第5讲联结词完备集

上节内容回顾
1
等值演算
(p∧q)→r⇔ p→(q→r) 解： (p∧q)→r ⇔ ¬(p∧q)∨r （蕴涵等值式） ⇔ (¬p∨¬q)∨r （德●摩根律） ⇔ ¬p∨¬q∨r （结合律） p→(q→r) ⇔ ¬p ∨ (¬ q∨r) （蕴涵等值式） ⇔ ¬p∨¬q∨r （结合律）
2
真值表
p 0 0 0 0 1 1 1 1 q 0 0 1 1 0 0 1 1 r 0 1 0 1 0 1 0 1 (p∧q)→r 1 1 1 1 1 1 0 1 p → (q → r) 1 1 1 1 1 1 0 1
10
通过真值表构造合取范式
α=(p∧q) → (¬(q∨r)) ⇔ （┐p ∨ ┐q ∨ r） ∧ （┐p ∨ ┐q ∨ ┐ r）
1 1 0 1 1 1
11
真值表确定公式
p 0 0 0 0 1 1 1 1 q 0 0 1 1 0 0 1 1 r 0 1 0 1 0 1 0 1 A 0 0 0 0 0 1 0 0 B 1 1 1 1 0 1 1 0
29
联结词完备集举例
{∧，∨，¬，→，↔}是完备集 {∧，∨，¬ }是完备集
p↔q⇔ (p→q)∧(q→p) p→q⇔┐p∨q
{┐，∨}和{┐，∧} 是否是完备集?
p∨q⇔┐(┐p∧┐q) p∧q⇔┐(┐p∨┐q)
30
联结词完备集举例续1
{¬，→}是否是完备集 ？
p∨q ⇔┐ p→q
{┐，↔}是否是完备集？
6
范式应用：
1) 判断两公式是否等值； 2) 判断公式类型(永真、永假，可满足) 例：(1)┐(p→q)∧q 永假 (2)((p→q)∧p) →q ∑(0,1,2,3)永真 (3)(p→q)∧q ∑(1,3) 3) 求真值表
7
真值表和范式的相互构造
范式→真值表
极小项对应成真赋值 极大项对应成假赋值
真值表→范式
8
α=(p∧q) → (¬(q∨r))的真值表
9
通过真值表构造析取范式
α=(p∧q) → (¬(q∨r))
⇔ （┐p ∧ ┐q ∧ 0 0 （┐p ∧ q ∧ ┐r） 0 1 0 （p ∧ ┐q ∧ ┐r） 1 0 0 ┐r） ∨ （┐p ∧ ┐q ∧ r） ∨ 0 0 0 1 ∨ （┐p ∧ q ∧ r） ∨ 0 1 1 ∨ （p ∧ ┐q ∧ r） 1 0 1
27
问题
常用五个联结词┐， ∧， ∨， → ，↔ 是否有冗余呢？
A→B⇔¬A∨B A↔B⇔( A→B) ∧ (B → A)
28
联结词完备集
（Functionally Complete）
设S是联结词的一个集合，称C为联结词的一 个完备集，如果任一个命题公式都能够逻辑等值 于仅包含S中联结词的公式。 最（极）小完备联结词集： ——若一个完备集的任何真子集都不是完备 集(最小联结词组)。
12
通过真值表构造公式
A=p∧¬q ∧ r
1 0 1
B= ⇔ （┐p ∨ ┐q ∨ r） ∧ （┐p ∨ ┐q ∨ ┐ r）
1 1 0 1 1 1
13
举例(等值式S23)
A, B, C, D 4人做百米竞赛,观众甲、乙、 丙预测比赛名次为： 甲：C第一，B第二； 乙：C第二，D第三； 丙：A第二，D第四； 结果甲，乙，丙各对一半，试问实际名 次(无并列)
34
合取范式的可满足问题
不含任何文字的简单析取式为空简单析 取式，记作λ。 空简单析取式是不可满足的 设l是一个文字，lc= p, 若l= ¬ p 称为文字l的补。
35
¬p, 若l=p
消解规则
定义：设C1 , C2是两个简单析取式，C1含 文字l, C2含文字lc, 从C1中删除文字l,从C2 中删除文字lc后将得到的两个结果析取成 一个简单析取式，称为C1 和C2的消解式 或消解结果,记为Res(C1 , C2). 消解算法（P36-37）
3
同一真值函数
(p∧q)→r和 p→(q→r)对应同一个真值函 数 ¬p∨¬q∨r
4
标准型(范式)
——同一真值函数所对应的所有命题公 式具有相同的标准型
析取范式 合取范式 主析取范式(极小项) 主合取范式(极大项)
5
范式示例
┐(((p∨q) →r) →p) ⇔ ┐p∧(┐ q ∨ r) ⇔ (┐p∧┐ q) ∨(┐p∧ r) ⇔(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧┐q ∧┐r) ∨(┐p∧┐q∧r) ∨(┐p∧q∧r) ⇔m0∨m1∨m3 ⇔∑(0,1,3)
p
?
0 1 0 0
q
q
p p ∇ ∨ q q
?
1 0 0 0
p ¬ ↔ q q
q ¬ p → p → p q
?
1 1 1 0
永 真
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 1
21
36
作业：
P40 9(2) 、10(2)、 17-20 (每题任选一小题)， 21、27，28，30
37
0 1 0 0
0 1 0 1
0 1 1 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 0
1 1 1 1
22
其他联结词
不可兼或∇: p∇q ⇔ ┐(p↔q ) c c 蕴涵否定→: p→q ⇔ ┐(p→q ) 与非↑: p↑q ⇔ ┐(p∧q ) 或非↓: p↓q ⇔ ┐(p∨q )
23
不可兼或联结词
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∇q 0 1 1 0
24
蕴涵否定联结词
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1
c p→q
0 0 1 0
25
与非联结词
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p↑q 1 1 1 0
26
或非联结词
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p↓q 1 0 0 0
可以证明任何一个仅含“↔”和“┐”的二 元命题合式公式真值中有1和0 的个数都是偶 数的。 不是
31
联结词完备集举例续2
{∧ ， ∨ ，→ ，↔}不是完备集
（只需证明┐p无法由仅含此联结词集中的联结词的 公式表示即可 ） 总取0值的真值函数不能由只含此联结词集中的联 结词的命题形式来表示。因为这样的命题形式在其 中的命题变元都取1时也取值1, 而不为0. {∧}，{∨}，{¬}，{→}，{↔}都不是完备集
14
甲、乙、丙预测比赛
(C1∧┐B2)∨(┐C1∧B2)不可兼或
设Ai, Bi, Ci, Di 分别表示A，B，C，D第i 名 i=1,2,3,4; 则有 ① (C1∧┐B2)∨(┐C1∧B2) ⇔1 ② (C2∧┐D3)∨(┐C2∧D3) ⇔1 ③ (A2∧┐D4)∨(┐A2∧D4) ⇔1 三式同时成立
其他联结词
不可兼或∇,蕴涵否定→,与非↑,或非↓
p q 0 0 1 1 0 1 0 1
永 p p p c 假 ∧ →
c
q
q
q q c பைடு நூலகம் p
p p p p ¬ ∇ ∨ ↓ ↔ q q q q q
q ¬ p p 永 → p → ↑ 真 p q q
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 0 1 1
18
2n
真值函数与联结词
每个（二元）联结词确定了一个（二元） 真值函数。 每个（二元）真值函数也确定了一个 （二元）联结词。 二元联结词总共可以有24＝16个
19
真值函数确定联结词
20
所有可能的联结词
二元联结词总共可以有24＝16个
p q 0 0 1 1 0 1 0 1
永 p 假 ∧
?
0 0 1 0
15
不可兼或
新的联结词 p∇q ⇔(p∧┐q)∨(┐p∧q)
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∇q 0 1 1 0
16
不可兼或
是否还可能有其他联结词？
若有，可以有多少种不同的二元联结词？
17
真值函数
定义: {0, 1}上的n元函数 f: { 0, 1}n →{ 0, 1} 就称为一个n元真值函数（布尔函数） 自变量有2n组不同的取值，真值函数取 值只有两种：1 0 共有 2 种不同的真值函数
思考：{┐，∇},{┐，→}是否是完备集 ？
32
c
联结词完备集举例续3
{↑}是否是完备集 ？
p∧q⇔┐(p↑q) ┐p⇔p↑p
同理： {↓}也是完备集
p∨q⇔┐(p↓q) ┐p⇔p↓p
33
可满足性问题
命题公式的可满足性问题 (简称SAT问题) 是指布尔表达式的可满足性问题。它是 理论计算机科学中的一个核心问题。在 数理逻辑、人工智能、约束满足问题、 VLSI集成电路设计与检测以及计算机科 学理论等领域具有广阔的应用背景。 SAT问题是NP完备问题