安徽省安庆市2018届高三二模考试理科数学试题
安徽省安庆市2018届高三二模考试数学试题(理)(解析版)
安徽省安庆市2018届高三二模考试数学试题（理）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}1|{<=x x A ，集合}11|{<=xx B ，则=B A I （ ） A ．∅ B ．}1|{<x x C ．}10|{<<x x D ．}0|{<x x 2．已知复数z 满足：(2+i)=1-i z ，其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数为（ ）A ．13-i 55 B ．13+i 55 C ．1-i 3 D ．1+i 33．ABC ∆三内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,则“b a >”是“B A 2cos 2cos <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件4．如图，四边形OABC 是边长为2的正方形，曲线段DE 所在的曲线方程为1=xy ，现向该正方形内抛掷1枚豆子，则该枚豆子落在阴影部分的概率为（ ）A ．42ln 23- B ．42ln 21+ C ．42ln 25- D ．42ln 21+-5．阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，则输出的x 值为（ ）A ．0B ．1C ．16D ．326．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．12B ．16C ．332 D ．247．函数||log |1|1)(x x x x f a ++=（10<<a ）的图象的大致形状是（ ）8．已知函数)sin()(ϕω+=x x f （2||,0πϕω<>）图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，将函数)(x f y =的图象向左平移π3个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数)(x f y =的图象（ ）A. 关于点π(,0)12对称 B. 关于点π(-,0)12对称 C. 关于直线π=12x 对称 D. 关于直线12π-=x 对称9．在ABC ∆中，点D 是边BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得AC AB BM μλ+=，则=+μλ（ ） A ．21B ．21-C ．2D ．2-10．在锐角ABC ∆中，B A 2=，则ACAB的取值范围是（ ） A ．)3,1(- B ．)3,1( C ．)3,2( D ．)2,1(11．已知实数y x ,满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥--≥≤x y x y x y 32)1(32，则1+x y 的最大值为（ ）A ．52B ．92C ．136 D ．21 12．已知函数)0(4)(>+=x xx x f ，P 是)(x f y =图象上任意一点，过点P 作直线x y =和y 轴的垂线，垂足分别为B A ,，又过点P 作曲线)(x f y =的切线，交直线x y =和y 轴于点H G ,.给出下列四个结论：①||||PB PA ⋅是定值；②⋅是定值；③||||OH OG ⋅（O 是坐标原点）是定值；④⋅是定值. 其中正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．①②③D ．①②③④ 二、填空题：每题4分，满分20分.13．如果nxx )13(-的展开式中各项系数之和为128，则展开式中41x 的系数是 . 14．设抛物线y x 42=的焦点为F ，点B A ,在抛物线上，且满足λ=，若23||=，则λ的值为 .15．已知由样本数据点集合}.,2,1|),{(n i y x i i Λ=求得的回归直线方程为5.05.1ˆ+=x y，且3=x .现发现两个数据点)1.2,1.1(和)9.7,9.4(误差较大，去除后重新求得的回归直线l 的斜率为，那么，当2=x 时，y 的估计值为 .16．祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同幂，则积不容异”.这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等.一般大型热电厂的冷却塔大都采用双曲线型.设某双曲线型冷却塔是曲线12222=-b y a x )0,0(>>b a 与直线0=x ，0=y 和b y =所围成的平面图形绕y 轴旋转一周所得，如图所示.试应用祖暅原理类比求球体体积公式的方法，求出此冷却塔的体积为 .三、解答题：本大题共7题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知公差不为0的等差数列}{n a 的首项21=a ，且1,1,1421+++a a a 成等比数列. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设11+=n n n a a b ，*N ∈n ，n S 是数列}{n b 的前n 项和，求使193<n S 成立的最大的正整数n .18．如图，四边形ABCD 是矩形，沿对角线AC 将ACD ∆折起，使得点D 在平面ABC 上的射影恰好落在边AB 上.（1）求证：平面⊥ACD 平面BCD ； （2）当2=ADAB时，求二面角B AC D --的余弦值.19．某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车，已知黄、蓝两种颜色的单车的投放比例为2：1.监管部门为了了解两种颜色的单车的质量，决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同. （1）求抽取的5辆单车中有2辆是蓝色颜色单车的概率；（2）在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机地抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过n （*N ∈n ）次.在抽样结束时，已取到的黄色单车以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望.20．已知直线1l ：x y 33=，2l ：x y 33-=，动点B A ,分别在直线1l ，2l 上移动，32||=AB ，M 是线段AB 的中点.（1）求点M 的轨迹E 的方程；（2）设不经过坐标原点O 且斜率为k 的直线l 交轨迹E 于点Q P ,，点R 满足+=，若点R 在轨迹E 上，求四边形OPRQ 的面积.21．已知函数x b ax x x f ln )(2++=，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为x y 2=.（1）求a 和b 实数的值；（2）设)()()(2R m mx x x f x F ∈+-=，)0(,2121x x x x <<分别是函数)(x F 的两个零点，求证0)('21<x x F .请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程已知在极坐标系中，点π(2,)6A ，2π)3B ，C 是线段AB 的中点，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系，曲线Ω的参数方程是⎩⎨⎧+-==θθsin 22cos 2y x （θ为参数）.（1）求点C 的直角坐标，并求曲线Ω的普通方程；（2）设直线l 过点C 交曲线Ω于Q P ,两点，求⋅的值.23．选修4-5：不等式选讲已知|12|)(++-=x x x f ，不等式2)(<x f 的解集是M . （1）求集合M ；（2）设M b a ∈,，证明：||||1||2b a ab +>+.【参考答案】一、选择题 1．D【解析】因为{}1101B x x x x x ⎧⎫=<=<>⎨⎬⎩⎭或，所{}0A B x x =<I .故选D. 2．B【解析】. (2i)1i z +=-1i (1i)(2i)2i 5z ---==+13i 55=-，所以z 的共轭复数为13i 55+.故选B.【解析】根据二倍角公式、正弦定理可得22cos 2cos 212sin 12sin A B A B <⇔-<-22sin sin sin sin A B A B ⇔>⇔>a b ⇔>.故选C.【解析】根据条件可知，122E ⎛⎫⎪⎝⎭，，阴影部分的面积为()2211221112d 2ln 22ln 2ln 32ln 222x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=---=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰，所以，豆子落在阴影部分的概率为42ln 23-.故选A.【解析】0110x t k ===，，；228x t k ===，，；1636x t k ===，，；144x t k ===，，.故选B.【解析】该几何体的直观图如图所示，其体积为12222222162⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=（3cm ）.故选B.【解析】()()log 11()log log 101log 0.a a a ax x x f x x x x x x x --<-⎧⎪+==--<<⎨+⎪>⎩，，，，，故选C.【解析】由函数()y f x =图象相邻两条对称轴之间的距离为π2可知其周期为π，所以2π2πω==，所以()()sin 2f x x ϕ=+.将函数()y f x =的图象向左平移π3个单位后，得到函数πsin 23y x ϕ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦图象.因为得到的图象关于y 轴对称， 所以ππ2π32k ϕ⨯+=+，z k ∈，即ππ6k ϕ=-，Z k ∈. 又π2ϕ<，所以π6ϕ=-，所以π()sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其图象关于点π012⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称. 故选A.9. B【解析】因为点D 在边BC 上，所以存在R t ∈，使得()BD tBC t AC AB ==-u u u r u u u r u u u r u u u r.因为M 是线段AD 的中点，所以()()()111112222BM BA BD AB t AC t AB t AB t AC =+=-+-=-++u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r又BM AB AC λμ=+u u u u r u u u r u u u r ，所以()112t λ=-+，12t μ=，所以12λμ+=-. 故选B.【解析】sin sin(π-3)==sin sin AB C B AC B B 2sin 33-4sin sinBB B ==. 因为ABC ∆是锐角三角形，所以()π02π022π0π22B B B B ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-+<⎪⎩，，，得ππ64B <<211sin ()42B ⇒∈，.所以234sin (12)ABB AC=-∈，.故选D. 11. C【解析】 作可行域，如图阴影部分所示.1yx +表示可行域内的点()x y ，与点()10-，连线的斜率.易知1142A ⎛⎫⎪⎝⎭，，1123B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，9342C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.当直线()1y k x =+与曲线y =12k =，切点为()11，，所以切点位于点A 、C 之间. 因此根据图形可知，1y x +的最大值为12.故选C. 12．C【解析】① 设4P m m m ⎛⎫+⎪⎝⎭，，则4||||||||m m PA PB m +-⋅===，为定值，所以①正确；②因为四边形OAPB 四点共圆，所以0135=∠APB ， 又由①知22||||=⋅PB PA ，所以2)22(22-=-⨯=⋅，为定值，故②正确； ③ 因为24()1f x x '=-，所以过点4P m m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，的曲线()y f x =的切线方程为()2441y x m m m m ⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()22G m m ，，80H m ⎛⎫⎪⎝⎭，，所以8|||||||OG OH m m ⋅=⨯=. ④22224441682PG PH m m m m m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅--=---=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ，，，不是定值，故④不正确, 故选C. 二、填空题 13. -189【解析】令1x =，得展开式中各项系数之和为2n .由2128n=，得7n =，所以展开式的通项为737217(1)3C r rrr r T x--+=-⋅⋅. 由7342r -=-，得5r =，展开式中41x的系数是57557(1)3C 189--⨯⨯=-.14.12【解析】设()11A x y ，，()22B x y ，. 因为抛物线x 2=4y 的焦点为(0,1)F ，准线为1y =-，所以由32AF =u u u r ，得1312y +=，所以112y =，x 12=4y 1=2.由AF FB λ=u u u r u u u r 得()121211x x y y λλ-=⎧⎪⎨-=-⎪⎩，， 即21121111 1.2x x y y λλλ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+=+⎪⎩，因为x 22=4y 2，所以)121(4)1(21+=-λλx . 解得1=2λ或1λ=-（舍）. 15. 3.8【解析】将3=x 代入5.05.1ˆ+=x y得5y =. 所以样本中心点为(35)，，由数据点,和,7. 9)知：1.1 4.932+=，2.17.952+=，故去除这两个数据点后，样本中心点不变. 设新的回归直线方程为ˆ 1.2yx b =+，将样本中心点坐标代入得： 1.4b =， 所以，当2x =时，y 的估计值为3.8.16.24π3a b【解析】设点()00A x y ，，则00a B y y b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以圆环的面积为2200ππa x y b ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 因为2200221x y a b -=，所以2222002a y x a b=+，所以圆环的面积为22222002πππa y a a y a b b ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.根据祖暅原理可知，该双曲线型冷却塔挖出一个以渐近线为母线的圆锥后的几何的体积等于底面半径为a 、高为b 的圆柱的体积，所以冷却塔的体积为：22214πππ33a b a b a b +=. 三、解答题17．解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，则2(1)n a n d =+-，*N n ∈.由 11a +，21a +，41a +成等比数列，得()()()2214111a a a +=++， 即()()23333d d +=+，得0d =（舍去）或3d =. 所以数列{}n a 的通项公式为31n a n =-，*N n ∈.（Ⅱ）因为()()111111313233132n n n b a a n n n n +⎡⎤===-⎢⎥-+-+⎣⎦， 所以()111111111111325358331323232232n nS n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+-++-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦L . 由319n S <，即()323219n n <+，得12n <. 所以使319n S <成立的最大的正整数11n =. 18．解：（I ）设点D 在平面ABC 上的射影为点E ，连接DE ， 则DE ⊥平面ABC ，所以DE BC ⊥.因为四边形ABCD 是矩形，所以AB BC ⊥，所以BC ⊥平面ABD ，所以BC AD ⊥. 又AD CD ⊥，所以AD ⊥平面BCD ，而AD ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BCD .（II ）方法1：在矩形ABCD 中，过点D 作AC 的垂线，垂足为M ，连结ME . 因为DE ⊥平面ABC DE AC ⇒⊥，又DM ∩DE =D ，所以AC ⊥平面DME EM AC ⇒⊥，所以DME ∠为二面角D AC B --的平面角. 设AD a =，则2AB a =.在ADC ∆中，易求出55aAM =，255a DM =.在AEM ∆中，15tan 210EM a BAC EM AM =∠=⇒=，所以1cos 4EM DME DM ∠==. 方法2：以点B 为原点，线段BC 所在的直线为x 轴，线段AB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.设AD a =，则2AB a =，所以()020A a -，，，()00C a -，，. 由（I ）知AD BD ⊥，又2ABAD=，所以30DBA ∠=°，60DAB ∠=°，那么1cos 2AE AD DAB a =∠=，32BE AB AE a =-=，3sin 2DE AD DAB =∠=， 所以3302D a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，所以1302AD a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，，，()20AC a a =-u u ur ，，. 设平面ACD 的一个法向量为()m x y z =u r ，，，则00m AD m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u r ，，即1302220.ay az ax ay ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩， 取1y =，则2x =，3z =，所以312m ⎛=- ⎝⎭u r ，，. 因为平面ABC 的一个法向量为()001n =r，，， 所以222313cos 43123m n m n m n-⋅〈〉===-⎛⎫++- ⎪⎝⎭u r ru r r u r r ，.所以求二面角D AC B --的余弦值为14. 19．解：(I) 因为随机地抽取一辆单车是蓝色单车的概率为31， 用X 表示“抽取的5辆单车中蓝颜色单车的个数”，则X 服从二项分布，即X ～），（315B ， 所以抽取的5辆单车中有2辆是蓝颜色单车的概率32252180C 33243⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P ＝＝. (II) ξ的可能取值为：0，1，2，…，n .31)0(==ξP ， 212(1)339P ξ==⨯=，221(2)33P ξ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，……，3132)1(1⋅⎪⎭⎫⎝⎛=-=-n n P ξ， nn P ⎪⎭⎫ ⎝⎛==32)(ξ. 所以ξ的分布列为：ξ的数学期望为：231212121212123(1)333333333n nE n n ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅++-⨯⋅+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ， (1) 2311221212121212(2)(1)3333333333n nn E n n n ξ-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⋅+⨯⋅++-⨯⋅+-⨯⋅+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L . (2)(1)－(2)得：23111212121212212(1)()3333333333333n n n n E n n n ξ-+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅+⨯--⨯⋅-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L2311212121212133333333333n nE ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，2312222233333n nE ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 22133213n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-2213n ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 所以2223nE ξ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭.20.解：（I）根据条件可设)Am ，，()B n ，，由AB =:223()()12m n m n ++-=.设()M x y ，，则)22m n x m n y ⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，，得2.m n m n y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩② 将①和②代入223()()12m n m n ++-=中并化简得：2219x y +=. 所以点M 的轨迹E 的方程为2219x y +=. （II ）设直线l 的方程为y kx m =+，),(11y x P ，),(22y x Q ，()00R x y ，.将y kx m =+代入2219x y +=，整理得 0)1(918)91(222=-+++m kmx x k . 则 1221819km x x k+=-+，222191)1(9k m x x +-=. 212121222182()221919k m my y kx m kx m k x x m m k k +=+++=++=-+=++.因为OR OP OQ =+u u u r u u u r u u u r ，则有：01221819km x x x k =+=-+，0122219my y y k=+=+. 因为()00R x y ，在椭圆上，1912991182222=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+-k m k km ，化简得：22419m k =+. 所以mk x x 2921-=+，22214)1(9m m x x -=，因为]4))[(1(||212212x x x x k PQ -++=]4)1(94)29)[(1(2222m m m k k -⨯--+=)449)(1(||23222+-+=m k k m )1(3||232k m += .又点O 到PQ 的距离为21||km h +=.由OR OP OQ =+u u u r u u u r u u u r，可知四边形OPRQ 为平行四边形，h PQ S S OPQ OPRQ ⋅==∆||22331||)1(3||2322=+⨯+=km k m . 21．解：（I ）由2()ln f x x ax b x =++，得(1)1f a =+，()2bf x x a x'=++(1)2f a b '=++，所以曲线()y f x =在点处()1(1)f ，的切线方程()()()211y a b x a =++-++（*）.将方程（*）与2y x =比较，得()()22210.a b a b a ++=⎧⎪⎨-++++=⎪⎩，解得 1a =，1b =-.（II ） ()()222()()ln 1ln F x f x x mx x x x x mx m x x =-+=+--+=+-.因为1x ，2x ()12x x <分别是函数()F x 的两个零点，所以()()11221ln 01ln 0m x x m x x +-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，，两式相减，得()()()12121ln ln 0m x x x x +---=， 所以1212ln ln 1x x m x x -+=-.因为1()1F x m x'=+-， 所以.()1212ln ln 1x x F m x x -'=+-=-要证0F '<，即证1212ln ln 0x x x x -<-.因120x x <<，故又只要证1122ln ln 0ln 0x x x x ->⇔>.令()01t =，，则即证明12ln 0t t t -+>.令1()2ln t t t t ϕ=-+，01t <<，则()222121()10t t t t t ϕ--'=--=<.这说明函数()t ϕ在区间()01，上单调递减，所以()(1)0t ϕϕ<=， 即12ln 0t t t-+>成立.由上述分析可知0F '<成立.22.解：（Ⅰ）将点A ，B 的极坐标化为直角坐标，得A 1)和B (3). 所以点C 的直角坐标为(02)，. 将2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=-+⎩，消去参数θ，得22(2)4x y ++=，即为曲线Ω的普通方程.（Ⅱ）解法一：直线l 的参数方程为cos 2sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩，，（t 为参数，α为直线l 的倾斜角）代入22(2)4x y ++=，整理得：28sin 120t t α++=.设点P 、Q 对应的参数值分别为1t 、2t .则12t 21=t ，12|||||12CP CQ CP CQ t t ⋅===u u u r u u u r u u u r u u u r.解法二：过点作圆1O ：22(2)4x y ++=的切线，切点为T ，连接1O T ，因为点由平面几何知识得：|||CP CQ CP CQ ⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r2221||||16412GT CO R ==-=-=， 所以 |||12CP CQ CP CQ ⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r.23.解：（Ⅰ）当12x ≥-时，()211f x x x x =-++=+. 由()2f x <，得1x <，所以112x -≤<.当12x <-时，()2131f x x x x =---=--.由()2f x <，得1x >-，所以112x -<<.综上，{|11}M x x =-<<.（Ⅱ）因为a ，b M ∈，所以1a -<，1b <， 即1a <，1b <. 所以()()211ab a b ab ab a b +-+=++-+()()110ab a b =+-->，所以21ab a b +>+.。
2018安庆二模含答案。安徽省安庆市2018届高三二模考试数学(理)试题
2018安庆二模含答案。
安徽省安庆市2018届高三二模考试数学(理)试题2018年安庆市高三模拟考试（二模）数学试题（理）参考答案一、选择题1.【解析】因为B={x|x<1}，所以A∩B={x|x<1}，故选D。
2.【解析】(2+i)z=1-i，所以z的共轭复数为2-i。
故选B。
3.【解析】根据二倍角公式、正弦定理可得cos2A>cos2B ⟺ 1-2sinA>1-2sinB ⟺ sin2A>sin2B ⟺ sinA>sinB ⟺ a>b。
故选C。
4.【解析】根据条件可知，E={(x,y)|0<x<2,0<y<1/x}，所以阴影部分的面积为∫1/2 1 (2-x)dx = 3-2ln2.所以，豆子落在阴影部分的概率为3-2ln2.故选A。
5.【解析】x=2^t-k，所以k=log2(x+1)。
当x=1时，k=0；当x=2时，k=8；当x=16时，k=6.故选B。
6.【解析】该几何体的直观图如图所示，其体积为2×2×2+2×(1/2)×2×2×2=16（cm³）。
故选B。
7.【解析】f(x)=loga|x|={-loga(-x)。
x0}，故选C。
8.【解析】由函数y=f(x)图象相邻两条对称轴之间的距离为π可知其周期为π，所以ω=π/2.又f(x)=sin(2x+φ)，将函数y=f(x)的图象向左平移一个单位后，得到函数y=sin(2x-π/6)的图象。
因为得到的图象关于y轴对称，所以2(π/2)-φ=kπ，k∈Z，即φ=-π/3.又φ<π，所以φ=-π/3.故选A。
9.【解析】因为点D在边BC上，所以存在t∈R，使得BD=tBC=tAC-AB。
因为M是线段AD的中点，所以BD=1/2AC。
所以1/2AC=tAC-AB，即AB=AC/2t-1.故选D。
10.【解析】设三角形的三个内角分别为α、β、γ，则α+β+γ=π。
安徽省安庆市高三二模考试理科数学试题
2018年安庆市高三模拟考试（二模）数学试题（理） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}1|{<=x x A ，集合}11|{<=xx B ，则=B A （ ） A ．∅ B ．}1|{<x x C ．}10|{<<x x D ．}0|{<x x 2．已知复数z 满足：i z i -=+1)2(，其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数为（ ） A ．i 5351- B ．i 5351+ C ．i -31 D ．i +31 3．ABC ∆三内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,则“b a >”是“B A 2co s 2co s <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件4．如图，四边形OABC 是边长为2的正方形，曲线段DE 所在的曲线方程为1=xy ，现向该正方形内抛掷1枚豆子，则该枚豆子落在阴影部分的概率为（ ） A ．42ln 23- B ．42ln 21+ C ．42ln 25- D ．42ln 21+-5．阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，则输出的x 值为（ ）A ．0B ．1C ．16D ．326．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．12B ．16C ．332D ．24 7．函数||log |1|1)(x x x x f a ++=（10<<a ）的图象的大致形状是（ ）8．已知函数)sin()(ϕω+=x x f （2||,0πϕω<>）图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，将函数)(x f y =的图象向左平移3π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数)(x f y =的图象（ ） A. 关于点)0,12(π对称 B. 关于点)0,12(π-对称C. 关于直线12π=x 对称D. 关于直线12π-=x 对称9．在ABC ∆中，点D 是边BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得μλ+=，则=+μλ（ ）A ．21 B ．21- 2 C ．2 D ．2- 10．在锐角ABC ∆中，B A 2=，则ACAB的取值范围是（ ）A ．)3,1(-B ．)3,1(C ．)3,2(D ．)2,1(11．已知实数y x ,满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥--≥≤x y x y x y 32)1(32，则1+x y 的最大值为（ ）A ．52 B ．92 C ．136 D ．2112．已知函数)0(4)(>+=x xx x f ，P 是)(x f y =图象上任意一点，过点P 作直线x y =和y 轴的垂线，垂足分别为B A ,，又过点P 作曲线)(x f y =的切线，交直线x y =和y 轴于点H G ,.给出下列四个结论：①||||PB PA ⋅是定值；②⋅是定值；③||||OH OG ⋅（O是坐标原点）是定值；④PH PG ⋅是定值. 其中正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．①②③D ．①②③④ 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．如果nxx )13(-的展开式中各项系数之和为128，则展开式中41x 的系数是 . 14．设抛物线y x 42=的焦点为F ，点B A ,在抛物线上，且满足λ=，若23||=，则λ的值为 .15．已知由样本数据点集合}.,2,1|),{(n i y x i i =求得的回归直线方程为5.05.1ˆ+=x y，且3=x .现发现两个数据点)1.2,1.1(和)9.7,9.4(误差较大，去除后重新求得的回归直线l 的斜率为1.2，那么，当2=x 时，y 的估计值为 .16．祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同幂，则积不容异”.这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等.一般大型热电厂的冷却塔大都采用双曲线型.设某双曲线型冷却塔是曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 与直线0=x ，0=y 和b y =所围成的平面图形绕y 轴旋转一周所得，如图所示.试应用祖暅原理类比求球体体积公式的方法，求出此冷却塔的体积为.三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知公差不为0的等差数列}{n a 的首项21=a ，且1,1,1421+++a a a 成等比数列. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设11+=n n n a a b ，*N n ∈，n S 是数列}{n b 的前n 项和，求使193<n S 成立的最大的正整数n .18．如图，四边形ABCD 是矩形，沿对角线AC 将ACD ∆折起，使得点D 在平面ABC 上的射影恰好落在边AB 上.（1）求证：平面⊥ACD 平面BCD ； （2）当2=ADAB时，求二面角B AC D --的余弦值. 19．某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车，已知黄、蓝两种颜色的单车的投放比例为2：1.监管部门为了了解两种颜色的单车的质量，决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同. （1）求抽取的5辆单车中有2辆是蓝色颜色单车的概率；（2）在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机地抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过n （*N n ∈）次.在抽样结束时，已取到的黄色单车以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望. 20．已知直线1l ：x y 33=，2l ：x y 33-=，动点B A ,分别在直线1l ，2l 上移动，32||=AB ，M 是线段AB 的中点.（1）求点M 的轨迹E 的方程；（2）设不经过坐标原点O 且斜率为k 的直线l 交轨迹E 于点Q P ,，点R 满足+=，若点R 在轨迹E 上，求四边形OPRQ 的面积.21．已知函数x b ax x x f ln )(2++=，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为x y 2=. （1）求a 和b 实数的值；（2）设)()()(2R m mx x x f x F ∈+-=，)0(,2121x x x x <<分别是函数)(x F 的两个零点，求证0)('21<x x F .请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程 已知在极坐标系中，点)6,2(πA ，)32,32(πB ，C 是线段AB 的中点，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系，曲线Ω的参数方程是⎩⎨⎧+-==θθsin 22cos 2y x （θ为参数）.（1）求点C 的直角坐标，并求曲线Ω的普通方程；（2）设直线l 过点C 交曲线Ω于Q P ,两点，求⋅的值. 23．选修4-5：不等式选讲已知|12|)(++-=x x x f ，不等式2)(<x f 的解集是M .（1）求集合M ；（2）设M b a ∈,，证明：||||1||2b a ab +>+.2018年安庆市高三模拟考试（二模）数学试题（理）参考答案一、选择题1．【解析】因为{}1101B xx x x x ⎧⎫=<=<>⎨⎬⎩⎭或，所{}0A B x x =<.故选D. 2．【解析】. (2i)1i z +=-1i (1i)(2i)2i 5z ---==+13i 55=-，所以z 的共轭复数为13i 55+.故选B.3.【解析】根据二倍角公式、正弦定理可得22cos 2cos 212sin 12sin A B A B <⇔-<-22sin sin sin sin A B A B ⇔>⇔>a b ⇔>.故选C.4.【解析】根据条件可知，122E ⎛⎫⎪⎝⎭，，阴影部分的面积为()2211221112d 2ln 22ln 2ln 32ln 222x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=---=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰，所以，豆子落在阴影部分的概率为42ln 23-.故选A. 5.【解析】0110x t k ===，，；228x tk ===，，；1636x t k ===，，；144x t k ===，，.故选B.6.【解析】该几何体的直观图如图所示，其体积为12222222162⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=（3cm ）.故选B.7.【解析】()()log 11()log log 101log 0.a a a ax x x f x x x x x x x --<-⎧⎪+==--<<⎨+⎪>⎩，，，，，故选C. 8.【解析】由函数()y f x =图象相邻两条对称轴之间的距离为π2可知其周期为π，所以第6题图第4题图第9题图2π2πω==， 所以()()sin 2f x x ϕ=+.将函数()y f x =的图象向左平移π3个单位后，得到函数数学试题（理）参考答案（共11页）第1页πsin 23y x ϕ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦图象.因为得到的图象关于y 轴对称，所以ππ2π32k ϕ⨯+=+，z k ∈，即ππ6k ϕ=-，z k ∈. 又π2ϕ<，所以π6ϕ=-，所以π()sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其图象关于点π012⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称. 故选A.9. 【解析】因为点D 在边BC 上，所以存在R t ∈，使得()BD tBC t AC AB ==-.因为M 是线段AD 的中点，所以()()()111112222BM BA BD AB t AC t AB t AB t AC =+=-+-=-++ 又BM AB AC λμ=+，所以()112t λ=-+，12t μ=，所以12λμ+=-. 故选B.10.【解析】 sinB )3sin(sin sin B B C AC AB -==π2sin 33-4sin sinBBB ==.因为ABC ∆是锐角三角形，所以()π02π022π0π22B B B B ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-+<⎪⎩，，，得ππ64B <<211sin ()42B ⇒∈，.所以234sin (12)ACABB =-∈，.故选D. 11. 【解析】 作可行域，如图阴影部分所示.1yx +表示可行域内的点()x y ，与点()10-，连线的斜率. 易知1142A ⎛⎫⎪⎝⎭，，1123B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，9342C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.第11题图当直线()1y k x =+与曲线y =12k =，切点为()11，，所以切点位于点A 、C 之间.因此根据图形可知，1y x +的最大值为12.故选C.数学试题（理）参考答案（共11页）第2页拓展：思考：如何求2122y x y x ++++的取值范围呢？答案：134[,]205更一般地，当直线1111:0l a x b y c ++=，2222:0l a x b y c ++=的交点不在可行域内时，111222a xb yc m ax by c ++=++的取值范围均能求出。
安徽省高三数学二模考试试题理
2018年安庆市高三模拟考试（二模）数学试题（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，集合，则（）A． B． C． D．2．已知复数满足：，其中是虚数单位，则的共轭复数为（）A． B． C． D．3．三内角的对边分别为,则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．即不充分也不必要条件4．如图，四边形是边长为2的正方形，曲线段所在的曲线方程为，现向该正方形内抛掷1枚豆子，则该枚豆子落在阴影部分的概率为（）A． B． C． D．5．阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，则输出的值为（）A．0 B．1 C．16 D．326．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．12 B．16 C． D．247．函数（）的图象的大致形状是（）8．已知函数（）图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的图象（）A. 关于点对称B. 关于点对称C. 关于直线对称D. 关于直线对称9．在中，点是边上任意一点，是线段的中点，若存在实数和，使得，则（）A． B． 2 C．2 D．10．在锐角中，，则的取值范围是（）A． B． C． D．11．已知实数满足，则的最大值为（）A． B． C． D．12．已知函数，是图象上任意一点，过点作直线和轴的垂线，垂足分别为，又过点作曲线的切线，交直线和轴于点.给出下列四个结论：①是定值；②是定值；③（是坐标原点）是定值；④是定值.其中正确的是（）A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是 .14．设抛物线的焦点为，点在抛物线上，且满足，若，则的值为 .15．已知由样本数据点集合求得的回归直线方程为，且.现发现两个数据点和误差较大，去除后重新求得的回归直线的斜率为 1.2，那么，当时，的估计值为 .16．祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同幂，则积不容异”.这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等.一般大型热电厂的冷却塔大都采用双曲线型.设某双曲线型冷却塔是曲线与直线，和所围成的平面图形绕轴旋转一周所得，如图所示.试应用祖暅原理类比求球体体积公式的方法，求出此冷却塔的体积为 .三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知公差不为0的等差数列的首项，且成等比数列. （1）求数列的通项公式；（2）设，，是数列的前项和，求使成立的最大的正整数.18．如图，四边形是矩形，沿对角线将折起，使得点在平面上的射影恰好落在边上.（1）求证：平面平面；（2）当时，求二面角的余弦值.19．某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车，已知黄、蓝两种颜色的单车的投放比例为2：1.监管部门为了了解两种颜色的单车的质量，决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同.（1）求抽取的5辆单车中有2辆是蓝色颜色单车的概率；（2）在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机地抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过（）次.在抽样结束时，已取到的黄色单车以表示，求的分布列和数学期望.20．已知直线：，：，动点分别在直线，上移动，，是线段的中点.（1）求点的轨迹的方程；（2）设不经过坐标原点且斜率为的直线交轨迹于点，点满足，若点在轨迹上，求四边形的面积.21．已知函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求和实数的值；（2）设，分别是函数的两个零点，求证.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.22．选修4-4：坐标系与参数方程已知在极坐标系中，点，，是线段的中点，以极点为原点，极轴为轴的正半轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系，曲线的参数方程是（为参数）.（1）求点的直角坐标，并求曲线的普通方程；（2）设直线过点交曲线于两点，求的值.23．选修4-5：不等式选讲已知，不等式的解集是.（1）求集合；（2）设，证明：.2018年安庆市高三模拟考试（二模）数学试题（理）参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 D B C A B B C A B D C C1．【解析】因为，所.故选 D. 2．【解析】. ，所以的共轭复数为.故选 B.3.【解析】根据二倍角公式、正弦定理可得.故选 C.4.【解析】根据条件可知，，阴影部分的面积为，所以，豆子落在阴影部分的概率为.故选A.5.【解析】；；；.故选B.6.【解析】该几何体的直观图如图所示，其体积为（）.故选B.第6题图7.【解析】故选 C.8.【解析】由函数图象相邻两条对称轴之间的距离为可知其周期为，所以，所以.将函数的图象向左平移个单位后，得到函数数学试题（理）参考答案（共11页）第1页图象.因为得到的图象关于轴对称，所以，，即，.又，所以，所以，其图象关于点对称.故选A.9. 【解析】因为点在边上，所以存在，使得.因为是线段的中点，所以又，所以，，所以. 故选B.10.【解析】.第9题图因为是锐角三角形，所以得.所以.故选D.11. 【解析】作可行域，如图阴影部分所示.表示可行域内的点与点连线的斜率. 易知，，.当直线与曲线相切时，，切点为第11题图，所以切点位于点、之间.因此根据图形可知，的最大值为.故选C.拓展：思考：如何求的取值范围呢？答案：更一般地，当直线，的交点不在可行域内时，的取值范围均能求出。
2018年安徽省安庆市高考数学二模试卷(理科)(解析版)
D．﹣2
10． （5 分）在锐角△ABC 中，A＝2B，则 A． （﹣1，3） B． （1，3）
D． （1，2）
11． （5 分）已知实数 x，y 满足
，则
的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
12． （5 分）已知函数 f（x）＝x+ （x＞0） ，P 是 y＝f（x）图象上任意一点，过点 P 作直线 y＝x 和 y 轴的垂线，垂足分别为 A、B，又过点 P 作曲线 y＝f（x）的切线，交直线 y＝x 和 y 轴于点 G、H，给出下列四个结论：①|PA|•|PB|是定值；② |OH|（O 是坐标原点）为定值；④ A．①② B．①③ • • 是定值；③|OG|• ） D．①②③④
4． （5 分） 如图，四边形 OABC 是边长为 2 的正方形，曲线段 DE 所在的曲线方程为 xy＝1， 现向该正方形内抛掷 1 枚豆子，则该枚豆子落在阴影部分的概率为（ ）
A．
B．
C．
D． ）
5． （5 分）阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，则输出的 x 值为（
第 1 页（共 24 页）
A．0
，
15． （5 分） 已知由样本数据点集合（ { xi， yi） |i＝1， 2， …． n}求得的回归直线方程为 且
，
．现发现两个数据点（1.1，2.1）和（4.9，7.9）误差较大，去除后重新求得的回 ．
归直线 l 的斜率为 1.2，那么，当 x＝2 时，y 的估计值为
16． （5 分）祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条 原理： “幂势既同幂，则积不容异” ．这里的“幂”指水平截面的面积， “势”指高．这句 话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何 体体积相等．一般大型热电厂的冷却塔大都采用双曲线型．设某双曲线型冷却塔是曲线 （a＞0，b＞0）与直线 x＝0，y＝0 和 y＝b 所围成的平面图形绕 y 轴旋转一
2018届安徽省安庆市高三第二次模拟考试理科数学试题及答案
象如图所示 , 则图中的阴影部分的面积为
15. 规定 : 坐标轴绕着原点逆时针旋转的角度
为正角 , 顺时针旋转的角度为负角 , 不改变坐标轴的原点和长度单
位 , 只将两坐标轴旋转同一个角度
, 这种坐标轴的变换叫做坐标
轴的 角旋转 , 简称转轴 , 将平面直角坐标系 O xy 转轴 得到新坐
标系 O x ' y ' , 设点 P 在两个坐标系中的坐标分别为
个
D. 无数个
二、填空题 : 本大题共 5 小题 , 每小题 5 分 , 共 25 分 , 请将答案填在
答题卡的相应位置 .
11. 若 ( x a) 6(a 0) 的展开式的常数项是 15 , 则实数 a
x
4
12. 设实数 x, y 满足 | x | y 1 , 则 u | x 1| 2y 的取值范围是
进绿色生态农业 , 预计以后每年的农业生产总值都比
上一年增长 10%,现设计了一个程序框图计算预计农
业年生产总值首次超过 3000 万元的年份 , 那么图中
的※处和最后输出的结果应是
A. t 0.1a;2018 B. t 0.1a;2019 C. t 1.1a;2018 D.
9. 设实数 m, n 满足 m 0,n 0 , 且 1 1 1 , 则 4m n
D.0.1
4. 在等比数列 { an} 中 , a3 2a2 2 , 且 5a4 是 12a3 和 2a5 的等差中项 , 则 { an} 的公比为
A.2
B.3
C.2
或3
D.6
5. 在极坐标系中 , 曲线 C :
2 ,
, 则弦长 | AB | 等于
33
2sin 上的两点 A, B 对应的极角分别为
安徽省安庆市2018年高三模拟考试二模数学理试题 精品
2018年安庆市高三模拟考试（二模）数学试题（理） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}1|{<=x x A ，集合}11|{<=xx B ，则=B A （ ） A ．∅ B ．}1|{<x x C ．}10|{<<x x D ．}0|{<x x 2．已知复数z 满足：i z i -=+1)2(，其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数为（ ） A ．i 5351- B ．i 5351+ C ．i -31 D ．i +31 3．ABC ∆三内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,则“b a >”是“B A 2c o s 2c o s <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件4．如图，四边形OABC 是边长为2的正方形，曲线段DE 所在的曲线方程为1=xy ，现向该正方形内抛掷1枚豆子，则该枚豆子落在阴影部分的概率为（ ）A ．42ln 23- B ．42ln 21+ C ．42ln 25- D ．42ln 21+-5．阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，则输出的x 值为（ ）A ．0B ．1C ．16D ．326．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．12B ．16C ．332D ．24 7．函数||log |1|1)(x x x x f a ++=（10<<a ）的图象的大致形状是（ ）8．已知函数)sin()(ϕω+=x x f （2||,0πϕω<>）图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，将函数)(x f y =的图象向左平移3π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数)(x f y =的图象（ ） A. 关于点)0,12(π对称 B. 关于点)0,12(π-对称C. 关于直线12π=x 对称D. 关于直线12π-=x 对称9．在ABC ∆中，点D 是边BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得μλ+=，则=+μλ（ ）A ．21 B ．21- 2 C ．2 D ．2- 10．在锐角ABC ∆中，B A 2=，则ACAB的取值范围是（ ）A ．)3,1(-B ．)3,1(C ．)3,2(D ．)2,1(11．已知实数y x ,满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥--≥≤x y x y x y 32)1(32，则1+x y 的最大值为（ ）A ．52 B ．92 C ．136 D ．2112．已知函数)0(4)(>+=x xx x f ，P 是)(x f y =图象上任意一点，过点P 作直线x y =和y 轴的垂线，垂足分别为B A ,，又过点P 作曲线)(x f y =的切线，交直线x y =和y 轴于点H G ,.给出下列四个结论：①||||PB PA ⋅是定值；②PB PA ⋅是定值；③||||OH OG ⋅（O是坐标原点）是定值；④⋅是定值. 其中正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．①②③D ．①②③④ 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．如果nxx )13(-的展开式中各项系数之和为128，则展开式中41x 的系数是 . 14．设抛物线y x 42=的焦点为F ，点B A ,在抛物线上，且满足λ=，若23||=，则λ的值为 .15．已知由样本数据点集合}.,2,1|),{(n i y x i i =求得的回归直线方程为5.05.1ˆ+=x y，且3=x .现发现两个数据点)1.2,1.1(和)9.7,9.4(误差较大，去除后重新求得的回归直线l 的斜率为1.2，那么，当2=x 时，y 的估计值为 .16．祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同幂，则积不容异”.这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等.一般大型热电厂的冷却塔大都采用双曲线型.设某双曲线型冷却塔是曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 与直线0=x ，0=y 和b y =所围成的平面图形绕y 轴旋转一周所得，如图所示.试应用祖暅原理类比求球体体积公式的方法，求出此冷却塔的体积为 .三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知公差不为0的等差数列}{n a 的首项21=a ，且1,1,1421+++a a a 成等比数列. （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设11+=n n n a a b ，*N n ∈，n S 是数列}{n b 的前n 项和，求使193<n S 成立的最大的正整数n .18．如图，四边形ABCD 是矩形，沿对角线AC 将ACD ∆折起，使得点D 在平面ABC 上的射影恰好落在边AB 上.（1）求证：平面⊥ACD 平面BCD ； （2）当2=ADAB时，求二面角B AC D --的余弦值. 19．某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车，已知黄、蓝两种颜色的单车的投放比例为2：1.监管部门为了了解两种颜色的单车的质量，决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同. （1）求抽取的5辆单车中有2辆是蓝色颜色单车的概率；（2）在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机地抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过n （*N n ∈）次.在抽样结束时，已取到的黄色单车以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望.20．已知直线1l ：x y 33=，2l ：x y 33-=，动点B A ,分别在直线1l ，2l 上移动，32||=AB ，M 是线段AB 的中点.（1）求点M 的轨迹E 的方程；（2）设不经过坐标原点O 且斜率为k 的直线l 交轨迹E 于点Q P ,，点R 满足+=，若点R 在轨迹E 上，求四边形OPRQ 的面积.21．已知函数x b ax x x f ln )(2++=，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为x y 2=.（1）求a 和b 实数的值；（2）设)()()(2R m mx x x f x F ∈+-=，)0(,2121x x x x <<分别是函数)(x F 的两个零点，求证0)('21<x x F .请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程 已知在极坐标系中，点)6,2(πA ，)32,32(πB ，C 是线段AB 的中点，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系，曲线Ω的参数方程是⎩⎨⎧+-==θθsin 22cos 2y x （θ为参数）.（1）求点C 的直角坐标，并求曲线Ω的普通方程；（2）设直线l 过点C 交曲线Ω于Q P ,两点，求⋅的值. 23．选修4-5：不等式选讲已知|12|)(++-=x x x f ，不等式2)(<x f 的解集是M . （1）求集合M ；（2）设M b a ∈,，证明：||||1||2b a ab +>+.。
【精选高中试题】安徽省安庆市高三二模考试理科数学试题Word版含答案
2018年安庆市高三模拟考试（二模）数学试题（理） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}1|{<=x x A ，集合}11|{<=xx B ，则=B A （ ） A ．∅ B ．}1|{<x x C ．}10|{<<x x D ．}0|{<x x 2．已知复数z 满足：i z i -=+1)2(，其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数为（ ） A ．i 5351- B ．i 5351+ C ．i -31 D ．i +31 3．ABC ∆三内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,则“b a >”是“B A 2cos 2cos <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件4．如图，四边形OABC 是边长为2的正方形，曲线段DE 所在的曲线方程为1=xy ，现向该正方形内抛掷1枚豆子，则该枚豆子落在阴影部分的概率为（ ） A ．42ln 23- B ．42ln 21+ C ．42ln 25- D ．42ln 21+-5．阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，则输出的x 值为（ ）A ．0B ．1C ．16D ．326．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．12B ．16C ．332D ．24 7．函数||log |1|1)(x x x x f a ++=（10<<a ）的图象的大致形状是（ ）8．已知函数)sin()(ϕω+=x x f （2||,0πϕω<>）图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，将函数)(x f y =的图象向左平移3π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数)(x f y =的图象（ ） A. 关于点)0,12(π对称 B. 关于点)0,12(π-对称C. 关于直线12π=x 对称D. 关于直线12π-=x 对称9．在ABC ∆中，点D 是边BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得μλ+=，则=+μλ（ ）A ．21 B ．21- 2 C ．2 D ．2- 10．在锐角ABC ∆中，B A 2=，则ACAB的取值范围是（ ）A ．)3,1(-B ．)3,1(C ．)3,2(D ．)2,1(11．已知实数y x ,满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥--≥≤x y x y x y 32)1(32，则1+x y 的最大值为（ ）A ．52 B ．92 C ．136 D ．2112．已知函数)0(4)(>+=x xx x f ，P 是)(x f y =图象上任意一点，过点P 作直线x y =和y 轴的垂线，垂足分别为B A ,，又过点P 作曲线)(x f y =的切线，交直线x y =和y 轴于点H G ,.给出下列四个结论：①||||PB PA ⋅是定值；②PB PA ⋅是定值；③||||OH OG ⋅（O 是坐标原点）是定值；④⋅是定值. 其中正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．①②③D ．①②③④ 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．如果nx x )13(-的展开式中各项系数之和为128，则展开式中41x 的系数是 . 14．设抛物线y x 42=的焦点为F ，点B A ,在抛物线上，且满足λ=，若23||=，则λ的值为 .15．已知由样本数据点集合}.,2,1|),{(n i y x i i =求得的回归直线方程为5.05.1ˆ+=x y ，且3=x .现发现两个数据点)1.2,1.1(和)9.7,9.4(误差较大，去除后重新求得的回归直线l 的斜率为1.2，那么，当2=x 时，y 的估计值为 .16．祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同幂，则积不容异”.这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等.一般大型热电厂的冷却塔大都采用双曲线型.设某双曲线型冷却塔是曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 与直线0=x ，0=y 和b y =所围成的平面图形绕y 轴旋转一周所得，如图所示.试应用祖暅原理类比求球体体积公式的方法，求出此冷却塔的体积为.三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知公差不为0的等差数列}{n a 的首项21=a ，且1,1,1421+++a a a 成等比数列. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设11+=n n n a a b ，*N n ∈，n S 是数列}{n b 的前n 项和，求使193<n S 成立的最大的正整数n .18．如图，四边形ABCD 是矩形，沿对角线AC 将ACD ∆折起，使得点D 在平面ABC 上的射影恰好落在边AB 上.（1）求证：平面⊥ACD 平面BCD ； （2）当2=ADAB时，求二面角B AC D --的余弦值. 19．某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车，已知黄、蓝两种颜色的单车的投放比例为2：1.监管部门为了了解两种颜色的单车的质量，决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同. （1）求抽取的5辆单车中有2辆是蓝色颜色单车的概率；（2）在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机地抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过n （*N n ∈）次.在抽样结束时，已取到的黄色单车以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望.20．已知直线1l ：x y 33=，2l ：x y 33-=，动点B A ,分别在直线1l ，2l 上移动，32||=AB ，M 是线段AB 的中点.（1）求点M 的轨迹E 的方程；（2）设不经过坐标原点O 且斜率为k 的直线l 交轨迹E 于点Q P ,，点R 满足OQ OP OR +=，若点R 在轨迹E 上，求四边形OPRQ 的面积.21．已知函数x b ax x x f ln )(2++=，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为x y 2=. （1）求a 和b 实数的值；（2）设)()()(2R m mx x x f x F ∈+-=，)0(,2121x x x x <<分别是函数)(x F 的两个零点，求证0)('21<x x F .请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程 已知在极坐标系中，点)6,2(πA ，)32,32(πB ，C 是线段AB 的中点，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系，曲线Ω的参数方程是⎩⎨⎧+-==θθsin 22cos 2y x （θ为参数）. （1）求点C 的直角坐标，并求曲线Ω的普通方程；（2）设直线l 过点C 交曲线Ω于Q P ,两点，求⋅的值. 23．选修4-5：不等式选讲已知|12|)(++-=x x x f ，不等式2)(<x f 的解集是M . （1）求集合M ；（2）设M b a ∈,，证明：||||1||2b a ab +>+.2018年安庆市高三模拟考试（二模）数学试题（理）参考答案一、选择题1．【解析】因为{}1101B xx x x x ⎧⎫=<=<>⎨⎬⎩⎭或，所{}0A B x x =<.故选D. 2．【解析】. (2i)1i z +=-1i (1i)(2i)2i 5z ---==+13i 55=-，所以z 的共轭复数为13i 55+.故选B.3.【解析】根据二倍角公式、正弦定理可得22cos 2cos 212sin 12sin A B A B <⇔-<-22sin sin sin sin A B A B ⇔>⇔>a b ⇔>.故选C.4.【解析】根据条件可知，122E ⎛⎫⎪⎝⎭，，阴影部分的面积为()2211221112d 2ln 22ln 2ln 32ln 222x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=---=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰，所以，豆子落在阴影部分的概率为42ln 23-.故选A. 5.【解析】0110x t k ===，，；228x t k ===，，；1636x t k ===，，；144x t k ===，，.故选B.6.【解析】该几何体的直观图如图所示，其体积为12222222162⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=（3cm ）.故选B.7.【解析】()()log 11()log log 101log 0.a a a ax x x f x x x x x x x --<-⎧⎪+==--<<⎨+⎪>⎩，，，，，故选C.8.【解析】由函数()y f x =图象相邻两条对称轴之间的距离为π2可知其周期为π，所以2π2πω==，所以()()sin 2f x x ϕ=+.将函数()y f x =的图象向左平移π3个单位后，得到函数数学试题（理）参考答案（共11页）第1页πsin 23y x ϕ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦图象.因为得到的图象关于y 轴对称，所以ππ2π32k ϕ⨯+=+，z k ∈，即ππ6k ϕ=-，z k ∈. 又π2ϕ<，所以π6ϕ=-，所以π()sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其图象关于点π012⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称. 故选A.第6题图第4题图第9题图9. 【解析】因为点D 在边BC 上，所以存在R t ∈，使得()BD tBC t AC AB ==-.因为M 是线段AD 的中点，所以()()()111112222BM BA BD AB t AC t AB t AB t AC =+=-+-=-++ 又BM AB AC λμ=+，所以()112t λ=-+，12t μ=，所以12λμ+=-. 故选B.10.【解析】sinB )3sin(sin sin B B C AC AB -==π2sin 33-4sin sinBBB ==. 因为ABC ∆是锐角三角形，所以()π02π022π0π22B B B B ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-+<⎪⎩，，，得ππ64B <<211sin ()42B ⇒∈，.所以234sin (12)ACABB =-∈，.故选D. 11. 【解析】 作可行域，如图阴影部分所示.1yx +表示可行域内的点()x y ，与点()10-，连线的斜率. 易知1142A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，1123B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，9342C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 当直线()1y k x =+与曲线y =12k =，切点为()11，，所以切点位于点A 、C 之间. 因此根据图形可知，1y x +的最大值为12.故选C.数学试题（理）参考答案（共11页）第2页拓展：思考：如何求2122y x y x ++++的取值范围呢？答案：134[,]205更一般地，当直线1111:0l a x b y c ++=，2222:0l a x b y c ++=的交点不在可行域内时，111222a xb yc m ax by c ++=++的取值范围均能求出。
2018年安庆二模数学(理)试题卷及标准答案
20１８年安庆市高三模拟考试(二模)数学试题(理科)命题:安庆市高考命题研究课题组本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.全卷满分１50分,考试时间１２0分钟．第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题（本大题共10小题,每小题5分，共５０分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1. 已知i 为虚数单位，复数i z +=1，z 为其共轭复数,则22z z z -等于 A. i --1 B. i -1 C. i +-1 Ｄ． i +1 ２. 已知集合}3,2,1,1{-=A ，}11{<--∈=x x R x B ，则右边韦恩图中 阴影部分所表示的集合为A. }1,1{-B.}3{ Ｃ.}3,2{ D. }3,2,1{ 3. 已知等差数列{}n a 中，86543=+-+a a a a ,则=7SＡ．8 Ｂ．21 C.28D ．３５4. 在演讲比赛决赛中，七位评委给甲、乙两位选手打分的茎叶图如图所示,但其中在∆处数据丢失.按照规则，甲、乙各去掉一个最高分和一个最低分,用x 和y 分别表示甲、乙两位选手获得的平均分,则A. x y >B. x y <C. x y = D ． x 和y 之间的大小关系无法确定5. 右图是棱长为２的正方体的表面展开图,则多面体 ABCDE 的体积为A. 2B.32C.34 Ｄ．38 第2题图第4题图 第5题图6． 在极坐标系中,圆C ：22)4πρθ=+上到直线l :2cos =θρ距离为1的点的个数为A ． 1 B. 2 Ｃ. 3 D ． 47. 已知离心率为e 的双曲线和离心率为22的椭圆有相同的焦点1F 、2F ,P 是两曲线的一个公共点,若123F PF π∠=，则e 等于 Ａ．52 Ｂ．25 C. 62 Ｄ.38. 数列{}n a 共有5项,其中01=a ，25=a ,且11=-+i i a a ，4,3,2,1=i ，则满足条件的不同数列的个数为A. ３B. ４ Ｃ. 5Ｄ． 6 9. 已知点)1,2(A 、)3,1(B ,直线01=+-by ax ),(+∈R b a 与线段AB 相交，则()221b a +-的最小值为 A.510 B ． 52 Ｃ. 552 D. 54 １０. 设12x <<,则ln x x 、2ln x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭、22ln x x 的大小关系是 Ａ. 222ln ln ln x x x x x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭ B. 222ln ln ln x x x x x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭C ． 222ln ln ln x x x x x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭ D. 222ln ln ln x x x x x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭ 第Ⅱ卷 (非选择题 满分1０0分）二、填空题(本大题5个小题,每小题５分,共２5分)１１． 如果52))(1(a x x x -++（a 为实常数)的展开式中所有项的系数和为０,则展开式中含4x 项的系数为 . 12. 在ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，若b c a 322=-,且C A B sin cos 8sin =，。
安徽省安庆市中学2018-2019学年高三数学理模拟试卷含解析
安徽省安庆市中学2018-2019学年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知点是函数的图象上的两个点,若将函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,则函数的图象的一条对称轴的方程为（）A．B． C.D．参考答案：A本题考查三角函数的图象及其性质,考查运算求解能力.因为,,所以.由，得，，所以.又,将选项代入验证可知是一条对称轴方程.2. 设为椭圆与双曲线的公共的左、右焦点，它们在第一象限内交于点M，是以线段为底边的等腰三角形，且，若椭圆的离心率．则双曲线的离心率为(A) (B) (C) (D)参考答案：B略3. 定义在上的函数满足，任意的都有是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：C因为；，且关于对称，所以时，反之也成立：时，，所以选C.4. 正六棱柱的底面边长为4,高为6,则它的外接球的表面积为A. B. C. D.参考答案：C5. 某单位在一次春游踏青中，开展有奖答题活动．从2道文史题和3道理科题中不放回依次抽取2道题，在第一次抽到理科题的前提下第二次抽到理科题的概率为（）A． B． C． D．参考答案：D6. 已知△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，，则△ABC的形状为（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形 D . 无法确定参考答案：B∵，∴，即，∵不共线，故有，即，∴可得△的形状为直角三角形，故选B.7. 已知函数f（x）的导函数f′（x）=2+sinx，且f（0）=﹣1，数列{a n}是以为公差的等差数列，若f（a2）+f（a3）+f（a4）=3π，则=（）A．2016 B．2015 C．2014 D．2013参考答案：B【考点】等差数列的通项公式；导数的运算．【专题】方程思想；转化思想；导数的综合应用；等差数列与等比数列．【分析】函数f（x）的导函数f′（x）=2+sinx，可设f（x）=2x﹣cosx+c，利用f（0）=﹣1，可得：f（x）=2x﹣cosx．由数列{a n}是以为公差的等差数列，可得a n=a2+（n﹣2）×．由f（a2）+f（a3）+f（a4）=3π，化简可得6a2﹣=．利用单调性可得a2，即可得出．【解答】解：∵函数f（x）的导函数f′（x）=2+sinx，可设f（x）=2x﹣cosx+c，∵f（0）=﹣1，∴﹣1+c=﹣1，可得c=0．∴f（x）=2x﹣cosx．∵数列{a n}是以为公差的等差数列，∴a n=a1+（n﹣1）×，∵f（a2）+f（a3）+f（a4）=3π，∴2（a2+a3+a4）﹣（cosa2+cosa3+cosa4）=3π，∴6a2+﹣cosa2﹣﹣=3π，∴6a2﹣=．令g（x）=6x﹣cos﹣，则g′（x）=6+sin在R上单调递增，又=0．∴a2=．则==2015．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8. 定义在R上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为（A）0 （B）1 （C）3 （D）5参考答案：答案：D解析：定义在R上的函数是奇函数，，又是周期函数，是它的一个正周期，∴，，∴，则可能为5，选D。
安徽省安庆市2017-2018学年高三下学期第二次模拟考试理数试题 Word版含解析
2017-2018学年 第Ⅰ卷（共60分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（必考题和选考题两部分）．考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效．一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的．）1. 若集合{}3,P x x x =<∈Ζ且,(){}30,Q x x x x =-≤∈Ν且,则PQ 等于（ ）A ．{}0,1,2B ．{}1,2,3C ．{}1,2D ．{}0,1,2,3 【答案】A考点：集合运算.2. 设i 是虚数单位,如果复数i2ia +-的实部与虚部相等,那么实数a 的值为（ ） A ．13 B ．13- C ．3 D ．3- 【答案】C 【解析】 试题分析：∵i 21(2)i2i 5a a a +-++=-,∴212a a -=+,3a =,故选C. 考点：复数的概念及运算.3. 设角A ,B ,C 是ABC ∆的三个内角,则“C B A <+”是“ABC ∆是钝角三角形”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：若 C B A <+,则.2π>C 若ABC ∆是钝角三角形,则C 不一定为钝角,C B A <+不一定成立,故选A.考点：充分条件与必要条件.4. 如图所示的算法框图中,e 是自然对数的底数,则输出的i 的值为（参考数值：ln 20167.609≈）（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C 【解析】试题分析：∵609.72016ln ≈,∴8e 2016>∴ 8i =时,符合2016a ≥,∴ 输出的结果8i =,故选C.考点：程序框图.5. 数列{}n a 满足：11n n a a λ+=-（n *∈Ν,λ∈R 且0λ≠）,若数列{}1n a -是等比数列,则λ的值等于（ ）A ．1B ．1-C ．12D ．2 【答案】D考点：等比数列.6. 已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >,0ω>,π2ϕ<）的部分图象如图所示,则()f x 的递增区间为（ ）A ．π5π2π,2π1212k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,k ∈Ζ B ．π5ππ,π1212k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,k ∈ΖC ．π5π2π,2π66k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,k ∈Ζ D ．5,66k k ππππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,k ∈Ζ【答案】B考点：三角函数的图象与性质.7. 给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导函数,()f x ''是函数()f x '的导函数,若方程()0f x ''=有实数解0x ,则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”．已知函数()34sin cos f x x x x =+-的拐点是()()00,M x f x ,则点M （ ）A ．在直线3y x =-上B ．在直线3y x =上C ．在直线4y x =-上D ．在直线4y x =上 【答案】B 【解析】试题分析： ()34cos sin f x x x '=++,()4sin cos 0f x x x ''=-+=,004sin cos 0x x -=, 所以003)(x x f =,故00(())M x f x ，在直线x y 3=上.故选B. 考点：直线方程；导数应用.8. 已知向量AB 、AC 、AD 满足AC AB AD =+,2AB =,1AD =,E 、F 分别是线段BC 、CD 的中点．若54DE BF ⋅=-,则向量AB 与向量AD 的夹角为（ ）A ．π3B ．2π3C ．π6D ．5π6【答案】A考点：向量的线性运算与向量的数量积.9. 如果点(),x y P 在平面区域22021020x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩上,则()221x y ++的最大值和最小值分别是（ ） A ．3．9,95 C ．9,2 D ．3【答案】B 【解析】试题分析：如图,先作出点()P x y ，所在的平面区域.22)1(++y x 表示动点P 到定点(01)Q -，距离的平方. 当点P 在(10)-，时,22PQ =,而点Q 到直线012=+-y x 的距离的平方为925<；当点P 在(02)，时,离Q 最远,92=PQ .因此22)1(++y x 的最大值为9,最小值为95.故选B. 考点：线性规划10. 设点A 、(),0F c 分别是双曲线22221x y a b-=（0a >,0b >）的右顶点和右焦点,直线2a x c=交双曲线的一条渐近线于点P ．若PAF ∆是等腰三角形,则此双曲线的离心率为（ ）A ．3 C ．2 【答案】D考点：双曲线的性质.11. 一个几何体的三视图如图所示,其体积为（ ） A ．116B．32 D ．12【答案】A 【解析】试题分析：该几何体是一个直三棱柱截去一个小三棱锥,如图 所示,则其体积为：611111213121221=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=V .故选A. 考点：三视图；几何体的体积.12. 设函数()(),0111,101x x f x x f x ≤<⎧⎪=⎨--<<⎪+⎩,()()4g x f x mx m =--,其中0m ≠．若函数()g x 在区间()1,1-上有且仅有一个零点,则实数m 的取值范围是（ ）A ．14m ≥或1m =- B ．14m ≥ C ．15m ≥或1m =- D ．15m ≥【答案】C考点：分段函数；函数与方程.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13—21为必考题,每个试题考生都必须作答．第22－第24题为选考题,考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题．每小题5分．13. 若抛物线26y x =的准线被圆心为()2,1-则该圆的半径为 ． 【答案】 1考点：圆的方程；抛物线的性质.14. 将344x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开后,常数项是 ．【答案】 160- 【解析】试题分析：展开后的通项是3334C C ()(4)mnmn m nm x x---⋅⋅-,当n m =时为常数.于是332333344C C ()(4)C C ()(4)m n m n m n m mm m m m m x x x x -----⋅⋅-=⋅⋅-. 若0m =,则3(4)64-=-；若1m =,则1132C C 4(4)96⋅⋅-=-.故常数项是.1609664-=--或：63)2()44(x x x x -=-+展开后的通项是66266C ((2)C k k k k kk --⋅=-. 令620k -=,得3k =. 所以常数项是336C (2)160-=-.考点：二项式定理.15. 在平行四边形ABCD 中,AB BD ⊥,22421AB BD +=．将此平行四边形沿BD 折成直二面角,则三棱锥A BCD -外接球的表面积为 ． 【答案】π2考点：球与几何体的切接.16. 已知数列{}n a 是各项均不为零的等差数列,n S 为其前n 项和,且n a =（n *∈Ν）．若不等式8nn a nλ+≤对任意n *∈Ν恒成立,则实数λ的最大值为 ． 【答案】 9 【解析】试题分析：n n a a ===,2(21)n n a n a ⇒=- 21n a n ⇒=-,n *∈N .8nn a nλ+≤就是(8)(21)8215n n n n n λλ+-⇒-+≤≤.8215n n-+在1n ≥时单调递增,其最小为9,所以9λ≤,故实数λ的最大值为9.考点：等差数列；基本不等式的应用.三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．17．如图,D 是直角ABC ∆斜边BC 上一点,AC =． （I ）若30DAC ∠=,求角B 的大小；（II ）若2BD DC =,且AD =求DC 的长．【答案】 （I ）60B ∠=°；（II ）2.（Ⅱ）设DC x =,则2BD x =,3BC x =,AC =.于是sin AC B BC ==,cos B =,.6x AB = ……………9分在ABD ∆中,由余弦定理,得 2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅,即222264222x x x x =+-⨯= ,得2x =. 故.2=DC ……………12分 考点：正弦定理、余弦定理.18．（本小题满分12分）在如图所示的多面体ABCDEFG 中,面ABCD 是边长为2的菱形,120BAD ∠=,DE////CF BG ,CF ⊥面ABCD ,//AG EF ,且24CF BG ==． （I ）证明：//EG 平面ABCD ；（II ）求直线CF 与平面AEG 所成角的正弦值．【答案】 （I ）见试题解析；（II ）55连接AF 交EG 于M ,连接AC ,BD 交于O ,连接MO ,如图1所示. 则//MO CF ,且12MO CF BG ==,故BOMG 为平行四边形,所以//MG BO . 又BO ⊂平面ABCD ,MG ⊄平面ABCD ,所以//MG 平面ABCD ,即//EG 平面ABCD . ……………6分解法二、由（Ⅰ）易知,.2==BG DE 以O 为坐 标原点,分别以直线AC 、BD 为x 、y轴,建立空间直角坐标系xyz O -,如图2所示.则有(100)A ，，、(02)E ，,(02)G ,(100)C -，，,(104)F -，，,所以(12)AE =-，,(00)EG =，,(004)CF =，，.设面AEG 的法向量为()n x y z =，，,由n AE ⊥, n EG ⊥,得200.x z ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩， 令1=z ,则2=x所以(201)n =，，,于是cos n CF <>==，………10分 故直线CF 与平面AEG 所成角的正弦值为.55………12分 考点：线面平行；线面角的求法；空间向量的应用.19．（本小题满分12分）近年来,全国很多地区出现了非常严重的雾霾天气,而燃放烟花爆竹会加重雾霾．是否应该全面禁放烟花爆竹已成为人们议论的一个话题．一般来说,老年人（年满60周岁）从情感上不太支持禁放烟花爆竹,而中青年人（18周岁至60周岁以下）则相对理性一些．某市环保部门就是否赞成禁放烟花爆竹对400位老年人和中青年市民进行了随机问卷调查,结果如下表：（I ）有多大的把握认为“是否赞成禁放烟花爆竹”与“年龄结构”有关？请说明理由； （II ）从上述不赞成禁放烟花爆竹的市民中按年龄结构分层抽样出13人,再从这13人中随机的挑选2人,了解它们春节期间在烟花爆竹上消费的情况．假设老年人花费500元左右,中青年人花费1000元左右．用X 表示它们在烟花爆竹上消费的总费用,求X 的分布列和数学期望．【答案】（Ⅰ）有95%把握认为“是否赞成禁放烟花爆竹”与“年龄结构”有关. （II ）X 的分布列为所以 1462EX ≈. 【解析】试题分析：（Ⅰ）先求出24004.3956 3.84191K ==≈>,由临界值表可以判断有95%把握认为“是否赞成禁放烟花爆竹”与“年龄结构”有关. （II ）先缺13人中有老年人7人,中青年人6人. 2000X =,1500,1000.由26213C 5(2000)C 26P X ===,1176213C C 7(1500)C 13P X ===,27213C 7(1000)C 26P X===,进一步确定分布列,再由期望定义求出期望.试题解析：（Ⅰ）因为22400(6012014080)4004.3956 3.84114026020020091K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯, 所以有95%把握认为“是否赞成禁放烟花爆竹”与“年龄结构”有关.……… 5分考点：独立性检验；随机变量的分布列与期望. 20．（本小题满分12分）已知定圆:A (2216x y +=,动圆M 过点)B,且和圆A相切．（I ）求动圆圆心M 的轨迹E 的方程；（II ）设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹E 交于不同的两点P 、Q ,点()4,0N ．若P 、Q 、N三点不共线,且ONP ONQ ∠=∠．证明：动直线PQ 经过定点．【答案】 (Ⅰ) 1422=+y x ；（II ）见试题解析. 【解析】试题分析：(Ⅰ)由两圆相切的结论可得||||4MA MB +=,由此可得动点M 的轨迹E 是以A 、B 为焦点,长轴长为4的椭圆,其方程为1422=+y x . （II ） 设直线l 的方程为(0)y kx b k =+≠,联立2244y kx b x y =+⎧⎨+=⎩，，消去y 得,222(14)8440k x kbx b +++-=, 2216(41)k b ∆=-+. 设11()P x kx b +，,11()Q x kx b +，,由ONP ONQ ∠=∠可得0=+Q N PN k k ,利用根与系数的关系可得b k =-,故动直线l 的方程为y kx k =-,过定点(10)，.即 21212224482(4)()82(4)81414b kbkx x k b x x b k k b b k k----+-=---++3222288328801414k k k b kb b k k--=+-=++,得b k =-,216(31)0k ∆=+>. 故动直线l 的方程为y kx k =-,过定点(10)，. …………12分 考点：直线、圆与椭圆.21．（本小题满分12分）设函数()()21f x x =-,()()2ln g x a x =,其中a ∈R ,且0a ≠． （I ）若直线e x =（e 为自然对数的底数）与曲线()y f x =和()y g x =分别交于A 、B 两点,且曲线()y f x =在点A 处的切线与曲线()y g x =在点B 处的切线互相平行,求a 的值； （II ）设()()ln h x f x m x =+（m ∈R ,且0m ≠）有两个极值点1x ,2x ,且12x x <,证明：()212ln 24h x ->． 【答案】,（I ）2a e e =-；见试题解析.（Ⅱ）222()2(1)m x x mh x x x x-+'=-+=,0x >.因为()h x 有两个极值点1x ,2x ,所以1x ,2x 是方程2220x x m -+=的两个实数根,考点：导数的几何意义；导数的应用.请考生在第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分．做答时请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22．（本小题满分10分）如图,以ABC ∆的边AB 为直径作圆O ,圆O 与边BC 的交点D 恰为BC 边的中点,过点D 作DE AC ⊥于点E ．（I ）求证：DE 是圆O 的切线； （II ）若30B ∠=,求AEDC的值．【答案】. （I ）见试题解析；（II ）6【解析】试题分析：（Ⅰ）由OD //AC ,OD DE ⊥可得OD DE ⊥,所以DE 是⊙O 的切线.（Ⅱ）根据BC AD ⊥.D 是BC 的中点,可得 AB AC =, 30=∠=∠B ACD .再由AC DE ⊥,所得30=∠ADE .在直角三角形AED 中,30tan =DE AE ；在直角三角形DEC 中, 30sin =DCDE. 故AE DE =.考点：圆的性质.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=,直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数,α为直线的倾斜角）．（I ）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（II ）若直线l 与曲线C 有唯一的公共点,求角α的大小．【答案】（I ）当π2a =时,直线l 的普通方程为1x =-；当2π≠a 时,直线l 的普通方程为(tan )(1)y x a =+；曲线C 的直角坐标方程为222x y x +=；（II ）π6或5π6. 【解析】试题分析： （I ）把1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩中的α消去,即得l 的普通方程,由θρcos 2=得θρρcos 22=,利用222x y ρ=+,cos x ρθ=,可得曲线C 的直角坐标方程；（II ）把a t x c o s 1+-=,sin y t a =代入222x y x +=整理得24cos 30t t a -+=,再由0∆=求角α的大小.考点：参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化及应用,直线与圆的位置关系. .24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数()3f x x x a =--+,其中a ∈R ．（I ）当2a =时,解不等式()1f x <；（II ）若对于任意实数x ,恒有()2f x a ≤成立,求a 的取值范围．【答案】（I ）(0)+∞，；（II ）[3)+∞，. 【解析】试题分析：（I ）采用零点分区间法求解；（II ）先求出)(x f 的最大值为3+a ,把问题转化为32a a +≤求解.试题解析：（Ⅰ）2=a 时,1)(<x f 就是.123<+--x x当2-<x 时,321x x -++<,得51<,不成立；当23x -<≤时,321x x ---<,得0x >,所以30<<x ；当3x ≥时, 321x x ---<,即51-<,恒成立,所以3x ≥.综上可知,不等式1)(<x f 的解集是(0)+∞，. …………5分考点：.绝对值不等式的解法；不等式恒成立问题。
2018年高考数学二模试卷(理科)带答案精讲
2018年高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）若集合，则m的取范围值为（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．﹣1或2 D．2或2．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=9，a6=11，则S9等于（）A．180 B．90 C．72 D．103．（5分）在样本的频率分布直方图中，共有5个长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的，且样本容量为100，则正中间的一组的频数为（）A．80 B．0.8 C．20 D．0.24．（5分）若满足条件的△ABC有两个，那么a的取值范围是（）A．（1，）B．（） C．D．（1，2）5．（5分）复数2+i与复数在复平面上的对应点分别是A、B，则∠AOB等于（）A．B．C．D．6．（5分）已知x，y满足约束条件的最小值是（）A．B．C．D．17．（5分）2011年某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，后四位数从“0000”到“9999”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位带数字“6”或“8”的一律作为“金兔卡”，享受一定优惠政策，则这组号码中“金兔卡”的个数为（）A．2000 B．4096 C．5904 D．83208．（5分）有三个命题①函数f（x）=lnx+x﹣2的图象与x轴有2个交点；②函数的反函数是y=（x﹣1）2（x≥﹣1）；③函数的图象关于y轴对称．其中真命题是（）A．①③B．②C．③D．②③9．（5分）若长度为定值的线段AB的两端点分别在x轴正半轴和y轴正半轴上移动，O为坐标原点，则△OAB的重心、内心、外心、垂心的轨迹不可能是（）A．点B．线段C．圆弧D．抛物线的一部分10．（5分）已知点G是△ABC的重心，点P是△GBC内一点，若的取值范围是（）A． B． C． D．（1，2）二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）二项式（﹣2x2）9展开式中，除常数项外，各项系数的和为．12．（5分）边长是的正三角形ABC内接于体积是的球O，则球面上的点到平面ABC的最大距离为．13．（5分）函数，在区间（﹣π，π）上单调递增，则实数φ的取值范围为．14．（5分）已知过椭圆的右焦点F斜率是1的直线交椭圆于A、B两点，若，则椭圆的离心率是．15．（5分）在数学中“所有”一词，叫做全称量词，用符号“∀”表示；“存在”一词，叫做存在量词，用符号“∃”表示．设．①若∃x0∈（2，+∞），使f（x0）=m成立，则实数m的取值范围为；②若∀x1∈（2，+∞），∃x2∈（2，+∞）使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围为．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知=（cosx+sinx，sinx），=（cosx﹣sinx，2cosx）．（I）求证：向量与向量不可能平行；（II）若•=1，且x∈[﹣π，0]，求x的值．17．（12分）已知某高中某班共有学生50人，其中男生30人，女生20人，班主任决定用分层抽样的方法在自己班上的学生中抽取5人进行高考前心理调查．（I）若要从这5人中选取2人作为重点调查对象，求至少选取1个男生的概率；（II）若男生学生考前心理状态好的概率为0.6，女学生考前心理状态好的概率为0.5，ξ表示抽取的5名学生中考前心理状态好的人数，求P（ξ=1）及Eξ．18．（12分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=a，E为棱A1D1中点．（I）求二面角E﹣AC﹣B的正切值；（II）求直线A1C1到平面EAC的距离．19．（12分）已知{a n}是正数组成的数列，其前n项和2S n=a n2+a n（n∈N*），数列{b n}满足，．（I）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（II）若c n=a n b n（n∈N*），数列{c n}的前n项和．20．（13分）若圆C过点M（0，1）且与直线l：y=﹣1相切，设圆心C的轨迹为曲线E，A、B为曲线E上的两点，点．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）若t=6，直线AB的斜率为，过A、B两点的圆N与抛物线在点A处共同的切线，求圆N的方程；（Ⅲ）分别过A、B作曲线E的切线，两条切线交于点Q，若点Q恰好在直线l 上，求证：t与均为定值．21．（14分）已知函数f（x）=ax+lnx，a∈R．（I）当a=﹣1时，求f（x）的最大值；（II）对f（x）图象上的任意不同两点P1（x1，x2），P（x2，y2）（0＜x1＜x2），证明f（x）图象上存在点P0（x0，y0），满足x1＜x0＜x2，且f（x）图象上以P0为切点的切线与直线P1P2平等；（III）当时，设正项数列{a n}满足：a n=f'（a n）（n∈N*），若数列{a2n}是递+1减数列，求a1的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）若集合，则m的取范围值为（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．﹣1或2 D．2或【分析】根据集合，解得A={2}，在根据B=（1，m），A⊆B，即2必须要在（1，m）中，得到m≥2即可求解【解答】解：∵解得：x=2，x=﹣1（舍）∴A={2}∵B=（1，m），A⊆B∴m＞2故选A【点评】本题以集合为依托，考查了解物理方程以及集合关系中的参数取值问题，属于基础题．2．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=9，a6=11，则S9等于（）A．180 B．90 C．72 D．10【分析】由a4=9，a6=11利用等差数列的性质可得a1+a9=a4+a6=20，代入等差数列的前n项和公式可求．【解答】解：∵a4=9，a6=11由等差数列的性质可得a1+a9=a4+a6=20故选B【点评】本题主要考查了等差数列的性质若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q和数列的求和．解题的关键是利用了等差数列的性质：利用性质可以简化运算，减少计算量．3．（5分）在样本的频率分布直方图中，共有5个长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的，且样本容量为100，则正中间的一组的频数为（）A．80 B．0.8 C．20 D．0.2【分析】由已知中在样本的频率分布直方图中，共有5个长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的，我们出该组的频率，进而根据样本容量为100，求出这一组的频数．【解答】解：∵样本的频率分布直方图中，共有5个长方形，又∵中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的，则该长方形对应的频率为0.2又∵样本容量为100，∴该组的频数为100×0.2=20故选C【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，其中根据各组中频率之比等于面积之比，求出该组数据的频率是解答本题的关键．4．（5分）若满足条件的△ABC有两个，那么a的取值范围是（）A．（1，）B．（） C．D．（1，2）【分析】由已知条件C的度数，AB及BC的值，根据正弦定理用a表示出sinA，由C的度数及正弦函数的图象可知满足题意△ABC有两个A的范围，然后根据A 的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出sinA的范围，进而求出a的取值范围．【解答】解：由正弦定理得：=，即=，变形得：sinA=，由题意得：当A∈（60°，120°）时，满足条件的△ABC有两个，所以＜＜1，解得：＜a＜2，则a的取值范围是（，2）．故选C【点评】此题考查了正弦定理及特殊角的三角函数值．要求学生掌握正弦函数的图象与性质，牢记特殊角的三角函数值以及灵活运用三角形的内角和定理这个隐含条件．5．（5分）复数2+i与复数在复平面上的对应点分别是A、B，则∠AOB等于（）A．B．C．D．【分析】利用复数的几何意义：复数与复平面内的点一一对应，写出A，B的坐标；利用正切坐标公式求出角∠XOA，∠XOB，写最后利用和角公式求出∠AOB．【解答】解：∵点A、B对应的复数分别是2+i与复数，则=∴A（2，1），B（，﹣），∴tan∠XOA=，tan∠XOB=，∴tan∠AOB=tan（∠XOA+∠XOB）==1，则∠AOB等于故选B．【点评】本题考查复数的几何意义，复数与复平面内的点一一对应．解答的关键是利用正切的和角公式．6．（5分）已知x，y满足约束条件的最小值是（）A．B．C．D．1【分析】本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点（0，0）构成的线段的长度问题，注意最后要平方．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，z=x2+y2，表示可行域内点到原点距离OP的平方，点P到直线3x+4y﹣4=0的距离是点P到区域内的最小值，d=，∴z=x2+y2的最小值为故选B．【点评】本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与原点的斜率．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．7．（5分）2011年某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，后四位数从“0000”到“9999”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位带数字“6”或“8”的一律作为“金兔卡”，享受一定优惠政策，则这组号码中“金兔卡”的个数为（）A．2000 B．4096 C．5904 D．8320【分析】由题意知凡卡号的后四位不带数字“6”或“8”的一律不能作为“金兔卡”，后四位没有6和8，后四位中的每一个组成数字只能从另外8个中选，每一位有8种选法，根据分步计数原理得到结果，用总数减去不合题意的即可．【解答】解：∵凡卡号的后四位带数字“6”或“8”的一律作为“金兔卡”，∴凡卡号的后四位不带数字“6”或“8”的一律不能作为“金兔卡”，后四位没有6和8，∴后四位中的每一个组成数字只能从另外8个中选，根据分步计数原理知共有8×8×8×8=4096，∴符合条件的有10000﹣4096=5904，故选C．【点评】本题考查分步计数原理的应用，考查带有约束条件的数字问题，这种题目若是从正面来做包括的情况比较多，可以选择从反面来解决．8．（5分）有三个命题①函数f（x）=lnx+x﹣2的图象与x轴有2个交点；②函数的反函数是y=（x﹣1）2（x≥﹣1）；③函数的图象关于y轴对称．其中真命题是（）A．①③B．②C．③D．②③【分析】对于①，考查f（x）的单调性即可；对于②，欲求原函数y=﹣1（x ≥0）的反函数，即从原函数式中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式．对于③，考查函数f（x）的奇偶性即可．【解答】解：对于①，考察f（x）的单调性，lnx和x﹣2在（0，+∞）上是增函数，故f（x）=lnx+x﹣2在（0，+∞）上是增函数，图象与x轴最多有1个交点，故错．对于②，∵y=﹣1（x≥0），∴x=（y+1）2（y≥﹣1），∴x，y互换，得y=（x+1）2（x≥﹣1）．故错．对于③，考察函数f（x）的奇偶性，化简得y=是偶函数，图象关于y轴对称，故对．故选C．【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、反函数等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．9．（5分）若长度为定值的线段AB的两端点分别在x轴正半轴和y轴正半轴上移动，O为坐标原点，则△OAB的重心、内心、外心、垂心的轨迹不可能是（）A．点B．线段C．圆弧D．抛物线的一部分【分析】本题是个选择题，利用排除法解决．首先由△OAB的重心，排除C；再利用△OAB的内心，排除B；最后利用△OAB的垂心，排除A；即可得出正确选项．【解答】解：设重心为G，AB中点为C，连接OC．则OG=OC （这是一个重心的基本结论）．而OC=AB=定值，所以G轨迹圆弧．排除C；内心一定是平分90度的那条角平分线上，轨迹是线段．排除B；外心是三角形外接圆圆心，对于这个直角三角形，AB中点C就是三角形外接圆圆心，OC是定值，所以轨迹圆弧，排除C；垂心是原点O，定点，排除A故选D．【点评】本题考查三角形的重心、内心、外心、垂心、以及轨迹的求法．解选择题时可利用排除法．10．（5分）已知点G是△ABC的重心，点P是△GBC内一点，若的取值范围是（）A． B． C． D．（1，2）【分析】由点P是△GBC内一点，则λ+μ≤1，当且仅当点P在线段BC上时，λ+μ最大等于1；当P和G重合时，λ+μ最小，此时，=，λ=μ=，λ+μ=．【解答】解：∵点P是△GBC内一点，则λ+μ＜1，当且仅当点P在线段BC上时，λ+μ最大等于1，当P和G重合时，λ+μ最小，此时，==×（）=，∴λ=μ=，λ+μ=．故＜λ+μ＜1，故选：B．【点评】本题考查三角形的重心的性质，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）二项式（﹣2x2）9展开式中，除常数项外，各项系数的和为671．【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项令x的指数为0得到常数项；令二项式中x为1求出各项系数和，从而解决问题．【解答】解：二项式展开式的通项令3r﹣9=0得r=3故展开式的常数项为﹣C93×23=﹣672．令二项式中的x=1得到系数之和为：（1﹣2）9=﹣1除常数项外，各项系数的和为：671．故答案为671．【点评】本题涉及的考点：（1）二项式定理及通项公式；（2）二项式系数与系数，解答时注意二项式系数与系数的区别．12．（5分）边长是的正三角形ABC内接于体积是的球O，则球面上的点到平面ABC的最大距离为．【分析】由已知中，边长是的正三角形ABC内接于体积是的球O，我们易求出△ABC的外接圆半径及球的半径，进而求出球心距，由于球面上的点到平面ABC的最大距离为球半径加球心距，代入即可得到答案．【解答】解：边长是的正三角形ABC的外接圆半径r=．球O的半径R=．∴球心O到平面ABC的距离d==．∴球面上的点到平面ABC的最大距离为R+d=．故答案为：．【点评】本题考查的知识点是点、面之间的距离，其中根据球的几何特征分析出球面上的点到平面ABC的最大距离为球半径加球心距，是解答本题的关键．13．（5分）函数，在区间（﹣π，π）上单调递增，则实数φ的取值范围为．【分析】求出函数的单调增区间，通过子集关系，确定实数φ的取值范围．【解答】解：函数，由2kπ﹣πφ≤2kπ，可得6kπ﹣3π﹣3φ≤x≤6kπ﹣3φ，由题意在区间（﹣π，π）上单调递增，所以6kπ﹣3π﹣3φ≤﹣π 且π≤6kπ﹣3φ，因为0＜φ＜2π，所以k=1，实数φ的取值范围为；故答案为：【点评】本题是基础题，考查三角函数的单调性的应用，子集关系的理解，考查计算能力．14．（5分）已知过椭圆的右焦点F斜率是1的直线交椭圆于A、B两点，若，则椭圆的离心率是．【分析】设出A、B两点的坐标，A（m，m﹣c），B（n，n﹣c），由得m+2n=3c ①，再根据椭圆的第二定义，=2=，可得2n﹣m=②，由①②解得m 和n的值，再代入椭圆的第二定义，e===，解方程求得e的值．【解答】解：右焦点F（c，0），直线的方程为y﹣0=x﹣c．设A（m，m﹣c），B（n，n﹣c），由得（c﹣m，c﹣m）=2 （n﹣c，n﹣c），∴c﹣m=2（n﹣c），m+2n=3c ①．再根据椭圆的第二定义，=2=，∴2n﹣m=②，由①②解得m=，n=．据椭圆的第二定义，e=====，∴3e3﹣3e﹣e2+=0，（e2﹣1）•（3e﹣）=0．∵0＜e＜1，∴e=，故椭圆的离心率是，故答案为．【点评】本题考查椭圆的定义、椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用．15．（5分）在数学中“所有”一词，叫做全称量词，用符号“∀”表示；“存在”一词，叫做存在量词，用符号“∃”表示．设．①若∃x0∈（2，+∞），使f（x0）=m成立，则实数m的取值范围为（，+∞）；②若∀x1∈（2，+∞），∃x2∈（2，+∞）使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围为不存在．【分析】①先对函数配方，求出其对称轴，判断出其在给定区间上的单调性进而求出函数值的范围，即可求出实数m的取值范围；②先利用单调性分别求出两个函数的值域，再比较即可求出实数a的取值范围．【解答】解：因为f（x）==，（2，+∞），f（x）＞f（2）=；g（x）=a x，（a＞1，x＞2）．g（x）＞g（2）=a2．①∵∃x0∈（2，+∞），使f（x0）=m成立，∴m；②∵∀x1∈（2，+∞），∃x2∈（2，+∞）使得f（x1）=g（x2），∴⇒a不存在．故答案为：（，+∞）：不存在．【点评】本题主要考查函数恒成立问题以及借助于单调性研究函数的值域，是对基础知识的综合考查，属于中档题目．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知=（cosx+sinx，sinx），=（cosx﹣sinx，2cosx）．（I）求证：向量与向量不可能平行；（II）若•=1，且x∈[﹣π，0]，求x的值．【分析】（I）先假设两个向量平行，利用平行向量的坐标表示，列出方程并用倍角和两角和正弦公式进行化简，求出一个角的正弦值，根据正弦值的范围推出矛盾，即证出假设不成立；（II）利用向量数量积的坐标表示列出式子，并用倍角和两角和正弦公式进行化简，由条件和已知角的范围进行求值．【解答】解：（I）假设∥，则2cosx（cosx+sinx）﹣sinx（cosx﹣sinx）=0，1+cosxsinx+cos2x=0，即1+sin2x+=0，∴sin（2x+）=﹣3，解得sin（2x+）=﹣＜﹣1，故不存在这种角满足条件，故假设不成立，即与不可能平行．（II）由题意得，•=（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）+2cosxsinx=cos2x+sin2x=sin （2x+）=1，∵x∈[﹣π，0]，∴﹣2π≤2x≤0，即≤，∴=﹣或，解得x=或0，故x的值为：或0．【点评】本题考查了向量共线和数量积的坐标运算，主要利用了三角恒等变换的公式进行化简，对于存在性的题目一般是先假设成立，根据题意列出式子，再通过运算后推出矛盾，是向量和三角函数相结合的题目．17．（12分）已知某高中某班共有学生50人，其中男生30人，女生20人，班主任决定用分层抽样的方法在自己班上的学生中抽取5人进行高考前心理调查．（I）若要从这5人中选取2人作为重点调查对象，求至少选取1个男生的概率；（II）若男生学生考前心理状态好的概率为0.6，女学生考前心理状态好的概率为0.5，ξ表示抽取的5名学生中考前心理状态好的人数，求P（ξ=1）及Eξ．【分析】（I）根据分层抽样的定义知：在自己班上的学生中抽取5人中有3男2女，“至少选取1个男生”的对立面是“全为女生”则所求的概率为：1﹣“全为女生”的概率（II）P（ξ=1）表示抽取的5名学生中考前心理状态好的人数为男生1人和女生1人ξ表示抽取的5名学生中考前心理状态好的人数可表示为：用ξ1表示3个男生中考前心理状态好的人数，ξ2表示2个女生考前心理状态好的人数，则ξ1～B（3，0.6），ξ2～B（2，0.5）根据Eξ=Eξ1+Eξ2即可运算【解答】解：（I）男生被抽取人数为3人，女生被抽取人数为2人选取的两名学生都是女生的概率P=∴所求的概率为：1﹣P=（II）P（ξ=1）=C31×0.6×0.42×0.52+C21×0.43×0.52=0.104用ξ1表示3个男生中考前心理状态好的人数，ξ2表示2个女生考前心理状态好的人数，则ξ1～B（3，0.6），ξ2～B（2，0.5），∴Eξ1=3×0.6=1.8，Eξ2=2×0.5=1，∴Eξ=Eξ1+Eξ2=2.8【点评】本题考查了等可能事件的概率，离散型随机变量的期望，特别是二项分布的期望与方差也是高考中常考的内容之一．18．（12分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=a，E为棱A1D1中点．（I）求二面角E﹣AC﹣B的正切值；（II）求直线A1C1到平面EAC的距离．【分析】（I）取AD的中点H，连接EH，则EH⊥平面ABCD，过H作HF⊥AC与F，连接EF，我们可得∠EFH即为二面角E﹣AC﹣B的补角，解三角形EFH后，即可求出二面角E﹣AC﹣B的正切值；（II）直线A1C1到平面EAC的距离，即A1点到平面EAC的距离，利用等体积法，我们根据=，即可求出直线A 1C1到平面EAC的距离．【解答】解：（I）取AD的中点H，连接EH，则EH⊥平面ABCD，过H作HF⊥AC 与F，连接EF，则EF在平面ABCD内的射影为HF，由三垂线定理得EF⊥AC，，∴∠EFH即为二面角E﹣AC﹣B的补角∵EH=a，HF=BD=∴∠tan∠EFH===2∴二面角E﹣AC﹣B的正切值为﹣2…6分（II）直线A1C1到平面EAC的距离，即A1点到平面EAC的距离d，…8分∵=•d=∴S△EAC∵EF====•AC•EF=•a•=∴S△EAC而=••a=∴•d=•a∴d=∴直线A1C1到平面EAC的距离【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，点到平面的距离，其中（I）的关键是得到∠EFH即为二面角E﹣AC﹣B的补角，（II）中求点到面的距离时，等体积法是最常用的方法．19．（12分）已知{a n}是正数组成的数列，其前n项和2S n=a n2+a n（n∈N*），数列{b n}满足，．（I）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（II）若c n=a n b n（n∈N*），数列{c n}的前n项和．【分析】（I）由题设知a1=1，a n=S n﹣S n﹣1=，a n2﹣a n﹣12﹣a n﹣a n﹣1=0，故（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，由此能导出a n=n．于是b n+1=b n+3n，b n+1﹣b n=3n，由此能求出b n．（II），，由错位相减法能求出，由此能得到==．【解答】解：（I），∴a1=1，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=，∴a n2﹣a n﹣12﹣an﹣a n﹣1=0，（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，∴a n﹣a n﹣1=1．∴数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，∴a n=n．于是b n+1=b n+3n，∴b n+1﹣b n=3n，b n=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（b n﹣b n﹣1）=．（II），∴，，∴==，，∴==．【点评】第（I）题考查数列通项公式的求法，解题时要注意迭代法的合理运用；第（II）题考查前n项和的计算和极限在数列中的运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意数列性质的合理运用．20．（13分）若圆C过点M（0，1）且与直线l：y=﹣1相切，设圆心C的轨迹为曲线E，A、B为曲线E上的两点，点．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）若t=6，直线AB的斜率为，过A、B两点的圆N与抛物线在点A处共同的切线，求圆N的方程；（Ⅲ）分别过A、B作曲线E的切线，两条切线交于点Q，若点Q恰好在直线l 上，求证：t与均为定值．【分析】（I）由点C到定点M的距离等于到定直线l的距离与抛物线的定义可得点C的轨迹为抛物线所以曲线E的方程为x2=4y．（II）由题得直线AB的方程是x﹣2y+12=0联立抛物线的方程解得A（6，9）和B（﹣4，4），进而直线NA的方程为，由A，B两点的坐标得到线段AB中垂线方程为，可求N点的坐标，进而求出圆N的方程．（III）设A，B两点的坐标，由题意得过点A的切线方程为又Q（a，﹣1），可得x12﹣2ax1﹣4=0同理得x22﹣2ax2﹣4=0所以x1+x2=2a，x1x2=﹣4．所以直线AB的方程为所以t=﹣1．根据向量的运算得=0．【解答】【解】（Ⅰ）依题意，点C到定点M的距离等于到定直线l的距离，所以点C的轨迹为抛物线，曲线E的方程为x2=4y．（Ⅱ）直线AB的方程是，即x﹣2y+12=0．由及知，得A（6，9）和B（﹣4，4）由x2=4y得，．所以抛物线x2=4y在点A处切线的斜率为y'|x=6=3．直线NA的方程为，即．①线段AB的中点坐标为，线段AB中垂线方程为，即．②由①、②解得．于是，圆C的方程为，即．（Ⅲ）设，，Q（a，1）．过点A的切线方程为，即x12﹣2ax1﹣4=0．同理可得x22﹣2ax2﹣4=0，所以x1+x2=2a，x1x2=﹣4．又=，所以直线AB的方程为，即，亦即，所以t=1．而，，所以==．【点评】本题主要考查抛物线的定义和直线与曲线的相切问题，解决此类问题的必须熟悉曲线的定义和曲线的图形特征，这也是高考常考的知识点．21．（14分）已知函数f（x）=ax+lnx，a∈R．（I）当a=﹣1时，求f（x）的最大值；（II）对f（x）图象上的任意不同两点P1（x1，x2），P（x2，y2）（0＜x1＜x2），证明f（x）图象上存在点P0（x0，y0），满足x1＜x0＜x2，且f（x）图象上以P0为切点的切线与直线P1P2平等；（III）当时，设正项数列{a n}满足：a n=f'（a n）（n∈N*），若数列{a2n}是递+1减数列，求a1的取值范围．【分析】（I）求出函数的导函数判断出其大于零得到函数在区间[1，e]上为增函数，所以f（1）为最小值，f（e）为最大值，求出即可；（II）直线P1P2的斜率k由P1，P2两点坐标可表示为；由（1）知﹣x+lnx≤﹣1，当且仅当x=1时取等号；可得+＜﹣1，整理可得＜，同理，由，得；所以P1P2的斜率，在x∈（x1，x2）上，有，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=﹣x+lnx，．对于x∈（0，1），有f'（x）＞0，∴f（x）在区间（0，1]上为增函数，对于x∈（1，+∞），有f'（x）＜0，∴f（x）在区间（1，+∞）上为减函数，．∴f max（x）=f（1）=﹣1；（II）直线P1P2的斜率为；由（1）知﹣x+lnx≤﹣1，当且仅当x=1时取等号，∴，同理，由，可得；故P1P2的斜率，又在x∈（x1，x2）上，，所以f（x）图象上存在点P0（x0，y0），满足x1＜x0＜x2，且f（x）图象上以P0为切点的切线与直线P1P2平行；（III）f（x）=，f′（x）=，∴a n+1=+，a3=，a4==＜a2⇒2a22﹣3a2﹣2＞0，⇒（2a2+1）（a2﹣1）＞0⇒a2＞2⇒⇒0＜a1＜2，下面我们证明：当0＜a1＜2时，a2n+2＜a2n，且a2n＞2（n∈N+）事实上，当n=1时，0＜a1＜2⇒a2=，a4﹣a2=⇒a4＜a2，结论成立．若当n=k时结论成立，即a2k+2＜a2k，且a2k＞2，则a2k+2=⇒a2k+4=，a2k+4﹣a2k+2=⇒a2k+4＜a2k+2，由上述证明可知，a1的取值范围是（0，2）．【点评】本题综合考查了利用导数研究曲线上过某点的切线方程，利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值问题，也考查了利用函数证明不等式的问题，以及利用数学归纳法证明数列不等式，考查运算能力和分析解决问题能力，属难题．。
安徽省安庆市2018届重点中学联考高三理科数学试卷
数学试题（理科）
2018.4.20
第 I 卷（选择题，共 60 分）
一、选择题：本题包括 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
2i
1. 若复数 z
，则在复平面内，复数 z 所对应的点位于（
）
1 3i
A. 第一象限
5. 已知等比数列 an 的前 n'项和为 Sn ，若 a 4 a8
1 ( a1
a5 ) ，则 S8
8
S4
（
）
9
17
A.9
B.
C.17
D.
8
16
6. 运行如图所示的程序框图，若输出的 S 的值为 645，则判断框中可以填（
）
A. i>3? B.i>4?
C.i>4? D.i>5?
7. 已知函数 g ( x)
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2. 已知集合 A x | x2 4x 5 0 , B a | a x a 2 ，若 A B
，则实数 a 的取
值范围为（ ）
A. [-1,3]
B. ( , 1] [ 3, ) C.（ -1， 3） D.( , 1) (3, )
(a cos B b cos A) cos B 1
，若 ( x, y)
，都有 x-2y>-5,则实数 a 的取
值不可能为（ ） A. -3 B.-2 C.1 D.2
10. 已知函数 f ( x) A sin( x )( A 0, 0,0
) 的最大值为 2，相邻对称轴间的 2
距离为 ，且 f ( x) f ( x) ，且当 x [ , ] 时， f（ x）的值域为 [
安徽省安庆市2018届高三二模考试数学试题(理)(解析版)
安徽省安庆市2018届高三二模考试数学试题（理）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}1|{<=x x A ，集合}11|{<=xx B ，则=B A （ ）A ．∅B ．}1|{<x xC ．}10|{<<x xD ．}0|{<x x2．已知复数z 满足：(2+i)=1-i z ，其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数为（ ）A ．13-i 55B ．13+i 55C ．1-i 3D ．1+i 33．ABC ∆三内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,则“b a >”是“B A 2cos 2cos <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件 4．如图，四边形OABC 是边长为2的正方形，曲线段DE 所在的曲线方程为1=xy ，现向该正方形内抛掷1枚豆子，则该枚豆子落在阴影部分的概率为（ ）A．42 ln23-B．42ln21+C．42 ln2 5-D．42 ln21+-5．阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，则输出的x值为（）A．0 B．1 C．16 D．326．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．12 B．16 C．332 D．247．函数||log |1|1)(x x x x f a ++=（10<<a ）的图象的大致形状是（ ）8．已知函数)sin()(ϕω+=x x f （2||,0πϕω<>）图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，将函数)(x f y =的图象向左平移π3个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数)(x f y =的图象（ ）A. 关于点π(,0)12对称 B. 关于点π(-,0)12对称 C. 关于直线π=12x 对称 D. 关于直线12π-=x 对称9．在ABC ∆中，点D 是边BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得μλ+=，则=+μλ（ ） A ．21 B ．21-C ． 2D ．2-10．在锐角ABC ∆中，B A 2=，则ACAB的取值范围是（ ） A ．)3,1(- B ．)3,1( C ．)3,2( D ．)2,1(11．已知实数y x ,满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥--≥≤x y x y x y 32)1(32，则1+x y 的最大值为（ ） A ．52B ．92C ．136D ．21 12．已知函数)0(4)(>+=x xx x f ，P 是)(x f y =图象上任意一点，过点P 作直线x y =和y 轴的垂线，垂足分别为B A ,，又过点P 作曲线)(x f y =的切线，交直线x y =和y 轴于点H G ,.给出下列四个结论：①||||PB PA ⋅是定值；②⋅是定值；③||||OH OG ⋅（O 是坐标原点）是定值；④PH PG ⋅是定值. 其中正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．①②③D ．①②③④ 二、填空题：每题4分，满分20分.13．如果n xx )13(-的展开式中各项系数之和为128，则展开式中41x的系数是 .14．设抛物线y x 42=的焦点为F ，点B A ,在抛物线上，且满足λ=，若23||=AF ，则λ的值为 .15．已知由样本数据点集合}.,2,1|),{(n i y x i i =求得的回归直线方程为5.05.1ˆ+=x y，且3=x .现发现两个数据点)1.2,1.1(和)9.7,9.4(误差较大，去除后重新求得的回归直线l 的斜率为，那么，当2=x 时，y 的估计值为 .16．祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同幂，则积不容异”.这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等.一般大型热电厂的冷却塔大都采用双曲线型.设某双曲线型冷却塔是曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 与直线0=x ，0=y 和b y =所围成的平面图形绕y 轴旋转一周所得，如图所示.试应用祖暅原理类比求球体体积公式的方法，求出此冷却塔的体积为 .三、解答题：本大题共7题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知公差不为0的等差数列}{n a 的首项21=a ，且1,1,1421+++a a a 成等比数列.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设11+=n n n a a b ，*N ∈n ，n S 是数列}{n b 的前n 项和，求使193<n S 成立的最大的正整数n .18．如图，四边形ABCD 是矩形，沿对角线AC 将ACD ∆折起，使得点D 在平面ABC 上的射影恰好落在边AB 上.（1）求证：平面⊥ACD 平面BCD ； （2）当2=ADAB时，求二面角B AC D --的余弦值.19．某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车，已知黄、蓝两种颜色的单车的投放比例为2：1.监管部门为了了解两种颜色的单车的质量，决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同.（1）求抽取的5辆单车中有2辆是蓝色颜色单车的概率；（2）在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机地抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过n （*N ∈n ）次.在抽样结束时，已取到的黄色单车以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望.20．已知直线1l ：x y 33=，2l ：x y 33-=，动点B A ,分别在直线1l ，2l 上移动，32||=AB ，M 是线段AB 的中点. （1）求点M 的轨迹E 的方程；（2）设不经过坐标原点O 且斜率为k 的直线l 交轨迹E 于点Q P ,，点R 满足+=，若点R 在轨迹E 上，求四边形OPRQ 的面积.21．已知函数x b ax x x f ln )(2++=，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为x y 2=.（1）求a 和b 实数的值；（2）设)()()(2R m mx x x f x F ∈+-=，)0(,2121x x x x <<分别是函数)(x F 的两个零点，求证0)('21<x x F .请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.22．选修4-4：坐标系与参数方程已知在极坐标系中，点π(2,)6A ，2π)3B ，C 是线段AB 的中点，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系，曲线Ω的参数方程是⎩⎨⎧+-==θθsin 22cos 2y x （θ为参数）.（1）求点C 的直角坐标，并求曲线Ω的普通方程； （2）设直线l 过点C 交曲线Ω于Q P ,两点，求⋅的值.23．选修4-5：不等式选讲已知|12|)(++-=x x x f ，不等式2)(<x f 的解集是M .（1）求集合M ；（2）设M b a ∈,，证明：||||1||2b a ab +>+.【参考答案】 一、选择题 1．D【解析】因为{}1101B xx x x x ⎧⎫=<=<>⎨⎬⎩⎭或，所{}0A B x x =<.故选D.2．B【解析】. (2i)1iz+=-1i(1i)(2i)2i5z---==+13i55=-，所以z的共轭复数为13i55+.故选B.【解析】根据二倍角公式、正弦定理可得22cos2cos212sin12sinA B A B<⇔-<-22sin sin sin sinA B A B⇔>⇔>a b⇔>.故选C.【解析】根据条件可知，122E⎛⎫⎪⎝⎭，，阴影部分的面积为()2211221112d2ln22ln2ln32ln222x x xx⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=---=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰，所以，豆子落在阴影部分的概率为42ln23-.故选A.【解析】0110x t k===，，；228x t k===，，；1636x t k===，，；144x t k===，，.故选B.【解析】该几何体的直观图如图所示，其体积为12222222162⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=（3cm）.故选B.【解析】()()log11()log log101log0.aa aax xxf x x x xxx x--<-⎧⎪+==--<<⎨+⎪>⎩，，，，，故选C.【解析】由函数()y f x=图象相邻两条对称轴之间的距离为π2可知其周期为π，所以2π2πω==，所以()()sin2f x xϕ=+.将函数()y f x=的图象向左平移π3个单位后，得到函数πsin23y xϕ⎡⎤⎛⎫=++⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦图象.因为得到的图象关于y轴对称，所以ππ2π32kϕ⨯+=+，zk∈，即ππ6kϕ=-，Zk∈.又π2ϕ<，所以π6ϕ=-，所以π()sin26f x x⎛⎫=-⎪⎝⎭，其图象关于点π012⎛⎫⎪⎝⎭，对称.9. B【解析】因为点D 在边BC 上，所以存在R t ∈，使得()BD tBC t AC AB ==-.因为M是线段AD的中点，所以()()()111112222BM BA BD AB t AC t AB t AB t AC =+=-+-=-++ 又BM AB AC λμ=+，所以()112t λ=-+，12t μ=，所以12λμ+=-. 故选B.【解析】sin sin(π-3)==sin sin AB C B AC B B 2sin 33-4sin sinBBB ==. 因为ABC ∆是锐角三角形，所以()π02π022π0π22B B B B ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-+<⎪⎩，，， 得ππ64B <<211sin ()42B ⇒∈，.所以234sin (12)ABB AC=-∈，.故选D.【解析】 作可行域，如图阴影部分所示.1yx +表示可行域内的点()x y ，与点()10-，连线的斜率. 易知1142A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，1123B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，9342C ⎛⎫⎪⎝⎭，.当直线()1y k x =+与曲线y x =相切时，12k =，切点为()11，，所以切点位于点A 、C 之间. 因此根据图形可知，1y x +的最大值为12.故选C. 12．C【解析】① 设4P m m m ⎛⎫+⎪⎝⎭，，则4||||||||222m m m PA PB m +-⋅===，为定值，所以①正确；②因为四边形OAPB 四点共圆，所以0135=∠APB ， 又由①知22||||=⋅PB PA ，所以2)22(22-=-⨯=⋅，为定值，故②正确；③ 因为24()1f x x '=-，所以过点4P m m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，的曲线()y f x =的切线方程为()2441y x m m m m ⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()22G m m ，，80H m ⎛⎫⎪⎝⎭，，所以8|||||||OG OH m m ⋅=⨯=. ④22224441682PG PH m m m m m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅--=---=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，不是定值，故④不正确, 故选C. 二、填空题 13. -189【解析】令1x =，得展开式中各项系数之和为2n .由2128n =，得7n =，所以展开式的通项为737217(1)3C r rrrr T x--+=-⋅⋅. 由7342r-=-，得5r =，展开式中41x的系数是57557(1)3C 189--⨯⨯=-. 14.12【解析】设()11A x y ，，()22B x y ，. 因为抛物线x 2=4y 的焦点为(0,1)F ，准线为1y =-，所以由32AF =，得1312y +=，所以112y =，x 12=4y 1=2.由AF FB λ=得()121211x x y y λλ-=⎧⎪⎨-=-⎪⎩，， 即21121111 1.2x x y y λλλ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+=+⎪⎩， 因为x 22=4y 2，所以)121(4)1(21+=-λλx . 解得1=2λ或1λ=-（舍）. 15. 3.8【解析】将3=x 代入5.05.1ˆ+=x y 得5y =. 所以样本中心点为(35)，，由数据点,和,7. 9)知：1.1 4.932+=，2.17.952+=，故去除这两个数据点后，样本中心点不变.设新的回归直线方程为ˆ 1.2y x b =+，将样本中心点坐标代入得： 1.4b =，所以，当2x =时，y 的估计值为3.8.16.24π3a b【解析】设点()00A x y ，，则00a B y y b ⎛⎫⎪⎝⎭，，所以圆环的面积为2200ππa x y b ⎛⎫- ⎪⎝⎭.因为2200221x y a b -=，所以2222002a y x a b=+，所以圆环的面积为22222002πππa y a a y a b b ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.根据祖暅原理可知，该双曲线型冷却塔挖出一个以渐近线为母线的圆锥后的几何的体积等于底面半径为a 、高为b 的圆柱的体积，所以冷却塔的体积为：22214πππ33a b a b a b +=. 三、解答题17．解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，则2(1)n a n d =+-，*N n ∈. 由 11a +，21a +，41a +成等比数列，得()()()2214111a a a +=++， 即()()23333d d +=+，得0d =（舍去）或3d =. 所以数列{}n a 的通项公式为31n a n =-，*N n ∈. （Ⅱ）因为()()111111313233132n n n b a a n n n n +⎡⎤===-⎢⎥-+-+⎣⎦， 所以()111111111111325358331323232232n n S n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+-++-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 由319n S <，即()323219n n <+，得12n <.所以使319n S <成立的最大的正整数11n =. 18．解：（I ）设点D 在平面ABC 上的射影为点E ，连接DE ， 则DE ⊥平面ABC ，所以DE BC ⊥.因为四边形ABCD 是矩形，所以AB BC ⊥，所以BC ⊥平面ABD ，所以BC AD ⊥.又AD CD ⊥，所以AD ⊥平面BCD ，而AD ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BCD .（II ）方法1：在矩形ABCD 中，过点D 作AC 的垂线，垂足为M ，连结ME .因为DE ⊥平面ABC DE AC ⇒⊥，又DM ∩DE =D ，所以AC ⊥平面DME EM AC ⇒⊥，所以DME ∠为二面角D AC B --的平面角.设AD a =，则2AB a =.在ADC ∆中，易求出5aAM =，255a DM =.在AEM∆中，15 tan210EM aBAC EMAM=∠=⇒=，所以1cos4EMDMEDM∠==. 方法2：以点B为原点，线段BC所在的直线为x轴，线段AB所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图所示.设AD a=，则2AB a=，所以()020A a-，，，()00C a-，，.由（I）知AD BD⊥，又2ABAD=，所以30DBA∠=°，60DAB∠=°，那么1cos2AE AD DAB a=∠=，32BE AB AE a=-=，3sinDE AD DAB=∠=，所以3322D a⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，，，所以1322AD a a⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，，，()20AC a a=-，，. 设平面ACD的一个法向量为()m x y z=，，，则m ADm AC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，即13220.ayax ay⎧=⎪⎨⎪-+=⎩，取1y=，则2x=，33z=-，所以3123m⎛=-⎝⎭，，.因为平面ABC 的一个法向量为()001n =，，，所以1cos 4m n m n m n⋅〈〉===-，. 所以求二面角D AC B --的余弦值为14.19．解：(I) 因为随机地抽取一辆单车是蓝色单车的概率为31， 用X 表示“抽取的5辆单车中蓝颜色单车的个数”，则X 服从二项分布，即X ～），（315B ，所以抽取的5辆单车中有2辆是蓝颜色单车的概率32252180C 33243⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P ＝＝. (II) ξ的可能取值为：0，1，2，…，n .31)0(==ξP ， 212(1)339P ξ==⨯=，221(2)33P ξ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，……，3132)1(1⋅⎪⎭⎫⎝⎛=-=-n n P ξ， nn P ⎪⎭⎫ ⎝⎛==32)(ξ. 所以ξ的分布列为：ξ的数学期望为：231212121212123(1)333333333n nE n n ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅++-⨯⋅+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， (1) 2311221212121212(2)(1)3333333333n nn E n n n ξ-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⋅+⨯⋅++-⨯⋅+-⨯⋅+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (2)(1)－(2)得：23111212121212212(1)()3333333333333n n n n E n n n ξ-+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅+⨯--⨯⋅-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2311212121212133333333333n nE ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2312222233333n nE ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22133213n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-2213n⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.所以2223nE ξ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭.20.解：（I）根据条件可设)A m ，，()B n ，，由AB =:223()()12m n m n ++-=.设()M x y ，，则)22m n x m n y ⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，，得2.m n m n y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩② 将①和②代入223()()12m n m n ++-=中并化简得：2219x y +=.所以点M 的轨迹E 的方程为2219x y +=.（II ）设直线l 的方程为y kx m =+，),(11y x P ，),(22y x Q ，()00R x y ，.将y kx m =+代入2219x y +=，整理得 0)1(918)91(222=-+++m kmx x k .则 1221819km x x k+=-+，222191)1(9k m x x +-=. 212121222182()221919k m my y kx m kx m k x x m m k k +=+++=++=-+=++.因为OR OP OQ =+，则有：01221819km x x x k =+=-+，0122219my y y k =+=+. 因为()00R x y ，在椭圆上，1912991182222=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+-k m k km ，化简得：22419m k =+. 所以mk x x 2921-=+，22214)1(9m m x x -=，因为]4))[(1(||212212x x x x k PQ -++=]4)1(94)29)[(1(2222mm m k k -⨯--+= )449)(1(||23222+-+=m k k m )1(3||232k m += .又点O 到PQ 的距离为21||km h +=.由OR OP OQ =+，可知四边形OPRQ 为平行四边形，h PQ S S OPQ OPRQ ⋅==∆||22331||)1(3||2322=+⨯+=km k m . 21．解：（I ）由2()ln f x x ax b x =++，得(1)1f a =+，()2bf x x a x'=++(1)2f a b '=++，所以曲线()y f x =在点处()1(1)f ，的切线方程()()()211y a b x a =++-++（*）.将方程（*）与2y x =比较，得()()22210.a b a b a ++=⎧⎪⎨-++++=⎪⎩，解得 1a =，1b =-.（II ） ()()222()()ln 1ln F x f x x mx x x x x mx m x x =-+=+--+=+-.因为1x ，2x ()12x x <分别是函数()F x 的两个零点，所以()()11221ln 01ln 0m x x m x x +-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，，两式相减，得()()()12121ln ln 0m x x x x +---=，所以1212ln ln 1x x m x x -+=-.因为1()1F x m x'=+-， 所以.()1212ln ln 1x x F m x x -'=+=-要证0F '<，即证1212ln ln 0x x x x -<-.因120x x <<，故又只要证1122ln ln 0ln 0x x x x ->⇔>.令()01t =，，则即证明12ln 0t t t -+>.令1()2ln t t t t ϕ=-+，01t <<，则()222121()10t t t t t ϕ--'=--=<.这说明函数()t ϕ在区间()01，上单调递减，所以()(1)0t ϕϕ<=， 即12ln 0t t t-+>成立.由上述分析可知0F '<成立.22.解：（Ⅰ）将点A ，B 的极坐标化为直角坐标，得A 1)和B (3). 所以点C 的直角坐标为(02)，. 将2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=-+⎩，消去参数θ，得22(2)4x y ++=，即为曲线Ω的普通方程.（Ⅱ）解法一：直线l 的参数方程为cos 2sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩，，（t 为参数，α为直线l 的倾斜角）代入22(2)4x y ++=，整理得：28sin 120t t α++=. 设点P 、Q 对应的参数值分别为1t 、2t .则12t 21=t ，12|||||12CP CQ CP CQ t t ⋅===.解法二：过点作圆1O ：22(2)4x y ++=的切线，切点为T ， 连接1O T ，因为点由平面几何知识得：|||CP CQ CP CQ ⋅=2221||||16412GT CO R ==-=-=，所以 |||12CP CQ CP CQ ⋅==.23.解：（Ⅰ）当12x ≥-时，()211f x x x x =-++=+. 由()2f x <，得1x <，所以112x -≤<. 当12x <-时，()2131f x x x x =---=--.由()2f x <，得1x >-，所以112x -<<. 综上，{|11}M x x =-<<.（Ⅱ）因为a ，b M ∈，所以1a -<，1b <， 即1a <，1b <. 所以()()211ab a b ab ab a b +-+=++-+()()110ab a b =+-->，所以21ab a b +>+.。
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安徽省安庆市2018届高三二模考试理科数学试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 已知集合，集合，则（）A．B．C．D．
2. 已知复数z满足：（2＋i）z＝1－i，其中i是虚数单位，则z的共轭复数为（）
A．－i B．＋i
C．D．
3. 三内角的对边分别为,则“”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．即不充分也不必要条件
4. 如图，四边形是边长为2的正方形，曲线段所在的曲线方程为
，现向该正方形内抛掷1枚豆子，则该枚豆子落在阴影部分的概率为
（）
A．B．C．D．
5. 阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，则输出的值为（）
A．0 B．1 C．16 D．32
6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）
A．12 B．16
D．24
C．
7. 函数（）的图象的大致形状是（）A．B．C．D．
8. 在中，点是线段上任意一点，是线段的中点，若存在实
数和，使得，则
A．B．
C．D．
9. 在锐角中，，则的取值范围是
A．B．
C．D．
10. 已知实数满足，则的最大值为（）A．B．C．D．
11. 已知函数，是图象上任意一点，过点作直线和轴的垂线，垂足分别为，又过点作曲线的切线，交直线和轴于点.给出下列四个结论：①是定值；
②是定值；③（是坐标原点）是定值；④是定值. 其中正确的是（）
A．①②B．①③C．①②③D．①②③④
二、填空题
12. 如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是______ .
13. 设抛物线的焦点为，点在抛物线上，且满足，若
，则的值为_______.
14. 已知由样本数据点集合求得的回归直线方程为
，且.现发现两个数据点和误差较大，去除后重新求得的回归直线的斜率为1.2，那么，当时，的估计值为
_______.
15. 祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同幂，则积不容异”.这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等.一般大型热电厂的冷却塔大都采用双曲线
型.设某双曲线型冷却塔是曲线与直线，和
所围成的平面图形绕轴旋转一周所得，如图所示.试应用祖暅原理类比求球体体积公式的方法，求出此冷却塔的体积为
_______.
三、解答题
16. 已知公差不为0的等差数列的首项且成等比数列.
（1）求数列的通项公式;
（2）设是数列的前项和,求使成立的最大的正整数.
17. 如图，四边形是矩形，沿对角线将折起，使得点在平面上的射影恰好落在边上.
（1）求证：平面平面；
（2）当时，求二面角的余弦值.
18. 某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车，已知黄、蓝两种颜色的单车的投放比例为2：1.监管部门为了了解两种颜色的单车的质量，决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同.
（1）求抽取的5辆单车中有2辆是蓝色颜色单车的概率；
（2）在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机地抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过（）次.在抽样结束时，已取到的黄色单车以表示，求的分布列和数学期望.
19. 已知直线：，：，动点分别在直线，上移
动，，是线段的中点.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）设不经过坐标原点且斜率为的直线交轨迹于点，点满足，若点在轨迹上，求四边形的面积.
20. 已知函数，曲线在点处的切线方程为
.
（1）求和实数的值；
（2）设，分别是函数的两个零点，求证.。