．不存在(2)设函数(),0,x a x f x x ⎧=⎨⎩是有理数是无理数,10<<a ，则 ( B )A ．当+∞→x 时，()x f 是无穷大B ．当+∞→x 时，()x f 是无穷小C ．当-∞→x 时，()x f 是无穷大D ．当-∞→x 时，()x f 是无穷小 (3)设函数()x f 与()x g 在0x 处都没有导数，则()()()x g x f x F +=和()()()x g x f x G -=在0x 处 ( D )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．至少一个有导数D ．至多一个有导数(4) 若ln x 是()f x 的一个原函数，则()f x 的另一个原函数是（ A ）A. ln axB. 1ln ax aC. ln x a +D. 21(ln )2x(5) 设()f x 连续，则[]sin ()()aa x f x f x dx -+-⎰等于 ( A )A.0B.aC.a -D. 2a（6） 下列命题中正确的命题有几个？ （ A ）（1）无界变量必为无穷大量； (2) 有限多个无穷大量之和仍为无穷大量； （3）无穷大量必为无界变量； (4) 无穷大量与有界变量之积仍为无穷大量. (A) 1个； (B) 2个； (C) 3个； (D) 4个. （7）. 设1, 0()0, 0x f x x ≠⎧=⎨=⎩，1sin , 0() 1 , 0x x g x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 则0x =是间断点的函数是 （ B ）(A) ()()f x g x +； (B) ()()f x g x -； (C) {}max (), ()f x g x ； (D) {}min (), ()f x g x .. （8） 设ξ为()arctan f x x =在[ 0, ]b 上应用拉格朗日中值定理的“中值”，则 22lim b b ξ→=（ C ）(A) 1； (B) 12； (C) 13； (D) 14.（9） 设() , ()f x g x 连续，当0→x 时，()f x 与()g x 为等价无穷小，令0()()xF x f x t dt =-⎰，10() () G x x g xt dt =⎰, 则当0→x 时，() ()F x G x 是的 （ D ）(A) 高阶无穷小； (B) 低阶无穷小； (C) 同阶无穷小但非等价无穷小； (D) 等价无穷小.（10） 设),(y x f 在点)0,0(的某邻域内连续，且满足 220(,)(0,0)lim31sin cos x y f x y f x x y y→→-=-+--，则),(y x f 在点)0,0(处 （ A ）(A) 取极大值；(B) 取极小值； (C) 无极值； (D) 不能确定是否有极值. （11）设f 有连续的一阶导数，则 (1,2)(0,0)()d ()d f x y x f x y y +++=⎰（ B ）(A) 102() d f x x⎰； (B) 3() d f x x ⎰； (C) (3)(0)f f -； (D) 0 .（12） 设任意项级数 1n n a ∞=∑条件收敛，将其中的正项保留负项改为0所组成的级数记为1n n b ∞=∑, 将其中的负项保留正项改为0所组成的级数记为1n n c ∞=∑，则1nn b ∞=∑与1n n c ∞=∑（ B ）(A) 两者都收敛； (B) 两者都发散； (C)一个收敛一个发散； (D) 以上三种情况都可能发生.（13）设0()f x '存在，则下列四个极限中等于0()f x '的是（ B ） （A ）000()()lim x f x x f x x →--； （B ）000()()lim h f x f x h h→--；（C ）000()()limx x f x f x x x →--； （D ）000()()lim h f x h f x h h→+--.（14）0()0f x ''=是曲线()y f x =有拐点00(,())x f x 的（ D ）（A ）充分而非必要条件； （B ）必要而非充分条件；（C ）充分必要条件； （D ）既非充分又非必要条件.（15）设2222{(,,),0},0x y z x y z R z a Ω=++≤≥≠，则I axdV Ω==⎰⎰⎰（ C ）( A )0I >； ( B )0I <； ( C )0I =； ( D ) I 的符号与a 有关.2、求极限201sin lim ln x xx x →答案： 22001sin 1sin limln lim ln 1(1)x x x x x x x x →→⎛⎫=+- ⎪⎝⎭32000sin cos 1sin 1limlim lim 366x x x x x x x x x x →→→--===-=-3、设220()()()xF x x t f t dt '=-⎰，若0x →时，()F x '与2x 为等价无穷小，求(0)f '答案：220()()()x xF x x f t dt t f t dt ''=-⎰⎰，220()2()()()2()x xF x x f t dt x f x x f x x f t dt '''''=+-=⎰⎰，由020002()()1limlim lim 2()2(0)xx x x f t dtF x f x f xx→→→''''====⎰，解得1(0)2f '=4、求220081(tan )dxx π+⎰ 答案：令2x t π=-，则2200801tan dx x π+⎰2008022008200802tan 1cot 1tan dt tdt t tππ-==++⎰⎰22200820080021tan 21tan dt dx t xππππ=-=-++⎰⎰所以220081tan 4dx x ππ=+⎰ 5、设函数()()10f x t t x dt =-⎰，01x <<，求()f x 的极值和单调区间. 答案： 11220()()()()()xxxxf x t x t dt t t x dt tx t dt t tx dt =-+-=-+-⎰⎰⎰⎰31323x x =-+ 21()2f x x '=-,令()0f x '=，得2x =.由()20(01)f x x x ''=><<知1263f =-+为极小值，由21()2f x x '=-知，()f x 的单调减区间是(0,)2，单调增区间是,1)26、说明级数nn ∞=的敛散性(1)(1)](1)1(1)11111n n n n n n n ----===----，而交错级数2(1)1nn ∞=-∑收敛，调和级数211n n ∞=-∑发散，故原级数发散 7、已知20()()8f x f x dx '=⎰，且(0)0f =，求2()f x dx ⎰及()f x答案：已知2()f x dx ⎰为一常数，由28()()f x f x dx'=⎰，积分得28()()f x x f x dx=⎰， 再积分得2()4f x dx =±⎰，所以()2f x x =±8、求内接于椭圆12222=+by a x ，而面积最大的矩形的边长答案：设内接矩形的边长分别为2,2u v ，则顶点(,)u v 在椭圆上，所以22221u v a b +=，矩形面积()44S u uv u u a ==<<，222()S u '==，令()0S u '=，得唯一驻点u =，从而v =，由实际问题知，当u =时，有最大面积2S ab =，这时矩形边长分别为a 29、设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且1233()(0)f x dx f =⎰，求证在(0,1)内至少存在一点c ，使()0f c '=答案：由定积分中值定理得1232(0)3()3()(1)()3f f x dx f f ξξ==-=⎰，其中213ξ≤≤， 在[0,]ξ上应用罗尔定理，至少存在一点(0,)(0,1)c ξ∈⊂，使()0f c '=10、设{}n a 是单调不减的数列，令12nn a a a b n+++=，若lim n n b a →∞=，试证lim n n a a →∞=.若去掉“单调不减”这个条件，试问这个结论是否成立？（要求说明理由）证：因对任意1,n n n a a +≤，故12nnn n a a a na b a nn+++=≤=.（夹逼） 固定n ，并令m n >，则1111nkn mk m k k n k k n a m n b a a a m m m ===+-⎛⎫=+≥+ ⎪⎝⎭∑∑∑ 令m →∞，得lim m n m a b a →∞=≥，从而n n a a b ≥≥，令n →∞，得lim n n a a →∞=若去掉“单调不减”这个条件，则结论不一定成立.例如，取1(1),1,2,n n a n -=-=，则12lim lim 0nn n n a a a b n →∞→∞+++==，但数列{}n a 发散.11、设在[0,](0)a a >上|()|f x M ''≤，且()f x 在(0,)a 内取得最大值，试证|(0)||()|f f a Ma''+≤ 证：因()f x 在(0,)a 内取得最大值，由费马定理得存在(0,)b a ∈使()0f b '=.对()f x '使用拉格朗日中值定理得， 111(0)()()(),(0,)f f b f b bf b ξξξ''''''=-=-∈222()()()()()(),(,)f a f b f a b a b f b a ξξξ''''''=+-=-∈从而(0)()()f f a Mb M a b Ma ''+≤+-=.12、设()f x 在[0,]n 上连续（n 为自然数，2n ≥），(0)()f f n =，试证存在,1[0,]n ξξ+∈，使()(1)f f ξξ=+证：令()(1)()g x f x f x =+-，则()g x 在[0,1]n -上连续 令[0,1][0,1]min (),max ()x n x n m g x M g x ∈-∈-==，则11(),0,1,2,,1,()n i m g i M i n m g i M n -=≤≤=-≤≤∑，10()()(0)0n i g i f n f -==-=∑，对函数()g x 应用介值定理得，存在[0,1]n ξ∈-，使11()()0n i g g i n ξ-===∑，即存在,1[0,]n ξξ+∈，使()(1)f f ξξ=+.13、设函数()f x 在[,]a b 上可积，且()0baf x dx >⎰，试证存在区间[,][,]a b αβ⊂使()0,[,]f x x αβ>∈.证：反证法. 若不然，则对于[,]a b 的任何子区间[,]αβ上都有点ξ，使()0f ξ≤，从而对于[,]a b 的任何分划T ：012n a x x x x b =<<<<=，在每个子区间1[,]i i x x -上都有点i ξ，使()0i f ξ≤.那么由()f x 在[,]a b 上的可积性知，max 01()lim()0i nbiiax i f x dx f xξ∆→==∆≤∑⎰，矛盾.14、设()f x 在点0x =二阶可导，且0()lim 11cos x f x x→=-，求(0),(0)f f '和(0)f ''的值解：0()lim11cos x f x x →=- 0(0)lim ()0x f f x →∴==又00()()1lim lim1cos sin x x f x f x x x →→'==- 0(0)lim ()0x f f x →''∴== 000()(0)()()sin (0)lim lim lim .10sin x x x f x f f x f x xf x x x x→→→''''-''====-15、设(,)()z f x y x y g x ky =-+++，,f g 具有二阶连续偏导数，且0g ''≠，如果222222224z z z f x x y y∂∂∂''++=∂∂∂∂，求常数k 的值 解：设,,x y u x y x ky w ν-=+=+=，则1212,z zf fg f f kg x y ∂∂''''''=++=-++∂∂ 2111221222zf f f fg x∂''''''''''=++++∂ 211122122zf f f f kg x y∂''''''''''=-+-++∂∂ 22111221222zf f f f kg y∂''''''''''=--++∂ ∴由222222224z z zf x x y y∂∂∂''++=∂∂∂∂得2(1)0k g ''+=，故1k =-.16、设()f x 在[0,1]上可积，证明22()()01f x f y x y e dxdy π-≤+≤≥⎰⎰证： 2112!xe e x x x ξ=++≥+ ()()1()()f x f y e f x f y -∴≥+-[]2222()()01011()()f x f y x y x y e dxdy f x f y dxdy -≤+≤≤+≤≥+-⎰⎰⎰⎰ 22220101()()x y x y f x dxdy f y dxdy ππ≤+≤≤+≤=+-=⎰⎰⎰⎰17、设函数()f x 在(,)-∞+∞内具有一阶连续导数，L 是上半平面(0)y >内的有向分段光滑曲线，起点为(,)a b ，终点为(,)c d ，令21[()][()]L xI yf xy dx xf xy dy y y=++-⎰.要求：（1）证明曲线积分I 与路径L 无关；（2）当ab cd =时，求I 的值. 证明(1) 因为211[()]()()yf xy f xy xyf xy y y y ∂'+=-+∂2[()]xxf xy x y∂=-∂在上半平面内处处成立，所以曲线积分I 与上半平面内路径L 无关.解(2) 由于曲线积分I 与路径无关，所以可取积分路径L 为由点(,)a b 到点(,)c b ，再到点(,)c d 的折线段，从而 2221[1()][()1]cd ab c I b f bx dx y f cy dyby =++-⎰⎰()()c d a b c a c cbf bx dx cf cy dy b d b -=+++-⎰⎰()()bc cd ab bc c a f t dt f t dt d b =-++⎰⎰ ()cd abc af t dt d b =-+⎰所以，当ab cd =时，c aI d b=-.18、设()f x 在区间(,)-∞+∞连续，01()() d (>0), ()() d 2x ax x aF x f t t aG x f t t a +-==⎰⎰, 试求下列问题：（1）用()G x 表示()F x ；（2）求()F x '；（3）求证：0lim()()a F x f x →==； （4）设()f x 在[],x a x a -+内的最大值和最小值分别是M m、,求证：()()F x f x M m -≤-.解（1）00111()()[()()][()()]222x a x a x a x a F x f t dt f t dt f t dt G x a G x a a a a ++--==-=+--⎰⎰⎰ （2）11()['()'()][()()]22F x G x a G x a f x a f x a a a'=+--=+--（3）000()()[()()][()()]lim ()lim lim22a a a G x a G x a G x a G x G x G x a F x a a→→→+--+-+--== 1['()'()]'()()2G x G x G x f x =+== （4）11|()()||()()||[()()]()()|22x a x a F x f x f t dt f x x a x a f f x a aξ+--=-=+---⎰|()()|()f f x M m x a x a ξξ=-≤--≤≤+19、求曲线 ln ln 1x y += 所围成的平面图形的面积.[解1]去掉绝对值曲线为：,11,1,101,0111,0101xy e x y y x x y e y ex x y xy x y e =≥≥⎧⎪⎪=≥<<⎪⎨=<<≥⎪⎪=<<<<⎪⎩且且且且11111()()e ee x A ex dx dx e ex x e e =-+-=-⎰⎰ [解2]令ln ,ln ,,,:||||1,uv x u y v x e y e D u v '====+≤则00uuv u v v uv x x e J e e y y e===⋅. ||DD dxdy J dudv '==⎰⎰⎰⎰u vD e e dudv '⋅=⎰⎰01111111u uu v u v u u e du e dv e du e dv e e+-----+=-⎰⎰⎰⎰. 20、设曲面S 为曲线 e 0yz x ⎧=⎨=⎩ (12y ≤≤) 绕z 轴旋转一周所成曲面的下侧，计算曲面积分 24 d d 2 d d (1) d d SI zx y z z z x z x y =-+-⎰⎰[解1]S的方程为22(14)z x y =≤+≤补两平面2222212:(1,):(4,)S z e x y S z e x y =+≤=+≤下侧上侧122S S S VzdV ++=⎰⎰⎰⎰⎰2()2e eD z zdz d σ=⎰⎰⎰224252ln 22e ez zdz e e πππ==-⎰1222242(1)(1)(1)(1)xyS D zxdydz zdzdx zdxdy e dxdy e e ππ-+-=--=--⋅=-⎰⎰⎰⎰；2121244225(1)4(1);(1)4(1)22xyS D S S S S S e dxdy e I e e e e πππππ44++=-=-=--=-----⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 42332e e πππ13=--2 [解2]2(4,2,1)(,,1)x y DI zx z z z z dxdy =--⋅-⎰⎰222220142221(4cos 2sin 1)(41)1333(:14)22DD r edxdy dxdyd e r rdr e e D x y πθθθππππ⎡⎤⎥=+-⎥⎦=-+--=--≤+≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰21、设幂级数 0n n n a x ∞=∑, 当1n >时2 (1) n n a n n a -=-，且014, 1a a ==; （1）求幂级数0n n n a x ∞=∑的和函数()S x ；（2）求和函数()S x 的极值..解（1）令101(),()nn n n n n S x a x S x na x ∞∞-=='==∑∑则22222()(1)()n n n n n n n n n S x n n a xa xa x S x ∞∞∞---===''=-===∑∑∑，()()0S x S x ''-=1201()(0)4,(0)1x x S x c e c e S a S a -'=+====由，求得125353,,()2222x x c c S x e e -===+（2）由000531313()0ln ,()0,()(ln )222525x x S x e e x S x S x S -'''=-==>∴=得又为极小值22、设函数),(y x f 可微，(,), 0,12ff x y f x π∂⎛⎫=-= ⎪∂⎝⎭,且满足()c o t y 1 ( 0, )lim e 0,nn f y n f y →∞⎛⎫+ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭求 (,)f x y .解 1(0,)(0,)lim1(0,)11(0,)(0,)(0,)lim lim 1(0,)(0,)n n nf y f y n f y nn n f y f y f y n n e f y f y →∞+-→∞→∞⎡⎤⎡⎤++-⎢⎥⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(0,)(0,)y f y f y e = (0,)ln (0,)cot (0,)y f y d f y y f y dy==，对y 积分得ln (0,)lnsin ln (0,)sin f y y c f y c y =+= 代入(0,)112f c π==得，(0,)sin ff y y f x∂==-∂又已知(,)()x f x y c y e -⇒=，(0,)sin f y y =，()sin (,)sin .x c y y f x y e y -∴==故23、如图所示，设河宽为a ，一条船从岸边一点O 出发驶向对岸，船头总是指向对岸与点O 相对的一点B 。
数学竞赛辅导-级数题型
S(0) 1 2
S(x)
n1
2n 2
n
1
x
2
n
2
(
n1
x 2n1 2n
)
(1 x
n1
x 2n 2n
)
(1 x
(
n1
x2 2
)n )
1
x2 2
(
x
) 2 x 2
x
x2 2 x2 (2 x2 )2
1
2
2 x2
S(x)
, x ( 2, 2)
(2 x2 )2
(3)
n0
1
1
1
1 x4n
4 1 x 1 x 2(1 x 2 )
1 x4
n1
f (x)
x
f ( x)dx f (0)
x
(
x 4n )dx
x 4n1 , x (1,1)
0
0 n1
n1 4n 1
(2) f ( x) ln[(1 x)(1 2x)] ln(1 x) ln(1 2x)
n n 2n2
n2
1
11
11
ln(1 ) o( ) ~
n
n 2n2
n2 2n2
1 收 敛 ， 故 原 级 数 收 敛
n1 2n2
(法2) x ln(1 x) x,( x 0) 1 x
1
0
1 ln(1 n
1) n
1 n n 1 1
1 n
1 n1
1 n(n 1)
1 n2
n
1 收 敛 ， 故 原 级 数 收 敛
n2 1 2 n n! x
n
n2 1x n n2 1 ( x )n
大学高等数学竞赛训练级数
大学,高等数学,竞赛训练,级数
大学生数学竞赛训练四—级数一、（20分）设1）证明：
2）计算证明：1）设，因为所以，当时，为常数，即有（注意这里利用了极限）
2）。
二、（15分）设在点的一个邻域内有连续导数，且。
证明：级数收敛，但级数发散。
证明：因为，由连续性可得，由导数的连续性可得存在的一个邻域内，这就说明当充分大时，数列是递减的，并且，由莱布尼茨判别法可得，级数收敛；
由单调增可得，级数是正项级数，对函数在区间运用拉格朗日中值定理，存在有当充分大时有，因为级数发散，由比较判别法，级数发散。
三、（15分）求级数的和。
解：因为所以。
四、（15分）设是以为周期的连续函数，是的傅里叶系数，证明贝塞尔不等式证明：因为，
设，则有以上利用了是正交系，所以五、（20分）已知，求与轴所围成图形的面积。
解：
简单计算可得仅有两个解，并且当时，，所以所求面积为六、（15分）判断级数的敛散性。
解：因为由比较判别法可得，级数收敛，再用比较判别法可得级数收敛。
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大学生数学竞赛训练四—级数
一、（20分）设()2
101n
n x f x x n
∞
==≤≤∑
1）证明：()()()()2
1ln ln 1016
f x f x x x x π+-+-=≤≤
2）计算1
011ln 2dx x x
-⎰
证明：1）设()()()()1ln ln 1F x f x f x x x =+-+-，因为
()()()1
111
1ln 1ln 1n n n n x x x x
F x n n x
x
--∞
∞==--'=-+
-
-∑
∑ ()()
()()()
()1
11
1
111ln 111
ln 11n
n n n
n n x x x x
x n x n
x
x
--∞
∞
==-------=
+
+
-
--∑∑ ()()ln 1ln 1ln ln 0,0111x x x x
x x x x x
--=-
+
+-=<<--
所以，当01x ≤≤时，()F x 为常数，即有
()()()2
21
1116n F x F f n π∞
=====∑
（注意这里利用了极限()()()211112
1ln 1ln 1lim ln ln 1lim lim lim 0111
1ln ln x x x x x x x x x x x x x ----→→→→-
---====--
）
2）()()1110222ln 2ln 1ln 2112ln 12t x t t dx dt dt x x t t =-⎛⎫⎛
⎫+- ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪=--=- ⎪ ⎪⎝⎭
⎰⎰⎰ ()
1
11
12
22
22221
11111112ln 2ln 2ln 222n
n n n n n n n n t t dt dt t n n n n
--∞∞∞∞====⎛⎫
-- ⎪⎝⎭=-+=--=--+∑∑∑∑⎰⎰ 2
2
2
211ln 2ln 262122
f ππ
⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭。
二、（15分）设()f x 在点0x =的一个邻域内有连续导数，且()0
lim
0x f x a x
→=>。
证明：级
数()
1
11n
n f n ∞
=⎛⎫
- ⎪⎝⎭∑收敛，但级数11n f n ∞
=⎛⎫
⎪⎝⎭
∑发散。
证明：因为()()0
lim lim
0x x f x f x x x
→→==，
由连续性可得()()()()0
000,0lim 0
x f x f f f a x →-'===-，
由导数的连续性可得存在0x =的一个邻域内()0f x k '>>，这就说明当n 充分大时，数列
1f n ⎧⎫
⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭是递减的，并且1lim 0n f n →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭，由莱布尼茨判别法可得，级数()1
11n n f n ∞
=⎛⎫
- ⎪⎝⎭∑收敛； 由()()0,f f x 单调增可得，级数11n f n ∞
=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑是正项级数，对函数()f x 在区间10,n ⎡
⎤⎢⎥⎣⎦运用拉
格朗日中值定理，存在10,n ξ⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭有
()()110f f f f n n n ξ'⎛⎫⎛⎫
=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
当n 充分大时有1k
f n n ⎛⎫> ⎪⎝⎭，因为级数1n k n
∞=∑发散，由比较判别法，级数11n f n ∞
=⎛⎫
⎪⎝⎭
∑
发散。
三、（15分）求级数()()()
121
123n n n n n ∞
=++++∑
的和。
解：因为()()()()()()()
15
21221231223n n n n n n n n -
+=+
+++++++ 111511212223n n n n ⎛⎫⎛⎫
=--+- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭
所以(
)()()12111517
123222312n n n n n ∞
=+=-⨯+⨯=+++∑。
四、（15分）设()f x 是以2π为周期的连续函数，0,,,1,2,n n a a b n =是()f x 的傅里叶
系数，证明贝塞尔不等式
()()22
22
011
2n n n a f x dx a b π
π
π
∞
-
=≥++∑⎰
证明：因为()()01cos sin 2n n n a f x a nx b nx ∞==
++∑，设()01
cos sin 2n k k k a S a kx b kx ∞
==++∑，则有 ()()()()()()()2
22
1
1
1
1
02
n n n
f x S x dx f x dx f x S x dx S x dx π
π
π
π
π
π
π
πππππ
-
-
-
-
≤
-=
-+
⎰⎰⎰⎰
()()()22
2
222
200
111
22n
n k
k
k k k k a f x dx a a b a b π
π
π
-
===
--++++∑∑⎰
以上利用了1,cos ,sin ,,cos ,sin ,x x nx nx 是正交系，所以
()()22
2
2011
2n k k k a f x dx a b π
π
π
-
=≥++∑⎰()()()222
2222
00111
lim 22n k k n n n k n a a f x dx a b a b π
π
π
∞
-
→∞==⎡⎤≥++=++⎢⎥⎣⎦∑∑⎰ 五、（20分）已知()20
3!n
n n n f x x n ∞
=+-=∑，求()f x 与x 轴所围成图形的面积。
解：()()()()200210123323!!2!1!!
n n n n
n n n n n n n n n n n x f x x x x x n n n n n ∞
∞∞∞∞
=====-+-+--===++--∑∑∑∑∑ ()
223x x x e =+-
简单计算可得()0f x =仅有两个解3,1x x =-=，并且当31x -<<时，()0f x <，所以所求面积为
()1
1
223
3
3
6
2332x x x
S x x e dx x e e e e --⎡⎤=-+-=-+=+
⎣⎦⎰ 六、（15
分）判断级数1n ∞
=⎛∑的敛散性。
2
21111ln 1ο⎛⎫⎛⎫
-++ ⎪ ⎪==
ο=<+
由比较判别法可得，级
数
n ο∞
=+收敛，再用比较判别法可得级
数1n ∞
=⎛∑收敛。