形式语言与自动机第七章下推自动

下推自动机以上这两种接受语言的定义，虽然形式上很不相同， 但它们是彼此等价的。
下推自动机接受的语言
例7.1 构造一个PDA按终结状态方式接受语言{ 0n1n | n≥1}。
我们令 M =（{q0，q1，q2，q3}，{0，1}。{Z，A}，δ，q0， Z，{q3}），其中 δ（q0 ，0，Z）={（q1 ，AZ）} 在栈中 加入A
a
a
q
v
p
u
(p, u) δ(q, ε, v) means that this a ε-
move.
a
a
q
p
u
(p, u) δ(q, a, ε) means that a push
operation performs at stack.
a
q
v
a p
(p, ε) δ(q, a, v) means that a pop
下推自动机的动作模型
下推自动机接受的语言
定义7.2 设 M = (Q,∑,Γ,δ,q0 ,Z0 ,F)是一个PDA，集合{ w | (q0 , w, Z0) ┝* (p,ε,γ),w∈∑* ,p∈F,γ∈Γ* } 称为M按终结状 态方式接受的语言，用L(M)表示。
下推自动机M从初始状态q0出发，读头注视着w的第一个符号， 栈中只有栈底符号Z0（也是栈顶），经过若干次动作，当读头越 过w的全部符号后，若状态变为终结状态，则M接受w 。此时栈 中情况如何是没有关系的，也许栈变空，也许还有许多符号。但 是，在w未读完之前，栈不能变空，否则因为没有了栈顶符号，δ 函数将无定义，当然w也就不可能被M接受。
在上述例子中,也可以将最后两个δ函数改为δ（q2，ε，R）={（q3，R）}和δ（ q1，C，R）={（q3，R）}，并令q3为终结状态（在七元组中也相应更改），这 就是一个以终结状态方式接受L的PDA。由此可见，以两种不同方式接受语言的下 推自动机之间是相通的，并没有本质的差别。
下推自动机接受的语言
构造这个PDA M的基本思路是，因为要接受的输入是以c为中心的对称串，利用栈 的特性，将在c之前已读过的符号依次存入栈中（用B代表0，G代表1，当然用符 号0，1本身入栈也是可以的。），当遇到对称中心c时，栈不动，但要改变状态（ q1变为q2），在q2的控制下处理输入串的后一半，主要是输入符号和栈中符号的对 消工作。当读到的输入符号为0时，若栈顶符号为B，则消去B并读下一个符号；当 读到的输入符号为1时，若栈顶符号为G，则消去G并读下一个符号，直到对称的 输入串读完，栈底符号R重新变为栈顶，此时将栈变空表示接受。对于不能接受的 输入，例如，输入串为01c11时，当读到c后第二个1时，栈顶符号为B，但是我们 没有定义δ（q2 ，1，B），因此M不能接受该输入串。
对于例7.1中的PDA M，用扩充转移图表示就是：
图中从q0到q1的有向边上标记为0,Z/AZ，就表示PDA M在q0的状态下, 读过的符号为0，栈顶符号为Z时，就将栈顶符号改为AZ(A入栈)，同时 状态变为q1 。这就相当于δ(q0 ,0,Z)={(q1 ,AZ)}。
下推自动机接受的语言
例 7.2 构造一个PDA M ,使其能以空栈方式接受语言L={ wcwR | w∈{0,1}* }。 令M =（{q1，q2 }，{0，1，c}，{R，B，G}，δ，q1 ，R， ），其中
The stack head always scans the top symbol of the stack. It performs two basic operations: Push: add a new symbol at the top. Pop: read and remove the top symbol.
Alphabet of stack symbols: Γ
a
The head scans at a cell on the tape and can read a symbol on the cell. In each move, the head can move to the right cell.
下推自动机的定义
用IDk┝MiIDj表示从IDk经i次转换到达Idj
ID转换记号┝M中的M（下推自动机的名字）在明确无误的情况下也可也 不标出，可以只写┝或┝*。
为了以后应用的方便，对ID的定义加以扩充，也就是将三元组（q，w， γ）中的w扩充为输入符号串的某一子串，而读头正指向它的第一个符号 ；γቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ充为栈中从栈顶开始往下的某个连续的符号串。例如，原来的ID为 （q ，w1w2 ，γ1γ2），扩充后的ID可以写为（q ，w1 ，γ1）。
δ（q1 ，0，A）={（q1 ，AA）} 在栈中加入A
δδ（（qq12
，，11，，AA） ）=={{（ （qq22
，ε）} ，ε）}
遇1消去栈顶符号 遇1消去栈顶符号
δ（q2 ，ε，Z）={（q3，Z）} 接受
从初始状态q0 开始，若读到0，则在栈中加入一个符号A（当然也 可以用别的符号），同时将状态改为q1 。q1若遇0，则也在栈中 加入A；若遇1（此时栈中已有n个A，表示已经读过了n个0），则 将状态改为q2，且从栈中消去一个A 。q2遇1，再从栈中消去一个 A，状态仍保持q2不变。若输入串中0的个数与1的个数相等，则 在读完这个串后，q2将遇到Z（栈底符号Z变为栈顶符号），此时 读头不动并将状态变为终结状态q3 ，表示接受输入串0n1n 。
The finite control has finitely many states which form a set Q. For each move, the state is changed according to the evaluation of a transition function
下推自动机接受的语言
和DFA一样,PDA除了用七元组的标准形式描述外,还有两种其它的描述方 式,即矩阵表示和(扩充的)转移图表示。对于例7.1中的PDA M，用矩阵 表示就是：
下推自动机接受的语言
若用矩阵表示出一个PDA M的完全定义，还须指出初始状态、终结状态 和栈底符号，这可以用约定的方式标出。例如可以在状态和栈符号前打* 号分别表示终结状态和栈底符号；初始状态可以用另外的符号标出，也可 以约定第一行第一个状态为初始状态。
像文法中的推导记号一样，用┝M* 表示下推自动机瞬时描述之间任意多次（包括零 次）的转换。它由下面的归纳法定义： 基础： 对于任何ID I，都有I┝M*I； 归纳： 如果存在某个ID K，满足I┝M K和K┝M* J，则有I┝M* J。 也就是说，如果存在ID的序列K1，K2，…Kn，满足I= K1，J= Kn，并且对于所有 的i=1，2，…n-1，都有Ki┝M Ki+1 ，则有I┝M* J。
δ（q1 ，0，R）={（q1 ，BR）} 遇0，栈中加入B。 δ（q1 ，0，B）={（q1 ，BB）} δ（q1 ，1，R）={（q1 ，GR）} 遇1，栈中加入G。 δ（q1 ，1，G）={（q1 ，GG）} δ（q1 ，1，B）={（q1 ，GB）} δ（q1 ，0，G）={（q1 ，BG） 遇0，栈中加入B。 δ（q1 ，c，B）={（q2 ，B）} 遇对称中心c，改变状态，栈不动。 δ（q1 ，c，G）={（q2 ，G）} δ（q2 ，0，B）={（q2 ，ε）} 遇对称符号，消栈顶。 δ（q2 ，1，G）={（q2 ，ε）} δ（q2 ，ε，R）={（q2 ，ε）} 当再遇栈底R时，表示已读过的串符合要求，将栈变 空，表示接受。 δ（q1 ，c，R）={（q2 ，ε）} 处理当w=ε时的特殊情况，即输入串只有c，也 被接受。
operation performs at stack
下推自动机的定义
定义 7.1 下推自动机(PushDown Automata）简称 PDA，是一个七元组 M = (Q,∑,Γ,δ,q0 ,Z0 ,F)，其中
① Q是有穷状态集; ② ∑是有穷的输入字母表； ③ Γ是有穷的栈符号表； ④ δ是转移函数，它将Q(∑∪{ε}) Γ映射到(Q Γ)* 的
a
a
q
v
p
u
(p, u) δ(q, a, v) means that if the tape
head reads a, the stack head read v, and the finite control is in the state q, then one of possible moves is that the next state is p, v is replaced by u at stack, and the tape head moves one cell to the right.
形式语言与自动机
南京航空航天大学 计算机科学与技术学院
袁伟伟 yuanweiwei@
第七章 下推自动机
下推自动机的定义 下推自动机接受的语言 下推自动机和上下文无关文法的关系 确定的下推自动机
有穷自动机模型
开始时，“读头”指向带上的第一个输入符号，控制器中放的是FA 的初始状态。然后，依据转移函数δ做动作：若控制器中的当前状 态是q ，且“读头”指向带上符号为a，则控制器中状态将变成 p=δ(q,a)，且“读头”向右移指向带上下一个符号，如此可以继续 进行下去。(注意：读头不能回头，只能一直向右移动)
tape
tape head
finite control
stack head stack
a l p h a be t
The tape is divided into finitely many cells. Each cell contains a symbol in an alphabet Σ.
根据δ的定义，它的动作是不确定的。这里有两种不确定性：一是δ函数 值可以有m种选择（m也可以为0），二是读头越过输入符号或者保持不 动（a=ε的情况），都可以有函数值。这和具有ε动作的有穷自动机是很 相似的。