基于核密度估计的上证a股收益率分析

第六章 基于核密度估计的上证A 股收益率分析

一、模型的相关理论知识

（一）问题的提出

经济计量研究中常用的是参数估计,即假定经济变量之间具有一定的函数关系,且函数形式是可以确定的,可以写成带参数的形式进行估计,经典的线性回归和非线性回归就属于参数估计方法。但经济变量之间的关系未必是线性关系或可线性化的非线性关系,而变量之间的真实关系到底是什么又很难确定。因而当模型及参数的假定与实际背离时,就容易造成模型设定误差。此时,基于经典假设模型所做出的预测,很难达到预期的效果。针对该问题，非参数估计方法提供了最佳的解决办法，它使我们能寻找到最精确的非线性系统来描述变量之间的内在关系。非参数估计的回归函数的形式可以任意,没有任何约束,解释变量和被解释变量的分布也很少限制,因而有较大的适应性,其目的在于放松回归函数形式的限制,为确定或建议回归函数的参数表达式提供有用的工具,从而能在广泛的基础上得出更加带有普遍性的结论。核估计就是一种非参数估计方法,主要用于对随机变量密度函数进行估计。 （二）核密度估计方法的原理

设12,,

n x x x 是从具有未知密度函数()f x 的总体中抽出的独立同分布样本，

要依据这些样本对每一x 去估计()f x 的值。

密度估计最基本的方法是直方图估计，我们可以从直方图估计导出密度核估计。作直方图时，先用点{}1k

i i a =把直线分成若干小的计数区间。这样，计数区间的端点与宽度都是固定的。记i N 为样本点12,,

n x x x 落在第i 个计数区间[)

1,i i a a +里的个数，则密度函数()f x 在[)1,i i a a +里的函数估计值就取为：

k

i a x a a a n N x f

i i i i i

,,1,,)

()(ˆ11 =<≤-=++

这样的直方图估计结果是阶梯函数，如果对每个x ,各作一个以x 为中点的

小计数区间[),x h x h -+, 再对落在该计数区间的样本点计数，设为,N x h （），则

密度估计为：(,)ˆ()2N x h f

x nh

=。其与直方图不同在于它的计数区间端点划分不是固定的，而是随x 而变，可以自始至终保持x 点在计数区间中间。不过此时计数

区间宽度h 一般是固定的。如果引进均匀核函数00.5 11

()0 x K x -≤<⎧=⎨⎩当其他，则

上述变端点计数区间的密度估计可写为： 011ˆ()n i i x x f x K nh h =-⎛⎫= ⎪⎝⎭

∑。 后来Parzen(1962)提出，可以将这种核函数形式放宽限制，只须积分为1（最好还为恒正）即可。这就导出了一般的密度核估计：

11ˆ()n i i x x f x K nh h =-⎛⎫= ⎪⎝⎭

∑ （6-1） 其中()K •为核函数，h 为窗宽。

另外也可以从经验分布函数导出密度核估计。

经验分布函数121

()(,,,)n F x x x x x n

=中小于的个数也是一种计数，不过从-∞

一直计到x 为止。利用它表示一个以x 为中心,窗宽为2h 计数区间里的样本点数,于是密度估计为：

[]1111ˆ()()()2()()()()2x h n

i i x h x x x t f x F x h F x h h dF t K dF t K h h h nh h ++∞

=--∞--=+--===∑⎰⎰

对核函数形式放宽了，一般来说，要求核函数满足以下条件： ⎪⎪

⎩⎪⎪

⎨⎧=⋅+∞<+∞<=≥∞

→∞+∞-+∞∞-⎰⎰0)(lim )(,)(sup 1

)(,0)(2

x x K dx x K x K dx x K x K x 对于一般概率密度函数，这些条件是能满足的，所以可以选一个概率密度函数作核函数。对窗宽h 的要求，显然样本数越多，窗宽应越小，但不能太小，即h 是n 的函数，且lim ()0,lim ()x n h n nh n n →∞

→∞

==→∞。在上述要求的核函数及窗宽条件

下，密度()f x 的核估计ˆ()f

x 是()f x 的渐近无偏估计与一致估计。 （三）几种常用的和函数

下面介绍几种常用的核函数：

1，均匀核00.5 11

()0 x K x -≤<⎧=⎨⎩

当其他，

2，高斯核)2ex p()2((x )K 2211x -=-π， 3，Epanechnikov 核22()0.75(1)K x x +=-， 4，三角形核3()(1)K x x +=-，

5，四次方核2

2415()((1))16K x x +=

-， 6，六次方核3

3570()((1))81

K x x +=-。

通常在大样本的情况下，非参数估计对核函数的选择并不敏感，但是，窗宽h 的选择对估计的效果影响较大。一般来说，窗宽取得越大，估计的密度函数就越平滑，但偏差可能会较大。如果选的h 太小，估计的密度曲线和样本拟合得较好，但可能很不光滑，即方差过大。所以，窗宽的变化不可能既使核估计的偏差减小，同时又使核估计的方差较小。因此，最佳窗宽的选择标准必须在核估计

的偏差和方差之间作一个权衡，即使积分均方误差))(ˆ(x f

AMISE 达到最小。选择h 的方法有许多，比如交错鉴定选择法，直接插入选择法，在各个局部取不同的

窗宽，或者估计出一个光滑的窗宽函数)(ˆx h

等等1。 ⎰⎰

+-=-=dx x f Var x f x f E dx x f x f E x f

AMISE ))](ˆ())()(ˆ[())()(ˆ())(ˆ(22

1

见于吴喜之.非参数统计[M].中国统计出版社,p188-p189.