2020年上海市复旦大学自主招生数学试题及答案

2020年上海市复旦大学自主招生数学试卷

一、解答题

1．抛物线22y px =，过焦点F 作直线交抛物线于A 、B 两点，满足3AF FB =，过A 作抛物线准线的垂线，垂足记为A '，O

为顶点，若OFAA S '=p ．

2．抛物线22y px =，过焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，满足3AF FB =，过A 作抛物线准线的垂线，垂足记为A '，准线交x 轴于C

点，若CFAA S '=p ． 3．已知实数x ，y 满足221x xy +=，求22x y +最小值． 二、填空题

4．已知()sin(2)cos(2)sin(4)cos(4)f x a x b x c x d x ππππ=+++，若1

()()(2)2

f x f x f x ++=，

则在a ，b ，c ，d 中能确定的参数是 ．

5．若三次方程32450x ax x +++=有一个根是纯虚数，则实数a = ． 6．展开式231011

()x y x y

+

++中，常数项为 ． 7．111

lim[]1425(3)

n n n →+∞++⋯+=⨯⨯+ ．

8．点(4,5)绕点(1,1)顺时针旋转60度，所得的点的坐标为 ． 9．方程5cos 43cos2ρθρρθ=+所表示的曲线形状是 ．

10．设,[,]44x y ππ

∈-，若3

33cos()20

2

4sin cos 0

x x a y y y a π⎧++-=⎪⎨⎪++=⎩，则cos(2)x y += ． 11．当实数x 、y 满足221x y +=时，|2||62|x y a a x y +-++--的取值与x 、y 均无关，则实数a 的取值范围是 ． 12．在ABC ∆中，1

cos 3

BAC ∠=，若O 为内心，且满足AO xAB y AC =+，则x y +的最大值为 ． 三、选择题

13．已知直线:cos m y x α=和:3n x y c +=，则( ) A ．m 和n 可能重合 B ．m 和n 不可能垂直

C ．存在直线m 上一点P ，以P 为中心旋转后与n 重合

D ．以上都不对 四、填空题

14．抛物线23y x =的焦点为F ，A 在抛物线上，A 点处的切线与AF 夹角为30︒，则A 点的横坐标为 ． 15．已知点P 在直线6

||014

x y -=-上，且点P 到(2,5)A 、(4,3)B 两点的距离相等，则点P

的坐标是 ．

16．已知x ，{1y ∈，2，3，4，5，6，7，8，9}且y x ≠，连接原点O 和(,)A x y ，(,)B y x 两点，则1

2arctan 3

AOB ∠=的概率为 ．

17．3

arcsin 4

+= ． 18．已知三棱锥P ABC -的体积为10.5，且6AB =，4AC BC ==，10AP BP ==，则CP 长度为 ．

19．在ABC ∆中，9AB =，6BC =，7CA =，则BC 边上中线长度为 ． 20．若2()1f x x =-，则(())f f x 的图象大致为 ．

21．定义1,()1,M x M

f x x M ∈⎧=⎨-∉⎩

，{|()()1}M

N M

N x f

x f x ==-⊗，已知{|A x x =<，

{|(3)(3)0}B x x x x =+->，则A B =⊗ ．

22．方程34122020x y z ++=的非负整数解的组数为 ．

23．已知m ，n Z ∈，且011n ，若满足202020212312m n +=+，则n = ． 24．凸四边形ABCD ，则BAC BDC ∠=∠是DAC DBC ∠=∠的 条件．

25．设函数()33x x f x -=-的反函数为1()y f x -=，则1()(1)1g x f x -=-+在[3-，5]上的最大值和最小值的和为 ．

26．若4k >，直线2280kx y k --+=与222440x k y k +--=和坐标轴围成的四边形面积的取值范围是 ．

27．已知A 、B 、C 、D 四点共圆，且1AB =，2CD =，4AD =，5BC =，则PA 的长度为 ．

28．给定5个函数，其中3个奇函数，2个偶函数，则在这5个函数中任意取3个，其中既有奇函数、又有偶函数的概率为 ． 五、选择题

29．下列不等式恒成立的是( ) A ．2211

x x x x

+

+

B ．1

||2x y x y

-+

-

C ．||||||x y x z y z --+-

D 312x x x x +++-六、填空题

30．向量数列{}

n a 满足1

n n a a d +=+，且满足113

||3,2a a d ==-，令11

()n

n i i S a a ==∑，则当n

S 取最大时，n 的值为 ．

31．某公司安排甲乙丙等7人完成7天的值班任务，每人负责一天．已知甲不安排在第一天，乙不安排在第二天，甲和丙在相邻两天，则不同的安排方式有 种．

32．直线1l ，2l 交于O 点，M 为平面上任意一点，若p ，q 分别为M 点到直线1l ，2l 的距离，则称(,)p q 为点M 的距离坐标．已知非负常数p ，q ，下列三个命题正确的个数是 ． （1）若0p q ==，则距离坐标为(0,0)的点有且仅有1个；

（2）若0pq =，且0p q +≠，则距离坐标为(,)p q 的点有且仅有2个； （3）若0pq ≠，则距离坐标为(,)p q 的点有且仅有4个．