基于边缘的图像分割
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x2 y 2 2 2
有关于上述公式的函数有：高斯函数 G( x, y) e f(x,y)
2 y
平滑后的图像 fs(x,y)=G(x,y) 梯度幅度 M ( x, y )
g g
2 x
gy 梯度方向 ( x, y) arctan gx
（6）坎尼边缘检测器
举例： 非最大抑制方案 在3*3的区域内，对于一个通过该区域中心点的边缘，我们定义四个
作用： M(x,y) 在局部最大值周围通常包含更宽的范围，非最大抑制方 化为四个方向，所以，定义了一个方向范围： 案的目的就是细化边缘。该方法的本质就是指定边缘法线的许多离散 方向（梯度向量）。
方向：水平，垂直，+45，-45。我们需要把所有可能的边缘方向量
（6）坎尼边缘检测器
坎尼边缘检测器是迄今为止讨论过的边缘检测器中最为优秀的。 坎尼方法基于三个基本目标：
（1）低错误率
（2）边缘点应被很好地地位，已定位边缘必须尽可能没有伪响应 （3）单一的边缘点响应，对于真实边缘点，检测器仅应返回一个点
坎尼的工作的本质是从数学上表达了上面的三个准则，并试图找到这 些表达式的解。
Marr-Hidreth算法由LOG滤波器与一幅图像f(x,y)卷积组成，即
g ( x, y) 2G( x, y)
2 G( x, y)
f ( x, y) f ( x, y)
上述公式指出，我们可以先使用一个高斯滤波器平滑图像，然后计算 该结果的拉普拉斯。
（6）Marr-Hidreth边缘检测器
（4）用双阈值处理和链接分析来检测并连接边缘
（5）为得到1个像素的边缘，用一遍边缘细化算法
（6）坎尼边缘检测器
对比
算法流程： （1）使用一个n*n的高斯低通滤波器对输入 图像进行滤波 （2）对第一步得到的图像的计算拉普拉斯 （3）找到步骤二所得图像的零交叉
作为经验法则，一个大小为n*n的LoG离散滤波器，其n值应是大于等 于6σ的最小奇整数。
x2 y 2
G( x, y) e
2 2
Marr-Hidreth 边缘检测器
（6）坎尼边缘检测器
下一步：对gN(x,y)进行阈值处理，以便减少伪边缘点
之前的讨论方法使用单阈值进行阈值处理，低于阈值的值都置零。缺 点：如果阈值过低，则会存在一些伪边缘，如果阈值设得过高，则会 删除实际上有效的边缘点。 坎尼算法通过使用滞后阈值，使用两个阈值，一个低阈值TL和一个高 阈值TH，其中高阈值和低阈值的比率应为2：1或3：1。 具体步骤：创建两幅附加图像 g NH ( x, y) g N TH
g NL ( x, y) g N TL
开始是两幅图像都置零，阈值处理后gNH(x,y)的非零像素比gNL(x,y)少
g NL ( x, y) g NL ( x, y) g NH ( x, y)
上式，从gNL(x,y)中删除所有来自gNH(x,y)的非零像素。其中gNH(x,y)中 非零像素称为强像素边缘，gNL(x,y)中成为弱像素边缘
算法步骤：
（1）寻找最接近α(x,y)的方向dk（d1，d2，d3，d4表示四个基本方向）
（2）如果M(x,y)的值至少小于沿dk的两个邻居之一，则令gN(x,y)=0（抑 制）；否则，另gN(x,y)= M(x,y)，gN(x,y)是非最大抑制后的图像。 图 像gN(x,y)仅包含细化后的边缘，它等于抑制了非最大边缘点的M(x,y)。
基于边缘的图像分割
图像分割
分割将图像细分为构成它的子区域或物体，细分的程度取决于要解决 的问题，也就是说，在应用中，当感兴趣的物体或区域已经能够被检 测出来时，就可以停止分割。
异常图像的分割是图像处理中最困难的任务之一。
多数分割算法均基于灰度值的两个基本性质之一：不连续性和相似性。 基于图像边缘的分割
坎尼边缘检测器
（1）背景知识
灰度突变可以用微分来表示。 一阶导数：（1）恒定灰度区域必须为零 （2）在灰度台阶或斜坡开始处必须不为零 （3）沿灰度斜坡点处也必须不为零 f f ( x) f ( x 1) f ( x) x
二阶导数：（1）在恒定灰度区域必须为零 （2）在灰度台阶或斜坡的开始处和结束处必须不为零 （3）沿灰度斜坡必须为零
（3）如果gNH(x,y)中所有的非零像素都被访问，则（4），否则（1）
（4）将gNL(x,y)中未标记为有效边缘像素的所有像素置零
最后形成了最终的输出图像 实际中，滞后阈值处理可以在非最大抑制期间直接执行。
（6）坎尼边缘检测器
坎尼边缘检测算法的基本步骤： （1）用一个高斯滤波器平滑输入图像 （2）计算梯度幅度值图像M(x,y)和角度图像α(x,y) （3）对梯度图像应用非最大抑制
gy 梯度向量方向表示为 ( x, y) arctan gx
（5）基本边缘检测
梯度算子
Sobel模板能较好的平滑噪声
（5）基本边缘检测--Prewitt模板、Roberts模板
（5）基本边缘检测--Sobel模板
（6）Marr-Hidreth边缘检测器
Marr-Hildreth边缘检测器
（1）对图像中的每条边缘，二阶导数生成两个值（不希望的特点） （ 二阶导数的符号可用于确定一个边缘像素位于边缘的亮侧还是暗侧 2）二阶导数的零交叉点可用于定位粗边缘的中点
（4）边缘模型
有噪声边缘的一阶导数和二阶导数的性质 执行边缘检测的三 个步骤：
无噪声图像
一阶导数 二阶导数
1、降噪对图像进 0.1个灰度级 行平滑处理 的随机高斯噪 2、边缘点的检测 （局部操作，提取 1.0个灰度级 边缘点的候选者） 的随机高斯噪 3、边缘定位（从 候选边缘点中选择 10.0个灰度级 组成边缘点集合中 的随机高斯噪 声污染的图像 的真是成员）
滤波器2G 二维高斯函数 拉普拉斯算子
二维高斯函数： G( x, y) e
x2 y 2 2 2
2 2 高斯拉普拉斯： 2G ( x, y ) G ( x, y ) G ( x, y ) 2 2
x ......
2
y
x y 2 e 4
斜坡模型
不存在一条细的轨 轨。一个边缘点现 在是斜坡中包含的 任何点
屋顶模型
宽度由该线的宽度 和尖锐度决定。穿 过图像中一定区域 的一条线
（4）边缘模型
边缘模型应用到图像中：
台阶模型
斜坡模型
屋顶模型
（4）边缘模型
零交叉点：零灰度轴和二阶导数极值间的连线的交点
结论：
一阶导数的幅度可用于检测图像中的某个点处是否存在边缘 二阶导数的附加性质：
每个像素都必须在一 个区域内 一个区域内的点以某
i
R
些预定义的方式来连 接（4连接或8连接）
(b) Ri是一个连通集， i 1,2,...,n 各个区域必须是不相交的 分割后的区域中的像素
必须满足的属性 (c) Ri R j ，对于所有的 i和j，i j
(d ) Q( Ri ) TURE，i 1,2,...,n (e) Q( Ri R j ) FALSE，对于任何Ri 和R j的邻接区域
（6）坎尼边缘检测器
阈值处理之后， gNH(x,y)中的所有的强像素均被假设为边缘像素，并 被标记，通常情况下，gNH(x,y)中的边缘会有缝隙，弥合步骤如下：
（1）在gNH(x,y)中定位下一个未被访问的边缘像素P
（2）在gNL(x,y)中将所有的弱像素标记为有效边缘像素，用8连通的方 式连接到P
声污染的图像 声污染的图像
（ຫໍສະໝຸດ Baidu）基本边缘检测
图像梯度及其性质
梯度定义
f g x x f grad( f ) f g y y
向量
该向量指出了f在位置(x,y)处的最大变化率的方向
2 2 向量f 的大小表示为 M ( x, y) m ag(f ) g x gy
方法：使用滤波器
w1 w4 w7 w2 w5 w8 w3 w6 w9
R w1 z1 w2 z2 ... w9 z9 wk zk
k 1
9
（2）孤立点的检测
点的检测以二阶导数为基础——拉普拉斯算子
2 f 2 f f ( x, y ) 2 2 x y
2
2 f f ( x 1, y ) f ( x 1, y ) 2 f ( x, y ) 2 x 2 f f ( x, y 1) f ( x, y 1) 2 f ( x, y ) 2 y 应用到像素中： 2 f ( x, y ) f ( x 1, y ) f ( x 1, y ) f ( x, y 1) f ( x, y 1) 4 f ( x, y )
不连续性：以灰度突变为基础分割一幅图像
相似性：根据一组预定义的准则将一幅图像分割为相似的区域
阈值处理 区域生长 区域分裂 区域聚合
基础知识
令R表示一幅图像占据的整个空间区域，我们可以将图像分割是为把 分割必须是完全的， R分成n个子区域R1， R2，...，Rn的过程，满足：
(a)
R
i 1
n
（3）线检测
同样也是使用拉普拉斯算子，使用下面的模板，改模板的响应与方向 无关。具有各向同性。
如果我们的兴趣在于检测特定方向的线可以使用下面的模板：
（4）边缘模型
边缘检测是基于灰度突变来分割图像的最常用地方法。 边缘模型由以下三种：
台阶模型
在一个像素的距离 上发生两个灰度级 间理想的过渡，是 清晰、理想的模型
2 2
x2 y2 2 2
（6）Marr-Hidreth边缘检测器
LoG函数有时也称为墨西哥草帽算子
图像式的Log图
LoG三维图
零交叉的 三维图的 横截面 5*5的模板的近似
（6）Marr-Hidreth边缘检测器
选择该算子的两个基本原因： （1）算子的高斯部分会模糊图像
（2）滤波器的二阶导数部分对灰度突变做出相应
两个邻接区域Ri和Rj在 属性Q的意义上必须是 不同的
基于边缘的图像分割——点、线和边缘检测
（1）背景知识
（2）孤立点的检测
（3）线检测 （4）边缘模型 （5）基本边缘检测 （6）更先进的边缘检测技术 Marr-Hildreth边缘 检测器
预备知识
一阶二阶导数 梯度算子 Prewitt模板 Sobel模板
2 f f ( x) f ( x 1) f ( x 1) 2 f ( x) 2 x
（1）背景知识
结论：一阶导数通常在图像中产生较粗的边缘 二阶导数对精细细节，如细线、孤立点和噪声有较强的响应 二阶导数在灰度斜坡和灰度台阶过渡处会产生双边缘响应 二阶导数的符号可用于确定边缘的过渡是从亮到暗还是从暗道亮
有关于上述公式的函数有：高斯函数 G( x, y) e f(x,y)
2 y
平滑后的图像 fs(x,y)=G(x,y) 梯度幅度 M ( x, y )
g g
2 x
gy 梯度方向 ( x, y) arctan gx
（6）坎尼边缘检测器
举例： 非最大抑制方案 在3*3的区域内，对于一个通过该区域中心点的边缘，我们定义四个
作用： M(x,y) 在局部最大值周围通常包含更宽的范围，非最大抑制方 化为四个方向，所以，定义了一个方向范围： 案的目的就是细化边缘。该方法的本质就是指定边缘法线的许多离散 方向（梯度向量）。
方向：水平，垂直，+45，-45。我们需要把所有可能的边缘方向量
（6）坎尼边缘检测器
坎尼边缘检测器是迄今为止讨论过的边缘检测器中最为优秀的。 坎尼方法基于三个基本目标：
（1）低错误率
（2）边缘点应被很好地地位，已定位边缘必须尽可能没有伪响应 （3）单一的边缘点响应，对于真实边缘点，检测器仅应返回一个点
坎尼的工作的本质是从数学上表达了上面的三个准则，并试图找到这 些表达式的解。
Marr-Hidreth算法由LOG滤波器与一幅图像f(x,y)卷积组成，即
g ( x, y) 2G( x, y)
2 G( x, y)
f ( x, y) f ( x, y)
上述公式指出，我们可以先使用一个高斯滤波器平滑图像，然后计算 该结果的拉普拉斯。
（6）Marr-Hidreth边缘检测器
（4）用双阈值处理和链接分析来检测并连接边缘
（5）为得到1个像素的边缘，用一遍边缘细化算法
（6）坎尼边缘检测器
对比
算法流程： （1）使用一个n*n的高斯低通滤波器对输入 图像进行滤波 （2）对第一步得到的图像的计算拉普拉斯 （3）找到步骤二所得图像的零交叉
作为经验法则，一个大小为n*n的LoG离散滤波器，其n值应是大于等 于6σ的最小奇整数。
x2 y 2
G( x, y) e
2 2
Marr-Hidreth 边缘检测器
（6）坎尼边缘检测器
下一步：对gN(x,y)进行阈值处理，以便减少伪边缘点
之前的讨论方法使用单阈值进行阈值处理，低于阈值的值都置零。缺 点：如果阈值过低，则会存在一些伪边缘，如果阈值设得过高，则会 删除实际上有效的边缘点。 坎尼算法通过使用滞后阈值，使用两个阈值，一个低阈值TL和一个高 阈值TH，其中高阈值和低阈值的比率应为2：1或3：1。 具体步骤：创建两幅附加图像 g NH ( x, y) g N TH
g NL ( x, y) g N TL
开始是两幅图像都置零，阈值处理后gNH(x,y)的非零像素比gNL(x,y)少
g NL ( x, y) g NL ( x, y) g NH ( x, y)
上式，从gNL(x,y)中删除所有来自gNH(x,y)的非零像素。其中gNH(x,y)中 非零像素称为强像素边缘，gNL(x,y)中成为弱像素边缘
算法步骤：
（1）寻找最接近α(x,y)的方向dk（d1，d2，d3，d4表示四个基本方向）
（2）如果M(x,y)的值至少小于沿dk的两个邻居之一，则令gN(x,y)=0（抑 制）；否则，另gN(x,y)= M(x,y)，gN(x,y)是非最大抑制后的图像。 图 像gN(x,y)仅包含细化后的边缘，它等于抑制了非最大边缘点的M(x,y)。
基于边缘的图像分割
图像分割
分割将图像细分为构成它的子区域或物体，细分的程度取决于要解决 的问题，也就是说，在应用中，当感兴趣的物体或区域已经能够被检 测出来时，就可以停止分割。
异常图像的分割是图像处理中最困难的任务之一。
多数分割算法均基于灰度值的两个基本性质之一：不连续性和相似性。 基于图像边缘的分割
坎尼边缘检测器
（1）背景知识
灰度突变可以用微分来表示。 一阶导数：（1）恒定灰度区域必须为零 （2）在灰度台阶或斜坡开始处必须不为零 （3）沿灰度斜坡点处也必须不为零 f f ( x) f ( x 1) f ( x) x
二阶导数：（1）在恒定灰度区域必须为零 （2）在灰度台阶或斜坡的开始处和结束处必须不为零 （3）沿灰度斜坡必须为零
（3）如果gNH(x,y)中所有的非零像素都被访问，则（4），否则（1）
（4）将gNL(x,y)中未标记为有效边缘像素的所有像素置零
最后形成了最终的输出图像 实际中，滞后阈值处理可以在非最大抑制期间直接执行。
（6）坎尼边缘检测器
坎尼边缘检测算法的基本步骤： （1）用一个高斯滤波器平滑输入图像 （2）计算梯度幅度值图像M(x,y)和角度图像α(x,y) （3）对梯度图像应用非最大抑制
gy 梯度向量方向表示为 ( x, y) arctan gx
（5）基本边缘检测
梯度算子
Sobel模板能较好的平滑噪声
（5）基本边缘检测--Prewitt模板、Roberts模板
（5）基本边缘检测--Sobel模板
（6）Marr-Hidreth边缘检测器
Marr-Hildreth边缘检测器
（1）对图像中的每条边缘，二阶导数生成两个值（不希望的特点） （ 二阶导数的符号可用于确定一个边缘像素位于边缘的亮侧还是暗侧 2）二阶导数的零交叉点可用于定位粗边缘的中点
（4）边缘模型
有噪声边缘的一阶导数和二阶导数的性质 执行边缘检测的三 个步骤：
无噪声图像
一阶导数 二阶导数
1、降噪对图像进 0.1个灰度级 行平滑处理 的随机高斯噪 2、边缘点的检测 （局部操作，提取 1.0个灰度级 边缘点的候选者） 的随机高斯噪 3、边缘定位（从 候选边缘点中选择 10.0个灰度级 组成边缘点集合中 的随机高斯噪 声污染的图像 的真是成员）
滤波器2G 二维高斯函数 拉普拉斯算子
二维高斯函数： G( x, y) e
x2 y 2 2 2
2 2 高斯拉普拉斯： 2G ( x, y ) G ( x, y ) G ( x, y ) 2 2
x ......
2
y
x y 2 e 4
斜坡模型
不存在一条细的轨 轨。一个边缘点现 在是斜坡中包含的 任何点
屋顶模型
宽度由该线的宽度 和尖锐度决定。穿 过图像中一定区域 的一条线
（4）边缘模型
边缘模型应用到图像中：
台阶模型
斜坡模型
屋顶模型
（4）边缘模型
零交叉点：零灰度轴和二阶导数极值间的连线的交点
结论：
一阶导数的幅度可用于检测图像中的某个点处是否存在边缘 二阶导数的附加性质：
每个像素都必须在一 个区域内 一个区域内的点以某
i
R
些预定义的方式来连 接（4连接或8连接）
(b) Ri是一个连通集， i 1,2,...,n 各个区域必须是不相交的 分割后的区域中的像素
必须满足的属性 (c) Ri R j ，对于所有的 i和j，i j
(d ) Q( Ri ) TURE，i 1,2,...,n (e) Q( Ri R j ) FALSE，对于任何Ri 和R j的邻接区域
（6）坎尼边缘检测器
阈值处理之后， gNH(x,y)中的所有的强像素均被假设为边缘像素，并 被标记，通常情况下，gNH(x,y)中的边缘会有缝隙，弥合步骤如下：
（1）在gNH(x,y)中定位下一个未被访问的边缘像素P
（2）在gNL(x,y)中将所有的弱像素标记为有效边缘像素，用8连通的方 式连接到P
声污染的图像 声污染的图像
（ຫໍສະໝຸດ Baidu）基本边缘检测
图像梯度及其性质
梯度定义
f g x x f grad( f ) f g y y
向量
该向量指出了f在位置(x,y)处的最大变化率的方向
2 2 向量f 的大小表示为 M ( x, y) m ag(f ) g x gy
方法：使用滤波器
w1 w4 w7 w2 w5 w8 w3 w6 w9
R w1 z1 w2 z2 ... w9 z9 wk zk
k 1
9
（2）孤立点的检测
点的检测以二阶导数为基础——拉普拉斯算子
2 f 2 f f ( x, y ) 2 2 x y
2
2 f f ( x 1, y ) f ( x 1, y ) 2 f ( x, y ) 2 x 2 f f ( x, y 1) f ( x, y 1) 2 f ( x, y ) 2 y 应用到像素中： 2 f ( x, y ) f ( x 1, y ) f ( x 1, y ) f ( x, y 1) f ( x, y 1) 4 f ( x, y )
不连续性：以灰度突变为基础分割一幅图像
相似性：根据一组预定义的准则将一幅图像分割为相似的区域
阈值处理 区域生长 区域分裂 区域聚合
基础知识
令R表示一幅图像占据的整个空间区域，我们可以将图像分割是为把 分割必须是完全的， R分成n个子区域R1， R2，...，Rn的过程，满足：
(a)
R
i 1
n
（3）线检测
同样也是使用拉普拉斯算子，使用下面的模板，改模板的响应与方向 无关。具有各向同性。
如果我们的兴趣在于检测特定方向的线可以使用下面的模板：
（4）边缘模型
边缘检测是基于灰度突变来分割图像的最常用地方法。 边缘模型由以下三种：
台阶模型
在一个像素的距离 上发生两个灰度级 间理想的过渡，是 清晰、理想的模型
2 2
x2 y2 2 2
（6）Marr-Hidreth边缘检测器
LoG函数有时也称为墨西哥草帽算子
图像式的Log图
LoG三维图
零交叉的 三维图的 横截面 5*5的模板的近似
（6）Marr-Hidreth边缘检测器
选择该算子的两个基本原因： （1）算子的高斯部分会模糊图像
（2）滤波器的二阶导数部分对灰度突变做出相应
两个邻接区域Ri和Rj在 属性Q的意义上必须是 不同的
基于边缘的图像分割——点、线和边缘检测
（1）背景知识
（2）孤立点的检测
（3）线检测 （4）边缘模型 （5）基本边缘检测 （6）更先进的边缘检测技术 Marr-Hildreth边缘 检测器
预备知识
一阶二阶导数 梯度算子 Prewitt模板 Sobel模板
2 f f ( x) f ( x 1) f ( x 1) 2 f ( x) 2 x
（1）背景知识
结论：一阶导数通常在图像中产生较粗的边缘 二阶导数对精细细节，如细线、孤立点和噪声有较强的响应 二阶导数在灰度斜坡和灰度台阶过渡处会产生双边缘响应 二阶导数的符号可用于确定边缘的过渡是从亮到暗还是从暗道亮