电子科技大学组合数学考题答案-容斥原理
完整版容斥原理习题加答案
1. 现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对的有（）【答案】B【解析】直接代入公式为：50=31+40+4- A H B得A H B=25,所以答案为B。
2. 某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。
其中25%是白色的, 75%是蓝色的。
如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫有10件，小号蓝色衬衫有多少件？（）A 、15B、25C 、35D40【答案】C【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，将所求答案设为A H B,本题设小号和蓝色分别为两个事件A和B,小号占50%蓝色占75%直接代入公式为：100=50+75+10- A H B，得：A H B=353. 某高校对一些学生进行问卷调查。
在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备只选择两种考试都参加的有46人,【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字 24,再推其他部分数字：根据每个区域含义应用公式得到：总数=各集合数之和-两两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数=63+89+47— {(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15=199— { (x+z+y ) +24+24+24}+24+15根据上述含义分析得到：x+z+y 只属于两集合数之和，也就是该题所讲的只选择两种考试都参加的人数，所以 x+z+y 的值为46人；得本题答案为120.4. 对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。
其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜 欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有 12人，则只喜欢看电影的有多少人( )A.22 人B.28 人C.30 人D.36 人【答案】A【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字 12,再推其他部分数字：根据各区域含义及应用公式得到：总数=各集合数之和-两两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数100= 58+38+52- {18+16+ (12+ x ) }+12+0,因为该题中，没有三种都不喜 欢的人，所以三集合之外数为 0,解方程得到：x = 14。
组合数学(西安电子科技大学(第二版))习题4答案
习题四（容斥原理）1．试求不超过200的正整数中素数的个数。
解：因为2215225,13169==，所以不超过200的合数必是2,3,5,7,11,13的倍数，而且其因子又不可能都超过13。
设i A 为数i 不超过200的倍数集，2,3,5,7,11,13i =，则22001002A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦，3200663A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦，5200405A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦，7200287A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦， 112001811A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦，132001513A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦，232003323A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦， 252002025A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，272001427A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，2112009211A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦， 2132007213A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，352001335A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，37200937A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦， 3112006311A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，3132005313A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，57200557A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦， 5112003511A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，5132003513A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，7112002711A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦， 7132002713A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，111320011113A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，2352006235A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦， 2372004237A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，231120032311A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，231320022313A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦ 2572002257A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，251120012511A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，251320012513A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦， 271120012711A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，271320012713A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦， 21113200021113A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，3572001357A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，351120013511A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦351320013513A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，371120003711A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，…， 235720002357A A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⨯⎣⎦，…，23571113200023571113A A A A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⎣⎦， 所以 23571113200(1006640281815)(3320149713965533221)(6432211110111i i j i j k i j k lii ji j ki j k li j k l m i j k l m ni j k l mi j k l m nA A A A A A S A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A <<<<<<<<<<<<<<<=-+-+-+=-++++++++++++++++++++-+++++++++++++∑∑∑∑∑∑0)00041+-+=但这41个数未包括2,3,5,7,11,13本身，却将非素数1包含其中， 故所求的素数个数为：416146+-=2．问由1到2000的整数中：（1）至少能被2，3，5之一整除的数有多少个？ （2）至少能被2，3，5中2个数同时整除的数有多少个？ （3）能且只能被2，3，5中1个数整除的数有多少个？ 解：设i A 为1到2000的整数中能被i 整除的数的集合，2,3,5i =，则2200010002A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦，320006663A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦，520004005A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦， 23200033323A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，25200020025A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，35200013335A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦， 235200066235A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦， （1）即求235A A A ++，根据容斥原理有：235235232535235()1000666400(333200133)661466A A A A A A A A A A A A A A A ++=++-+++=++-+++=（2）即求232535A A A A A A ++，根据容斥原理有：232535232535235235235235()333200133266534A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ++=++-+++=++-⨯=（3）即求[1]N ，根据Jordan 公式有：1112233235232535235[1]2()310006664002(333200133)366932N q C q C q A A A A A A A A A A A A =-+=++-⨯+++⨯=++-⨯+++⨯=3．求从1到500的整数中能被3和5整除但不能被7整除的数的个数。
组合数学(西安电子科技大学(第二版))第四章容斥原理
容斥原理
应用 限制排列与棋盘多项式 的木棍上有两种刻度线，第一种刻度线将木棍分 成10等份，第二种将木棍分成12等份。如果沿每条刻度线将 木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？
4.1 引言
例 在一根长的木棍上有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分 成10等份，第二种将木棍分成12等份，第三种将木棍分成15 等份。如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少 段？
那么，A1中的元素可以看作是由S∞的10－4＝6组合再拼上4个 6 3 1 a构成的，所以 A1 28
5 3 1 4 3 1 同理，A2 21, A3 15. 5 4
6
4.3 应用
类似地， A1
(2) |Ai∩Aj|=5!.......
|Ai1∩Ai 2∩… 所以，
A1 A2 A8 8 8 8 8 8 8 8 7! 6! 5! 4! 3! 2! 1 0! 1 1 2 3 4 5 6 7
4.3 应用
例 确定{1,2,…,n}的恰有k个整数在它们的自然位置上的排列数。
例 确定{1,2,3,4,5,6,7,8}的没有偶数在它的自然位置上的排列数。
4.3 应用
4.3 应用
4.3 应用
4.3 应用
4.3 应用
4.3 应用
4.3 应用
4.4 限制排列与棋盘多项式
4.4 限制排列与棋盘多项式
4.4 限制排列与棋盘多项式
4.4 限制排列与棋盘多项式
4.4 限制排列与棋盘多项式
4.4 限制排列与棋盘多项式
4.4 限制排列与棋盘多项式
4.4 限制排列与棋盘多项式
组合数学考试题附答案2
组合数学试题 共 4 页 ，第 1 页电子科技大学研究生试卷（考试时间： 14：30 至 16：30 ，共 2 小时）课程名称 组合数学 教师 卢光辉，张先迪 学时 40 学分 2 教学方式 讲授 考核日期 2006 年 12 月 2 日 成绩 考核方式： （学生填写）一．填空题（每空2分，共22分）1．食品店有三种不同的月饼（同种月饼不加区分），第一种有5个，第二种有6个，第三种有7个， (1) 从中取出4个装成一盒（盒内无序），则不同的装法数有 种 ； (2) 从中取出6个装成一盒（盒内无序），则不同的装法数有 种 ；（3）若将所有的月饼排在一个货架上，则排法数有 种（给出表达式，不必算出数值结果）。
（4）若将所有的月饼装在三个不同的盒子中，盒内有序（即盒内作线排列），盒子不空，则不同的装法数又有 种（给出表达式，不必算出数值结果）。
2．棋盘C 如图1所示，则棋子多项式R (C ) =3．设有足够多的红球、黄球和绿球，同色球不加区分，设从中无序地取出n 个球的方式数为a n ，有序地取出n 个球的方式数为b n ，但均需满足红球的数量为偶，黄球的数量为奇，则(1) 由组合意义写出的{a n }的普通母函数为 ；求和后的母函数为 。
(2)由组合意义写出的{b n }的指数母函数为 ；求和后的母函数为 。
4．（1） 将6个无区别的球放入3个无区别的盒子中且盒子不空的放法数为 。
学 号 姓 名 学 院……………………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………………图1题……………无效…组合数学试题 共 4 页 ，第 2 页（2）将6个有区别的球放入3个无区别的盒子中且盒子不空的放法数为 。
（已知将5个有区别的球放入3个无区别的盒子中且盒子不空的放法数为25）二、（14 分） 给定重集B = {3·A , 3·B , 4·C ,10·D }。
数学———容斥原理
数学———容斥原理（1）如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
两个集合的容斥关系公式：A∪B = A+B - A∩B (∩：重合的部分）（把A、B两个集合的元素个数相加，因为既是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。
）总数=两个圆内的-重合部分的（2）如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C 类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B 类而且是C类的元素个数。
三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A +A∩B∩C总数=三个圆内的—重合两次的+重合三次的【例题1】某大学某班学生总数是32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是( ) A.22B.18C.28D.26【解析】：设A=第一次考试中及格的人数(26人),B=第二次考试中及格的人数(24人),显然,A+B=26+24=50；A∪B=32-4=28，则根据A∩B=A+B-A ∪B=50-28=22。
答案为A。
【例题2】电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个频道都看过。
问两个频道都没看过的有多少人？【解析】：设A=看过2频道的人(62)，B=看过8频道的人(34)，显然，A+B=62+34=96；A∩B=两个频道都看过的人(11)，则根据公式A∪B= A+B-A∩B=96-11=85，所以，两个频道都没看过的人数为100-85=15人。
【例题3】一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？【解析】：数学得满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A ∩B，至少有一门得满分人数→A∪B。
组合数学 —— 容斥定理
即：A∪B∪C = A+B+C - AB - BC - AC + ABC
当被计数的种类被推到 n 类时，其统计规则即遵循奇加偶减。
容斥定理最常用于求 [a,b] 区间与 n 互质的数的个数，该问题可视为求 [1,b] 区间与 n 互质的个数减去 [1,a-1] 区间内与 n 互质的个数，故而可先对 n 进行因子分解，然后从 [1,b]、[1,a-1] 区间中减去存在 n 的因子的个数， 再根据容斥定理，奇加偶减，对 n 的因子的最小公倍数的个数进行处理即可。
2.求[1,n]中能/不能被m个数整除的个数
对于任意一个数 a[i] 来说，我们能知道在 1-n 中有 n/a[i] 个数是 a[i] 的倍数，但这样将 m 个数扫一遍一定会用重
复的数，因此需要用到容斥原理
根据容斥定理的奇加偶减，对于 m 个数来说，其中的任意 2、4、...Байду номын сангаас2k 个数就要减去他们最小公倍数能组成的 数，1、3、...、2k+1 个数就要加上他们的最小公倍数，因此 m 个数就有 2^m 种情况，对于每种状态，依次判
cnt=0; memset(bprime,false,sizeof(bprime)); for(LL i=2; i<N; i++) {
if(!bprime[i]) { prime[cnt++]=i; for(LL j=i*i; j<N; j+=i) bprime[i]=true;
} } } void getFactor(int n){ num=0; for(LL i=0; prime[i]*prime[i]<=n&&i<cnt; i++) {
第二章容斥原理习题及解答.ppt
1、 某甲参加一种会议，会上有6位朋友， 某甲和其中每人在会上各相遇12次，每 二人各相遇6次，每三人各相遇4次，每 四人各相遇3次，每五人各相遇2次，每 六人各相遇一次，1人也没有遇见的有5 次，问某甲共参加了几次会议 ？
参考答案
[解] 设Ai为甲与第i个朋友相遇的会议 集， i＝1，…，6．则
A1 A2
1
41
1
3
105
2 1 (8 3) (4 2) 3 7
A1 A3
1
42
1
2
63
A2 A3 0
A1 A2 A3 0
故所求路径数为
| A1 A2 A3 | 495 (168 140 84) (105 63 0) 0 271
参考答案
[解]
令Dn
n!1
1 1!
1 2!
1 3!
1 n!
（1）方案数=Dm (n!)m
（2）方案数=
m k0
m k
Dk
(n
!)k
Dmk n
（3）方案数=Dm Dnm
（i=1,2,…,n） 则所求为
|
n i 1
Ai
|
n ko
(1)k
n
k
(2n
k
1)!2k
第二章容斥原理习题
8、一书架有m层，分别放置m类不同种类的书， 每层n册。先将书架上的图书全部取出清理。 清理过程要求不打乱所有的类别。试问: （1）m类书全不在各自原来层次上的方案数 有多少？ （2）每层的n本书都不在原来位置上的方案数 等于多少？ （3）m层书都不在原来层次，每层n本书也不 在原来位置上的方案数又有多少？
所以
A3 A5 A7 A3 A5 A3 A5 A7
第六节容斥原理参考答案
一.练习故本练习所以志愿练习练习练习练习60-练习所以财政练习则有人。
二.练习阴影∩A 练习A+250-练习集合两种三.两个元素的习1.【解析本题正确答习2.【解析以有10+17-愿者的有17习3.【解析习4.【解析习5.【解析习 6.【解析-12=29+34-习7.【解析解法如下以既不是会政局共有17习8.【解析有88-15=73用集合图三个元素的习1. 影面积为A A +A∩B∩C 习2.2B+3T=40+3-48=2人。
习3.合问题。
63种考试参加画图法 的公式析】考查容斥答案为D。
析】本题属-20=7人既7-7=10人。
析】集合问题析】设两种乐析】由题意可析】可看成-x，解得x=析】集合问题下：会计处也不是71+41=212析】本题答案3人是既有形求解如下的公式A∩B∩C，C，290=6436+30=106所以选B.3+89+47-46的”不包括第六斥原理|A∪于集合问题既是奥运会志所以选择题，489+60乐器都会的可知俱乐部成集合问题=15，所以选题。
是宣传处的人，故应选案为D。
有有手机又有电下：？=76-所以根据公4+180+1606,B+3T=286-24×2+15括“准备选六节 容斥B|=|A|+|B 题。
由题干志愿者也是择C 选项。
06-x=750，的人为x，则部一共有69。
设既穿黑选C。
的人共有（2选D。
有手机的88电脑的人。
-73=3。
公式A∪B -24-70-36+26+24=785=120。
故本选择三种考试斥原理B|-|A∩B|=可知，有5是全运会志愿得到 x=34则62-4+x＝9+58+12-30黑上衣又穿206+177-41人中有15故有电脑没∪C = A+B 6+X，得出8,A+B+T=2本题选A。
试参加的人=27+108-（450-30=20人愿者，所以45。
＝56+11，解0＝109（人穿黑裤子的有）÷2=171人只有手机没手机的人B+C - A∩B X=16，选28+20=48,注：在这里人数”。
组合数学(第二版)容斥原理
容斥原理
图 4.4.3 有禁区的排列
容斥原理
【例 4.4.5】(错排问题) 即第i个棋子不能排在第i行的第i 个位置,问题可以看作在 一个n×n 的棋盘上,以对角线上的方 格为禁区A 的布局问题,求布局方案数.
解 如图4.4.4所示,阴影部分为禁区构成的棋盘A,由式 (4.4.6)知
从而必有
容斥原理 因此,由公式(4.4.8)可得错排的方案数为
容斥原理
4.2 容 斥 原 理
引理 4.2.1 设A,B 为有限集合,则有
容斥原理
证 显然,对于A+B 中的元素a,在等式左边恰被统计一次, 而在等式右边被统计 的次数,可分为如下三种情形来考虑:
(1)a∈A,但a∉B,则a 也恰被统计一次; (2)a∉A,但a∈B,同样恰被统计一次; (3)a∈A 且a∈B,那么必有a∈AB,从而a 被统计1+1-1=1 次. 所以,a 在等式两边被统计的次数是相同的,引理4.2.1得 证.
容斥原理
4.1 引 言
容斥原理 关于集合的运算,有:
容斥原理 集合的运算,满足下列运算定律:
容斥原理
当集合A 中的元素为有限个时,称A 为有限集合,其元素 个数记为|A|,亦称为A 的 势.关于|A|,有如下简单性质:
(1)若集合A、B 不相交,即AB=⌀,则|A+B|=|A|+|B|; (2)若A⊃B,则|A-B|=|A|-|B|.
(2)j=k,则a 在q- 中只出现一次,且当i>k 时,a 在q- 中同样 不可能被统计;
容斥原理
容斥原理
在所讨论的问题中,如果性质 P1,P2,…,Pn 是对称的,即具 有k 个性质的事物的 个数不依赖于这k 个性质的选取,总是等 于同一个数值,则称这个值为公共数,记作Rk, 例如:
容斥原理(二)(含答案)-
容斥原理（二）【例题分析】例1.有25人参加跳远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次达到优秀。
第一次达到优 秀的有10人，第二次达到优秀的有13人，第三次达到优秀的有15人，三次都达到优秀 的只有1人。
只有两次达到优秀的有多少人？分析与解：“每人至少有一次达到优秀”说明没有三次都没达到优秀的。
要求只有两 次达到优秀的人数，就是求重叠两层的部分（图中阴影部分）。
10+13+15-25-1x2 = 11 （人）答：只有两次达到优秀的有11人。
例2.在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有6人 要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的 没有，只要汽水和雪碧的有1人；三样都要的有1人。
问：共有几个小朋友去了冷饮店?V25人分析与解：根据题意画图。
冰人方法一:6 + 6 + 4-(3+1)-(0+1)-(1 + 1) + 1 = 10 (人)方法二：6 + 6 + 4-3-l-l×2 = 10 (人)答：共有10个小朋友去了冷饮店。
例3.有28人参加田径运动会，每人至少参加两项比赛。
已知有8人没参加跑的项目，参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人数都是17人。
问：只参加跑和投掷两项的有多少人？分析与解：“每人至少参加两项比赛”说明没有不参加的，也没有参加一项比赛的，我们可以在下图中参加一项的区域用0表示。
跑28-17-8 = 3 (人)答：只参加跑和投掷两项的有3人。
例4.某校六年级二班有49人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学有30人参加，英语有20人参加，语文小组有10人。
老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组的有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只有1人，求既参加英语又参加数学小组的人数。
分析与解：根据已知条件画出图。
三圆盖住的总体为49人，假设既参加数学乂参加英语的有x人，既参加语文乂参加英语的有y人，可以列出这样的方程：30 + 20+10-x-y-3+l=49整理后得：x + y = 9由于X、y均为质数，因而这两个质数中必有一个偶质数2,另一个质数为7。
组合数学答案6-8
Let A be the set of xi is nonnegative integer and xi 0 (i 1 ,2 ,3 and 4) ,
then
14 4 1 17
A
14
14
680
.
Let Ai be the set of xi is nonnegative integer and xi 8 (i 1,2,3 or 4) ,
|������| = 3
9 42
1
=
1260
|������1| = 4
7 2
1
= 105
|������2| = 3
6 2
1
= 60
|������3| = 4
8 3
1
= 280
We can also get that
Thus,
|������1 ∩ ������2| = *'aaa' , 'bbbb' , 2∙c, 1∙d+ |������1 ∩ ������3| = *'aaa' , 4∙b, 'cc' , 1∙d+ |������2 ∩ ������3| = *3∙a, 'bbbb' , 'cc' , 1∙d+
������3 = *3∙a, 4∙b, 'cc' , 1∙d+ ������1 is the set that consisting all the permutations of S which three a is consecutively.������2is the set that consisting the all the permutations of S which four b is consecutively. ������3 is the set that consisting all the permutations of S which two c is consecutively.
2004年组合数学试题题目电子科技大学组合数学 考题答案---
2004年组合数学试题
1．
(10分) 用字母A,B,C 组成5个字母的符号，要求在每个符号里，A 至多出现2次，B 至多出现3次，C 至多出现1次。
求此类符号的个数。
2．
(15分)分别用容斥原理和母函数法求重集合}{C B A B ⋅⋅⋅=4,6,5的7-组合数。
3． （共15分）
(1) （5分） 证明：在长为3×2的长方形内任意放置4个点，则其中 至少有两个点的距离5≤。
(2) （10分） 证明：如果将1，2，…，10随机地摆成一圈，则必有相 邻三数之和至少是17。
4．
（10分） 用容斥原理求解: 在所有的n 位数中，包含数字5，7，不包含0，8的数有多少个？ 5．
（10分） 如果用a n 表示没有两个0相邻的n 位4元序列（即0，1，2，3组成的序列）的个数。
求a n 的递归关系并解之。
（递归关系的建立并求解） 6．
（10分） 求由数字1，2，3，6, 7 ,8组成的8位数中，7和8至少出现一次，2和6出现偶数次的8位数的个数。
（可重排列） 7．
（10分） 求从n 个不同的物体中允许重复的取r 个物体，但每个物体出现3次的方式数。
8． （10分） 求解递归关系
⎩⎨⎧==≥⋅+-=--1
,0)2(24651021a a n a a a n n n n 9． （10分） 用母函数法求解递归关系
⎩⎨⎧=≥+=--0)1(20
11a n a a n n n。
组合数学讲义及答案 4章 容斥原理
n 2
n1
A1 A2 An1 An
将上式与式(4.2.3)代入式(4.2.4)整理即得式(4.2.2) .
（二） 逐步淘汰原理
【定理 4.2.2】 （逐步淘汰原理） 设 A1，A2，…An 为有限集合 S 的子集，则
A1 A2 An
＝ S Ai
i 1 n 1 i j n
n ＝ S － Ai Ai Aj Ai Aj Ak 1 i j n 1 i j k n i 1
－…＋ 1
n1
A1 A2 An
4/49
《组合数学》
第四章
容斥原理
＝ S Ai
i 1
n
1 i j n
AA
i
2/49
《组合数学》
第四章
容斥原理
（3） A B ＝ A － AB
§4.2
（一） 容斥原理
容 斥
原
理
【引理 4.2.1】 设 A，B 为有限集合，则有 （4.2.1） （证）对于 A＋B 中的元素 a，在等式左边恰被统计一次，而 在等式右边被统计的次数，分为三种情形统计： （1） a A ，但 a B ，则 a 也恰被统计一次； （2） a A ，但 a B ，同样恰被统计一次； （3） a A 且 a B ，那么必有 a AB ，从而 a 被统计 1＋1 －1＝1 次。 所以，a 在等式两边被统计的次数是相同的。 【定理 4.2.1】 （容斥原理） 设 A1，A2，…An 为有限集合，则
qn＝ A1 A2 An 。 N k ＝S 中恰好具有 k 种性质的元素个数（k＝0,1, …,n） 例如
N 0 ＝ A1 A2 A2 A3 An
(完整版)容斥原理习题加答案
1.现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对的有( )A、27人B、25人C、19人D、10人【答案】B【解析】直接代入公式为：50=31+40+4－A∩B得A∩B=25，所以答案为B。
2.某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。
其中25％是白色的，75％是蓝色的。
如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫有10件，小号蓝色衬衫有多少件？（）A、15B、25C、35D、40【答案】C【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，将所求答案设为A∩B，本题设小号和蓝色分别为两个事件A和B，小号占50%，蓝色占75%，直接代入公式为：100=50+75+10－A∩B，得：A∩B=35。
3.某高校对一些学生进行问卷调查。
在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备只选择两种考试都参加的有46人，不参加其中任何一种考试的都15人。
问接受调查的学生共有多少人？（）A．120B．144C．177D．192【答案】A【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字24，再推其他部分数字：根据每个区域含义应用公式得到：总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数＝63+89+47－{(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15＝199－{（x+z+y）+24+24+24}+24+15根据上述含义分析得到：x+z+y只属于两集合数之和，也就是该题所讲的只选择两种考试都参加的人数，所以x+z+y的值为46人；得本题答案为120.4.对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。
其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有多少人（）A.22人B.28人C.30人D.36人【答案】A【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字12，再推其他部分数字：根据各区域含义及应用公式得到：总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数100＝58+38+52－{18+16+（12+ x）}+12+0,因为该题中，没有三种都不喜欢的人，所以三集合之外数为0，解方程得到：x＝14。
电子科大组合试题及答案09.12(工硕)
组合数学试题 共 5 页 ，第 1 页电子科技大学研究生试卷（考试时间： 至 ，共 2 小时）课程名称 组合数学 教师 卢光辉、杨国武 学时 40 学分 2 教学方式 讲授 考核日期 2009 年 12 月 日 成绩 考核方式： （学生填写）一、(14分) 现安排从星期一至星期五对5个项目A, B, C, D, E 进行评审，每个项目安排一天，每天安排一个项目。
但要求项目A 不安排在星期二评审，项目B 不安排在星期三和星期五评审，项目C 不安排在星期四评审，项目D 不安排在星期一评审，项目E 不安排在星期三和星期四评审。
问有多少种不同的评审安排方案？解 原问题可模型化为一个5元有禁位的排列. 其禁区棋盘C 如下图的阴影部分。
-----------------4分由图,可得C 的棋盘多项式为 R(C)== 1+7x+17x 2+18x 3+8x 4+x 5 -----------------5分所以安排方案数为5! - 7·4! + 17·3! - 18·2! + 8-1 -----------------4分= 25即共有25种。
-----------------1分 二、（10分）用2种颜色对下图的小圆点着色，证明必存在两列，其着色完全相同。
证明：因每个小圆点有2种颜色可选,故每列恰有8 种着色方案, -------------5分学 姓 名 学 院……………………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………………A B C D E 1 2 3 4 5组合数学试题 共 5 页 ，第 2 页现有9列,由鸽笼原理,知必有两列着色相同. -------------5分 三、（16 分）求方程⎩⎨⎧≤≤≤≤≤=+++2,62,63133214321x x x x x x x 的正整数解的个数。
解 等价于求集合S 0＝{3.A,4.B,1.C ,∞.D}的所有6-组合构成的集合。
组合试题及答案08[1].11-工硕-
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====Word 行业资料分享--可编辑版本--双击可删==== 电子科技大学研究生试卷 （考试时间： 至 ，共 2 小时）课程名称 组合数学 教师 卢光辉、杨国武 学时 40 学分 2 教学方式 讲授 考核日期 2008 年 11 月 26 日 成绩 考核方式： （学生填写）一、（16 分）求方程⎩⎨⎧≤≤≤≤≤≤=+++20,62,41103214321x x x x x x x 的正整数解的个数。
解 等价于求集合S 0＝{3.A,4.B,1.C,∞.D}的所有5-组合构成的集合。
-----------------4分 令集合S 为{,,,}A B C D ∞⋅∞⋅∞⋅∞⋅的所有5-组合构成的集合。
-----------------2分 则有 |S|=F(4,5) = 56。
令 A 1表示S 中至少含有4个A 的元素构成的集合, A 2表示S 中至少含有5个B 的元素构成的集合, A 3表示S 中至少含有2个C 的元素构成的集合, -----------------4分 于是 4)1,4(||1==F A ,1)0,4(||2==F A ,20)3,4(||3==F A 0||||||||321323121=⋂⋂=⋂=⋂=⋂A A A A A A A A A -----------------2分 由容斥原理，所求的5-组合数为 31231231i i j i i j A A A S A A A A A A =≠=-+-∑∑ -----------------3分 =56 – (4+1+20) = 31 -----------------1分 二、（16 分） 现有一项目，全国4个片区共28家单位申报，其中，西南片区有5家，华北片区有8家，华东片区有4家，华南片区有11家。
假定同一片区的各个单位不加以区别，现在要从中选取8家单位入围。
（1）问理论上有多少种不同的选取方案？ （2）现为了考虑不同片区的特殊情况，如果西南片区至少有1家入围，华北片区至少有2家入围，问理论上有多少种不同的选取方案？ 解 （1） 等价于求集合S 0＝{5.A,8.B,4.C,11.D}的所有8-组合构成的集合。
5、组合数学之容斥原理
因此, 当直接求解受阻或无法达到目的 时, 应考虑间接求解方法. 所谓“曲径 通幽”, 说的就是这个道理. 上面举的间接计数的例子是利用了如 下原理：如果A是集合S的子集, 则A中 的元素个数等于S中的元素个数减去不 在A中的元素个数, 这个原理可写成
| A || S | | A | 或 | A || S | | A |
10000 10000 | A4 | 2500 , | A4 A5 | 500 4 45 10000 10000 | A4 A6 | 833, | A4 A5 A6 | 166 [4,6] [4,5,6] | A5 | 2000 , | A6 | 1666 , | A5 A6 | 333
m n i i 0 m 1 n
13
第二类Stirling数的展开式
第二类Stirling数：把 n个有区别的球放到k个 相同的盒子中, 要求无空盒, 其方案数为S(n,k).
则 所以
f(n, k)=k!S(n, k)
1 k k i n S ( n, k ) ( 1) C ( k , i )i k! i 0
i 1 i 1 j i n n
Ai A j Ak
i 1 j i k j n
n
( 1) A1 A2 An
11
例求在1到10000的整数中不能被4,5,6整除的数的个数. 解：令Ai(i=4,5,6)表示1到10000的整数中能被i整 除的数的个数，则
n
三. 容斥原理的应用实例
1. 错排问题 上一讲利用递归关系讨论了错排问题. 现在利用容斥原理再次讨论这个问题. 可以看出容斥原理解决这个问题更容 易, 而且利用容斥原理很容易理解错 排数列通项公式的组合意义. 我们再重申一下, 排列i1i2in是排列 12n的一个错排当且仅当i11, i22, , inn.
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A2............................ 6个c.......................... ..... ...... .....。
A3.............................8个d..................................... .....。
K=n+1时
D2(n+1)-1=D2n+1=(2n+1-1)(D2n+D2n-1)=2n(D2n+D2n-1)为偶数。
D2(n+1)=D2n+2=(2n+2-1)(D2n+1+D2n)=奇数（偶数+奇数）=奇数。
命题也成立。则由数学归纳法原理原命题成立。
3.19a.从S={1,2,3,...,n}中选取k个元素，且无相邻两数，求不同的选取法。
个。
对n个顶点都如此考虑之后，我们将得到X= 个满足要求的k边形。又注意到k边形有k个顶点，所以同一个k边形必在X中被计算了k次，因此满足要求的k边形数有
个。
3.19．在一个宴会上，有n(n 3)对夫妇围圆桌就坐，在男女交替，夫妻不相邻的条件下有多少种就坐方式。
解：我们先让n位女士间隔就坐，并把她们按顺时针方向编号为1，2，...
由容斥原理有，
其中S表示{1，2，…..,8}的所有全排列的集合，故有
而 表示2和4均在自然位置上的全排列的集合，
故
同理，
类似的有
,代入公式得
：本题用有禁区棋盘来解更简单。
3.14.求由数字1，2，….8所组成的全排列中，恰有4个数在其自然位置上的全排列个数。
解：在（1，2，….,8）中有4个数在其自然位置共有 种方式，对某一种方式，均有4个不在其自然位置，这正好是一个错排，其方式数为D4。
习题三
:为方便起见，对本章习题，我们先约定几个记号。
设Wk= k=1,2, ... n。
W0=|S|。
3.1．答案：4000。
3.2．求1到1000中既非完全平方又非完全立方的整数个数。
解：设A1表示包含完全平方的数的集合，则
表示不包含完全平方的数的集合
A2表示包含完全立方的数的集合，则
表示不包含完全立方的数的集合，故
。
设S为所有坐法的集合，
则W0=n!,
仅考虑具有一种性质时，仅有一人座位固定，其它人可以随便坐，
则W1=
同理Wk= k=1,2,...，n。
显然Wn+1=Wn+2=...=W2n=0;
则女士坐定后男士的坐法数为
W0-W1+W2-.....+(-1)nWn
又女士开始是的选位有(n-1)!种，由乘法原则原问题的总坐法数=
a.求至少问题与书上的“拿错帽子”问题相同。
a. P(错)=Dn/n!
则至少有一次巧遇的概率为
p=1-P(错)=1-Dn/n!=1-1/2!+1/3!-....+(-1)n+11/n!
b.即有m个学生排号正确，而其余n-m个学生产生错排。
此事件个数为 Dn-m。
A2表式两个b相邻的集合，
A3表式两个c相邻的集合，
A4表式两个d相邻的集合，
A5表式两个e相邻的集合，
则
而 (i=1,2,…5)
(i=1,2,…5,j=1,2,…5,i j)
而 ，故
=113400-22680+5040-1260+360-120
=39480。
3.5．在有9个字母a,a,a,b,b,b,c,c,c的全排列中，求相同字母不相邻的排列个数。
W1= =3360，//[][]/*具有一个性质的类型*/
//说明：从a,b,c中任选一个字母的二组合（如aa），有3种选法，将剩下的7个字母（abbbccc）作全排列，有【7！/(3!3!)】种排法，然后将选出的aa进行插空，有8个空，于是有W1。
同理：
W2= + =2940，
[][][] or [][] [][]/*即同时具有两种性质的排列分两类，要么相邻三个位置都为同一字母，要么是分开的两对。*/
令P2表示这样的性质：一个n位数不包含8，
令P3表示这样的性质：一个n位数不包含9，
重令Ai（i=1,2,3）表示具有性质Pi的集合，
则 表示所有n位数包含3，又包含8，又包含9，
由容斥原理：
而
，代入上式得
3.11．求重集B={ .a, 3.b, 5.c , 7.d}的10-组合数。
提示：记B’={ .a, .b, .c, .d}
W3= +4×5×6×3!=1440
[][][] [][] or [][] [][] [][]
W4= + = 420
[][][] [][][] or [][][] [][] [][]
W5=2×3×4×(3 1!)=72
[][][] [][][] [][]
W6=3!=6
[][][] [][][] [][][]
解：我们假设9个字母的排列位置从左到右编号为1，...，9，即：[1][2][3][4][5][6][7][8][9]。
则假设pi:表示位置i和（i＋1）上排的字母相同，Ai为具有性质pi的排列所组成的集合，i=1,2,...，8。
从而所求排列个数X= =W0-W1+W2-....+W8。
W0=|S|= =1680,
所以恰有m此巧遇的概率为：
pm= Dn-m/n!= 。
3.21．有张，王，刘，李四位教师和数学，物理，化学，英语四门课程。
已知张和李都不能教数学和英语，王不能教化学，刘不能教物理和化学。若要为每人安排一门他能教的课程，且一门课程只能被一人教，试问有多少种不同的安排方案？
解：这是一个四元有禁位排列问题，其对应的有禁区棋盘为
由乘法规则有，恰有4个数在其自然位置上的全排列数为 。
3.16．证明：Dn是偶数当且仅当n是奇数。
证：我们把原问题转化为一个等价命题：求证D2k-1为偶数，D2k为奇数，k=1,2,3,....
用归纳法：
k=1时，D1=0为偶数D2=1为奇数，命题成立。
设k=n时命题成立，即：D2n-1为偶数，D2n为奇数。
反之亦然。这样S的满足要求的k子集数就等于S’的一般k子集数
=
:构造一一映射的方法很重要。此题要牢记！
3.19b.证明一个凸n边形中，以其顶点为顶点，对角线为边（不含原多边形的边）的k边形个数是 。
证：任选一点A，去掉左右两个邻点，在剩下的n-3个点中选出k-1个不相邻的点。因为这n-3个点的首尾两点不存在相邻问题，因此其选法数同19a有
表示既不包含完全平方又不包含完全立方数的集合，则由容斥原理知： ,而
|S|=1000,|A1|=31,|A2|=10
表示既是完全平方又是完全立方的数的集合，故
,因此有 。
3.3．答案为：52。
3.4.在有十个字母a,a,b,b,c,c,d,d,e,e的全排列中，求相同字母不相邻的排列个数。
解：设A1表式两个a相邻的集合，
(n-1)!(W0-W1+W2-.....+(-1)nWn)
=
：这是一道难题。解法巧妙，很有意思。对此问题，很容易想到用棋盘多项式来解，事实上它的棋盘很简单，但其多项式很难求。将得到一个递推多项式，然后还要猜想多项式的形式，最后要用数学归纳法证明。
3.20．在一个班上有n名学生，临时将这n个学生任意编号为1，2，...，n。当教师上课按原来的点名册点名时，如果编号为i的学生正好是第i个喊到时，就称为一次巧遇。
设禁区棋盘为C（图中阴影部分）,则易得
R(C)=1+7x+15x2+10x3+2x4
所以r1=7, r2=15, r3=10, r4=2,
则所求排列数为（安排方案）有
4!-7 3!+15 2! 10 1!+2=4种
：用观察法看棋盘的特点也可以分析出仅有4种方案。
注意到john与smith不能同时出现(都有’h’)，由容斥原理得，
而
代入上式即得。
3.8.在所有的n位数中，包含数字3，8，9但不包含数字0，4的数有多少？
解：除去0，4，则在1，2，3，4，5，6，7，8，9这8个数字组成的n位数中，
令S表示由这8位数组成的所有n位数的集合。则|S|=8n.
令P1表示这样的性质：一个n位数不包含3，
n。再让丈夫们就坐，但具有下列性质的坐法被禁止：
R1:丈夫1坐在妻子1的右边。
L1:丈夫1坐在妻子1的左边。
R2:丈夫2坐在妻子2的右边。
L2:丈夫2坐在妻子2的左边。
... ...
Rn:丈夫n坐在妻子n的右边。
Ln:丈夫n坐在妻子n的左边。
我们将这2n个性质看成2n个点将它们编号为1，2，...,2n并顺时针排成一个圆周。可以看出，相邻的性质是不可能同时出现的（Ln与R1相邻）这样由19b的结论，仅具有k种性质出现的坐法数为
解：设{a1,a2,...,ak}是满足要求的一组k元素。因为这是组合问题，不妨设它们是按从小到大的顺序排列的，那么它们必满足
1 a1<a2-1<a3-2<.....<ak-(k-1) n-(k-1)
因此{a1,a2-1,...,ak-k+1}是S’={1,2,3,...,n-k+1}的一个k子集，
W7=W8=0
所以X=1680-3360+2940-1440+420-72+6 = 174。
3.7.在由26个字母a,b,c,…..z组成的全排列中，求不包含字符串john,paul和smith的全排列个数。