东南大学2009年研究生入学试题 数学分析
最新东南大学2002——数学分析试题(缺03)
东南大学2002——2009数学分析试题(缺03)东南大学2002年数学分析试题解答一、叙述定义(5分+5分=10分)1.«Skip Record If...».解：设«Skip Record If...»2.当«Skip Record If...»解：设«Skip Record If...»二、计算（9分×7=63分）1．求曲线«Skip Record If...»的弧长。
解：«Skip Record If...»«Skip Record If...»2．设«Skip Record If...»偏导数，«Skip Record If...»解：由«Skip Record If...»=«Skip Record If...»3.求«Skip Record If...»解：令«Skip Record If...»«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»4.求«Skip Record If...»(«Skip Record If...»解：«Skip Record If...»==«Skip Record If...»=«Skip Record If...»5.计算第二型曲面积分«Skip Record If...»其中S是曲面«Skip Record If...»夹于«Skip Record If...»与«Skip Record If...»之间的部分，积分沿曲面的下侧。
2009年考研数学试题详解及评分参考
=
lim
n®0
an2
|
bn
|=
0
,
2009 年 • 第 2 页
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2009 年数学试题详解及评分参考
¥
å 于是根据正项级数比较判别法的极限形式，知 an2bn2 收敛，因此应选 (C) .
n=1
注：取 an = bn = (-1)n
1 n
，可排除(A)和(D)；取 an
F ¢(x) = 0 ，即 F (x) 恒为常数. 再结合 F (x) 的连续性，即知选项(D)是正确的.
(4)
设有两个数列 {an } , {bn } ，
若
lim
n®¥
an
= 0 ，则
¥
¥
å å (A) 当 bn 收敛时， anbn 收敛.
n=1
n=1
¥
¥
å å (B) 当 bn 发散时， anbn 发散.
a)x
+
a3 6
x3
- o(x3)
，
g(x) = x2 ln(1- bx) = x2[(-bx) + o(x)] = -bx3 + o(x3) ，
因此有 lim x®0
(1 -
a)x
+
a3 6
x3
- o(x3)
-bx3 + o(x3 )
=
1 ，于是1-
a
=
0
，且
1 6
a3
=
-b
，即
a
=
1 ，b
=
-
1 6
= 6A-1
=
6
A* A
= 3A*, X4
=
2009年全国硕士研究生入学考试数学二真题及答案
y y x 0 。求 y(x)的表达式。
（21）（本题满分 11 分）（I）证明拉格朗日中值定理：若函数 f (x) 在[a,b]上连续，在（a,b）
可导，则存在 (a,b) ，使得 f (b) f (a) f ( )(b a) 。（II）证明：若函数 f (x) 在 x=0
阵
0 B
A 0
的伴随矩阵为（）
（A）
0 2 A
3B
0
（B）
0 3 A
2B
0
பைடு நூலகம்（C）
0 2B
3A
0
（D）
0 3B
2 A
0
100
（8）设
A，P
均为
3
阶矩阵，
PT
为
P
的转置矩阵，且
1
x
1
y
A
2
dx
4x f x, y dy
1
1
C
2
dy
4y f x, y dx
1
1
B
2
dx
4x f x, y dy
1
x
D
2
1
2
dyy
f
x,
y dx
【答案】 C
2
2
2
2
【解析】 dx f (x, y)dy dy f (x, y)dx 的积分区域为两部分：
sin x
A 1 B 2 C 3 D 无穷多个
【答案】 C
【解析】由于 f x x x3 ,则当 x 取任何整数时, f x 均无意义.
东南大学2009年研究生入学试题 数学分析
东 南 大 学 二〇〇九年攻读硕士学位研究生入学考试试题试题编号：601 试题名称：数学分析一．判断题（判断下列命题正误,若正确请证明,否则请给出反例说明（本题共4小题,每题6分,满分24分）.1.[,]a b 上每个单调函数至多有可列个间断点.2.在有界闭区间[,]a b 上黎曼可积的函数必在[,]a b 上有原函数.3.若n a 非负、单调递减,且lim 0n n na →∞=,则级数1n n a ∞=∑收敛. 4.曲线221x y +=上每一点的某邻域内可确定隐函数()y y x =.二．计算题（本题共6小题,每题8分,满分48分）.5.求极限21lim[ln(1)]x x x x→∞+-. 6.求极限2222212lim (1)(1)(1)n n n n n n→∞+++ . 7.求幂级数143nn x n ∞=-∑的和函数(0)x ≥. 8.求曲线2226,0x y z x y z ++=++=在点(1,2,1)-处的切线方程.9.计算曲线积分22C ydx xdy I x y -=+⎰,其中C 为曲线33cos ,sin (0)2x t y t t π==≤≤的一段.10.计算曲面积分22(1)84x dydz xydzdx xzdxdy ∑-+-⎰⎰,其中∑是由曲线(0)y x e y a =≤≤绕x 轴旋转所成的旋转曲面,取外侧.三．解答题（本题共8小题,前6小题每题10分,后2小题每题9分,满分78分）.11.给定实数0x 及b ,01b <<,令1sin ,1,2,n n x a b x n -=+= ,证明：（1）极限lim n n x →∞存在,记为ξ； （2）ξ是开普勒方程sin x a b x =+的唯一解.12.一个函数f ：[,]a b → 称作上半连续的,假如对给定的[,]x a b ∈及0ε>,存在一个0δ>,使得若[,],y a b y x δ∈-<,则()()f y f x ε<+.证明：[,]a b 上的上半连续函数是上有界的,且在某个点[,]c a b ∈处达到最大值.13.设()f x 在开区间(,)I a =+∞内可导,且lim '()x f x →+∞=∞,证明()f x 在I 内必定是非一致连续的.若(,)I a b =是有限开区间,且lim '()x bf x -→=∞,问()f x 在I 内也必定是非一致连续的？14.设1111n nn I x dx +=+⎰,求证：（1）0,n I n →→∞；（2）极限lim n n nI →∞存在,并求出此极限值. 15.设()f x 在区间[0,1]上连续,在(0,1)内有二阶导数,且10(0)(1)0,''()0,()0f f f x f x dx ⋅>>=⎰. 证明：（1）函数()f x 在(0,1)内恰有两个零点；（2）至少存在一点(0,1)ξ∈,使得0'()()f f x dx ξξ=⎰. 16.设()f x 在0x =的某邻域内有二阶连续导数,且0()lim 0x f x x →=.证明：级数11()n n f n∞=∑绝对收敛. 17.设2222sin(),(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0),x y xy x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪=⎩讨论f 在原点的连续性、可微性以及两个一阶偏导数在原点的连续性.18.证明反常积分20sin 1x px x +∞+⎰关于[,)p a ∈+∞一致收敛,其中0a >为常数.。
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题及答案
当 时，
当 时，
因此函数 仅在 处间断，故选（B）.
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）设函数 具有二阶连续偏导数， ，则 .
【答案】
【考点】多元函数的偏导数
【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
利用复合函数的链式求导法则求多元函数的偏导数的方法。
在本题中，
，
（10）若二阶常系数线性齐次微分方程 的通解为 ，则非齐次方程 满足条件 的解为 .
【答案】
【考点】简单的二阶常系数非齐次线性微分方程
【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
线性微分方程的解的性质即叠加原理，线性微分方程通解的结构为齐次方程的通解加上特解。
在本题中，
由通解表达式 该二阶线性常系数齐次方程的特征值为 ，于是特征方程为
，
而在 上， 有连续的一阶偏导数且 ，于是
（在 ： 上用高斯公式）
（20）（本题满分11分）
设 ， .
（Ⅰ）求满足 的 . 的所有向量 , .
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量 , 证明 , , 线性无关.
【考点】向量组的线性无关，非齐次线性方程组的通解
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
非齐次线性微分方程的解的性质即叠加原理，非齐次线性微分方程通解的结构为齐次方程的通解加上特解。
收敛级数的和的概念， 称为无穷级数 的前n项的部分和。若部分和数列 的极限存在，即 ，则称级数 收敛。当级数收敛时，其和 。
在本题中，
（Ⅰ）先求 .易求得 与 的交点为 ， ，于是曲线 与 所围成区域的面积为
（Ⅱ）按定义求
（Ⅲ）求 .
2009年东南大学946西方经济学考研真题及详解
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2009年东南大学946西方经济学考研真题及详解一、名词解释（5×6=30分）1．总需求答：限于篇幅原因，想要获得完整版真题及解析请加入经济学考研备战群2．伯特兰竞争答：伯特兰竞争是一种价格竞争的寡头模型，模型假设厂商经营同质产品，有着相同的成本。
厂商运用价格手段，通过价格的提高、降低和不变以及对竞争者定价、变价的灵活反应等，与竞争对手争夺市场份额的一种竞争方式，在此情况下，厂商行为就和完全竞争一样：价格等于边际成本。
3．理性预期答：理性预期又称合理预期，是现代经济学中的预期概念之一，指人们可以最好地利用所有可以获得的信息，包括关于现在政府政策的信息来形成自己的预期。
由约翰·穆思在其《合理预期和价格变动理论》（1961年）一文中首先提出。
它的含义有三个：①作出经济决策的经济主体是有理性的；②所作决策为正确决策，经济主体会在作出预期时力图获得一切有关的信息；③经济主体在预期时不会犯系统错误，即使犯错误，他也会及时有效地进行修正，使得预期在长期而言保持正确。
理性预期是新古典宏观经济理论的重要假设（其余三个为个体利益最大、市场出清和自然率），是新古典宏观经济理论攻击凯恩斯主义的重要武器。
4．价格歧视答：价格歧视是指由于垄断者具有某种垄断力量，因此，垄断者可以对自己所出售的同类产品，索取不同的价格，以使自己所获利润达到最大值。
垄断厂商实行价格歧视，必须具备以下两个基本条件：①市场的消费者具有不同的偏好，且这些不同的偏好可以被区分开。
②不同的消费者群体或不同的销售市场是相互隔离的。
东南大学数学分析试题解答
东南大学 数学分析试题解答 一、叙述定义(5分+5分=10分) 1.()+∞=-∞→x f x lim .解：设.)(,,0,0,0E M x f x E M >-<>∃><∀就有时则当δδ 2.当.)(,为极限不以时A x f a x +→解：设.)(,,0,0E A x f a x E >->->∃>∀时使得当δδ 二、计算（9分×7=63分）1． 求曲线210),1ln(2≤≤-=x x y 的弧长。
解：=+=⎰dx x f s βα2)]('[1⎰⎰⎰-=-++-=-+=--+2102102221022213ln )11111(11)12(1dx x x dx x x dx x x 2． 设都具有一阶连续与且己知g f x y z e x g z y x f u y ,sin ,0),,(),,,(2===偏导数，.,0dxduz g 求≠∂∂ 解：由xzz f x y y f x f dx du dz g dy g e dx xg z e x g yy∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂==++=从而知,02,0),,(3212=32121)cos 2(cos f g e x xg f x f y ⋅++⋅+ 3.求⎰dx xx 2)ln (解：令⎰====dx x x dt e dx e x x t tt2)ln (,,,ln 则⎰⋅dt e et tt 22=⎰=-dt e t t 2t t te e t ----22 C e t+--2C xx x +++-=2ln 2)(ln 2 4.求()2lim x a x a xxx -+→()0>a解：()2lim xa x a x xx -+→==22222220)]()(ln 2ln 1[)}(]11)[(ln 2ln 1{lim xx o a x a x x o a a x a x x +++-+++++=→ =aa21+ 5.计算第二型曲面积分⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x ,222其中S 是曲面22y x z +=夹于0=z 与1=z 之间的部分，积分沿曲面的下侧。
考研数学一真题解析 2009
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)当时,与等价无穷小,则(A) (B)(C)(D) 【考点分析】：等价无穷小，洛必达法则，泰勒公式 【求解过程】：⏹ 方法一：利用洛必达法则和等价无穷小0x →时，ln(1)~bx bx --2320000()sin sin 1cos limlim lim lim 1()ln(1)3x x x x f x x ax x ax a axJ g x x bx bx bx→→→→---=====--- 1a ⇒=否则，J =∞⇒2220011cos 12lim lim 1336x x x x J bx bx b→→-====---16b ⇒=-。
选A ⏹ 方法二：利用泰勒公式或者三角函数的幂级数展开式 由三角函数的幂级数展开式：357111sin 3!5!7x x x x x =-+-+ 所以，3331sin ()(0)6ax ax a x o x x =-+→ 由泰勒公式：3331sin ()(0)6ax ax a x o x x =-+→332301(1)()sin 6lim 1ln(1)x a x x o x x ax J x bx bx →-++-⇒===-- 1a ⇒=，否则J =∞⇒116J b ==-16b ⇒=-。
选A(2)如图，正方形{(,)|1,1}x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域(1,2,3,4)k D k =，cos kk D I y xdxdy =⎰⎰，则{}14max k k I ≤≤=(A)(B)(C)(D)0x →()sin f x x ax =-()()2ln 1g x x bx =-11,6a b ==-11,6a b ==11,6a b =-=-11,6a b =-=1I 2I 3I 4I【考点分析】：利用对称性化简二重积分，二重积分的估值 【求解过程】：1234111222331444(,)cos ,cos ,(,)0,0cos ,(,)0,cos ,(,)0,0cos ,(,)0,A D D D D f x y y x I y xdxdy D f x y I I y xdxdy D x f x y y I I y xdxdy D f x y I I y xdxdy D x f x y y I ==≥≥===≤≤==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰记在上则，关于轴对称，且关于为奇函数，则在上则，关于轴对称，且关于为奇函数，则所以选择。
考研数学2009真题及分析
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1~8小题，每小题8分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。
（1）当0x 时，()sin fxxax 与2()ln(1)gxxbx 等价无穷小，则（）（A ）11,6ab （B ）11,6ab （C ）11,6ab （D ）11,6ab 【解析与点评】考点：无穷小量比阶的概念与极限运算法则。
参见水木艾迪考研数学春季基础班教材《考研数学通用辅导讲义》（秦华大学出版社）例 4.67，强化班教材《大学数学强化 299》16、17 等例题。
【答案】A22220000sinsin1cossin limlimlimlim ln(1)()36xxxx xaxxaxaxaax xbxxbxbxbx230sin lim166.x aaxa b b axa 36ab 意味选项B ，C 错误。
再由201cos lim 3x aax bx存在，故有1cos0(0)aaxx ，故a=1，D 错误，所以选A 。
（2）如图，正方形{(,)|||1,||1}xyxy 被其对角线划分为四个区域，(1,2,3,4),cos KKKD DkIyxdxdy，则14max{}KK I =（）【解析与点评】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。
对称性与轮换对称性在几分钟的应用是水木艾迪考研数学重点打造的技巧之一。
参见水木艾迪考研数学春季班教材《考研数学通用辅导讲义----微积分》例 12.3、12.14、12.16、12.17，强化班教材《大学数学同步强化 299》117 题，以及《考研数学三十六技》例 18-4。
24,DD 关于x 轴对称，而cos yx 即被积函数是关于y 的奇函数，所以2413;,IIDD 两区域关于y 轴对称，cos()cos yxyx即被积函数是关于x 的偶函数，由积分的保号性，13{(,)|,01}{(,)|,01}2cos0,2cos0xyyxxxyyxx IyxdxdyIyxdxdy，所以正确答案为A 。
09考研农学数学真题、标准答案及解析
2009年全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考数学试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）在(,)ππ-内，函数tan xy x=的可去间断点的个数为（ ） ()A .0()B . 1 ()C .2()D .3【答案】()D 【解析】tan x y x =0x =，0lim 1tan x xx→=，0x =为可去间断点；2x π=±，2lim0tan x xxπ→±=，2x π=±为可去间断点.故共3个，选()D .（2）函数2ln(1)y x =+的单调增加图形为凹的区间是（ ）()A .(,1)-∞-()B .(1,0)- ()C .(0,1)()D .(1,)+∞【答案】()C 【解析】()()()()222222220012121201111xy x xx y x x x x x x '=>⇒>+-''=⋅+-⋅=>⇒-<<++取交集得：()0,1x ∈，选()C . （3）函数22()x x t f x e dt --=⎰的极值点为x =（ ）()A .12()B .14 ()C .14-()D .12-【答案】()A【解析】因()()()()()2222''212x x x x f x ex x x e ----=⋅-=-令()'0fx =，得12x =，又()()()()()()222222'2''22221222(12)(x x x x x x fx ex ex x x x x e ------⎡⎤⎡⎤=-+-⋅⋅--=-+-⋅-⎣⎦⎢⎥⎣⎦得''102f ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，故12x =为极值点，应选()A . （4）设区域{}22(,)2,0D x y x x y x y =≤+≤≥，则在极坐标下二重积分xydxdy =⎰⎰（ ）()A 2cos 220cos cos sin d r dr πθθθθθ⎰⎰()B 2cos 320cos cos sin d r dr πθθθθθ⎰⎰()C 2c o s 2c o sc o s s i nd r d rπθθθθθ⎰⎰()D 2cos 30cos cos sin d r dr πθθθθθ⎰⎰【答案】()B【解析】原积分32cos 2cos cos sin cos sin 22cos cos 00d r r rdr d r dr ππθθθθθθθθθθ=⋅⋅=⎰⎰⎰⎰. （5）设矩阵121242242A ab a ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭的秩为2，则（ ） ()A .0,0a b == ()B . 0,0a b =≠ ()C .0,0a b ≠=()D .0,0a b ≠≠【答案】()C【解析】1211002422024220A ab ab a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭ 因为0a =时，()1r A =，所以0a ≠，1000000A ab a ⎛⎫⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭因为()2r A =，所以0b =，综上0,0a b ≠=.（6）设A 为3阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，A 的行列式2A =，则*2A -=（ ）()A . 52-()B . 32- ()C .32 ()D .52【答案】A 【解析】2A = 又1312*22n A AAA --====*3*3252(2)(2)22A A ∴-=-⋅=-⋅=-.（7）设事件A 与事件B 互不相容，，则（ ）()A .()0P A B --==()B .()()()P AB P A P B == ()C .()1()P A P B =-()D .()1P A B --=⋃=【答案】()D【解析】因为,A B 互不相容，所以()0P AB =()A ()()1()P AB P A B P A B ==- ，因为()P A B 不一定等于1，所以()A 不正确 ()B 当(),()P A P B 不为0时，()B 不成立，故排除 ()C 只有当,A B 互为对立事件的时候才成立，故排除()D ()()1()1P A B P AB P AB ==-= ，故()D 正确.（8）设随机变量X 的分布函数1()0.3()0.7()2x F x x -=Φ+Φ，其中()x Φ为标准正态分布的分布函数，则EX =（ ）()A .0()B .0.3 ()C .0.7()D .1【答案】()C【解析】因为()()10.30.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ⎪⎝⎭， 所以()()0.710.322x F x x -⎛⎫'''=Φ+Φ ⎪⎝⎭， 所以()()10.30.352x EX xF x dx x x dx +∞+∞-∞-∞⎡-⎤⎛⎫'''==Φ+Φ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰()10.30.352x x x dx x dx +∞+∞-∞-∞-⎛⎫''=Φ+Φ ⎪⎝⎭⎰⎰而()0x x dx +∞-∞'Φ=⎰，()()11221222x x x dx u u u du +∞+∞-∞-∞--⎛⎫''Φ=+Φ= ⎪⎝⎭⎰⎰ 所以00.3520.7EX =+⨯=.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）20lim(1sin 3x x x →+= .【答案】23e【解析】0222ln(1sin )lim ln(1sin )3300lim(1sin lim 3x x xx x x x x xee→++→→+==002sin2233limlim 3x x xx xxe ee →→⋅===（10）设2()ln(4cos 2)f x x x =+，则'()8f π= .【答案】41π+ 【解析】由2()ln(4cos 2)f x x x =+,[]'21()42cos 2(sin 2)24cos 2f x x x x x=+⋅-⋅+'124()44((42)18221122f ππππ⎡⎤=+⨯⨯-=-=⎢⎥++⎣⎦+. （11）设2()xf x e =，()ln x x ϕ=，则[]1(())(())f x f x dx ϕϕ+=⎰ .【答案】43【解析】()()()()2l n22,l n 2x xf x e x f x e xϕϕ====所以原式=()3122100142()1333x x x dx x +=+=+=⎰.（12）设(,)f u v 为二元可微函数，(sin(),)xyZ f x y e =+，则zx∂=∂__________________ 【答案】''12cos()xy f x y yf e ++ 【解析】根据复合函数求导法得：''12cos()xy zf x y yf e x∂=++∂. （13）设向量组(1,0,1)T α=，(2,,1)T k β=-，(1,1,4)Tγ=--线性相关，则k =___________【答案】1【解析】(1,0,1),(2,,1),(1,1,4)TTTk αβγ==-=--令12101114A k-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭若α、β、γ线性相关，所以则330A k =-+=，1k ∴=(14)设总体X 的概率密度||1(,)2x f x e σσσ-=，x -∞<<+∞，其中参数(0)σσ>未知， 若12,,....,n x x x 是来自总体X 的简单随机样本，11ˆ||1ni i x n σ==-∑是σ的估计量，则ˆ()E σ=_____________. 【答案】1nn σ- 【解析】10001ˆ1112121211.1n i ii xxxt t t n E E x E x n n n n x n x e dx e dx te dt n n n n te dt n n n σσσσσσσσσσ==--+∞+∞+∞--∞+∞-==--=⋅=⋅−−−→---=-=-∑⎰⎰⎰⎰ 三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）求极限[]24ln(1tan )limsin x x x x x→-+.【解析】[]2242200ln(1tan )ln(1tan )limlim sin sin sin x x x x x x x x xx x→→-+-+= 20ln(1tan )1limsin 2x x x x →-+==.（16）（本题满分10分）不定积分ln 2.2,,2t x t dx tdt === 原式=222ln(2)ln(2)222ln(2)ln(2)ln (2)ln (222t t tdt dt t d t t c c t t t ++⋅==++=++=+++⎰⎰⎰（17）（本题满分10分）曲线L 过点()1,1，L 上任一点(),(0)M x y x >处法线斜率2yx，求L 方程.【解析】法线斜率为1y-' 221122212y dx yxdx ydy y x dy xx y C ∴-=⇒-=⇒-='⇒-=+又由已知条件()13112y C =⇒=-2213022x y x ∴+-=∴= （18）（本题满分11分）讨论方程440x x k -+=实根的个数，其中k 为参数.【解析】令()44f x x x k =-+，则()()()'3244411f x x x x x =-=-++∴当1x >时，()'0f x >；当1x <时，()'0f x <；当1x =时，()'0f x =即()f x 在(),1-∞单调减，在()1,+∞单调增，在1x =处取得极小值，且为最小值.从而 ①()130f k =->时，方程无实根；②()130f k =-=时，方程有两个相同的实根；③()130f k =-<时，由于()lim x f x →∞=+∞，根据零点定理可得，方程有两个相异实根.（19）（本题满分11分） 计算二重积分1Dx dxdy -⎰⎰，其中D 是第一象限内由直线0,y y x ==及圆222x y +=所围成的区域.【解析】如图所示，则由题可知121(1)(1)DD D x dxdy x dxdy x dxdy -=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰11)(1)0010x x dy dx x dy =-+-⎰⎰1(1)1x x x dx=-+-⎰51(16464ππ=-+=-（20）（本题满分10分）设1211211223A a aa a⎛⎫⎪=++⎪⎪---⎝⎭,若存在3阶非零矩阵B,使得AB O=.(Ⅰ)求a的值；（Ⅱ）求方程组0AX=的通解.【解析】（I）根据题目条件，知存在3阶非零矩阵B，使0AB=，即0AX=有非零解.A∴=，即1211211210(2)01223022a a a a a aa a a a++==-=----a∴=或2a=（II）当0a=时，121121123A⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦，求0AX=的通解.121121120121000000123002001A⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦取自由未知量21x=，得[]12,1,0Tξ=-，即0AX=的通解[]1112,1,0Tx k kξ==-，（1k为任意常数）. 当2a=时，121143101A⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，求0AX=的通解.121121022011143022022000101101101101A⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦取自由未知量31x=，得[]21,1,1Tξ=-，即0AX=的通解[]2221,1,1Tx k kξ==-，（2k为任意常数）. （21）（本题满分11分）设3阶矩阵A 的特征值为1，1，2-，对应的特征向量依次为1010α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2101α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3101α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.(Ⅰ)求矩阵A ； （Ⅱ）求2009A.【解析】（I ）令()123,,,P ααα=则1100010,002P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦即1,A P P -=Λ利用初等行变换求1,P -有()011100100010100010011100011001011001100010100010110111000100,2200210111001022P E ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎣⎦()01110010101000100111000110010110011000101000101101110001002200210111001022P E ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎣⎦即10101102211022P -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，113022010.31022A P P -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=Λ=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ （II ）12009200912009200820082008200801001110011100010022011002110221120222010.1120222A P P A P P --=Λ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∴=Λ=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎡⎤-+⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦（22）（本题满分11 分）设随机变量X 的概率密度为2,()0,x a x bf x <<⎧=⎨⎩其他，21EX =.(Ⅰ)求a,b 的值； （Ⅱ）求{}1P x <. 【解析】（1）()2,0,x a x bf x <<⎧=⎨⎩其它故()2221baf x dx xdx b a +∞-∞==-=⎰⎰ ①()()23441212baE xx dx b a ==-=⎰② 由①②得到224412b a b a ⎧-=⎨-=⎩推得到223212b a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 由概率密度函数的非负性，知0,0a b >>则22b a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（2）()()11111110222P X P X P X P X xdx ⎛⎛⎫<=-<<=-<<+<<=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （23）（本题满分10 分）已知随机变量X 与Y 的概率分布分别为且{}4P X Y ==(Ⅰ)求二维随机变量(X,Y)的概率分布； （Ⅱ）求X 与Y 的相关系数XY ρ.【解析】（1）()14P X Y ==，即()11,14P X Y === 所以()()()11,011,14P X Y P X P X Y ====-===同理可得()()()11,01,004P X Y P X Y P Y =-===-==== 得到()1,00P X Y =-==()()()()11,111,01,11,02P X Y P X Y P X Y P X Y =-==-==-==-=-==则二维随机变量(),X Y 的概率分布是（2）由,XY Cov X Y E XY E X E Y ρ-==由二维随机变量(),X Y 的概率分布得到资料共享 QQ776597299 友情提供 新浪共享id ：ncut20100930钻石卡高级辅导系统——全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100% - 11 -X 的边缘分布Y 的边缘分布则()()()()1100114E XY P XY P XY P XY =-=-+⋅=+⋅==-()()()1110E X P X P X =-=-+⋅==()()()300114E Y P Y P Y =⋅=+⋅==()()()221D X EX E X =-=⎡⎤⎣⎦ ()()()2239341616D YE Y E Y =-=-=⎡⎤⎣⎦ 所以10,3XY Cov X Y ρ--===.。
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一在线测评试题解析
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一模考试题解析(10月)基础单选题：:1~24小题，每小题4分，共96分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1、求极限2221cos lim() sinxxx x→-(A)0(B)13(C)16(D)43正确答案：D解析：①本题解题参考时间(4,6)t∈分钟②本题考查具体知识点归属高等数学篇函数、极限、连续求极限问题③本题考查的是基本知识应用能力，主要考查的是∞-∞未定式极限④本题思路点拨：先通分化为0，再利用洛比达法则简化了计算⑤本题正确解答过程[答案]D[解]⑥本题易错点求导时部分考生容易出错. ⑦ 真题链接求极限0ln(1)lim1cos x x x x→+-=2解：21ln(1),1cos 2x x xx +-（0x →当时） 所以002ln(1)limlim 211cos 2x x x x x xx x →→+⋅==- ⑧ 小结：本题多次用到洛必达法则与等价无穷小替换，并随时注意化简.若不注意化简，只是机械地用洛必达法则，将会带来复杂的求导运算.通过此题的考查，考生应该掌握00未定式极限求法，而所有的未定型都可以化为00型或∞∞型，最简单的00型或∞∞型是只要通过代数运算就可以约去分子、分母中的无穷小或无穷大，从而化为确定型的类型或等价无穷小在取极限的意义下消失了. 2、已知当0x →时，0()ln(1)xn f x t dt x =+⎰与是同阶无穷小，则n 的值为【】（A ）2（B ）4（C ）6（D ）8 正确答案：A 解析：① 本题解题参考时间(4,5)t ∈分钟② 本题考查具体知识点高等数学函数、极限、连续无穷小及其阶③ 本题考查的是综合运用能力，本题是考查洛必达法则，等价无穷小因子替换，变限积分的求导问题，讨论函数等价无穷小的综合问题 ④ 本题思路点拨利用洛必达法则与当0x →时的同阶无穷小关系 ⑤ 本题正确解答过程利用洛必达法则与当0x →时的同阶无穷小关系 对0n >，有由此可得，当2n =时，就有从而当0x →时，2()f x x 与是同阶无穷小，故选A.⑥ 本题易错点同阶无穷小的概念和等价形式，或者忘记了同阶无穷小的定义 ⑦ 真题链接当0x →时，123(1)1cos 1ax x +--与是等价无穷小，则a 的值为（A ）—1（B ）12-（C ）32-（D ）52-[答案]C[分析]这道题主要考查了函数等价的形式，等价无穷小的定义，导数的基本定义和求极限的方法，洛比达法则.主要可能是您忘记等价无穷小的概念，或者忘记了等价无穷小的定义.⑧ 小结无穷小就是极限为零的变量.极限问题可以归结为无穷小问题.极限方法的重要部分是无穷小分析，或说无穷小阶的估计与分析.要理解无穷小及其阶的概念，学会比较无穷小的阶及确定无穷小阶的方法，会用等价无穷小因子替换求极限.3、()f x 在0x 处存在左、右极限，且均等于0()f x ，则()f x 在0x 处【】(A)可导(B)连续 (C)不可导(D)不连续 正确答案：B 解析：① 本题解题参考时间(3,5)t ∈分钟② 本题考查具体知识点归属高等数学函数、极限、连续函数的连续性及其判断，以及一元函数的导数与微分概念及其计算一元函数的导数与微分.③ 本题考查的是基本知识应用能力，主要考查考生函数的极限、连续性及其可导性. ④ 本题思路点拨首先利用左右连续的定义，在利用()f x 在0x 处连续等价于()f x 在0x 处左、右连续 ⑤ 本题正确解答过程直接由条件出发，由000lim ()(),lim ()()x x x x f x f x f x f x +-→→==，()f x ⇒在0x 处右、左连续，再由()f x 在0x 处连续()f x ⇔在0x 处左、右连续，所以()f x 在0x 处连续.故选择（B ） ⑥ 本题易错点有些考生弄不清极限、连续与可导的关系（连续函数不一定可导），最后得出错误的结果.⑦ 真题链接设10()10xxx f x e x ⎧≠⎪=⎨+⎪=⎩，则()f x 在x=0处(A)极限不存在(B)极限存在，但不连续 (C)连续，但不可导(D 可导[答案]C[分析]先分别考察左、右可导性 [解]由于0lim ()0(0)x f x f →==.()f x ⇒在0x =左连续.但(0)(0)f f +-''≠因此，()f x 在x=0处连续，但不可导.[评注]函数()f x 在x=0处左可导且右可导，则()f x 在x=0处连续，从而它在x=0处极限存在. ⑧ 小结关于极限、连续和导数的问题，几乎每年都会出现.1.000lim ()()(lim ()())x x x x f x f x f x f x +-→→==，()f x ⇒在0x 处右、左连续， 2.()f x 在0x 处连续()f x ⇔在0x 处左、右连续，3.()f x 在0x 处可导()f x ⇔在0x 处可微⇒⇐/()f x 在0x 处连续.4、已知()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数，且(0)f '存在.设()sin 2, 0,()0, 0,f x x x F x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩则函数()F x 在点0x =处【】（A ）极限不存在.（B ）极限存在，但不连续. （C ）连续，但不可导.（D ）可导. 正确答案：D解析：① 本题解题参考时间(3,5)t ∈分钟② 本题考查具体知识点归属高等数学篇函数、极限、连续以及一元函数微分学中关于函数极限、连续与可导的判断问题.③ 本题考查的是基本知识应用能力，主要考查函数在某点的连续性 ④ 本题思路点拨：由函数()F x 在点0x =处极限、连续以及可导性定义来进行逐一判断，采用适当的排出法.⑤ 本题正确解答过程解：因(0)f '存在，从而()f x 在点0x =处连续，又因()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数，故(0)0f =.于是00()(0)()(0)limlimx x f x f f x f x x→→-'==.进而得 00()lim ()lim sin 2(0)0(0)x x f x F x x f F x →→'==⋅=. 这表明函数()F x 在点0x =处连续，从而可排除（A ），（B ）. 又00()(0)()sin 2(0)limlim 2(0)0x x F x F f x xF f x x x→→-''===-，这表明函数()F x 在点0x =处可导，且(0)2(0)F f ''=.从而排除（C ），故应选（D ）.⑥ 本题易错点在求()F x 在点0x =处连续性0()lim ()limsin 2x x f x F x x x→→=时，易出现错误. ⑦ 真题链接[例]：设,0,0,0,1cos )(=≠⎪⎩⎪⎨⎧=x x xx x f 若若λ其导函数在x=0处连续，则λ的取值范围是_______. 分析：当≠x 0可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求导. 解：当1>λ时，有显然当2>λ时，有)0(0)(lim 0f x f x '=='→，即其导函数在x=0处连续.⑧ 小结：一、判断连续性的方法：（1）按定义，即求极限（2）用连续性运算法则，其中按定义判断连续性是常规的方法.二、判断间断点的类型就是求间断点处的左、右极限.本题是综合性较强的选择题，在研究生入学统一考试中，这部分试题主要以选择题形式出现，按照常规基本方法进行判断即可.5、已知()f x 连续，且20()()x F x f t dt =⎰，则dFdx【】 (A)(0)xf (B)2(0)xf (C)22()xf x (D)2()xf x 正确答案：C 解析：① 本题解题参考时间(3,5)t ∈分钟② 本题考查具体知识点归属高等数学一元函数的导数与微分概念及其计算以及由复合函数求导法则导出的微分法则一元函数积分学变限积分的计算及其应用③ 本题考查的是基本知识应用能力，是变限积分的求导问题. ④ 本题思路点拨这道题是变限积分的求导问题. ⑤ 本题正确解答过程 ⑥ 本题易错点2()dFf x dx =，没有对2x 求导 ⑦ 真题链接.已知()f x 连续，且220()()xF x tf x t dt =-⎰，则dFdx（98真题） (A)(0)xf (B)2(0)xf (C)22()xf x (D)2()xf x [答案]D[分析]本题考查复合函数的求导问题 [解]令22u x t =-，则2du tdt =-. 故⑧ 小结应该充分注意变限积分，它在考研试题中出现的频率非常高，连续函数.连续函数的变限积分是被积函数的一个原函数，作为函数（初等或非初等）的一种表示方法，可以研究它的各种计算，各种性质（极限、微积分、增减极值，等等），这里最基本的是变限积分的连续性、可导性及求导方法.若()f x 在[a,b]连续，又(),()u x v x 在[,]αβ可导且(),(),[,]a u x v x b x αβ≤≤∈，则另外，参变量x 有时会在被积函数中出现，这时应该设法（例如通过换元等方法）把x 从被积函数中弄到积分限中或积分号外面.有关变限积分的许多题型中讨论的问题都与变限积分的求导有关.6、设1333()(1)1f x x x =+-，则()f x 不可导点的个数共有(A)0(B)1(C)2(D)3 正确答案：C 解析：① 本题解题参考时间(3,5)t ∈分钟② 本题考查具体知识点归属高等数学篇一元函数的导数与微分概念及其计算求极限问题，分段函数求导法③ 本题考查的是基本知识应用能力，主要考查的是分段函数连接点不可导点的求法 ④ 本题思路点拨一般先写出函数的具体形式，再找出其连接点，判断其左右导数. ⑤ 本题正确解答过程 [答案]C[分析]函数,1,1x x x -+分别仅在0,1,1x x x ===-不可导且它们处处连续.因此只须在这些点考察()f x 是否可导，按定义考察，在0x =处，1323()(0)(1)10x f x f x x x x-=+-⋅-，于是 0000()(0)()(0)(0)lim 11lim 1,(0)lim 11lim 100x x x x f x f x f x f xf f x x x x ++--++→→→→---''==⨯⋅===⨯⋅=---故(0)(0)f f +-''≠，因此()f x 在0x =处不可导.在1x =处，13231()(1)(1)11x f x f x x x x x --=++⋅--，于是141433331111()(1)1()(1)1(1)lim 22lim 2,(1)lim 22lim 21111x x x x f x f x f x f xf f x x x x ++--++→→→→----''==⨯⋅===⨯⋅=-----故(0)(0)f f +-''≠，因此()f x 在1x =处不可导.在1x =-处，13231()(1)(1)11x f x f x x x x x +--=+-⋅++，于是11()(1)()(1)(1)lim 0,(1)lim 011x x f x f f x f f f x x +-+-→-→-----''-==-==--故(0)(0)f f +-''=，因此()f x 在1x =-处可导. 故应该选（C ）. ⑥ 本题易错点有的同学仅得出一个间断点 ⑦ 真题链接设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→，则f(x)在),(+∞-∞内(A)处处可导.(B)恰有一个不可导点.(C)恰有两个不可导点.(D)至少有三个不可导点. [答案]C【分析】先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形. 【详解】当1<x 时，11lim )(3=+=∞→n nn xx f ；当1=x 时，111lim )(=+=∞→n n x f ；当1>x 时，.)11(lim )(3133x xx x f nnn =+=∞→即.1,11,1,,1,)(33>≤≤--<⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x x x f 可见f(x)仅在x=1±时不可导，故应选(C).⑧ 小结：关于导数与微分的问题，在多数微积分的题目中都会出现.一元函数微分法则中最重要的是复合函数求导法及相应的一阶微分形式的不变性.利用求导的四则运算法则与复合函数的求导法可求任意初等函数的任意阶导数.隐函数求导法，参数式求导法，反函数求导法及变限积分求导法等都是复合函数求导法的应用，对这些表达形式的函数，不但要会求导数与微分，而且要灵活快速并且不出错.7、设(,)z z x y =，由22()y z xf y x +=-确定，f 可微 ,则z zxz x y∂∂+∂∂等于【】 A.x B.y C.z D.1 正确答案：B 解析：① 本题解题参考时间(4,5)t ∈分钟② 本题考查具体知识点归属高等数学篇多元函数的微分学③ 本题考查的是基本知识应用能力，主要考查的是二元函数的偏导数的计算. ④ 本题思路点拨：逐一求偏导，验证哪个选项正确.⑤ 本题正确解答过程[答案]B[解]22(,,)()F x y z y z xf y z =+--，所以12121212x z yz F z f f x F xzf xzf F z xyf y F xzf '∂-=-=-='''∂++''∂-=-=-''∂+，所以，所以，应选（B ）⑥ 本题易错点求导过程中容易出错：如漏掉符号.⑦ 真题链接设函数⎰+-+-++=yx y x dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ,其中函数ϕ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有(A)2222y u x u ∂∂-=∂∂.（B ）2222yux u ∂∂=∂∂.(C)222y uy x u ∂∂=∂∂∂.(D)222x u y x u ∂∂=∂∂∂.[B] 【分析】先分别求出22x u ∂∂、22yu∂∂、y x u ∂∂∂2，再比较答案即可.【详解】因为)()()()(y x y x y x y x xu--++-'++'=∂∂ψψϕϕ， 221212z z xf z xyzf xf xf y xyzf xz y x y xzf xzf ''∂∂-+-+++===''∂∂++)()()()(y x y x y x y x yu-+++-'-+'=∂∂ψψϕϕ， 于是)()()()(22y x y x y x y x x u-'-+'+-''++''=∂∂ψψϕϕ，)()()()(2y x y x y x y x yx u-'++'+-''-+''=∂∂∂ψψϕϕ， )()()()(22y x y x y x y x yu-'-+'+-''++''=∂∂ψψϕϕ， 可见有2222y ux u ∂∂=∂∂，应选(B).⑧ 小结：多元函数微分学中最基本的计算是求二元或三元函数的偏导数与全微分，在各类计算试题中，它是最简单的，只考查这个内容的试题是不会多的，但仍不失其重要性，因为它是多元函数微分学中计算的基础，其它方面的计算试题常包含这方面的内容.8、级数1(1)nn ∞=-∑【】(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与a 有关 正确答案：B 解析：① 本题解题参考时间(5,7)t ∈分钟② 本题考查具体知识点归属高等数学无穷级数绝对收敛与条件收敛③ 本题考查的是综合运用能力，主要考查级数敛散性概念的理解和判断方法. ④ 本题思路点拨将级数的一般项取绝对值后进行近似等价变换，简化计算 ⑤ 本题正确解答过程 [答案]B [分析]因为1(1)(1)11n n n na n a n nn ∞=++-⇒-++∑发散. 又(1)1n n n -+.所以原级数收敛. 因此，原级数条件收敛.[评注]该题首先将级数的一般项取绝对值后进行近似等价，再根据条件收敛与绝对收敛之和为条件收敛这一结论.⑥ 本题易错点有的考生对条件收敛的概念理解不好；有些考生弄不清条件收敛与绝对收敛之和为什么收敛，得出错误的结论 ⑦ 本题其他多种解法 直接用分解法11111(1)(1)(1)(1)(1)11n n nnn n n n a a n n∞∞∞∞====---=-+=+-++∑∑∑显然，其中1n n ∞=条件收敛，1(1)(1)1n n a n ∞=--+∑绝对收敛.选（B ）⑧ 真题链接设(1)ln(1n n u =-+，则级数 (A)211n nn n u u ∞∞==∑∑与都收敛(B)211n n n n u u ∞∞==∑∑与都发散(C)1n n u ∞=∑收敛而21nn u ∞=∑发散(D)1n n u ∞=∑发散而21n n u ∞=∑收敛[答案]C[分析]这是讨论211n n n n u u ∞∞==∑∑与敛散性问题.11(1)ln(1n n n n u ∞∞===-+∑∑是交错级数，显然ln(1单调下降趋于零，由莱布尼兹判别法知，该级数收敛.正项级数2211ln (1n n n u ∞∞===+∑∑中 由11n n ∞=∑发散21n n u ∞=⇒∑发散.因此，应选C [解]由11(1)ln(1n n n n u ∞∞===-+∑∑是交错级数，显然ln(1+单调下降趋于零，由莱布尼兹判别法知，该级数收敛.正项级数2211ln (1n n n u ∞∞===+∑∑中 由11n n ∞=∑发散21n n u ∞=⇒∑发散. 因此，应选C⑨ 小结判别级数的敛散性（包括条件收敛与绝对收敛）的判别是级数中的重要考点，也是部分的基础.1.利用级数的性质判断敛散性.假设结论收敛收敛⇒收敛收敛发散⇒发散发散发散不确定绝对收敛绝对收敛⇒绝对收敛绝对收敛条件收敛⇒条件收敛条件收敛条件收敛⇒收敛（是条件收敛还是绝对收敛不确定）2.利用正项级数敛散性判别法则来判断正项级数的敛散性首先看通项是否趋于零，若不趋于零则级数发散（不论是否正项级数都如此），若趋于零，再用比较判别法，当极限易求时，则用比较原理的极限形式，即用比值或根值判别法（与几何级数作比较），求幂级数的收敛区间实质上常用此法.有的则与其它已知其敛散性的级数作比较，求它们通项之比的极限，有时先用适当放大缩小法寻找收敛的强级数或发散的弱级数.（9）第9题：曲线1ln(1)(1)xy ex x=++-渐近线的条数(A)1(B)2(C)3(D)4正确答案：D解析：①本题解题参考时间(4,5)t ∈分钟② 本题考查具体知识点高等数学微分中值定理及其应用利用导数研究函数的变化.③ 本题考查的是基本知识应用能力，主要考查了考生对铅直渐近线、水平渐近线、斜渐近线概念的理解以及三种渐进线的求法 ④ 思路分析1.为求()y f x =的垂直渐近线，需要考查()y f x =的间断点，仅当x=a 是()f x 的∞型的第二类间断点，x=a 才是()y f x =的垂直渐进线.2.为求()y f x =的水平或斜渐近线，需要考查若()lim (),limx x f x f x x→+∞→+∞之一存在，就不必考察另一极限，x →-∞时，也是如此⑤ 本题正确解答过程 [答案]D[解]先看铅直.因01lim lim 0,1x x y y x x →→=∞=∞⇒==分别为铅直渐近线.再看水平的所以x →+∞方向无水平渐近线. 所以x →-∞方向有水平渐近线0y =.再看斜的.则所以x →+∞方向有一条斜渐近线y x =，因x →-∞方向有水平渐近线，当然就没有斜渐近线.所以，共4条渐近线，故选（D ）⑥ 本题易错点考生有可能忘记求渐近线的公式或漏掉对函数某种渐近线的考查⑦ 本题知识点链接求函数()y f x =的渐近线的方法：1. 垂直渐近线：x=a 是垂直渐近线0lim ()lim ()x a x a f x f x →+→-⇔=∞=∞或2. 水平渐近线：()x →+∞-∞时，y b =是水平渐近线3. 斜渐近线：()x →+∞-∞时，(0)y kx b k =+≠是斜渐近线⑧ 真题链接曲线1ln(1)x y e x=++渐进线的条数 (A)0(B)1(C)2(D)3[解]只有间断点0x =.由于001lim lim(ln(1))x x x y e x→→=++=∞，故0x =为垂直渐近线. 又1lim lim (ln(1))0ln10x x x y e x→-∞→-∞=++=+=， 故x →-∞时，有水平渐近线0y =.又故x →+∞时，有水平渐近线y x =⑨ 小结求渐近线问题是一元函数微分学的重点内容，是研究生入学考试数学的重要知识点之一.几乎每年都有涉及.希望能够引起考生注意.10、设lim 1n n x →+∞=，则lim !n n n x n →+∞(A)0(B)1(C)n(D)2 正确答案：A 解析：① 本题解题参考时间(3,5)t ∈分钟② 本题考查具体知识点归属高等数学篇函数、极限、连续.求数列极限问题.③ 本题考查的是基本知识应用能力，主要考查的是数列极限问题. ④ 本题思路点拨：先适当的放大，再利用夹逼法则得到结果. ⑤ 本题正确解答过程 [答案]A[解]由于1n x →，故N ∃，当n N >时，02n x <<，于是20!!n n n x n n <<.又2lim0!nn n →+∞=，则lim0!nn n x n →+∞= [注]lim0!nn b n →+∞=（b 为常数）⑥ 本题易错点放缩的不适当，放的太大或太小，最后导致错误的结果. ⑦ 真题链接设数列{}n x 满足10,x π<<1sin (1,2,)n n x x n +== 求（1）证明lim n n x →∞存在，并求之（2）计算211lim()n x n n nx x +→∞解：212(1)sin ,01,x x x =∴<≤因此当2n ≥时，{}1sin ,n n n n x x x x +=≤单调减少.又{}0,n n x x ≥∴有下界根据数列极限存在准则知，lim n n x A →∞=存在，递推公式两边取极限得 ⑧ 小结：解决数列极限问题的基本方法： 1. 求数列极限转化为求函数极限； 2. 利用适当的放大缩小法；3. 用单调有界准则求递推数列的极限；4. 利用定积分定义求某些和式的极限11、设线性无关的函数1()y x 与2()y x 都是一阶线性微分方程()()y p x y f x '+=的解，C 是任意常数，则方程()()y p x y f x '+=的通解是【】（A ）1.Cy C + （B ）12.y Cy + （C ）12(1).Cy C y +- （D ）12(1).Cy C y -- 正确答案：C解析：① 本题解题参考时间(3,5)t ∈分钟② 本题考查具体知识点归属高等数学篇常微分方程③ 本题考查的是基本知识应用能力，主要考查一阶线性微分方程通解问题 ④ 本题思路点拨： 可采用排除法逐一验证. ⑤ 本题正确解答过程解：直接代入方程验算可知（A ）,（B ）,(D)中给出的函数不是或未必是方程()()y p x y f x '+=的解，故应选（C ）.（C ）中的函数可改写成122(),C y y y -+其中12y y -是对应齐次方程()()y p x y f x '+=的一个解，又（C ）是任意常数.故完全符合一阶线性微分方程通解的结构.可见12(1)Cy C y +-是方程的通解.⑥ 本题易错点对微分方程解的结构不清楚导致选错.⑦ 真题链接［例］：设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数，则该方程的通解是（Ａ）[]12()()C y x y x -. （Ｂ）[]112()()()y x C y x y x +-.（Ｃ）[]12()()C y x y x +. （Ｄ）[]112()()()y x C y x y x ++. 分析：利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可.解：由于12()()y x y x -是对应齐次线性微分方程()0y P x y '+=的非零解，所以它的通解是 []12()()Y C y x y x =-，故原方程的通解为[]1112()()()()y y x Y y x C y x y x =+=+-，故应选(Ｂ).评注：本题属基本题型，考查一阶线性非齐次微分方程解的结构：*y y Y =+.其中*y 是所给一阶线性微分方程的特解，Y 是对应齐次微分方程的通解.⑧ 小结：一阶线性方程'()()y p x y q x += 解法：用常数变易法求(1)求对应齐次方程'()0y p x y +=的通解()p x dxy Ce -⎰=(2)令原方程的解为()()p x dxy C x e-⎰=(3)代入原方程整理得(4)原方程通解()()[()]p x dxp x dxy q x edx C e -⎰⎰=+⎰12、累次积分2220)dx x y dy +⎰的值等于(A)316π(B)π(C)32π(D)34π 正确答案：D 解析：① 本题解题参考时间(5,7)t ∈分钟② 本题考查具体知识点归属高等数学多元函数积分学中的基本公式及其应用如何应用多元函数积分及简化计算.③ 本题考查的是基本知识应用能力，主要考查的是累次积分的计算. ④ 本题思路点拨：用极坐标代换，找到正确的上下限，然后计算.⑤ 本题正确解答过程[答案]D[分析]直接计算是不方便的，这是二重积分22()Dx y dxdy +⎰⎰的累次积分，其中它是由y x 轴围成的区域，如图所 于是故应该选（D ⑥ 用极坐标代换时，容易出错⑦ 真题链接交换积分：0112(,)___y dy f x y dx --=⎰⎰[分析]这个二次积分的累次积分，因为10y -≤≤时，12y -≤.由此看出二次积分112(,)ydy f x y dx --⎰⎰是二重积分的一个累次积分，它与原式只差一个符号.先把累次积分表为由累次积分的内外层积分限可确定积分区域D ： 如图，现在可以交换积分次序原式0220111110(,)(,)(,)xyxdy f x y dx dx f x y dy x f x y dy ----=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⑧ 小结：计算累次积分2211()()()()((,))((,))bx x a x x f x y dy dx f x y dx dy ϕβψϕαψ⎰⎰⎰⎰或基本特点：外层积分限为常数，积分上限≥积分下限，直接计算很复杂.甚至不可能.常用以下方法：方法一：重积分的方法——表为二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰，确定积分区域（根据内外层积分限，在xy 平面画出D 的图形，这是关键步骤），然后交换积分次序，当下限大于上限的情形，只要上下限互换并变号就转化为上述情形. 方法二：分部积分法13、设()f x 在(,)-∞+∞上有定义，则下列命题正确的是【】A.若()f x 在(,)-∞+∞上可导且单调增加，则对一切(,)x ∈-∞+∞，都有()0f x '>.B.若()f x 在0x 处取得极值，则0()0f x '=.C.若0()0f x ''=，则00(,())x f x 是曲线()y f x =的拐点坐标.D.若000()0,()0,()0f x f x f x ''''''==≠，则0x 一定不是()f x 的极值点. 正确答案：D 解析：① 本题解题参考时间(4,5)t ∈分钟② 本题考查具体知识点归属 高等数学篇一元函数微分学③ 本题考查的是基本知识应用能力，主要考查的是利用导数判断函数的凸凹性，极值点，拐点 ④ 本题思路点拨： 这道题主要排除法来解. ⑤ 本题正确解答过程 [答案]D[分析]若在(,)-∞+∞上()0f x '>，则一定有()f x 在(,)-∞+∞上单调增加，但可导函数()f x 在(,)-∞+∞单调增加，可能有0()0f x '=，例如3()f x x =在(,)-∞+∞上单调增加，(0)0f '=，（A ）不正确.()f x 若在0x 处取得极值，且0()f x '存在，则有0()0f x '=，但当()f x 若在0x 处取得极值，在0x 处不可导，例如()f x x =若在00x =处取得极小值，它在00x =处不可导，因此不选（B ）如果()f x 在0x 处二阶导数存在，且00(,())x f x 是曲线的拐点坐标，则0()0f x ''=，反之不一定，例如4()f x x =在00x =处0()0f x ''=，但()f x 在(,)-∞+∞没有拐点，因此不选（C ）.以上分析，应选（D ） ⑥ 本题易错点有的考生认为0()0f x ''<，直接判断，导致错选（B ）. ⑦ 真题链接 设f (x )=|x (1x )|，则(A)x =0是f (x )的极值点，但(0,0)不是曲线y =f (x )的拐点. (B)x =0不是f (x )的极值点，但(0,0)是曲线y =f (x )的拐点. (C)x =0是f (x )的极值点，且(0,0)是曲线y =f (x )的拐点. (D)x =0不是f (x )的极值点，(0,0)也不是曲线y =f (x )的拐点.分析：由于f (x )在x =0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考查f (x )在x =0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况. 解：设0<<1，当x (,0)(0,)时，f (x )>0，而f (0)=0，所以x =0是f (x )的极小值点. 显然，x =0是f (x )的不可导点.当x (,0)时，f (x )=x (1x )，02)(>=''x f ，当x(0,)时，f (x )=x (1x )，02)(<-=''x f ，所以(0,0)是曲线y =f (x )的拐点.故选(C). ⑧ 小结：通过此题的考查，考生应该掌握利用函数()f x 的一、二阶导数讨论其单调性与极值点，凸凹性与拐点以及渐近线.步骤如下：首先求函数()f x 的定义域，考察有无奇偶性，周期性与间断点；其次求,y y '''，并求出0,0y y '''==和,y y '''不存在的点，用这些点把定义域分成若干区间，列成表，表中标明,y y '''在各个区间的符号，随之也就确定了单调性、凸凹性、极值点与拐点；最后求出渐近线，求()y f x =的渐近线的方法是：（1）x a =是垂直渐近线lim ()x af x +→⇔=∞或lim ()x af x -→=∞ （2）()x →+∞-∞时，y b =是水平渐近线（3）()x →+∞-∞时，(0)y kx b k =+≠是斜渐近线()lim0x f x k x→+∞⇔=≠，且 ()lim (())(lim0,x x f x f x kx b k x→+∞→+∞-==≠且lim (()))x f x kx b →-∞-=14、设()f x 为1n +阶可导函数，则(1)()()0,()0n n f x f x +≡≠是()f x 为n 次多项式的 A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分条件也非必要条件 正确答案：C 解析：① 本题解题参考时间(5,6)t ∈分钟② 本题考查具体知识点高等数学一元函数的泰勒公式及其应用一元函数泰勒公式的若干应用 ③ 本题考查的综合运用能力主要考查了一元函数泰勒公式，充要条件的概念 ④ 思路分析先利用泰勒公式展开，利用可导的充要条件 ⑤ 本题正确解答过程 [答案]C[分析]由带拉格朗日余项的n 阶泰勒公式得若(1)()()0,()0n n f x f x +≡≠，由上式⇒()1()(0)(0)(0)!n n f x f f x f x n '=+++是n 次多项式 反之，若11100()(0)n n n n f x a x a x a x a a --=++++≠为n 次多项式，显然(1)()()0,()0n n f x f x +≡≠⑥ 本题易错点有些考生搞不清充要条件的概念，不知道从左往右是充分条件还是必要条件. ⑦ 真题链接设f(x)在0x x =可导，且0()0f x =则'0()0f x =是()f x 在0x 可导的【】 （A ）充分非必要条件（B ）充分必要条件（C ）必要非充分条件（D ）非充分非必要答案应该是B.这道题主要考察导数存在的定义.0()f x x 在可导000()()()limlimx x x x f x f x f x x x x x →→-⇔=--存在，因0()f x x 在x=处右导数与左导数分别是 由可导的充要条件知 ⑧ 小结对充要条件的考查几乎每年考研试题中都有出现，这类试题一方面考查了考生对某个知识点的理解，另一方面又考查了考生对充要条件概念的理解.15、设3阶方阵A ，B 满足关系式16A BA A BA -=+，且10031041007A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则B 为【】 (A)1(B)2(C)4(D)6 正确答案：D 解析：① 本题解题参考时间(4,6)t ∈分钟② 本题考查具体知识点线性代数第一章行列式第二节有关行列式的几个重要公式 ③ 本题考查的是基本知识应用能力，主要考查了行列式的计算 ④ 本题思路点拨计算B ，应该首先求出B 的表达式⑤ 本题正确解答过程 [答案]D[分析]由于A 可逆，在题设关系式的两端右乘1A -，有16A B E B -=+，然后左乘A ，得6B A AB =+，移项得()6E A B A -=，再由E A -可逆，得16()B E A A -=-，求出B ，进而求出B .[解]由题设知，A 可逆，在题设关系式的两端右乘1A -，有16A B E B -=+，然后左乘A ，得6B A AB =+，移项，得 则， 于是， 得两边取行列式，得 故应选择（D ）[评注]本题也可以不求出B 的具体形式，求出B 的表达式以后，两边取行列式，进而求出B⑥ 本题易错点考生容易在求出B 的表达式时和在求1()E A --出错⑦ 本题知识点链接计算行列式的基本方法是：按行（列）展开式，通过降阶来实现.但在展开之前往往先通过对行列式的恒等变形，以期新的行列式中构造出较多的零或公因式，从而可简化计算.行列式计算的常用技巧有：三角化法，递推法，数学归纳法，公式法等 ⑧ 真题链接设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足BA=B+2E ，则B =[分析]由BA=B+2E 得()2B A E E -=，两边取行列式，有因为 所以2B =⑨ 小结行列式的计算是考研很重要的命题点之一.它不但可以单独命题，而且可以和其它题目结合在一起.单独命题时，填空、选择为主，有时也出一些简单的证明.对于行列式的考题，大致为三种类型，一是数字型行列式计算，一是抽象型行列式的计算，还有就是行列式值判定.16、设A是3阶方阵，将A的第1行与第3行交换得B，再把B的第2行的1-倍加到第1行得C，则满足QA C=的可逆矩阵Q为【】（A）011010100-⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭（B）100010100-⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭（C）011010101-⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭（D）101000101-⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭正确答案：A解析：①本题解题参考时间(3,4)t∈分钟②本题考查具体知识点归属线性代数篇矩阵初等变换③本题考查的是基本知识应用能力，主要考查的是矩阵的初等变换.④本题思路点拨：用初等矩阵来描述矩阵的初等变换即可⑤本题正确解答过程[答案]A[分析]由题意，用初等矩阵描述，有001010100A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，110010,001B C -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 故110001010010,001100A C -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 从而110001011010010010001100100Q --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⑥ 本题易错点行变换是矩阵左乘初等矩阵，列变换是右乘初等矩阵，有些考生搞不清楚而出错.⑦ 真题链接设A 是3阶矩阵，将A 的第2行加到第一行得B ，再把B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）1C P AP -=(B)1C PAP -= (C)T C P AP =(D)T C PAP =[答案]B[分析]按已知条件，用初等矩阵描述有于是，1110110010010,001001B A PAP --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以选B⑧ 小结：近几年的考题中，均涉及到了矩阵初等变换的问题，大家复习时要注意.对于此知识点，主要考查初等矩阵的两个定理：一个是左乘右乘问题，一个是初等矩阵逆矩阵的公式,这要求大家掌握17、设124243612Q t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，P是三阶非零矩阵，且PQ O =，则 (A)8()1t r P ==时，(B)8()2t r P ==时， (C)8()1t r P ≠=时，(D)8()2t r P ≠=时，正确答案：C 解析：① 本题解题参考时间(3,5)t ∈分钟② 本题考查具体知识点归属线性代数n 维向量与向量空间矩阵秩的重要公式③ 本题考查的是基本知识应用能力，主要考查考生对矩阵秩的重要公式的应用 ④ 本题思路点拨找出隐含条件，进行行阶梯变换，由P ，Q 秩的关系，进而求出t 的值与Q 的秩⑤ 本题正确解答过程 [答案]C[分析]PQ O =，说明Q 的列向量是方程组PX=0的解向量，当8()1t r Q ==时，，即PX=0有一个线性无关的解向量，由()()3r P r Q +≤知，()1r P =或()2r P =，故（A ）（B ）不成立.当8()2t r Q ≠=时，，故0()321r P ≤≤-=，又因P O ≠，故()1r P =.故应该选择（C ）。
2009年全国硕士研究生统一入学考试【数一】
本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性" 解析 * 轴对称而 & * / 两区域关于 # $ # !) %!) 0 1 # #%!$ # ) 即被积函数是关于 ) 的奇函数所以 , & %, / %" " * 轴对称而 ! * . 两区域关于 ) $ !# ) %) 0 1 # !# %) 0 1 # #%$ # ) 即被积函数是关于 # 的偶函数所以 , ! %&
在计算极限的过程中 等价无穷小代换和洛必达法则交替运用 尤其是洛必达法 则只要满足条件就可以求导求极限"
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& & * 设 均为 & 阶矩阵 分别为 的伴随矩阵若 %& %. 则分
东南大学数学分析考研真题
一. 判断题(判断下列命题正误,若正确请证明,否则请给出反例说明.本题共4小题,每小题6分,满分24分)1. 若数列{}n a 收敛于0,则必存在正数α,使对一切充分大的n 有1||n a n α≤. 2. 若级数1n n a∞=∑和1n n b ∞=∑皆收敛,那么级数1n n n a b ∞=∑必收敛.3. 函数2()f x 在[,]a b 上黎曼可积当且仅当|()|f x 在[,]a b 上黎曼可积.4. 若二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的两个偏导数'00(,)x f x y ,'00(,)y f x y 都存在,则(,)z f x y =在点00(,)x y 必连续.二. 计算题(本题共8小题,每小题7分,满分56分)5.~(0)n ax x →,求a 和n .6. 求函数122(6)()(4)arctan xx x e f x x x+-=-的所有渐进线. 7.求积分11[ln(()],x f x dx -+⎰其中()f x 满足'2()arcsin ,(0)0.f x x f ==8. 求幂级数211(1)2nn n x n ∞=+-∑的和函数的极值. 9. 数量场222u x yz y =-+在点(1,2,1)M -沿什么方向的方向导数达到最大值?并求此最大值.10. 设()z f u =可微,而(,)u u x y =是由方程()()xy u u p t d t ϕ=+⎰确定的函数,其中'(),()p t u ϕ连续且'()1u ϕ≠,求()().z z p y p x x y ∂∂+∂∂ 11. 设函数()f t 满足()1D f t f dxdy =+⎰⎰,其中D 为圆环222244,0a x y t a ≤+≤>为常数.求()f t . 12. 计算曲面积分(2)S x z dydz zdxdy ++⎰⎰,其中S 为曲面22(01)z x y z =+≤≤,其法向量与z 轴正向的夹角为锐角.三. 证明题(本题共6小题,满分70分)13. (本题满分10分)证明()f x =[0,)+∞上一致连续.14. (本题满分12分)设()f x 在[0,1]上二次可微,且(0)(1)0f f ==,证明:存在(0,1ξ∈,使得'''()c o s ()s i n 0f f ξξξξ+=. 15. (本题满分12分) 证明级数111(1)[(1)]n n n e n ∞-=--+∑条件收敛. 16. (本题满分12分)设()f t 为连续函数,证明11()()()()1by b n n a a ady y x f x dx b x f x dx n +-=-+⎰⎰⎰. 17. (本题满分12分)设(,),(,)u x y v x y 是D 上的连续可微函数,D 是由分段光滑闭曲线围成的平面区域,D ∂表示其正向边界.证明D D D v u u dxdy uvdy v dxdy x x∂∂∂=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ . 18. (本题满分12分) 证明积分01cos x e xdx x α-+∞-⎰关于[0,1]α∈一致收敛,并由此计算积分01cos x e xdx x -+∞-⎰.。
东南大学2002——2009数学分析试题(缺03)
3.求 (
ln x 2 ) dx x
t t
解：令 t ln x, 则x e , dx e dt , (
t2 ln x 2 ) dx 2t e t dt = t 2 e t dt t 2 e t 2te t x e
2e t C
(ln x) 2 2 ln x 2 C x
f ' ( x)
1 1 1 1 f (2) f (0) [ f ' ' ( )(2 x) 2 f ' ' ( ) x 2 ] f (2) f (0) 2 2 2 2 1 1 1 (2 x) 2 x 2 2 2
( x 1) 2 2
，
1 1 f ' ' ( ) (2 x) 2 f ' ' ( ) x 2 2 2
和发散，并证明 F ( p) 在 p > 0 上连续． 五、(本题满分 12 分) 证明级数
å
¥
(- 1)n- 1 ( n n - 1) 条件收敛．
n= 1
六、(本题满分 12 分) 设函数项级数
å
¥
un ( x) 在区间 I 上一致收敛于 f ( x) ，且对每个 n ， un ( x) 在上 I 上一
解 ：
f ' ' ( ) (0 x ) 2 , 2 f ' ' ( ) f (2) f ( x) f ' ( x)(2 x) ( 2 x) 2 2 1 f (2) f (0) 2 f ' ( x) [ f ' ' ( )(2 x) 2 f ' ' ( ) x 2 ] 2 1 2 f ' ( x) f (2) f (0) [ f ' ' ( )(2 x) 2 f ' ' ( ) x 2 ] 2 f (0) f ( x) f ' ( x)(0 x)
2009年全国硕士研究生入学考试数学一真题(2009考研数一真题答案解析)
2009年全国硕士研究生入学统一考试部分数学一试题答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小，则()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=. 【答案】 A【解析】2()sin ,()ln(1)f x x ax g x x bx =-=-为等价无穷小，则222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a ax g x x bx x bx bx bx→→→→→---==-⋅---洛洛230sin lim 166x a ax a b b axa→==-=-⋅ 36a b ∴=- 故排除,B C 。
另外201cos lim3x a axbx→--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.a =排除D 。
所以本题选A 。
（2）如图，正方形(){},1,1x y x y ≤≤四个区域()1,2,3,4k D k =，cos kk D I y xdxdy =⎰⎰，则{}14max k k I ≤≤=()A 1I .()B 2I . ()C 3I .()D 4I .【答案】A【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。
24,D D 两区域关于x 轴对称，而(,)cos (,)f x y y x f x y -=-=-，即被积函数是关于y 的奇函数，所以240I I ==;13,D D 两区域关于y 轴对称，而(,)cos()cos (,)f x y y x y x f x y -=-==，即被积函数是x关于x 的偶函数，所以{}1(,),012cos 0x y y x x I y xdxdy ≥≤≤=>⎰⎰；{}3(,),012cos 0x y y x x I y xdxdy ≤-≤≤=<⎰⎰.所以正确答案为A.（3）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为()A ()B()C ()D【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征：①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减。
2009年东南大学经济管理学院946西方经济学考研真题【圣才出品】
2009年东南大学经济管理学院946西方经济学考研真题一、名词解释（5×6＝30分）1．总需求2．伯特兰竞争3．理性预期4．价格歧视5．市场出清6．柠檬产品二、计算题（8×5＝40分）1．证明MC曲线相交于AC曲线的最低点。
2．用拉格朗日方法证明消费者均衡：MU X/P X＝MU Y/P Y。
3．假定1和2两个厂商的成本函数分别是C1＝2Q12＋20Q1和C2＝Q22＋150Q2－2Q1Q2，其中厂商1的生产有外在性。
请计算：（1）如果每个厂商按其私人边际成本等于市场价格P＝200来确定产量，它们的产量和利润分别是多少？（2）如果它们按社会边际成本等于市场价格来确定产量，它们的产量和利润分别是多少？（3）如果厂商1因此而亏损，政府应给他补贴多少？4．假定牧地有一群奶牛，养牛的边际成本为5000元，当销售价格为10000元，销售量为0，每降低10元，销售数量增加一个单位。
（1）当此牧地为公共物品时，求利润最大时，奶牛的价格、销售数量、利润。
（2）当此牧地为私人物品时，求利润最大时，奶牛的价格、销售数量、利润。
5．（1）每年国民的平均收入如表1所示，居民的消费按照生命周期理论进行，每个年份的消费数量都是均等的，填写表格。
表1（2）当政府每年要收取200元税收的时候，请重新填写上表，并请通过（1）（2）的对比说明税收对国民储蓄的作用。
三、简答题（10×5＝50分）1．试述市场机制是资源最优配置的原因。
2．什么是公开市场业务？这一货币政策工具有些什么优点？3．说明影响国际收支不平衡的因素及其原因。
4．试用外部经济的原理说明存在环境污染的原因。
5．请用制度相关原理说明我国企业缺乏自主创新能力的原因。
四、小论文（30分）请围绕“经济全球化带来的机遇和与挑战”写一篇小论文。
（1500字左右）。
[考研类试卷]2009年攻读理学博士学位研究生入学考试(数值分析)真题试卷.doc
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[考研类试卷]2009年攻读理学博士学位研究生入学考试（数值分析）真题试卷1 设n次代数方程x n+a1x n-1+a2x n-2+…+a n-1x+a n=0有n个实根，其最大实根为x*．任取x0，用Newton迭代法可得迭代序列{x k}k=0∞证明：如果x0＞x*，则有2 给定线性方程组Ax=b，其中1)写出Gauss-Seidel迭代格式．2)设A是按行严格对角占有矩阵，即A满足｜a ij｜＜｜a ii｜,i=1,2,…n,证明：Gauss-Seidel迭代法收敛．3 求a和b，使得｜x4-(a+bx)｜取最小值，并求该最小值.4 给定积分I(f)=∫a b f(x)sinnxdx，其中n为较大的正整数．取正整数M，将区间[a，b]作M等分，并记x i=a+ih，i=0，1，…，M．1)利用函数值f(x0)，f(x1)，…，f(x M)作f(x)的分段一次插值多项式S(x)，给出S(x)的表达式；2)利用S(x)构造计算I(f)的数值求积公式I N(f)=∫a b S(x)sinnxdx，并写成的形式，给出A i的表达式；3)设f(x)∈C2[a，b]，试估计截断误差I(f)-I N(f)．5 考虑常微分方程初值问题取正整数n，记h=(b-a)／n，x i=a+ih，0≤i≤n．试分析下列求解公式的局部截断误差，并指出其阶数．6 设两点边值问题(A)具有光滑解u(x)，取正整数M，并记h=1／M．将区间[0，1]作步长为h的网格剖分．试对问题(A)建立一个4阶精度的差分格式．1)给出差分格式截断误差的表达式；2)证明差分格式的收敛性；3)给出求解差分格式的思路．7 设二阶抛物方程初边值问题(B)有光滑解u(x，t)，其中a(x，t)＞0．取正整数M和N，并记h=1／M，τ=T／N，x i=ih，0≤i≤M，t k=kτ，0≤k≤N．对(B)建立一个无条件稳定且是收敛的差分格式．1)给出差分格式截断误差的表达式；2)分析差分格式的解对右端函数和初值的稳定性；3)证明差分格式的收敛性．。
东南大学数模200920102A卷附答案分析
共10页 第1页东 南 大 学 考 试 卷（A 卷）姓名 学号 班级课程名称 数学建模与实验 考试学期 09-10-2得分适用专业 各专业考试形式闭卷考试时间长度 120分钟一．填空题：（每题2分，共10分）1. 阻滞增长模型0.5(10.001)(0)100dx x x dtx ⎧=-⎪⎨⎪=⎩的解为 。
2. 用Matlab 做常微分方程数学实验，常用的命令有 。
3. 整数m 关于模12可逆的充要条件是： 。
4. 根据Malthus 模型,如果自然增长率为2%，则人口数量增长为初值3倍所需时间为(假设初值为正) 。
5. 请补充判断矩阵缺失的元素13192A ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭。
二．选择题：（每题2分，共10分）1. 在下列Leslie 矩阵中，不能保证模最大特征值唯一的是 ( )A. 0230.20000.40⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭； B.1.1 1.230.20000.40⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； C. 0030.20000.40⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； D.以上都不对 2. 判断矩阵能通过一致性检验的标准是 （ )A. 0.1CR <B. 0.1CI <C. 0.1CR >D.0.01CR <3. 模28倒数表中可能出现的数是 ( ) A. 12 B.5 C.14 D.74. 线性最小二乘法得到的函数不可能为 （ ）A.线性函数B. 对数函数C. 样条函数D. 指数函数5. 关于泛函极值问题，下面的描述正确的有 （ ）A.泛函()J x 在x *处取极值的充要条件是泛函变分()0J x δ*=；B. 泛函()J x 在x *处取极值的充分条件是泛函变分()0J x δ*=；C. 泛函()J x 在x *处取极值的必要条件是泛函变分()0J x δ*=；D. A,B,C均正确三．判断题（每题2分，共10分）1. Hill密码体系中，任意一个可逆矩阵都可以作为加密矩阵。
（）2. 拟合函数不要求通过样本数据点。
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东 南 大 学 二〇〇九年攻读硕士学位研究生入学考试试题
试题编号：601 试题名称：数学分析
一．判断题（判断下列命题正误,若正确请证明,否则请给出反例说明（本题共4小题,每题6分,满分24分）.
1.[,]a b 上每个单调函数至多有可列个间断点.
2.在有界闭区间[,]a b 上黎曼可积的函数必在[,]a b 上有原函数.
3.若n a 非负、单调递减,且lim 0n n na →∞=,则级数1
n n a ∞=∑收敛. 4.曲线221x y +=上每一点的某邻域内可确定隐函数()y y x =.
二．计算题（本题共6小题,每题8分,满分48分）.
5.求极限21lim[ln(1)]x x x x
→∞+-. 6.求极限2222212lim (1)(1)(1)n n n n n n
→∞+++ . 7.求幂级数143n
n x n ∞
=-∑的和函数(0)x ≥. 8.求曲线2226,0x y z x y z ++=++=在点(1,2,1)-处的切线方程.
9.计算曲线积分22C ydx xdy I x y -=+⎰
,其中C 为曲线33cos ,sin (0)2x t y t t π==≤≤的一段.
10.计算曲面积分22(1)84x dydz xydzdx xzdxdy ∑-+-⎰⎰,其中∑是由曲线
(0)y x e y a =≤≤绕x 轴旋转所成的旋转曲面,取外侧.
三．解答题（本题共8小题,前6小题每题10分,后2小题每题9分,满分78分）.
11.给定实数0x 及b ,01b <<,令1sin ,1,2,n n x a b x n -=+= ,证明：
（1）极限lim n n x →∞
存在,记为ξ； （2）ξ是开普勒方程sin x a b x =+的唯一解.
12.一个函数f ：
[,]a b → 称作上半连续的,假如对给定的[,]x a b ∈及0ε>,存在一个0δ>,使得若[,],y a b y x δ∈-<,则()()f y f x ε<+.
证明：[,]a b 上的上半连续函数是上有界的,且在某个点[,]c a b ∈处达到最大值.
13.设()f x 在开区间(,)I a =+∞内可导,且lim '()x f x →+∞=∞,证明()f x 在I 内必定是非一致连续的.
若(,)I a b =是有限开区间,且lim '()x b
f x -→=∞,问()f x 在I 内也必定是非一致连续的？
14.设1
111n n
n I x dx +=+⎰,求证：
（1）0,n I n →→∞；
（2）极限lim n n nI →∞
存在,并求出此极限值. 15.设()f x 在区间[0,1]上连续,在(0,1)内有二阶导数,且
1
0(0)(1)0,''()0,()0f f f x f x dx ⋅>>=⎰. 证明：
（1）函数()f x 在(0,1)内恰有两个零点；
（2）至少存在一点(0,1)ξ∈,使得0'()()f f x dx ξ
ξ=⎰. 16.设()f x 在0x =的某邻域内有二阶连续导数,且0()lim 0x f x x →=.证明：级数11()n n f n
∞=∑绝对收敛. 17.设2222sin(),(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0),
x y xy x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪=⎩讨论f 在原点的连续性、可微性以及两个一阶偏导数在原点的连续性.
18.证明反常积分20sin 1x px x +∞+⎰关于[,)p a ∈+∞一致收敛,其中0a >为常数.。