四年级高思奥数之排列组合含答案

人教版四年级下册思维训练排列组合问题(含答案)

4．种
【分析】由于4人中必须有一个人拍照，所以，每张照片只能有3人，可以看成有3个位置由这3人来站。由于要选一人拍照，也就是要从四个人中选1人照相，所以，问题就转化成从四个人中选3人，排在3个位置中的排列问题。
【详解】由排列数公式，共有：
（种）
答：共有24不同的拍照情况。
【点睛】也可以把照相的人看成一个位置，那么共可能有：种不同的拍照情况。
（1）恰有名女生入选；
（2）至少有两名女生入选；
（3）某两名女生，某两名男生必须入选；
（4）某两名女生，某两名男生不能同时入选；
（5）某两名女生，某两名男生最多入选两人。
10．现有男同学3人，女同学4人（女同学中有一人叫王红），从中选出男女同学各2人，分别参加数学、英语、音乐、美术四个兴趣小组：
（1）共有多少种选法？
【知识剖析】
排列公式：从m各不同的元素中取出n个（n≤m），并按照一定的顺序排成一列，其方法数叫做从m个不同元素中取出n个的排列数，记作，它的计算方法如下：
＝m×（m－1）×（m－2）×……×（m－n＋1）
生活中的许多问题其实就是排列问题。比如，你回家后，发现桌子上有牛奶糖、巧克力糖和水果糖各一颗，你会按照什么顺序来吃这三种糖？先吃哪个再吃哪个，有多少种方式？这其实就是一个排列问题。
运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题。解题过程是“先捆绑，再排列”。
2、插空法
“不邻问题”——插空法，即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。
运用插空法解决排列组合问题时，一定要注意插空位置包括先排好元素“中间空位”和“两端空位”。解题过程是“先排列，再插空”。

高斯小学奥数四年级下册含答案第09讲_排列组合公式

第九讲排列组合公式开篇漫画中，小高要想说对口诀还真不容易！我们学过乘法原理，口诀第一个字有6种说法，第二个字有5种说法，依此类推，口诀这六个字有654321720⨯⨯⨯⨯⨯=种排法．我们也可以这样理解：只有把口诀这六个字按照正确的顺序排列好，才能练成高思神掌．把六个字排成一列，就是我们这一讲要学习的排列．排列公式：从m 个不同的元素中取出n 个（n m ≤），并按照一定的顺序排成一列，其方法数叫做从m 个不同元素中取出n 个的排列数，记作nm A ，它的计算方法如下：比如，从1、2、3、4中挑两个数字组成一个两位数，十位上有1、2、3、4这4种选择，十位选定后，个位可以从剩下的三个数字中选，有3种选择．根据乘法原理可以知道，这样的两位数有4312⨯=个．我们也可以这样理解，要组成两位数相当于从1、2、3、4中挑两个数字排成一行，有244312A =⨯=种排法，所以这样的两位数有12个．关于排列数的计算，再给大家举几个例子：455432120A =⨯⨯⨯=（从5开始递减地连乘4个数）；38876336=⨯⨯=A （从8开始递减地连乘3个数）； 1100100=A （从100开始递减地连乘1个数）．例题1计算：（1）24A ；（2）410A ；（3）42663A A -⨯．「分析」直接用公式计算，主要要从几开始乘，连乘几个数．练习1计算：（1）37A ；（2）3255A A -．生活中的许多问题其实就是排列问题．例如，你回家后，发现桌上有牛奶糖、巧克力和水果糖各一颗，你会按照什么顺序来吃这三种糖？先吃哪个再吃哪个，有多少种方式呢？这其实就是一个排列问题．nm A例题2小高、墨莫、卡莉娅和宣萱四个人到野外郊游，其中三个人站成一排，另外一个人拍照，请问：一共会有多少张不同的照片？「分析」本题要站成一排，顺序有没有影响？“小墨卡”和“墨卡小”表示的是同一张还是两张不同的照片？练习2有5面不同颜色的小旗，任取3面排成一行表示一种信号，一共可以表示出多少种不同的信号？与排列问题相对，生活中也存在着许多不需要排序的问题．例如，开运动会了，老师要选出一部分同学组成拉拉队，那么从全班同学中选出的这部分人有多少种可能呢？从全班同学中选出的这部分人，并不需要进行排序，这其实就是一个组合问题．比如，要从1、2、3、4中挑两个不同的数，这时挑出1、2与挑出2、1都是一样的，挑出1、3与挑出3、1也是一样的．换句话说，能组成的两位数有24A 个，但每两个数字可以对应222A =个两位数，在这里只算作同一种挑法．因此，只是从1、2、3、4中挑两个数而不考虑顺序，有22421226A A ÷=÷=种方法．这就是组合公式的来由．组合公式：从m 个不同元素中取出n 个（n m ≤）作为一组（不计顺序），可选择的方法数叫做从m 个不同元素中取出n 个不同的组合数，记作nm C ，它的计算方法如下：()()[11]……=÷=⨯-⨯⨯-+÷n n n nm m n n C A A m m m n A ．给大家举几个例子：从5个不同的元素中取出2个作为一组，有()()222552542110C A A =÷=⨯÷⨯=种不同的方法；从5个不同的元素中取出3个作为一组，有()()33355354332110C A A =÷=⨯⨯÷⨯⨯=种不同的方法．例题3计算：（1）35C ；（2）3210102C C -⨯；（3）45C ，15C ；（4）710C ，310C ．「分析」直接用公式计算，注意公式里每个数字的含义．练习3计算：（1）38C ；（2）32752C C ⨯-；（3）810C ．例题4墨爷爷把10张不同的游戏卡分给墨莫和小高，并且决定给墨莫7张，给小高3张，一共有多少种不同的分法？「分析」从10张中取出7张给墨莫，这7张的顺序是否有影响呢？应该是排列数还是组合数呢？练习4阿呆和阿瓜一起去图书馆借童话小说，发现书架上只剩下6本不同的书，于是每人借了3本，那么他们一共有多少种不同的借法？例题5从1~5这5个数字中选出4个数字（不能重复）组成四位数，共能组成多少个不同的四位数？千位是1的四位数有多少个？其中比3000小的有多少个？「分析」组4位数，其实是要从5个数字中选4个排成一排，如果用排列进行计算？千位是多少的数肯定比3000小？例题6有3个人去图书馆借漫画书，发现书架上只剩下8本不同的书．于是有1个人借了2本书，另外2个人每人借了3本书，那么他们一共有多少种不同的借法？「分析」我们不妨分步考虑：先让1个人借2本，然后再让1个人借3本，最后一个人借剩下的3本，那么一共有多少种情况呢？每一步改用排列还是组合呢？课堂内外古典小说中的排列组合一般认为，中国古代社会科学发达，而自然科学和数学则相对落后．不过说中国古代数学落后，也不尽然，像数学中的“排列组合学”就发达得很，甚至渗透到社会各个层面．譬如，古人很早就总结出四象、五行、八卦、十天干、十二地支、十二生肖等等，没有高明的排列组合知识，怎能将这些东西捏在一起？在日常生活中，尤其是饭局上，主座、客座、主陪、副陪等的座位都是不能乱坐一气的，让那些习惯了圆桌会议的外国友人头疼不已．在中国古典小说中，这种“排列组合学”也是随处可见．在《三国演义》中，这种数学还不甚发达．也就是说刘备阵营有五虎大将，曹营有四大谋士等等．不过民间倒是对演义里的战将武功有一个排名．“一吕二赵三典韦，四关五马六张飞，七许八夏九姜维”．没办法，国人就是对这种排列组合异常着迷．在许多历史和公案小说中，这种数学到了令人眼花缭乱的地步．小说《隋唐演义》在这方面可以说是登峰造极．由于版本众多，各种说法也是热闹纷纭得很，大致有“一王三绝四猛十三杰十八条好汉”这样一个“超强战斗序列”．除了这样的武功排名的排列组合，在古典小说中还有其他的样式．像《封神演义》第九十九回中，姜子牙一下子封了三百六十五位正神，计有三山五岳、雷火瘟三部、五斗星恶煞、二十八宿、九曜星官、四圣元帅、四大天王等等，将一个天上一个地下给安排得滴水不漏、井井有条，却惟独忘了给自己留个位置．《西游记》中也有“七十二般变化”、“三十六般变化”、“九九八十一难”，看来吴承恩老先生的乘法表学得不错，值得表扬．《红楼梦》里则有四大家族、金陵十二钗、副钗、又副钗等等，也是洋洋大观．作业1. 计算：（1）25A ；（2）5277A A -．2.计算：（1）27C ；（2）228632C C ⨯-⨯；（3）33310310C A A ⨯-． 3.海军舰艇之间经常用旗语来互相联络，方式是这样的：在旗杆上从上至下升起3面颜色不同的旗帜，每一种排列方式就代表一个常用信号，如果共有6种不同颜色的旗帜，那么可以组成多少种不同的信号？4.要从海淀区少年游泳队的8名队员中挑选3名参加全国的游泳比赛，有多少种不同的选法？5．从3、4、5、6、7这5个数字中选出3个数字（不能重复）组成三位数，共能组成多少个不同的三位数？635是从小到大的第几个数？第九讲排列组合公式1. 例题1答案：12；5040；270详解：（1）244312A =⨯=；（2）410109875040A =⨯⨯⨯=；（3）()42663654336565341270A A -⨯=⨯⨯⨯-⨯⨯=⨯⨯⨯-=． 2. 例题2答案：24详解：从4个人中选3人出来排列，2443224A =⨯⨯=． 3. 例题3答案：10；30；5，5；120，120详解：（1）()3554332110C =⨯⨯÷⨯⨯=；（2）()()3210102109832121092130C C -⨯=⨯⨯÷⨯⨯-⨯⨯÷⨯=；（3）()41555432432155C C =⨯⨯⨯÷⨯⨯⨯==，；（4）()710109876547654321120C =⨯⨯⨯⨯⨯⨯÷⨯⨯⨯⨯⨯⨯=， ()3101098321120C =⨯⨯÷⨯⨯= 4. 例题4答案：120详解：()733310310310983211120C C C C ⨯=⨯=⨯⨯÷⨯⨯⨯=种分法．5. 例题5答案：120；24；48详解：（1）455432120A =⨯⨯⨯=；（2）3443224A =⨯⨯=；（3）比3000小的有1开头和2开头的，1千多的数和2千多的数一样多，共有342243248A ⨯=⨯⨯⨯=．6. 例题6 答案：560详解：()()23386387216543211560C C C ⨯⨯=⨯÷⨯⨯⨯⨯÷⨯⨯⨯=种．7. 练习1答案：210；40简答：（1）37765210A =⨯⨯=；（2）32555435440A A -=⨯⨯-⨯=．8. 练习2答案：60简答：3554360A =⨯⨯=．9. 练习3答案：56；60；45简答：．（1）()3887632156C =⨯⨯÷⨯⨯=；（2）()()327522765321542160C C ⨯-=⨯⨯⨯÷⨯⨯-⨯÷⨯=；（3） ()8210101092145C C ==⨯÷⨯=．10. 练习4答案：20简答：()3363654321120C C ⨯=⨯⨯÷⨯⨯⨯=种．11. 作业1答案：20；2478简答：（1）255420=⨯=A ；（2）527776543762478-=⨯⨯⨯⨯-⨯=A A ．12. 作业2答案：21；54；0简答：（1）()()27762121=⨯÷⨯=C ；（2）()()()()228632387212652154⨯-⨯=⨯⨯÷⨯-⨯⨯÷⨯=C C ；（3）()()()33310310109832132110980⨯-=⨯⨯÷⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=C A A ．13. 作业3答案：120简答：从6面不同颜色的旗帜中选3面排成一排，共有36654120=⨯⨯=A 种方法．14. 作业4答案：56简答：从8人中选出3人，不需要排序，共有()()3887632156=⨯⨯÷⨯⨯=C 种方法．15. 作业5答案：60；38简答：从5个不同的数字中选3个组三位数，即排成一排，共有3554360=⨯⨯=A 种；在所有比635小的数中，百位是3的有244312=⨯=A 个，百位是4的有12个，百位是5的有12个，百位是6的有1个，所以从小到大数，635是第38个．。

四年级奥数-排列组合

排列组合排列组合问题是必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例 1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D .2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是A 、1440种B 、3600种C 、4820种D 、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B . 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例 3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B . 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B .5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C =种，选C .（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有A 、4441284C C C 种B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种答案：A .6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成3组有24C 种方法，再把三组学生分配到三所学校有33A 种，故共有234336C A =种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为A 、480种B 、240种C 、120种D 、96种答案：B .7.名额分配问题隔板法:例7.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C =种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况： ①若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种.9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9.（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种解析：按题意，个位数字只可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有55A 、113433A A A 、113333A A A 、113233A A A 和1333A A 个，合并总计300个,选B .（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A =共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100I A =ð共有86个元素；由此可知，从A 中任取2个元素的取法有214C ，从A 中任取一个，又从I A ð中任取一个共有111486C C ，两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种. （3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？解析：将{}1,2,3,100I =分成四个不相交的子集，能被4整除的数集{}4,8,12,100A =；能被4除余1的数集{}1,5,9,97B =，能被4除余2的数集{}2,6,,98C =，能被4除余3的数集{}3,7,11,99D =，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A 中任取两个数符合要；从,B D 中各取一个数也符合要求；从C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种.10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B =+-.例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种. 11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。

高斯小学奥数四年级下册含答案第10讲_排列组合应用

第十讲排列组合应用上一讲学习了基本的排列组合公式，本讲主要解决一些实际问题．在解决实际问题时，先要判断出顺序对于问题的结果有没有影响，再考虑应该用排列还是组合来进行计算．排列和组合的区分在这一讲是我们学习的难点和重点．接下来我们通过一些生活中的例子，进一步来体会一下排列和组合的区别．例题19支球队进行足球比赛：（1）如果实行单循环制，即每两队之间恰好比赛一场．每场比赛后，胜方得3分，负方不得分，平局双方各得1分，那么一共要举行多少场比赛？9支队伍的得分总和最多为多少？（2）如果实行双循环制，即每两队之间分主、客场．那么一共要举行多少场比赛？「分析」每场比赛有两支队伍参加，现在要从几支队伍里挑呢？挑的时候这两支队伍有没有顺序？每场比赛中，两支队伍获得的分数之和最多是多少呢？练习1棋王争霸赛在8名选手间展开：（1）如果实行单循环赛制，共要进行多少场比赛？（2）如果实行双循环赛制，共要进行多少场比赛？例题2围棋兴趣小组一共有8名同学，请问：（1）如果从中选3名同学在第二天的早上、中午、晚上分别做值日，共有多少种选法？（2）如果从中选出3名同学去参加一次全市比赛，共有多少种选法？「分析」同样都是选出3个人，这两个问题之间有什么区别？练习2一次厨艺大赛中，主办方给定的菜谱中有7道菜，请问：（1）如果要求从这7道菜中选做2道菜，共有多少种不同的选法？（2）如果要求从这7道菜中选做1道作为主菜，另外1道作为副菜，共有多少种不同的选法？从公式：n n n m m n C A A =÷，可以看出：n n nm m n A C A =⨯，所以计算从m 个元素中选出n 个元素的排列数时也可以分成两步：先计算从m 个元素中选出n 个元素的组合数，再计算这n 个元素的排列数即可．接下来我们通过例题看看排列与组合之间有什么联系．例题3王老师带着小高、卡莉娅、萱萱一行四人去参加一次聚会，主持人要求每个人领取一个彩球，这些球的颜色各不相同，共有12个．（1）小高是第一个取球的人，他一共选出了4个球，准备回头分给大家，那么一共有多少种选法？（2）小高回到座位后，把这4个球分给大家，一共有多少种分法？（3）最后他们四人手中拿到的球一共有多少种可能？「分析」（1）、（2）恰好是（3）的两个步骤，所以不难通过（1）、（2）的结果来计算（3）．（1）、（2）应该按照排列来算还是按照组合来算呢？能不能跳过（1）、（2）直接计算（3）呢？练习3先从10名同学中选出3人作为班委，再在这3人中确定出班长、学习委员和生活委员（一人只能担任一个职位），共有多少种不同的可能？例题4周末大扫除，老师要从10名男生和10名女生中选出5名留下打扫卫生．（1）如果随意选择，一共有多少种选择方法？（2）如果老师决定选出2名男生和3名女生，一共有多少种选择方法？「分析」（1）是从几名同学出选5名？（2）选2名男生有几种选法？选3名女生有几种选法？练习4老师要从9名男生和7名女生中挑出4人参加数学竞赛，共有多少种不同的选择方法？如果4人中要求有3名男生、1名女生呢？接下来我们学习圆周排列．从m 个不同的元素中取出n 个（ n m ）元素，并按照一定的顺序排成一个圆周，就是圆周排列．圆周排列与排列的不同之处在于圆周排列是首尾相邻的，旋转后相同的排法视为一种排法．如下图，1、2、3的三种排列：123、231、312，在圆周排列中都是一个排列；另外三种排列：132、321、213，在圆周排列中也是一个排列，而且这两个圆周排列是不同的．例题5从7个人中选出5个人围着圆桌坐成一圈，有多少种不同的坐法?「分析」从7个人中选出5个人的圆周排列，还能按照直线上的排列57A 种方法来计算吗？在我们组合问题里面，选取出来的和没有选取出来的两个部分之间是否有区别和顺序呢？例题6（1）6个人分成A 、B 两队拔河，要求这两队都是3个人，一共有多少种分队的方法？（2）6个人分成两队拔河，要求每个队都是3个人，一共有多少种分队的方法？「分析」这两个问题都是要分成两个队，每个队3个人，有什么区别吗？课堂内外杨辉三角刘杨辉三角形，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．端点数为1的杨辉三角具有如下几个性质：（1）每个数等于它上方两数之和；（2）每行数字左右对称，由1开始逐渐变大；（3）第n 行的数字有n 项；（4）第n 行数字和为()21n -；（5）第n 行的第m 个数和第-n m 个数相等，即m n m n n C C -=这是组合数性质之一；（6）每个数字等于上一行的左右两个数字之和．可用此性质写出整个杨辉三角．即第n +1行的第i 个数等于第n 行的第i -1个数和第i 个数之和，即11i i i n n n C C C -+=+这也是组合数的性质之一；（7）第n 行的m 个数课表示为1m n C -，即为从n 个不同元素中取1m -个元素的组合数．作业1.某班毕业生中有10名同学相见了，他们互相都握了一次手，请问这次聚会大家一共握了多少次手？2. 要从15名士兵中选出2名分别担任正、副班长，共有多少种不同的选法？3. 先从10名同学中选出3人作为班委，再在这3人中确定出班长、学习委员和生活委员（一人只能担任一个职位），共多少种不同的可能？4. 卡莉娅走进一家商店要买些新衣服，现在从她看中的5件上衣和4条裤子中选出3件上衣和2条裤子，一共有多少种选法？5．6个人围坐在一张圆桌旁，有多少种坐法？第十讲排列组合应用1. 例题1答案：36场，108分；72场详解：区分单循环制和双循环制，（1）单循环是9支球队中选取2支队伍即可，2支队伍不需要排序，是组合问题，即()29982136C =⨯÷⨯=场比赛．如果是分出胜负的则一场比赛会得3分，如果不分胜负则一场比赛会得2分，所以如果要让得分最多，那么36场都应该是分出胜负的，即363108⨯=分．（2）双循环制是9支球队中选取2支队伍后要排序，分主客场的，是排列问题，即299872A =⨯=场比赛．也可以根据第一问36272⨯=场比赛得到，因为单循环制的时候两支队伍比赛一场，而双循环是比赛两场，所以是2倍的关系． 2. 例题2答案：336；56详解：（1）从8名同学中选3名同学在早上、中午、晚上做值日，那么选出的这三人改变顺序为不同种选法，为排列问题，38876336A =⨯⨯=种选法．（2）从8名同学中选3人参加比赛，改变这三人的顺序任为一种选法，为组合问题，()3887632156C =⨯⨯÷⨯⨯=种选法． 3. 例题3答案：495种；24种；11880种详解：（1）只需要从12个不同的球中选出来4个，不需要排列，是组合问题，即()41212111094321495C =⨯⨯⨯÷⨯⨯⨯=种选法；（2）把4个球分给大家，这四个球会分给不同的人，所以需要排序，是组合问题，即44432124A =⨯⨯⨯=种分法；（3）其实这一问就是按照上面的两个步骤完成后的方法数，分步是用乘法原理，即441244952411880C A ⨯=⨯=种可能；另外一种做法就是从12个球中选出来4个，排列即排列问题，即412121*********A =⨯⨯⨯=种可能．4. 例题4答案：15540种；5400种详解：（1）随意选择，即从所有人中随便选出来5个人即可，()52020191817165432115504C =⨯⨯⨯⨯÷⨯⨯⨯⨯=种选择方法；（2）首先从10名男生中选取2名男生，再从10名女生中选取3名女生，这是一个分步的过程，所以一共有()()2310101092110983215400C C ⨯=⨯÷⨯⨯⨯⨯÷⨯⨯=种选择方法．5. 例题5答案：504种详解：圆桌问题的两种做法，第一种：7个人中选出来5个人按照一定顺序去排列，这是一个排列问题，即57A ；圆桌是可以旋转的，如果这5个人的顺序是ABCDE 、BCDEA 、CDEAB 、DEABC 、EABCD 这五种排序的方法其实都是一种坐法，所以一共有575504A ÷=种不同的坐法；第二种：先从7个人中选出5个人，有5721C =种方法，再把选出的5个人排在圆桌上，有55524A ÷=种方法，一共有2124504⨯=种方法．6. 例题6答案：20种；10种详解：（1）从6个人中选择3个人，即()3665432120C =⨯⨯÷⨯⨯=种选法，此时已经将两个队伍排序，所以一共有20种分队的方法；（2）从6个人中选择3个人，此时两个队伍是有区别的，可是此题两队没有区别，所以是36210C ÷=种分队的方法．7. 练习1答案：28场；56场简答：（1）单循环是8名选手中选取2名选手即可，2名选手不需要排序，是组合问题，即()28872128C =⨯÷⨯=场比赛．（2）双循环制是8名选手中选取2名选手后要排序，分主客选手，是排列问题，即288756A =⨯=场比赛．也可以根据第一问28256⨯=场比赛得到，因为单循环制的时候两名选手中比赛一场，而双循环是比赛两场，所以是2倍的关系．8. 练习2答案：21种；42种简答：（1）()27762121C =⨯÷⨯=种选法．（2）277642A =⨯=种选法．9. 练习3答案：720种简答：两种方法，第一种：先从10个人选出3个人不排序，即310C ，接下来给这三个人排序，即33A ，这是一个分步的过程，所以共有33103720C A ⨯=种不同的可能；第二种：从10个人中选出3个人，需要排序，即排列问题，310720A =种不同的可能．10. 练习4答案：1820种；588种简答：（1）随意选择，即从所有人中随便选出来4人即可，()4161615141343211820C =⨯⨯⨯÷⨯⨯⨯=种选择方法；（2）首先从9男生中选取3男生，再从7女生中选取1女生，这是一个分步的过程，所以一共有3197588C C ⨯=种选择方法．11. 作业1答案：45简答：从10人中任选2人就会有一次握手，共有()210109245=⨯÷=C 次握手．12. 作业2答案：210 简答：从15人中选出2人，分别担任正、副班长，共有2151514210=⨯=A 种方法．13. 作业3答案：720 简答：333103101098720⨯==⨯⨯=C A A 种方法．14. 作业4答案：60简答：从5件上衣中选3件，有()()3554332110=⨯⨯÷⨯⨯=C 种方法；从4条裤子中选2条，有()()2443216=⨯÷⨯=C 种方法；所以共有10660⨯=种选法．15. 作业5答案：120简答：先有1人坐定，剩下的5个人随便排：5554321120=⨯⨯⨯⨯=A 种坐法．。

四年级奥数排列组合题及答案

四年级奥数排列组合题及答案四年级奥数排列组合题及答案1.排列、组合等问题从6幅国画，4幅油画，2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种选法?解答：6×4=24种6×2=12种4×2=8种24+12+8=44种【小结】首先考虑从国画、油画、水彩画这三种画中选取两幅不同类型的画有三种情况，即可分三类，自然考虑到加法原理。

当从国画、油画各选一幅有多少种选法时，利用的乘法原理。

由此可知这是一道利用两个原理的综合题。

关键是正确把握原理。

符合要求的选法可分三类：设第一类为：国画、油画各一幅，可以想像成，第一步先在6张国画中选1张，第二步再在4张油画中选1张。

由乘法原理有6×4=24种选法。

第二类为：国画、水彩画各一幅，由乘法原理有6×2=12种选法。

第三类为：油画、水彩画各一幅，由乘法原理有4×2=8种选法。

这三类是各自独立发生互不相干进行的。

因此，依加法原理，选取两幅不同类型的画布置教室的选法有24+12+8=44种。

2.排列组合从1到100的所有自然数中，不含有数字4的.自然数有多少个?解答：从1到100的所有自然数可分为三大类，即一位数，两位数，三位数.一位数中，不含4的有8个，它们是1、2、3、5、6、7、8、9;两位数中，不含4的可以这样考虑：十位上，不含4的有l、2、3、5、6、7、8、9这八种情况.个位上，不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9这九种情况，要确定一个两位数，可以先取十位数，再取个位数，应用乘法原理，这时共有8×9=72个数不含4.三位数只有100.所以一共有8+8×9+1=81个不含4的自然数.。

【思维拓展】数学四年级思维拓展之排列组合的综合应用(附答案)

四年级奥数：排列组合的综合应用1.有3封不同的信，投入4个邮筒，一共有多少种不同的投法？2.甲、乙两人打乒乓球，谁先连胜头两局，则谁赢.如果没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止，问有多少种可能情况？3.在6名女同学，5名男同学中，选4名女同学，3名男同学，男女相间站成一排，问共有多少种排法？4.用0、1、2、3、4、5、6这七个数字可组成多少个比300000大的无重复数字的六位偶数？5.有两个小盒子，第一个盒子中有标有数字1，2，3，…，10的十张卡片，第二个盒子中有标有11，12，13，…，20的十张卡片.若从两个盒子中各拿出一张卡片相加，一共可列出多少种不同的加法式子？6.如下图：在摆成棋盘眼形的20个点中，选不在同一直线上的三点作出以它们为顶点的三角形，问总共能作多少个三角形？7.有十张币值分别为1分、2分、5分、1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元的人民币，能组成多少种不同的币值？并请研究是否可组成最小币值1分与最大币值（总和）之间的所有可能的币值.8．从19，20，21，…，97，98，99这81个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法总数是多少？9.现有五元人民币2张，十元人民币8张，一百元人民币3张，用这些人民币可以组成多少种不同的币值？参考答案1.若投一封信看作一个步骤，则完成投信的任务可分三步，每封信4个邮筒都可投，即每个步骤都有4种方法.故由乘法原理：共有不同的投法4×4×4=64种.2.甲（或乙）胜就写一个甲（或乙）字，画树形图：由图可见共有14种可能.甲甲、甲乙甲甲、甲乙甲乙甲、甲乙甲乙乙、甲乙乙甲甲、甲乙乙甲乙、甲乙乙乙、乙甲甲甲、乙甲甲乙甲、乙甲甲乙乙、乙甲乙甲甲、乙甲乙甲乙、乙甲乙乙、乙乙.3.现有4名女同学，3名男同学，男女相间站成一排，则站在两端的都是女同学.将位置从右到左编号，第1、3、5、7号位是女同学，第2、4、6号位是男同学.于是完成适合题意的排列可分两步：第一步：从6名女同学中任选4名排在第1、3、5、7号位.有P46种排法.第二步：从5名男同学中任选3名排在第2、4、6号位，有P35种排法.因此，由乘法原理排出不同队形数为P46·P35=6×5×4×3×5×4×3=21600.4.图示：分两类：第一类：十万位上是3或5之一的六位偶数有P12·P14·P45个.第二类：十万位上是4或6之一的六位偶数有P12·P13·P45个.∴P12P14P45+P12P13P45=1680.5.200种第一个盒子中的每一张卡片都可以与第二个盒子中的十张卡片组成20种加法式子（包括被加数与加数交换位置，例如将1＋11与11＋1看成为两个加法式子），而第一个盒子中共有十张卡片，则由乘法原理，共10×20＝200种不同的加法式子。

高斯小学奥数四年级下册含答案第09讲_排列组合公式

第九讲排列组合公式开篇漫画中，小高要想说对口诀还真不容易！我们学过乘法原理，口诀第一个字有6种说法，第二个字有5种说法，依此类推，口诀这六个字有654321720⨯⨯⨯⨯⨯=种排法．我们也可以这样理解：只有把口诀这六个字按照正确的顺序排列好，才能练成高思神掌．把六个字排成一列，就是我们这一讲要学习的排列．排列公式：从m 个不同的元素中取出n 个（n m ≤），并按照一定的顺序排成一列，其方法数叫做从m 个不同元素中取出n 个的排列数，记作nm A ，它的计算方法如下：比如，从1、2、3、4中挑两个数字组成一个两位数，十位上有1、2、3、4这4种选择，十位选定后，个位可以从剩下的三个数字中选，有3种选择．根据乘法原理可以知道，这样的两位数有4312⨯=个．我们也可以这样理解，要组成两位数相当于从1、2、3、4中挑两个数字排成一行，有244312A =⨯=种排法，所以这样的两位数有12个．关于排列数的计算，再给大家举几个例子：455432120A =⨯⨯⨯=（从5开始递减地连乘4个数）；38876336=⨯⨯=A （从8开始递减地连乘3个数）； 1100100=A （从100开始递减地连乘1个数）．例题1计算：（1）24A ；（2）410A ；（3）42663A A -⨯．「分析」直接用公式计算，主要要从几开始乘，连乘几个数．练习1计算：（1）37A ；（2）3255A A -．生活中的许多问题其实就是排列问题．例如，你回家后，发现桌上有牛奶糖、巧克力和水果糖各一颗，你会按照什么顺序来吃这三种糖？先吃哪个再吃哪个，有多少种方式呢？这其实就是一个排列问题．nm A例题2小高、墨莫、卡莉娅和宣萱四个人到野外郊游，其中三个人站成一排，另外一个人拍照，请问：一共会有多少张不同的照片？「分析」本题要站成一排，顺序有没有影响？“小墨卡”和“墨卡小”表示的是同一张还是两张不同的照片？练习2有5面不同颜色的小旗，任取3面排成一行表示一种信号，一共可以表示出多少种不同的信号？与排列问题相对，生活中也存在着许多不需要排序的问题．例如，开运动会了，老师要选出一部分同学组成拉拉队，那么从全班同学中选出的这部分人有多少种可能呢？从全班同学中选出的这部分人，并不需要进行排序，这其实就是一个组合问题．比如，要从1、2、3、4中挑两个不同的数，这时挑出1、2与挑出2、1都是一样的，挑出1、3与挑出3、1也是一样的．换句话说，能组成的两位数有24A 个，但每两个数字可以对应222A =个两位数，在这里只算作同一种挑法．因此，只是从1、2、3、4中挑两个数而不考虑顺序，有22421226A A ÷=÷=种方法．这就是组合公式的来由．组合公式：从m 个不同元素中取出n 个（n m ≤）作为一组（不计顺序），可选择的方法数叫做从m 个不同元素中取出n 个不同的组合数，记作nm C ，它的计算方法如下：()()[11]……=÷=⨯-⨯⨯-+÷n n n nm m n n C A A m m m n A ．给大家举几个例子：从5个不同的元素中取出2个作为一组，有()()222552542110C A A =÷=⨯÷⨯=种不同的方法；从5个不同的元素中取出3个作为一组，有()()33355354332110C A A =÷=⨯⨯÷⨯⨯=种不同的方法．例题3计算：（1）35C ；（2）3210102C C -⨯；（3）45C ，15C ；（4）710C ，310C ．「分析」直接用公式计算，注意公式里每个数字的含义．练习3计算：（1）38C ；（2）32752C C ⨯-；（3）810C ．例题4墨爷爷把10张不同的游戏卡分给墨莫和小高，并且决定给墨莫7张，给小高3张，一共有多少种不同的分法？「分析」从10张中取出7张给墨莫，这7张的顺序是否有影响呢？应该是排列数还是组合数呢？练习4阿呆和阿瓜一起去图书馆借童话小说，发现书架上只剩下6本不同的书，于是每人借了3本，那么他们一共有多少种不同的借法？例题5从1~5这5个数字中选出4个数字（不能重复）组成四位数，共能组成多少个不同的四位数？千位是1的四位数有多少个？其中比3000小的有多少个？「分析」组4位数，其实是要从5个数字中选4个排成一排，如果用排列进行计算？千位是多少的数肯定比3000小？例题6有3个人去图书馆借漫画书，发现书架上只剩下8本不同的书．于是有1个人借了2本书，另外2个人每人借了3本书，那么他们一共有多少种不同的借法？「分析」我们不妨分步考虑：先让1个人借2本，然后再让1个人借3本，最后一个人借剩下的3本，那么一共有多少种情况呢？每一步改用排列还是组合呢？课堂内外古典小说中的排列组合一般认为，中国古代社会科学发达，而自然科学和数学则相对落后．不过说中国古代数学落后，也不尽然，像数学中的“排列组合学”就发达得很，甚至渗透到社会各个层面．譬如，古人很早就总结出四象、五行、八卦、十天干、十二地支、十二生肖等等，没有高明的排列组合知识，怎能将这些东西捏在一起？在日常生活中，尤其是饭局上，主座、客座、主陪、副陪等的座位都是不能乱坐一气的，让那些习惯了圆桌会议的外国友人头疼不已．在中国古典小说中，这种“排列组合学”也是随处可见．在《三国演义》中，这种数学还不甚发达．也就是说刘备阵营有五虎大将，曹营有四大谋士等等．不过民间倒是对演义里的战将武功有一个排名．“一吕二赵三典韦，四关五马六张飞，七许八夏九姜维”．没办法，国人就是对这种排列组合异常着迷．在许多历史和公案小说中，这种数学到了令人眼花缭乱的地步．小说《隋唐演义》在这方面可以说是登峰造极．由于版本众多，各种说法也是热闹纷纭得很，大致有“一王三绝四猛十三杰十八条好汉”这样一个“超强战斗序列”．除了这样的武功排名的排列组合，在古典小说中还有其他的样式．像《封神演义》第九十九回中，姜子牙一下子封了三百六十五位正神，计有三山五岳、雷火瘟三部、五斗星恶煞、二十八宿、九曜星官、四圣元帅、四大天王等等，将一个天上一个地下给安排得滴水不漏、井井有条，却惟独忘了给自己留个位置．《西游记》中也有“七十二般变化”、“三十六般变化”、“九九八十一难”，看来吴承恩老先生的乘法表学得不错，值得表扬．《红楼梦》里则有四大家族、金陵十二钗、副钗、又副钗等等，也是洋洋大观．作业1. 计算：（1）25A ；（2）5277A A -．2.计算：（1）27C ；（2）228632C C ⨯-⨯；（3）33310310C A A ⨯-． 3.海军舰艇之间经常用旗语来互相联络，方式是这样的：在旗杆上从上至下升起3面颜色不同的旗帜，每一种排列方式就代表一个常用信号，如果共有6种不同颜色的旗帜，那么可以组成多少种不同的信号？4.要从海淀区少年游泳队的8名队员中挑选3名参加全国的游泳比赛，有多少种不同的选法？5．从3、4、5、6、7这5个数字中选出3个数字（不能重复）组成三位数，共能组成多少个不同的三位数？635是从小到大的第几个数？第九讲排列组合公式1. 例题1答案：12；5040；270详解：（1）244312A =⨯=；（2）410109875040A =⨯⨯⨯=；（3）()42663654336565341270A A -⨯=⨯⨯⨯-⨯⨯=⨯⨯⨯-=． 2. 例题2答案：24详解：从4个人中选3人出来排列，2443224A =⨯⨯=． 3. 例题3答案：10；30；5，5；120，120详解：（1）()3554332110C =⨯⨯÷⨯⨯=；（2）()()3210102109832121092130C C -⨯=⨯⨯÷⨯⨯-⨯⨯÷⨯=；（3）()41555432432155C C =⨯⨯⨯÷⨯⨯⨯==，；（4）()710109876547654321120C =⨯⨯⨯⨯⨯⨯÷⨯⨯⨯⨯⨯⨯=， ()3101098321120C =⨯⨯÷⨯⨯= 4. 例题4答案：120详解：()733310310310983211120C C C C ⨯=⨯=⨯⨯÷⨯⨯⨯=种分法．5. 例题5答案：120；24；48详解：（1）455432120A =⨯⨯⨯=；（2）3443224A =⨯⨯=；（3）比3000小的有1开头和2开头的，1千多的数和2千多的数一样多，共有342243248A ⨯=⨯⨯⨯=．6. 例题6 答案：560详解：()()23386387216543211560C C C ⨯⨯=⨯÷⨯⨯⨯⨯÷⨯⨯⨯=种．7. 练习1答案：210；40简答：（1）37765210A =⨯⨯=；（2）32555435440A A -=⨯⨯-⨯=．8. 练习2答案：60简答：3554360A =⨯⨯=．9. 练习3答案：56；60；45简答：．（1）()3887632156C =⨯⨯÷⨯⨯=；（2）()()327522765321542160C C ⨯-=⨯⨯⨯÷⨯⨯-⨯÷⨯=；（3） ()8210101092145C C ==⨯÷⨯=．10. 练习4答案：20简答：()3363654321120C C ⨯=⨯⨯÷⨯⨯⨯=种．11. 作业1答案：20；2478简答：（1）255420=⨯=A ；（2）527776543762478-=⨯⨯⨯⨯-⨯=A A ．12. 作业2答案：21；54；0简答：（1）()()27762121=⨯÷⨯=C ；（2）()()()()228632387212652154⨯-⨯=⨯⨯÷⨯-⨯⨯÷⨯=C C ；（3）()()()33310310109832132110980⨯-=⨯⨯÷⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=C A A ．13. 作业3答案：120简答：从6面不同颜色的旗帜中选3面排成一排，共有36654120=⨯⨯=A 种方法．14. 作业4答案：56简答：从8人中选出3人，不需要排序，共有()()3887632156=⨯⨯÷⨯⨯=C 种方法．15. 作业5答案：60；38简答：从5个不同的数字中选3个组三位数，即排成一排，共有3554360=⨯⨯=A 种；在所有比635小的数中，百位是3的有244312=⨯=A 个，百位是4的有12个，百位是5的有12个，百位是6的有1个，所以从小到大数，635是第38个．。

高斯小学奥数四年级下册含答案第10讲_排列组合应用

第十讲排列组合应用上一讲学习了基本的排列组合公式，本讲主要解决一些实际问题．在解决实际问题时，先要判断出顺序对于问题的结果有没有影响，再考虑应该用排列还是组合来进行计算．排列和组合的区分在这一讲是我们学习的难点和重点．接下来我们通过一些生活中的例子，进一步来体会一下排列和组合的区别．例题19支球队进行足球比赛：（1）如果实行单循环制，即每两队之间恰好比赛一场．每场比赛后，胜方得3分，负方不得分，平局双方各得1分，那么一共要举行多少场比赛？9支队伍的得分总和最多为多少？（2）如果实行双循环制，即每两队之间分主、客场．那么一共要举行多少场比赛？「分析」每场比赛有两支队伍参加，现在要从几支队伍里挑呢？挑的时候这两支队伍有没有顺序？每场比赛中，两支队伍获得的分数之和最多是多少呢？练习1棋王争霸赛在8名选手间展开：（1）如果实行单循环赛制，共要进行多少场比赛？（2）如果实行双循环赛制，共要进行多少场比赛？例题2围棋兴趣小组一共有8名同学，请问：（1）如果从中选3名同学在第二天的早上、中午、晚上分别做值日，共有多少种选法？（2）如果从中选出3名同学去参加一次全市比赛，共有多少种选法？「分析」同样都是选出3个人，这两个问题之间有什么区别？练习2一次厨艺大赛中，主办方给定的菜谱中有7道菜，请问：（1）如果要求从这7道菜中选做2道菜，共有多少种不同的选法？（2）如果要求从这7道菜中选做1道作为主菜，另外1道作为副菜，共有多少种不同的选法？从公式：n n n m m n C A A =÷，可以看出：n n nm m n A C A =⨯，所以计算从m 个元素中选出n 个元素的排列数时也可以分成两步：先计算从m 个元素中选出n 个元素的组合数，再计算这n 个元素的排列数即可．接下来我们通过例题看看排列与组合之间有什么联系．例题3王老师带着小高、卡莉娅、萱萱一行四人去参加一次聚会，主持人要求每个人领取一个彩球，这些球的颜色各不相同，共有12个．（1）小高是第一个取球的人，他一共选出了4个球，准备回头分给大家，那么一共有多少种选法？（2）小高回到座位后，把这4个球分给大家，一共有多少种分法？（3）最后他们四人手中拿到的球一共有多少种可能？「分析」（1）、（2）恰好是（3）的两个步骤，所以不难通过（1）、（2）的结果来计算（3）．（1）、（2）应该按照排列来算还是按照组合来算呢？能不能跳过（1）、（2）直接计算（3）呢？练习3先从10名同学中选出3人作为班委，再在这3人中确定出班长、学习委员和生活委员（一人只能担任一个职位），共有多少种不同的可能？例题4周末大扫除，老师要从10名男生和10名女生中选出5名留下打扫卫生．（1）如果随意选择，一共有多少种选择方法？（2）如果老师决定选出2名男生和3名女生，一共有多少种选择方法？「分析」（1）是从几名同学出选5名？（2）选2名男生有几种选法？选3名女生有几种选法？练习4老师要从9名男生和7名女生中挑出4人参加数学竞赛，共有多少种不同的选择方法？如果4人中要求有3名男生、1名女生呢？接下来我们学习圆周排列．从m 个不同的元素中取出n 个（ n m ）元素，并按照一定的顺序排成一个圆周，就是圆周排列．圆周排列与排列的不同之处在于圆周排列是首尾相邻的，旋转后相同的排法视为一种排法．如下图，1、2、3的三种排列：123、231、312，在圆周排列中都是一个排列；另外三种排列：132、321、213，在圆周排列中也是一个排列，而且这两个圆周排列是不同的．例题5从7个人中选出5个人围着圆桌坐成一圈，有多少种不同的坐法?「分析」从7个人中选出5个人的圆周排列，还能按照直线上的排列57A 种方法来计算吗？在我们组合问题里面，选取出来的和没有选取出来的两个部分之间是否有区别和顺序呢？例题6（1）6个人分成A 、B 两队拔河，要求这两队都是3个人，一共有多少种分队的方法？（2）6个人分成两队拔河，要求每个队都是3个人，一共有多少种分队的方法？「分析」这两个问题都是要分成两个队，每个队3个人，有什么区别吗？课堂内外杨辉三角刘杨辉三角形，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．端点数为1的杨辉三角具有如下几个性质：（1）每个数等于它上方两数之和；（2）每行数字左右对称，由1开始逐渐变大；（3）第n 行的数字有n 项；（4）第n 行数字和为()21n -；（5）第n 行的第m 个数和第-n m 个数相等，即m n m n n C C -=这是组合数性质之一；（6）每个数字等于上一行的左右两个数字之和．可用此性质写出整个杨辉三角．即第n +1行的第i 个数等于第n 行的第i -1个数和第i 个数之和，即11i i i n n n C C C -+=+这也是组合数的性质之一；（7）第n 行的m 个数课表示为1m n C -，即为从n 个不同元素中取1m -个元素的组合数．作业1.某班毕业生中有10名同学相见了，他们互相都握了一次手，请问这次聚会大家一共握了多少次手？2. 要从15名士兵中选出2名分别担任正、副班长，共有多少种不同的选法？3. 先从10名同学中选出3人作为班委，再在这3人中确定出班长、学习委员和生活委员（一人只能担任一个职位），共多少种不同的可能？4. 卡莉娅走进一家商店要买些新衣服，现在从她看中的5件上衣和4条裤子中选出3件上衣和2条裤子，一共有多少种选法？5．6个人围坐在一张圆桌旁，有多少种坐法？第十讲排列组合应用1. 例题1答案：36场，108分；72场详解：区分单循环制和双循环制，（1）单循环是9支球队中选取2支队伍即可，2支队伍不需要排序，是组合问题，即()29982136C =⨯÷⨯=场比赛．如果是分出胜负的则一场比赛会得3分，如果不分胜负则一场比赛会得2分，所以如果要让得分最多，那么36场都应该是分出胜负的，即363108⨯=分．（2）双循环制是9支球队中选取2支队伍后要排序，分主客场的，是排列问题，即299872A =⨯=场比赛．也可以根据第一问36272⨯=场比赛得到，因为单循环制的时候两支队伍比赛一场，而双循环是比赛两场，所以是2倍的关系． 2. 例题2答案：336；56详解：（1）从8名同学中选3名同学在早上、中午、晚上做值日，那么选出的这三人改变顺序为不同种选法，为排列问题，38876336A =⨯⨯=种选法．（2）从8名同学中选3人参加比赛，改变这三人的顺序任为一种选法，为组合问题，()3887632156C =⨯⨯÷⨯⨯=种选法． 3. 例题3答案：495种；24种；11880种详解：（1）只需要从12个不同的球中选出来4个，不需要排列，是组合问题，即()41212111094321495C =⨯⨯⨯÷⨯⨯⨯=种选法；（2）把4个球分给大家，这四个球会分给不同的人，所以需要排序，是组合问题，即44432124A =⨯⨯⨯=种分法；（3）其实这一问就是按照上面的两个步骤完成后的方法数，分步是用乘法原理，即441244952411880C A ⨯=⨯=种可能；另外一种做法就是从12个球中选出来4个，排列即排列问题，即412121*********A =⨯⨯⨯=种可能．4. 例题4答案：15540种；5400种详解：（1）随意选择，即从所有人中随便选出来5个人即可，()52020191817165432115504C =⨯⨯⨯⨯÷⨯⨯⨯⨯=种选择方法；（2）首先从10名男生中选取2名男生，再从10名女生中选取3名女生，这是一个分步的过程，所以一共有()()2310101092110983215400C C ⨯=⨯÷⨯⨯⨯⨯÷⨯⨯=种选择方法．5. 例题5答案：504种详解：圆桌问题的两种做法，第一种：7个人中选出来5个人按照一定顺序去排列，这是一个排列问题，即57A ；圆桌是可以旋转的，如果这5个人的顺序是ABCDE 、BCDEA 、CDEAB 、DEABC 、EABCD 这五种排序的方法其实都是一种坐法，所以一共有575504A ÷=种不同的坐法；第二种：先从7个人中选出5个人，有5721C =种方法，再把选出的5个人排在圆桌上，有55524A ÷=种方法，一共有2124504⨯=种方法．6. 例题6答案：20种；10种详解：（1）从6个人中选择3个人，即()3665432120C =⨯⨯÷⨯⨯=种选法，此时已经将两个队伍排序，所以一共有20种分队的方法；（2）从6个人中选择3个人，此时两个队伍是有区别的，可是此题两队没有区别，所以是36210C ÷=种分队的方法．7. 练习1答案：28场；56场简答：（1）单循环是8名选手中选取2名选手即可，2名选手不需要排序，是组合问题，即()28872128C =⨯÷⨯=场比赛．（2）双循环制是8名选手中选取2名选手后要排序，分主客选手，是排列问题，即288756A =⨯=场比赛．也可以根据第一问28256⨯=场比赛得到，因为单循环制的时候两名选手中比赛一场，而双循环是比赛两场，所以是2倍的关系．8. 练习2答案：21种；42种简答：（1）()27762121C =⨯÷⨯=种选法．（2）277642A =⨯=种选法．9. 练习3答案：720种简答：两种方法，第一种：先从10个人选出3个人不排序，即310C ，接下来给这三个人排序，即33A ，这是一个分步的过程，所以共有33103720C A ⨯=种不同的可能；第二种：从10个人中选出3个人，需要排序，即排列问题，310720A =种不同的可能．10. 练习4答案：1820种；588种简答：（1）随意选择，即从所有人中随便选出来4人即可，()4161615141343211820C =⨯⨯⨯÷⨯⨯⨯=种选择方法；（2）首先从9男生中选取3男生，再从7女生中选取1女生，这是一个分步的过程，所以一共有3197588C C ⨯=种选择方法．11. 作业1答案：45简答：从10人中任选2人就会有一次握手，共有()210109245=⨯÷=C 次握手．12. 作业2答案：210 简答：从15人中选出2人，分别担任正、副班长，共有2151514210=⨯=A 种方法．13. 作业3答案：720 简答：333103101098720⨯==⨯⨯=C A A 种方法．14. 作业4答案：60简答：从5件上衣中选3件，有()()3554332110=⨯⨯÷⨯⨯=C 种方法；从4条裤子中选2条，有()()2443216=⨯÷⨯=C 种方法；所以共有10660⨯=种选法．15. 作业5答案：120简答：先有1人坐定，剩下的5个人随便排：5554321120=⨯⨯⨯⨯=A 种坐法．。