6.2点估计的评价标准 (1)
§6.2 估计量的评价标准 演示文稿3
所以
ES=E S E(
2
n ( ) n n 2 n 1 2 2 ( ) 2 n 1 2 n 1 2 ( ) 2 ( ) 2 2 2
n 1
Y)
EY1/ 2
注意到 当 n 时，Cn 1
所以， S 是的渐近无偏估计量。从而当样本容量 很大时，不经修正，S 也是 很好的估计量。
n n 1 2 n
ˆ 若对任意 0, lim P( n ) 1 成立，
n
ˆ 则称 n为的相合估计量。(一致估计量)
由定义可知， 估计量
P ˆ (未知参数） n
依据贝努里大数定律： 由辛钦大数定律
频率
i
n
是概率P的相合估计量，
1 n 样本均值 X i 是 EX的相合估计量。 n i 1
要使似然函数取最大值，要求的取值越小越好，
n
0 x i i 1, 2,.....n.
ˆ max X1 , X 2 .......Xn 的密度函数为
ˆ y n( y ) n 1 1 dy n E 0 n+1 ˆ max X1 , X2 .......Xn 不是的无偏估计量。
n 1 2 n (n 1) 2 2 ( ) n n2 n(n 2) 2 2 ˆ2 E 2 E 2 (n 1) 2 2 ˆ ˆ D n(n 2) n(n 2)
2
ˆ n+1 E( x ) n+1 n E (n ) n n n 1 ˆ 2 ( n+1) 2 E( x ) 2 ( n 1) 2 y 2 n( y ) n 1 1 dy E (n ) 0 n n
统计学课后思考
1.1什么是统计学统计学是关于数据的一门学科，它收集，处理，分析，解释来自各个领域的数据并从中得出结论。
1.2解释描述统计和推断统计描述统计；它研究的是数据收集，处理，汇总，图表描述，概括与分析等统计方法。
推断统计；它是研究如何利用样本数据来推断总体特征的统计方法。
1.3统计学的类型和不同类型的特点统计数据；按所采用的计量尺度不同分；（定性数据）分类数据：只能归于某一类别的非数字型数据，它是对事物进行分类的结果，数据表现为类别，用文字来表述；（定性数据）顺序数据：只能归于某一有序类别的非数字型数据。
它也是有类别的，但这些类别是有序的。
（定量数据）数值型数据：按数字尺度测量的观察值，其结果表现为具体的数值。
统计数据；按统计数据都收集方法分；观测数据：是通过调查或观测而收集到的数据，这类数据是在没有对事物人为控制的条件下得到的。
实验数据：在实验中控制实验对象而收集到的数据。
统计数据；按被描述的现象与实践的关系分；截面数据：在相同或相似的时间点收集到的数据，也叫静态数据。
时间序列数据：按时间顺序收集到的，用于描述现象随时间变化的情况，也叫动态数据。
1.4解释分类数据，顺序数据和数值型数据答案同1.31.5举例说明总体，样本，参数，统计量，变量这几个概念对一千灯泡进行寿命测试，那么这千个灯泡就是总体，从中抽取一百个进行检测，这一百个灯泡的集合就是样本，这一千个灯泡的寿命的平均值和标准差还有合格率等描述特征的数值就是参数，这一百个灯泡的寿命的平均值和标准差还有合格率等描述特征的数值就是统计量，变量就是说明现象某种特征的概念，比如说灯泡的寿命。
1.6变量的分类变量可以分为分类变量，顺序变量，数值型变量。
变量也可以分为随机变量和非随机变量。
经验变量和理论变量。
1.7举例说明离散型变量和连续性变量离散型变量，只能取有限个值，取值以整数位断开，比如“企业数”连续型变量，取之连续不断，不能一一列举，比如“温度”。
2.1什么是二手资料？使用二手资料应注意什么问题与研究内容有关，由别人调查和试验而来已经存在，并会被我们利用的资料为“二手资料”。
统计学第五版课后习题答案(完整版)
统计学(第五版)课后习题答案(完整版)第一章思考题1.1什么是统计学统计学是关于数据的一门学科,它收集,处理,分析,解释来自各个领域的数据并从中得出结论。
1.2解释描述统计和推断统计描述统计;它研究的是数据收集,处理,汇总,图表描述,概括与分析等统计方法。
推断统计;它是研究如何利用样本数据来推断总体特征的统计方法。
1.3统计学的类型和不同类型的特点统计数据;按所采用的计量尺度不同分;(定性数据)分类数据:只能归于某一类别的非数字型数据,它是对事物进行分类的结果,数据表现为类别,用文字来表述;(定性数据)顺序数据:只能归于某一有序类别的非数字型数据。
它也是有类别的,但这些类别是有序的。
(定量数据)数值型数据:按数字尺度测量的观察值,其结果表现为具体的数值。
统计数据;按统计数据都收集方法分;观测数据:是通过调查或观测而收集到的数据,这类数据是在没有对事物人为控制的条件下得到的。
实验数据:在实验中控制实验对象而收集到的数据。
统计数据;按被描述的现象与实践的关系分;截面数据:在相同或相似的时间点收集到的数据,也叫静态数据。
时间序列数据:按时间顺序收集到的,用于描述现象随时间变化的情况,也叫动态数据。
1.4解释分类数据,顺序数据和数值型数据答案同1.31.5举例说明总体,样本,参数,统计量,变量这几个概念对一千灯泡进行寿命测试,那么这千个灯泡就是总体,从中抽取一百个进行检测,这一百个灯泡的集合就是样本,这一千个灯泡的寿命的平均值和标准差还有合格率等描述特征的数值就是参数,这一百个灯泡的寿命的平均值和标准差还有合格率等描述特征的数值就是统计量,变量就是说明现象某种特征的概念,比如说灯泡的寿命。
1.6变量的分类变量可以分为分类变量,顺序变量,数值型变量。
变量也可以分为随机变量和非随机变量。
经验变量和理论变量。
1.7举例说明离散型变量和连续性变量离散型变量,只能取有限个值,取值以整数位断开,比如“企业数”连续型变量,取之连续不断,不能一一列举,比如“温度”。
点估计的评价标准
i1
i1
2
n
n
而
1
ci
ci 2
2
cicj
i1 i1
1i jn
n
n
ci2
(ci2
c
2 j
)
n
ci2
i 1
1i jn
i 1
n
i1
ci2
1 n
D(ˆ )
1 n
2
D(ˆ1)
结论 算术均值比加权均值更有效.
2
n
，D(n min{X1,
X 2,,
X n})
2
所以,X 比n min{ X1, X 2,, X n}更有效.
Ch7-58
例6 设总体 X，且 E( X )= , D( X )= 2
( X1, X 2,, X n )为总体 X 的一个样本
(1)
设常数
ci
1 n
i 1,2,, n.
f
(x; )
1
x
e
x 0,
0 为常数
0
x0
( X1, X 2,, X n ) 为 X 的一个样本
证明 X 与 n min{ X1, X 2,, X n}都是 的无偏
估计量
证
X
~
E1
E(X )
故 E(X ) E(X )
X 是 的无偏估计量.
D(ˆ)
nE
1
ln p(X , )2
D0 (
)
其中 p ( x , ) 是 总体 X 的概率分布或密
统计学(第五版)贾俊平-课后思考题和练习题答案(完整版)
统计学（第五版）贾俊平课后思考题和练习题答案（最终完整版）第一部分思考题第一章思考题1。
1什么是统计学统计学是关于数据的一门学科，它收集，处理,分析,解释来自各个领域的数据并从中得出结论。
1。
2解释描述统计和推断统计描述统计；它研究的是数据收集，处理，汇总，图表描述,概括与分析等统计方法。
推断统计；它是研究如何利用样本数据来推断总体特征的统计方法。
1。
3统计学的类型和不同类型的特点统计数据；按所采用的计量尺度不同分；（定性数据）分类数据：只能归于某一类别的非数字型数据，它是对事物进行分类的结果,数据表现为类别，用文字来表述；(定性数据）顺序数据：只能归于某一有序类别的非数字型数据.它也是有类别的，但这些类别是有序的。
（定量数据）数值型数据：按数字尺度测量的观察值，其结果表现为具体的数值。
统计数据;按统计数据都收集方法分；观测数据：是通过调查或观测而收集到的数据，这类数据是在没有对事物人为控制的条件下得到的.实验数据：在实验中控制实验对象而收集到的数据。
统计数据；按被描述的现象与实践的关系分；截面数据：在相同或相似的时间点收集到的数据,也叫静态数据。
时间序列数据：按时间顺序收集到的，用于描述现象随时间变化的情况，也叫动态数据。
1.4解释分类数据,顺序数据和数值型数据答案同1.31.5举例说明总体，样本，参数,统计量,变量这几个概念对一千灯泡进行寿命测试，那么这千个灯泡就是总体，从中抽取一百个进行检测，这一百个灯泡的集合就是样本,这一千个灯泡的寿命的平均值和标准差还有合格率等描述特征的数值就是参数，这一百个灯泡的寿命的平均值和标准差还有合格率等描述特征的数值就是统计量,变量就是说明现象某种特征的概念，比如说灯泡的寿命。
1.6变量的分类变量可以分为分类变量，顺序变量,数值型变量。
变量也可以分为随机变量和非随机变量。
经验变量和理论变量。
1。
7举例说明离散型变量和连续性变量离散型变量，只能取有限个值，取值以整数位断开,比如“企业数”连续型变量，取之连续不断，不能一一列举,比如“温度”。
《教育统计学》复习题及答案
《教育统计学》复习题及答案一、填空题1．教育统计学的研究对象是．教育问题。
2．一般情况下，大样本是指样本容量．大于30 的样本。
3．标志是说明总体单位的名称，它有．品质标志和数量标志两种。
4．统计工作的三个基本步骤是：、和。
5．集中量数是反映一组数据的趋势的。
6．“65、66、72、83、89”这组数据的算术平均数是。
7．6位学生的身高分别为：145、135、128、145、140、130厘米，他们的众数是。
8．若某班学生数学成绩的标准差是8分，平均分是80分，其标准差系数是。
9．参数估计的方法有和两种。
10．若两个变量之间的相关系数是负数，则它们之间存在。
11．统计工作与统计资料的关系是和的关系。
12．标准差越大，说明总体平均数的代表性越，标准差越小，说明总体平均数的代表性越。
13．总量指标按其反映的内容不同可以分为和。
二、判断题1、教育统计学属于应用统计学。
（）２、标志是说明总体特征的，指标是说明总体单位特征的。
（）3、统计数据的真实性是统计工作的生命（）4、汉族是一个品质标志。
（）5、描述一组数据波动情况的量数称为差异量数。
（）6、集中量数反映的是一组数据的集中趋势。
（）7、在一个总体中，算术平均数、众数、中位数可能相等。
（）8、同一总体各组的结构相对指标数值之和不一定等于100%。
（）9、不重复抽样误差一定大于重复抽样误差。
（）10. 一致性是用样本统计量估计统计参数时最基本的要求。
（）三、选择题1．某班学生的平均年龄为22岁，这里的22岁为( )。
A.指标值B.标志值C.变量值D.数量标志值2．统计调查中，调查标志的承担者是( )。
A.调查对象B.调查单位C.填报单位D.调查表3．统计分组的关键是( )。
A.确定组数和组距B.抓住事物本质C.选择分组标志和划分各组界限D.统计表的形式设计4．下列属于全面调查的有( )。
A.重点调查B.典型调查C.抽样调查D.普查5．统计抽样调查中，样本的取得遵循的原则是( )。
干旱的模拟和预测
本文通过结合云南的具体自然条件，分析降水、土壤水、人工灌溉水、地下水的相互转化及其与农田蒸发量的作用过程来反映水稻的缺水情况，采用帕尔默旱度模式来确立旱度指标，并且在干旱综合评价时应用模糊综合评价的方法进行量化处理，以此得出旱情等级，提供干旱信息，为干旱的规划、监测和预报提供依据，从而保证当地的经济效益和社会效益。
关键词：帕尔默旱度模式模糊综合评价方法一、问题重述2010年西南地区遭遇的百年旱灾造成了严重损失。
为加强对干旱现状的分析和监控，适时预报旱情的发展趋势以积极地指导农业生产、水利工程抗旱和人工增雨作业等以保证当地效益，请建立相应的数学模型进行模拟与预测，并提出一个抑制干旱的方案。
二、问题分析2.1、农田水分转化过程分析自然界水分处于不断循环转化之中，农田水分也如此。
农田水分循环的过程主要包括入渗补给、潜水蒸发等环节。
大气水、地表水、植物水、土壤水和地下水的形态处于不断的循环和转化之中。
对于农田而言，水分转化主要表现为降雨和灌水入渗补给地下水、潜水蒸发、棵间蒸发和植物蒸腾等等。
降雨和灌水渗入土壤非饱和带，又从非饱和带进入地下水。
入渗补给地下水的过程是大气水—土壤水—植物水—地下水相互转化关系中最重要、最基本的环节之一，入渗包括降雨入渗和灌水入渗，其中降雨入渗补给是地下水补给的主要来源，同时也是区域水量均衡计算的主要因素之一。
潜水蒸发是地下水消耗的主要方式，在灌水和降雨不足以满足作物的需水要求时，浅层地下水对缺水量有一定的补充作用。
如果地下水能对作物的生长有所贡献，那么就要考虑地下水的影响。
但潜水蒸发同时会引起土壤的盐碱化，从而影响作物的生长。
土壤水是各种水体转换的纽带，其他水体通过转化为土壤水再转化为其他水体，降水经过入渗进土壤，再由土壤渗漏补给地下水或地表水，地表水也可以通过入渗补给土壤水和地下水，地下水通过毛管作用流入土壤，在地表面通过蒸发作用，使土壤水返回大气中。
农田水分转化过程如图（1）所示：图（1）2.2、水稻生长特点分析水稻属于沼泽植物，对水分要求高，抗旱能力很低。
6-2点估计的评价标准
n
n
Var(ˆ1 ) ci2Var(xi ) 2 ci2
n
i 1n
n
i 1
利用柯西不等式 ( aibi )2 ( ai2 )( bi2 ) ,其中等号成立的充要条件是
i 1
i 1
i 1
a1 b1 a2 b2 an bn
而 1
n
ci
2
1 (
n
ci2 )(
n
1) n
判断一致性的三个常用结论
1. 样本 k 阶矩是总体 k阶矩的 相合估计. 即矩估计具有相合性 由辛钦大数定律可证
2. 设ˆn是 的一个估计, 且
定理1
lim
n
E(ˆn
)
lim
n
Var
(ˆn
)
0
定理2 则 ˆn 是 的相合估计量.
用切贝雪夫不 等式证明
3. 若ˆn1 ,ˆn2 ,....,ˆnk 分别是 1,2 ,....,k 的相合
例11. 设 X ~ U (0,θ), x1, x2,…, xn 是 X 的一个
样本, 则由前可知：θ的最大似然估计是x(n).
由于
Ex(n)
n
n 1
所以x(n)不是θ的无偏估计, 而是渐近无偏估计.
但修正后可得θ的一个无偏估计:
ˆ 1
n
n
1
x(
n
)
另由矩法估计可知 ˆ2 2x 也是θ的无偏估计,
n
Var (ˆi )
1
2
n1
n
Var j 1
(
x
j
)
2
n1
ji
. 因此, x比 ˆi的方差小, 因而x比ˆi要优
统计学第四版(贾俊平)课后思考题答案
统计课后思考题答案第一章思考题1。
1什么是统计学统计学是关于数据的一门学科,它收集，处理，分析，解释来自各个领域的数据并从中得出结论。
1。
2解释描述统计和推断统计描述统计;它研究的是数据收集，处理，汇总，图表描述，概括与分析等统计方法。
推断统计;它是研究如何利用样本数据来推断总体特征的统计方法。
1。
3统计学的类型和不同类型的特点统计数据；按所采用的计量尺度不同分;（定性数据)分类数据：只能归于某一类别的非数字型数据，它是对事物进行分类的结果，数据表现为类别,用文字来表述；（定性数据）顺序数据:只能归于某一有序类别的非数字型数据.它也是有类别的，但这些类别是有序的.(定量数据）数值型数据:按数字尺度测量的观察值，其结果表现为具体的数值. 统计数据；按统计数据都收集方法分；观测数据：是通过调查或观测而收集到的数据,这类数据是在没有对事物人为控制的条件下得到的.实验数据：在实验中控制实验对象而收集到的数据。
统计数据；按被描述的现象与实践的关系分；截面数据：在相同或相似的时间点收集到的数据，也叫静态数据.时间序列数据：按时间顺序收集到的，用于描述现象随时间变化的情况,也叫动态数据。
1。
4解释分类数据，顺序数据和数值型数据答案同1.31。
5举例说明总体，样本，参数,统计量，变量这几个概念对一千灯泡进行寿命测试，那么这千个灯泡就是总体，从中抽取一百个进行检测，这一百个灯泡的集合就是样本，这一千个灯泡的寿命的平均值和标准差还有合格率等描述特征的数值就是参数，这一百个灯泡的寿命的平均值和标准差还有合格率等描述特征的数值就是统计量，变量就是说明现象某种特征的概念,比如说灯泡的寿命。
1.6变量的分类变量可以分为分类变量，顺序变量,数值型变量。
变量也可以分为随机变量和非随机变量。
经验变量和理论变量。
1。
7举例说明离散型变量和连续性变量离散型变量，只能取有限个值，取值以整数位断开，比如“企业数”连续型变量，取之连续不断，不能一一列举，比如“温度”。
6-2点估计的评价标准-PPT课件
例7. 设 (x 1, x 2, , x m) 是总体 X 的一个样本 , X ~ b(1 , p). （1）求p 2 的无偏估计量； （2）证明 1／p 的无偏估计不存在.
x 1 e 例8. 设总体 X 的密度函数为 p( x; ) (x , x , , x ) 为 X 的一个样本， 0
1 2 k
ˆ ˆ ˆ 数，则 是 的相合估计. g ( . . . . , n n, n, n)
例1. 设 X ~ U (0,θ), x1, x2,…, xn 是 X 的一个 样本, 证明：θ的最大似然估计是相合估计. （P294）
x 1 e X ~ p(x; ) 0
为无偏方差.
2 EX 2
的无偏估计.
1 样本二阶原点矩a 2 x i2 是总体二阶原点矩 n i 1
n 12 n 2 *2 E ( S ) 注 2.由于 ,称 S 为 2 的渐近无偏估计 n
2 *
注 3.同一参数可能有多个无偏估计（U.E不唯一）.
注 4 . 无 偏 估 计 不 具 有 不 变 性 , 即 ˆ 当 是 θ 的 无 偏 估 计 时 , g ( θ ) 却 未 必 是 g ( θ ) 的 无 偏 估 计 .
2. 设 n 是 的一个估计, 且 ˆ ) 0 定理1 lim V a r ( ˆ n limE( )
n
定理2
则 ˆ n 是 的相合估计量.
用切贝雪夫不 等式证明
ˆ , ˆ ,...., ˆ 分别是 1,2,....,k 的相合 3. 若 n n n 1 2 k g ( ,2 , . . . . , ) 估计， 是 1,2,....,k的连续函 1 k
概率6.1-6.2点估计及评价标准
例5
设总体 X 在[a , b]上服从均匀分布, 其中a ,
b 未知, ( X 1 , X 2 ,, X n ) 是来自总体X的样本, 求a , b 的估计量.
ab 1 E ( X ) 解 , 2 a b 2 a b 2 , 2 E ( X 2 ) D( X ) [ E ( X )]2 12 4 n ab 1 令 A1 X i , 2 n i 1 1 n (a b)2 (a b)2 2 A2 X i , n i 1 12 4
一般, 设 X 为离散型随机变量, 其分布律为
P( X x) f ( x, ),
则样本 X1, X2,…, Xn的概率分布为
P( X 1 x1 , X 2 x2 ,, X n xn )
f ( x1 , ) f ( x2 , ) f ( xn , )
记为
k 0 6
knk
6
故 E ( X ) 的估计为1.22 .
点估计问题的思想方法： 设总体 X 的分布函数 F ( x; )的形式为已
知, 是待估参数. X 1 , X 2 ,, X n 是 X 的一个样 本, x1 , x2 ,, xn 为相应的一个样本值.
点估计问题就是要构造一个适当的统计量 ˆ ˆ ( X 1 , X 2 ,, X n ), 用它的观察值 ( x1 , x2 ,, xn ) 来估计未知参数 . ˆ ( X 1 , X 2 ,, X n )称为 的估计量. 通称估计, ˆ ˆ ( x1 , x2 ,, xn )称为 的估计值. 简记为 .
L( x1 , x2 ,, xn , ) L( )
或
称 L( ) 为样本的似然函数
62 点估计的评价标准
通过此例题,我们看到,要证明一个估计量具有相 合性,必须证明它依概率收敛,这有时很麻烦.因此,我们 下面我们不加证明的给出一个相合性的判定定理.
17
ˆ 是的 定 理 6 .1 设 个 估 计 量 ,若 n 一 ˆ ) ˆ )0 lim E ( , 且 lim V a r (
2 C (X X ) i 1 i i 1 n 1
为Var (X)的无偏估计. 分析 需选择C，使
2 E [ C ( X X )] V a rX ( ) i 1 i i 1 n 1
6
2 2 C E ( X X ) E [ C ( X X ) ] 解 i1 i i 1 i
证
k k 故有 E ( X ) E ( X ) ,i 1 , 2 , , n . i k
因为 X , X , , X 与 X 同分布， 1 2 n
1n k k. 即 E ( A ) E ( X k i) n i 1
故 k 阶 样 本 矩 A 是 k 阶 总 体 矩 的 无 偏 估 计 . k k
16
故B A X 2 2
2
2 2 依概率收敛于 E ( X ) [ E ( X )] 2,
所 以 B 是 的 相 合 估 计 量 . 2 n 又 lim 1 , n n 1 n 2 2 所 以 S B 也 是 的 相 合 估 计 量 . n 2 n 1
2
V a r ( X X ) V a r ( X ) V a r ( X ) 2 V a r ( X ) i 1 i i 1 i
E ( X X ) E ( X ) E ( X ) 0 i 1 i i 1 i
概率论与数理统计教学大纲
《概率论与数理统计》课程教学大纲课程代码：090131014课程英文名称：Probability and Mathematical Statistics课程总学时：64 讲课：64 实验：0 上机：0适用专业：信息与计算科学大纲编写（修订）时间：2017.10一、大纲使用说明（一）课程的地位及教学目标概率论与数理统计是信息与计算科学专业的一门专业基础课，在教学计划中列为主干课程。
本课程主要讲授概率论的基本概念、随机变量及其分布、随机变量的数字特征、数理统计的基本概念及基本的统计推断方法。
通过本课程的学习，可以使学生初步掌握处理随机现象的基本方法，掌握随机变量理论和基本的统计推断方法，提高学生分析问题解决问题的能力，为学生进一步学习数据分析、信息论基础等后续课程打下良好的基础。
（二）知识、能力及技能方面的基本要求1．基本知识：掌握概率论中三个最基本的概念：随机事件、概率（条件概率）、事件的独立性。
概率论的核心理论，随机变量的理论：分布律、概率密度、分布函数、数字特征。
数理统计基本统计推断方法：参数估计、假设检验、方差分析、回归分析。
2．基本能力：灵活应用计算概率的五大公式：加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式。
理解随机变量理论研究随机现象的方法。
初步掌握统计推断的思想方法。
3．基本技能：计算概率的基本方法：古典概型、几何概型、伯努利概型。
使用随机变量理论的四大工具：分布律、概率密度、分布函数数字特征的基本技能。
参数估计、假设检验方差分析和回归分析的方法。
（三）实施说明1．教学方法：本课程思维方式独特，还需要学生有一定的微积分基础。
教学中应注意概率意义的解释和学生基础情况的把握，处理好抽象与具体，偶然与必然、一维与多维，理论与实践的关系。
采用启发式教学，培养学生思考问题、分析问题和解决问题的能力；引导和鼓励学生通过自学获取知识，培养学生的自学能力；增加讨论课，调动学生学习的主观能动性，培养学生的创新能力。
点估计的评价标准共40页
估计量
Ch7-49
例2 设总体 X 的期望 与方差存在, X 的
样本为 (X1,X2,,Xn) (n > 1) . 证明
(1)
Sn2
1 n
n i1
(Xi
X)2不是 D(
X
)的无偏估量;
(2) S2n11in1(Xi X)2是 D( X ) 的无偏估计量.
证 前已证 n 1i n1(Xi X)2n 1i n1Xi2X2 E ( X i ) E ( X ) ,D ( X i ) D ( X ) 2 E (X)E (X),D (X)2 n
则
Ak
1 n
n i1
Xik
是 k 的无偏估计量.
证 由于 E (Xik)k i1,2,,n因而
E(Ak)E(1 ni n1Xik)1 ni n1E(Xik)
1nnk k
Ch7-48
特别地
样本均值 X 是总体期望 E( X ) 的 无偏估计量
样本二阶原点矩
A2
1 n
n i1
Xi2是总体
二阶原点矩 2 E(X2) 的无偏
i1
i1
n
n
Ch7-58
(2) D(ˆ1) ci2D(Xi)2 ci2
i1
i1
n
2n
而
1
ic
ic 2
2
ic jc
i1 i1
1i jn
n
n
ci2 (ci2c2 j)n ci2
i1
1ijn
i1
n
i 1
c
2 i
1 n
D(ˆ)1n2D(ˆ1)
结论 算术均值比加权均值更有效.
Ch7-59
Ch7-57
点估计的评价标准 (1)
6.2点估计的评价标注我们已经看到，点估计有各种不同的求法，为了在不同点估计间进行比较选择，就必须对各种点估计的好坏给出评价标准.数理统计中给出了众多的估计量评价标准，对同一估计量实用不同的评价标准可能会得到完全不同的结论，因此在评价某一个估计好坏时首先要说明是在哪一个标准下，否则所论好坏则毫无意义.但不管怎么说，有一个基本标准时所有的估计都应该满足的，它是衡量一个估计是否可行的必要条件，这就是估计的相合性，我们就从相合性开始。
6.2.1 相合性我们知道，点估计是一个统计量，因此它是一个随机变量，在样本量一定的条件下，我们不可能要求它完全等同于参数的真实取值。
但如果我们有足够的观测值，根据格里文科定理，随着样本量的不断增大，经验分布函数逼近真实分布函数，因此完全可以要求估计量随着样本量的不断增大而逼近参数真值，这就是相合性，严格定义如下：定义6.2.1 设θ∈Θ为未知参数，()12,,,n n n x x x θθ∧∧=是θ的一个估计量，n 是样本容量，若对任何一个0ε>，有()ˆlim 0nn P θθε→∞->= 则称ˆnθ为参数θ的相合估计。
相合性被认为是对估计的一个最基本的要求，如果一个估计量，在样本量不断增大时，它都不能把被估参数估计到任意指定的精度，那么这个估计值是很值得怀疑的。
通常，不满足相合性要求的估计一般不予考虑。
证明估计的相合性一般可应用大数定律或直接由定义来证。
若把依赖于样本量n 的估计量ˆn θ看作一个随机变量序列，相合性就是ˆnθ依概率收敛于θ，所以证明估计的相合性可应用依概率收敛的性质以及各种大数定律。
例6.2.1 设12,,x x 是来自正态总体()2,Nμσ的样本，则有辛钦大数定律及依概率收敛的性质知：x 是μ的相合估计；*2s 是2σ相合估计；2s 也是2σ的相合估计。
由此可见参数的相合估计不止一个。
在判断估计的相合性时下述两个定理是很有用的。
定理 6.2.1 设()12,,,n n n x x x θθ∧∧=是θ的一个估计量，若ˆˆlim ()lim ()0,n nn n E Var θθθ→+∞→+∞==， 则ˆnθ是θ的相合估计。
点估计的几种方法
如果某统计量 ˆ ˆ(x1, x2满, 足, xn)
L ˆ max L( ),
则称 是ˆ 的极(最)大似然估计，简记为MLE
（Maximum Likelihood Estimate）。
求极大似然估计通常分如下两种情形：
1. 总体X 的取值范围与未知参数无关； 2. 总体X 的取值范围与未知参数有关。
现做了n次试验，观测到三种结果发生的次数 分别为 n1 , n2 , n3 (n1+ n2+ n3 = n)。求的最大 似然估计。
例6.1.7 设(X1,X2,…,Xn)是来自正态总体X~N(μ,σ2)的一 个样本，μ,σ2未知，求μ,σ2的极大似然估计。
解 设(x1,x2,…,xn)为样本(X1,X2,…,Xn)的一个观察值，则
现在我们来介绍一类重要的统计推断问题
参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息 来估计总体的某些平均体重
估计废品率 估计湖中鱼数
估计平均降雨量
… …
第六章 参数估计
§6.1 点估计的几种方法 §6.2 点估计的评价标准 §6.3 最小方差无偏估计 §6.4 贝叶斯估计 §6.5 区间估计
ˆjˆj j(aj1(,a1 ,,ak ),, ak )j,1,j ,k1,, , k,
其中a jaj n1in1n1 xiijn1 xij为j阶样本原点矩.
矩法的步骤：
设总体X的分布为F(x;θ1,θ2,…,θk)，k个参数θ1,θ2,…,θk待 估计，(X1,X2,…,Xn)是一个样本 。
Xk
1 n
n j 1
X
k j
从中解出方程组的解，记为 ˆ1，ˆ2，，ˆk
则 ˆ1，ˆ2，，ˆk 分别为参数θ1,θ2,…,θk的矩估计。
6.2点估计的评价标准
Var ( x( n ) ) ?
三、有效性
ˆ ˆ 比较参数 的两个无偏估计量1 和 2 , 如果 ˆ 在样本容量 n 相同的情况下 , 1 的观察值在真值 ˆ ˆ ˆ 的附近较 2 更密集 , 则认为1 较 2 有效 .
由于方差是随机变量取值与其数学期望的 偏离程度, 所以无偏估计以方差小者为好.
又因为 E ( X 2 ) D( X ) [ E ( X )]2
2 2
2
n
2,
2
所以 E ( ) E ( A2 X ) E ( A2 ) E ( X ) ˆ
n 1 2 2 2 , 所以 是有偏的. ˆ n
( n 1) 2 ˆ E ( ) n
2
n 2 若以 乘 , 所得到的估计量就是无 偏的. ˆ n 1
(这种方法称为无偏化).
n n 2 E E ( 2 ) 2 . ˆ ˆ n 1 n 1 1 n n ( X i X 2 ), 因为 2 S 2 ˆ n 1 i 1 n 1
n n n n
ˆ 则 n 是的相合估计
n
证明 lim E(ˆn ) , 当n充分大时, | E(ˆn ) |
ˆ ˆ 如果有 | n - E( n ) | ，则 2
n
ˆ lim P(| n | ) 0
X 总是总体 X 的数学期望 1 E ( X ) 的无偏 估计量.
练习：299页1（1）
例3
对于均值 , 方差 2 0 都存在的总体, 若
1 n , 2 均为未知, 则 2 的估计量 2 ( X i X )2 ˆ n i 1 是 有偏的(即不是无偏估计). 1 n 2 证 2 X i X 2 A2 X 2 , ˆ n i 1 因为 E ( A2 ) 2 2 2 ,
概率论与数理统计教案参数估计
概率论与数理统计教学教案第6章参数估计二.最大似然估计法1 .最大似然估计的步骤：若总体X 的分布中含有k 个未知待估参数0 1, 0 2,…，0 k ，则似然函数为a L .一 . a ln L 一一 .解似然方程组10- = 0, i = 1,2<..,k ，或者对数似然方程组焉一=0,i = 1,2,・・・,k ，即可得到参数的最大似然 i i八 八 八 估计0 ,0， 012 k2.定理：若0为参数0的最大似然估计，g (®)为参数0的函数，则g (®)是g (0)的最大似然估计. 三.点估计的评价标准1 .无偏性：设=(X1,X2,…,X)是未知参数。
的估计量,若E (0 )=0,则称为0的无偏估计。
八 八八八八 八2 .有效性：设0 ,0均为参数0的无偏估计量，若D (0 )< D (0 ),则称0比0有效。
121212,3 .相合性(一致性)：设0为未知参数0的估计量，若对任意的s > 0,都有lim P 卜-0 <£ n fsn fs四.例题讲解4 1.设X 为某零配件供应商每周的发货批次，其分布律为X 0 1 23P 0 2 20 (1-0) 0 2 1-20其中0是未知参数，假设收集了该供应商8周的发货批次如下：3, 1, 3,0, 3, 1, 2, 3,求0的矩估计值.—^―, X > 1,例2.设某种钛金属制品的技术指标为X 其概率密度为f (X )=《X B+1其中未知参数P > 1,0, X V 上X ,X ，…,X 为来自总体X 的简单随机样本，求P 的矩估计量.12n例3.已知某种金属板的厚度X 在(a , b)上服从均匀分布，其中a , b 未知，设抽查了 口片金属板，厚 度分别为X 1,X 之,…,r 试用矩估计法估计a , b .例4.设袋中放有很多的白球和黑球，已知两种球的比例为1:9,但不知道哪种颜色的球多，现从中有放 回地抽取三次，每次一球，发现前两次为黑球，第三次为白球，试判断哪种颜色的球多。
职业汽车驾驶员适宜性检测评价方法
职业汽车驾驶员适宜性检测评价方法前言本标准的制定，旨在供助科学的仪器诊断，区别出事故多发驾驶员，并对他们实施针对性的再教育和训练，指出他们存在的问题和今后开车应注意的事项，以有效地提高驾驶员群体的素质，从根本上达到预防事故的目的，从而使交通事故大幅度降低下来，进一步提高运输效率。
本标准由交通部公路司提出并归口。
本标准起草单位：中国道路运输协会、长安大学、陕西省交通厅运输管理局。
本标准主要起草人：李百川、周有才、张校贵、刘浩学、杨立本中华人民共和国交通行业标准职业汽车驾驶员适宜性检测评价方法Appraisal way of automobiledriving suitability test1、范围本标准规定了职业驾驶员适宜性检测项目、评价指标和检测方法。
本标准适用于职业汽车驾驶员选用、上岗培训、轮训及对肇事汽车驾驶员进行再教育时的检测与评价。
2、定义本标准采用下列定义：2.1 驾驶适宜性 driving suitability指驾驶员具有圆满完成职业驾驶工作所具备的心理、生理素质。
2.2 速度估计Speed anticipation指人对物体移动速度判断的能力。
2.3选择反应 Choice reaction指人对不同刺激做出选择性反应的能力。
此项目包括选择反应时间和误反应次数。
2.4处置判断action judgement指人对刺激信号的注意力分配和动作协调能力。
2.5动体视力movement vision指人和视标处于运动（其中一方运动或两方都运动）状态时的视力。
2.6暗适应scotopia指人在强光下突然进入黑暗后视力的适应能力。
2.7深度知觉depth perception又叫距离知觉或立体知觉。
是指人感知同一物体凹凸或不同物体前后距离的知觉能力。
3、检测项目检测项目包括以下七项：a)速度估计检测；b)选择反应时间检测；c)选择反应误反应次数检测；d)处置判断检测；e)动体视力检测：f)暗适应检测；g)深度知觉检测。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
6.2点估计的评价标注我们已经看到，点估计有各种不同的求法，为了在不同点估计间进行比较选择，就必须对各种点估计的好坏给出评价标准.数理统计中给出了众多的估计量评价标准，对同一估计量实用不同的评价标准可能会得到完全不同的结论，因此在评价某一个估计好坏时首先要说明是在哪一个标准下，否则所论好坏则毫无意义.但不管怎么说，有一个基本标准时所有的估计都应该满足的，它是衡量一个估计是否可行的必要条件，这就是估计的相合性，我们就从相合性开始。
6.2.1 相合性我们知道，点估计是一个统计量，因此它是一个随机变量，在样本量一定的条件下，我们不可能要求它完全等同于参数的真实取值。
但如果我们有足够的观测值，根据格里文科定理，随着样本量的不断增大，经验分布函数逼近真实分布函数，因此完全可以要求估计量随着样本量的不断增大而逼近参数真值，这就是相合性，严格定义如下：定义6.2.1 设θ∈Θ为未知参数，()12,,,n n n x x x θθ∧∧=是θ的一个估计量，n 是样本容量，若对任何一个0ε>，有()ˆlim 0nn P θθε→∞->= 则称ˆnθ为参数θ的相合估计。
相合性被认为是对估计的一个最基本的要求，如果一个估计量，在样本量不断增大时，它都不能把被估参数估计到任意指定的精度，那么这个估计值是很值得怀疑的。
通常，不满足相合性要求的估计一般不予考虑。
证明估计的相合性一般可应用大数定律或直接由定义来证。
若把依赖于样本量n 的估计量ˆn θ看作一个随机变量序列，相合性就是ˆnθ依概率收敛于θ，所以证明估计的相合性可应用依概率收敛的性质以及各种大数定律。
例6.2.1 设12,,x x 是来自正态总体()2,Nμσ的样本，则有辛钦大数定律及依概率收敛的性质知：x 是μ的相合估计；*2s 是2σ相合估计；2s 也是2σ的相合估计。
由此可见参数的相合估计不止一个。
在判断估计的相合性时下述两个定理是很有用的。
定理 6.2.1 设()12,,,n n n x x x θθ∧∧=是θ的一个估计量，若ˆˆlim ()lim ()0,n nn n E Var θθθ→+∞→+∞==， 则ˆnθ是θ的相合估计。
证明：对任意的0ε>，由切比雪夫不等式有()()24ˆˆˆ/2n n n P E Var θθεθε-≥≤ 另一方面，由ˆlim ()nn E θθ→∞=可知，当n 充分大时有 ˆ/2nE θθε-< 注意到此时如果ˆˆ/2n nE θθε-<，就有 ˆˆˆˆn n n nE E θθθθθθε-≤-+-< 故{}{}ˆˆˆ/2n nnE θθεθθε-<⊂-< {}{}ˆˆˆ/2nnnE θθεθθε-≥⊃-≥ 由此即有{}{}()()24ˆˆˆˆ/20,n n n n P P E Var n θθεθθεθε->≤-≥≤→→+∞ 定理得证。
例 6.2.2 设12,,,n x x x 是来自均匀总体(0,)U θ的样本，证明θ的最大似然估计是相合估计。
证明 在例6.1.8中我们已经给出θ的最大似然估计是()n x 。
由次序统计量的分布，我们知道()ˆn x θ=的分布密度函数为 1()/,n n p y ny y θθ-=<故有0ˆ/1n n nE ny dy n θθθθθ==→+⎰2120ˆ/2n n n E ny dy n θθθθ+==+⎰ ()2222ˆ021(1)(2)n n n Var n n n n θθθθ⎛⎫=-=→ ⎪++++⎝⎭ 由定理6.2.1可知，()n x 是θ的相合估计。
定理 6.2.2 若1ˆˆ,,n nkθθ分别是1,,n θθ的相合估计，1(,,)k g ηθθ=是1,,k θθ的连续函数，则1ˆˆˆ(,,)n n nkg ηθθ=是η的相合估计。
证明 有函数g 的连续性，对任意给定的0ε>，存在一个0δ>，当ˆ,1,,j jj k θθδ-<=，有 11ˆˆ(,,)(,,)k k g g θθθθε-< （ 6.2.3）又由1ˆˆ,,n nkθθ的相合性，对给定的δ，对任意给定的0v >，存在正整数N ，使得N n ≥时,,/)ˆ(k v P jnj <≥-δθθk j ,,1 =. 从而有{}{}⎪⎪⎭⎫⎝⎛≥--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-== k j j nj k j j nj P P 11ˆ1ˆδθθδθθ ∑=≥--≥kj jnj P 1)ˆ(1δθθ .1/1v k v k -=⋅->根据（6.2.3）,{}{}εηηδθθ<-⊂<-=n k j j njˆˆ1,故有 v P n -><-1)ˆ(εηη, 由v 的任意性，定理得证.由大数定律及定理6.2.2,我们可以看到，矩估计一般都具有相合性.比如： ·样本均值是总体均值的相合估计； ·样本标准差是总体标准差的相合估计；·样本变异系数x s /是总体变异系数的相合估计.例 6.2.3 设一个试验有三种可能结果，其发生概率分别为.)1(),1(2,23221θθθθ-=-==p p p现做了n 次试验，观测到三种结果发生的次数分别为 321,,n n n ，可以采用频率 替换方法估计θ.由于可以有三个不同的θ的表达式：.2/,1,2131p p p p +=-==θθθ从而可以给出θ三种不同的频率替换估计，它们分别是：./)2/(ˆ,/1ˆ,/ˆ2133211n n n n n n n +=-==θθθ 由大数定律，n n n n n n /,/,/321分别是321,,p p p 的相合估计，由定理6.2.2知， 上述三个估计都是θ的相合估计.6.2.2 无偏性相合性是大样本下估计量的评价标准，对小样本而言，需要一些其他的评价 标准，无偏性便是一个常用的评价标准 .定义 6.2.2 设),,(ˆˆ1nx x θθ=是θ的一个估计，θ的参数空间为Θ，若对 任意的 Θ∈θ,有θθ=)ˆ(E , 则称θˆ是θ的无偏估计，否则称为有偏估计. 无偏性要求可以改写为0)ˆ(=-θθE ，这表示无偏估计没有系统偏差.当我们使用θˆ估计θ时,由于样本的随机性,θˆ与θ总是有偏差的,这种偏差时而（对某些样本观测值）为正,时而（对另一些样本观测值）为负,时而大,时而小.无偏性表示，把这些偏差平均起来其值为0，这就是无偏估计的含义.而若估计不具有无偏性，则无论使用多少次，其平均也会与参数真值有一定距离，这个距离就是系统误差.例 6.2.4 对任一总体而言，样本均值是总体均值的无偏估计.当总体k 阶 矩存在时,样本k 阶原点矩k a 是总体k 阶原点矩k μ的无偏估计.但对k 阶中心 矩则不一样,譬如,样本方差2*s 就不是总体方差2σ的无偏估计,因为在定理 5.2.1中已经指出 ：22*n1n )(σ-=s E . 对此，有如下两点说明：（1） 当样本趋于无穷时，有22*)(σ→s E ，我们称2*s 为2σ的渐近无偏估计，这表明当样本量较大时，2*s 可近似看作2σ的无偏估计.（2） 若对2*s 作如下修正：∑=--=-=ni i x x n n ns s 122*2)(111 ， (6.2.5) 则2s 是总体方差的无偏估计.这种简单的修正方法在一些场合被采用.（6.2.5） 定义的2s 也称为样本方差，它比2*s 更常用.这是因为在2≥n 时，2*s <2s ，因此用2*s 估计2σ有偏小的倾向，特别在小样本场合要使用2s 估计2σ.无偏性不具有不变性.即若θˆ是θ的无偏估计，一般而言，)ˆ(θg 不是)(θg 的无偏估计，除非)(θg 是θ的线性函数.譬如，2s 是2σ的无偏估计，但s 不是σ的无偏估计.下面我们以正态分布为例加以说明.例 6.2.5 设总体为n x x N ,,),(1 2,σμ是样本，我们已经指出2s 是2σ的无偏估计.由定理5.3.1,),1(~)1(222--=n s n Y χσ其密度函数为0,)21(21)(212121>-Γ=----y e yn y p yn n .从而⎰+∞=02/12/1)()(dy y p y Y E⎰∞+----Γ=021221)21(21dy e yn y n n)21()2(2)21(2)2(2212-ΓΓ=-ΓΓ=-n nn n n n由此，我们有1/2()22()111()2n n Es E Y n n c n σσΓ==⋅≡---Γ 这说明s 不是σ的无偏估计，用修正技术可得s c n ⋅是σ的无偏估计，其中n c =)2()21(21n n n Γ-Γ⋅-是修偏系数，表6.2.1给出了n c 的部分取值。
可以证明当n +∞→时有1→n c ，这说明s 是σ的渐近无偏估计，从而在样本容量较大时,不经修正的s 也是σ的一个很好的估计。
n n c n n cn n cn n cn n c7 1.0424 13 1.0210 19 1.0140 25 1.01052 1.2533 8 1.0362 14 1.0194 20 1.0132 26 1.0100 3 1.1284 9 1.0317 15 1.0180 21 1.0126 27 1.00974 1.0854 10 1.0281 16 1.0168 22 1.0120 28 1.00935 1.0638 11 1.0253 17 1.0157 23 1.0114 29 1.00906 1.0509 12 1.0230 18 1.0148 24 1.0109 30 1.00876.2.3 有效性参数的无偏估计可以有很多，如何在无偏估计中进行选择？直观的想法是希望该估计围绕参数真值的波动越小越好，波动大小可以用方差来衡量，因此人们常用无偏估计的方差的大小作为度量无偏估计优劣的标准，这就是有效性。
定义 6.2.3 设1ˆθ，2ˆθ是θ 的两个无偏估计，如果对任意的θΘ∈有 Var(1ˆθ)≤Var(2ˆθ),且至少有一个θΘ∈使得上述不等号严格成立，则称1ˆθ比2ˆθ有效。
例6.2.6 设n x x ,,1 是取自某总体的样本，记总体均值为μ，总体方差为2σ,则1ˆμ=1x ,2ˆμ=x 都是μ的无偏估计，但 Var(1ˆμ)=2σ,Var(2ˆμ)=n2σ.显然,只要1n >，2ˆμ比1ˆμ有效。
这表明，用全部数据的平均估计总体均值要比只使用部分数据更有效。
例6.2.7 在例6.2.2中，我们指出均匀总体(0,)U θ中θ的极大似然估计是)(n x ，由于θ1)(+=n nEx n ，所以)(n x 不是θ的无偏估计，但是θ的渐近无偏估计。