2020年上海市复旦大学自主招生数学试题及答案

2020年上海市复旦大学自主招生数学试卷一、解答题1．抛物线22y px =，过焦点F 作直线交抛物线于A 、B 两点，满足3AF FB =，过A 作抛物线准线的垂线，垂足记为A '，O为顶点，若OFAA S '=p ．2．抛物线22y px =，过焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，满足3AF FB =，过A 作抛物线准线的垂线，垂足记为A '，准线交x 轴于C点，若CFAA S '=p ． 3．已知实数x ，y 满足221x xy +=，求22x y +最小值． 二、填空题4．已知()sin(2)cos(2)sin(4)cos(4)f x a x b x c x d x ππππ=+++，若1()()(2)2f x f x f x ++=，则在a ，b ，c ，d 中能确定的参数是 ．5．若三次方程32450x ax x +++=有一个根是纯虚数，则实数a = ． 6．展开式231011()x y x y+++中，常数项为 ． 7．111lim[]1425(3)n n n →+∞++⋯+=⨯⨯+ ．8．点(4,5)绕点(1,1)顺时针旋转60度，所得的点的坐标为 ． 9．方程5cos 43cos2ρθρρθ=+所表示的曲线形状是 ．10．设,[,]44x y ππ∈-，若333cos()2024sin cos 0x x a y y y a π⎧++-=⎪⎨⎪++=⎩，则cos(2)x y += ． 11．当实数x 、y 满足221x y +=时，|2||62|x y a a x y +-++--的取值与x 、y 均无关，则实数a 的取值范围是 ． 12．在ABC ∆中，1cos 3BAC ∠=，若O 为内心，且满足AO xAB y AC =+，则x y +的最大值为 ． 三、选择题13．已知直线:cos m y x α=和:3n x y c +=，则( ) A ．m 和n 可能重合 B ．m 和n 不可能垂直C ．存在直线m 上一点P ，以P 为中心旋转后与n 重合D ．以上都不对 四、填空题14．抛物线23y x =的焦点为F ，A 在抛物线上，A 点处的切线与AF 夹角为30︒，则A 点的横坐标为 ． 15．已知点P 在直线6||014x y -=-上，且点P 到(2,5)A 、(4,3)B 两点的距离相等，则点P的坐标是 ．16．已知x ，{1y ∈，2，3，4，5，6，7，8，9}且y x ≠，连接原点O 和(,)A x y ，(,)B y x 两点，则12arctan 3AOB ∠=的概率为 ．17．3arcsin 4+= ． 18．已知三棱锥P ABC -的体积为10.5，且6AB =，4AC BC ==，10AP BP ==，则CP 长度为 ．19．在ABC ∆中，9AB =，6BC =，7CA =，则BC 边上中线长度为 ． 20．若2()1f x x =-，则(())f f x 的图象大致为 ．21．定义1,()1,M x Mf x x M ∈⎧=⎨-∉⎩，{|()()1}MN MN x fx f x ==-⊗，已知{|A x x =<，{|(3)(3)0}B x x x x =+->，则A B =⊗ ．22．方程34122020x y z ++=的非负整数解的组数为 ．23．已知m ，n Z ∈，且011n ，若满足202020212312m n +=+，则n = ． 24．凸四边形ABCD ，则BAC BDC ∠=∠是DAC DBC ∠=∠的 条件．25．设函数()33x x f x -=-的反函数为1()y f x -=，则1()(1)1g x f x -=-+在[3-，5]上的最大值和最小值的和为 ．26．若4k >，直线2280kx y k --+=与222440x k y k +--=和坐标轴围成的四边形面积的取值范围是 ．27．已知A 、B 、C 、D 四点共圆，且1AB =，2CD =，4AD =，5BC =，则PA 的长度为 ．28．给定5个函数，其中3个奇函数，2个偶函数，则在这5个函数中任意取3个，其中既有奇函数、又有偶函数的概率为 ． 五、选择题29．下列不等式恒成立的是( ) A ．2211x x x x++B ．1||2x y x y-+-C ．||||||x y x z y z --+-D 312x x x x +++-六、填空题30．向量数列{}n a 满足1n n a a d +=+，且满足113||3,2a a d ==-，令11()nn i i S a a ==∑，则当nS 取最大时，n 的值为 ．31．某公司安排甲乙丙等7人完成7天的值班任务，每人负责一天．已知甲不安排在第一天，乙不安排在第二天，甲和丙在相邻两天，则不同的安排方式有 种．32．直线1l ，2l 交于O 点，M 为平面上任意一点，若p ，q 分别为M 点到直线1l ，2l 的距离，则称(,)p q 为点M 的距离坐标．已知非负常数p ，q ，下列三个命题正确的个数是 ． （1）若0p q ==，则距离坐标为(0,0)的点有且仅有1个；（2）若0pq =，且0p q +≠，则距离坐标为(,)p q 的点有且仅有2个； （3）若0pq ≠，则距离坐标为(,)p q 的点有且仅有4个．2020年上海市复旦大学自主招生数学试卷答案一、解答题1．抛物线22y px =，过焦点F 作直线交抛物线于A 、B 两点，满足3AF FB =，过A 作抛物线准线的垂线，垂足记为A '，O 为顶点，若123OFAA S '=，求p ．【分析】过A 作抛物线准线的垂线，垂足记为A '，过B 作抛物线准线的垂线，垂足记为B '，过B 作AA '的垂线，垂足记为M ．设||BF m =，则||3AF m =，||2AM m =，可得060A AF ∠'=，即可得3(22m p A +，33)m ， 利用22732()422m p m p =+可得23p m =，利用梯形面积公式即可得p ．【解答】解：过A 作抛物线准线的垂线，垂足记为A '，过B 作抛物线准线的垂线，垂足记为B '，过B 作AA '的垂线，垂足记为M ．设||BF m =，则||3AF m =，||2AM m =， 21cos 42m A AF m ∠'==，060A AF ∴∠'=． 3(22m p A +，33)m ， 由A 在抛物线22y px =上，22732()422m pm p =+，解得23p m =，或29p m =-（舍)， ||||32AF AA m p ∴='==， 123OFAA S '=，∴1(2)312322pp p +=， 485p ∴=．【点评】本题考查了抛物线的定义与性质的应用问题，也考查了三角形面积的计算问题，是中档题．2．抛物线22y px =，过焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，满足3AF FB =，过A 作抛物线准线的垂线，垂足记为A '，准线交x 轴于C 点，若123CFAA S '=，求p ．【分析】过A 作抛物线准线的垂线，垂足记为A '，过B 作抛物线准线的垂线，垂足记为B '，过B 作AA '的垂线，垂足记为M ．设||BF m =，则||3AF m =，||2AM m =，可得060A AF ∠'=，即可得3(22m p A +，33)m ， 利用22732()422m p m p =+可得23p m =，利用梯形面积公式即可得p ．【解答】解：过A 作抛物线准线的垂线，垂足记为A '，过B 作抛物线准线的垂线，垂足记为B '，过B 作AA '的垂线，垂足记为M ．设||BF m =，则||3AF m =，||2AM m =， 21cos 42m A AF m ∠'==，060A AF ∴∠'=． 3(22m p A +，33)m ， 由A 在抛物线22y px =上，22732()422m pm p =+，解得23p m =，或29p m =-（舍)， ||||32AF AA m p ∴='==， 123CFAA S '=，∴(2)31232P P P+=，22p ∴=．【点评】本题考查了抛物线的定义与性质的应用问题，也考查了三角形面积的计算问题，是中档题．3．已知实数x ，y 满足221x xy +=，求22x y +最小值．【分析】先把y 用x 表示，问题转化为单变量问题，再利用基本不等式求最小值即可．【解答】解：因为221(0)x xy x +=≠，故212x y x-=，所以222222222211511511()()2222442422x x x y x x x x x x x -+=+=+-=+-⨯=，当且仅当415x =等号成立，所以22x y +12-． 【点评】本题考查基本不等式的应用，属于基础题． 二、填空题4．已知()sin(2)cos(2)sin(4)cos(4)f x a x b x c x d x ππππ=+++，若1()()(2)2f x f x f x ++=，则在a ，b ，c ，d 中能确定的参数是 0a b c d ==== ． 【分析】先令0x =和14x =可得0b d ==，再由1()()(2)2f x f x f x ++=得到0a c ==． 【解答】解：令10()02x f d b d b =⇒=-=⇒=，令1311()()()02004442x f f f d b d =⇒+==⇒-=⇒==， 1()sin 2sin 4,(2)sin 4sin82f x a x c x f x a x c x ππππ+=-+=+， 1()()(2)2sin 4sin 4sin8(2)sin 42sin 4cos42f x f x f x c x a x c x c a x c x x ππππππ++=⇒=+⇒-=，所以sin 4(22cos4)0x c a c x ππ--=恒成立，所以2200c a c a c -==⇒==，综上所述0a b c d ====． 故答案为：0a b c d ====．【点评】本题考查赋值法在抽象函数中的应用，考查二倍角公式，属于中档题． 5．若三次方程32450x ax x +++=有一个根是纯虚数，则实数a =54． 【分析】设三次方程的纯虚数根为(,0)bi b R b ∈≠，代入三次方程，由复数的运算性质和复数为0的条件，解方程可得所求值．【解答】解：设三次方程的纯虚数根为(,0)bi b R b ∈≠， 可得32450b i ab bi --++=， 即23(5)(4)0ab b b i -+-=， 可得250ab -=，且340b b -=， 解得2b =±，54a =．故答案为：54． 【点评】本题考查实系数高次方程的根的定义，以及复数的运算法则的运用，考查运算能力，是一道基础题． 6．展开式231011()x y x y+++中，常数项为 12600 ． 【分析】要使展开式中出现常数项，由题意可知，展开式中的常数项应符合以下特征：223311()()()()k k m m x y x y，且2310k k m m +++=，由此求出k ，m 的值即可．【解答】解：利用组合的知识可知，展开式中的常数项满足： 223311()()()()k k m m x y x y，且2310k k m m +++=，k ，m N ∈．即3410k m +=，m ，k N ∈．解得21k m =⎧⎨=⎩，故常数项为：24131084312600C C C C =． 【点评】本题考查二项式展开式中特定项的求法，注意组合知识在解题中的应用．属于基础题．7．111lim[]1425(3)n n n →+∞++⋯+=⨯⨯+1118． 【分析】通过裂项消项法，求解数列的和，然后利用数列的极限的运算法则求解即可． 【解答】解：1111()(3)33n n n n =-++1111111111111(1)1425(3)342536473n n n n ++⋯+=-+-+-+-+⋯+-⨯⨯++ 111111(1)323123n n n =++---+++． 111111111lim[]lim (1)1425(3)323123n n n n n n n →+∞→∞++⋯+=++---⨯⨯++++ 11111(1000)32318=++---=． 故答案为：1118． 【点评】本题考查数列求和以及数列的极限的运算法则的应用，是中档题．8．点(4,5)绕点(1,1)顺时针旋转60度，所得的点的坐标为 ． 【分析】不妨设(1,1)A ，(4,5)B ，则(3,4)AB =，在AB 在复平面对应的复数求出来，并用三角表示，再结合复数乘法运算的几何意义即可求出AC 所对应的复数2z ，进而求出AC 的坐标，再求C 点坐标，即为答案．【解答】解：不妨设(1,1)A ，(4,5)B ，则(3,4)AB =，在复平面对应的复数为34345(cos sin ),cos ,sin 55z i i θθθθ=+=+==，则顺时针旋转60︒，则25(cos()sin())33z AC i ππθθ==-+-，cos()cos cos sin sin 333πππθθθ-=+sin()sin cos cos sin 333πππθθθ-=-，因此AC =，从而可得点C =． 【点评】本题考查复数乘法运算的几何意义，考查转化能力和计算能力，属于中档题． 9．方程5cos 43cos2ρθρρθ=+所表示的曲线形状是 两条射线 ．【分析】直接利用转换关系，消去ρ，整理成三角函数关系式，进一步求出结果． 【解答】解：根据方程5cos 43cos2ρθρρθ=+， 整理得25cos 43(2cos 1)θθ=+-， 即26cos 5cos 10θθ-+=， 解得1cos 2θ=或1cos 3θ=． 所以该曲线为两条射线． 故答案为：两条射线．【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和普通方程之间的转换，三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 10．设,[,]44x y ππ∈-，若333cos()2024sin cos 0x x a y y y a π⎧++-=⎪⎨⎪++=⎩，则cos(2)x y += 1 ． 【分析】设3()sin f x x x =+，把已知条件转化为()(2)0f x f y +=，又因为函数()f x 在R 上是单调递增的奇函数，故20x y +=，进而求出cos(2)1x y +=．【解答】解：原式可得变形为33sin 20(2)sin 220x x a y y a ⎧++=⎨+-=⎩，设3()sin f x x x =+，因为33()()sin()(sin )()f x x x x x f x -=-+-=-+=-， 所以()f x 为奇函数， 当0x > 时，2()3cos f x x x '=+ ①当02x π<<时，cos 0x >，所以()0f x '>；②当2x π>时，233x >，cos 1x <，所以()0f x '>．所以()f x 在(0,)+∞上是单调递增函数，又因为奇函数关于原点对称，所以函数()f x 在R 上是单调递增函数， 因此()(2)0f x f y +=，则20x y +=，则cos(2)1x y +=． 故答案为：1．【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合，考查学生的转化能力，是一道综合性的题目，属于中档题．11．当实数x 、y 满足221x y +=时，|2||62|x y a a x y +-++--的取值与x 、y 均无关，则实数a 的取值范围是 6, ．【分析】根据x ，y 满足的表达式可设cos x θ=，sin y θ=，进而求出2x y +的范围，再由条件可知20x y a +-，且620a x y +--，则可求出a 的取值范围． 【解答】解：因为实数x ，y 满足221x y +=，设cos x θ=，sin y θ=，则2cos 2sin )x y θθθα+=+=+，其中arctan2α=，所以25x y+，因为|2||62|x y a a x y +-++--的取值与x 、y 均无关， 所以|2||62|2626x y a a x y x y a a x y +-++--=+-++--=， 即此时2620x y aa x y +⎧⎨+--⎩，所以262x y a x y +-+，65a -，故答案为：6,【点评】本题考查了圆的参数方程，涉及绝对值取值范围等知识点，属于中档题．12．在ABC∆中，1cos3BAC∠=，若O为内心，且满足AO xAB y AC=+，则x y+的最大值为332-．【分析】设AD AO xAB y ACλλλ==+，根据共线向量的几何意义和二倍角公式解答．【解答】解：延长AO交BC于D，设BC与圆O相切于点E，AC与圆O相切于点F，则OE OF=，则OE OD，设AD AO xAB y ACλλλ==+，因为B、C、D三点共线，所以1x yλλ+=，即1111111sin2AO AO AOx yOE OF AAD AO OD AO OEOA OAλ+======+++++，因为21cos12sin23AA=-=，所以3sin2A=，所以3331x y-+=+．故答案是：33-．【点评】本题主要考查向量数量积的运算及几何意义，三角形的内心的概念，三角函数的转化关系，属于中档题．三、选择题13．已知直线:cosm y xα=和:3n x y c+=，则()A．m和n可能重合B．m和n不可能垂直C．存在直线m上一点P，以P为中心旋转后与n重合D ．以上都不对【分析】求出直线m 与直线n 的斜率，由斜率不能相等判断两直线不可能重合； 由斜率之积为1-，得出两直线垂直；由两直线不平行，得出两直线相交，从而判断直线m 以交点P 为中心旋转后与n 重合． 【解答】解：直线:cos m y x α=，斜率为1cos k α=； 直线:3n x y c +=，斜率为23k =-； 12k k ≠，所以m 和n 不可能重合，A 错误；1cos 3α=时，121k k =-，m 和n 垂直，所以B 错误； 由12k k ≠知m 和n 不平行，设m 、n 相交于点P ， 则直线m 以P 为中心旋转后与n 重合，所以C 正确． 故选：C ．【点评】本题考查了两条直线的位置关系应用问题，是基础题． 四、填空题14．抛物线23y x =的焦点为F ，A 在抛物线上，A 点处的切线与AF 夹角为30︒，则A 点的横坐标为14． 【分析】设A 的坐标求导可得A 的切线的斜率，设切线的倾斜角为α，求出准线AF 的斜率，由题意可得tan(30)AF k α=︒+，可得A 的横坐标． 【解答】解：抛物线23y x =可得23x y =，所以焦点F 坐标1(12，0)，设0(A x ，0)y ，设00y >y =y '=，所以在A处的切线的斜率为：k =， 设在A 处的倾斜角为α，则tan k α==，000011212AF y k x x ===--，tan 30tan tan(30)1tan 30tan 31123x ααα︒+︒+===-︒-，由题意可得tan(30)AF k α=︒+，0=，整理可得：0(11)0x -+=，解得：014x =，所以A 的横坐标为：14， 故答案为：14． 【点评】本题考查抛物线的性质及由求导法求在点的切线的斜率，属于中档题． 15．已知点P 在直线6||014x y -=-上，且点P 到(2,5)A 、(4,3)B 两点的距离相等，则点P的坐标是 (1,2) ．【分析】由二项展开式性质得点P 在直线460x y +-=，设(,46)P a a -+，由点P 到(2,5)A 、(4,3)B 两点的距离相等，能求出点P 的坐标．【解答】解：点P 在直线6||014x y -=-上，∴点P 在直线460x y +-=，设(,46)P a a -+，点P 到(2,5)A 、(4,3)B 两点的距离相等，∴，解得1a =，∴点P 的坐标是(1,2)．故答案为：(1,2)．【点评】本题考查点的坐标的求法，考查行列式、直线方程、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．已知x ，{1y ∈，2，3，4，5，6，7，8，9}且y x ≠，连接原点O 和(,)A x y ，(,)B y x 两点，则12arctan 3AOB ∠=的概率为 19 ．【分析】先由题设条件求出数对(,)x y 总的个数，然后利用12arctan 3AOB ∠=求出满足题意的数对(,)x y 的个数，最后利用古典概型概率公式计算出结果．【解答】解：x ，{1y ∈，2，3，4，5，6，7，8，9}且y x ≠，∴数对(,)x y 共有9872⨯=个．12arctan 3AOB ∠=，2233tan 141()3AOB ∴∠==-，4cos 5AOB ∠=， 又连接原点O 和(,)A x y ，(,)B y x 两点，得(,)OA x y =，(,)OB y x =，则2224cos 5||||OA OB xy AOB x y OA OB ∠===+，即(2)(2)0x y x y --=，即2y x =，或12y x =， ∴满足12arctan3AOB ∠=的数对有：(1,2)，(2,4)，(3,6)，(4,8)，(2,1)，(4,2)，(6,3)， (8,4)，共8个，12arctan 3AOB ∴∠=的概率81729P ==．故答案为：19．【点评】本题主要以集合为背景考查满足古典概型的概率的计算及三角公式的简单应用，属于中档题． 17．3arcsinarcsin 84+=34π．【分析】由题意判断出3arcsin 24ππ<+<，求出3arcsin )4的值，即可得出3arcsin 4+的值．【解答】解：由arcsin1<<，所以arcsin482ππ<<， 又3arcsin arcsin14<<，所以3arcsin 442ππ<<，所以3arcsin 24ππ<+<，所以3arcsin )433))44=+34=34===，所以33arcsin 44π+=． 故答案为：34π．【点评】本题考查了反三角函数值的计算问题，也考查了运算求解能力，是中档题． 18．已知三棱锥P ABC -的体积为10.5，且6AB =，4AC BC ==，10AP BP ==，则CP长度为 7 或【分析】先根据题意证明平面ABC ⊥平面PCD ，进而得到P 点到CD 的距离即P 点到平面ABC 的距离，再利用三棱锥P ABC -的体积为10.5，求出sin PDC ∠，利用同角的三角函数关系求出cos PDC ∠，在PDC ∆中运用余弦定理即可求出PC 的长度． 【解答】解：取AB 中点D ，因为AB CD ⊥，AB PD ⊥， 又因为PDCD D =且PD ，CD ⊂平面PCD ，则AB ⊥面PDC ，又因为AB ⊂平面ABC ， 所以平面ABC ⊥平面PCD ，那么P 点到CD 的距离即P 点到平面ABC 的距离，依题意可得1372ABC CD PD S AB CD ∆=====， 所以11213sin sin332P ABC ABC V S h PD PDC PDC -∆==⨯∠=⇒∠=，那么cosPDC ∠=由余弦定理可得2cos 7PDC PC ∠=⇒= 或．故答案为：7 或73．【点评】本题考查线面垂直及面面垂直的证明，三棱锥体积公式，余弦定理，考查学生的转化能力和运算能力，属于中档题．19．在ABC ∆中，9AB =，6BC =，7CA =，则BC 边上中线长度为 214 ． 【分析】利用余弦定理求出cos BAC ∠的值，再利用平面向量的线性表示，即可求出中线的长度．【解答】解：ABC ∆中，9AB =，6BC =，7CA =，如图所示；所以22297647cos 29763BAC +-∠==⨯⨯； 设AD 是BC 边上的中线， 则1()2AD AB AC =+，所以2221147(2)(8129749)564463AD AB AB AC AC =⨯++=⨯+⨯⨯⨯+=，解得||214AD =，所以BC 边上的中线长度为214 故答案为：214【点评】本题考查了平面向量的数量积与解三角形的应用问题，是基础题．20．若2()1f x x =-，则(())f f x 的图象大致为．【分析】求出(())f f x 的解析式，并判断奇偶性，利用导数求出0x >时的单调性，由对称性即可作出大致图象．【解答】解：2242(())(1)12f f x x x x =--=-， 令42()2g x x x =-，()0g x =，可得2x =±或0， 由()()g x g x -=，可得()g x 为偶函数， 当0x 时，3()444(1)(1)g x x x x x x '=-=+-， (0,1)x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减， (1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，由偶函数关于y 轴对称，可得(())f f x 的图象大致为故答案为：．【点评】本题主要考查函数的图象的画法，属于基础题．21．定义1,()1,M x Mf x x M ∈⎧=⎨-∉⎩，{|()()1}MN MN x fx f x ==-⊗，已知{|A x x =<，{|(3)(3)0}B x x x x =+->，则A B =⊗ (-∞，3][0-，1)(3⋃，)+∞． ．【分析】求出集合A ，B ，利用新定义求出A B ⊗即可．【解答】解：(,1)A =-∞，{|(3)(3)0}(3B x x x x =-+>=-，0)(3⋃，)+∞；[1RA =，)+∞，(RB =-∞，3][0-，3]．因为()()1A B f x f x =-，所以当()1A f x =-，()1B f x =，{|3}RA B B A x x ==>⊗，当()1A f x =，()1B f x =-，{|3RA B AB x x ==-⊗或01}x <，故(A B =-∞⊗，3][0-，1)(3⋃，)+∞． 故答案为：(-∞，3][0-，1)(3⋃，)+∞．【点评】考查集合的交并集的计算，集合概念的理解，属于基础题． 22．方程34122020x y z ++=的非负整数解的组数为 14365 ．【分析】利用非负整数这一条件结合题干中的3412⨯=进行分析入手即可． 【解答】解：因为34122020x y z ++=， 所以335054x y z ++=，因为x ，y ，z 均为整数， 所以34x 也是整数，所以设4x k =， 则33505k y z ++=， 所以3()505k z y ++=， 易知50531681÷=⋯， 则k z +可取的值为0~168， 当0k z +=时，0k z ==， 当1k z +=时，0,1,k z =⎧⎨=⎩或1,0,k z =⎧⎨=⎩，当k z n +=时，k 的取值集合为{0，1，2，⋯，}n ，对应z n k =-， 故当k z +取遍0~168时，z 的所有可能取值数为169(1691)143652⨯+=种，故所有的非负整数解为14365种， 故答案为14365．【点评】本题考查逻辑分析能力，考查学生对于题中隐藏条件的判断，属于中档题． 23．已知m ，n Z ∈，且011n ，若满足202020212312m n +=+，则n = 7 ． 【分析】通过研究123n n ++除以12的余数的规律得到结果． 【解答】解：归纳：122312011+=⨯+， 23231227+=⨯+， 34231275+=⨯+， 452312217+=⨯+， 562312635+=⨯+， 6723121877+=⨯+， 7823125575+=⨯+，⋯由以上过程可知，除去第一个式子之外，余数为7，5循环； 易知2n 中n 为奇数对应余数为5，n 为偶数对应余数为7； 2020为偶数，故余数为7． 故答案为7．【点评】本题考查归纳推理，属于中档题．24．凸四边形ABCD ，则BAC BDC ∠=∠是DAC DBC ∠=∠的 充要 条件．【分析】根据四点共圆的性质，对BAC BDC ∠=∠，DAC DBC ∠=∠进行逻辑判断即可． 【解答】解：在凸四边形ABCD 中，若BAC BDC ∠=∠，则ABCD 四点共圆，则必有DAC DBC ∠=∠；在凸四边形ABCD 中，若DAC DBC ∠=∠，则ABCD 四点共圆，则必有BAC BDC ∠=∠； 所以：BAC BDC ∠=∠是DAC DBC ∠=∠的充要条件． 故答案为：充要．【点评】本题考查了四点共圆问题，充分必要条件的定义，属于基础题．25．设函数()33x x f x -=-的反函数为1()y f x -=，则1()(1)1g x f x -=-+在[3-，5]上的最大值和最小值的和为 2 ．【分析】由35x -，可得414x --，令4()4f x -，结合函数()f x 的单调性可得此时33(52)(52)log x log -，再由反函数的性质即可得解．【解答】解：由35x -，可得414x --，令4()4f x -，由())33x x f x -=-单调递增可得，52325x -+，∴33(52)(52)log x log -，()g x ∴在[3-，5]上的最大值与最小值之和为31(52)1log(52)2log[(52)(52)]2log +-+++=+-+=，故答案为：2．【点评】本题主要考查反函数的性质，考查运算能力，属于中档题．26．若4k >，直线2280kx y k --+=与222440x k y k +--=和坐标轴围成的四边形面积的取值范围是 17(4，)+∞ ．【分析】求出两直线经过的定点坐标，再求出直线与x 轴的交点，与y 轴的交点，得到所求的四边形，求出四边形的面积表达式，应用二次函数的知识求面积最小时的k 值【解答】解：如图所示：直线:2280L kx y k --+= 即(2)280k x y --+=，过定点(2,4)B ， 与y 轴的交点(0,4)D k -，与x 轴的交点8(2A k-，0)， 直线22:2440M x k y k +--=，即22(4)40x k y +--=， 过定点(2B ，4 )，与x 轴的交点2(22E k +，0)，与y 轴的交点24(0,4)C k+， 由题意，四边形OABC 的面积等于OCE ∆面积ABE -∆面积，∴所求四边形的面积为2222214184161(4)(22)4(222)84(2)822S k k k k k k k=⨯++-⨯⨯+-+=-+=--，4k >， 1104k ∴<< 则1784S >>故4k >时，直线2280kx y k --+=与222440x k y k +--=和坐标轴围成的四边形面积的取值范围是17(4，8)．【点评】本题考查了直线过定点问题，以及二次函数的最值问题，是基础题．27．已知A 、B 、C 、D 四点共圆，且1AB =，2CD =，4AD =，5BC =，则PA 的长度为143．【分析】连接AC ，BD ，由圆内接四边形的性质可得PAB BCD ∠=∠，PBA ADC ∠=∠，在ABD ∆和BCD ∆中运用余弦定理，结合诱导公式求得cos PAB ∠，sin PAB ∠，同理可得cos PBA ∠，sin PBA ∠，再由两角和的正弦公式求得sin P ，在PAB ∆中运用余弦定理可得所求．【解答】解：连接AC ，BD ，由A ，B ，C ，D 四点共圆，可得PAB BCD ∠=∠，PBA ADC ∠=∠， 由2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-∠， 2222cos BD CB CD CB CD BCD =+-∠，且180BAD BCD ∠+∠=︒，可得cos cos BAD BCD ∠=-∠，则116214cos254252cosBAD BCD +-⨯⨯∠=+-⨯⨯⨯∠，化为178cos2920cosBCD BCD+∠=-∠，解得3cos7BCD∠=，即3cos7PAB∠=，则9210sin149PAB∠=-=，又2222cosAC BA BC BA BC ABC=+-∠，2222cosAC DA DC DA DC ADC=+-∠，且180ABC ADC∠+∠=︒，可得cos cosABC ADC∠=-∠，则125215cos164242cosABC ADC+-⨯⨯∠=+-⨯⨯⨯∠，化为2610cos2016cosADC ADC+∠=-∠，解得3cos13ADC∠=-，即3cos13PBA∠=-，则9410sin1169PBA∠=-=，则sin sin()sin cos cos sin P PAB PBA PAB PBA PAB PBA=∠+∠=∠∠+∠∠21033410610()137=⨯-+⨯=，在PAB∆中，由sin sinAB PAP PBA=∠，可得610410=，解得143PA=．故答案为：143．【点评】本题考查三角形的余弦定理和正弦定理的运用，以及圆内接四边形的性质，考查化简运算能力，属于中档题．28．给定5个函数，其中3个奇函数，2个偶函数，则在这5个函数中任意取3个，其中既有奇函数、又有偶函数的概率为35． 【分析】基本事件总数3510n C ==，其中既有奇函数、又有偶函数包含的基本事件个数11326m C C ==，由此能求出其中既有奇函数、又有偶函数的概率．【解答】解：给定5个函数，其中3个奇函数，2个偶函数， 则在这5个函数中任意取3个，基本事件总数3510n C ==， 其中既有奇函数、又有偶函数包含的基本事件个数11326m C C ==， ∴其中既有奇函数、又有偶函数的概率为63105m P n ===． 故答案为：35．【点评】本题考查概率的求法，考查概率定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 五、选择题29．下列不等式恒成立的是( ) A ．2211x x x x++B ．1||2x y x y-+-C ．||||||x y x z y z --+-D 2x +-【分析】A ．0x <时，2211x x x x ++成立；0x >时，设12t x x =+，不等式2211x x x x++化为：22t t -，化简即可判断出正误．B ．取特殊值，令1x y -=-，即可判断出正误；C ．由绝对值不等式的性质即可判断出正误；D -=【解答】解：A ．0x <时，2211x x x x ++成立；0x >时，设12t x x =+，不等式2211x x x x++化为：22t t -，化为(2)(1)0t t -+，即2t ，恒成立．因此不等式恒成立．B ．取1x y -=-，则1||1102x y x y-+=-=<-，因此不恒成立； C ．由绝对值不等式的性质可得：|||||()()|||x z y z x z y z x y -+----=-，因此不恒成立．D．，∴--=，∴(2x +-，错误．故选：A ．【点评】本题考查了不等式的性质、绝对值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 六、填空题30．向量数列{}n a 满足1n n a a d +=+，且满足113||3,2a a d ==-，令11()nn i i S a a ==∑，则当nS 取最大时，n 的值为 6或7 ．【分析】直接利用向量的运算求出数列的通项公式，进一步利用前n 项和公式的应用求出结果为二次函数的形式，最后利用二次函数的性质求出结果． 【解答】解：数列{}n a 满足1n n a a d +=+，所以21a a d =+，32a a d =+，12n n a a d --⋯=+，1n n a a d -=+， 所有的式子相加得到：1(1)n a a n d =+-， 所以1(1)i a a i d =+-， 由于113||3,2a a d ==-，由于(Tex translation failed)， 由于二次函数的对称轴方程为3913(2(3)2n n =-=⨯-为整数），所以6n =或7时，n S 取最大值． 故答案为：6或7【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式，向量的运算，数列的前n 项和，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．31．某公司安排甲乙丙等7人完成7天的值班任务，每人负责一天．已知甲不安排在第一天，乙不安排在第二天，甲和丙在相邻两天，则不同的安排方式有 1056 种．【分析】根据题意，按甲乙丙的安排分5种情况讨论：①甲在第二天值班，则丙可以安排在第一天和第三天，乙没有限制，②甲在第三天值班，丙安排在第二天值班，乙没有限制，③甲在第三天值班，丙安排在第四天值班，乙有4种安排方法，④甲在第四五六天值班，丙有2种安排方法，乙有4种安排方法，⑤甲安排在第七天值班，丙只能安排在第六天，乙有4种安排方法，求出每种情况的安排方法数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，甲不安排在第一天，乙不安排在第二天，甲和丙在相邻两天，分5种情况讨论：①甲在第二天值班，则丙可以安排在第一天和第三天，有2种情况，剩下5人全排列，安排在剩下的5天，有55120A =种安排方式， 此时有2120240⨯=种安排方式，②甲在第三天值班，丙安排在第二天值班，剩下5人全排列，安排在剩下的5天，有55120A =种安排方式，此时有1120120⨯=种安排方式，③甲在第三天值班，丙安排在第四天值班，乙有4种安排方法，剩下4人全排列，安排在剩下的4天，有4424A =种安排方式， 此时有42496⨯=种安排方式，④甲在第四五六天值班，丙有2种安排方法，乙有4种安排方法，剩下4人全排列，安排在剩下的4天，有4424A =种安排方式， 此时有32424576⨯⨯⨯=种安排方式，⑤甲安排在第七天值班，丙只能安排在第六天，乙有4种安排方法，剩下4人全排列，安排在剩下的4天，有4424A =种安排方式， 此时有24种安排方式；故有24012096576241056++++=种安排方式； 故答案为：1056【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，属于基础题． 32．直线1l ，2l 交于O 点，M 为平面上任意一点，若p ，q 分别为M 点到直线1l ，2l 的距离，则称(,)p q 为点M 的距离坐标．已知非负常数p ，q ，下列三个命题正确的个数是 （1）（2）（3） ．（1）若0p q ==，则距离坐标为(0,0)的点有且仅有1个；（2）若0pq =，且0p q +≠，则距离坐标为(,)p q 的点有且仅有2个； （3）若0pq ≠，则距离坐标为(,)p q 的点有且仅有4个．【分析】由题意点到直线1l ，2l 的距离分别为p ，q ，由点M 的距离坐标的定义逐一判断即可．【解答】解：（1）0p q ==，则“距离坐标”为(0,0)的点有且只有1个，此点为点O ．故（1）正确；（2）若0pq =，且0p q +≠，则p ，q 中有且仅有一个为0， 当0p =，0q ≠时，距离坐标点在1l 上，分别为关于O 点对称的两点， 当0q =，0p ≠时，在2l 上也有两点，但是这两种情况不能同时存在，∴若0pq =，且0p q +≠，则距离坐标为(,)p q 的点有且仅有2个，故（2）正确；（3）若0pq ≠，则距离坐标为( p ，)q 的点有且只有4个，而四个交点为与直线1l 相距为p 的两条平行线和与直线2l 相距为q 的两条平行线的交点． 故答案为：（1）（2）（3）．【点评】本题考查了新定义“距离坐标”，考查了理解能力与推理能力，属于中档题．。