卷积与常用特殊信号

x t Ae
Wf A e
0
at
a 0, t 0
dt
0
x t e
j 2 ft
Ae at e j 2 ft dt

a j 2 f t
A dt e a j 2 f t a j 2 f
• 则
时域卷积定理：时间函数卷积的频谱等于各个时间函数频谱的乘积，既在 时间域中两信号的卷积，等效于在频域中频谱中相乘。
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信号处理部分
5
测控技术
材料与机械工程学院
4 频域卷积定理
• 如果
F [h(t )} H ( ); F [ x(t )] X ( );
• 则
F [h(t ) x(t )]
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信号处理部分
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测控技术
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三、阶跃函数u(t)与符号函数sgn(t)
u t t dt

t
1
0
t
sgn t 2u t 1
1
0 -1
t
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信号处理部分
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测控技术
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四、指数函数
0
A a j 2 f 其幅值频谱 W f
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A a 2 4 2 f 2
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信号处理部分
2）积分特性（筛选）



f (t ) (t ) f (0),



f (t ) (t t 0 ) f (t 0 )
3）卷积特性
f (t ) * (t )

f ( ) (t )d f (t )

f (t ) * (t t0 )
x( )h(t )d
y(t) x(t)
x(n t ) t
nt
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t
0
信号处理部分
nt
t
4
测控技术 3 时域卷积定理
材料与机械工程学院
• 如果
h(t ) H ( );
FT FT x(t ) X ( ); FT h(t ) * x(t ) H ( ) X ( ); FT h(t ) * x(t ) H( f )X ( f )
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f ( ) (t t0 )d f (t t0 )
信号处理部分 8
测控技术
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函数的卷积
t
t t0
t t0
t t0
0
t
t0
0
t0
t
x t
x t
0
t
x t t t0
x(t)

h(t)
y(t)
y(t ) x( )h(t )d x(t ) h(t )

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测控技术 2 卷积的物理意义
材料与机械工程学院
对于线性移不变因果系统，系统的输出y(t)是任意输入x(t)与系统脉冲响 应函数h(t)的卷积。 （1）将信号x(t)分解为许多宽度为 t 的窄条面积之和，t= n t 时的第n 个窄条的高度为x(n t )，在 t 趋近于零的情况下，窄条可以看作是强度 等于窄条面积的脉冲。 （2）根据线性系统特性，在t=nt时刻，窄条脉冲引起的 响应为: x(nt) t h(t- nt) y(t)
0
t
x t t t0
x t t
0
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t
信号处理部分
t0
0
t0
t
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测控技术
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函数傅立叶变换
t 1
1 t
t t0 e
e
j 2 f 0 t
j 2 ft0
f f0
1 2
H ( ) * X ( );
F [h(t ) x(t )] H ( f ) * X ( f )
频域卷积定理：两时间函数的频谱的卷积等效于时域中两时间函数的乘积。
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信号处理部分
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测控技术
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二、函数 a) 函数: 是一个理想函数，是物理不可实现 信号。
x(t)
x(n t ) t
x(nt) t h(t- nt)
nt
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t
0
信号处理部分
nt
t
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测控技术
材料与机械工程学院
（3）根据线性系统的叠加原理，各脉冲引起的响应之和即为输出y(t)
y( t)
n 0
( x(nt)tht


nt)
y(t )
, t 0 (t ) 0, t 0
(t ) lim S (t )
0



(t )dt 1
S(t)
S(t)
S(t)
1/

t
信号处理部分
t
t
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函数特性
1）乘积特性（抽样）
f (t ) (t ) f (0) (t ), f (t ) (t t 0 ) f (t 0 ) (t t 0 )
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卷积运算与特殊函数
测控技术
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一、卷积分
1 卷积概念与定义 卷积积分是一种数学方法，在信号与系统的理论研究中占有重要的地 位。特别是关于信号的时间域与变换域分析，它是沟通时域－频域的一个 桥梁。 在系统分析中，系统输入／输出和系统特性的作用关系在时间域就体 现为卷积积分的关系