4静电场中的导体

3) 推论：处于静电平衡的导体是等势体 导体表面是等势面 导 体 是 等 势 体
en
E dl
E
+
+ + +
E dl 0
导体内部电势相等
dl
+
+
et
U AB E dl 0
AB
A
B
注意 当电势不同的导体相互接触或用另一导体（例如导 线）连接时，导体间将出现电势差，引起电荷宏观 的定向运动，使电荷重新分布而改变原有的电势差， 直至各个导体之间的电势相等、建立起新的静电平 衡状态为止。
各个分区的电场分布（电场方向以向右为正）：
1 2 3 4 在Ⅰ区：E 2 0 2 0 2 0 2 0 1 Q 方向向左 0 2 0 S
Eint 0
◆ 导体表面紧邻处的场强必定和导体表面垂直。
E S 表面
证明(1)：如果导体内部有一点场强不为零，该点的 自由电子就要在电场力作用下作定向运动，这就不 是静电平衡了。 证明(2)：若导体表面紧邻处的场强不垂直于导体表 面，则场强将有沿表面的切向分量 Et，使自由电子 沿表面运动，整个导体仍无法维持静电平衡。
const .
E dS
S
q
i
i
0
E dl 0
L
3. 电荷守恒定律
讨论题：
1. 将一个带电+q、半径为 RB 的大导体球 B 移近一 个半径为 RA 而不带电的小导体球 A，试判断下列说 法是否正确。 +q B (1) B 球电势高于A球。 (2) 以无限远为电势零点，A球的电势 A 0 。 (3) 在距 B 球球心的距离为r ( r >> RB ) 处的一点P， q /(40。 r2) 该点处的场强等于 (4) 在 B 球表面附近任一点的场强等于 B / 0 ，
二. 静电感应 静电平衡条件
1. 静电感应现象
+
++ + ++ +
+
+
感生电荷
导体上因静电感应而出现的电荷，称为感生电荷。
+ + + +
+ + + +
+ + + +
E0
E0
E
E 0
+ + + + + + + +
Ε0
静电平衡
E E0 E
导体内电场强度 外电场强度 感生电荷电场强度
q
+ + + +
q
R O r +q rer
解：球心O点的场强为感生电荷 q 的电场 E 及点 电荷 q 的电场 E’ 的叠加，即： E0 = E + E’
由静电平衡条件可知，金属导体球内场强处处为 零，即 E0 = 0，则
E E
q 4 0 r
2
(er )
Q 1 2 S 3 4 0
(1)
• P
(2)
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
选一个两底（面积为 S ）分别在两个金属板内而侧 面垂直于板面的封闭面作为高斯面，又板内电场为 零，由高斯定律：
E dS 0
S
1
0
( 2 3 )S
2 3 0
(3)
在金属板内一点 P 的场强应该是4个带电面的电场的 叠加，故：
+ + +
E
+ + + + + + + +
E 0
结论：处于静电平衡的导体，其表面上各处的面电荷 密度与当地表面紧邻处的电场强度的大小成正比。
作钱币形高斯面 S
E
E 0
+ +
+ຫໍສະໝຸດ ++
+ + + + + +
E 0
注意：电场实际上是所有电荷（包括该导体上的全 部电荷以及导体外现有的其它电荷）产生的，E 是 这些电荷的合场强。
目的：静电平衡导体的基本性质。
2. 思考
(1) 怎样使导体净电荷为零，而其电势不为零？ (2) 怎样使导体有过剩的正（或负）电荷，而其电势 为零？
分析：
(1) 将一孤立导体置于某电场中，则该导体 而导体的电势 0。
q 0
(2) 将不带电的导体置于负电荷（或正电荷）的电 场中，再将该导体接地，然后撤去接地线，则该 导体有正电荷（或负电荷），并且电势为零。
第四章
第四章
引言
静电场中的导体
从物质电结构理论的观点来看，任何物体都亦可能 带电。按导电性能的不同，物体可分为三类，即 1)导体：当物体的某部分带电后，如果能够把所带 的电荷迅速地向其他部分传布开来，则这种物体称 为导电体，简称导体。 各种金属，碱、酸或盐的溶液即化学上的电解质， 人体，地球等。
2) 电介质 (绝缘体)：如果物体某部分带电后，其电 荷只能停留在该部分，而不能显著地向其他部分传 布，这种不导电的物体称为电介质，又称绝缘体。
三. 导体表面电荷分布：孤立的导体处于静电平衡时 ，它的表面各处的面电荷密度与各处表面的曲率有关 ，曲率越大的地方，面电荷密度也越大。
+
+ +
+ + ++ ++
E 0
, E ; E
结论：导体表面电荷分布与导体形状有关。
讨论 1. 对于孤立的球形带电导体，由于球面上各 部分的曲率相同，所以球面上电荷的分布是 均匀的，面电荷密度在球面上处处相同。
4.1 导体的静电平衡条件 一. 金属导体的电结构特征 导体能够很好地导电，乃是由于导体中存在着大量 可以自由移动的电荷。 只讨论金属导体 自由电子 + + +
从物质的电结构来看，金属导体具有 带负电的自由电子和带正电的晶体点 阵。
+ +
+ +
+ +
当导体不带电也不受外电场的作用时， + + + 两种电荷在导体内均匀分布，都没有 宏观移动，只有微观的热运动存在(见 右图)。 晶体点阵和自由电子 电中性 示意图
2 B q /(4RB )
A
分析： (1) 对。在正电荷生成的静电场，沿电场线的方向电 势逐点降低。 +q B
－ ＋ － A ＋ － ＋ － ＋
(2) 不对。若以无限远处为电势零点 0 A球的电场线伸向无限远处，故：
A A 0
(3) 对。当 r >> RB 时，必有 r >> RA
S2
q
q
S1
q内 q
结论：当空腔内有电荷 q 时，内表面因静电感应出 现等值异号的电荷 q，外表面有感生电荷 q （电荷 守恒）。
二. 导体表面电场强度与电荷面密度的关系
S SE dS 0
作钱币形高斯面 S
为表面电荷面密度
S E S 0
E 0
现象：一带正电荷的物体M，靠近一原不带电的 金属导体N，N 的左端感生出负电荷，右端感生 出正电荷。若将 N 的一端接地， 则 N 上的正电 荷入地，导体上就只剩下负电荷。
M N
M
N
若 M 带负电荷，将N 的一端接地， 则 N 上的负 电荷入地，导体上就只剩下正电荷。
计算题：
例4-3-1 在一不带电的金属球旁，有一点电荷+q， 金属球半径为 R，试求： (1) 金属球上感生电荷在球心处产生的电场强度 E 及 此时球心的电势。 (2) 若将金属球接地，球上的净电荷为何？已知+q 与 金属球心间距为 r。
1 2 3 4 EP 2 0 2 0 2 0 2 0
1 2 3 4
1 2 3 4 0 (4)
将(1)、(2)、(3)、(4)联立求解：
E4
E1 E2 E3
• P
Q Q Q Q 1 , 2 , 3 , 4 2S 2S 2S 2S
将一块不带电的金属导体放入静电场中。导体内带 负电的自由电子在电场力的作用下，将相对于晶体 点阵逆着电场的方向作宏观的定向运动，从而改变 导体上的电荷分布。
改变
电荷分布的改变
导体内部的电场分布
导体周围的电场分布
静电平衡状态
2. 静电平衡条件
1) 导体的静电平衡状态：导体内部和表面都没有电 荷的定向移动。 2) 静电平衡条件： ◆ 导体内部任何一点的场强都等于零；
如：玻璃、石蜡、硬橡胶、塑料、松香、丝绸、瓷 器、纯水、干燥空气等都是电介质。由于电介质很 难导电，所以它容易带电。
3) 半导体：导电性能介于它们导体和绝缘体两者之 间的物质，叫半导体。
◆本章主要内容：讨论导体带电和它周围的电场 有什么关系，即介绍静电场的一般规律在有导体 存在的情况下的具体应用。 ◆本章基本要求：理解静电场中导体的静电平衡 条件，导体表面电荷的分布情况和静电屏蔽原理 ◆本章难点：掌握静电平衡状态下导体的电场特 征及各点电势的计算，能分析导体上的电荷分布 情况。
Q R q r
分析：设连接后，大、小球面电荷分别为 Q 和 q。 由于两球相距很远，可认为是孤立导体，电荷均 匀分布，且设面电荷密度分别为σ1 和σ2 。
两球连接后成一整体，电势相等，即：
Q R 4 0 R 4 0 r q r
Q 对大球： 1 4R 2
2
Q
q
q 对小球： 2 4r 2
S
i
0
S
电荷分布在表面上
疑问：内表面上有电荷吗？
E dS 0， qi 0
S
S+ +
A
B -
注意：
封闭面 S 内的总电荷为零存在两种可能：
(1) 导体的内表面无电荷；
(2) 一是导体的内表面上一部分带正电，另一部分带 负电，但其代数和为零。
若内表面带电
+
矛 盾
U AB
故A、B两球均可以看成是点电荷，且A球的感生电 荷等量异号，它们在场点 P 处产生的场强大小相等， 方向相反，可不必考虑。所以 P 点的场强即为点电 荷 q 在该点处产生的场强：
q /(40r )
2
(4) 不一定正确。因为 B 导体表面附近的场强虽然 等于 B / 0 ，但 B 球表面电荷不一定是均匀分布 2 q /( 4 R 的，即各点的 B 不一定等于 B) 。
0
4.2 静电平衡的导体上的电荷分布 一. 处于静电平衡的导体，其内部各处净电荷为零， 电荷只分布在导体的外表面上。
1. 实心导体 E 0
q 0
E dS 0
S
q
0
+
+ + +
+
+
S
+ + +
+
结论：导体内部无净电荷 2. 有空腔导体
空腔内无电荷
E dS 0， q
2. 尖端放电现象
E
带电导体尖端附近电场最强 带电导体尖端附近的电场特别 大，可使尖端附近的空气发生 电离而成为导体产生放电现象 ——尖端放电
< 电风实验 > +++ ++
+ +
+++
尖端放电现象的利与弊 尖端放电会损耗电能, 还会干扰精密测量和对通讯产 生危害。然而尖端放电也有很广泛的应用。 弊 高压输电线 高压电气设备 利 火花放电设备 避雷针
2
R r r 1 Q r 1 1 2 2 / r R R R r 2 q R
结论：电荷面密度与曲率半径成反比，即与曲率 成正比。曲率越大，电荷面密度越大。
4.3 有导体存在时静电场的分析与计算
有导体存在时静电场场量的计算原则:
1. 静电平衡的条件 导体 E内 0 2. 基本性质方程 or
AB
E dl 0
+
S+ +
+
A
+
+
B+ +
+ +
+
导体是等势体
U AB
AB
E dl 0
所以内表面不带电
结论：电荷分布在外表面上（内表面无净电荷）
E dS 0， qi 0
S1
空腔内有电荷
Q q
电荷分布在表面上
内表面上有电荷吗？
S2
E dS 0， qi 0
0
q 4 0 r
(2) 若将金属球接地，设球上有净电荷q1， 这时金属球的电势应为零，由叠加原理可 知：
0
q
4 0 r

4 0 R
q1
0
R q1 q r
R<r
| q1 | q
Q
例4-3-2
解： (1) 如图所示
1 2 3 4
由电荷守恒定律可知：
q 4 0 r
2
er
因为感生电荷分布在金属球的表面上，它在球心 处的电势为：
dq 1 dq 0 q 4 R q 4 R 0 0
点电荷 q 在球心O的电势为： 根据电势叠加原理，球心处的电势
q 4 0 r
目的： 导体静 电感应 的感生 电荷的 计算及 其电场 电势的 计算。
< 避雷针 > 尖端放电现象的利用 ◆美国的富兰克林发明的？ 世界上发明避雷针最早的应该是中国。 汉武帝时期：“鸱尾，东海有鱼虬，喷浪则雨降， 尾似鸱，因以为名。汉柏梁台灾，越巫上厌胜之法， 遂设鸱鱼之象于屋脊。” ——宋庞元英《文昌弈录》
雷电
雷击草地
例：有两个相距很远的球形带电导体，大、小球半 径分别为 R 和 r，用一根很长的细导线连接起来。 求两球面电荷密度之比。