高级计量经济学之第5章分布滞后与动态模型
【计量经济学】第5章 第3节 几何分布滞后模型
这些例子说明，解释变量的现值决定了被解释变 量的预期值（期望达到的水平）。
（3）局部调整假定：
由于技术、制度、市场以及管理等各方面的限 制，被解释变量的预期水平在单一周期内一般不会 完全实现，而只能得到部分的调整。
局部调整假定数学表示是：
此模型称为局部调整模型（Partial adjustment model）。
（2）实际经济背景
部分调整模型首先是由 Nerlove 基于如下事实 提出的：在讨论滞后效应时，解释变量在某一时期 内的变动所引起的被解释变量值的变化，要经过相 当长一段时间才能充分表现出来。
这样，模型表达的应该是第t期解释变量观测值 与同期被解释变量期望达到的水平之间的关系。
局部调整假设认为，被解释变量的实际变化仅 仅是预期变化的一部分，即
Yt Yt1 (Yt* Yt1 )
其中， 为部分调整系数，它代表调整速度。且有
0 ≤ ≤ 1。越接近 1，表明调整到预期最佳水平
的速度越快。
（4）将局部调整模型转化为一阶自回归模型 由部分调整假设可得
Yt*
1
Yt
1
Yt 1
在建立经济计量模型时，很多情况下，库伊克 假设有一定的合理性。
（二）几何分布滞后模型
将式 j 0 j 代入原无限分布滞后模型中，得 到如下模型：
Yt 0 X t 0 X t1 0 2 X t2 0 j X t j ut
此模型就称为几何分布滞后模型，因为滞后权重 数列是以几何数列下降的。
接观测的变量化成可以直接观测的变量。
Cangan 和 Friedman 这两位经济学家提出了对
预期
X
计量经济学第5章动态计量经济模型
单位：亿元
GDP 184937.4 216314.4 265810.3 314045.4 340902.8 401512.8 473104.0 519470.1 568845.2 636138.7
年 份
全社会固定资产 投资 88773.6 109998.2 137323.9 172828.4 224598.8 251683.8 311485.1 374694.7 446294.1 512020.7
Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion Hannan-Quinn criter. Durbin-Watson stat
256327.0 183801.3 21.54516 21.69429 21.57040 1.995547
不难看出，（5.13）式
Yt=α δ +β δ Xt+(1-δ )Yt-1+δ ut 与变换后的考
伊克模型的形式相似，我们也不难通过对（5.13）式 中Yt-1进行一系列的置换化为几何分布滞后的形式。
例1
表5.1
1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004
将式（5.10）代入（5.12），得到
Yt=α δ +β δ Xt+(1-δ )Yt-1+δ ut
用此模型可估计出α 、β 和δ 的值。
（5.13）
与考伊克模型类似，这里也存在解释变量为随机变 量的问题（Yt-1）。区别是考伊克模型中,Yt-1与扰动项 （ut-λ ut-1）同期相关，而部局部调整模型不存在同 期相关。在这种情况下，用OLS法估计，得到的参数估 计量是一个一致的估计量。
分布滞后模型
S.E. of regression
21.88962 Akaike info criterion
Sum squared resid
7187.333 Schwarz criterion
Log likelihood
-75.52028 F-statistic
Durbin-Watson stat
1.438436 Prob(F-statistic)
8.2 有限分布滞后模型及其估计
如果有限分布滞后模型
yt a b0 xt b1xt1 ...... bk xtk ut
中的参数bi（i＝0，1，2，…，k）的分布可以 近似地用一个关于i的低阶多项式表示，就可以利 用多项式减少模型中的参数。
8.2 有限分布滞后模型及其估计
8.2 有限分布滞后模型及其估计
8.2.2 有限分布滞后模型的估计方法 1．经验加权估计法 根据实际经济问题的特点及经验判断，对滞后 变量赋予一定的权数，利用这些权数构成各滞后变 量的线性组合，以形成新的变量，再应用最小二乘 法进行估计。
8.2 有限分布滞后模型及其估计
基本思路是设法减少模型中被估计的参数个数。 模型中参数的个数主要由解释变量的个数来决定， 要减少模型中被估计的参数个数，就要对解释变量 进行归并，并通过解释变量的归并，消除或削弱多 重共线性问题。
Prob. 0.0023 0.0000 818.6959 279.9181 9.120033 9.218058 2601.407 0.000000
8.2 有限分布滞后模型及其估计
Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Sample(adjusted): 1958 1974
分布滞后模型
Yt Yt1 ut
（12.18）
Yt1 Yt2 ut1
（12.19）
Yt Y0 ut
（12.20）
E(Yt ) Y0
（12.21）
var(Yt ) var(ut ut1 u) T 2 （12.22）
Yt (Yt Yt1 ) ut
（12.23）
2-10
12.5 随机游走模型
2-15
12.6 分对数模型
2-16
12.1 动态经济模型：自回归和分布滞后模型
动态模型（dynamic models）
Yt A B0 X t B1 X t1 B2 X t2 ut
分布滞后模型（distributed lag models）
Yt 常数 0.4 X t 0.3X t1 0.2 X t2 Yt 常数 0.9X t1
2．零假设为Yt1 的系数 A3 为零，等价于时间序 列是非平稳的，称为单位根假设。
3．为了检验A3 的估计值 a3 为零，通常会使用
熟悉的t 检验。
2-8
12.4 协整时间序列
eˆt 0.2753 et1
t( ) (3.779)
r 2 0.1422
2-9
12.5 随机游走模型
随机游走模型（random walk model）： 即根据变量今天的值并不能预测出变量明天的值。
2-11
图12-3 利用随机游走模型进行预测
12.6 分对数模型
分对数模型（logit model）和概率单位模型 (probit model)
逻辑分布函数（logistic distribution function）
2-12
12.6 分对数模型
2-13
12.6 分对数模型
高级计量经济学之第5章分布滞后与动态模型
高级计量经济学之第5章分布滞后与动态模型第5章分布滞后与动态模型§5.1 分布滞后模型很多经济模型在回归方程中有滞后项，例如，因为修建桥和高速公路需要很多时间，所以公共投资对GDP 的影响有一个滞后期，而且这个影响可能会持续数年；研发新产品需要时间，而后把这个新产品投入生产也需要时间；在研究消费行为时，一个工资的变化可能影响好几期的消费。
在消费的恒久收入理论中，消费者会用若干期去决定真实可支配收入的变化是暂时的还是永久的。
例如，今年额外的咨询费收入明年是否还会继续？同样，真实可支配收入的滞后值会在回归方程中出现，是因为消费者在平滑其消费行为时十分重视他自身的终身收入。
一个人的终身收入可以用他过去和现在的收入来推测。
换句话说，回归关系可以写为：T t X X X Y ts t s t t t ,,2,1110 =+++++=--εβββα （5.1）其中，t Y 代表被解释变量Y 在第t 期的观测值，t s X -代表解释变量X 第t s -期的观测值，α为截距项，0β，1β，…，s β是t X 当期和滞后期的系数。
方程（5.1）式就是分布滞后模型因为它把收入增长对消费的影响分为s 期。
X 的一个单位变化对Y 的短期影响由0β来表示，而X 的一个单位变化对Y 的长期影响由(s βββ+++ 10)来表示。
假设我们观察从1955年到1995年的t X ，1t X -为相同的变量，但是提前一期的，也就是1954-1994。
因为1954年的数据观察不到，我们就从1955年开始观察1t X -，到1994年结束。
这意味着当我们滞后一期时，t X 序列将从1956年开始到1995年结束。
对于实际的应用来说，也就是当我们滞后一期时，我们将从样本中丢失了一个观测值。
所以如果我们滞后s 期，将丢失s 个观测值。
更进一步，对于每一个滞后值，都要估计出一个额外的β值。
因此，自由度会产生双重损失，即观测值数目的减少（因为引进滞后项），以及所需估计的参数增加。
计量经济学-中-4-分布滞后模型
度的是以前不同时期Ｘ变化一个单位对Ｙ均值的滞后影响。
• 当然，分布滞后模型可以不仅含有两个 时间序列。这里主要是为了简化起见， 实际上，在有多个时间序列的情形，方 法是类似的。
二、滞后的原因
• 1. 归纳起来，产生滞后影响的原因有： 心理上的原因。作为一种习惯势力（或惰性）的结果，人 们在收入增加或价格上升后，并不马上改变他们的消费习 惯，甚至生活方式。
解决办法：
• 对于问题（3），一般通过引入被解释变量的滞后值 （AR项）作为解释变量，或引入随机误差项的滞后 值（MA项）来解决，即建立自回归分布滞后 （ADL：Auto-regressive Distributed Lag）模型：
Y
t
k Y Y Y X 1 t 1 2 t 2 p t p i 0 i t i
茨准则（Schwarz Criterion，简称为SC准则）来确
定适当的滞后长度k：
– 用这两个准则确定滞后长度k时，都要求使所计算的统计 量（AIC值或SC值）达到最小。 – 参见[美]乔治· 贾奇等《经济计量学理论与实践引论》 G·
P434。
对于无约束有限分布滞后模型，采用OLS
法估计所面临的特殊问题
达到最大的滞后长度 k；或者采用 AIC 准则或 SC 准 则，选择使 AIC 值或 SC 值达到最小的滞后长度 k ） 之外，还可以根据有关的经济理论确定。
确定多项式的次数p，可以按以下程序进行：先给p 一个较大的值（ 但p最大不得超过滞后长度k ），然
后用t检验逐步降低多项式的次数，直到模型中的所
2 i 0 1 2 p
p
（i=0，1，2，…，k） （3.4）
计量经济学第五章(新)
利用Eviews得回归方程为：
ˆ ln y 1.6524 0.3397 ln x1 0.9460 ln x2
t = (-2.73) p= (0.0144*) R2=0.995 (1.83) (0.085) (9.06) (0.000**)
对回归方程解释如下：斜率系数0.3397表示 产出对劳动投入的弹性，即表明在资本投入保持 不变的条件下，劳动投入每增加一个百分点，平 均产出将增加0.3397个百分点。同样地，在劳动 投入保持不变的条件下，资本投入每增加一个百 分点，产出将平均增加0.8640个百分点。两个弹 性系数相加为规模报酬参数，其数值等于1.1857 ，表明墨西哥经济的特征是规模报酬递增的（如 果数值等于1，属于规模报酬不变；小于1，则属 于规模报酬递减）。
20.5879 z 1 20.5879 x (4.6794 ) (4.3996 ** )
3、半对数模型和双对数模型
形式为：
ln y 0 1 x u y 0 1 ln x u
的模型称为半对数模型。 把形式为:
ln y 0 1 ln x u
即可利用多元线性回归分析的方法处理了。
例如，描述税收与税率关系的拉弗曲线：抛物线 t = a + b r + c r2 c<0
t：税收；
r：税率
设 z1 = r， z 2 = r2， 则原方程变换为 s = a + b z1 + c z 2 c<0
例 某生产企业在1981-1995年间每年的产量和总成本如下 表，试用回归分析法确定其成本函数。
表5-1 墨西哥的实际GDP、就业人数和实际固定资本
年份 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 GDP 114043 120410 129187 134705 139960 150511 157897 165286 178491 199457 212323 226977 241194 260881 277498 296530 306712 329030 354057 374977 就业人数 8310 8529 8738 8952 9171 9569 9527 9662 10334 10981 11746 11521 11540 12066 12297 12955 13338 13738 15924 14154 固定资产 182113 193749 205192 215130 225021 237026 248897 260661 275466 295378 315715 337642 363599 391847 422382 455049 484677 520533 561531 609825
金融计量学差分方程滞后运算与动态模型
yt yt 1 t
图2-1 美国CPI通胀率
20 15 10 5 0 -5 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005
1960年1季度—2006年4季度 (年度化数据, %)
U.S. CPI Inflation
一些差分运算常用的表达式:
例如p＝5时，
1 2 1 0 F 0 1 0 0 0 0
3 4 5
0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
现在，p阶差分方程就可以转化为：
yt 1 2 3 y t 1 1 0 0 yt 2 0 1 0 yt ( p 1) 0 0 0
0.8
40 30 20 10 0 -10 -20 -30 -40 0 5 10 15 20
(f)
1.2
图2-3非常清晰地显示出，不同的 取值，对应的脉冲响应函数图表现非常 不同。归纳来说： 在 0 1 的情况下，如(a)和(b)情 形，体现在脉冲响应函数中的动态乘数 随时间跨度j的增加而呈现几何式递减并 最终趋近于0的趋势。
另外， yt yt 1 t 也可以写成 yt j yt 1 t t 1 t j 1 t i
j 1 j j 1
一阶差分方程的动态乘数的表达式可以写成 yt j t
j
（2）脉冲响应函数
从动态乘数的定义可知，对应每 一个时期跨度j，有一个对应的动态乘 数，那么如果将不同时期跨度j的动态 乘数按j从小到大的顺序摆放在一起， 形成一个路径，就成为了脉冲响应函 数。
金融计量学
计量经济学课件动态分布滞后（ADL）
第5章 动态回归与误差修正模型本章假定变量具有平稳性，第6章将把误差修正模型的应用向非平稳变量扩展。
5.1 均衡与误差修正机制均衡指一种状态。
达到均衡时将不存在破坏均衡的内在机制。
这里只考虑平稳的均衡状态，即当系统受到干扰后会偏离均衡点，而内在均衡机制将努力使系统重新回到均衡状态。
下面通过一个例子说明系统均衡概念。
以两个地区某种商品的价格为例，假设地区A 中该商品物价由于某种原因上升时，该商品就会通过批发商从价格低的B 地区向价格高的A 地区流动。
从而使批发商从中获利。
这种活动将直接导致该商品在B 地区的需求增加，从而使该商品在B 地区的价格上涨。
从A 地区看，由于增加了该商品的供给，则导致价格下降，反过来的情形也是一样，从而使两各地区的该商品价格越来越接近。
用该两个地区的价格数据绘制一张平面图，价格A = 价格B 的直线表示此问题的均衡状态。
如上所述，当价格离开这条直线后，市场机制这只无形的“手”就会把偏离均衡点的状态重新拉回到均衡状态。
随着时间推移，无论价格怎样变化，两个地区的价格都保持一致。
若两个变量x t , y t 永远处于均衡状态，则偏差为零。
然而由于各种因素的影响，x t , y t 并不是永远处于均衡位置上，从而使u t ≠ 0，称u t 为非均衡误差。
当系统偏离均衡点时，平均来说，系统将在下一期移向均衡点。
这是一个动态均衡过程。
本期非均衡误差u t 是y t 下一期取值的重要解释变量。
当u t > 0时，说明y t 相对于x t 取值高出均衡位置。
平均来说，变量y t 在T +1期的取值y t +1将有所回落。
所以说u t = f (y t , x t ) 具有一种误差修正机制。
当然这种均衡不意味着一定是1比1的关系。
例如中国宏观消费比问题。
5.2 “一般到特殊”建模法分布滞后模型：如果回归模型中不仅包括解释变量的本期值，而且包括解释变量的滞后（过去）值，则这种回归模型称为分布滞后模型。
计量经济学第5章-动态计量经济模型课件
方程右边。这一形式使得我们可以很容易分析该模型的短期（即期）
和长期动态特性（短期乘数和计长量经期济学乘第5章数-动态）计量经。济模型
10
在短期内（即期），Yt-1可以认为是固定的，X的变动对Y的影响为β （短期乘数为β）。从长期看，在忽略扰动项的情况下，如果Xt趋向 于某一均衡水平则Yt和Yt-1也将趋向于某一均衡水平
计量经济学第5章-动态计量经济模型
13
非线性最小二乘法步骤
（1） 对于λ的每个值，计算 Zt=Xt+λXt-1+λ2Xt-2+…+λPXt-P (5.8)
P的选择准则是，λP充分小，使得X的P阶以后 滞后值对Z无显著影响。
（2）然后回归下面的方程： Yt =α+βZt + ut
(5.9)
（3） 对λ的所有取值重复执行上述步骤，选择回归 （5.8）式时产生最高的R2的λ值，则与此λ值相对 应的α和β的估计值即为该回归所得到的估计值。
两端乘以λ，得：
Yt 1
X t1
2 Xt2
3 Xt3
u (5.5) t 1
（5.3）-（5.5），得
Yt Yt1 (1 ) Xt ut ut1 (5.6)
进一步整理得 Yt (1 ) Xt Yt1 ut u(t5.17)
（5.7）式称为自回归模型，因为因变量的滞后项作为解释变量出现在
计量经济学第5章-动态计量经济模型
5
而Yt = α+βYt-1 + ut, t = 1,2,…,n 本例中Y的现期值与它自身的一期滞后值相联系，
即依赖于它的过去值。一般情况可能是：
Yt = f (Yt-1, Yt-2, … , X2t, X3t, … ) 即Y的现期值依赖于它自身若干期的滞后值，还 依赖于其它解释变量。
§5 第5章 分布滞后与动态模型
第5章 分布滞后与动态模型分布滞后模型是指，回归模型不仅包含自变量的当前值，也包含自变量的滞后值和/或因变量的滞后值。
根据自变量滞后数目，模型可分为有限和无穷分布滞后模型。
为此，分别介绍多项式分布滞后模型(Almon 模型)和几何分布滞后模型(Koyck 模型)。
另外，还简单介绍自回归分布滞后模型(ARDL ，包含因变量滞后值的模型)。
§5.1 多项式分布滞后模型(Almon)(自变量有限滞后) 0110..., 1,...,t t t s t s t st i t i t i Y X X X t s T Y X αβββεαβε---==+++++=+=++∑1．估计一些情况下，自变量有限滞后模型可直接估计。
问题：(1) 由于滞后了s 期，观察值少了s 期，参数又多了s 个，造成自由度(T -k )双重损失；(2) 解释变量与其滞后值之间一般高度相关，产生共线性问题。
尽管如此，OLS 估计量仍是BLUE ，只不过估计量的标准差通常会偏大。
为此，考虑采用其他适当方法。
一般地，各期的反应系数β i 呈规律性变化，为此，可对系数施加一些约束。
这样，一方面，可降低待估计参数个数，以减少自由度的损失；另一方面，在一定程度上降低多重共线性程度。
(1) 反应系数的线性约束无约束模型：0s t i t i t i Y X αβε-==++∑反应系数的线性约束：[(1)]i s i ββ=+-，0,1,...,i s =011(1)...s s s s βββββββ+=+===将约束条件代入模型：00[(1)]s st i t i t t i t i i Y X s i X αβεαβε--===++=++-+∑∑约束模型：t t t Y Z αβε=++ 其中，10[(1)](1)s t t i t t t s i Z s i X s X sX X ---=≡+-=++++∑(2) 反应系数的多项式约束(Almon)设5s =，反应系数β i 关于i 为二阶多项式，即五步二阶多项式。
计量经济学第五章 专门问题-滞后变量模型
q，s：滞后时间(shíjiān)间隔
➢自回归分布滞后模型（autoregressive distributed lag model,
ADL）：既含有Y对自身滞后变量的回归，还包括着X 分布在不同时期的滞后变量 ➢有限自回归分布滞后模型：滞后期长度有限 ➢无限自回归分布滞后模型：滞后期无限
总影响的大小。
如果(rúguǒ)各期的X值保持不变，则X与Y间的 长期或均衡关系即为
共五十一页
（2）自回归(huíguī)模型（autoregressive model ）
自回归模型：模型中的解释变量仅包含X的当期值 与被解释变量Y的一个(yī ɡè)或多个滞后值
而
称为(chēnɡ wéi)一阶自回归模型（first-order autoregressive model）。
通常把这种过去时期的，具有滞后作用的变量叫做滞后变量 （Lagged Variable），含有滞后变量的模型称为滞后变量 模型。
滞后变量模型考虑了时间因素的作用，使静态分析的问题 有可能成为动态分析。含有滞后解释变量的模型，又称动 态模型（Dynamical Model）。
共五十一页
1、滞后效应与与产生(chǎnshēng)滞后效应的原因
计式。
共五十一页
（2）阿尔蒙（Ａlmon）多项式法 主要思想：针对有限滞后期模型，通过阿尔蒙变换 (biànhuàn)，定义新变量，以减少解释变量个数，然后用
OLS法估计参数。
主要步骤为： 第一步，阿尔蒙变换
对于分布滞后模型
s
Yt i X ti t i0
共五十一页
假定其回归系数i可用一个(yī ɡè)关于滞后期i的适当 阶数的多项式来表示，即:
第五章 分布滞后模型(蓝色)
（2）阿尔蒙变换具有充分的柔顺性。为 了使参数结构假定更好地符合 i 的实际变化 方式，可以适当地改变多项式（7.13）的阶 数，以提高多项式逼近 i 的精度。 （3）可以克服多重共线性问题。经过阿 尔蒙多项式变换后，Z 项之间的多重共线性 就可能小于诸X 项之间的共线性。
43
2．阿尔蒙估计法的缺点
9
第三年的消费支出不仅取决于当 年的收入，还与第一年和第二年的收 入有关。当然，还可以和前面更多期 有关。
10
第一年 10000元 消费增加 4000元
第二年 10000元 消费增加 7000元 消费追加 3000元
第三年 10000元 t 消费增加 9000元 消费追加 2000元
11
于是，由该例可以得到以下消费函数关系式
7
什么是分布滞后模型？用一个简单
的例子让我们对分布滞后模型有一个比
较正确的了解。
例如消费者每年收入增加10000元，
那么该消费者每年的消费会呈现何种变
化。
8
假如,该消费者把各年增加的收入按照以 下方式分配：当年增加消费支出4000元， 第二年再增加消费支出3000元，第三年再 增加消费支出2000元，剩下的1000元作为 储蓄。
（7.10）
31
另记
Z 0t X t X t 1 X t 2 X t 3 Z 1t X t 1 2 X t 2 3 X t 3 Z 2t X t 1 4 X t 2 9 X t 3
32
则式（7.10）可变换为
Yt 0 Z 0t 1 Z1t 2 Z 2t ut
（7.14）
39
2.参数估计 对于式（7.14）应用最小二乘法估
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第5章 分布滞后与动态模型§5.1 分布滞后模型很多经济模型在回归方程中有滞后项，例如，因为修建桥和高速公路需要很多时间，所以公共投资对GDP 的影响有一个滞后期，而且这个影响可能会持续数年；研发新产品需要时间，而后把这个新产品投入生产也需要时间；在研究消费行为时，一个工资的变化可能影响好几期的消费。
在消费的恒久收入理论中，消费者会用若干期去决定真实可支配收入的变化是暂时的还是永久的。
例如，今年额外的咨询费收入明年是否还会继续？同样，真实可支配收入的滞后值会在回归方程中出现，是因为消费者在平滑其消费行为时十分重视他自身的终身收入。
一个人的终身收入可以用他过去和现在的收入来推测。
换句话说，回归关系可以写为：T t X X X Y t s t s t t t ,,2,1110 =+++++=--εβββα （5.1） 其中，t Y 代表被解释变量Y 在第t 期的观测值，t s X -代表解释变量X 第t s -期的观测值，α为截距项，0β，1β，…，s β是t X 当期和滞后期的系数。
方程（5.1）式就是分布滞后模型因为它把收入增长对消费的影响分为s 期。
X 的一个单位变化对Y 的短期影响由0β来表示，而X 的一个单位变化对Y 的长期影响由(s βββ+++ 10)来表示。
假设我们观察从1955年到1995年的t X ，1t X -为相同的变量，但是提前一期的，也就是1954-1994。
因为1954年的数据观察不到，我们就从1955年开始观察1t X -，到1994年结束。
这意味着当我们滞后一期时，t X 序列将从1956年开始到1995年结束。
对于实际的应用来说，也就是当我们滞后一期时，我们将从样本中丢失了一个观测值。
所以如果我们滞后s 期，将丢失s 个观测值。
更进一步，对于每一个滞后值，都要估计出一个额外的β值。
因此，自由度会产生双重损失，即观测值数目的减少（因为引进滞后项），以及所需估计的参数增加。
除了自由度的丢失以外，方程（5.1）式的解释变量相互间还可能存在高度相关。
事实上，大部分经济时间序列通常存在趋势，和它们的滞后值间存在高度相关。
这些解释变量的多重共线性程度越高，回归估计的可行性就越低。
对于这个模型，OLS 仍旧是BLUE ，因为仍然满足经典线性回归的基本假设。
在方程（5.1）式中我们所做的就是引入额外的自变量（s t t X X --,,1 ）。
这些变量与随机误差项不相关，因为它们都滞后于变量t X ，而t X 假设与t ε无关。
图5.1 线性算术滞后为了克服自由度减少的问题，我们可以施加更多的结构在β上。
施加在这些参数上的一种最简单的假设就是线性算术滞后（linear arithmetic lag ）（图5.1），即[(1)]i s i ββ=+- 0,1,...,i s = （5.2） X 滞后项的系数值等额递减，从t X 的(1)s β+递减到t s X -的β。
把（5.2）式代入（5.1）式得到00[(1)]st i t i ti s t i ti Y X s i X αβεαβε-=-==++=++-+∑∑ （5.3）令0[(1)]st t i i Z s i X -==+-∑这样方程（5.3）式表示为由被解释变量t Y 对常数项和t Z 回归估计得到。
t Z 可由给定的s 和t X 计算得到。
因此，我们可以把参数估计的任务从0β，1β，…，sβ减少到只有β一个。
一旦得到ˆβ，那么ˆiβ（0,1,...,i s =）就可以由（5.2）式计算得到。
尽管这个过程很简单，但是这种滞后项的设定受到太多限制，所以实际上并不经常使用。
令(),0,1,...,i f i i s β==，如果()f i 是定义在一个闭区间上的连续函数，它可以由一个r 阶多项式来逼近，即01()...r r f i i i ααα=+++ （5.4） 例如，如果2r =，那么2012i i i βααα=++ 0,1,2,...,i s =所以， 001012201224βαβαααβααα==++=++…. … … …2012s s s βααα=++一旦估计得到01,αα和2α，就可以计算得到0β，1β，…，s β。
事实上，把 2012i i i βααα=++代入方程（5.1）式，我们可以得到201202012000()s t t i ti s s s t i t i t i ti i i Y i i X X iX i X ααααεααααε-=---====++++=++++∑∑∑∑ （5.5）（5.5）式表明01,,ααα和2α可以由以t Y 为被解释变量，00s t i i Z X -==∑、10s t i i Z iX -==∑以及220s t i i Z i X -==∑为解释变量的回归估计得到。
这个方法由Almon （1965）提出并称为Almon 多项式法。
这里需要注意的是，应用该方法的问题是要选择s 和r ，即t X 的滞后项数和每个多项式的次数。
Davidson 和MacKinnon （1993）建议，以回归方程（5.1）式为基础，首先确定合理的最大滞后值s *，使之与理论保持一致，然后考察随着s *的下降，方程的拟合度是否会下降。
考察方程拟合度的一些可行标准包括：（i ）最大化2R ；（ii ）最小化AIC （Akaike, 1973），其中2/()(/)s T AIC s RSS T e=；或者(iii)最大化BIC ，其中/()(/)s T BIC s RSS T T =，RSS 代表残差平方和。
2R 、AIC 和BIC 会给予较高的s 值一个惩罚，从而避免自由度的过度损失。
多数回归软件如SHAZAM 、Eviews 和SAS 均提供上述统计值。
确定滞后长度s 值后，就可以进一步确定多项式的次数r 值。
首先选择一个较高的r 值并按照（5.5）构造变量Z 。
如果r =4是所选择的多项式最高次数，且4440s t i Z i X -==∑的系数4a 不显著，那么去除4Z ，并令3r =，重新运行回归，如果3Z 的系数显著，则停止该过程，否则进一步降低r 值，令2r =，再重新运行回归直至停止。
研究者通常施加终端约束在Almon 滞后模型上。
一个近终端约束是指（5.1）式中的10β-=。
这意味着在等式（5.5）中，这个终端约束对二次多项式中的α值产生一个约束：1012(1)0f βααα-=-=-+=。
这个约束使我们可以在给定12,αα条件下求出0a 。
事实上，构造012ααα=-代入（5.5）式，回归方程变为：110220()()t t Y Z Z Z Z αααε=+++-+ （5.6） 这样，一旦估计得到1a 和2a ，就可以计算0a ，从而可以计算i β。
这个约束实际上表明1t X +对t Y 无影响。
这可能并不是合理的假设，特别是在本章消费—收入的例子中，其中下一年的收入将进入到恒久收入或终身收入中。
当10s β+=时，一个更为合理的假设是远终端约束。
图5.2 具有终端约束的多项式滞后这意味着(1)t s X -+对t Y 无影响。
时间越早的变量，对当期的影响就越小。
我们要做的就是要回溯到足够早，以使其对当期的影响不显著。
这个远终端约束等同于把(1)t s X -+从等式中移走。
而一些学者把()i f i β=施加在这些约束上，例如1(1)0s f s β+=+=。
当2r =时产生下面的约束：2012(1)(1)0a s a s a ++++=。
解得0a 后代入（5.5）式，约束回归方程变为：2110220[(1)][(1)]t t Y Z s Z Z s Z αααε=+-++-++ （5.7） 我们也可以同时使用两个终端约束，把回归方程中要估计的三个a 值减少到一个。
通过使回归方程中不包含1t X +和(1)t s X -+，可施加约束110s ββ-+==。
然而，这个终端约束施加了一些额外的约束，即关于a 的多项式必须在1i =-和(1)i s =+时经过0，如图5.2所示。
这些额外的约束可能是错的。
换句话说，这个多项式可以与X 轴相交于其他点而不是-1或(1)s +。
施加这些约束，无论其是否是真的，都减少了估计量的方差，如果约束不是真的，则会产生偏倚。
这从直觉上就可以看出，因为这些约束提供了额外的信息，这些信息可以提高估计的可信度。
可以用均方误差标准来决定是否应施加这些限制，具体参见Wallace （1972）。
一般说来，我们在使用这些约束必须非常小心，它们有时看起来是不合理的或无效的，因此必须进行正式检验，具体参见Schmidt and Waud （1975）。
§5.2 无穷分布滞后模型5.2.1 柯依克（Koyck ）模型在§5.1节中，我们分析的是对t X 施加有限阶滞后。
一些滞后有时是无穷阶的，例如，几十年前对高速公路和道路的投资可能在今天仍然对GDP 有影响。
在这种情况下，我们把方程（5.1）式重新写成：1t i t i t i Y X αβε∞-==++∑， 1,2,...,t T = （5.8）用T 个观测值去估计无限个i β，唯一可行的方法是对i β施加更多结构。
首先，我们标准化这些i β值，也即令/i i ωββ=，其中0i i ββ∞==∑。
如果所有这些i β值有相同的符号，即与β的符号相同，且对所有的i 有01i ω≤≤和01i i ω∞==∑。
这意味着i ω可被视为概率值。
Koyck （1954）对i ω施加了几何滞后，也即，(1)i i ωλλ=-，0,1,...,i =∞。
把(1)i i i ββωβλλ==-代入（5.8）式，可得(1)i t t i t i Y X αβλλε∞-==+-+∑ （5.9）方程（5.9）式是Koyck 滞后的无穷滞后形式。
t X 的一单位变化对t Y 的短期影响为(1)βλ-；另一方面，t X 一单位变化对t Y 的长期影响为00i i i i ββωβ∞∞====∑∑。
Koyck 滞后结构暗示着随着时间推移，t X 的一单位变化对t Y 的影响逐渐降低。
例如，如果1/2λ=，那么0/2ββ=，1/4ββ=，2/8ββ=等等。
定义1t t LX X -=，作为滞后算子，我们有i t t i L X X -=，化简式（5.9）式，得到0(1)()(1)/(1)i t t ti t tY L X X L αβλλεαβλλε∞==+-+=+--+∑ （5.10）这里我们定义01/(1)i i c c ∞==-∑，把（5.10）式左右边都乘以(1)L λ-，可得 11(1)(1)t t t t t Y Y X λαλβλελε---=-+-+-即有11(1)(1)t t t t t Y Y X λαλβλελε--=+-+-+- （5.11） 这是无穷分布滞后的自回归形式，因为其把被解释变量t Y 的自回归项作为解释变量。