高级计量经济学之第5章分布滞后与动态模型

第5章 分布滞后与动态模型

§5.1 分布滞后模型

很多经济模型在回归方程中有滞后项，例如，因为修建桥和高速公路需要很多时间，所以公共投资对GDP 的影响有一个滞后期，而且这个影响可能会持续数年；研发新产品需要时间，而后把这个新产品投入生产也需要时间；在研究消费行为时，一个工资的变化可能影响好几期的消费。在消费的恒久收入理论中，消费者会用若干期去决定真实可支配收入的变化是暂时的还是永久的。例如，今年额外的咨询费收入明年是否还会继续？同样，真实可支配收入的滞后值会在回归方程中出现，是因为消费者在平滑其消费行为时十分重视他自身的终身收入。一个人的终身收入可以用他过去和现在的收入来推测。换句话说，回归关系可以写为：

T t X X X Y t s t s t t t ,,2,1110 =+++++=--εβββα （5.1） 其中，t Y 代表被解释变量Y 在第t 期的观测值，t s X -代表解释变量X 第t s -期的观测值，α为截距项，0β，1β，…，s β是t X 当期和滞后期的系数。方程（5.1）式就是分布滞后模型因为它把收入增长对消费的影响分为s 期。X 的一个单位变化对Y 的短期影响由0β来表示，而X 的一个单位变化对Y 的长期影响由(s βββ+++ 10)来表示。

假设我们观察从1955年到1995年的t X ，1t X -为相同的变量，但是提前一期的，也就是1954-1994。因为1954年的数据观察不到，我们就从1955年开始观察1t X -，到1994年结束。这意味着当我们滞后一期时，t X 序列将从1956年开始到1995年结束。对于实际的应用来说，也就是当我们滞后一期时，我们将从样本中

丢失了一个观测值。所以如果我们滞后s 期，将丢失s 个观测值。更进一步，对于每一个滞后值，都要估计出一个额外的β值。因此，自由度会产生双重损失，即观测值数目的减少（因为引进滞后项），以及所需估计的参数增加。除了自由度的丢失以外，方程（5.1）式的解释变量相互间还可能存在高度相关。事实上，大部分经济时间序列通常存在趋势，和它们的滞后值间存在高度相关。这些解释变量的多重共线性程度越高，回归估计的可行性就越低。

对于这个模型，OLS 仍旧是BLUE ，因为仍然满足经典线性回归的基本假设。在方程（5.1）式中我们所做的就是引入额外的自变量（s t t X X --,,1 ）。这些变量与随机误差项不相关，因为它们都滞后于变量t X ，而t X 假设与t ε无关。

图5.1 线性算术滞后

为了克服自由度减少的问题，我们可以施加更多的结构在β上。施加在这些参数上的一种最简单的假设就是线性算术滞后（linear arithmetic lag ）（图5.1），即

[(1)]i s i ββ=+- 0,1,...,i s = （5.2） X 滞后项的系数值等额递减，从t X 的(1)s β+递减到t s X -的β。把（5.2）式代

入（5.1）式得到

00[(1)]s

t i t i t

i s t i t

i Y X s i X αβεαβε-=-==++=++-+∑∑ （5.3）

令

0[(1)]s

t t i i Z s i X -==+-∑

这样方程（5.3）式表示为由被解释变量t Y 对常数项和t Z 回归估计得到。t Z 可由给定的s 和t X 计算得到。因此，我们可以把参数估计的任务从0β，1β，…，s

β减少到只有β一个。一旦得到ˆβ，那么ˆi

β（0,1,...,i s =）就可以由（5.2）式计算得到。尽管这个过程很简单，但是这种滞后项的设定受到太多限制，所以实际上并不经常使用。

令(),0,1,...,i f i i s β==，如果()f i 是定义在一个闭区间上的连续函数，它可以由一个r 阶多项式来逼近，即

01()...r r f i i i ααα=+++ （5.4） 例如，如果2r =，那么

2

012i i i βααα=++ 0,1,2,...,i s =

所以， 00

1012

201224βαβαααβααα==++=++

…. … … …

2012

s s s βααα=++

一旦估计得到01,αα和2α，就可以计算得到0β，1β，…，s β。事实上，把 2012i i i βααα=++代入方程（5.1）式，我们可以得到

201202012000()s t t i t

i s s s t i t i t i t

i i i Y i i X X iX i X ααααεααααε-=---====++++=++++∑∑∑∑ （5.5）

（5.5）式表明01,,ααα和2α可以由以t Y 为被解释变量，00s t i i Z X -==

∑、10s t i i Z iX -==∑以及220s t i i Z i X -==∑为解释变量的回归估计得到。这个方法由Almon （1965）提出并称为Almon 多项式法。

这里需要注意的是，应用该方法的问题是要选择s 和r ，即t X 的滞后项数和每个多项式的次数。Davidson 和MacKinnon （1993）建议，以回归方程（5.1）式为基础，首先确定合理的最大滞后值s *，使之与理论保持一致，然后考察随着s *的下降，方程的拟合度是否会下降。考察方程拟合度的一些可行标准包括：（i ）最大化2R ；（ii ）最小化AIC （Akaike, 1973），其中2/()(/)s T AIC s RSS T e

=；或者(iii)最大化BIC ，其中/()(/)s T BIC s RSS T T =，RSS 代表残差平方和。2R 、AIC 和BIC 会给予较高的s 值一个惩罚，从而避免自由度的过度损失。多数回归软件如SHAZAM 、Eviews 和SAS 均提供上述统计值。

确定滞后长度s 值后，就可以进一步确定多项式的次数r 值。首先选择一个较高的r 值并按照（5.5）构造变量Z 。如果r =4是所选择的多项式最高次数，且4440s t i Z i X -==∑的系数4a 不显著，那么去除4Z ，并令3r =，重新运行回归，如果3Z 的系数显著，则停止该过程，否则进一步降低r 值，令2r =，再重新运行回归直至停止。

研究者通常施加终端约束在Almon 滞后模型上。一个近终端约束是指（5.1）式中的10β-=。这意味着在等式（5.5）中，这个终端约束对二次多项式中的α值