变上限积分求导
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变上限定积分求导法则： 例如：原函数存在定理：()()()0
x f t dt
f x '
=⎰
如果该函数()f t 再添一个变量x ，那么公式就变为
()()()()0
x x xf t dt
f t dt xf x '
=+⎰
⎰
相当于：x 是一个常数，提取在变上限定积分()0
x f t dt
⎰的前面。
举例：（2008年高职升本试卷）
若()f x 在(),-∞+∞内连续，()()()02x
F x x t f t dt =-⎰
证明：（1）若()f x 为奇函数，则()F x 为奇函数。
（2）若()f x 非增，则()
F x 非减。
证明：（1）若
()f x 为奇函数，则证明()()F x F x -+=0
即可。
()()()()002x x F x x t f t dt xf t dt ''⎡⎤⎡⎤'=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰()02x
tf t dt '⎡⎤⎢⎥⎣⎦
⎰ =()()()()()0
2x
x
f t dt xf x xf x f t dt xf x +-=
-⎰
⎰
()()()()002()x x F x x t f t dt x f t dt --''⎡⎤⎡⎤'-=--=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰()02x
tf t dt -'⎡⎤⎢⎥⎣⎦
⎰ =()()()()()0
()(1)2()(1)x
x
f t dt x f x x f x f t dt xf x ---+-------=---⎰
⎰
故：()()()()()()0
x
x
F x F x f t dt xf x f t dt xf x -''+-=----⎰⎰
()()()00 0x
x x
x
f t dt f t dt f t dt --=+=
=⎰⎰
⎰
由拉格朗日定理，可知：()()
F x F x C ''+-≡（C 为常数） 当0x =时代入，可得：()()F x F x -+=0。 （2）若()f x 非增，则证明()0F x '>。
由()F x '=
()()0
x f t dt xf x -⎰
由积分中值定理，可得：[]0,x ξ∈ 上式()F x '=()()()()()(
)()0f x x f x x f x f x x f f x ξξξ--=-=
-⎡⎤⎣⎦
依题意，得：不妨设0x >，则()()0x f f x ξ->⎡⎤⎣⎦ 即：命题得证.