2017年广东省揭阳市高考数学一模试卷

2017年广东省揭阳市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集为R，集合M={﹣1，0，1，3}，N={x|x2﹣x﹣2≥0}，则M∩∁R N=（）A．{﹣1，0，1，3} B．{0，1，3}C．{﹣1，0，1}D．{0，1}
2．设i是虚数单位，若（2a+i）（1﹣2i）是纯虚数，则实数a=（）
A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4
3．已知一组数据a、b、9、10、11的平均数为10，方差为2，则|a﹣b|=（）A．2 B．4 C．8 D．12
4．ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为2的正方体，AC1、BD1相交于O，在正方体内（含正方体表面）随机取一点M，OM≤1的概率p=（）
A．B．C．D．
5．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图，则它的表面积为（）
A．2 B．4+2C．4+4D．6+4
6．等差数列中{a n}，a1=2，公差为d，则“d=4”是“a1，a2，a5成等比数列”的（）A．充要条件B．充分非必要条件
C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件
7．F是抛物线y2=4x的焦点，P、Q是抛物线上两点，|PF|=2，|QF|=5，则|PQ|=（）A．3 B．4 C．3或D．3或4
8．若的（x2+a）（x﹣）10展开式中x6的系数为﹣30，则常数a=（）
A．﹣4 B．﹣3 C．2 D．3
9．四面体ABCD中∠BAC=∠BAD=∠CAD=60°，AB=2，AC=3，AD=4，则四面体ABCD的体积V=（）
A．2 B．2 C．4 D．4
10．到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（）
A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线
11．函数f（x）=sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）（ω＞0）在区间[，]的值域是[﹣，]，则常数ω所有可能的值的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．4
12．已知函数f（x）的图象与函数y=x3﹣3x2+2的图象关于点（，0）对称，过点（1，t）仅能作曲线y=f（x）的一条切线，则实数t的取值范围是（）
A．（﹣3，﹣2）B．[﹣3，﹣2]C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪[﹣2，+∞）
二、填空题已知=（1，﹣2），+=（0，2），则||=．
14．已知函数f（x）是周期为2的奇函数，当x∈[0，1）时，f（x）=lg（x+1），f（）+lg18=．15．某组合体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．
16．已知△ABC中，角A、、C成等差数列，且△ABC的面积为，则AC边的最小值是．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足2S n=n﹣n2（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=（k∈N*），求数列{b n}的前2n项和T2n．
18．某公司做了用户对其产品満意度的问卷调查，随机抽取了20名用户的评分，得到图所示茎叶图，对不低于75的评分，认为用户对产品满意，否则，认为不满意
（1）根据以上资料完成下面的2×2列联表，若据此数据算得K2=3.7781，则在犯错的概率不超过5%的前提下，你是否认为“満意”与“否”与性别有有关？
附：
不满意满意合计
男 4 7
女
合计
P（K2≥k）0.100 0.050 0.010
k 2.706 3.841 6.635
（2）以此“满意”的频率作为概率，求在3人中恰有2人满意的概率；
（3）从以上男性用户中抽取2人，女性用户中抽取1人，其中满意的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．
19．如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD中，∠A=90°，AB∥CD，AB=1，AD=CD=2．
（Ⅰ）若二面角P﹣CD﹣B为45°，求证：平面BPC⊥平面DPC；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求点A到平面PBC的距离．
20．已知p，m＞0，抛物线E：x2=2py上一点M（m，2）到抛物线焦点F的距离为．
（Ⅰ）求p和m的值；
（Ⅱ）如图所示，过F作抛物线E的两条弦AC和BD（点A、B在第一象限），若k AB+4k CD=0，求证：直线AB经过一个定点．
21．设函数f（x）=（x﹣a）2lnx，a∈R．
（I）若x=e是y=f（x）的极值点，求实数a的值；
（Ⅱ）若函数y=f（x）﹣4e2只有一个零点，求实数a的取值范围．
选修4-4：坐标系与参数方程
22．已知参数方程为（t为参数）的直线l经过椭圆的左焦点F1，且交y 轴正半轴于点C，与椭圆交于两点A、B（点A位于点C上方）．
（I）求点C对应的参数t C（用θ表示）；
（Ⅱ）若|F1B|=|AC|，求直线l的倾斜角θ的值．
选修4-5：不等式选讲
23．设a∈R，f（x）=|x﹣a|+（1﹣a）x．
（I）解关于a的不等式f（2）＜0；
（Ⅱ）如果f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．
2017年广东省揭阳市高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集为R，集合M={﹣1，0，1，3}，N={x|x2﹣x﹣2≥0}，则M∩∁R N=（）A．{﹣1，0，1，3} B．{0，1，3}C．{﹣1，0，1}D．{0，1}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】先求出N，从而得到C R N，由此能求出M∩∁R N．
【解答】解：∵全集为R，集合M={﹣1，0，1，3}，
N={x|x2﹣x﹣2≥0}={x|x≤﹣1或x≥2}，
∴C R N={x|﹣1＜x＜2}，
∴M∩∁R N={0，1}．
故选：D．
【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集、交集定义的合理运用．
2．设i是虚数单位，若（2a+i）（1﹣2i）是纯虚数，则实数a=（）
A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解．
【解答】解：∵（2a+i）（1﹣2i）=2a+2+（1﹣4a）i是纯虚数，
∴，解得a=﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3．已知一组数据a、b、9、10、11的平均数为10，方差为2，则|a﹣b|=（）A．2 B．4 C．8 D．12
【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．
【分析】根据题意，可得a+b=20，①以及（a﹣10）2+（b﹣10）2=8，②；解可得a、b
的值，计算可得|a﹣b|的值，即可得答案．
【解答】解：一组数据a、b、9、10、11的平均数为10，方差为2，
则有a+b+9+10+11=50，即a+b=20，①
[（a﹣10）2+（b﹣10）2+（9﹣10）2+（10﹣10）2+（11﹣10）2]=2，
即（a﹣10）2+（b﹣10）2=8，②
联立①、②可得：或，
则|a﹣b|=4；
故选：B．
【点评】本题考查数据方差、平均数的计算，关键是求出a、b的值．
4．ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为2的正方体，AC1、BD1相交于O，在正方体内（含正方体表面）随机取一点M，OM≤1的概率p=（）
A．B．C．D．
【考点】几何概型．
【分析】由题意可得概率为体积之比，分别求正方体的体积和球的体积可得．
【解答】解：由题意可知总的基本事件为正方体内的点，可用其体积23=8，
满足OM≤1的基本事件为O为球心1为半径的球内部在正方体中的部分，其体积为V=π×13=π，
故概率P==．
故选：A．
【点评】本题考查几何概型，涉及正方体和球的体积公式，属基础题．
5．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图，则它的表面积为（）
A．2 B．4+2C．4+4D．6+4
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的表面积．
【解答】解：根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是、斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，
∴几何体的表面积S==6+4，
故选：D．
【点评】本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．
6．等差数列中{a n}，a1=2，公差为d，则“d=4”是“a1，a2，a5成等比数列”的（）A．充要条件B．充分非必要条件
C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】由a1，a2，a5成等比数列，可得：=a1•a5，（2+d）2=2×（2+4d），解得d，即可判断出结论．
【解答】解：由a1，a2，a5成等比数列，可得：=a1•a5，∴（2+d）2=2×（2+4d），解得d=0或4．
∴“d=4”是“a1，a2，a5成等比数列”的充分不必要条件．
故选：B．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．F是抛物线y2=4x的焦点，P、Q是抛物线上两点，|PF|=2，|QF|=5，则|PQ|=（）A．3 B．4 C．3或D．3或4
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】根据抛物线的性质将|PF|，|QF|转化为到准线的距离，求出P，Q的坐标，得出答案．
【解答】解：抛物线的准线方程为x=﹣1，
∴|PF|=x1+1=2，|QF|=x2+1=5．
∴x1=1，x2=4．
∴P（1，±2），Q（4，±4），
∴|PQ|==或=3
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线的性质，属于基础题．
8．若的（x2+a）（x﹣）10展开式中x6的系数为﹣30，则常数a=（）
A．﹣4 B．﹣3 C．2 D．3
【考点】二项式系数的性质．
【分析】根据题意求出（x﹣）10展开式中含x4项、x6项的系数，得出（x2+a）（x﹣）10的展开式中x6的系数，列出方程求出a的值．
【解答】解：（x﹣）10展开式的通项公式为：
=•x10﹣r•=（﹣1）r••x10﹣2r；
T r
+1
令10﹣2r=4，解得r=3，所以x4项的系数为﹣=﹣120；
令10﹣2r=6，解得r=2，所以x6项的系数为=45；
所以（x2+a）（x﹣）10的展开式中x6的系数为：﹣120+45a=﹣30，
解得a=2．
故选：C．
【点评】本题考查了利用二项展开式的通项公式求二项展开式的特定项问题问题，是基
础题．
9．四面体ABCD中∠BAC=∠BAD=∠CAD=60°，AB=2，AC=3，AD=4，则四面体ABCD的体积V=（）
A．2 B．2 C．4 D．4
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】由题意画出图形，通过分割补形，求出B到底面ACD的距离，代入体积公式求解．
【解答】解：如图，
在AC上取E，使AE=2，在AD上取F，使AF=2，连接BE、BF、EF，
则四面体B﹣AEF为正四面体，过B作BO⊥平面AEF，垂足为O，
连接AO并延长，交EF于G，则AG=，AO=，
∴BO=．
=．
∴．
故选：A．
【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力和逻辑思维能力，是中档题．
10．到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（）
A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线
【考点】抛物线的定义；双曲线的标准方程．
【分析】先做出两条异面直线的公垂线，以其中一条直线为x轴，公垂线与x轴交点为原点，公垂线所在直线为z轴，过x且垂直于公垂线的平面为xoy平面，建立空间直角坐标系，则两条异面直线的方程可得，设空间内任意点设它的坐标是（x，y，z）根据它到两条异面直线的距离相等，求得z的表达式，把z=0和z=a代入即可求得x和y的关系，根据其方程判断轨迹．
【解答】解：先做出两条异面直线的公垂线，以其中一条直线为x轴，公垂线与x轴交点为原点，公垂线所在直线为z轴，过x且垂直于公垂线的平面为xoy平面，建立空间直角坐标系，则两条异面直线的方程就分别是y=0，z=0 和x=0，z=a（a是两异面直线公垂线长度，是个常数）
空间内任意点设它的坐标是（x，y，z）
那么由已知，它到两条异面直线的距离相等，即
=
两边平方，化简可得z=（y2﹣x2+a2）
过一条直线且平行于另一条直线的平面是z=0和z=a
分别代入所得式子
z=0时
代入可以得到y2﹣x2=﹣a2，图形是个双曲线
z=a时
代入可以得到y2﹣x2=a2，图形也是个双曲线
故选D
【点评】本题主要考查了双曲线的方程．考查了学生分析归纳和推理的能力．
11．函数f（x）=sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）（ω＞0）在区间[，]的值域是[﹣，]，则常数ω所有可能的值的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．4
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【分析】利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，将内层函数看作整体，求出其范围，根据值域是[﹣，]，建立关系，讨论常数ω所有可能
的值．
【解答】解：函数f（x）=sinωxcosωx+cos2ωx，
化简可得：f（x）==sin（2ωx+），
∵x∈[，]，f（x）∈[，]，
∴﹣1≤sin（2ωx+）≤0，
则，
而T=，
那么：，即．
sin（2ωx+）=0的结果必然是或．
当时，解得ω=满足题意．
当x=时，解得ω=满足题意．
∴常数ω所有可能的值的个数为2．
故选C：
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．
12．已知函数f（x）的图象与函数y=x3﹣3x2+2的图象关于点（，0）对称，过点（1，t）仅能作曲线y=f（x）的一条切线，则实数t的取值范围是（）
A．（﹣3，﹣2）B．[﹣3，﹣2]C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪[﹣2，+∞）
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】由对称性可得（x，y）为y=f（x）图象上的点，其对称点为（1﹣x，﹣y），且在函数y=x3﹣3x2+2的图象上，代入可得f（x）的解析式，设出切点（m，n），求出f （x）的导数，可得切线的斜率和方程，代入点（1，t），化简整理可得t+3=3m2﹣2m3，由g（m）=3m2﹣2m3，求出导数和单调区间、极值，由题意可得t+3=3m2﹣2m3只有一解，则t+3＞1或t+3＜0，解不等式即可得到所求范围．
【解答】解：函数f（x）的图象与函数y=x3﹣3x2+2的图象关于点（，0）对称，
设（x，y）为y=f（x）图象上的点，其对称点为（1﹣x，﹣y），且在函数y=x3﹣3x2+2的图象上，
可得﹣y=（1﹣x）3﹣3（1﹣x）2+2，即为y=f（x）=（x﹣1）3+3（1﹣x）2﹣2，
设切点为（m，n），则n=（m﹣1）3+3（1﹣m）2﹣2，
f（x）的导数为f′（x）=3（x﹣1）2+6（x﹣1）=3（x2﹣1），
可得切线的方程为y﹣n=3（m2﹣1）（x﹣m），
代入点（1，t），可得t﹣n=3（m2﹣1）（1﹣m），
化简可得t+3=3m2﹣2m3，
由g（m）=3m2﹣2m3，
g′（m）=6m﹣6m2=6m（1﹣m），
当0＜m＜1时，g′（m）＞0，g（m）递增；当m＜0或m＞1时，g′（m）＜0，g（m）递减．
则g（m）在m=0处取得极小值0，在m=1处取得极大值1，
由过点（1，t）仅能作曲线y=f（x）的一条切线，
可得t+3=3m2﹣2m3只有一解，
则t+3＞1或t+3＜0，
解得t＞﹣2或t＜﹣3．
故选：C．
【点评】本题主要考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查转化思想的运用，以及化简整理能力，属于中档题．
二、填空题已知=（1，﹣2），+=（0，2），则||=．
【考点】向量的模．
【专题】平面向量及应用．
【分析】首先利用向量的减法运算得到向量的坐标，然后求模．
【解答】解：因为=（1，﹣2），+=（0，2），所以=（﹣1，4），
所以；
故答案为：
【点评】本题考查了向量加减法的坐标运算以及有向量坐标求模；属于基础题．
14．已知函数f（x）是周期为2的奇函数，当x∈[0，1）时，f（x）=lg（x+1），f（）+lg18= 1．
【考点】函数的值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】由题意化简f（）+lg18=f（﹣）+lg18=﹣lg（+1）+lg18=lg10．
【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，
∴f（）+lg18
=f（404﹣）+lg18
=f（﹣）+lg18
=﹣f（）+lg18
=﹣lg（+1）+lg18
=lg（18×）=lg10=1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了函数的性质的应用及对数运算的应用．
15．某组合体的三视图如图所示，则该几何体的体积为32+8π．
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】整体思想；数形结合法；立体几何．
【分析】由三视图可知，该几何体是上面长与宽均为4，高为2长方体下接半径为2的半圆柱的组合体，于是可求其体积．
【解答】解：依题意知，该几何体是上面长与宽均为4，高为2长方体下接半径为2的半圆柱的组合体，
故其体积为：V=．
故答案为：32+8π．
【点评】本题考查由三视图求面积、体积，分析出该几何体是上面长与宽均为4，高为2长方体下接半径为2的半圆柱的组合体是关键，考查识图与运算能力，属于中档题．
16．已知△ABC中，角A、、C成等差数列，且△ABC的面积为，则AC边的最小值是2．【考点】余弦定理；正弦定理．
【专题】计算题；转化思想；等差数列与等比数列；解三角形．
【分析】由已知及等差数列的性质可得A+C=3B，结合三角形内角和定理可求B的值，利用三角形面积公式可得，利用余弦定理及基本不等式即可解得AC边的最小值．
【解答】解：∵A、B、C成等差数列，
∴A+C=3B，
又∵A+B+C=π，
∴，
∴由得，
∵b2=a2+c2﹣2accosB=，及a2+c2≥2ac，
∴，解得：b≥2，
∴b的最小值为2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了等差数列的性质，三角形内角和定理，三角形面积公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足2S n=n﹣n2（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=（k∈N*），求数列{b n}的前2n项和T2n．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列．
可得）a n=1﹣n（n≥2），再检验n=1时，是【分析】（Ⅰ）依题意，当n≥2时，由2a n=2S n﹣2S n
﹣1
否适合，以确定是分是合，从而可得数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）由可得T2n=（b1+b3+…+b2n
）+
﹣1
（b2+b4+…+b2n），分组求和即可．
【解答】解：（Ⅰ）当n≥2时，
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
即：a n=1﹣n（n≥2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
当n=1时，由得a1=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
显然当n=1时上式也适合，
∴a n=1﹣n．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ）∵，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴T2n=（b1+b3+…+b2n
）+（b2+b4+…+b2n）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣1
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
=]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
【点评】本题考查数列的求和，着重考查数列递推式的应用，考查裂项法、公式法与分组求和法的综合应用，属于中档题．
18．某公司做了用户对其产品満意度的问卷调查，随机抽取了20名用户的评分，得到图所示茎叶图，对不低于75的评分，认为用户对产品满意，否则，认为不满意
（1）根据以上资料完成下面的2×2列联表，若据此数据算得K2=3.7781，则在犯错的概率不超过5%的前提下，你是否认为“満意”与“否”与性别有有关？
附：
不满意满意合计
男 4 7
女
合计
P（K2≥k）0.100 0.050 0.010
k 2.706 3.841 6.635
（2）以此“满意”的频率作为概率，求在3人中恰有2人满意的概率；
（3）从以上男性用户中抽取2人，女性用户中抽取1人，其中满意的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．
【分析】（1）完成2×2列联表，求出K2≈3.7781＜3.841，从而得到在犯错的概率不超过5%的前提下，不能认为“満意”与“否”与性别有有关．
（2）由频率估计“满意”的概率为=0.3，由此能求出在3人中恰有2人满意的概率．
（3）ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
【解答】解：（1）根据已知资料完成2×2列联表：
不满意满意合计
男 3 4 7
女11 2 13
合计14 6 20
P（K2≥k）0.100 0.050 0.010
k 2.706 3.841 6.635
∵K2≈3.7781＜3.841，
∴在犯错的概率不超过5%的前提下，不能认为“満意”与“否”与性别有有关．
（2）由频率估计“满意”的概率为=0.3，
∴在3人中恰有2人满意的概率为．
（3）ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）+=，
P（ξ=1）=+=，
P（ξ=3）==，
P（ξ=2）=1﹣=．
ξ的分布列为：
ξ0 1 2 3
P
Eξ==．
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．
19．如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD中，∠A=90°，AB∥CD，AB=1，AD=CD=2．
（Ⅰ）若二面角P﹣CD﹣B为45°，求证：平面BPC⊥平面DPC；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求点A到平面PBC的距离．
【考点】平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．
【专题】数形结合；等体积法；空间位置关系与距离．
【分析】（I）取PD中点M，PC中点N，连结MN，AM，BN，则可证四边形ABNM是矩形，于是BN⊥MN，利用勾股定理的逆定理可得PB=BC，故BN⊥PC，于是BN⊥平面PCD，故平面BPC⊥平面DPC．
（2）求出棱锥P﹣ABC的体积，将平面PBC作底面即可求出点A到平面PBC的距离．
【解答】解：（I）取PD中点M，PC中点N，连结MN，AM，BN，则MN∥CD，MN=．
∵AB∥CD，AB=，
∴AB∥MN，AB=MN，
∴四边形ABNM是平行四边形．
∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴AB⊥PA，又AB⊥AD，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，PA∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD，∵AM⊂平面PAD，
∴AB⊥AM，
∴平行四边形ABNM是矩形．∴BN⊥MN．
∵AB∥CD，AB⊥平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，∵PD⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，
∴CD⊥PD，CD⊥AD，
∴∠PDA为二面角P﹣CD﹣B的平面角，即∠PDA=45°，
∴PA=AD=2，
∴PB==．
取CD中点E，连结BE，则BE=AD=2，CE=CD=1，∠BEC=90°，
∴BC=．
∴PB=BC，∴BN⊥PC．
∵PC⊂平面PCD，MN⊂平面PCD，PC∩MN=N，
∴BN⊥平面PCD，∵BN⊂平面PBC，
∴平面BPC⊥平面DPC．
（II）连结AC，则AC=．PD=．
∴PC=．BN=AM=2．
∴S△PBC==．
S△ABC=．设A到平面PBC的距离为h，
=S△ABC×PA=．
则V
棱锥P﹣ABC
∴h=．
【点评】本题考查了线面垂直的性质，面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．
20．已知p，m＞0，抛物线E：x2=2py上一点M（m，2）到抛物线焦点F的距离为．
（Ⅰ）求p和m的值；
（Ⅱ）如图所示，过F作抛物线E的两条弦AC和BD（点A、B在第一象限），若k AB+4k CD=0，求证：直线AB经过一个定点．
【考点】直线与抛物线的位置关系．
【专题】计算题；规律型；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）利用抛物线的定义列出关于p的方程，求出p，得到抛物线的方程，把点M（m，2）的坐标代入，解得m．
（Ⅱ）解法1：设AB、AC的方程为y=k1x+b，与抛物线方程联立，设A（x1，y1），B （x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），利用韦达定理，结合k AB+4k CD=0，求解即可．
解法2：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），设AC的方程为，，与抛物线方程联立，得x2﹣2kx﹣1=0，推出x1x3=﹣1，同理，x2x4=﹣1，求出直线AB的方程为
化简得直线AB恒经过点（0，﹣2）．
【解答】解：（Ⅰ）由点M（m，2）到抛物线焦点F的距离为，
结合抛物线的定义得，，即p=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
抛物线的方程为x2=2y，把点M（m，2）的坐标代入，可解得m=2；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ）解法1：显然直线AB、AC的斜率都存在，
分别设AB、AC的方程为y=k1x+b，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
联立，得x2﹣2k1x﹣2b=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
联立，得x2﹣2k2x﹣1=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
则x1x2=﹣2b，x1x3=﹣1，同理，x2x4=﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
故=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
注意到点A、B在第一象限，x1+x2≠0，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
故得x1x2=4，﹣2b=4，∴b=﹣2，即直线恒经过点（0，﹣2）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
解法2：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
显然直线AC的斜率都存在，设AC的方程为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
联立，得x2﹣2kx﹣1=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴x1x3=﹣1，同理，x2x4=﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
故=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
注意到点A、B在第一象限，x1+x2≠0，
∴，故得x1x2=4，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
直线AB的方程为化简得
即直线AB恒经过点（0，﹣2）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣．
【点评】本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．
21．设函数f（x）=（x﹣a）2lnx，a∈R．
（I）若x=e是y=f（x）的极值点，求实数a的值；
（Ⅱ）若函数y=f（x）﹣4e2只有一个零点，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的极值．
【专题】计算题；规律型；分类讨论；方程思想；转化思想；导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）求出导函数，另一回事的极值为0，求解a，然后验证即可．
（Ⅱ）解法1：方程f（x）=4e2只有一个根，转化为曲线f（x）与直线y=4e2只有一个公共点．设，通过①当a≤0时，②当0＜a≤1时，③当a＞1时，判断函数的单调性，求出极大值，转化为，即，
所以，然后推出a的范围．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=（x﹣a）2lnx，a∈R．
，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
由x=e是f（x）的极值点，得，解得a=e或a=3e，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
经检验，符合题意，所以a=e或a=3e；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ）由已知得方程f（x）=4e2只有一个根，
即曲线f（x）与直线y=4e2只有一个公共点．
易知f（x）∈（﹣∞，+∞），设，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
①当a≤0时，易知函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增的，满足题意；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
②当0＜a≤1时，易知h（x）是单调递增的，又h（a）=2lna＜0，h（1）=1﹣a≥0，
∴∃x0∈（a，1），h（x0）=0，
当0＜x＜a时，＞0，∴f（x）在（0，a）上单调递增，
同理f（x）在（a，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，
又极大值f（a）=0，所以曲线f（x）满足题意；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
③当a＞1时，h（1）=1﹣a＜0，h（a）=2lna＞0，
∴∃x0∈（1，a），h（x0）=0，即，得a﹣x0=2x0lnx0，
可得f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，
又f（a）=0，若要曲线f（x）满足题意，只需，即，所以，由x0＞1知g（x）=x2ln3x＞0，且在[1，+∞）上单调递增，
由g（e）=e2，得1＜x0＜e，因为a=x0+2x0lnx0在[1，+∞）上单调递增，
所以1＜a＜3e；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣综上知，a∈（﹣∞，3e）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调性，构造法的应用，转化思想以及分类讨论思想的应用，难度比较大．
选修4-4：坐标系与参数方程
22．已知参数方程为（t为参数）的直线l经过椭圆的左焦点F1，且交y 轴正半轴于点C，与椭圆交于两点A、B（点A位于点C上方）．
（I）求点C对应的参数t C（用θ表示）；
（Ⅱ）若|F1B|=|AC|，求直线l的倾斜角θ的值．
【考点】直线与圆锥曲线的关系；参数方程化成普通方程．
【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）利用椭圆方程，求出焦点坐标，利用，在直线l的参数方程中，令x=0，求解即可．
（Ⅱ）解法1：把代入椭圆方程，设点A、B对应的参数为t A、t B，由|F1B|=|AC|
结合参数t的几何意义得：t A+t B=t C，求解即可．
解法2：设A、B两点的横坐标分别为x A、x B，将直线l的普通方程代入椭圆方程利用韦达定理，以及|F1B|=|AC|，求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）在椭圆中，
∵a2=3，b2=1，∴，即，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
故，在直线l的参数方程中，令x=0，解得；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ）解法1：把代入椭圆方程，
并整理得：，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
设点A、B对应的参数为t A、t B，由|F1B|=|AC|结合参数t的几何意义得：t A+t B=t C，
即，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
解得，依题意知，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
解法2：设A、B两点的横坐标分别为x A、x B，
将直线l的普通方程代入椭圆方程并整理得：
，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
则，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∵﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴，
解得，依题意知，得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，参数方程的应用，考查转化思想以及计算能力．
选修4-5：不等式选讲
23．设a∈R，f（x）=|x﹣a|+（1﹣a）x．
（I）解关于a的不等式f（2）＜0；
（Ⅱ）如果f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】分段函数的应用；函数恒成立问题．
【专题】函数思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（I）解法1：通过分类讨论，将f（2）=|2﹣a|+2（1﹣a）中的绝对值符号去掉，再分段解f（2）＜0，最后取并即可；
解法2：由f（2）＜0，得|2﹣a|+2（1﹣a）＜0，即|a﹣2|＜2（a﹣1），利用绝对值的几何意义，可得﹣2（a﹣1）＜a﹣2＜2（a﹣1），解之即可；
（Ⅱ）依题意，f（x）≥0恒成立⇒，解之即可．
【解答】解：（I）解法1：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
不等式f（2）＜0等价于或者，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
解得a＞2或，即，∴所求不等式的解集为；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
解法2：由f（2）＜0，得|2﹣a|+2（1﹣a）＜0，即|a﹣2|＜2（a﹣1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣2（a﹣1）＜a﹣2＜2（a﹣1），解得，解集为；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（II），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
因为f（x）≥0恒成立，故有，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
解得0≤a≤1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
【点评】本题考查分段函数的应用，考查等价转化思想与函数恒成立问题，突出考查运算求解能力，属于中档题．。